Modelos de Filas - deetc

ISEL - DEEC - SST
Modelos e Simulação em Sistemas de Telecomunicações
Modelos de Filas
■ Um modelo de filas representa um sistema ao qual os utentes chegam para
receberem um determinado serviço.
■ Quando todos os servidores do sistema estiverem ocupados, os novos utentes que
cheguem ao sistema terão de esperar pelo atendimento, numa fila.
■ Um típico modelo de filas é constituído pelos seguintes elementos:
Nuno Cota - 2000
◆ Utentes
◆ Servidores
◆ Redes de filas
Utente
Utente
Utente
Utente
Utente
Utente
Servidor
Servidor
Servidor
Servidor
Servidor
Servidor
MF-1

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Modelos de Filas
Características
Nuno Cota - 2000
População
◆ A população poderá ser finita ou infinita
◆ Em sistemas com populações grandes, normalmente assume-se população infinita
◆ A diferença entre o tipo de população reside no ritmo de chegadas:
⎯ População infinita: O ritmo de chegadas de utentes ao sistema não é afectado pelo
número de utentes no sistema
⎯ População finita: O ritmo de chegadas será inversamente proporcional ao número de
utentes no sistema.
Capacidade do sistema
◆ Número máximo de utentes permitido no sistema.
⎯ Por exemplo, uma cabine telefónica. A capacidade do sistema, neste caso, é 1.
MF-2

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Modelos de Filas
Características
Nuno Cota - 2000
Processo de Chegada
População infinita
◆ Tempo entre chegadas caracterizado por uma distribuição aleatória, por exemplo,
distribuição de Poisson
População finita
◆ Define-se normalmente os utentes como estando pendentes, quando estão for a do
sistema.
◆ O ritmo de chegadas é função do número de utentes pendentes na população.
Comportamento
◆ Os utentes deixam o sistema quando vêm que a fila está demasiado longa
◆ Utentes abandonam o sistema quando verificam que a fila está a andar muito
lentamente
◆ Utentes deslocam-se entre filas, assim que acham que outra fila é mais rápida.
MF-3

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Modelos de Filas
Características
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Disciplina da fila
Como é que os utentes são atendidos na fila:
◆ FIFO : First-In-First-Out
Primeiro utente a chegar à fila será o primeiro a ser atendido
◆ LIFO : Last-In-First-Out
O último utente a chegar à fila é o primeiro a ser atendido
◆ SIRO : Service-In-Random-Order
O atendimento dos utentes faz-se por ordem aleatória
◆ SPT : Shortest-Processing-Time first
O utente a ser atendido em primeiro lugar será aquele cujo tempo de
atendimento é menor
◆ PR : Priority Rules
O atendimento faz-se de acordo com as regras de prioridades pré estabelecida.
MF-4

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Modelos de Filas
Notação
A notação mais utilizada universalmente para modelos de filas é:
em que:
A representa o processo de chegadas.
A / B / c / K / m / d
B representa o processo de atendimento
c representa o número de servidores
K denota a capacidade do sistema
m representa a população
d denota a disciplina da fila
A e
e
B denotam-se
denotam-se
principalmente
principalmente
como:
como:
⎯ M para
para
distribuições
distribuições
exponenciais
exponenciais
⎯ D para
para
valores
valores
determinísticos
determinísticos
⎯ G para
para
caracterizar
caracterizar
distribuições
distribuições
em
em
geral
geral
Quando K, ou m, é omitido, significa que toma o valor de infinito. Quando d é omitido
significa que a disciplina é do tipo FIFO. O caso mais normal, denotamos assim:
A / B / c
MF-5

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Modelos de Filas
Lei de Little
Nuno Cota - 2000
O mais importante resultado da teoria das filas de espera é conhecido como a
Lei de Little, que diz:
Número médio
de utentes no
sistema
Esta condição só se verifica se:
= Ritmo de Chegada X
◆ O sistema de filas estiver estável, ou seja, o número de utentes no sistema não
cresce significativamente
◆ Não são “criados” ou “removidos” utentes pelo sistema, ou seja, apenas são
servidos os utentes que entram no sistema.
A performance de um sistema composto por filas é quantificada por:
➣ Número médio de utentes no sistema ( L ) e na fila ( L Q )
➣ Tempo médio de permanência no sistema ( W ) e na fila ( W Q )
Sendo assim, podemos escrever a Lei de Little como:
Tempo médio
de espera no
sistema
L =
W
MF-6

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Modelos de Filas
Expressões úteis
Para além das medidas de performance de sistemas de filas de espera vistas anteriormente, na
análise destes sistemas, iremos utilizar a seguinte notação:
S Tempo médio de atendimento, ou serviço
A Intensidade de Tráfego
c Número de servidores
S
=
A =
ρ =
1
μ
λ
μ
A
c
Ritmo médio de chegadas
Ritmo médio de atendimentos
Utilização média do processador
Em consequência da lei de Little, e analisando os princípios dos processos de
Poisson, obteremos as seguintes relações:
W =
W
L
L
Q
=
L
Q
Q
+
L = λW
= λW
+ S
Q
A
MF-7

