Luciano - Departamento de Ciências Exatas - LCE/ESALQ/USP

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
ESCOLA SUPERIOR DE AGRICULTURA “LUIZ DE QUEIROZ”
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS
ANÁLISE MULTIVARIADA
Experimentos de Medidas Repetidas
com Seleções Aleatórias
por
Larry L. Laster
James Pickands III
Piracicaba, SP
Julho/2004
Seminário apresentado como
exigência da disciplina
Análise Multivariada, do
Departamento de Ciências
Exatas da ESALQ/USP
Nome: Luciano Barbosa
Prof. Dr. Carlos Tadeu dos
Santos Dias

Experimentos de Medidas Repetidas com Seleções Aleatórias
Larry L. Laster
James Pickands III
Biometrics, vol. 49, nº 1, março de 1993
Nós consideramos experimentos de medidas repetidas com um único
grupo e com múltiplos grupos. Geralmente, as medidas repetidas são
consideradas com tempos espaçados uniformemente. As condições
necessárias para um teste F exato não são geralmente satisfeitas, mas com
escolhas aleatórias dos tempos, nós satisfazemos as condições,
incondicionalmente. Como conseqüência, infelizmente, nós perdemos a
normalidade assintótica que também é essencial para justificar um teste F.
Nós introduzimos uma classe de experimentos para os quais as condições
de momento e normalidade assintótica são satisfeitas. Os tempos são os
mesmos para todos os indivíduos e eles são escolhidos de tal modo que
eles são mutuamente independentes e identicamente distribuídos.
1. Introdução
A maioria dos experimentos de medidas repetidas envolve uma
seleção sistemática dos tempos, normalmente com espaçamentos iguais. A
suposição clássica de independência é irreal na maioria dos casos e há uma
extensa literatura sobre este problema. Geralmente suposições muito
rígidas, freqüentemente irreais, ou perda de eficiência estatística (perda de
graus de liberdade), são inevitáveis. Neste artigo, nós sugerimos uma nova
abordagem, na qual os tempos são amostrados aleatoriamente.
Uma grande classe de experimentos de medidas repetidas envolve
uma ou mais amostras aleatórias de indivíduos que são avaliados em vários
momentos no tempo. Por exemplo, na medicina, podem ser observadas
pressões sanguíneas ou ensaios bioquímicos em vários momentos.
Suponha que existam m grupos com r elementos independentes por
grupo e c tempos para cada elemento de cada grupo. Por exemplo, suponha
que há m grupos de animais de laboratório, com r animais em cada grupo.

O mesmo tratamento é dado a todos os membros de cada grupo, mas os
dois grupos não recebem o mesmo tratamento.
Suponha também que as medidas repetidas são feitas em cada membro
do grupo em c tempos diferentes. Nós assumimos, neste artigo, que os
mesmos tempos são usados para cada membro de cada grupo. Nós
poderíamos medir um aspecto bioquímico nos mesmos c tempos para todos
os animais, por exemplo.
Seja Yk,i,j a resposta para o i-ésimo membro do k-ésimo grupo no jésimo
tempo. Há três hipóteses de interesse:
Hg: Nenhum efeito de grupo,
Ht: Nenhum efeito de tempo,
Hgt: Nenhum efeito de interação.
Tradicionalmente, experimentos de medidas repetidas envolvem
escolha sistemática dos tempos, que normalmente são escolhidos em
espaços uniformes. Em tais casos, as sucessivas medidas não podem ser
razoavelmente consideradas como mutuamente independentes e então os
métodos de análise de variância clássicos devem ser alterados a um grau
considerável. Há várias abordagens utilizadas. Nós propomos uma
abordagem alternativa com um experimento diferente.
Suponha, primeiro, que os tempos são amostrados aleatoriamente, ou
seja, suponha que são escolhidos de maneira que sejam mutuamente
independentes e identicamente distribuídos – digamos, sobre o intervalo de
possíveis tempos. As mesmas seleções do tempo são usadas para todos os
membros de todos os grupos.
Quando os tempos são escolhidos ao acaso, nós realizamos a análise
com maior facilidade, por causa da variância comum e da ausência de
correlação.

É importante enfatizar que nós devemos evitar a tentação de impor
espaços iguais entre os tempos, que são, é claro, conhecidos. Se nós assim
fizermos, nós perderemos os benefícios da nossa abordagem em relação ao
experimento clássico. Assumindo normalidade, o método proposto é
uniformemente mais poderoso entre todos os procedimentos em que os
tempos não são escolhidos aleatoriamente, como mostrado por Herbach
(1959).
2. Seleções Não Aleatórias
Nesta seção, nós revisamos as abordagens clássicas e problemas de
experimentos de medidas repetidas com seleções clássicas não aleatórias
dos tempos e discutimos rapidamente as mais recentes abordagens. O
problema é que nós geralmente não temos independência entre as medidas.
Seja V, com elementos vi,i´ , as (c x c) medidas da matriz de variânciacovariância.
Há duas abordagens básicas de modelagem.
A primeira é a abordagem de “suposição-livre", quer dizer, nenhuma
suposição é feita sobre os elementos de V. Veja Potthoff e Roy (1964),
Bock (1963), e Morrison (1976). O número de parâmetros estimados na
matriz de variância-covariância é c(c + 1)/2. Isto requer um número
enorme de observações.
A outra abordagem é fazer várias restrições paramétricas em V. Para
obter os momentos condicionais desejados, sem perda de graus de
liberdade, é suficiente que
vi,i
2
ρσ
, i i
2
σ , i i
0 <

