Sistema de Frege e os paradoxos Base intuitiva para o sistema de ...

Sistema de Frege e os paradoxos
Elaine Pimentel
1 o Semestre - 2005
Base intuitiva para o sistema de Frege
• A condição mais aceita e intuitivamente
correta é que dois conjuntos são iguais se e
somente se eles possuem os mesmos
elementos.
• Apesar de intuitiva, essa afirmativa é não
trivial pois as propriedades usadas na
descrição de dois conjuntos com elementos
iguais podem ser diferentes.
• O conjunto de todos os inteiros irracionais e
o conjunto das pessoas imortais é igual.
• Dois conjuntos com os mesmos elementos são
ditos serem co-estensivos.
Base intuitiva para o sistema de Frege
• Podemos descrever conjuntos: (1) exibindo cada um
de seus objetos ou (2) apresentando uma propriedade
que seja uma condição necessária e suficiente para
pertinência no conjunto.
• Conjuntos finitos: ok (1) e (2). De fato, o conjunto
A = {a1,...,an} é determinado pela propriedade
x1 = a1 ∨ ... ∨ xn = an
Para conjuntos infinitos, (1) é claramente impossível.
• Pergunta: quando dois conjuntos são iguais?
Base intuitiva para o sistema de Frege
• Se aceitarmos a condição descrita anteriormente para
igualdade de conjuntos, então essa relação entre
conjuntos deve satisfazer todas as propriedades de
uma relação de igualdade.
• Refelxividade: ok.
• Dois conjuntos iguais devem possuir as mesmas
propriedades:
A = B ⇒ P(A) ≡ P(B)
Esta condição não pode ser deduzida a partir da
noção de co-extenção: deve ser posta como axioma.
• Princípio ou axioma da extensionalidade.

Base intuitiva para o sistema de Frege
• Toda propriedade define um conjunto?
• Ou seja, dada uma propriedade P, existe um
conjunto definido exatamente por aqueles
objetos que satisfazem a condição P?
• Princípio da abstração: o conjunto é
abstraído da propriedade que o define.
• ∃A.∀x.(x ∈ A ≡ P(x))
O sistema de Frege
1. Toda variável é um termo.
2. Se x,y são termos, então x ∈ y é uma
fórmula.
3. Se A é uma fórmula e x é uma variável,
então ∀x.A e ∃x.A são fórmulas.
4. Se A é uma fórmula contendo x como
variável livre, então {x | A} é um termo.
5. Se A,B são fórmulas, então ¬A,A ∨ B são
fórmulas.
Base intuitiva para o sistema de Frege
• Frege e Dedekind provaram, utilizando uma série de
construções engenhosas, que toda a matemática
básica podia ser descrita usando apenas lógica de
primeira ordem mais os dois princípios de
extensionalidade e abstração.
• Ou seja, se considerarmos lpo com “∈” como o único
predicado primitivo mais os axiomas citados acima
então é possível, por meio de construções e definições
dentro do sistema, definir os números naturais, os
reais, e reproduzir formalmente dentro do sistema as
provas usuais dos teoremas conhecidos sobre tais
conjuntos e seus elementos.
O sistema de Frege
• Teorema 1. ⊢ ∀x.x = x
• Definição 1. V denota {x | x = x}
• Teorema 2. ⊢ ∀x.x ∈ V
• Definição 2. ∅ denota {x | x = x}
• Teorema 3. ⊢ ∀x.x /∈ ∅

O sistema de Frege
• Definição 3. 0 denota {∅}
• Definição 4. S(x) denota
{y | ∃z.z ∈ y ∧ (y ∩ z) ∈ x}
• Definição 5. N denota {x1 | ∀x2.(0 ∈
x2) ∧ ((∀x3.x3 ∈ x2 ⇒ S(x3) ∈ x2) ⇒ x1 ∈ x2)}
Um conjunto é dito indutivo se contém o
sucessor de todos os seus elementos. N é o
menor conjunto indutivo contendo o 0.
Observações:
O sistema de Frege
• Os cinco postulados de Peano (para a formalização da
matemática) podem ser provados a partir do sistema
de Frege.
• As operações de adição, multiplicação etc podem ser
definidas utilizando a recursão:
x + 0 = x
x + S(y) = S(x + y)
• Teorema da recursão primitiva: dadas as funções
g(x1,...,xn) e h(x1, . ..,xn, y,z), existe uma função
f(x1,...,xn, xn+1) tal que f(x1, ...,xn, 0) = g(x1, ...,xn) e
f(x1,...,xn, S(y)) = h(x1,...,xn, y, f(x1,...,xn, y))
• Teorema 4. ⊢ 0 ∈ N
O sistema de Frege
• Teorema 5. ⊢ ∀x.0 = S(x)
• Teorema 6. ⊢ ∀x.x ∈ N ⇒ S(x) ∈ N
• Teorema 7. ⊢ ∀x1.(0 ∈ x1 ∧ ∀x2.x2 ∈ x1 ⇒
S(x2) ∈ x1) ⇒ (N ⊂ x1)
• Teorema 8. ⊢ (P(0) ∧ ∀x.P(x) ⇒ P(S(x))) ⇒
∀x.(x ∈ N ⇒ P(x))
Críticas ao Sistema de Frege
• O sistema é certamente viável e satisfaz
claramente 5 dos critérios estabelecidos
anteriormente para uma boa fundamentação
da matemática.
• As construções são naturais e intuitivas e os
axiomas não fazem nada a mais que
expressar formalmente algumas
características que parecem básicas e
essenciais em teoria de conjuntos.
• Mas falta o mais importante: a consistência!

aradoxo de Russel dentro do Sistema de Frege
• Teorema 9. ⊢ {x | x /∈ x} /∈ {x | x /∈ x}
• Teorema 10. ⊢ {x | x /∈ x} ∈ {x | x /∈ x}
Se toda condição determina um conjunto,
então considere o conjunto y determinado
pela condição x /∈ x. Ou seja, y é o conjunto
de todos os conjuntos que não são elementos
de si mesmos.
Sistema de Frege
• Apesar de ser inconsistente, nem tudo o que
foi desenvolvido por Frege era errado. Por
exemplo a construção dos conjuntos
numéricos é consistente.
• O erro consistiu em considerar o princípio da
abstração de uma maneira geral.
• Pergunta: é possível propor um sistema
baseado nas idéias de Frege que não seja
contraditório?
Paradoxo de Russel dentro do Sistema de Frege
• A princípio, y é um conjunto grande, uma
vez que a maioria dos conjuntos não é
membro de si mesmo. Por exemplo, o
conjunto dos reais não é um número real.
• O paradoxo consiste no fato de que y é um
elemento de si mesmo se e somente se não o
é.
• Sendo o Sistema de Frege inconsistente,
qualquer coisa pode ser provada dentro dele
e, portanto, ele não poder ser usado como
uma fundação para a matemática.