Cap´ıtulo 2 Vetores — uma introduç˜ao geométrica ... - UFSCar

Capítulo 2
Vetores — uma introdução
geométrica
Atividades com GeoGebra
Mais Octave
Palavras-chave: ponto, vetor, escalar, coordenada, segmento, segmentos equipo-
lentes, soma de vetores, multiplicação de vetor por escalar, soma de ponto com vetor,
módulo de vetor, vetores colineares, vetores coplanares, dependência linear de vetores,
equação vetorial de reta, equação vetorial de plano, GeoGebra
Vamos introduzir o conceito de vetor, as operações básicas de vetores, e um pouco
sobre dependência linear, com as primeiras aplicações no equacionamento de retas e
planos. Introduziremos também, junto com o texto, a utilização do programa GeoGebra,
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além do Octave, como uma ferramenta para fixação dos conceitos geométricos em estudo,
no caso plano.
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2.1 Grandezas escalares e grandezas vetoriais
2.1.1 Grandezas escalares e sistema referencial em uma reta
As grandezas escalares são conceitos que podem ser representados por números reais
e que podem ser obtidos, ou não, por um processo de medição, com uma unidade fixada.
Exemplos simples de grandezas escalares que podem ser encontradas na vida cotidiana
são: distância entre dois pontos, comprimentos de segmentos e curvas, áreas, volumes,
temperatura, densidade, e assim por diante.
Então, quando se trata de grandezas escalares, trabalha-se que com números reais que
as representam. Isto não significa que um número real sempre representa uma grandeza
escalar, porém, um número real é chamado de escalar.
Veja uma planilha do GeoGebra, com a distância entre os pontos A e B e a área do
triângulo CDE calculados. Veja que são representados por números (escalares).
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Os números reais possuem uma representação geométrica por meio de uma reta, de
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maneira que haja uma correspondência entre os números reais e os pontos da reta. Isto
se faz da seguinte maneira:
Seja r uma reta qualquer. Sobre a reta, determine um ponto, chamado O. Este ponto
determina duas semirretas. A escolha de uma das semirretas determina uma orientação
da reta, isto é, chamando a semirreta escolhida de semieixo positivo, a semirreta oposta
será chamada de semieixo negativo. A nomenclatura fica clara a partir da correspondência
que se estabelece com os números reais como veremos a seguir.
O
Na figura acima, temos a representação de um sistema referencial para a reta r,
formado por um ponto O sobre r e a escolha do semieixo positivo. Numa representação
“horizontal” de uma reta, costuma-se escolher como semieixo positivo a semirreta à direita
de O. O sistema referencial é denotado por S = {O, x}, ou simplesmente, Ox.
Suponhamos escolhida uma unidade de medida para o comprimento de segmentos por
meio de um segmento fixado. Então, dado um ponto geométrico qualquer P sobre a reta,
podemos medir a distância de P a O, como o comprimento do segmento OP, usando a
unidade fixada. Ao ponto P associamos o número real xP, de modo que:
• xP é a distância de P a O, se P estiver no semieixo positivo, sendo xP > 0
• xP é 0 se P = O.
• xP é oposto da distância de P a O, se P estiver no semieixo negativo, sendo xP < 0.
Estamos estabelecendo uma correspondência entre os pontos da reta r e o conjunto
dos números reais.
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Reciprocamente, dado um número real x ∈ R, podemos associar um ponto geométrico
Px sobre a reta r, de modo que:
• Px está à distância x de O, à direita de O, se x > 0.
x
r
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• Px é o ponto O se x = 0.
• Px está à distância |x| de O, à esquerda de O, se x < 0.
Temos então uma correspondência biunívoca entre os pontos de uma reta e o conjunto
dos números reais.
−3 −2 −1 O 1 2 3 4 5 6 P x
unidade
Px = 10.28
Na ilustração acima, lê-se a representação de alguns números inteiros, obtidos a partir
do segmento-unidade fixado previamente. O ponto P na figura está associado ao número
real Px = 10.28, numa representação decimal com precisão de 2 casas decimais. Este
número associado ao ponto P é chamado coordenada de P no sistema S = {O, x} da
reta r. A coordenada x de um ponto pode ser um número inteiro, racional ou irracional.
Está estabelecida uma correspondência biunívoca entre o conjunto dos pontos da reta
r e o conjunto de números reais R.
Observamos que, com esta representação geométrica, o módulo de um número real x
é interpretado como o comprimento do segmento OP, onde P é o ponto geométrico que
possui x como sua coordenada.
Assim, |x| = x, se x ≥ 0 e |x| = −x, se x < 0.
Exercício 1: Represente num sistema referencial de uma reta, pontos A e B que
correspondem às coordenadas Ax = 3/7 e Bx = −8. Encontre a distância entre os
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pontos A e B, usando propriedades do módulo.
Exercício 2: No desenho sistema referencial anterior, como poderia construir uma re-
presentação geométrica do ponto C = √ 2, podendo utilizar régua e compasso? (Obs:
√
m
2 é um número irracional, isto é, não podemos escrevê-lo na forma , com m e n
n
57

inteiros, n = 0. Este número aparece naturalmente na diagonal de um quadrado de lado
1.)
2.1.2 Introdução às grandezas vetoriais
Intuitivamente, usando exemplos da vida cotidiana, diz-se que as grandezas vetoriais
são conceitos que precisam não apenas de um escalar para representá-los, mas também
de direção e sentido.
Um exemplo simples pode ser dado pelo conceito de velocidade de uma partícula que
se desloca ao longo de uma curva.
Supondo o caso simples da curva ser retilínea, considere um ponto A que se desloca
em linha reta com velocidade de 4 km/h dirigindo-se a um ponto B situado sobre a reta.
4 km/h
A B
Ao conceito de velocidade no ponto A está associado não apenas o número real 4
(unidade = km/h), mas a direção da reta r(A, B) onde ocorre o deslocamento e o
sentido de percurso. Considere outro ponto X se deslocando sobre a mesma reta, no
mesmo sentido de percurso de A e com mesma taxa de variação do espaço percorrido em
relação à unidade de tempo, 4 km/h no caso.
4 km/h 4 km/h
A X B
Podemos dizer que A e X se deslocam à mesma velocidade.
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Se o ponto X estiver se deslocando sobre a mesma reta, mas no sentido de B para
A, a 4 km/h, não temos mais a mesma velocidade, mas sim, vetores velocidades com
sentidos opostos, apesar de terem a mesma direção e a mesma intensidade.
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4 km/h 4 km/h
A X B
Agora, ainda considerando que A se desloca como descrito acima, se o ponto X
estiver se deslocando a 4 km/h sobre uma reta r(C, D) paralela à reta r(A, B), temos
que as velocidades têm a mesma intensidade e mesma direção (dizemos que retas paralelas
definem a mesma direção), mas podem ter sentidos opostos ou iguais. Considere a reta
passando por A e C: esta divide o plano contendo as duas retas paralelas em dois
semiplanos. Suponha que o ponto D esteja no mesmo semiplano que B em relação à
reta r(A, C). Então o sentido de A para B é o mesmo que de C para D e a velocidade
de X será a mesma que a de A se o sentido for a mesma de C para D, e em sentidos
opostos caso contrário.
A
C X
4 km/h
4 km/h
O conceito de velocidade de deslocamento de uma partícula como uma grandeza
vetorial, fica ainda mais claro, se considerarmos uma trajetória curvilínea.
A
X
4 km/h
4 km/h
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Vamos considerar, sobre uma trajetória curvilínea, os pontos A e X, ambos se deslo-
cando a 4 km/h dirigindo-se para B, como na figura. Neste caso, o vetor velocidade em
A e o vetor velocidade em X possuem em comum apenas o escalar 4 (km/h) que repre-
B
D
B
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senta o seu valor numérico da sua intensidade mas não possuem a mesma direção. Sem
direção em comum, nem se compara o sentido. A taxa de variação do vetor velocidade
por unidade de tempo é sentida, neste caso, como o vetor aceleração normal, na direção
normal à trajetória, que se estuda na Física.
Outros exemplos de grandezas vetoriais que podem ser encontradas na vida cotidiana
são: força, peso, campo elétrico, campo magnético, etc.
Mas um exemplo mais natural de vetor aparece nas chamadas translações, quando
deslocamos objetos de lugar. Quando levamos um objeto na posição A para uma posição
B, estamos definindo um vetor deslocamento. Podemos aplicar o mesmo deslocamento
num outro objeto, em outra posição, com o mesmo vetor deslocamento. Como exercício,
desenhe dois pontos A e B num plano, e considere a translação (deslocamento) que
leva A em B. Depois desenhe outro ponto X e imagine efetuando a mesma translação
anterior, agora no ponto X. Onde deve ficar o ponto Y que representa X depois do
deslocamento?
Atividades com GeoGebra (1):
• Desenhe 3 pontos A, B e C: selecione (novo ponto) na Barra de Ferramentas,
e clique com o mouse nos locais de sua escolha, dentro da Área de Trabalho. Prova-
velmente os pontos serão nomeados automaticamente, mas podemos renomeá-los
(observação: o GeoGebra se recusará em nomear um ponto de X, como no exercício
anterior).
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• Volte à Barra de Ferramentas e selecione (vetor definido por dois pontos).
Determine o vetor −→
AB, clicando primeiro no ponto A e depois, no ponto B.
• Agora, selecione (Transladar por um vetor), clique no ponto C e no vetor
−→
AB. Aparecerá um novo ponto, C ′ .
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• Defina o vetor −−→
CC ′ utilizando novamente a ferramenta vetor definido por dois pon-
−→
tos. É verdade que AB = −−→
CC ′ ?
Selecione (relação entre dois elementos), clique sobre os dois vetores e veja
a resposta!
• Analise a posição do ponto C ′ com as ferramentas à sua disposição.
• Selecione (Mover) e movimente os pontos A, B e C. Suas conclusões ante-
riores dependem dos pontos?
2.1.3 Representação de vetores por segmentos orientados
Para representar geometricamente as grandezas vetoriais que ocorrem na vida real,
os conceitos da geometria euclidiana no plano e no espaço fornecem os elementos ideais
para estudar os vetores nestes ambientes. As propriedades matemáticas de vetores que
são estudadas com as representações geométricas permitem estender o conceito de vetor,
posteriormente, para ambientes mais abstratos, chamados espaços vetoriais, que consti-
tuem uma ferramenta essencial para o entendimento da Matemática e suas aplicações em
outros ramos da Ciência.
Neste primeiro momento, os ambientes dos vetores serão o plano e o espaço. O modelo
geométrico para representar um vetor é dado pelo conceito de segmento orientado, como
segue.
Dados dois pontos quaisquer A e B, distintos, eles determinam a reta r(A, B), na qual
distinguimos o segmento de reta AB. Estabelecendo um dos pontos, digamos A, como a
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origem do segmento, o outro ponto B é a extremidade final, e tem-se determinado um
sentido de percurso no segmento AB: de A para B.
Diz-se que o segmento AB é orientado e denota-se por −→
AB.
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segmento orientado −→
AB
A = origem
r(A, B)
B = extremidade final
Este segmento possui um comprimento associado (um escalar), a direção da reta
suporte r(A, B) e o sentido determinado pela escolha de A como origem e B como final.
Dizemos então que o segmento orientado −→
AB representa um vetor v e denotamos
v = −→
AB.
A
P
v = −→
AB
B
v = −→
PQ
r(A, B)
r(P, Q)
Se P é um outro ponto, podemos considerar a reta que passa por P e é paralela à reta
r(A, B). Sobre esta reta, podemos considerar Q, ponto tal que o segmento orientado
−→
PQ tenha o mesmo comprimento de −→
AB, a mesma direção (retas paralelas) e o mesmo
sentido. Então −→
PQ representa o mesmo vetor v.
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Observação: Se P é um ponto da reta r(A, B), podemos tomar Q na própria reta, de
modo que o segmento orientado −→
PQ tenha o mesmo comprimento, direção e sentido de
−→
AB.
Q
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Portanto, um vetor v é representado geometricamente por uma coleção de segmen-
tos orientados que possuem em comum comprimento, direção e sentido. Os segmentos
orientados que representam um determinado vetor são chamados equipolentes.
Temos o conceito de vetor livre, no sentido que um vetor v não depende de um ponto
inicial de um segmento orientado que o representa.
Por outro lado, se v = −→
AB e um ponto P é dado, existe um único ponto Q tal que
v = −→
PQ.
A
P
v = −→
AB
B = A + −→
AB = A + v
v = −→
PQ
Q = P + v = P + −→
PQ
Denotamos então Q = P +v. Com esta notação, temos claramente que se v = −→
AB,
então B = A + v. Cada segmento orientado −−→
CD que representa um vetor v tem origem
fixada em C e extremidade D. Além disso, ABDC são vértices consecutivos de um
paralelogramo (que pode ser degenerada em casos especiais, como quando A, B, C, D
são alinhados).
Outra notação muito utilizada, para o vetor v = −→
AB é v = B −A, já que B = A+v.
Nesses termos, se Q = P + v temos que Q − P = B − A = v. Veremos mais adiante
DM-UFSCar
que esta notação será muito útil operacionalmente.
Atividades com GeoGebra (2):
• Determine 2 pontos A e B e defina o vetor u = −→
AB usando a ferramenta vetor
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definido por dois pontos, como na atividade anterior, ou entrando com o comando
“u = Vetor(A,B)”no Campo de Entrada (que se localiza abaixo da Janela de
Álgebra e da Área de Trabalho).
• Trace a reta por A e B, com a ferramenta (reta definida por 2 pontos).
• Escolha mais um ponto e nomeie-o P. Para renomear um ponto, clique com o
botão direito do mouse sobre o ponto e selecione Renomear.
• Trace a reta paralela a r(A, B) por P, com a ferramenta (reta paralela).
• Selecione a ferramenta (vetor a partir de um ponto) e clique sobre o ponto
P e o vetor −→
AB. Isto cria um ponto P ′ e um vetor −−→
PP ′ . Observe que P ′ está na
reta paralela a r(A, B) passando por P. Verifique que os vetores −→
AB e −−→
PP ′ são
iguais.
• Vá ao Campo de Entrada (abaixo da Janela de Álgebra e da Área de Trabalho) e
digite “Q = P + Vetor(A,B)”.
Observe que Q coincide com P ′ (veja na Janela de Álgebra e na Área de Trabalho).
• Ainda no Campo de Entrada, digite “w = B - A”. Isto desenhará o vetor w = B−A
a partir da origem (ponto (0, 0) da Área de Trabalho).
Compare w com os vetores anteriormente criados.
O que acontece se digitar simplesmente “ B - A” ou ainda, “C = B - A”? Ex-
perimente! (As notações do GeoGebra são semelhantes às notações utilizadas no
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cotidiano da Geometria, onde letras maiúsculas denotam pontos, e as minúsculas,
retas, segmentos, vetores — ainda sem flecha)
• Mova os pontos A, B e P com o mouse e observe a dinâmica do movimento.
64

