Noter i sandsynlighedsregning

Transformationer af kontinuerte fordelinger på RTransformationssætningen (MS Sætn. 5.4.1).Setup. X er en kontinuert stokastisk variabel, som opfylder P (X ∈ I) = 1, foret interval I ⊆ R. Dener a = inf I og b = sup I, som eventuelt er ±∞. Antagat X har tætheden p, som er kontinuert på (a, b).t : I → R er en kontinuert dierentiabel, strength monoton funktion, dvs.t ′ (x) ≠ 0 for alle x ∈ (a, b).J = t(I) er et interval. Sæt v = inf J og h = sup J, hvor ±∞ tillades somværdier.Konklusion: Y = t(X) er en kontinuert stokastisk variabel med tæthed q givetved{ p(t −1 (y))| dq(y) =dy t−1 (y)|, for y ∈ (v, h)0, for y /∈ (v, h)Fler-dimensionale kontinuerte fordelinger: begreberTæthed.En funktion p : B → [0, ∞), hvor B ⊆ R n , som opfylder∫p(x 1 , . . . , x n ) dx 1 · · · dx n = 1kaldes en (sandsynligheds)tæthed på B.BMed andre ord er en funktion f : B → R, hvor B ⊆ R, en tæthed på B, hvisog kun hvis den opfylder følgende to betingelser:(1) ∀(x 1 , . . . , x n ) ∈ B : f(x 1 , . . . , x n ) ≥ 0(2) ∫ B f(x 1, . . . , x n ) dx 1 · · · dx n = 1Hvis p er en tæthed på B, så erq(x 1 , . . . , x n ) = 1 B (x 1 , . . . , x n )p(x 1 , . . . , x n )en tæthed på R, som opfylder q(x 1 , . . . , x n ) = p(x 1 , . . . , x n ) for alle (x 1 , . . . , x n ) ∈B, og q(x 1 , . . . , x n ) = 0 for alle (x 1 , . . . , x n ) /∈ B. Man kan derfor erstatte p medq for at lette løsning af integraler.Kontinuert fordeling.Enhver tæthed p på B ⊆ R denerer et sandsynlighedsmål P på B ved∫P (A) = 1 A (x 1 , . . . , x n )p(x 1 , . . . , x n ) dx 1 · · · dx nfor alle A ⊆ B.B8