Berta Alves - Associação de Professores de Matemática

ÀS VOLTAS COM AS ISOMETRIAS NO 2.º CICLO
Berta Alves – Universidade do Minho
bgsalves@iec.uminho.pt
Filipe Sousa – Universidade do Minho
filipe.fcm@gmail.com
Ema Mamede – Universidade do Minho
emamede@iec.uminho.pt
Resumo
Propõe-se para esta sessão prática a exploração de uma pasta de material didáctico
contendo actividades contextualizadas com as recentes orientações curriculares
definidas no novo Programa, procurando efectuar uma análise de conceitos essenciais
associados ao tópico das isometrias, no 2.º Ciclo do Ensino Básico.
Contextualização Curricular
O Programa de Matemática do Ensino Básico (2007) define como propósito principal
no ensino da Geometria desenvolver nos alunos o sentido espacial, realçando a
importância da visualização e da compreensão de propriedades de figuras geométricas.
As isometrias começam a ser abordadas no 1.º Ciclo, sendo exploradas no estudo dos
frisos e aprofundadas no 2.º Ciclo, recaindo o seu estudo essencialmente sobre a
reflexão e a rotação. Relativamente a este tema, o programa de Matemática do Ensino
Básico (2007) refere que:
O estudo da Geometria deve ter como base tarefas que proporcionem
oportunidades para observar, analisar, relacionar e construir figuras
geométricas e de operar com elas. As tarefas que envolvem as isometrias
do plano devem merecer atenção especial neste ciclo, sobretudo as que
dizem respeito a reflexões e rotações, pois permitem a aprendizagem de
conceitos geométricos de forma dinâmica e o aprofundamento da sua
compreensão. (p.36)

Para o 2.º Ciclo, o Programa de Matemática do Ensino Básico (2007) reforça ainda a
importância das isometrias para o desenvolvimento do conceito de congruência. Pois,
duas figuras congruentes relacionam-se entre si através de reflexões, rotações,
translações ou reflexões deslizantes, sendo ainda que “este tipo de transformações
permite a exploração, construção e classificação de frisos e rosáceas.”(p.37).
Relativamente aos frisos convém ressalvar que já no 1.º Ciclo do Ensino Básico se
define como objectivo específico “Construir frisos e identificar simetrias” (p. 23),
sugerindo “a exploração de frisos identificando simetrias, de translação, reflexão,
reflexão deslizante e rotação (meia-volta)” (p. 23).
A simetria é tida como um conceito-chave atendendo a que se podem caracterizar
“objectos geométricos, simplificar-se argumentos e, com o seu recurso, é possível
elaborar estratégias de resolução de problemas em muitos casos de maior
eficácia.”(p.37).
Alguns conceitos essenciais
As isometrias são um tipo de transformações geométricas que mantêm a forma e as
dimensões da figura original, como se pode ver no exemplo I. Já a transformação
geométrica representada no exemplo II altera as dimensões da figura inicial, e portanto,
não é uma isometria.
Exemplo I
Exemplo II
Figura 1 – Transformações geométricas
Assim, uma isometria ou movimento rígido é um caso particular de uma
transformação geométrica que tem a particularidade de conservar as distâncias entre os
pontos. Ou seja, se f é uma isometria e P e Q dois pontos quaisquer, tem-se que
( f ( P),
f ( ))
d ( P,
Q)
= d Q , isto é, a distância entre esses dois pontos é a mesma que entre
os seus transformados, f (P)
e f (Q)
.

Destacam-se quatro tipos de isometrias no plano: a translação, a rotação, a reflexão e
a reflexão deslizante. É possível provar que qualquer isometria é de um destes quatro
tipos.
Simetria de uma figura F é uma isometria T do plano que deixa a figura invariante, de
modo que T(F) = F (Bastos, 2006). Ou seja, qualquer isometria que transforme uma
dada figura nela própria diz-se uma simetria dessa figura, pelo que, uma figura pode ter
simetria de reflexão, simetria de rotação, simetria de translação ou simetria de reflexão
deslizante.
No entanto, qualquer que seja a figura considerada, existe sempre uma transformação
geométrica que a deixa invariante, a identidade. Sendo assim, Veloso (1998) considera
que uma figura é simétrica se admitir, pelo menos, uma simetria diferente da identidade.
Por exemplo, na figura A é possível definir isometrias diferentes da identidade que a
deixam invariante, nomeadamente, reflexões e rotações. Já na figura B, para além da
identidade, não é possível definir uma transformação geométrica que a deixe invariante.
Figura A
Figura B
Figura 2 - Simetrias
As simetrias em frisos
A análise de frisos constitui uma importante fonte de exploração de simetrias. No friso
seguinte é possível encontrar os quatro tipos de simetria, nomeadamente, simetria de
translação, simetria de reflexão, simetria de rotação e simetria de reflexão deslizante.
Figura 3 – Friso
Em qualquer friso, o grupo de simetria é sempre infinito e podem destacar-se 7
tipos de frisos diferentes (numa classificação monocromática). A exploração destes

tipos de frisos, com material didáctico específico, parece-nos poder constituir uma
oportunidade para estudar isometrias na sala de aula de forma divertida, resolvendo
problemas e efectuando pequenas investigações. Deste modo, entendemos poder
apoiar os professores do 2.º Ciclo na implementação das suas aulas sobre isometrias
propondo, discutindo e partilhando tarefas motivadoras para os seus alunos.
Assim, julgamos ser pertinente estimular os professores para a realização de aulas
que possibilitem aos seus alunos um contacto com as transformações geométricas,
tão importantes na formação matemática dos alunos. Bastos (2007) justifica a
necessidade de atribuir uma maior atenção ao estudo das transformações
geométricas, por um lado, pela sua relevância na história da matemática actual, e
por outro “porque constituem um campo rico de conexões, uma ferramenta muito
útil para demonstrações, para resolver problemas e, de uma maneira geral, para
raciocinar sobre o plano e o espaço” (p. 23).
Pretende-se nesta sessão prática explorar propriedades presentes em frisos, com a
utilização de materiais didácticos e tarefas para implementação em contexto de sala
de aula, no 2.º Ciclo.
Referências Bibliográficas
Bastos, R. (2006). Notas para o Ensino da Geometria – Simetria. Educação e Matemática, 88,
9–11.
Bastos, R. (2007). Notas sobre o Ensino da Geometria – Transformações Geométricas.
Educação e Matemática, 94, 23 – 27.
Ponte, J. P.; Serrazina, L.; Guimarães, H. M.; Brenda, A.; Guimarães, F.; Sousa, H.; Menezes,
L.; Martins, M. E. e Oliveira, P. A. (2007). Programa de Matemática do Ensino
Básico. Lisboa: ME/DGIDC.
Veloso, E. (1998). Geometria – Temas Actuais. Lisboa.: Instituto de Inovação Educacional.