2.2 Sistema de coordenadas e operações com ve-
tores
2.2.1 Sistema de coordenadas cartesianas no plano
Um par de retas perpendiculares no plano com ponto de intersecção O constitui um
referencial cartesiano do plano denotado por
y
+
O
+
x
S = {O, x, y}
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quando cada uma das retas se constitui
um referencial (de reta) com origem em
O, em que um sentido é estabelecido com
a escolha do semieixo positivo a partir do
ponto O.
O ponto O de intersecção das retas é chamado origem do sistema. Denotamos por
Ox e Oy as retas perpendiculares em O que serão chamados de eixos cartesianos.
Dado um sistema cartesiano
O
y
v
P
w
Q
gem em O.
Temos uma correspondência biunívoca bem definida
v ←→ P ←→
x
S = {O, x, y} temos uma origem prefe-
rencial fixada e então, dado um vetor v
(livre) teremos um único ponto P do plano
tal que −→
OP = v.
Reciprocamente, dado um ponto Q do
plano, ele determina o segmento orientado
−→
OQ que representa um vetor w, com ori-
−→
OP
vetor livre ←→ ponto do plano ←→ segmento orientado com origem O

Seja P um ponto no plano com um re-
ferencial cartesiano.
Por P tracemos retas perpendiculares
aos eixos Ox e Oy respectivamente, deter-
minando pontos de intersecção P ′ e P ′′ , res-
pectivamente.
A escolha de um referencial no eixo Ox, determinada pela escolha de uma das se-
mirretas, localiza o ponto P ′ , projeção ortogonal de P sobre Ox, de modo que podemos
associar a este ponto um número real a. Este número a representa essencialmente o
comprimento do segmento OP ′ , medido na unidade fixada no referencial, com sinal po-
sitivo ou negativo, conforme a posição de P ′ no eixo Ox esteja na semirreta positiva ou
negativa.
Analogamente, associamos ao ponto P ′′ , projeção de P sobre Oy, um número real b,
que representa o comprimento do segmento OP ′′ , segundo a unidade fixada no eixo Oy,
e com sinal positivo ou negativo, conforme P ′′ esteja localizado na semirreta positiva ou
negativa do eixo Oy.
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Para identificar a ordem com que associamos os números a essas projeções, denotamos
por (a, 0) e (0, b) as respectivas coordenadas dos pontos P ′ e P ′′ sobre os eixos cartesianos.
P ′′
b
O
y
v
a
P
P ′
x
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Ao ponto P associamos então o par
ordenado de números reais (a, b), onde a
é chamado abscissa de P e b é chamado
de ordenada de P, sendo (a, 0) e (0, b)
as coordenadas das projeções P ′ e P ′′ .
v ←→ (a, b)
P = (a, b)
P ′ = (a, 0)
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y
P ′′ = (0, b)
Assim, temos uma correspondência entre os pontos do plano e o conjunto de pares
ordenados de números reais (P ←→ (a, b)). Voltando à correspondência entre vetores do
plano e pontos do plano, temos:
É claro que O ↔ (0, 0).
O
v ←→ −→
OP ←→ P ←→ (x, y)
Vamos observar agora que os pontos P ′ e
P ′′ também determinam vetores: −−→
OP ′ e
−−→
OP ′′ .
b
O
y
P ′′
−−→
OP ′′
a
v
−−→
OP ′
P
P ′
x
x
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Também observamos as igualdades −−→
P ′ P = −−→
OP ′′ e −−→
P ′′ P = −−→
OP ′ .
O
y
P
′′
−−→
OP ′′
v
P
−−→
P ′ P
P ′
x
O
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y
P
′′
−−→
P ′′ P
v
−−→
OP ′
Assim, o ponto P = O + v é extremidade também como P ′′ + −−→
OP ′ e P ′ + −−→
OP ′′ .
Isto sugere a regra do paralelogramo para a adição de vetores. De fato, podemos ver
a decomposição do vetor v = −→
OP como soma de vetores v = −→
OP = −−→
OP ′ + −−→
P ′ P onde o
segmento OP é a diagonal do paralelogramo (no caso, um retângulo) OP ′ PP ′′ .
Em coordenadas, esta situação geométrica corresponde a
Atividade com GeoGebra (3):
v = (a, b) = (a, 0) + (0, b)
= −→
OP = −−→
OP ′ + −−→
OP ′′
• No Campo de Entrada, digite “O = (0,0)”. Isto criará o ponto O = (0, 0).
Para que ninguém altere o ponto O de lugar, vamos fixar o ponto (clique com o
botão direito do mouse sobre o ponto O, selecione Propriedades e depois, Fixar
objeto.
• Escolha um ponto P. Por exemplo, P = (3, 4). Vá ao Campo de Entrada e digite
“P = (3,4)”. Isto cria o ponto P = (3, 4) na Área de Trabalho e Janela de
Álgebra, mostrando a correspondência P ←→ (3, 4).
P
P ′
x
68

• No Campo de Entrada, digite “v = Vetor[O,P]”. Será desenhado o vetor v = −→
OP
na Área de Trabalho ao mesmo tempo que na Janela de Álgebra aparece escrito “v
= (3,4)”, mostrando a correspondência −→
OP ←→ (3, 4).
• Agora vamos criar os pontos P ′ e P ′′ no eixos Ox e Oy. Podemos fazer isso por
coordenadas (1), ou usando o perpendicularismo dos eixos de coordenadas (2).
1. No Campo de Entrada, digite “P’ = (x(P),0)” e “P’’ = (0, y(P))”.
No Geogebra, x(P) e y(P) são as coordenadas do ponto P.
2. Selecione a ferramenta (reta perpendicular), e trace a reta por P,
perpendicular ao eixo Ox. Selecione (Ponto de intersecção) e encontre
a intersecção dessa reta com o eixo Ox. Renomeie o ponto por P ′ . Repita a
operação para obter P ′′ no eixo Oy.
• Crie os vetores −−→
OP ′ , −−→
OP ′′ , −−→
P ′ P e −−→
P ′′ P usando ferramentas ou comandos.
Quais são iguais? Quando iguais, quais as propriedades geométricas entre os seg-
mentos orientados?
• Obtenha w = −−→
OP ′ + −−→
OP ′′ , digitando no Campo de Entrada, “w = Vetor(O,P’)
+ Vetor(O,P’’)”. Compare com −→
OP.
A correspondência entre P = (x, y) e o vetor −→
OP = (x, y) é clara no Octave, onde
não há distinção para entrada de ponto ou vetor. Veja o exemplo acima no Octave:
Comandos no Octave
O = [0 0] % definindo a origem O=(0,0)
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P = [3 4] % definindo o ponto P=(3,4)
u = P - O % u = vetor(O,P) = (3,4)
P1 = [P(1) 0] % Obs: n~ao usamos a notaç~ao P’ pois no Octave,
% transpomos matrizes com a apóstrofe ’
69

P2 = [0 P(2)] % P(1) e P(2) s~ao as coordenadas de P
u1 = P1 - O % = vetor(O,P1)
u2 = P2 - O % = vetor(O,P2)
u1 + u2 % = u = vetor(O,P)
P1 + P2 % o resultado é P identificado com vetor(O,P)
P - P1 % P2, identificado com vetor(O,P2)
P - P2 % P1, identificado com vetor(O,P1)
Para entender melhor a corres-
pondência entre representação geométrica
de vetores e suas coordenadas, considere-
mos a seguinte situação:
Seja v = −→
OP um vetor dado.
...
Sejam P = (a, b) as coordenadas do
ponto P e portanto, do vetor v, e um
A
ponto A = (x, y) qualquer.
P ′
v
C
x
O
Então teremos um único ponto B tal que −→
AB = v, isto é, o segmento orientado com
origem A e extremidade B, de modo que B = A + v.
Vemos claramente na ilustração que −→
AB = −→
AC+ −→ −→ −−→ ′ −→ −−→ ′′
CB, onde AC = OP e CB = OP
Logo, as coordenadas de B são dadas por: B = A+v = (x, y)+(a, b), onde se torna
natural efetuar a adição coordenada a coordenada, isto é, B = (x + a, y + b).
Em geral, se v = −→
AB, temos B = A + v e, se B = (Bx, By) e A = (Ax, Ay) são as
P
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coordenadas dos pontos B e A, então as coordenadas de v são dadas por
v = B − A = (Bx, By) − (Ax, Ay) = (Bx − Ax, By − Ay).
Daí, a notação v = B − A para o vetor v = −→
AB.
P ′′
y
B
v
70

Exemplo: v = (−1, 3) e A = (2, 1) encontrar as coordenadas do ponto B tal que
−→
AB = v.
P
−1
v
1
y
3
O
Atividades com GeoGebra (4):
B
v
2
A
x
DM-UFSCar
71
O ponto P = (−1, 3) é a extremidade do
segmento orientado −→
OP que representa o ve-
tor v = (−1, 3) no sistema.
B = A + v implica que as coordenadas de
B(x, y), satisfazem
(x, y) = (2, 1) + (−1, 3) = (2 − 1, 1 + 3) =
(1, 4).
• Escolha um ponto A, por exemplo, P = (2, 1), e crie no GeoGebra, digitando “ A
= (2,1)” no Campo de Entrada.
• Escolha um vetor v, por exemplo, v = (2, 1). No Campo de Entrada, digite “v =
(-1,3)”. Observe que a diferença com a entrada anterior é a letra minúscula no
nome. Isto leva o GeoGebra a interpretar que (−1, 3) é um vetor, e desenha-o com
origem em (0, 0) e final em P = (−1, 3). Tente desenhar o ponto P utilizando
somente o Campo de Entrada.
• Obtenha B = A + v. No Campo de Entrada, basta digitar “B = A+v”. Com
a Barra de Ferramentas, basta utilizar (vetor a partir de um ponto) ou
(transladar por um vetor) e clicar no ponto A e no vetor v. Neste último
caso, o ponto criado será nomeado A ′ em vez de B.
• Qual o resultado de digitar “w = B-A”? E “u = Vetor[A,B]”? E “B - A”?
• Selecione a ferramenta Mover e movimente tudo que for possível. Veja a diferença
entre os chamados Objetos livres (A e v, neste exemplo) e Objetos dependentes.

No Octave, podemos efetuar também estes cálculos em coordenadas. Neste caso,
não há distinção no tratamento de vetor e ponto. Vamos também obter alguns desenhos
iniciais, obtendo os pontos e ligando, utilizando o comando plot(X,Y).
%
O = [0 0] % O = (0,0)
Comandos no Octave
P = [-1 3] % P = (-1,3)
A =[2 1] % A = (2,1)
v = P - O % v = vetor(O,P)
B = A + v % B é tal que B -A = v
B - A % = v
% Vamos desenhar o segmento AB
plot([A(1) B(1)], [A(2),B(2)])
% Agora vamos definir outro vetor, em outra direç~ao,
w = [2 4]
% e encontrar mais um ponto no plano
C = B + w
% Vamos desenhar o tri^angulo ABC (poligonal fechada ABCA)
plot([A(1) B(1) C(1) A(1)], [A(2),B(2) C(2) A(2)])
% Agora vamos definir mais um ponto.
D = A + w
% e desenhar o quadrilátero ABCD
plot([A(1) B(1) C(1) D(1) A(1)], [A(2),B(2) C(2) D(2) A(2)])
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% O mesmo desenho, utilizando matrizes
M = [A;B;C;D;A]
% M = matriz cujas linhas s~ao as coordenadas dos pontos
X = M(:,1) % lista das primeiras coordenadas dos pontos
72

Y = M(:,2) % lista das segundas coordenadas dos pontos
plot(X,Y)
2.2.2 Sistema de coordenadas cartesianas no espaço
x
O
z
...
Ainda utilizando o conceito geométrico de segmentos orientados, podemos representar
os vetores do espaço por meio de um referencial contituído de 3 retas perpendiculares
entre si com um ponto em comum O, com um sentido escolhido em cada um dos eixos.
Notação: S = {O, x, y, z}.
Os eixos Ox, Oy e Oz são chamados eixos coordenados. Os planos: Oxy (contendo
os eixos Ox e Oy), Oxz (contendo os eixos Ox e Oz) e Oyz (contendo Oy e Oz), são
chamados planos coordenados.
De maneira análoga a que foi feita no plano, os vetores livres serão representados
através de segmentos orientados com origem natural O, determinando de maneira única
pontos no espaço. Temos uma correspondência biunívoca
DM-UFSCar
v ←→ −→
OP ←→ P
Dado um ponto P ( e portanto o vetor v = −→
OP), a projeção ortogonal de P sobre o
plano Oxy determina de maneira única um ponto ¯ P.
y
73

x
P ′
•
z
P ′′′
•
O
v
O ponto ¯ P está a uma distância do ponto P, que medida em uma unidade fixada,
fornece uma coordenada z na direção do eixo Oz, em que o sinal é tomado como positivo
ou negativo, conforme P esteja no semiespaço (determinado pelo plano Oxy) que contém
o semieixo positivo ou negativo do eixo Oz.
O ponto ¯ P pertence ao plano Oxy em que já existe um sistema cartesiano, de modo
que podemos associar a ¯ P as coordenadas das projeções ortogonais de ¯ P sobre os eixos
•P
•
¯P
P ′′
•
Ox e Oy, respectivamente, dados pelos pontos P ′ e P ′′ como na figura.
Observemos que geometricamente temos um paralelepípedo com três arestas contidas
nos eixos Ox, Oy e Oz, com vértices em O e os pontos P ′ , P ′′ e P ′′′ , respectivamente.
Associando as coordenadas naturais destes pontos sobre os eixos temos: P ′ = (x, 0, 0),
P ′′ = (0, y, 0) e P ′′′ = (0, 0, z).
Temos −→
OP = −→
O ¯ P + −→
¯PP, em que −→
O ¯ P = −−→
OP ′ + −−→
OP ′′ e −→
¯PP = −−→
OP ′′′ , isto é, −→
OP
é representado que é a diagonal do paralelepípedo como na figura. Temos então as
coordenadas do ponto P (e portanto do vetor v = −→
OP) no espaço como
DM-UFSCar
P = (x, y, z) = (x, 0, 0) + (0, y, 0) + (0, 0, z),
onde novamente verificamos a operação natural de soma de coordenadas.
Assim temos a correspondência v ←→ P ←→ (x, y, z) entre vetores no espaço e
ternas ordenadas de números reais.
y
74

