Geometria da Cross-Cap - IMPA
Geometria da Cross-Cap - IMPA
Geometria da Cross-Cap - IMPA
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Autor: Alexander Fernandes <strong>da</strong> Fonseca<br />
Orientador: Prof. Dr. Fábio Scalco Dias<br />
<strong>Geometria</strong> <strong>da</strong> <strong>Cross</strong>-<strong>Cap</strong><br />
Co-orientador: Prof. Dr. Luis Fernando de Osório Mello<br />
Agência financiadora: FAPEMIG<br />
O estudo <strong>da</strong> geometria diferencial de superfícies em tem uma longa e célebre<br />
história. Ao longo dos últimos 30 anos uma nova abor<strong>da</strong>gem utilizando técnicas <strong>da</strong><br />
teoria de singulari<strong>da</strong>des produziu alguns resultados interessantes.<br />
Superfícies em podem ser obti<strong>da</strong>s de várias maneiras: Elas podem ser <strong>da</strong><strong>da</strong>s<br />
implicitamente, ou seja, podem ser <strong>da</strong><strong>da</strong>s por uma única equação para<br />
alguma função suave O guar<strong>da</strong> chuva de Whitney <strong>da</strong>do pela<br />
equação é um exemplo dessa superfície. A superfície é ilustra<strong>da</strong><br />
abaixo.<br />
As superfícies podem também ser parametriza<strong>da</strong>s por uma função suave<br />
com um subconjunto aberto do A cross-cap surge desta forma,<br />
considerando o germe definido por . A<br />
imagem de é o guar<strong>da</strong> chuva de Whitney sem a sua “alça” (semireta<br />
). Whitney mostrou que pode ter singulari<strong>da</strong>des estáveis sob<br />
mu<strong>da</strong>nças de coordena<strong>da</strong>s na fonte e na meta. Definimos a cross-cap como a imagem<br />
de qualquer germe que é A-equivalente a . Dizemos então que parametriza a<br />
cross-cap. O ponto cross-cap é a imagem <strong>da</strong> origem pelo germe e a crosscap<br />
é uma superfície singular . Se perturbarmos estas aplicações, as singulari<strong>da</strong>des<br />
persistirão, ou seja eles são estáveis. Consequentemente, quando estu<strong>da</strong>mos a<br />
geometria diferencial de superfícies em , existem boas razões para estu<strong>da</strong>r<br />
superfícies com cross-caps. É este o assunto que trataremos nesta dissertação. Em
particular, existem dois pares clássicos de folheações em superfícies suaves<br />
orienta<strong>da</strong>s em , a saber: linhas de curvatura e linhas assintóticas. Quando a<br />
superfície é <strong>da</strong><strong>da</strong> na forma parametriza<strong>da</strong>, no domínio <strong>da</strong> parametrização, as<br />
folheações descritas acima são curvas soluções de alguma equação diferencial binária<br />
(EDB), também chama<strong>da</strong>s de equações diferenciais quadráticas. Estas, são equações<br />
diferenciais implícitas que podem ser escritas, em uma carta local, <strong>da</strong> forma<br />
onde os coeficientes são funções suaves que se anulam na origem. Estas<br />
equações definem um par de direções em ca<strong>da</strong> ponto do plano onde<br />
e não existem direções em pontos onde . Além disso, as<br />
duas direções coincidem sobre o conjunto discriminante,<br />
. Em geral, para o estudo <strong>da</strong>s equações diferenciais<br />
binárias, utilizamos o método do levantamento do campo de direções a um campo no<br />
fibrado projetivo. Esse método consiste em desdobrar as equações diferencias<br />
implícitas em uma simples EDO sobre um espaço mais complicado. Recentemente<br />
Farid obteve as configurações topológicas <strong>da</strong>s linhas de curvatura, linhas assintóticas<br />
e linhas características, de uma superfície singular, próxima a um ponto cross-cap.<br />
Um dos principais objetivos deste trabalho é apresentar estas configurações. Mais<br />
especificamente, apresentamos as configurações topológicas locais, no domínio, <strong>da</strong>s<br />
linhas de curvatura e linhas assintóticas <strong>da</strong> cross-cap.