A tabuada geométrica - Associação de Professores de Matemática

Margarida Uva Nunes Silva
margaridasilvaani@gmail.com
Agrupamento de Escolas de Pinhal de Frades
PROFMAT 2011 - Lisboa

Tábua da multiplicação
Margarida Uva Nunes Silva PROFMAT 2011
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Tábua da multiplicação
Uma visão
geométrica…
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I. Construção da
tabuada geométrica
Um encontro com elementos geométricos
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Construindo…(1)
Desenhar e pintar um
quadrado de lado 1
com um lápis de cor;
Sucessivamente, a
partir do vértice
inferior direito do
quadrado anterior,
desenhar e pintar
sempre com a cor
escolhida quadrados
de lado 2, 3, 4,….
Com a folha quadriculada na horizontal, e começando no
ponto A:
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Construindo …(2)
Com um lápis de carvão, traçar rectas sobre os lados
dos quadrados, quer na horizontal, quer na vertical.
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Construindo …(3)
Pintar as figuras geometricamente iguais ou
congruentes utilizando lápis da mesma cor.
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Construindo …(4)
Escrever o número das linhas e das colunas;
Escrever nos rectângulos o produto que representa o
número de quadrículas.
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Construída pelos alunos
Tabuada Geométrica
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Realizada no computador
Tabuada Geométrica
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II. Regularidades no
padrão geométrico da
tabuada
Uma perspectiva algébrica
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Que figuras geométricas se encontram no padrão?
Por que podemos considerar um padrão?
O que acontece às figuras ao longo das linhas e das
colunas?
Qual a particularidade dos produtos das figuras da
diagonal? Que números especiais temos aí?
Onde se situam as figuras congruentes?
Onde se encontram as figuras de lado 1?
E os números primos?
Pistas
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Pistas
Todas as figuras equivalentes são congruentes?
Exemplifica!
Indica os produtos das figuras de área 12. Que
números são os das linhas e das colunas?
Indica duas figuras justapostas (ligadas por um dos
lados). Qual é a área do rectângulo composto pelas
duas figuras?
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Regularidades
Todo o padrão é composto por figuras geométricas que são
rectângulos; o quadrado é um rectângulo especial em que a
medida do comprimento e da largura é a mesma;
As medidas: largura e comprimento do quadrado estão
representadas pela número das linhas e das colunas; o seu produto
representa a área do rectângulo;
Quando o rectângulo é quadrado, a área representada pelo
produto de factores iguais pode ser representada na forma de uma
potência de expoente 2;
Os quadrados estão situados na diagonal esquerda; a sua área
representada por potências de expoente 2 são os números
quadrados, ou quadrados perfeitos;
O padrão tem um eixo de reflexão sobre a diagonal sendo por isso,
as figuras simétricas em relação ao eixo (dobrar o papel pela
diagonal dos quadrados e pôr à janela…)
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Regularidades
As figuras congruentes estão pintadas da mesma cor;
As áreas dos rectângulos representadas por números
primos encontram-se na linha 1 ou coluna 1;
Figuras com a mesma área podem ser congruentes ou
não: há sempre um par de figuras congruentes;
Os números primos têm um e um só par de figuras
equivalentes e essas figuras são congruentes;
Um número não primo, pode ser representado por figuras
equivalentes que não são congruentes;
Os números das linhas e das colunas são divisores dos
números representados pelas áreas.
…
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III. Potencialidades
A tabuada geométrica como um “modelo para pensar”
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“Modelo para pensar”
Depois de construída a tabuada geométrica ela pode ser
“desconstruída”;
Os rectângulos desconstruídos ajudam a pensar em situações
diversas em que possam ser feitas conexões com as áreas;
Permite trabalhar bem a propriedade distributiva associada ao
conceito de área (Modelo de área de Van Hiele);
Permite trabalhar o conceito de área composta;
Ajuda a compreender a composição e decomposição dos
números em parcelas e em factores;
Ajuda a compreender o algoritmo da multiplicação e a
encontrar outras formas de multiplicar desenvolvendo o
sentido de número e de operação.
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Problema 1
Na tabuada geométrica encontra
todas as figuras de perímetro 20
e descobre qual a de maior área.
Perímetro 20 Semi-perímetro 10 Figuras ( C ; L) Área
1 9 9
2 8 16
3 7 21
4 6 24
5 5 25
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Quadrado
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Tarefa 2
Valor de posição: algarismo mais
forte nas dezenas:
1) 53 x 41 =
2) 51 x 43 =
Dados quatro algarismos, forma
dois números, de forma a que o
produto seja o maior possível.
1, 3, 4, 5
50 x 40 + 40 x 3 + 50 x 1 + 3 x 1
= 2000 + 120 + 50 + 3 = 2173
50 x 40 + 40 x 1 + 50 x 3 + 3 x 1
= 2000 + 40 + 150 + 3 = 2193
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Maior produto
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Tarefa 2
Valor de posição: algarismo mais
forte nas dezenas:
1) 53 x 41 =
2) 51 x 43 =
Dados quatro algarismos, forma
dois números, de forma a que o
produto seja o maior possível.
1, 3, 4, 5
Diferença 12
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Porquê?
Como generalizar para
qualquer número?
Diferença 8 Rectângulo mais
quadrado
Maior produto
20