Exercícios
1. Represente geometricamente o vetor v = (2, 3, −3) num sistema cartesiano. Dado
A = (1, −1, 0) encontre B tal que B = A + v.
2. Sejam os pontos A = (1, 2, −3) e B = (2, 3, 0). Represente geometricamente o
vetor v = −→
AB num sistema cartesiano, a partir da origem. Dado P = (5, −1, 0)
encontre Q tal que Q = P + v.
3. Sejam o A = (1, 2, −3) e os vetores v1 = (3, 4, 1), v2 = (−2, 1, 0). Obtenha os
pontos B = A + v1, C = B + v2 e D = A + v2. Observe que ABCD é um
paralelogramo.
Observação: Todas as considerações feitas para vetores no plano são válidas para vetores
no espaço, e não vamos repetir aqui.
Podemos generalizar os cálculos e figuras obtidas no caso plano do Octave para o
espaço. A versão espacial do plot(X,Y) é o plot3(X,Y,Z).
A = [1 2 -3]
v1 = [3,4,1] %
v2 = [-2,1,2]
B = A + v1
C = B + v2
D = A + v2
% Teste algumas igualdades:
Exemplo no Octave
DM-UFSCar
A + (v1+v2) % = C
D + v1 % = C
B - A % = v1
% Para desenhar o segmento AB:
75

plot3([A(1) B(1)], [A(2) B(2)], [A(3) B(3)])
% Para desenhar o tri^angulo ABC (ABCA, para fechar
plot3([A(1) B(1) C(1) A(1)], [A(2) B(2) C(2) A(2)],
% Para desenhar outra figura junto com a atual:
hold on
[A(3) B(3) C(3) A(3)])
% Para desenhar ABCD, usando matrizes para generalizar
M = [A;B;C;D;A] % M = matriz cujas linhas s~ao A,B,C,D,A
X = M(:,1) % X = lista contendo A(1),B(1),C(1),D(1),A(1)
Y = M(:,2) % Y contendo as segundas coordenadas
Z = M(:,3) % Z contendo as terceiras coordenadas
plot3(xx,yy,zz) % desenho de ABCD (um paralelogramo)
...
Observamos que o software GeoGebra a que referimos trabalha no plano (o GeoGe-
bra3D está em desenvolvimento pelo mesmo autor). Mas podemos construir uma visão
tridimensional, projetando o espaço no plano. Existem muitos tipos de projeções do plano
no espaço, mas vamos trabalhar aqui com um exemplo tecnicamente bastante simples
chamada Perspectiva Cavaleira, que é muito utilizada em sala de aula.
Veja o desenho de um cubo nesta per-
pectiva de aresta 3, tendo 3 faces nos planos
coordenados:
k
j
O
i
DM-UFSCar
Nas atividades abaixo, vamos recordar os conceitos da definição do sistema de coor-
76

denadas cartesianas no espaço.
Atividades com GeoGebra (5):Construção de uma representação 3D
do ponto P = (px, py, pz)
• Vamos escolher a origem do espaço O = (0, 0, 0) e desenhá-lo na origem do sistema
plano do Geogebra:
Entre com o comando “O=(0,0)”. Selecione fixar objeto, para aproveitar os eixos.
• Vamos determinar os eixos coordenados Ox, Oy e Oz a partir do ponto O escolhido,
determinando primeiro a posição dos vetores ı = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) e k =
(0, 0, 1) na projeção 2D. Para o desenho ficar próximo da representação do professor
na sala de aula, sugerimos as seguintes entradas no Campo de Entrada:
“j=(1,0)” para desenhar j sobre o eixo das abscissas da Área de Trabalho,
“k=(0,1)” para desenhar k sobre o eixo das ordenadas da Área de Trabalho,
“i=(-.5,-.5)” para desenhar ı (uma sugestão, para a perspectiva).
• Vamos desenhar também o ponto I = (1, 0, 0) nessa representação, digitando
“I=O+i”.
O ponto I será utilizado para desenhar a reta por O e I, simulando o eixo Ox do
espaço, a seguir:
• Selecione (reta por dois pontos) e clique sobre O e I. Este será o eixo Ox.
• Vamos acrescentar alguns pontos a mais de referência no eixo Ox, escrevendo no
DM-UFSCar
Campo de Entrada: “I 2=O+2*i” para desenhar I2 = (2, 0, 0) sobre o eixo Ox,
“I 3=O+3*i” para desenhar I3 = (3, 0, 0),
“I 4=O+4*i” para desenhar I4 = (4, 0, 0), e assim por diante (aqui, estamos adi-
antando que n ∗ (1, 0, 0) = (n, 0, 0), da multiplicação de vetor por escalar).
77

Para que estes pontos não chamem muita atenção, diminua o tamanho do círculo,
entrando em suas Propriedades, Estilo e selecionando um Tamanho menor.
• Vamos considerar um ponto P = (px, py, pz) = (2, 3, 4). Entramos no GeoGebra
as coordenadas, separadamente, para construir o ponto. Se não quiser utilizar a
geometria dinâmica, para alteração posterior do ponto via mouse, basta digitar no
Campo de Entrada: “px= 2”, “py= 3” e “pz= 4”.
Para aproveitar a dinâmica, utilize a ferramenta (Seletor), posicionando o
seletor num local de sua preferência. Renomeie o seletor para px, para escolher com
o mouse a coordenada px. O mesmo para py e pz. Nas propriedades do seletor,
pode-se escolher a variação, o passo da variação, entre outras coisas.
• Agora vamos desenhar as projeções de P nos eixos coordenados, Px = (px, 0, 0),
Py = (0, py, 0), Pz = (0, 0, pz), digitando:
“Px= O + px*i”, “Py= O + py*j” e “Pz= O + pz*k”. (aqui também adian-
tamos a multiplicação de vetor por escalar, em casos especiais: px ∗ (1, 0, 0) =
(px, 0, 0), py ∗(0, 1, 0) = (0, py, 0) e pz ∗(0, 0, 1) = (0, 0, pz), para px, py, pz ∈ R).
• Agora, as projeções Pxy, Pyz e Pxz de P nos planos coordenados Oxy, Oyz e
Oxz, respectivamente:
“Pxy= Px + py*j”, “Pyz= Py + pz*k” e “Pxz= Px + pz*k”.
Exercício: Descubra outras maneiras de definir estes mesmos pontos.
• E finalmente, o ponto P: “P= Pxy+pz*k”.
Exercício: Experimente “P= O + (px*i+py*j+pz*k)”, “P= Pyz + px*i”, ...
DM-UFSCar
• Para melhorar a visualização espacial, vamos desenhar as arestas do paralelepípedo
que tem −→
OP na diagonal, com opção de linha tracejada:
Para cada segmento, selecione a ferramenta (Segmento definido por dois
78

pontos) e clique nas extremidades. Isto criará um segmento em linha cheia, com
rótulo. Altere as propriedades de um dos segmentos, de forma desejada. A alteração
dos outros segmentos pode ser feita em série, utilizando a ferramenta (Copiar
estilo visual).
Com mais algumas alterações, obtemos:
Este processo de se criar uma “caixa” para cada ponto P = (x, y, z) pode ser trans-
formada numa “macro” ou ferramenta.
Observe que estamos utilizando transformações do espaço no plano, em que retas são
levadas em retas, mantendo-se as proporções entre seus segmentos, isto é, dois segmentos
AB e CD sobre uma reta r são levados em dois segmentos A ′ B ′ e C ′ D ′ de uma reta r ′ ,
DM-UFSCar
sendo que a proporção entre AB e CD é a mesma entre A ′ B ′ e C ′ D ′ . Eventualmente
uma reta pode se degenerar num ponto. Além disso, esta transformação preserva as
grandezas de figuras paralelas ao plano Oyz, incluindo ângulos.
• Continuando, o vetor v = −→
OP definido por P, tem as mesmas coordenadas do
79

ponto P = (2, 3, 4). Para desenhar o vetor v, tendo-se O e P podemos escrever
“v=Vetor(O,P)”, ou utilizar a ferramenta Vetor definido por 2 pontos.
• Escolha mais um ponto, A = (3, 4, −2), por exemplo. Desenhe a caixa do ponto
A, como no ponto P.
Lembre-se: Ax = O + 3ı, Ay = O + 4j e Az = O − 2 k, Axy = Ax + 4j, ...
• Encontre a caixa do ponto B, tal que −→
AB = v. Quais as coordenadas de B no
espaço?
x
i
z
k
O
j
v
P
2.2.3 Adição de vetores
A
v ′
DM-UFSCar
Na definição de sistemas de coordenadas, tanto no plano como no espaço, já começamos
a trabalhar com somas de vetores para alguns casos especiais, como v = −→
OP = −−→
OP ′ + −−→
OP ′′
no caso plano, onde O é a origem do sistema de coordenadas, e P ′ , P ′′ as projeções de P
nos eixos Ox e Oy, respectivamente. Vamos agora à definição geral de adição de vetores.
B
y
80

A adição de vetores v e w é representada geometricamente da seguinte forma:
v
w
A
v
w
DM-UFSCar
B
v + w
se v = −→
AB e w = −→
AC então v + w = −→
AD, onde AD é a diagonal do paralelogramo
ABDC.
É a regra do paralelogramo.
Observe que −→
AD = −→
AB + −→
AC = −→
AB + −−→
BD e também que D = A + (v + w).
Em coordenadas do plano, suponha que v = (a, b), w = (c, d) e A = (x, y). Então
B = (x+a, y +b) e D = B + w = ((x+a)+c, (y +b)+d) = (x+(a+c), y +(b+d)),
donde concluímos que v + w = D − A = (a + c, b + d).
Assim, v + w = (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d).
No espaço, temos analogamente que (a, b, c) + (d, e, f) = (a + d, b + e, c + f).
v = [1 2 3]
w = [-2 3 1]
v
Exemplo no Octave
v + w % ans = [-1 5 4]
z = [3 -4] + [0 1] % z = [3 -3]
...
Exercício 1: Dados v = (4, 3) e w = (−5, 6) encontre v+ w e represente-o no sistema
cartesiano. Dado A = (10, 2), encontre os vértices B, C e D do paralelogramo tal que
−→
AB = v, −→
AC = w e −→
AD = v + w. Represente graficamente no sistema cartesiano.
Solução: Temos v + w = (4, 3) + (−5, 6) = (4 − 5, 3 + 6) = (−1, 9). Agora, dado
A = (1, 1), como −→
AB = v, temos que B = A + v = (10, 2) + (4, 3) = (14, 5); como
−→
AC = w, temos que C = A + w = (10, 2) + (−5, 6) = (5, 8); e como −→
AD = v + w,
w
C
D
v+w
81

D = A+v+ w = (10, 2)+(−1, 9) = (9, 11). Veja as representações no plano cartesiano,
dos vetores na origem e do paralelogramo ABCD, obtidas no GeoGebra.
−6
Q
w
−4
−2
12
10
R
8
6
4
2
−2
Vetor nulo e vetor oposto:
v
2 4 6 8 10 12 14 16
Um ponto representa um segmento que possui as extremidades coincidentes.
C
P
DM-UFSCar
w ′
D
A
v ′
B
82
É claro
que tal “segmento”possui comprimento nulo e não possui direção definida. Dizemos que
o ponto representa o vetor nulo e denotamos por 0.
No plano, quando um sistema cartesiano S = {O, x, y} está fixado, a origem O é o
representante natural do vetor nulo 0 que possui portanto coordenadas (0, 0). Se P =
(x, y) é um ponto qualquer, o vetor nulo com origem em P é dado por 0 = −→
PP = P −P,
pois a extremidade coincide com o próprio P.
Logo 0 = (0, 0) = (x, y) − (x, y) = (x, y) + (−x, −y).
Analogamente, temos 0 = (0, 0, 0) no espaço.
O ponto ¯ P = (−x, −y) é o simétrico de P = (x, y) em relação a O = (0, 0) no plano
e determina o vetor −v = −→
O ¯ P, que satisfaz v + (−v) = 0. Este vetor, −v, é chamado

oposto de v = (x, y). Analogamente, se v = (x, y, z) no espaço, −v = −(x, y, z) =
(−x, −y, −z) é o seu oposto.
¯P
−v
k
O
i
v
j
O vetor v e seu oposto se relacionam da seguinte forma:
0 = −→
OP + −→
PO = −→
OP + −→
O ¯ P
= v + −→
PO = v +(−v)
P
0 = (0, 0, 0)
v = (2, 3, 4)
−v = (−2, −3, −4)
Além disso, dados dois pontos A e B, se v = B − A então −v = A − B. Ou seja,
−(B − A) = A − B. Também utilizamos a notação v + (−w) = v − w.
oposto, no plano
Atividades com GeoGebra (6): Adição de vetores, vetor nulo e vetor
DM-UFSCar
• Escolha dois pontos A e B quaiquer. Use a Barra de Ferramentas ou a Campo de
Entrada.
• No Campo de Entrada, digite “v = B-A” para obter v = B −A, desenhado a partir
83

da origem.
• Obtenha u = −v desenhado a partir da origem, digitando u = −v.
• Selecione a ferramenta Vetor definido por 2 pontos e clique primeiro em B e depois
em A. O que aparece na Janela de
definir? Compare com u.
DM-UFSCar
84
Álgebra com o nome do vetor que acaba de
• Escolha mais um ponto P e outro vetor w. Desenhe v + w e v − w = v + (−w) a
partir da origem.
• Obtenha os pontos Q = P + v, R = P + w e S = P + (v + w), digitando no
Campo de Entrada: “Q=P+v”, “R = P+w” e “S=P+v+w”, respectivamente. Quais
são as outras maneiras de obter os mesmos pontos?
• Obtenha v − w com os pontos P, Q, R e S.
• Trace as retas r = r(P, Q) e s = r(P, R). Agora, selecione a ferramenta
(reta paralela) e clique em R e r para obter a reta que passa por R e é paralela a
r. Renomeie-a como r ′ . Analogamente, desenhe a reta s ′ por Q e paralela a s.
• Comprove que S está na intersecção de r ′ e s ′ , donde se conclui que PQSR é um
paralelogramo.
• Altere os objetos independentes com o mouse e veja que as propriedades das cons-
truções se mantém, exceto quando v e w ficam alinhados e o paralelogramo se
degenera.
Exercícios
1. Considere uma sequência de pontos, P1, P2, ..., Pn. Sejam v1 = −−−→
P1, P2, v2 =
−−−→
P2, P3, ..., vn = −−−→
Pn, P1. Qual o resultado da soma v1 +v2 + · · · +vn? (Resp: 0)

