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José Amaral<br />
jda@isel.pt<br />
Programa:<br />
► Noções topológicas em ℜ.<br />
Complementos de funções reais<br />
de variável real.<br />
► Cálculo diferencial em ℜ .<br />
► Cálculo integral em ℜ .<br />
n<br />
► Cálculo diferencial em .<br />
Bibliografia:<br />
► AM I e M I. Acetatos das Aulas. Eng.Manuel Messias.<br />
n<br />
► Cálculo diferencial em . Eng.Manuel Messias.<br />
ℜ<br />
ℜ<br />
p078-p081 : Conceito de<br />
► Majorante.<br />
► Minorante.<br />
► Supremo.<br />
► Ínfimo.<br />
► Máximo.<br />
► Mínimo.<br />
de um conjunto.<br />
► Dominar os conceitos.<br />
► Fazer exercícios se for importante para o<br />
domínio dos conceitos.<br />
1<br />
3<br />
p001-p063 : Lógica matemática.<br />
Teoria dos conjuntos.<br />
Relações binárias e relações de equivalência.<br />
p064-p077 : Valor absoluto de um número real; propriedades.<br />
► Ver.<br />
► Resolver 1 ou 2 exercícios.<br />
Exemplo : Determine o conjunto de verdade da condição:<br />
x 3 − x<br />
<<br />
1 − 2x<br />
2x<br />
+ 7<br />
Majorante de um conjunto U ⊂ ℜ<br />
a ∈ ℜ é majorante da U se ∀ x ∈ U : x ≤ a<br />
Minorante de um conjunto U ⊂ ℜ<br />
a ∈ ℜ é minorante da U se ∀ x ∈ U : a ≤ x<br />
Supremo e Máximo de um conjunto U ⊂ ℜ<br />
Ao menor dos majorantes de um conjunto U ⊂ ℜ dá-se o nome de<br />
supremo do conjunto.<br />
Se o supremo pertencer ao conjunto toma o nome de máximo do conjunto.<br />
Ínfimo e Mínimo de um conjunto U ⊂ ℜ<br />
Ao maior dos minorantes de um conjunto U ⊂ ℜ dá-se o nome de<br />
ínfimo do conjunto.<br />
Se o ínfimo pertencer ao conjunto toma o nome de mínimo do conjunto.<br />
2<br />
4<br />
1
ℜ<br />
p082-p102 : Noções Topológicas em .<br />
Conceito de<br />
► Distância.<br />
► Vizinhança.<br />
► Interior.<br />
► Exterior.<br />
► Fronteira.<br />
► Aderência ou Fecho.<br />
► Derivado.<br />
de um conjunto.<br />
► Ler com atenção.<br />
► Dominar os conceitos.<br />
► Fazer exercícios.<br />
Ponto<br />
► Interior.<br />
Conjunto<br />
► Aberto.<br />
► Exterior.<br />
► Fechado.<br />
► Fronteiro.<br />
► Limitado.<br />
► Aderente.<br />
► Compacto.<br />
► de Acumulação. ► Conexo.<br />
► Isolado.<br />
► Desconexo.<br />
Vizinhança<br />
+<br />
Sendo a ∈ ℜ e ε ∈ ℜ , chama-se vizinhança ε de a , ou vizinhança<br />
de centro a e raio ε , e representa-se por Vε (a)<br />
, ou V ( a,<br />
ε)<br />
, o<br />
conjunto de números reais cuja distância a a é inferior a ε .<br />
{ x ∈ ℜ : d(<br />
x,<br />
a)<br />
< ε}<br />
= { x ∈ ℜ x − a < ε}<br />
V ε(<br />
a)<br />
=<br />
:<br />
Uma vizinhança é um intervalo aberto<br />
V ε(<br />
a)<br />
= ] a − ε,<br />
a + ε[<br />
e todo o intervalo aberto é uma vizinhança.<br />
Dado o intervalo aberto ] [<br />
tem-se que<br />