Tarefa 2
Generalizando… Quando é que o produto de dois
números é máximo?
Quando a diferença entre os lados é
mínima, ou seja, quando o
“rectângulo é mais quadrado”.
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Tarefa 3
O João e a Anita, enquanto a mãe fazia
compras no supermercado, entretinhamse
a contar o número de caixas de
bombons de uma prateleira. Nessa
prateleira estavam 15 caixas como as da
figura.
De imediato… toca a pensar… Quantos
bombons estão ao todo nessa prateleira?
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3
5
Tarefa 3 – Possível
15 3 12
3 x 5 x 3 x 4 =
= 9 x 20 =
= 180
resolução (I)
15 caixas de 12 bombons
4
15 x 12
3
5
15
2
6
12
3 x 5 x 2 x 6 =
= 10 x 18 =
= 180
Decompondo em produtos e Margarida voltando Uva Nunes a compor Silva PROFMAT Utilizando a PROPRIEDADE
2011
ASSOCIATIVA
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15
Tarefa 3 – Possível
10
resolução (II)
15 x (10 + 2) =
2
150 30
= 150 + 30 =
= 180
15 caixas de 12 bombons
15 x 12
Decompondo um dos números em parcelas Transformação de uma área simples
numa composta por Margarida 2 rectângulos Uva Nunes Silva Utilizando PROFMAT a PROPRIEDADE
24
DISTRIBUTIVA
2011
10
5
12
120
60
12 x (10 + 5) =
= 120 + 60 =
= 180

Tarefa 3 – Possível
resolução (III)
(10 + 5) x (10 + 2) =
= 150 + 30 =
= 180
15 caixas de 12 bombons
15 x 12
Decompondo os dois números em parcelas Transformação de uma área simples
numa área composta por 4 rectângulos Utilizando a PROPRIEDADE
Margarida Uva Nunes Silva PROFMAT
DISTRIBUTIVA
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2011
10
5
10
2
100 20
50 10
150
+ 30
120
+
60
=
180

Tarefa 3 – Possível
resolução (III)
15 x 12 =
=(10+5) x (10+2)
10 x 10 = 100
2 x 10 = 20
5 x 10 = 50
2 x 5 = 10
15 caixas de 12 bombons
15 x 12
10
10
5x10
A compreensão do ALGORITMO!
Margarida Uva Nunes Silva PROFMAT
2011
5
150
2
10 x 10 10x2
5x2
+ 30
120
+
60
=
180
(Modelo de Área deVan Hiele, 1998)
26

Que aprendizagens matemáticas?
Que conteúdos?
Que capacidades?
Que conexões?
E não matemáticas?
Reflexão
Qual o papel da tabuada geométrica?
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2011
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Quais as características das tarefas propostas?
Que tarefas para cada ano de escolaridade?
Que papel o do professor na utilização deste
recurso?
Quais as características do ambiente de sala de aula
de um trabalho desta natureza?
Qual o papel do aluno?
Reflexão
Qual a perspectiva do ensino da matemática?
Margarida Uva Nunes Silva PROFMAT
2011
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Bibliografia
Fuys, D., Geddes, D., & Tischler, R. (1988). The Van Hiele
model of thinking in geometry among adolescents. Reston, VA:
NCTM.
Ministério da Educação (2007). Programa de Matemática do
Ensino Básico. Lisboa: DGIDC/ Ministério da Educação.
Mousley, J. (2004). An aspect of mathematical understanding:
The notion of "connected knowing". In M. J. Høines & A. B.
Fuglestad (Eds.), Proceedings of the 28th conference of
the International Group for the Psychology of
Mathematics Education (Vol. 3, pp.377-384). Bergen,
Norway: Bergen University College.
Van de Walle, J. A. (2006). Teaching Student-Centered
Mathematics. New York: Longman
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Obrigada pela vossa
participação!
Margarida Uva Nunes Silva PROFMAT
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