2. Considere vetores v1, v2, ..., vn. Obtenha w tal que w +v1 +v2 + · · · +vn = 0.
(Resp: −(v1 + v2 + · · · + vn) = −v1 − v2 − · · · − vn)
3. Sejam A = (1, 2, −3), B = (3, −2, 0) e C = (−2, 5, 3). Obtenha o vértice D do
paralelogramo ABDC. Determine os vetores com as direções das diagonais do
paralelogramo.
2.2.4 Módulo de um vetor
Por definição, módulo de um vetor v, denotado por |v| ou ||v||, é o comprimento
de um segmento orientado −→
AB que o representa. Logo, ||v|| ≥ 0 e ||v|| = 0 quando e
somente quando v = 0.
Em coordenadas,
• Se v = (a, b) então ||v|| = √ a 2 + b 2 (no plano) e se v = (a, b, c) então ||v|| =
√ a 2 + b 2 + c 2 (no espaço), pelo Teorema de Pitágoras.
O
y z
v
a
• P
||v|| = || −→
OP|| = √ a 2 + b 2
b
x
DM-UFSCar
O
v
√ a 2 + b 2
•P
c
y
85
• ¯P
x
||v|| = || −→
O ¯ P|| 2 + || −→
¯PP || 2 = (a2 + b2 ) + c2 • Se v = −→
AB, A = (x1, y1, z1) e B = (x2, y2, z2), então temos que v = B − A =
(x2, y2, z2) − (x1, y1, z1) = (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1).
Logo, ||v|| = (x2 − x1) 2 + (y2 − y1) 2 + (z2 − z1) 2 .

• Um vetor v é unitário se sua norma é 1.
• O versor de um vetor v é um vetor u unitário, na direção e sentido de v.
Um pouco de Octave] ...
v=[1 2 3] % definindo o vetor v
norm(v) % = norm(v,2) norma euclidiana ou módulo de v
norm(v,inf) % máximo dos valores absolutos da coordenadas
Exercícios:
1. Calcule o módulo do vetor determinado por −→
AB quando A = (2, 7) e B =
(−5, −1). O vetor é unitário?
2. Encontre os valores de a tal que o vetor −→
AB tenha módulo 3, sendo A = (2a, 0, 3)
e B = (1, a, −1).
3. Encontre a projeção ortogonal ¯ P do ponto P = (4, −3, 1) no plano Oxy e calcule
o módulo do vetor −→
O ¯ P. Resp: (4, −3, 0), 5
2.2.5 Multiplicação de um vetor por um escalar
Dado um vetor v e um escalar λ ∈ R, o vetor λv é definido como:
• λv = 0 se λ = 0 ou v = 0.
• caso ⎧ contrário, λv é um vetor com:
||λv|| = |λ| ||v||
⎪⎨ mesma direção de v
⎪⎩ sentido oposto de v se λ < 0
DM-UFSCar
mesmo sentido de v se λ > 0
v
λv (λ > 0)
λv (λ < 0)
86

Geometricamente, se v = −→
AB e λ é não nulo, então λv é representado por −→
AC tal
que || −→
AC|| = |λ||| −→
AB||. Os pontos A, B e C são colineares e o sentido do novo vetor
depende do sinal de λ.
É claro que 1 · v = v e (−1) · v = −v.
D
Em coordenadas:
•
A
• No plano com S = {O, x, y},
se v = (a, b) então
v
λv = λ(a, b) = (λa, λb),
para λ ∈ R.
B
C
λv
λ > 0
•
λa
v
DM-UFSCar
•
a
y
µb
87
−→ −→
AC = λAB com λ > 0
−→
AD = µ −→
AB com µ < 0
λb
b
µa
x
•µv,
µ < 0
• No espaço com S = {O, x, y, z}, se v = (a, b, c) então λv = λ(a, b, c) =
(λa, λb, λc), λ ∈ R.

ℓb
u = −→
OP = (a, b, c)
R
x
w
a
λa
z
λc
c
O
ℓa
ℓc
DM-UFSCar
u
P
Q
v
b λb
v = −→
OQ = λu, λ > 0
w = −→
OR = ℓu, ℓ < 0
Definimos o versor de um vetor não nulo v como sendo um vetor u unitário, na direção
e sentido de v.
Logo o versor de vetor v é u = 1
1 1
v. De fato, ||u|| = || v|| = | | · ||v|| = 1 e,
||v|| ||v|| ||v||
> 0, a direção e sentido de u e v são iguais.
como u = λv com λ = 1
||v||
Assim, para se obter um vetor w de norma X na direção e sentido de v, basta fazer
w = X versor(v). Por exemplo, seja v = (1, 3, −2) e X = 100. Então versor(v) =
1 (1, 3, −2) = ( √1 , √14 3 , ||(1,3,−2)|| 14 −2 √ ) e portanto, o vetor procurado é w = (
14 100 √ ,
14 300 √ ,
14 −200 √ ).
14
Exercícios:
1. Dado v = (2, 3, 1) encontre −3v e represente os vetores no sistema cartesiano.
2. Dados v = (−1, 5) e o ponto A = (3, 1), encontre o ponto B = A + 2v e
represente o vetor −→
AB = 2v no sistema cartesiano.
3. Obtenha um vetor w de norma 1375 na direção e sentido do vetor v = (1, −4, 3).
Obtenha também o vetor a de mesma norma que w, paralela a v, mas no sentido
contrário.
y
88

4. Considere dois pontos A e B, distintos. Faça uma figura representando A, B,
C, D e E, onde C = A + 1
1
A+B
(B − A), D = A + (B − A) e E = . Aqui,
2 3 3
A + B representa O + (A − O) + (B − O) (com abuso de linguagem, como se
usa em GeoGebra e Octave, mas que a correspondência P = (x, y) ←→ P − O
permite).
5. Divida o segmento AB em 10 partes iguais (AB = AP1 ∪ P1P2 ∪ . . .P9B).
Escreva os pontos Pi definidos por essa divisão, em termos de A e −→
AB. Por
exemplo, o primeiro ponto mais próximo de A é P1 = A + 1/10 ∗ (B − A).
6. Ainda com dois pontos A e B distintos, o que representa geometricamente o
conjunto dos pontos { P = A + λ(B − A) | 0 ≤ λ ≤ 1 }? Resp: o segmento AB
7. Encontre uma definição como a do ítem anterior (usando A e B − A) que
descreva a semirreta definida na reta r(A, B), com origem em A e contendo B.
Defina também a semirreta oposta, com origem em A e não contendo B. (No
GeoGebra, esta semirreta pode ser construída utilizando a ferramenta
(semirreta definida por 2 pontos)).
8. Considere agora um ponto A = (1, 1, 1) e dois vetores v = (0, −1, 3) e w =
(5, −1, 3). Obtenha os vértices do paralelogramo ABCD, com B − A = v e
D − A = w. Depois, encontre o ponto médio da diagonal AC e o ponto médio
da diagonal BD. Coincidem!
9. Considere no plano R 2 os vetores u da forma (cos θ, sen θ), onde θ é um número
real representando o ângulo entre u e o eixo Ox. Mostre que os vetores são
DM-UFSCar
unitários. Dado um vetor qualquer v = (a, b), escreva v como múltiplo de
(cosθ, sen θ) (qual o ângulo θ? qual o fator de multiplicação?). Explicite as
contas para v = (3, 4).
89

v = [1 2 3]
w = [5 -1 3]
Um pouco de Octave
pi*v % ans = 3.1416 6.2832 9.4248
-5*w % ans = 3.1416 6.2832 9.4248
a = pi*v - 5*w % a = -21.8584 11.2832 -5.57
u = 1/norm(a)*a % u = versor de a
b = 10*u % vetor de norma 10 na direç~ao e sentido de a
% Agora vamos construir o segmento AB,
% utilizando 11 pontos igualmente espaçados
A = [2 -3 4]; B = [2,3,-1];
t = linspace(0,1,11) % t = 0 .1 .2 ... .9 1
x = A(1)+t*(B(1)-A(1)); % lista das coordenadas x
y = A(2)+t*(B(2)-A(2)); % lista das coordenadas y
z = A(3)+t*(B(3)-A(3)); % lista das coordenadas z
plot3(x,y,z) % curva poligonal ligando os 11 pontos
% que é o mesmo que ...
% = segmento AB
A = [2 -3 4]; B = [2,3,-1];
t = linspace(0,1,11) % t = 0 .1 .2 ... .9 1
M = ones(size(t))’ * A + t’ * (B-A) % Que matriz é essa?
x = M(:,1); y = M(:,2); z=M(:,3);
plot3(x,y,z) % ???
DM-UFSCar
...
90

2.2.6 Propriedades da adição e da multiplicação por escalar
As operações de adição de vetores e multiplicação de vetor por escalar de um determi-
nado conjunto de vetores (vetores no plano ou vetores no espaço) satisfazem as seguintes
propriedades:
1. v + w = w + v, para quaisquer vetores v e w. (propriedade comutativa).
Visualização geométrica: Considere v = −→
AB e w = −→
AC.
v
B
w
D
v
A
w
v + w
C
A
DM-UFSCar
w
B
w + v
Pela regra do paralelogramo, como −−→
BD = −→
AC = w, segue que −→ −→ −−→
AD = AB+ BD =
v + w.
Por outro lado, temos também que −→
AC + −→ −→ −→ −→
CD = AD, onde AC = w e CD = v.
Logo, −→
AD = v + w = w + v.
Em coordenadas: Se v = (x1, y1) e w = (x2, y2) são dois vetores no plano, então
v + w = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) (⋆)
= (x2 + x1, y2 + y1) = w + w,
onde em (⋆) utilizamos a propriedade comutativa da soma de números reais. Para
dois vetores no espaço, é análogo e fica como exercício.
2. (v + w) +t = v + (w +t ), para quaisquer vetores v, w e t (propriedade associati-
va).
Geometricamente, podemos interpretar esta propriedade na seguinte figura:
C
v
91
D

t
v
w
v + w
w +t
t
w +t
v t
(v + w) +t
= v + (w +t)
v + w
Use a regra do paralelogramo para a adição de vetores e verifique a propriedade
associativa.
Em coordenadas, faça como exercício, lembrando que o argumento essencial é a
propriedade associativa da adição dos números reais.
3. Para todo vetor v vale 0 + v = v +0 = v (propriedade da existência do elemento
neutro)
v
•
A = A +0
•B
Considere v = −→
AB. Como A = A +0 e B = B +0,
temos que B = A+v = (A+0)+v donde v = 0+v.
Analogamente, A + v = B = B +0 = A + v +0 e
portanto, v +0 = v.
4. Para todo vetor v, existe o elemento oposto denotado por −v que satisfaz v + (−v) = 0.
Se v = −→
AB, o vetor representado por −→
BA é o elemento oposto.
5. Para quaisquer números reais a, b e qualquer vetor v vale a(bv) = b(av) = (ab)v.
Veja a ilustração geométrica quando a = −2 e b = 3, com v = −→
AB.
•
E
•
D
v
• •
A B
•
C −→
AC = 3v, −→
AD = −2v
−→
AE = −2(3v) = 3(−2v) = (3 × (−2))v.
DM-UFSCar
Prove esta propriedade usando coordenadas, como exercício.
6. Para quaisquer números reais a e b e qualquer vetor v, vale a propriedade distributiva
92

em relação à soma de números reais: (a + b)v = av + bv.
Justifique esta propriedade usando coordenadas.
7. Para qualquer número real a equaisquer vetores v e w, vale a propriedade distributiva
em relação à adição de vetores: a(v + w) = av + aw.
v
B
F
v + w
D
✔ ✔✔✔✔
✔ ✔✔✔✔✔✔✔✔✔
A w C E
Ilustração geométrica para a = 2, dados v = −→
AB e w = −→
AC.
−→
AD = v + w
−→
AG = 2(v + w) = −→
AF + −→
AE
= 2v + 2w.
Em coordenadas, fica como exercício.
8. Dado qualquer vetor v e o número real 1 vale que 1v = v.
O conjunto de vetores do plano (e do espaço) representados por segmentos orienta-
dos equipolentes possui, portanto, as operações de adição e multiplicaçao por escalar,
satisfazendo as 8 propriedades acima.
Quando fixamos um sistema de referencial cartesiano S = {O, x, y} no plano, temos
DM-UFSCar
a correspondência v ←→ (x, y) entre vetores e pares ordenados de números reais, tal que
R 2 = { (x, y) | x, y ∈ R } fica munido de operações de adição e multiplicação por escalar
com as 8 propriedades acima.
G
93

