Geometria da Cross-Cap - IMPA

Autor: Alexander Fernandes da Fonseca
Orientador: Prof. Dr. Fábio Scalco Dias
Geometria da Cross-Cap
Co-orientador: Prof. Dr. Luis Fernando de Osório Mello
Agência financiadora: FAPEMIG
O estudo da geometria diferencial de superfícies em tem uma longa e célebre
história. Ao longo dos últimos 30 anos uma nova abordagem utilizando técnicas da
teoria de singularidades produziu alguns resultados interessantes.
Superfícies em podem ser obtidas de várias maneiras: Elas podem ser dadas
implicitamente, ou seja, podem ser dadas por uma única equação para
alguma função suave O guarda chuva de Whitney dado pela
equação é um exemplo dessa superfície. A superfície é ilustrada
abaixo.
As superfícies podem também ser parametrizadas por uma função suave
com um subconjunto aberto do A cross-cap surge desta forma,
considerando o germe definido por . A
imagem de é o guarda chuva de Whitney sem a sua “alça” (semireta
). Whitney mostrou que pode ter singularidades estáveis sob
mudanças de coordenadas na fonte e na meta. Definimos a cross-cap como a imagem
de qualquer germe que é A-equivalente a . Dizemos então que parametriza a
cross-cap. O ponto cross-cap é a imagem da origem pelo germe e a crosscap
é uma superfície singular . Se perturbarmos estas aplicações, as singularidades
persistirão, ou seja eles são estáveis. Consequentemente, quando estudamos a
geometria diferencial de superfícies em , existem boas razões para estudar
superfícies com cross-caps. É este o assunto que trataremos nesta dissertação. Em

particular, existem dois pares clássicos de folheações em superfícies suaves
orientadas em , a saber: linhas de curvatura e linhas assintóticas. Quando a
superfície é dada na forma parametrizada, no domínio da parametrização, as
folheações descritas acima são curvas soluções de alguma equação diferencial binária
(EDB), também chamadas de equações diferenciais quadráticas. Estas, são equações
diferenciais implícitas que podem ser escritas, em uma carta local, da forma
onde os coeficientes são funções suaves que se anulam na origem. Estas
equações definem um par de direções em cada ponto do plano onde
e não existem direções em pontos onde . Além disso, as
duas direções coincidem sobre o conjunto discriminante,
. Em geral, para o estudo das equações diferenciais
binárias, utilizamos o método do levantamento do campo de direções a um campo no
fibrado projetivo. Esse método consiste em desdobrar as equações diferencias
implícitas em uma simples EDO sobre um espaço mais complicado. Recentemente
Farid obteve as configurações topológicas das linhas de curvatura, linhas assintóticas
e linhas características, de uma superfície singular, próxima a um ponto cross-cap.
Um dos principais objetivos deste trabalho é apresentar estas configurações. Mais
especificamente, apresentamos as configurações topológicas locais, no domínio, das
linhas de curvatura e linhas assintóticas da cross-cap.