Geometria da Cross-Cap - IMPA

particular, existem dois pares clássicos de folheações em superfícies suaves
orientadas em , a saber: linhas de curvatura e linhas assintóticas. Quando a
superfície é dada na forma parametrizada, no domínio da parametrização, as
folheações descritas acima são curvas soluções de alguma equação diferencial binária
(EDB), também chamadas de equações diferenciais quadráticas. Estas, são equações
diferenciais implícitas que podem ser escritas, em uma carta local, da forma
onde os coeficientes são funções suaves que se anulam na origem. Estas
equações definem um par de direções em cada ponto do plano onde
e não existem direções em pontos onde . Além disso, as
duas direções coincidem sobre o conjunto discriminante,
. Em geral, para o estudo das equações diferenciais
binárias, utilizamos o método do levantamento do campo de direções a um campo no
fibrado projetivo. Esse método consiste em desdobrar as equações diferencias
implícitas em uma simples EDO sobre um espaço mais complicado. Recentemente
Farid obteve as configurações topológicas das linhas de curvatura, linhas assintóticas
e linhas características, de uma superfície singular, próxima a um ponto cross-cap.
Um dos principais objetivos deste trabalho é apresentar estas configurações. Mais
especificamente, apresentamos as configurações topológicas locais, no domínio, das
linhas de curvatura e linhas assintóticas da cross-cap.