Analogamente, quando fixamos um referencial cartesiano S = {O, x, y, z} no espaço,
temos a correspondência v ←→ (x, y, z) tal que R 3 = { (x, y, z) | x, y, z ∈ R } fica
munido de operações de adição e multiplicação por escalar com as 8 propriedades acima.
As propriedades das operações com vetores podem ser aplicadas para demonstrar
outras propriedades algébricas e muitos resultados geométricos clássicos através de vetores.
Vejamos alguns exemplos:
Exemplos e exercícios:
1. Mostre, sem usar coordenadas, que o vetor nulo é único..
Seja −→ U tal que v + −→ U = v, para qualquer v (propriedade que caracteriza o vetor
nulo).
Então, −→ U = −→ U +0 = 0 + −→ U = 0.
A primeira igualdade é da propriedade de 0, a segunda, da comutatividade, e a
terceira, da propriedade exigida de −→ U .
2. Mostre, sem coordenadas, a lei do concelamento: u + v = u + w ⇒ v = w.
De fato, v = v +0 = v + (u − u) = (u + v) − u = · · · = w.
Complete a demonstração e indique quais propriedades foram utilizadas.
3. Seja ABC um triângulo. Sejam M e N os pontos médios dos lados AC e BC,
respectivamente.
Então MN é um segmento paralelo a AB, cujo comprimento é a sua metade.
C
M
DM-UFSCar
−−→
MN = 1 −→
AB
2
N
A B
Observe que a tese é equivalente a
−−→
MN = 1−→
AB em linguagem veto-
rial.
2
94

Temos que −−→
AM = 1−→
AC = 2
−−→
MC e que −−→
CN = 1 −→
CB = 2
−−→
NB.
Logo, −−→
MN = −−→
MC + −−→
CN = 1−→
AC + 2
1 −→
CB 2
(∗7)
= 1
2 (−→ AC + −→ 1−→
CB) = AB. ((∗7) se
2
refere à propriedade (7))
4. Dado um triângulo ABC, seja o triângulo XY C com X no lado AC, Y no lado
BC, de forma que XC e Y C estão para AC e BC, respectivamente, como 1
está para n. Então, o lado XY mantém a mesma proporção para o lado AB.
Exercício: Faça um esboço da situação e demostrar o resultado.
5. A diagonais de um paralelogramo se interceptam no ponto médio de cada um.
Seja um paralelogramo ABCD. Sejam u = −→
AB e v = −→
AD. Então as diagonais
são AC e BD, que determinam vetores −→
AC = u + v e −−→
BD = v − u. O ponto
médio M de AC é dado por M = A + 1−→
AC = A + 2
1(u
+ v) , e o ponto médio
2
N de BD é N = B + 1−−→
BD = B + 1
(v − u). Como B = A + u, temos que
2
N = (A+u)+ 1
1
1 1 1
(v −u) = A+(u+ (v −u)) = A+(u+ v − u) = A+
2
2
2
DM-UFSCar
2
2
2
95
1 u+ v = 2
A + 1
(u + v) = M. Como exercício, aponte as propriedades utilizadas. E claro,
2
faça um esboço.
6. As medianas de um triângulo se encontram num ponto que divide cada mediana
em dois segmentos com proporção 1:2.
Seja um triângulo ABC e sejam Ma, Mb e Mc os pontos médios dos lados opostos
a A, B e C, respectivamente, determinando as medianas AMa, BMb e CMc.
Seja Oa = A+ 2
3 (Ma −A) que divide a mediana AMa nos segmentos AOa e OaMa
na proporção de 2 para 1. Vamos mostrar que Oa coincide com Ob = B+ 2
3 (Mb−B)
definido sobre a mediana BMb. De forma análoga, Oa = Oc (exercício).
De fato, Ob = B+ 2
A) = B + 2
A + 1
3
3 (1
2
(B − A) + 1
3
3 (Mb−B) = B+ 2
3 ((Mb−A)−(B−A)) = B+ 2 2 (Mb−A)− 3 3 (B−
2
2
(C −A)) − (B −A) = (A+(B −A))+
3
(C − A) = 1
3
(B − A) + 1
3
3 (1
2
2 (C −A)) − (B −A) =
2
((C − B) + (B − A)) = A + (B − 3
A)+ 1
2 1
(C −B) = A+ (B −A)+ 3 3 3 (2(Ma −B)) = A+ 2
3 ((B −A)+(Ma −B)) =
3

A+ 2
3 (Ma −A) = Oa. Quais foram as propriedades utilizadas? Experimente outras
formas!
7. O ponto G de encontro das medianas é o baricentro do triângulo ABC. Mostre
que G = 1
(A + B + C) (identificando ponto com vetor).
3
2.3 Dependência e independência linear, equações
vetoriais da reta e do plano
Consideremos agora um vetor não nulo v e um segmento orientado v = −→
AB. Os
múltiplos w = λv possuem a mesma direção de v, se λ = 0. Portanto, se w = λv = −→
AC,
os pontos A, B e C estarão situados sobre a mesma reta r(A, B) que passa por A e B.
Lembramos que o ponto A estará entre B e C ou não, conforme λ < 0 ou λ > 0.
•
D A B C
−→
AD = µ −→
AB, µ < 0
r(A, B)
−→
AC = λ −→
AB, λ > 0
Dizemos que A, B e C são colineares e que os vetores v e w são paralelos (por
possuirem a mesma direção ou que são linearmente dependentes (abreviadamente, l.d.)
Variando o valor de λ podemos percorrer todos os pontos da reta r(A, B).
Observamos agora que se X é um ponto qualquer da reta r(A, B), o segmento orientado
−−→
AX representa o vetor w que possui a mesma direção de v = −→
AB. Logo, −−→
AX = λ −→
AB
DM-UFSCar
para algum número real λ. Isto quer dizer que o ponto X da reta r(A, B) fica determinado
de maneira única por um parâmetro real λ.
Assim, temos a equação vetorial da reta que passa por A e tem a direção do vetor
96

v = −→
AB:
r : X = A + λv, λ ∈ R, v = 0
Em coordenadas no plano: se A = (x0, y0) e v = (a, b) = (0, 0), então temos a
equação
r : (x, y) = (x0, y0) + λ(a, b), λ ∈ R,
⎧
⎪⎨ x = z0 + λa
donde X = (x, y) é um ponto da reta r(A,v) se
⎪⎩ y = y0 + λb
A ilustração da reta a passando pelo ponto
A = (3, 4) e com direção dada pelo vetor
v = (−1, 2) foi obtida no GeoGebra, usando
a ferramenta (reta paralela) e cli-
cando sobre o ponto e o vetor, previamente
definidos:
a y
12
−2
2
v
, λ ∈ R.
DM-UFSCar
10
8
6
4
X = A + λv
A′ = A + v
A
2 4 6
Atividades com GeoGebra (7): Vamos construir uma planilha, onde
dados o ponto A e o vetor v, o ponto P = A + tv percorre a reta definida por A e v,
dinamicamente.
• Defina o ponto A e o vetor v, usando as ferramentas ou comandos. Por exemplo,
digitando no Campo de Entrada: “A=(3,1)” e “v=(-2,3)”.
• Desenhe a reta por A e com direção de v como na ilustração acima, ou, através do
comando “r = Reta[A,v]”.
x
97

• Na Barra de Ferramentas, selecione a ferramenta (seletor) e clique numa
posição da Área de Trabalho para posicionar o seletor. Renomeie o seletor para t.
• Vamos definir um ponto P, usando a parametrização da reta. No Campo de En-
trada, digite:
“P = (x(A)+t*x(v), y(A)+t*y(v))”, ou simplesmente, “P = A + t*v”.
Lembramos que x(A), y(A) e x(v), y(v) representam as coordenadas do ponto
A e do vetor v, respectivamente.
• Defina o vetor w = P − A, pelas ferramentas ou por comando, desenhando-o pela
origem.
• Agora experimente movimentar o seletor t. O ponto P(t) acompanhará a variação,
movendo-se sobre a reta. O vetor w também acompanha a variação, mas mantendo-
se alinhado com v. As coordenadas do ponto P aparecem na Janela de Álgebra.
• Para obter P para valores específicos, por exemplo, t = −2, digite no Campo de
Entrada:“t=-2”.
Obs: Por omissão, o seletor é definido no intervalo [−5, 5]. Ou seja, esse intervalo é
onde t pode variar. Digitando um valor maior, será utilizado t = 5, que é o máximo
possível estabelecido pelo seletor. Você pode alterar esse intervalo, modificando as
propriedades do seletor.
• Experimente trocar o vetor v e o ponto A (com o mouse, por exemplo) e repita a
experiência de movimentar o seletor.
DM-UFSCar
Analogamente, para uma reta no espaço que passa por dois pontos distintos A =
(x0, y0, z0) e B = (x1, y1, z1), temos que o vetor direção é dado pot v = B − A =
(x1 − x0, y1 − y0, z1 − z0) = (0, 0, 0). Então, a equação da reta r(A, B) é dada por
r : (x, y, z) = (x0, y0, z0) + λ(x1 − x0, y1 − y0, z1 − z0), λ ∈ R,
98

⎧
x = x0 + λ(x1 − x0)
⎪⎨
donde y = y0 + λ(y1 − y0)
r
v
⎪⎩ z = z0 + λ(z1 − z0)
x
v
z
O
, λ ∈ R.
A
Reta por A e v, no Octave
y
Ilustração da reta r de-
terminada por
A = (1, 3, 4)
DM-UFSCar
e
v = (3, −2, 1),
obtida no GeoGebra,
utilizando perspectiva
cavaleira.
A = [2 -3 4]; v = [2,3,-1]; % ponto e vetor dados
t = linspace(-5,5,51) % lista de 51 t’s de -5 a 5
x = A(1)+t*v(1); % lista das coordenadas x
y = A(2)+t*v(2); % lista das coordenadas y
z = A(3)+t*v(3); % lista das coordenadas z
plot3(x,y,z) % curva poligonal ligando os 51 pontos
% = segmento de P=A-5v até Q=A+5v
...
Dada uma reta de equação vetorial r : X = A + λv, λ ∈ R, v = 0, se P é um
ponto fora de r podemos considerar a reta s que passa pot P e tem a direção dada por
v, s : X = P + tv, t ∈ R.
99

Geometricamente, s é uma reta paralela a r, que passa por P e não possui pontos em
comum com r.
v
• A
v
Se duas retas r e s com mesma direção de v = 0 possuirem um ponto em comum,
elas serão coincidentes.
Exemplos e exercícios
v
v
• •
A P
r = s
1. Dados A = (−1, 3) e v = (3, 7), verificar se P = (68, 164) pertence à reta que
passa por A e tem a direção de v.
A equação da reta é r : (x, y) = (−1, 3) + t(3, 7), t ∈ R.
O ponto P pertence à reta se for possível encontrar um parâmetro t de modo que
a equação vetorial (68, 164) = (−1, 3) + t(3, 7) seja satisfeita.
⎧
Logo, devemos ter (68, 164) = (−1 + 3t, 3 + 7t), donde
⎪⎨ 68 = −1 + 3t =⇒ t = 68+1 = 23
DM-UFSCar
⎪⎩ 164 = 3 + 7t =⇒ t = 164−3+1 = 23
3
7
O número real t = 23 satisfaz o sistema de equações acima, dada pela equação
vetorial. Portanto, P pertence à reta dada.
r
• P
v
100
s

Observamos que −→
AP = 23v, isto é, −→
AP e v são linearmente dependentes. Na
verdade, bastava mostrar esta condição diretamente, para concluir que P está na
reta.
É uma questão de interpretação: P ∈ r : X = A+tv se, e somente se, existe
t tal que P = A + tv ou, equivalentemente, existe t com P − A = tv.
2. Verificar que B = (3, 1) não pertence à reta r do exemplo anterior e obter a equação
vetorial da reta s que passa por B e é paralela a r.
Solução 1: Vamos verificar se existe um parâmetro λ que satisfaça a equação:
(3, 1) = (−1, 3) + λ(3, 7).
⎧
⎪⎨ 3 = −1 + 3λ =⇒ λ = 3−(−1) 4 =
⎪⎩ 1 = 3 + 7λ =⇒ λ = 1−3 −2 =
7
3
7
3
Contradição!
Como não existe um parâmetro λ da equação da reta r que corresponda a B, este
ponto não pertence à reta.
A equação s : (x, y) = (3, 1)+λ(3, 7), λ ∈ R é da reta que contém B e é paralela
à reta r, por possuir a mesma direção da reta r.
Solução 2 (para verificação de B /∈ r):
DM-UFSCar
101
É óbvio que B − A = (3, 1) − (−1, 3) =
(4, −2) não é paralelo ao vetor (3, 7) da reta, e portanto, B não pertence à reta. Se
pertencesse, B −A e (3, 7) deveriam ser paralelos. (Obs: Demonstrar que (4, −2) e
(3, 7) não são paralelos equivale a mostrar que não existe t tal que (4, −2) = t(3, 7),
que recai nos mesmos cálculos algébricos da solução 1. Mas o argumento geométrico
é igualmente importante.)
3. Verique se o ponto P = (20, 30) pertence à reta r que passa por A = (1, −2) e
B = (4, 7).
Lembramos que a direção da reta que passa por dois pontos A e B é v = B − A.
4. Verifique se os pontos A = (1, 0, 2), B = (−3, 4, 0) e C = (−1, 2, 1) são colineares
ou não.