Uma condição suficiente mais geral sobre os elementos de V é dada
por Huynh e Feldt (1970). Eles mostram que a condição deles é necessária
como também suficiente para que possam ser usados testes F clássicos
(assumindo normalidade). Box (1954) mostra que testes F aproximados
são possíveis mas com números reduzidos de graus de liberdade; os graus
de liberdade do numerador e do denominador são reduzidos na mesma
proporção . Infelizmente, é uma função das variâncias e covariâncias
desconhecidas. Greenhouse e Geisser (1959) encontraram um método
adaptado (dados-dependentes) com graus de liberdade conservadores. Há
uma perda muito significativa de eficiência, assim como todos os graus de
liberdade para as medidas repetidas estão perdidos. Há também o artigo de
Huynh (1978), no qual parece razoável assumir que covariâncias são
próximas de 0 quando os tempos são mais distantes. Para uma interessante
abordagem não paramétrica, veja Kepner e Robinson (1988).
3. Método proposto para um único grupo
Suponha que temos r pacientes cujo nível de colesterol é medido em c
tempos. O experimento mais comum é aquele no qual os tempos são
espaçados igualmente. Tal experimento é natural, mas é irreal assumir que
sucessivas observações no mesmo paciente sejam independentes. Assim,
considerações de séries temporais entram em jogo e a análise dos dados
requer suposições muito restritivas que podem ser impossíveis de se
verificar.
Por outro lado, suponha que os tempos são escolhidos ao acaso. Nós
chamaremos estes tempos de T1, T2, ..., Tc. É importante entender que os
tempos são o mesmo para todos os indivíduos e eles são escolhidos de tal
modo que eles são mutuamente independentes e identicamente
distribuídos.
Seja Xi(t) o nível de colesterol do i-ésimo paciente no momento t e
seja
Yi,j Xi(Tj) , i=1, 2, ..., r ; j= 1, 2, ..., c.

Nós podemos escrever
Assim,
Yi,j = E{XI(TJ)I = I(i), J = J(j)}.
EIYI,j = EIXI(Tj) (3.1)
onde EIXI(Tj) é o nível de colesterol esperado para um paciente escolhido
aleatoriamente no momento t e
E Y X (t) dF (t) ,
J
I, j
0
onde FT(t) é a função de distribuição acumulada para Tj. A média geral é ,
onde
e
Então,
Seja
para todo i, j.
Seja
2
s
i
T
EI,JYI,J = EI,J{XI(TJ)} (3.2)
si EJYi,J – EI,JYI,J , tj = EIYI,j – EI,JYI,J , (3.3)
ei,j Yi,j – EJYi,J – EIYI,j + EI,JYI,J.
EIsI = EJtJ = EIeI,j = EJei,J = EI,JeI,J = 0 (3.4)
σ var(s ) E s ,
I
I
2
I
σ E t ,
2
t
J
2
J
σ
E
2
e
I, J
e
2
I, J

Nós assumimos aqui, que I, J, I´ e J´ são mutuamente independentes.
Segue, então, que todas as funções deles são mutuamente independentes.
Assim,
Note que:
E
Similarmente,
Assim, temos que
e
I, J
s
I
e
I, J
E s s
E
I, I
I
E
I
0 EJ,
Jt
Jt
J
J
t
J
e
I, J
σ
onde (t) é alguma função conhecida de t.
Nós podemos escrever
E Y E Y Y E Y E Y E Y
EI,
J J I, J I, J I, J I, J J I, J I I, J I, J I, J
σ
2
s
σ
2
t
0
σ
Y
2
t
E I, IeI,
jeIj
EJ,
Jei,
Jei,
J
0
EIs I(Tj)
(Tj)EIs
I 0 EIe
I, j(Tj)
(Tj)EIe
I, j 0
I, J
s
0
I
t
J
(3.5)
i, j μ si
t j ei,
j
(3.6)
onde é constante (não aleatória), e os demais termos têm médias e
covariâncias 0 e variâncias independentes dos índices i e j; veja Scheffé
(1959, pp. 240-242).
2
s

Todos os requisitos necessários para a validade dos testes F estão
assim satisfeitos. Uma possível hipótese nula é que não há efeito de
pacientes, ou seja, o nível médio de colesterol é o mesmo para todos os
pacientes:
2
H : σ 0
s
Mais interessante é a hipótese que não há efeito dos tempos, isto é, a
média do paciente é a mesma para todos os tempos:
H
t
: σ
s
2
t
0
Até aqui nós discutimos quantidades populacionais. Agora nós
consideramos as quantidades amostrais correspondentes. Nós decompomos
a soma de quadrados total do modo habitual, onde :
SQtotal = SQs + SQt + SQe
(veja Scheffé, 1959, pp. 102-103). Os graus de liberdade podem ser
decompostos da mesma forma:
onde
gltotal = gls + glt + gle
gltotal = rc - 1, gls = r - 1, glt = c - 1, gle = (r - l)(c - 1).
As estatísticas para testar as hipóteses nulas, Hs e Ht, são,
respectivamente, Fs e Ft , onde:
QM
F e
s
s
QMe
QM
F
t
t
QMe

