Noter i sandsynlighedsregning

Formparameter: Når x går mod 0, så går p(x) mod ∞, hvis α < 1, mod β −1 ,hvis α = 1, og mod 0, hvis α > 1.Skalaparameter: Hvis X er Γ-fordelt med formparameter α og skalaparameterβ, så er cX, hvor c > 0, Γ-fordelt med formparameter α og skalaparameter cβ.χ 2 -fordeling med k frihedsgrader.Denition: Hvis U 1 , . . . , U k er uafhængige standard normalfordelte stokastiskevariable, kaldes fordelingen af U 2 1 +· · ·+U 2 k χ2 -fordelingen med k frihedsgrader.Tæthed:hvor x ∈ (0, ∞), og⎧⎨c k = Γ(k/2) =⎩Middelværdi: k. Varians: 2k.p(x) = xk/2−1 e −x/22 k/2 c k,√ π, for k = 1(k/2 − 1)!, for k lige(k/2 − 1) · · · 12√ π, for k = 3, 5, 7, . . .Bemærk, at χ 2 -fordelingen med k frihedsgrader er Γ-fordelingen med formparameterk/2 og skalaparameter 2.σ 2 χ 2 -fordeling med k frihedsgrader.Denition: Hvis X er χ 2 -fordelt med k frihedsgrader, kaldes fordelingen af σ 2 X,hvor σ 2 > 0, σ 2 χ 2 -fordelingen med k frihedsgrader.Bemærk, at σ 2 χ 2 -fordelingen med k frihedsgrader er Γ-fordelingen med formparameterk/2 og skalaparameter 2σ 2 .Tæthed:p(x) = xk/2−1 e −x/(2σ2 )(2σ 2 ) k/2 c k,hvor x ∈ (0, ∞), og c k er deneret som for χ 2 -fordelingen.Middelværdi: kσ 2 . Varians: 2kσ 4 .F-fordelingen med (f 1 , f 2 ) frihedsgrader.Denition: Hvis Z 1 og Z 2 er uafhængige stokastiske variable, som er χ 2 -fordeltemed hhv. f 1 og f 2 frihedsgrader, kaldes fordelingen afX = Z 1/f 1Z 2 /f 2F-fordelingen med (f 1 , f 2 ) frihedsgrader.Tæthed:p(x) = f f1/21 f f2/22 Γ((f 1 + f 2 )/2) x f1/2−1·Γ(f 1 /2)Γ(f 2 /2) (f 2 + f 1 x) ,(f1+f2)/24