Basta verificar se −→
AB e −→
AC são paralelos.
5. Invente outros pontos e retas e repita os exercícios acima.
Vimos portanto que a multiplicação de um vetor v = 0 por um escalar produz vetores
λv que com v formam um conjunto l.d.
Dizemos que dois (somente dois!) vetores v e w são linearmente independentes (l.i.)
se eles não são l.d., isto é, não é possível encontrar λ ∈ R que satisfaça w = λv ou
v = λw.
Como consequência imediata deste conceito, se v ou w for o vetor nulo, eles são l.d.
(se v = 0, por exemplo, v = 0.w.)
Consideremos então dois vetores não nulos v e w de modo que v e w não sejam l.d.
(logo, linearmente independentes — l.i.)
A).
Sejam v = −→
AB e w = −→
AC (representados por segmentos orientados com origem em
w
C
A v B
Os pontos A, B e C não são colineares
pois w = λv para qualquer λ ∈ R.
Então existe um plano π determinado por estes pontos.
✚
✚
✚
✚
✚
✚
✚
✚
✚
✚
✚
✚
✚
✚
✚
π
X
•
C
w •
•
• •
A v B X ′
X ′′
Um ponto X deste plano determina o vetor −−→
AX. Traçando por X a reta paralela à
DM-UFSCar
reta r(A, B), o ponto de encontro desta com a reta r(A, w) existe e será denotado por
102

X ′′ . Analogamente, traçando por X a reta paralela à reta r(A, C), esta encontra a reta
r(A,v) no ponto X ′ . Confira na figura.
Pela regra do paralelogramo, vemos que −−→
AX = −−→
AX ′ + −−→
AX ′′ . Como X ′ é um ponto
da reta r(A,v) e X ′′ é um ponto da reta r(A, w), existem escalares λ e µ que satisfazem
a equação vetorial
.
π : X = A + λv + µw, onde λ e µ são parâmetros reais.
Quando escrevemos −−→
AX = λv + µw, estamos dizendo que o vetor −−→
AX é uma
combinação linear (abreviadamente, c.l.) de v e w, com coeficientes λ e µ. Também
dizemos, por motivos óbvios, que −−→
AX é coplanar com v e w.
Em coordenadas, temos a seguinte situação: se A = (x0, y0, z0), v = (a, b, c), w =
(d, e, f) com {v, w} l.i., então X = (x, y, z) pertence ao plano que passa por A e tem a
direção dos vetores l.i. {v, w} quando −−→
AX = X − A é uma combinação linear de v e w,
isto é,
Dizemos que π :
(x, y, z) − (x0, y0, z0) = λ(a, b, c) + µ(d, e, f), para λ, µ ∈ R.
⎧
x = x0 + λa + µd
⎪⎨
y = y0 + λb + µe
⎪⎩ z = z0 + λc + µf
plano π, com parâmetros λ e µ.
Exemplos e exercícios
DM-UFSCar
103
, λ, µ ∈ R são as equações paramétricas do
• A equação vetorial do plano coordenado Oyz no espaço cartesiano pode ser dada
por X = (x, y, z) = (0, y, z) = (0, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 0, 1), y, z ∈ R,

x
ı
z
k pois o plano coordenado yz
O
j
• X
y
passa pela origem O = (0, 0, 0)
DM-UFSCar
104
e é gerado pelos vetores j = (0, 1, 0)
e k = (0, 0, 1).
Observe que as próprias coordenadas y e z são os parâmetros desta equação. Ob-
serve também que podemos escrever as equações paramétricas deste plano como:
⎧
x = 0
⎪⎨
y = 0 + 1y + 0z
⎪⎩ z = 0 + 0y + 1z
, y, z ∈ R.
Como exercício, descreva os demais planos coordenados de R 3 , os planos xy e xz.
• A equação de um plano que passa pelo ponto A = (1, 2, 0) e é paralelo ao plano
yz é portanto dada por:
π : X = A + λ(0, 1, 0) + µ(0, 0, 1), λ, µ ∈ R.
(x, y, z) = (1, 2, 0) + λ(0, 1, 0) + µ(0, 0, 1), λ, µ ∈ R.

10
9
8
7
6
5
4 1
x
ı
z
k
O
j
•
A
2
y
Parametricamente,
DM-UFSCar
⎧
x = 1
⎪⎨
y = 2 + λ
⎪⎩ z = µ
, y, z ∈ R.
• Mais geralmente, vamos apresentar um desenho de plano passando por um ponto
A = (x0, y0, z0) e direção dada pelos vetores v = (a1, b1, c1) e w = (a2, b2, c2), e
os comandos para sua obtenção, no Octave.
Veja as miniaturas das ilustrações do paralelogramo (x, y, z) = (3, −3, 4)+t (0, 2, 3)+
s (1, 2, 3), t, s ∈ [0, 1] geradas na sessão abaixo, com os comandos “mesh”, “meshz”
e “surf”, respectivamente.
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
-3 3
3.2
3.4
3.6
3.8
4
10
9
8
7
6
5
4 1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
-3 3
3.2
3.4
3.6
3.8
4
4 1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
-3 3
Sess~ao de Octave - Plano parametrizado
octave:2> A = [3,-3,4]; % ponto do plano
octave:3> v = [0,2,3]; w = [1,2,3]; % vetores do plano
octave:4> t = s = linspace(0,1,11); % t e s no intervalo [0,1]
10
9
8
7
6
5
3.2
3.4
3.6
3.8
4
105

octave:5> [tt,ss]=meshgrid(t,s); % help meshgrid para ajuda
octave:6> xx = A(1)+tt*v(1)+ss*w(1);
octave:7> yy = A(2)+tt*v(2)+ss*w(2);
octave:8> zz = A(3)+tt*v(3)+ss*w(3);
octave:9> mesh(xx,yy,zz) % criando a figura com mesh
octave:10> print(’plano-octave-mesh.eps’,’-deps’)
% salvando a figura no arquivo e formato dados.
% Pode-se utilizar também PNG
octave:11> meshz(xx,yy,zz) % criando figura com meshz
octave:12> surf(xx,yy,zz) % criando figura com surf
...
Agora vamos ao GeoGebra, utilizando a parametrização X = A + tu + sv do plano,
no caso de pontos e vetores no plano R 2 . Isto define um referencial no plano, onde a
origem é o ponto A e os eixos têm a direção e unidades definidas pelos vetores u e v.
Neste referencial, X = (t, s).
DM-UFSCar
106

Atividades com GeoGebra (8): Plano descrito na forma X = A + tu + sv
e sua dinâmica.
• Entre com três pontos A, B e C na Área de Trabalho, através da ferramenta de
criação de ponto, formando um triângulo não degenerado.
• Construa os vetores u = B − A e v = CA.
• Selecione o seletor na Barra de Ferramentas e crie dois seletores, um para o
parâmetro t e outra para o parâmetro s. Por omissão, serão criados no intervalo
[−5, 5].
• Construa o ponto X = A + tu + sv.
Basta digitar no Campo de Entrada: “X = A + t*u + s* v”.
Para melhor visualização do ponto, modifique suas propriedades, aumentando de
tamanho e mudando a cor.
• Para melhor localização dos pontos, construa as retas a = r(A, B), b = r(A, C),
c = r(B,v) e d = r(C,u). Marque a intersecção D = c ∩ d e construa também
e = r(A, D) e f = r(B, C).
• Com o apontador, modifique os valores de t e s.
1. Onde está X quando se fixa t = 0 e varia s? E para t = 1?
2. E quando se fixa s = 0 e varia t? E para s = 1?
3. E quando 0 ≤ t ≤ 1? E 0 ≤ s ≤ 1?
DM-UFSCar
4. Coloque X sobre a diagonal AD do paralelogramo ABDC. Verifique que
t = s.
5. Coloque X sobre a diagonal BC do paralelogramo. Verifique que t + s = 1.
107

6. Escolha um ponto qualquer P no plano e leve X sobre P.
Lembre-se que o seletor trabalha com um passo que por omissão é 0.1. Por
isso, é possível que não consiga exatamente o ponto P.
• Construa a parametrização da reta e = r(A, D) baseado na observação acima,
utilizando o ponto A e os vetores u e v, e implemente a reta escolhendo outro
seletor.
Como t = s, vamos utilizar um seletor m para parâmetro. Depois, é só digitar “Y =
A + m*u + m*v”. Movimentando Y através do seletor m, verá que Y percorrerá
os pontos da reta diagonal e = r(A, D).
• Faça o mesmo para a reta f = r(B, C).
• Agora experimente modificar A, B e C.
Em particular, o que ocorre quando A, B e C são colineares? Você consegue t e
s para localizar X fora da reta dos pontos dados? Obtenha pares distintos de t e
s para um mesmo ponto X sobre a reta. (marque um ponto P e movimente t e s
até que X fique sobre P.)
Apresentaremos a seguir algumas definições e resultados que precisamos ter em mente,
quando trabalhamos com vetores, sobre dependência e independência linear, algumas
reescritas. Para cada definição ou resultado, os vetores devem que ser do mesmo tipo
(todos do plano ou todos do espaço).
1. Dois vetores v e w são linearmente dependentes (l.d.) se existem escalares x e
DM-UFSCar
y não ambos nulos que satisfazem xv + yw = 0.
Observação 1: Esta condição é equivalente à definição utilizada anteriormente,
de que v e w são l.d. se um deles é múltiplo do outro.
De fato, se xv +yw = 0 com x = 0, então v = − y
x
108
w. Se y = 0, podemos escrever

w = − x
y v. Reciprocamente, se v = λw, então 1 v − λw = 0 e se w = µv,
−µv + 1 w = 0.
Observação 2: Dados v = −→
AB e w = −→
AC, então v e w são l.d. se, e só se,
A,B e C são colineares (estão sobre uma mesma reta).
De fato:
Inicialmente suponha que v e w sejam l.d. e, sem perda de generalidade, que
w = λv. Então temos duas possibilidades para B = A + v e C = A + λv: (1) se
v = 0, os pontos estão na reta definida por A e v, e (2) se v = 0, B = C = A.
Em ambos os casos, A, B e C são colineares.
Reciprocamente, suponha que A, B e C sejam colineares. Se coincidirem, então
v = w = 0 e portanto são l.d. Suponha que A = B, determinando uma reta
r = r(A, B) = r(A,v). Como C ∈ r, C = A + λv. Logo w = λv e portanto, v e
w são l.d.
2. Dois vetores v e w são linearmente independentes (l.i.) se uma combinação
linear nula xv + yw = 0 só é possível para x = y = 0.
Observação 1: Se v ou w for nulo então eles não podem ser l.i.
De fato, se v = 0, temos v = 0 w e se w = 0, w = 0v.
Observação 2: Se v = −→
AB e w = −→
AC são l.i., então A, B e C determinam um
plano.
Isto segue do fato que A, B e C não são colineares, como foi demonstrado acima.
Observação 3: Serem l.i. é a negação de serem l.d.
DM-UFSCar
3. Três vetores u, v e w são linearmente dependentes (l.d.) se existem escalares
não todos nulos x, y e z que satisfazem xu + yv + z w = 0.
Observação 1: Se um dos vetores for nulo, então o conjunto de vetores é l.d.
Por exemplo, se u = 0, temos 1u + 0v + 0w = 0, já que 1u = 10 = 0.
109

Observação 2: Se {u,v} é l.i. e {u,v, w} é l.d. então w é combinação linear
de u e v.
Dem: Suponha que xu + yv + z w = 0 com algum dos escalares x, y e z não
nulo. Podemos afirmar com certeza que z = 0 pois, caso contrário, teríamos
xu+yv+0w = xu+yv = 0 e como {u,v} é l.i., x = y = 0, ou seja, x = y = z = 0!
Então w = −x y
u − z zv. Observação 3: Em geral, 3 vetores u, v e w são l.d. se, e somente se, um deles
(não necessariamente w) é c.l. dos demais. Esta é a versão mais utilizada como
definição, nos diversos textos.
De fato, suponha inicialmente que xu+yv +zw = 0, com um dos coeficientes não
nulo. Suponhamos, sem perda de generalidade, que x = 0. Então, u = − y
A recíproca fica como exercício.
DM-UFSCar
x
110
v − z
x w.
Observação 4: Já vimos que se u = −→
AB e v = −→
AC forem l.i. podemos considerar
o plano que passa por A e é gerado pelos vetores −→
AB e −→
AC. Dizer que w é
combinação linear de u e w significa que o ponto D = A + w pertence ao plano
considerado.
u
v
vetores livres l.d.
w
❚ ❚
❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚❚ ❚
u
•B ❚
❚
❚
❚
w ❚
•
•D
❚
A
❚
v •C
❚
❚
❚
❚
π
❚
❚
Por isso dizemos que três vetores u, v e w são l.d. quando são coplanares.
4. Três vetores u, v e w são linearmente independentes (l.i.) se uma combinação

linear xu + yv + z w = 0 for possível somente quando x = y = z = 0.
Observação 1: Neste caso, nenhum dos vetores pode ser nulo e os segmentos
orientados que representam os vetores não são coplanares.
Observação 2: Mais geralmente, nenhum dos vetores pode ser c.l. dos demais.
Observação 3: É óbvio que no plano cartesiano R2 três vetores são sempre l.d.,
pois já estão contidos no plano.
Observação 4: Serem l.i. é a negação de serem l.d.
Então existem no máximo dois vetores linearmente independentes no plano.
Por exemplo, sejam ı = (1, 0) e j = (0, 1) que são respectivamente vetores unitários
nos sentidos positivos dos eixos Ox e Oy.
Temos que qualquer vetor v = (a, b) do plano se escreve como v = (a, b) = a(1, 0) +
b(0, 1) = aı + bj, isto é, como uma combinação linear de ı e j.
Vemos que C = {ı,j} é um conjunto l.i. pois xı + yj = 0 ⇐⇒ x(1, 0) + y(0, 1) =
(0, 0) ⇐⇒ (x, y) = (0, 0) ⇐⇒ x = y = 0
Dizemos que C é a base canônica de R 2 .
Em geral B = {u,v} l.i. no plano R 2 é uma base de R 2 , sendo que qualquer vetor w
se escreve de maneira única como combinação linear de u e v.
Exemplo: Mostrar que u = (2, 1) e v = (3, 5) são l.i. e escrever w = (1, −1) como
uma combinação linear de u e v.
Como
⎧
⎪⎨ 2x + 3y = 0
x(2, 1) + y(3, 5) = (0, 0) ⇐⇒
⎪⎩ x + 5y = 0
DM-UFSCar
temos que {u,v} é l.i. e é uma base de R 2 .
⋆
⇐⇒ x = y = 0
111

Agora, como
⎧
⎪⎨ 2α + 3β = 1
w = (1, −1) = α(2, 1) + β(3, 5) ⇐⇒
⎪⎩ α + 5β = −1
⇐⇒ α = 8
, β = −3
7 7
temos que w = 8 3
u − v. Essa combinação é única, pois o sistema acima tem solução
7 7
única.
y
(3, 5)
u
v
w(1, −1)
− 3
7 v ✟ ✟✟✟✟✟✟✔✔✔✔✔✔✔
8
7 u
x
DM-UFSCar
112
Ilustração do exemplo obtido com
GeoGebra.
Observe a regra do paralelogramo.
A unicidade da c.l. de w numa base {u,v} do plano segue da independência linear
dos vetores da base. De fato, suponha que w = xu + yv = x ′ u + y ′ v. Então w − w =
0 = (x − x ′ )u + (y − y ′ )v, donde x − x ′ = 0 = y − y ′ e, portanto, x = x ′ e y = y ′ .
Na mesma linha de raciocínio, no espaço euclidiano R 3 , quatro vetores são sempre
contidos no próprio espaço, onde existem no máximo três vetores l.i. Exemplo: ı =
(1, 0, 0), j = (0, 1, 0) e k = (0, 0, 1) são respectivamente os vetores unitários no sentido
positivo dos eixos cartesianos Ox, Oy e Oz. O conjunto C = {ı,j, k} é claramente
l.i. e a grande vantagem é que qualquer vetor v = (x, y, z) do espaço se escreve como
combinação linear dos vetores de C de forma natural: v = (x, y, z) = xı + yj + z k, onde
os coeficientes da combinação linear são exatamente as coordenadas de v.

