LCE 164 - Matemática Aplicada - Lista 04 - Departamento de ...

LCE 164 - Matemática Aplicada - Lista 04
Profa. Roseli Aparecida Leandro (raleandr@esalq.usp.br)
Monitor: Everton Batista da Rocha (e.batista.rocha@usp.br)
Site da disciplina:
http://www.lce.esalq.usp.br/arquivos/arquivos.php?dir=aulas/2011/LCE0164
1) O pesticida DDT foi amplamente utilizado nos Estados Unidos até sua proibição em
1972. DDT é tóxico para uma grande variedade de animais e na vida aquática, e é
suspeito de causar câncer em humanos. A meia-vida do DDT pode ser 15 ou mais
anos. Meia-vida é a quantidade de tempo que leva para que métade da quantidade
de uma substância se decomponha. Cientistas e ambientalistas se preocupam com
tais substâncias, porque esses materiais perigosos continuam a ser perigoso por muitos
anos após a sua disposição. Para este caso, defina a meia-vida do pesticida DDT como
sendo 15 anos. A meia-vida de 100 gramas de DDT foi examinada e os resultados são
ilustrados na Tabela 1.
Tabela 1: Estudo matemático da meia-vida de 100 gramas de DDT.
Final do ciclo
de meia-vida (em anos) 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150
Quantidade de DDT
remanescente (em gramas) 50 25 12,5 6,25 3,125 1,5625 0,78125 0,390625 0,1953125 0,09765625
Utilizando o programa R, pede-se:
(a) Obtenha o diagrama de dispersão das variáveis em estudo e responda:
i ) Qual variável você escolheu para o eixo X e para o eixo Y? Por quê?
ii ) Qual a interpretação do gráfico?
iii ) O modelo linear (ajuste de uma reta) é apropriado para descrever o com-
portamento das duas variáveis, considerando a escala original dos dados?
Justifique sua resposta.
iv ) Qual modelo você sugere para descrever o comportamento das duas variáveis?
É possível linearizar este modelo? Justifique sua resposta.

(b) Ajuste um modelo que descreva o comportamento dos dados. Caso seja possível
linearizar o modelo, apresente os ajustes e as fórmulas para o modelo linear e para
o modelo não-linear. Em ambos os casos, mantenha a variável final do ciclo
de meia-vida em sua escala original (ou seja, não fazer reparametrização,
para fins de interpretação) e obtenha o gráfico dos dados com o modelo ajustado.
(c) O modelo é exato? Por quê?
(d) Mostre matematicamente, com base no seu ajuste, como obter:
i ) o modelo linear, com base no ajuste do modelo não-linear;
ii ) o modelo não-linear, com base no ajuste do modelo linear;
Observação: O item d deve ser feito a mão.
(e) O que você observa a respeito da taxa de decaimento da quantidade de DDT,
para o modelo linear e não-linear?
É possível classificar cada um dos modelos,
apenas com base nessas taxas, sem a visualização gráfica dos mesmos, em linear
ou não linear? Por quê?
(f) Observando o gráfico obtido no item a, qual a sua opnião a respeito da proibição
do uso do DDT? Justifique sua resposta através dos gráficos e dos ajustes e se
necessário, matematicamente.
2) Considere os dados referentes à estimativa da população mundial no meio de cada ano
para os anos entre 1950-1995. Os dados foram obtidos a partir do United States Census
Bureau e encontram-se disponíveis no site da disciplina com o nome lita4.2.txt.
Utilizando o programa R, pede-se:
(a) Faça o download do arquivo de dados lista4.2.txt, abra o arquivo (sem editá-lo),
verifique a forma como os dados estão dispostos, e em seguida, faça a leitura dos
dados, com base nos comandos a seguir:
getwd()
dados

i ) Qual variável você escolheu para o eixo X e para o eixo Y? Por quê?
ii ) Qual a interpretação do gráfico?
iii ) O gráfico apresenta uma tendência exponencial ou linear? Justifique?
iv ) Refaça o gráfico de dispersão considerando o logaritmo da variável população
(pop). Há uma mudança significativa em relação ao gráfico anterior?
Observação: Os itens c e d devem ser resolvidos considerando o ano
na sua escala original.
(c) Faça o ajuste do modelo linear (reta) com os dados originais e considerando o
logaritmo da variável população (pop) e responda:
i ) Obtenha o gráfico de dispersão dos dados com a as retas ajustadas, para cada
um dos casos.
ii ) Os modelos são exatos? Por quê?
iii ) Qual modelo você escolheria (com os dados originais ou com o logaritmo da
variável população)? Justifique sua resposta.
iv ) Com base no item anterior, os dados apresentam uma tendência exponencial
ou linear?
(d) Faça o ajuste do modelo não-linear. Apresente sua expressão e o gráfico de dis-
persão dos dados com o modelo ajustado.
(e) Refaça os itens c e d considerando uma reparametrização adequada para o ano,
como discutido em sala.
Lembretes:
– O programa R é livre/gratuito, podendo ser obtido do site: www.r − project.org
– Os exercícios feitos no programa R devem ser entregues impressos, com suas
respectivas rotinas, saídas e interpretações.
– Data de entrega: dia da 1 a prova.
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