] x [ = V ( a)<br />
x1 2 ε<br />
1 2 ,x<br />
x2<br />
+ x1<br />
x2 − x1<br />
x , sendo a = e ε = ,<br />
2<br />
2<br />
5<br />
7<br />
Distância<br />
Seja E um conjunto de elementos quaisquer . Chama-se distância, ou<br />
2<br />
métrica, sobre E , a qualquer aplicação d : E → ℜ que goze das<br />
propriedades:<br />
1) ∀x , y ∈ E,<br />
d(<br />
x,<br />
y)<br />
= 0 sse x = y ;<br />
2) ∀ x , y ∈ E,<br />
d(<br />
x,<br />
y)<br />
= d(<br />
y,<br />
x)<br />
3) ∀ x , y,<br />
z ∈ E,<br />
d(<br />
x,<br />
z)<br />
≤ d(<br />
x,<br />
y)<br />
+ d(<br />
y,<br />
z)<br />
O conjunto E com distância d diz-se um espaço métrico.<br />
A distância que usualmente interessa considerar em ℜ é a função<br />
2<br />
d : ℜ → ℜ,<br />
d(<br />
x,<br />
y)<br />
= x − y<br />
Ponto interior<br />
Um ponto a ∈ ℜ é ponto interior do conjunto A ∈ ℜ se existe pelo<br />
menos uma vizinhança de a contida em A :<br />
∃ ε > 0 : Vε ( a)<br />
⊂ A<br />
Exemplo: A = ] 0, 3 ]<br />
0 1 2 a 3<br />
[ ]<br />
Interior de um conjunto<br />
O interior de um conjunto A é o conjunto dos seus pontos interiores<br />
e representa-se por Int ( A)<br />
.<br />
no exemplo: int(A) = ] 0, 3 [<br />
6<br />
8<br />
2
Ponto exterior<br />
Um ponto a ∈ ℜ é ponto exterior do conjunto A ∈ ℜ se existe pelo<br />
menos uma vizinhança de a disjunta de A :<br />
∃ ε > 0 : V ε( a)<br />
∩ A = ∅<br />
Exemplo: A = ] 0, 3 ]<br />
0 1 2 3 a<br />
Exterior de um conjunto<br />
O exterior de um conjunto A é o conjunto dos seus pontos exteriores<br />
e representa-se por Ext ( A)<br />
.<br />
no exemplo: Ext(<br />
A)<br />
= ] − ∞,<br />
0[<br />
U ] 3,<br />
+ ∞[<br />
Ponto Aderente<br />
Um ponto a ∈ ℜ é ponto aderente do conjunto A ∈ ℜ se a é ponto<br />
interior ou ponto fronteiro de A .<br />
Aderência, ou Fecho, de um conjunto<br />
A aderência, ou fecho, de um conjunto A é o conjunto dos seus pontos<br />
aderentes e representa-se por A .<br />
A = Int(<br />
A)<br />
∪ Front(<br />
A)<br />
Conjunto fechado<br />
Um conjunto A diz-se fechado se for idêntico ao seu fecho<br />
A = A = Int(<br />
A)<br />
∪ Front(<br />
A)<br />
Conjunto aberto<br />
Um conjunto A diz-se aberto se for idêntico ao seu interior<br />
A = Int(A)<br />
]<br />
[<br />
9<br />
11<br />
Ponto fronteiro<br />
Um ponto a ∈ ℜ é ponto fronteiro do conjunto A ∈ ℜ se a não é<br />
ponto interior de A nem ponto exterior de A , isto é, em qualquer<br />
vizinhança de a existe pelo menos um ponto de A e pelo menos<br />
um ponto do complementar de A<br />
∀ ε > 0 : V ε(<br />
a)<br />
∩ A ≠ ∅ ∧ Vε<br />
( a)<br />
∩ A<br />
Exemplo: A = ] 0, 3 ]<br />
]<br />
0<br />
1 2 3<br />
Fronteira de um conjunto<br />
A fronteira de um conjunto A é o conjunto dos seus pontos fronteiros<br />
e representa-se por Front ( A)<br />
