1 Erat¶ostenes de Cirene, com os p¶es na Terra, medindo ... - UFSCar

Tr^es eventos da historia da geometria 1
TR^ES EVENTOS
DA HISTORIA DA GEOMETRIA
Prof. Jo~ao C.V. Sampaio
DM-UFSCar
1 Eratostenes de Cirene, com os pes na Terra, medindo
seu raio
Eratostenes de Cirene, que viveu no per³odo 275 a.C. a 195 a.C., foi bibliotecario chefe da
grande Biblioteca (Museum) de Alexandria. Ele e conhecido pelo seu crivo de Eratostenes,
um procedimento tabular para detectar numeros primos.
Alem de Matematica, Eratostenes estudava astronomia, geogra¯a, historia, ¯loso¯a,
tendo ainda interesse em poesia.
Sua maior realiza»c~ao foi a medi»c~ao da circunfer^encia da Terra, a primeira de que se
tem not³cia na Historia.
1.1 A estrategia \global" de Eratostenes
No Egito, as cidades de Siena (hoje Assu~a) e Alexandria situam-se quase num mesmo
meridiano do globo terrestre, estando interligadas pelo trajeto do rio Nilo, que °ui do sul
para o norte.
Em outras palavras, um arco semi-circular, na superf³cie terrestre, ligando o Polo
Norte ao Polo Sul (um meridiano terrestre), passando por Alexandria, desvia-se relativa-
mente pouco de Assu~a (con¯ra isto examinando um bom mapa do Egito). Isto quer dizer
que, em cada instante do dia, a hora observada num relogio em Alexandria e a mesma
observada em Assu~a.
Eratostenes descobrira que, em Siena, ao meio-dia do dia mais longo do ver~ao (o
solst³cio do ver~ao), o sol ¯cava totalmente a pino, notando que, naquele dia e hora, o sol
re°etia-se na superf³cie da agua do fundo de um po»co.
Tendo viajado para Alexandria, 515 milhas (824 quil^ometros) ao norte de Siena,
Eratostenes observou que la, ao meio-dia do referido dia, os raios do sol incidiam na

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Figura 1: Esquema de Eratostenes.
Figura 2: Sombra do sol atraves de um gn^omon.
superf³cie do solo, formando em rela»c~ao a ela um ^angulo µ de medida 90 ± ¡ 7; 2 ± =
90 ± ¡ 360 ± =50.
Observe agora a Figura 1 para acompanhar o racioc³nio de Eratostenes. Em O temos
o centro da Terra, e em A e S temos os pontos observados em Alexandria e Siena. O
segmento AG e um gn^omon, consistindo de um bast~ao na vertical, ¯ncado na superf³cie
da Terra, utilizado para medir a sombra do Sol, atraves do qual, por compara»c~ao da altura
do gn^omon com sua sombra (veja Figura 2), e calculado o ^angulo de incid^encia dos raios
solares.
Eratostenes ent~ao ponderou:
1. os raios de sol chegam µa Terra praticamente paralelos entre si;
2. o gn^omon, posicionado na vertical, se prolongado inde¯nidamente para baixo, passara
pelo centro (O) da Terra;
3. duas retas paralelas, cortadas por uma transversal, determinam ^angulos correspondentes
congruentes (Figura 3)
Assim, concluiu ent~ao que o ^angulo AOS media 7; 2 ± = 7 ± 12 0 , ou seja 360 ± =50.

Tr^es eventos da historia da geometria 3
Figura 3: Retas paralelas cortadas por uma transversal.
Eratostenes sabia tambem que o comprimento de um arco circular e diretamente
proporcional ao ^angulo central que ele subtende. Assim, pensou, sendo c a circunfer^encia
da Terra (comprimento da linha do Equador),
e ent~ao
km.
c
360 ± = arco _ AS
360 ± =50
c = 50 £ arco _ AS
= 50 £ 515 milhas
= 25 750 milhas = 41 200 km
Nos dias de hoje, e sabido que a circunfer^encia da Terra e aproximadamente 40 000
Longe dali, em Siracusa, Arquimedes, que viveu de 287 a.C. a 212 a.C., descobriu
que o comprimento de uma circunfer^encia de raio r e dado pela formula
sendo ¼ ¼ 3; 1416
c = 2¼ ¢ r
(Aproximando o comprimento da circunfer^encia por pol³gonos regulares inscritos e
circunscritos na circunfer^encia, Arquimedes deduziu que 3 10
1 < ¼ < 3 71 7 .)
Tomando c = 40 000 km, temos
como medida do raio da Terra.
r = raio da Terra = c
2¼
O di^ametro da Terra ¯ca ent~ao d ¼ 12 732 km.
40; 000
¼ ¼ 6 366 km
2 ¢ 3; 1416
Hoje se sabe que a Terra e mais achatada nos polos, sendo os grandes c³rculos, que
passam pelos dois polos, 13 km mais curtos que o c³rculo do Equador.