O cálculo dos p-values requerem a suposição de que a aproximação
normal (assintóticamente) é válida. Para uma discussão da robustez à não
normalidade, veja Miller (1986, pp. 158-1 59). Ele observa que testes com
a presença de um componente de variância são especialmente robustos à
não normalidade. Nós temos normalidade assintótica com o nosso
experimento. Herbach (1959) mostrou que os testes deste tipo, assumindo
normalidade, são uniformemente mais poderosos dentre todos os testes
similares.
4. Experimentos com grupos
Suponha agora que nós temos r pacientes em m grupos. Estes grupos
poderiam ser grupos de idade diferentes, grupos étnicos, ou até mesmo de
homens e mulheres. Nós estamos assumindo agora, que não há nenhum
efeito de interação entre os grupos e os tempos.
Seja
Yk,i,j Xk,i(Tj)
onde Xk,i(t) é o nível de colesterol medido para o i-ésimo paciente no késimo
grupo no tempo t. Nós podemos escrever:
onde
1
μ g k E IX
k, I (t) dFT
(t) ; s k, i X k, i (t) - E IX
k, I (t) dFT
(t) ;
0
1
t E X (T ) E X (t) dF (t) ;
j
1
I
k, I
j
0
e X (T ) X (t) dF (t) - E X (T ) E X (t) dF (t) .
k, i, j
k, i
j
Y
μ g s t e
k, i, j
0
k, i
T
k
k, i
I
I
k, I
k, I
1
0
j
J
k, i, j
T
1
0
I
k, I
T

Nós assumimos, sem perda de generalidade que
m
k 1
g
Nós precisamos de algumas suposições adicionais que não foram
necessárias no caso de um único grupo. Primeiro, nós assumimos que
EIXk,I(t) só depende de k por uma constante (gk), a qual não depende de t.
Esta é nossa suposição de nenhuma interação mencionada acima. Segundo,
nós devemos assumir sempre que
onde:
σ E s e
k
2
s
I
2
k, I
k
σ e
2
s k
0
.
σ são o mesmo para todo o k,
2
e k
σ E k
Nós decompomos a soma de quadrados total em:
2
e
I, J
e
2
k, I, J
SQtotal = SQgrupos + SQs + SQt + SQe , onde
onde médias são representadas substituindo os índices correspondentes por
pontos. Assim:
SQ
grupos
rc
m
k 1
m, r, c
(Y
k, ,
Y
)
2
,
,
m, r
c
2
2
SQ (Yk,
i, Yk,
, ) ; SQ t kr (Y
, ,
j Y,
,
)
;
1
j 1
;
s c
k, i
SQ
2
SQe (Yk,
i, j Yk,
i, Y
, ,
j Y
, ,
)
total
k, i, j 1
k, i, j 1
Os graus de liberdade (gl) são, respectivamente,
glgrupos = m – 1; gls = m(r – 1) ; glt = c – 1 ;
gle = (mr – 1)(c – 1) ; gltotal = mrc - 1
m, r, c
(Y
k, i, j
Y
,
,
)
2

Para testar a hipótese Ht de que não há efeito do tempo, nós
procedemos exatamente como no caso de um único grupo. Ou seja, o teste
estatístico F é Ft, onde
QM
t Ft .
QMe
Suponha que nós estamos testando a hipótese Hg, ou seja, que não há
efeito de grupo (aquele gk = 0 para todo k = 1, 2, ..., m). A estatística para
testar Hg é Fg, onde:
QM
grupos
Fg .
QMs
Suponha que não podemos assumir que não há nenhuma interação
entre grupos e tempos. Nós podemos testar isso usando Fgt, onde:
com
SQ
gt
r
m, c
k, j 1
m, r, c
(Y
k, ,
j
F
QM
,
gt
gt
QMe
Y
k, ,
Y
,
,
j
Y
,
,
2
SQe r (Yk,
i, j Yk,
i, Yk
, ,
j Yk
, ,
)
k, i, j 1
glgt = (m – 1)(c – 1) ; gle´ = m(r – 1)(c – 1).
)
2

No caso clássico, os tempos são fixos. Então a hipótese nula Hgt é que
os perfis são paralelos nos tempos selecionados. Com o nosso
experimento, a hipótese nula é que os perfis são paralelos para todos os
tempos. Até mesmo se nós não assumíssemos que não havia interação, é
matematicamente possível testar a hipótese Ht de nenhum efeito de tempo,
e neste caso o denominador seria QMe´ no lugar de QMe . Por outro lado,
não seria possível testar o efeito para grupo, a menos que nós pudéssemos
assumir nenhuma interação.
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