Noter i sandsynlighedsregning

More documents

Recommendations

Info

$Øvelse 1: Få LATEX op at stå Øvelse 2: At skrive matematiske ...$

hvor x ∈ R.Fordelingsfunktionen:⎧⎨F (x) =⎩0, for x ≤ afor a < x < b1, for x ≥ bx−ab−a ,Middelværdi: b−a(b−a)22. Varians:12.Pareto-fordeling.Tæthed:hvor α ∈ (0, ∞) og x ∈ (1, ∞).Fordelingsfunktionen:{F (x) =p(x) = αx −(α+1) ,0, for x < 11 − x −α , for x ≥ 1(ek-Middelværdi: α/(α − 1) (eksisterer kun hvis α > 1). Varians:sisterer kun hvis α > 2).α(α−2)(α−1) 2Bemærk, at hvis X er pareto-fordelt, så er Z = 1/X beta-fordelt (se herover).Arcus-sinus fordeling.Tæthed:hvor x ∈ (−1, 1).Fordelingsfunktionen:⎧⎨F (x) =⎩Middelværdi: 0. Varians: 1/2.p(x) =1π √ 1 − x 2 ,0, for x ≤ −11π arcsin(x) + 1 2 , for − 1 < x < 11, for x ≥ 1Cauchy-fordeling.Tæthed:hvor x ∈ R.Fordelingsfunktionen:p(x) =1π(1 + x 2 ) ,F (x) = 1 π arctan(x) + 1 2Middelværdi: Eksisterer ikke. Varians: Eksisterer ikke.2
Standard Normalfordeling.Tæthed:hvor x ∈ R.Fordelingsfunktionen:Middelværdi: 0. Varians: 1.ϕ(x) = √ 1)exp(− x2,2π 2Φ(x) =∫ x−∞ϕ(y) dyNormalfordeling med middelværdi µ og varians σ 2 .Denition: Hvis U et standard normalfordelt, er Y = µ + σU, hvor σ > 0 ogµ ∈ R, normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2 .Tæthed:p(x) =hvor σ > 0, µ ∈ R og x ∈ R.Fordelingsfunktionen:Middelværdi: µ. Varians: σ 2 .( )1√ exp (x − µ)2−2πσ2 2σ 2 ,( ) x − µF (x) = ΦσSum af uafhængige normalfordelinger (jf. MS Sætn. 6.3.12): Hvis X 1 , . . . , X n eruafhængige stokastiske variable, og X i er normalfordelt med middelværdi µ i ogvarians σ 2 i , i = 1, . . . , n, så er X 1 + · · · + X n normalfordelt med middelværdiµ 1 + · · · + µ n og varians σ 2 1 + · · · + σ 2 n.Γ-fordeling med formparameter α og skalaparameter β.Tæthed:hvor α > 0, β > 0, x ∈ (0, ∞), ogp(x) = xα−1 e −x/ββ α ,Γ(α)Γ(α) =∫ ∞0y α−1 e −y dyopfylder funktionalligningen Γ(α + 1) = αΓ(α).Middelværdi: αβ. Varians: αβ 2 .Γ-fordelingens foldningsegenskab (jf. MS Sætn. 8.1.3): Hvis X 1 , . . . , X n er uafhængigestokastiske variable, og X i er Γ-fordelt med formparameter α i og skalaparameterβ, i = 1, . . . , n, så er X 1 + · · · + X n Γ-fordelt med formparameter α 1 + · · · + α nog skalaparemeter β.3
Page 1: Noter i sandsynlighedsregningSkreve
Page 5 and 6: hvor x > 0.Middelværdi:f 2f 2−2
Page 7 and 8: Middelværdi.Hvis X er en kontinuer
Page 9 and 10: Et sådant sandsynlighedsmål kalde
Page 11 and 12: (i) Cov(X, X) = Var(X)(ii) Cov(a +

Noter i sandsynlighedsregning

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?