.<br />
no exemplo: Front(<br />
A)<br />
= { 0,<br />
3 }<br />
Conjunto Limitado<br />
Conjunto Compacto<br />
[<br />
≠ ∅<br />
A ⊂ ℜ é um conjunto limitado se for majorado e minorado, isto é,<br />
se tiver pelo menos um majorante e um minorante<br />
∃ a, b ∈ ℜ : ∀x<br />
∈ A a ≤ x ≤ b<br />
(ou)<br />
A ⊂ ℜ é um conjunto limitado se existir uma vizinhança<br />
que o contenha, i.e. se existir um conjunto aberto que o contenha.<br />
A ⊂ ℜ é um conjunto compacto se for limitado e fechado.<br />
]<br />
[<br />
10<br />
12<br />
3
Conjuntos Separados<br />
A ⊂ ℜ e B ⊂ ℜ dizem-se conjuntos separados se cada um<br />
deles está contido no exterior do outro.<br />
Conjunto Desconexo<br />
A ⊂ ℜ é um conjunto desconexo se é a união de dois<br />
conjuntos separados.<br />
Conjunto Conexo<br />
A ⊂ ℜ é um conjunto conexo se não é desconexo<br />
Exemplo<br />
Considere o conjunto<br />
{ x ∈ ℜ : 0 < 2x<br />
− 1 < 5 ∨ − 4 ≤ 0 }<br />
A = x<br />
Represente graficamente o conjunto<br />
⎤ 1 ⎡ ⎤ 1 ⎡<br />
A = ⎥ − 2, ∪ , 3 ∪<br />
2 ⎢ ⎥ 2 ⎢<br />
⎦ ⎣ ⎦ ⎣<br />
Determine<br />
O interior<br />
A fronteira<br />
O exterior<br />
{} 4<br />
Int(A)<br />
Front(A)<br />
Ext(A)<br />
-2 1/2<br />
3 4<br />
⎤ 1 ⎡ ⎤ 1 ⎡<br />
= ⎥ − 2,<br />
⎢ ∪ ⎥ , 3 ⎢<br />
⎦ 2 ⎣ ⎦ 2 ⎣<br />
⎧ 1 ⎫<br />
= ⎨−<br />
2,<br />
, 3,<br />
4 ⎬<br />
⎩ 2 ⎭<br />
] − ∞,<br />
−2<br />
[ ∪ ] 3,<br />
4 [ ∪ ] 4 +∞ [<br />
= ,<br />
13<br />
15<br />
Ponto de Acumulação<br />
Um ponto a ∈ ℜ é ponto de acumulação do conjunto A ∈ ℜ se em<br />
qualquer vizinhança de a existe pelo menos um ponto de A distinto<br />
de a .<br />
∀ ε > 0 : { Vε ( a)<br />
\ a}<br />
∩ A ≠ ∅<br />
Derivado de um conjunto<br />
O derivado de um conjunto A é o conjunto dos seus pontos<br />
de acumulação e representa-se por A′ .<br />
Ponto Isolado<br />
Um ponto a ∈ ℜ é ponto isolado do conjunto A ∈ ℜ se a ∈ A<br />
e não é ponto de acumulação de A .<br />
Determine<br />
Majorantes<br />
Supremo e Máximo<br />
Minorantes<br />
Ínfimo e Mínimo<br />
Fecho<br />
Derivado<br />
[ 4,<br />
+∞[<br />
-2 1/2<br />
3 4<br />
Sup(<br />
A)<br />
= Max(<br />
A)<br />
=<br />
] −<br />
∞,−<br />
2]<br />
Inf(<br />
A)<br />
= −2<br />
{ 4 }<br />
[ − 2,<br />
3 ] { 4 }<br />
A = Int(<br />
A)<br />
∪ FrontA)<br />
= ∪<br />
A′<br />
=<br />
[ − 2,<br />
3 ]<br />
14<br />
16<br />
4
É Aberto ou Fechado ?<br />
É Limitado ?<br />
O conjunto A não é aberto porque A ≠ int(A)<br />
O conjunto A não é fechado porque A ≠ A<br />
O conjunto A é limitado porque é majorado e minorado<br />
É Compacto ?<br />
É Conexo ?<br />
-2 1/2<br />
3 4<br />
O conjunto A é limitado mas não é fechado, logo, não é<br />
compacto<br />
⎤ 1 ⎡ ⎤ 1 ⎡<br />
O conjunto A = ⎥ − 2, ∪ , 3 ∪ {} 4<br />
2 ⎢ ⎥ 2 ⎢ não é conexo<br />
⎦ ⎣ ⎦ ⎣<br />
17<br />
5