CONTEÚDO - OBM

EUREKA! N°32, 2010
Sociedade Brasileira de Matemática
S n
n n
= a ⋅ r + b ⋅ s , verifica-se que
n+
2 = ( r + s)
S n+
1 rsS n
Somando as duas equações e sendo
S −
Dados S 1 = ar + bs = 1 ,
2 2
S 2 = ar + bs = 2 ,
3 3
S 3 = ar + bs = 5 e
S
4 4
= ar + bs = 6 , determine S
5 5
= ar + bs .
4
5
PROBLEMA 3
Seja N é o ponto do lado AC do triângulo ABC tal que AN = 2NC
e M o ponto
do lado AB tal que MN é perpendicular a AB . Sabendo que AC = 12 cm e que o
baricentro G do triângulo ABC pertence ao segmento MN, determine o
comprimento do segmento BG.
OBS: Baricentro é o ponto de interseção das medianas do triângulo.
PROBLEMA 4
Um campeonato de xadrez de 7 rodadas, com 4 jogos por rodada, tem 8
participantes, cujas pontuações por jogo são as usuais: um ponto por vitória, meio
ponto por empate e nenhum ponto por derrota. Cada par de jogadores se enfrenta
exatamente uma vez.
a) Ao término da terceira rodada, é possível que todos os jogadores tenham
pontuações distintas?
b) Se no final do campeonato todos os jogadores têm pontuações distintas qual o
menor número possível de pontos obtidos pelo primeiro colocado?
PROBLEMAS – NÍVEL 3 – PARTE A
(Cada problema vale 5 pontos)
01. Veja o problema No. 1 do Nível 2.
02. No triângulo retângulo ABC, ∠A = 90º, AB = 5cm e BC = 9cm. Se I é o incentro
de ABC, determine o comprimento do segmento CI.
03. Seja c a maior constante real para a qual
para todos x, y reais.
x 2 + 3y 2 ≥ c⋅(x 2 + xy + 4y 2 ).
Determine o inteiro mais próximo de 2009⋅c.
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