Dizemos que C = {ı,j, k} é a base canônica de R 3 .
Em geral, um conjunto de três vetores B = {u,v, w} no espaço R 3 é chamado base
se for um conjunto l.i. e, neste caso, dado um vetor t qualquer no espaço, podemos
encontrar escalares a, b e c tais que t = au+bv +cw. Além disso, os escalares são únicos
(demonstração análoga ao caso plano — exercício!).
Geometricamente, podemos obter estes escalares da seguinte forma:
Represente os vetores a partir de um
ponto A: u = −→
AB, v = −→
AC, w = −→
AD e
t = −→
AP.
Sejam α o plano determinado por
ABC e ℓ a reta determinada por P e w.
Encontre ¯ P como intersecção de ℓ com α.
Temos que −→
w
D
t
cw
P
C ℓ
v
bv
A
au + bv ¯P
au
¯PP
P
= cw.
u B
′
P
α
′′
P ′′′
Aplique o caso plano para obter −→
A ¯ P = au + bv. Assim, t = −→
AP = −→
A ¯ P + −→
¯PP =
au + bv + cw.
Quando os vetores são dados em coordenadas, podemos obter os escalares acima
utilizando sistemas lineares, como podemos ver no exemplo a seguir:
Sejam u = (1, 2, 3), v = (−2, 3, 4), w = (0, 2, −2). Estes vetores serão l.i. se
xu + yv + zv = 0 só for possível com x = y = z = ⎧0.
⎪⎨
x −2y = 0
Isto é equivalente a dizer que o sistema linear (∗) 2x +3y +2z = 0 tem somente
⎪⎩ 3x +4y −2z = 0
a solução nula x = y = z = 0 (que é equivalente ao posto da matriz dos coeficientes ser
3).
DM-UFSCar
Escrever o vetor t = (−3, 4, 10) como c.l. de u, v e w é obter x, y e z com t ⎧
=
⎪⎨
x −2y = −3
xu + yv + z w, ou seja, resolver o sistema (∗∗) 2x +3y +2z = 4 .
⎪⎩ 3x +4y −2z = 10
113

octave:1> u=[1 2 3];
octave:2> v= [-2 3 4];
octave:3> w = [0 2 -2];
Resolvendo com Octave ...
octave:4> M = [u;v;w]’ % M é a matriz dos coeficientes de (*) e de (**)
M =
1 -2 0
2 3 2
3 4 -2
octave:5> t=[-3 4 10]
t =
-3 4 10
octave:6> rank(M) % rank(M) = posto(M)
ans = 3 % logo u,v,w é l.i.
octave:7> M\zeros(3,1) % resolvendo (*)
ans =
0
0
0
octave:8> X=M \ t’ % resolvendo (**)
X =
0.41176
1.70588
-0.97059
DM-UFSCar
octave:9> X(1)*u+X(2)*v+X(3)*w % escrevendo a c.l.
ans =
114

-3.0000 4.0000 10.0000
No próximo capítulo detalharemos a aplicação de técnicas matriciais para a resolução
deste e outros problemas com vetores, retas e planos.
Apresentamos a seguir um belo exemplo de aplicação das propriedades de operações
vetoriais e dependência linear, para demonstrar um resultado clássico de Geometria Eu-
clidiana:
Teorema: As medianas de um triângulo
se encontram num único ponto, situado a
2/3 de cada mediana, a partir do vértice.
Mb
OA
OMa
= OB
OMb
= OC
OMc
= 2
1
AO = 2
3 AMa
A
B
Dem: Seja ABC o triângulo. Sejam Ma, Mb e Mc os pontos médios dos lados opostos aos
vértices A, B e C, respectivamente.
Para u = −→
AB e v = −→
AC, temos que Ma = A + 1
2 (u + v), Mb = A + 1
2 v e Mc = A + 1
2 u.
Logo, as equações vetoriais das medianas são:
AMa: X = A + t −−→
AMa = A + t
2 (u + v),
BMb: X = B + s −−→
BMb = (A + u) + s(A + 1
s
v − (A + u)) = A + (1 − s)u +
CMc: X = C + λ −−→
CMc = (A + v) + λ(A + 1
λ
u − (A + v)) = A + u + (1 − λ)v,
com t,s,λ ∈ [0,1]. Devemos mostrar que O = AMa ∩ BMb ∩ CMc com t = s = λ = 2
3 .
Vamos inicialmente encontrar O = AMa ∩ BMb e mostrar depois que O ∈ CMc.
Como O = A + t
s
t
t
2 (u + v) = A + (1 − s)u + 2v, temos que ( 2 + s − 1)u + ( 2
E como u e v são l.i. (lados de um triângulo), t
t s
2 + s − 1 = 0 e 2 − 2
(exercício!) que t = 2 = s.
t
3
2
2
DM-UFSCar
C
O
Ma
Mc
2
2 v,
− s
2 )v = 0.
115
= 0, donde concluímos
Logo O = A +
2
3
1
1
2 (u + v) = A + 3 (u + v).
Para ver que O ∈ MMc, basta ver se O = A + 1
λ
3 (u + v) = A + 2u + (1 − λ)v para algum
λ ∈ [0,1]. Equacionando, devemos ter 1 λ
3 (u + v) = 2u + (1 − λ)v, e pelo fato de u e v serem

l.i., concluímos que λ
2
= 1
3
1
2
e (1 − λ) = 3 , satisfeito para λ = 3 , como queríamos.
2.4 Uma introdução ao GeoGebra
O GeoGebra é um software de Geometria Dinâmica, criado originalmente por Markus
Hohenwarter, para trabalhar com Geometria e Álgebra. É um programa implementado em
Java, que permite mover com o mouse (ou outro dispositivo correspodente) os objetos
construídos, sem perda das propriedades geométricas e algébricas utilizadas.
É apresentado numa planilha contendo uma Janela de Álgebra e uma Área de Trabalho,
entre a Barra de Ferramentas acima e o Campo de Entrada abaixo.
Observe que cada elemento da Área de Trabalho(desenho plano) é descrito algebri-
DM-UFSCar
camente na Janela de Álgebra ao lado. A Janela de Álgebra pode ser escondida quando
desejar, mas é automaticamente atualizada a cada modificação da Área de Trabalho. Re-
ciprocamente, cada alteração na Janela de Álgebra é repassada para a Área de Trabalho.
As entradas dos objetos (pontos, retas, vetores, cônicas, ...), com as propriedades
116

desejadas podem ser na forma de comandos no Campo de Entrada, ou através da Barra
de Ferramentas na Área de Trabalho. Alterações das propriedades das construções podem
ser feitas posteriormente, clicando com o botão direito do mouse sobre o objeto, tanto
na Janela de Álgebra, quanto na Área de Trabalho.
Mais sobre manipulação do GeoGebra pode ser obtido emhttp://www.geogebra.at.
Não deixe de consultar o GeoGebra QuickStart.
Agora vamos nos concentrar no uso do GeoGebra como uma ferramenta para estudar
Geometria Analítica Plana. O GeoGebra trabalha com o plano munido de um sistema de
coordenadas cartesianas.
1. Definindo pontos: Podemos entrar com um ponto através do Campo de Entrada,
através de suas coordenadas.
Por exemplo, para definir P = (2, 3), basta digitar “P = (2,3)” no Campo de
Entrada.
Podemos também selecionar (ponto) na Barra de Ferramentas e clicar no
lugar desejado da Área de Trabalho. Porém, como o objetivo inicial é trabalhar as
coordenadas, vamos utilizar o Campo de Entrada.
Como exercício, crie também O = (0, 0).
Observação 1: O GeoGebra não aceita qualquer letra como nome de ponto.
Em geral são letras maiúsculas, tipo A, B, C, P, .... Pode ter algumas variações
como P1 (escreve-se t 1), P ′ , P ′′ . Problemas com X. Se utilizar letra minúscula,
entenderá que é um vetor.
DM-UFSCar
Observação 2: Um ponto assim criado é um objeto livre (pois não dependeu
de outros objetos para ser criado) e pode ser movimentado com o mouse, com
a ferramenta (Mover). Mas, se na hora de criar o ponto, tivesse escolhido
um ponto de alguma reta, ou curva, ou segmento, ..., este ponto deve aparecer
117

na categoria de Objeto dependente, e só pode ser movimentado sobre o objeto
escolhido.
Observação 3: Pode-se esconder o rótulo, renomear, aumentar o tamanho do
círculo que o representa, a cor, etc (suas Propriedades) clicando com o botão
direito do mouse sobre o objeto e seguindo as instruções. Experimente! Obs: Pode-
se escolher fixar objeto sobre um ponto que não quer que seja movimentado, como
O = (0, 0). O objeto, mesmo classificado como livre, ficará fixo.
Observação 4: As coordenadas do ponto P são referidas no GeoGebra como
“x(P)” e “y(P)”.
Por exemplo, para obter as projeções Px e Py de P nos eixos Ox e Oy, respecti-
vamente, digitamos “P x = (x(P), 0)” e “P y = (0, y(P))”. Observe que os
pontos Px e Py são classificados na Janela de
DM-UFSCar
118
Álgebra como objetos dependentes.
Como exercício de dinâmica, experimente mover o ponto P de lugar, com o mouse
(selecione a ferramenta de mover na Barra de Ferramentas, clique no ponto P e
movimente). Os objetos dependentes do ponto P como Px e Py seguem o movi-
mento. Além disso (importante!), se apagar um objeto do qual eles dependem
(no caso, o ponto P), serão automaticamente apagados.
2. Definindo vetores: Temos formas distintas de definir vetores, dependendo das si-
tuações:
• Vetor v = −→
AB, onde A e B já estão definidos e desenhados:
No Campo de Entrada, digite “v=Vetor[A,B]” ou “v=B-A”. No primeiro
caso, o desenho do vetor será como o segmento orientado −→
AB, de A até B.
No segundo caso, a origem do vetor será em (0, 0).
Na Barra de Ferramentas, selecione (vetor definido por dois pontos) e
clique sobre os pontos A e B. O nome do vetor será escolhido pelo probrama,
mas você pode renomear. Se o nome que você escolher já estiver sendo usado

para outro objeto, o programa renomeará o outro objeto, para que sua escolha
atual seja respeitada (nem sempre).
• Vetor v = (a, b), com as coordenadas a e b já definidos.
No Campo de Entrada, digite “v=(a,b)”.
• Vetor v = (a, b), com as coordenadas a e b definidas no momento.
No Campo de Entrada, digite “v = (2,3)”, por exemplo, para criar o vetor
v = (2, 3).
Observação 1: Se digitar “B-A” em vez de “v=B-A”, será criado um ponto,
digamos, C, tal que C − O = B − A.
Observação 2: Se digitar “(a,b)” em vez de “v=(a,b)”, será criado o ponto
(a, b).
Observação 3: O vetor criado utilizando “v=(a,b)” com a e b anteriormente
definidos é um objeto dependente de a e b.
3. Operando com pontos e vetores:
No Campo de Entrada, supondo que os objetos relacionados no lado direito de “=”
estejam pré-definidos.
• “B = A+v” (com A e v pré-definidos) cria (e desenha) o ponto B = A + v.
• “w = u+v” (com u e v pré-definidos) cria o vetor w = u + v e desenha-o a
partir de O.
• “z= 5v” ou “z= 5*v” cria o vetor z = 5v.
DM-UFSCar
• “m = 3 u - 5v” cria o vetor m = 3u − 5v (combinações lineares)
• “u*v” calcula o chamado produto escalar entre u e v, a ser definido mais
tarde: (a, b) ∗ (c, d) = ac + db.
• “B = Transladar[A,v]” cria o ponto B = A + v.
119

Com a Barra de Ferramentas, temos a ferramenta (vetor a partir de um
ponto) que, clicando sobre um ponto A e um vetor v cria o ponto B = A + v
e desenha-o junto com o segmento orientado −→
AB, que terá outro nome (não será
v). Além disso, existe outra ferramenta com ícone semelhante, Transladar por um
vetor, que só desenha o ponto B. Obs: O nome B para o ponto é fictício, mas
pode ser renomeado!
4. Segmentos de retas:
5. Retas
• Para criar um segmento de A até B, basta selecionar (segmento defi-
nido por 2 pontos) e clicar sobre os pontos. Ou então, digitar “Segmento[A,B]”.
Há várias propriedades que podem ser modificadas, como estilo, cor, espessura,
nome, etc.
• Um segmento CD pode ser obtido de AB, através de uma translação por um
vetor v, utilizando a ferramenta (Transladar por um vetor) e clicando
sobre o segmento AB e o vetor v. Ou então, digitando “Transladar[Segmento[A,B],v]”.
• Para segmento parametrizado, veja mais adiante.
• Para criar uma reta por A e B, o mais simples é utilizar a ferramenta
(Reta definida por dois pontos) ou digitar “Reta[A,B]”.
• Retas paralelas ou perpendiculares a uma reta ou vetor e passando por um
DM-UFSCar
ponto, podem ser traçadas com as ferramentas do mesmo nome. Estão no
mesmo grupo de ferramentas, na Barra de Ferramentas. Fica como exercício
explorá-las e procurar os comandos correspondentes.
• Para retas parametrizadas, veja mais adiante.
120