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Problema 1 A bordo de um avi~ao, num ponto A situado a 3 milhas acima do n³vel do
mar, um observador olha o horizonte. Sua linha de vis~ao, AC na Figura 4, e tangente µa
superf³cie da Terra. O raio OC e perpendicular a essa reta tangente em C. De posse das
informa»c~oes do diagrama da Figura 4, calcule o raio da Terra.
Figura 4: Um Eratostenes moderno.
1.2 Proposta de uma experi^encia
Propomos aqui um experimento que talvez possa ser levado a termo por duas turmas de
alunos, estudantes de duas cidades, distantes entre si algo como 500 km ou mais, de escolas
situadas em um mesmo meridiano terrestre.
Considere a situa»c~ao descrita na Figura 5.
Figura 5: Um Eratostenes a qualquer dia.
Duas cidades A e B s~ao consideradas, de modo que B esteja ao norte de A, ou seja,
ambas encontrem-se quase em um mesmo meridiano terrestre.
Duas hastes verticais s~ao montadas, uma em cada local, e a dist^ancia d, entre os
locais A e B, e conhecida.

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Pela proje»c~ao dos raios do sol, ao meio dia, os ^angulos ¯ e °, em graus, s~ao calculados.
Ocorre ent~ao que ® = ° ¡ ¯.
Assim, sendo c a circunfer^encia da Terra, temos
®
d
= 360
c
Acertada a hora e o dia da experi^encia, os alunos de duas escolas, uma em A e
outra em B, podem realizar as medi»c~oes e, trocando informa»c~oes, repetir o experimento
de Eratostenes.
Problema 2 Deduza que, na situa»c~ao geometrica da Figura 5, que ® = ° ¡ ¯.
2 Aristarco de Samos no mundo da Lua
Um outro brilhante matematico que estudou na Escola de Alexandria, no seculo III a.C., foi
Aristarco de Samos, nascido em Samos, a mesma ilha grega onde nascera Pitagoras cerca
de tr^es seculos antes de Aristarco.
Conta-se que Aristarco, mediante o uso de princ³pios elementares de geometria, determinou,
dentre outras coisas,
1. uma estimativa da raz~ao entre os di^ametros da Lua e da Terra;
2. e uma estimativa da raz~ao entre as dist^ancias da Terra µa Lua e da Terra ao Sol.
Juntando-se as estimativas (corrigidas) de Eratostenes e Aristarco, podemos calcular
(a) o di^ametro da Lua;
(b) a dist^ancia da Terra µa Lua;
(c) a dist^ancia da Terra ao Sol;
(d) o di^ametro do Sol.
2.1 A raz~ao entre os di^ametros da Terra e da Lua
Relata-se que Aristarco, observando cuidadosamente um eclipse lunar, que ocorre quando
a Terra p~oe-se entre o Sol e a Lua, observando a sombra da Terra projetada no \disco"
lunar, deduziu que a raz~ao entre os di^ametros da Terra e da Lua e dado por
dT
dL
¼ 7

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Figura 6: Sombra da Terra vista na Lua, durante um eclipse lunar.
Figura 7: Como resgatar o centro deste arco de cincunfer^encia?
Aristarco supunha, corretamente, que o Sol esta t~ao distante da Terra, que os seus
raios de luz s~ao projetadors na Lua paralelos entre si, e assim o contorno circular que vemos
da sombra da Terra na Lua revela parte de um c³rculo maximo da Terra. Veja Figura 6.
Aristarco n~ao fez medi»c~oes muito precisas. Hoje e sabido que dT =dL ¼ 3; 67.
Problema 3 Como podemos determinar, atraves de uma constru»c~ao geometrica, o di^ametro
de um c³rculo, sendo dado apenas uma parte de seu contorno circular (Figura 7)?
Problema 4 Admitindo que
dT
dL
¼ 3; 67;
qual e o valor aproximado do di^ametro da Lua? Resposta: 3 476 km.
Problema 5 Observa»c~oes astron^omicas acuradas, em noites de lua cheia, revelam o dia-
grama geometrico da Figura 8. Com base nas informa»c~oes do diagrama, conhecendo-se o
di^ametro da Lua, calcule a dist^ancia da Terra µa Lua.
2.2 A raz~ao entre as dist^ancias da Terra µa Lua e da Terra ao Sol
Historiadores da Matematica relatam ainda que, observando simultaneamente o Sol e a
Lua, durante o dia, estando ambos vis³veis, no in³cio da fase da Lua quarto crescente,

