1 Erat¶ostenes de Cirene, com os p¶es na Terra, medindo ... - UFSCar

Tr^es eventos da historia da geometria 10
Sendo, pelo teorema de Pitagoras, AB 2 = AC 2 + CB 2 , teremos
area S1 + area S2
area S3
e ent~ao area S1+ area S2 = area S3.
= area S1
+
area S3
area S2
area S3
= AC2 CB2
2 +
AB AB 2 = AC2 + CB 2
AB 2
= AB2
2 = 1
AB
Voltando µa Figura 10, considerando-se as areas como la designadas, temos:
area L1 + area R1 + area L2 + area R2
= area S1 + area S2
= area S3
= area R1 + area R2 + area T
e portanto, comparando as linhas primeira e ultima, cancelando os termos repetidos,
area L1 + area L2 = area T
Problema 8 Sendo ABC um tri^angulo isosceles como na Figura 12, veri¯que que as duas
regi~oes hachuradas tem areas iguais, ou seja, a area da lunula e igual µa area do tri^angulo.
Os dois arcos que delimitam a lunula s~ao, respectivamente, 1=4 da circunfer^encia de centro
A e raio AC e a semi-circunfer^encia de di^ametro CB.
Figura 12: As regi~oes hachuradas tem mesma area.
Problema 9 Considere a ¯gura 13, em que o di^ametro do c³rculo menor e igual ao lado
do hexagono regular. Sejam c a area da regi~ao circular sombreada, C a area do c³rculo
circunscrito ao hexagono, L a area de cada lunula externa a este c³rculo e H a area do
hexagono. Demonstre que c = H ¡ 6L.
Problema 10 O resultado do problema 9 pode nos induzir a acreditar que e poss³vel
quadrar o c³rculo, bastando para isso quadrar as seis lunulas da ¯gura 13. Tendo em visto
que Lindemann, em 1882, demonstrou que e imposs³vel quadrar um c³rculo, explique porque
o resultado do problema acima n~ao contradiz o teorema de Lindemann.