6. Criando novas ferramentas Podemos criar novas ferramentas, popularmente conhe-
cidas como macros, quando trabalhamos num projeto onde alguns procedimentos
se repetem em diversas ocasiões. Por exemplo, se quizermos trabalhar com Geo-
metria Espacial através de Perpectiva Cavaleira, definimos novas ferramentas para
desenhar os elementos do espaço em perspectiva.
Vamos apresentar aqui, no caso plano, a
criação do macro para representar o ponto
com suas projeções nos eixos coordenados,
todos ligados com segmentos tracejados,
para melhor visualização, como aparecem nos
livros didáticos.
DM-UFSCar
3
2
1
1 2
• Primeiro crie um modelo de ponto com suas projeções e segmentos:
(i) Crie um ponto P.
−1
(ii) Obtenha as projeções P ′ = (x(P), 0) e P ′′ = (0, y(P)).
(iii) Desenhe os segmentos P ′ P e P ′′ P. Depois modifique o Estilo em Pro-
priedade, para que apareçam tracejados, e mais finos do que o default. Além
disso, esconda os rótulos (nomes) dos segmentos e dos pontos, exceto o P.
• No menu acima da barra de ferramentas, selecione Ferramentas e depois,
Criar uma nova ferramenta. Então,
(i) abrir-se-á uma nova janela, onde, pede-se primeiro para escolher todos os
objetos de saída, isto é, que serão criados automaticamente sempre que se
utilizar a ferramenta. No caso, escolha os pontos P ′ , P ′′ e os segmentos P ′ P
e P ′′ P, como é sugerido.
(ii) Depois de concluída estas entradas, será pedido para selecionar os objetos
de entrada. No caso, somente o ponto P. (Se houvesse mais que uma entrada,
é muito importante colocá-los numa certa ordem, pois toda vez que for utilizar
A
B
121

a ferramenta, será sempre a ordem escolhida.).
(iii) Concluída esta etapa anterior, será pedido para nomear a ferramenta e o
comando, e para definir o que aparecerá como ajuda. Entende-se por nome
de comando aquele que será utilizado no Campo de Entrada.
Pronto!
• A nova ferramenta aparecerá na Barra de Ferramentas. Teste! Clique na
Área de Trabalho, onde se quer criar um ponto. Ou, no Campo de Entrada,
digitando o nome do comando com as coordenadas do ponto.
• Se tudo estiver funcionando como desejado, pode salvar a ferramenta com
extensão .ggt, entrando novamente no menu Ferramentas, em Ferramentas
de Controle. Aparecerá a ferramenta criada e a opção para gravar ou apa-
gar. Pode-se também aproveitar para trocar o nome e o ícone, mas não dá
para modificar o conteúdo. Se não estiver certo, pode selecionar apagar, ou
simplesmente, sair do programa.
• Uma vez salvado a ferramenta em arquivo .ggt, quando quiser utilizá-la basta
escolher para abrir o arquivo, após abrir o GeoGebra. Ou então, salvar uma
versão com a ferramenta já na Barra de Ferramentas.
7. Reta parametrizada
• Para criar a reta parametrizada X = A+tv, vamos utilizar a ferramenta
(Lugar Geométrico).
Vamos escolher o parâmetro t como sendo x(T), onde T = (t, 0) é um ponto
do eixo Ox.
DM-UFSCar
Para começar, escolha um ponto sobre o eixo Ox (espere aparecer o ponteiro
indicando o eixo) e chame-o de T. Confirme que o ponto T só se movimenta
sobre o eixo Ox.
Digite “P = (x(A)+x(T)*x(v), y(A)+x(T)*y(v)” (x(T) = t, lembre-se).
122

Selecione (lugar geométrico) na Barra de Ferramentas e clique primeiro
no ponto P e depois no ponto T.
Pronto! Está criada a reta r(A,v). Movimente o ponto T sobre o eixo Ox e
veja como varia o ponto P.
• Para desenhar o segmento AB com o Lugar Geométrico, no lugar do eixo Ox
para colocar T, escolha, por exemplo, o segmento de O = (0, 0) a U = (1, 0).
Assim, t = x(T) ∈ [0, 1] para todo T ∈ OU. Além disso, v = −→
AB. Como
exercício, repita a construção do LG para este caso.
• Também é possível utilizar o Seletor para movimentar os pontos sobre a reta,
utilizando a parametrização. A ferramenta (seletor) cria um número
(escalar) que pode variar num certo intervalo [a, b] a escolher. Por default,
é o intervalo [−5, 5], com passo .1. Utilizando este escalar como parâmetro
da reta, como nos casos anteriores, ao se mover o seletor, o ponto criado
acompanhará o movimento.
Para que um ponto P possa ser movimentado de A − 5v a A + 5v, crie um
seletor, digamos, t, com variação em [−5, 5], e digite: “P = (x(A)+t* x(v),
y(A)+t*y(v))”.
2.5 Introdução ao Octave - um pouco de gráficos
O programa Octave possui implementações gráficas 2D e 3D, que permitem traçar
gráficos de funções de duas e três variáveis, curvas e superfícies parametrizadas, e curvas
de contorno de funções de 2 variáveis.
DM-UFSCar
Vamos trabalhar aqui com o que existe de mais básico em gráficos para o Octave, uti-
lizando o GNUplot. Mas existem ambientes mais sofisticados, que exigem implementação
extra. Os interessados poderão procurar na rede mundial de computadores, tanto os
123

programas, como os manuais para utilização dos mesmos.
No momento, estamos interessados somente em retas e planos.
1. Para traçar uma reta no plano, gráfico de função y = mx+c no plano, basta escolher
o intervalo [a, b] de variação de x, escolher o passo da variação, por exemplo .1, ou
o número de pontos no intervalo a serem utilizados, e utilizar o comando plot.
y
3
2.5
2
1.5
1
0.5
Reta y=2x+1, em [0,1]
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
x
x = 0:.2:1 % lista das abscissas dos pontos
y = 2*x + 1 % lista das ordenadas dos pontos
plot(x,y) % comando básico para traçar o gráfico
title(’Reta y = 2x+1’) % acrescentando o título
r
DM-UFSCar
124
Por exemplo, para obter
este gráfico de y = 2x + 1
no intervalo [0, 1], utiliza-
mos os comandos abaixo:
legend(’r’) % acrescentando a legenda (útil para mais funç~oes)
xlabel(’x’) % rótulo para o eixo Ox
ylabel(’y’) % rótulo para o eixo Oy
hold on % mantendo o atual desenho, para acrescentar mais
plot(x,y,’ro’) % traçando novamente, agora com opç~oes:
% em vermelho(r), estilo ’o’ nos pontos
% veja mais opç~oes, nos manuais
grid on % desenhando o grid (quadriculado)
axis([0 1 0 3]) % escolhendo manualmente a variaç~ao dos eixos
% Ox: [0 1]; Oy: [0 3]

% sem o qual o Octave desenha o segmento na diagonal
print(’graf.eps’,’-deps’)
% salvando no arquivo graf.eps (formato eps)
print(’graf.png’,’-dpng’) % para salvar em PNG
Todos os gráficos do Octave no GNUplot tem saída nesta proporção do exemplo.
A definição dos eixos, com axis altera as escalas dos eixos. Caso não especificado,
o Octave procura utiliza os eixos otimizados, isto é, de forma que a janela gráfica
seja o menor retângulo contendo o seu gráfico.
2. Reta (segmento) parametrizado: Como se pode ver acima, o comando plot pede
como entradas as listas das abscissas x e das ordenadas y dos pontos (x, y). Se não
especificado em contrário, um ponto é ligado ao próximo da sequência. Logo as
listas têm que ser dadas na ordem certa. As parametrizações ordenam naturalmente
os pontos. Vamos parametrizar o segmento de reta com origem em A = (2, 1),
direção dada por v = (−3, −2) e de comprimento 5, como exemplo.
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1
A = [1 2]
v = [-3 -2]
u = 1/norm(v)*v
t = linspace(0,5,6)
x = A(1)+t*u(1)
y = A(2)+t*u(2)
plot(x,y, ’ks-’)
DM-UFSCar
No exemplo acima, u é o versor do vetor u. Assim, 5u é um vetor de comprimento
5, donde variamos o parâmetro t de 0 a 5, para obter o segmento de comprimento
5. A opção ’s’ do comando plot(x,y,’ks-’), é para representar os pontos dados
com quadrados (square), ’k’ para desenho na cor preta, e ’-’ para unir os pontos
125

com segmentos.
3. Paralelogramo de arestas dadas pelos vetores u = −→
AB = (3, 1) e v = −→
AC = (−3, 4),
onde A = (1, 1).
Como o comando plot, com a opção ’-’, traça os segmentos entre os pontos, pode-
mos traçar o paralelogramo ABDC utilizando a sequência de pontos A, B, D, C, A
( −→
AD é a diagonal).
6
5
4
3
2
1
-2 -1 0 1 2 3 4
A = [1 1]
u = [3 1], v = [-3 4]
B = A+u, C = A+v
D = A + (u+v)
XY = [A;B;D;C;A]
DM-UFSCar
126
x =XY(:,1), y =XY(:,2)
plot(x,y,’ko-’),grid on
Observe que a XY é a matriz cujas linhas são os pontos A, B, D, C e A, donde a
primeira coluna é a lista das abscissas e a segunda, das ordenadas dos pontos. No
comando plot(x,y,’ko-’), as opção ’k’ é para desenhar na cor preta, ’o’ para
colocar uma circunfer?ncia nos pontos dados, ’-’ para ligar os pontos.
4. Dada uma sequência de pontos P1, P2, ..., Pn no espaço, podemos traçar a
poligonal determinada por esses pontos, através do comando plot3(x,y,z), onde
x, y e z são as listas das coordenadas x, y e z dos pontos. Isto generaliza a
construção do paralelogramo acima.
Exemplo: paralelogramo com vértice A = (1, 2, −1) e arestas dadas pelos vetores
u = (1, 0, 0), v = (0, 1, −1).

A = [1 2 -1]
u = [1,0,0], v=[0,1,-1]
B = A+u, C=A+v, D=B+v
XYZ = [A;B;D;C;A]
x=XYZ(:,1)
y=XYZ(:,2)
z=XYZ(:,3)
plot3(x,y,z)
grid on
-1
-1.2
-1.4
-1.6
-1.8
-2 3
2.8
DM-UFSCar
2.6
2.4
2.2
2 1
Este paralelogramo está sendo dado somente
pelas arestas. Por isso é “vazado”.
Se os pontos da poligonal são dadas por uma parametrização, é mais natural obter
as listas x, y e z. Por exemplo, no caso da reta no espaço dada por X = A + tu,
onde A = (1, 2, −1), u = (2, 3, 1), basta fazer
A = [1 2 -1], u = [2,3,1]
t = linspace(0,2,11); % definindo 11 pontos de 0 a 2 (inclusive)
x = A(1) + t*u(1);
y = A(2) + t*u(2);
z = A(3) + t*u(3);
plot3(x,y,z)
5. O paralelogramo ABDC do ítem anterior poderia ser desenhado com os pontos
interiores da região plana.
Isto pode ser representado como um “patch” único, que pode ser desenhado com um
dos seguintes comandos: “mesh(xx,yy,zz)”, “meshz(xx,yy,zz)” ou “surf(xx,yy,zz)”,
onde ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
A(1) B(1) A(2) B(2) A(3) B(3)
xx = ⎣ ⎦, yy = ⎣ ⎦ e zz = ⎣ ⎦.
C(1) D(1) C(2) D(2) C(3) D(3)
1.2
1.4
1.6
1.8
127
2

A = [1 2 -1]
u = [1,0,0], v=[0,1,-1]
xx= [ A(1) B(1); C(1) D(1)]
yy= [ A(2) B(2); C(2) D(2)]
zz= [ A(3) B(3); C(3) D(3)]
surf(xx,yy,zz)
Se optarmos por subdividir o paralelogramo, dividindo o lado AB em, digamos, 3
partes, e o lado AC, em 4 partes, as matrizes xx, yy e zz teriam (3 + 1) × (4 + 1)
entradas, correspondentes aos pontos do grid.
Para entender os comandos, poderíamos renomear os pontos do lado AB de P11 =
A, P12, P1,3, P14 = B, e os do lado AC de P11 = A, P21, P31, P41, P51 = C.
Nomeando os pontos de Pi,j conforme a posição no grid, teríamos uma matriz de
pontos (Pij)5×4 e, as matrizes xx, yy e zz seriam constituídas das correspondentes
coordenadas.
Para entender esse processo, vamos construir esta matriz de pontos com a parame-
trização do paralelogramo. Ou seja, usando a parametrização X(t, s) = A+tu+sv,
fazendo t1 = 0, t2, t3, t4 = 1 e s0 = 0, s1, s2, s3, s4, s5 = 1 os parâmetros corres-
pondentes às subdivisões, temos Pi,j = A + tiu + sjv.
A primeira linha desta matriz de pontos tem como constante t1, na segunda linha
t2, ...
A primeira coluna da matriz de pontos tem com constante s1, a segunda, s2, ...
Logo, analisando (Pij) em termos de t’s e s’s, estaremos trabalhando com
⎡ ⎤ ⎡
⎤
DM-UFSCar
⎢
tt = ⎢
⎣
t1 t1 t1 t1
t2 t2 t2 t2
t3 t3 t3 t3
t4 t4 t4 t4
t5 t5 t5 t5
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ e ss = ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎦ ⎣
s1 s2 s3 s4 s5
s1 s2 s3 s4 s5
s1 s2 s3 s4 s5
s1 s2 s3 s4 s5
s1 s2 s3 s4 s5
⎥
⎥.
⎥
⎦
128

Estas matrizes são geradas com o comando “[tt,ss]=meshgrid(t,s)”. Assim, as
matrizes xx, yy e zz procuradas são dadas por xx = A(1) + tt ∗ u(1) + ss ∗ v(1),
yy = A(2) + tt ∗ u(2) + ss ∗ v(2) e zz = A(3) + tt ∗ u(3) + ss ∗ v(3).
Assim, segue o código Octave para a figura ao lado:
A = [1 2 -1]
u = [1,0,0], v=[0,1,-1]
t = linspace(0,1,4);
s = linspace(0,1,5);
[tt,ss] = meshgrid(t,s);
xx = A(1)+tt*u(1)+ss*v(1);
yy = A(2)+tt*u(2)+ss*v(2);
zz = A(3)+tt*u(3)+ss*v(3);
surf(xx,yy,zz)
-1
-1.2
-1.4
-1.6
-1.8
-2 3
2.8
DM-UFSCar
2.6
2.4
2.2
2 1
1.2
1.4
1.6
1.8
129
2