Tr^es eventos da historia da geometria 7
Figura 8: Um problema de trigonometria.
Figura 9: O tri^angulo ret^angulo Terra-Lua-Sol.
quando exatamente metade do disco lunar vis³vel aparece iluminado, como na Figura 9,
num momento em que a Lua situava-se verticalmente acima de sua cabe»ca, Aristarco
notou que os planetas Terra, Lua e Sol, posicionavam-se como os vertices T , L e S de um
tri^angulo ret^angulo em L.
Medindo o ^angulo L b T S, ele inferiu que este era aproximadamente
29
30
de 90±
(um valor mais preciso, conhecido atualmente, e 0; 9981 £ 90 ± ).
Aristarco ent~ao construiu, com regua e compasso, um tri^angulo ret^angulo LT S,
modelando as posi»c~oes relativas entre Lua, Terra e Sol e, por semelhan»ca de tri^angulos,
deduziu que a dist^ancia da Terra ao Sol e aproximadamente 19 vezes a dist^ancia da Terra
µa Lua.
Em realidade, a dist^ancia da Terra ao Sol e 400 vezes a dist^ancia da Terra µa Lua.
Problema 6 Sabendo que a dist^ancia da Terra ao Sol e aproximadamente 400 vezes a
dist^ancia da Terra µa Lua, proponha um procedimento que nos permitiria avaliar o di^ametro
do Sol.
3 Hipocrates de Quios no mundo das lunulas
Hipocrates de Quios (que n~ao e o Hipocrates de Cos, da Medicina) nascido na ilha grega

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de Quios, viajou para Atenas no provavel ano de 430 a.C., com a ¯nalidade de recuperar
terras suas atraves de um processo judicial.
O caso tomou-lhe meses e ent~ao Hipocrates aproveitou seu tempo estudando coisas
de que gostava muito, tais como ¯loso¯a e geometria. Nessa epoca, a cidade de Atenas
tinha atingido grande desenvolvimento cultural e isto provavelmente estimulou Hipocrates
em seus estudos.
Hipocrates foi o primeiro matematico a calcular precisamente a area de uma regi~ao
plana delimitada por arcos circulares.
Dentro da geometria plana, as descobertas de Hipocrates constituem-se em interessantes
resultados de \quadraturas".
3.1 A quadratura das lunulas
Uma das descobertas de Hipocrates e a seguinte.
Na Figura 10, num c³rculo de di^ametro AB, inscreve-se um tri^angulo ABC. Conforme
uma descoberta de Tales, um tal tri^angulo sera um tri^angulo ret^angulo, sendo AC e
CB seus catetos e o AB sua hipotenusa.
Figura 10: A soma das areas das lunulas e igual µa area do tri^angulo.
Sobre os catetos AC e CB s~ao constru³dos dois outros semi-c³rculos, tendo os catetos
como di^ametros. As regi~oes planas da Figura 10, delimitadas por arcos de circunfer^encias,
lembrando fases da lua, s~ao chamadas de lunulas.
Chamemos de L1 e L2 as lunulas constru³das sobre os catetos AC e CB, respecti-
vamente, e seja T o tri^angulo ABC. Ent~ao tem-se o seguinte interessante resultado:
Teorema 1 (Hipocrates)
area L1 + area L2 = area T
Diz-se ent~ao que, atraves deste resultado, Hipocrates quadrou as lunulas, transformando,
atraves de uma constru»c~ao geometrica, a soma de suas areas na area de um

Tr^es eventos da historia da geometria 9
tri^angulo. Em geral, o problema de quadrar uma regi~ao plana consiste em obter, por uma
constru»c~ao de regua e compasso, uma regi~ao poligonal de mesma area, o que permite ent~ao
obter um quadrado de mesma area.
Problema 7 Tente demonstrar o teorema de Hipocrates por voc^e mesmo. Caso n~ao o
consiga, leia a demonstra»c~ao que e dada abaixo. Dica: Voc^e pode fazer uso do teorema
de Pitagoras e da formula de Arquimedes para area de um c³rculo de raio r: (area de um
c³rculo de raio r) = ¼r 2 .
Demonstra»c~ao do teorema de Hipocrates:
Sendo ABC um tri^angulo ret^angulo, de hipotenusa AB, sejam S1, S2 e S3 os tr^es
semic³rculos fora do tri^angulo, constru³dos sobre os lados AC, CB e AB, respectivamente.
Ent~ao
area S1 + area S2 = area S3
Figura 11: Um teorema de Pitagoras \diferente".
Isto pode ser demonstrado (como um exerc³cio µa parte) usando-se a formula da
area de um c³rculo de raio r, aplicando-a aos tr^es semi-c³rculos da Figura 11, e usando o
teorema de Pitagoras. (Hipocrates, no entanto, n~ao conhecia tal formula, pois ela so seria
descoberta dois seculos depois por Arquimedes).
µA epoca de Hipocrates, ja era conhecido o fato, descoberto pelos Pitagoricos, de que
a raz~ao entre as areas de dois c³rculos (ou semi-c³rculos) e igual µa raz~ao entre os quadrados
de seus di^ametros.
Assim, raciocinando como Hipocrates, temos:
area S1
area S3
= AC2 area S2
2 e
AB area S3
= CB2
AB 2

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Sendo, pelo teorema de Pitagoras, AB 2 = AC 2 + CB 2 , teremos
area S1 + area S2
area S3
e ent~ao area S1+ area S2 = area S3.
= area S1
+
area S3
area S2
area S3
= AC2 CB2
2 +
AB AB 2 = AC2 + CB 2
AB 2
= AB2
2 = 1
AB
Voltando µa Figura 10, considerando-se as areas como la designadas, temos:
area L1 + area R1 + area L2 + area R2
= area S1 + area S2
= area S3
= area R1 + area R2 + area T
e portanto, comparando as linhas primeira e ultima, cancelando os termos repetidos,
area L1 + area L2 = area T
Problema 8 Sendo ABC um tri^angulo isosceles como na Figura 12, veri¯que que as duas
regi~oes hachuradas tem areas iguais, ou seja, a area da lunula e igual µa area do tri^angulo.
Os dois arcos que delimitam a lunula s~ao, respectivamente, 1=4 da circunfer^encia de centro
A e raio AC e a semi-circunfer^encia de di^ametro CB.
Figura 12: As regi~oes hachuradas tem mesma area.
Problema 9 Considere a ¯gura 13, em que o di^ametro do c³rculo menor e igual ao lado
do hexagono regular. Sejam c a area da regi~ao circular sombreada, C a area do c³rculo
circunscrito ao hexagono, L a area de cada lunula externa a este c³rculo e H a area do
hexagono. Demonstre que c = H ¡ 6L.
Problema 10 O resultado do problema 9 pode nos induzir a acreditar que e poss³vel
quadrar o c³rculo, bastando para isso quadrar as seis lunulas da ¯gura 13. Tendo em visto
que Lindemann, em 1882, demonstrou que e imposs³vel quadrar um c³rculo, explique porque
o resultado do problema acima n~ao contradiz o teorema de Lindemann.

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Figura 13: (\Quadrando" o c³rculo) Se o c³rculo maior tem o dobro do di^ametro do menor,
temos
Area do c³rculo menor = (area do hexagono) ¡ (area das 6 lunulas)
Refer^encias bibliogra¯cas que serviram de base para o
presente texto
[1] Anglin, W.S.,
Mathematics: A Concise History and Philosophy.
Springer-Verlag, New York, 1994.
[2] Anglin, W.S.,
The Heritage of Thales.
Springer-Verlag, New York, 1995.
[3] Boyer, C.B.,
Historia da Matematica.
Editora Edgard BlÄucher Ltda., S~ao Paulo, 1974.
[4] Dunham, W.
Journey Through Genius. The Great Theorems of Mathematics.
John Wiley & Sons, Inc., New York, 1990.
[5] Eves, H.,
Introdu»c~ao µa Historia da Matematica. Trad. de H.H. Domingues.
Editora da Unicamp, Campinas, 1995.