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Modelos de Filas
Modelo de Markov
Na condição de equilíbrio, verifica-se que
resolvendo esta expressão, para os diversos valores de k, obteremos,
pelo que teremos:
0
λ0 1
λ1 2 ... k-1
λk-1 k
λk k+1 ...
μ1 μ2 μk μk+1 1−λ 0
p
1
λ
1−λ 1 −μ 1
k −1
1−λ 2 −μ 2 1−λ k−1 −μ k−1 1−λ k −μ k 1−λ k+1 −μ k+1
pk −1
+ μk
+ 1 pk
+ 1 = ( λk
+ μk
) pk
λ
= 0 p0
, , ...
μ
p =
⎛ 0 ⎞⎛
1 ⎞
2 p0⎜
⎟⎜
⎟
1
⎝ μ1
⎠⎝
μ2
⎠
p
k
=
p
∏ − k 1
0
i=
0
λ
i
μ
i+
1
λ
com
λ
p
0
com k ≥ 0
∞ k −1
⎡ λ
= ⎢1+
i ∑∏
⎣
μ
k = 1 i=
0
⎤
+ 1
⎥ i ⎦
−1
MF-8

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Modelos de Filas
Sistemas M / M / 1
Considerando que:
Fazendo
e sabendo que
poderemos retirar que
Assim,
λ = λ
k
μ = μ
k
0
λ
1
λ
2
λ
...
λ
k-1
λ
k ...
μ μ μ μ μ
1−λ 1−λ −μ 1−λ −μ
1-λ-μ 1-λ-μ
λ
ρ = 0
μ
p p
k
, que representa a intensidade de tráfego, teremos k = ρ
∞
1 = ∑ pk
∞
k
= p0∑
ρ = p0
k = 0
k = 0
L
L
p
Q
0
=
1
,
1−
ρ
se ρ < 1
k
= 1−
ρ e p = ( 1−
ρ)
ρ , para k > 0
E[
pk
= λW
ρ
] =
1−
ρ
Q
2
ρ
=
1−
ρ
k
W
W Q
L S
= =
λ 1−
ρ
Sρ
= W − S =
1−
ρ
MF-9

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Modelos de Filas
Sistemas M / G / 1
Para o caso em que não se conhece a distribuição do tempo de serviço, poderemos
generalizar as expressões anteriores, a partir da conhecida fórmula de Pollaczek-
Khintchine:
A partir desta expressão, poderemos retirar as restantes grandezas
Sistemas M / D / 1
Assim, teremos:
W Q
W
WQ
2 2 2
λ σ S + ρ
=
2λ(
1−
ρ)
Podemos particularizar para o caso de tempo de serviço constante.
2
Neste caso, σ
= 0
S
Sρ
=
2( 1−
ρ)
1
= WQ
+
μ
L LQ
+ =
LQ
A
2
ρ
=
2(
1−
ρ)
MF-10

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Modelos de Filas
Sistemas M / M / 1 / N
Neste caso, o sistema só suportará N
utentes na fila de espera.
Utilizando o mesmo principio que anteriormente,
teremos:
p
k
k
= ρ p0
e, tendo em atenção que o limite superior é
agora N, teremos
assim,
p
0
=
1+
pk
1
N
∑
k = 1
k
ρ
1−
ρ
=
1−
ρ
k
ρ ( 1−
ρ)
= k + 1
1−
ρ
k + 1
0
λ
1
λ
2
λ
...
λ
N-1
λ
μ μ μ μ μ
A probabilidade de um utente chegar ao sistema e
encontrar a fila completa será
pN
N
ρ ( 1−
ρ)
= N + 1
1−
ρ
O número médio de utentes no sistema será:
ρ ( N + 1)
ρ
L = −
N + 1
1−
ρ 1−
ρ
N + 1
Podemos a partir daqui, com a ajuda da lei
de Little retirar as restantes grandezas.
N
MF-11

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Modelos de Filas
Sistemas M / M / c
O sistema dispõe agora
de C servidores.
Neste sistema a utilização média de cada servidor
será dada por:
A
ρ =
C
Tendo em atenção a figura, teremos
e
p
k
p
k ⎧ A
⎪ p
k!
= ⎨ k
⎪ A
c
⎪⎩
c!
0
⎛
= 1−
⎜
⎝
⎡
= ⎢
⎢⎣
c−1
0
c−k
c−1
k = 1
p
0
k
A
+
k!
k c
A A
+
k!
c!
k= 0 k=
0
λ λ λ λ λ λ λ
0 1 2 ... c -1 c c+1 ...
μ 2μ 3μ (c -1)μ c μ c μ c μ
1−λ 0
se 0 ≤ k ≤ c
∞
∑ ∑
k = c
se k ≥ c
∞
∑ ∑
k
A
c
c!
⎛
⎜
⎝
A ⎞
⎟
c ⎠
c−k
k
⎤
⎥
⎥⎦
⎞
⎟ p
⎠
−1
0
1−λ 1 −μ 1
1−λ 2 −μ 2
ficando com
p
1-λ-(c -1)μ 1-λ-c μ 1-λ-c μ
0
c−1
k c ⎡ A A 1 ⎤
= ⎢∑
+ ⎥
⎣k
= 0 k!
c!
1−
A c⎦
Se pretendermos saber a probabilidade de um
utente entrar em lista de espera, teremos:
C
Esta expressão é conhecida como sendo a
fórmula de Erlang-C
−1
A
= 1 k
A
A + c!
( 1−
A )∑ c k!
∞
c
( c,
A)
∑ pk
=
c−
k = c
c
Comprimento médio da fila de espera:
A
LQ = C(
c,
A)
c − A
k = 0
MF-12

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Modelos de Filas
Sistemas M / M / c / c
O sistema dispõe agora de C servidores e C
lugares na fila de espera. Os utentes que
encontrem os servidores ocupados, serão
imediatamente rejeitados
Neste caso, o limite superior será c, tendo
assim:
k
p
k
A probabilidade de um utente não ser atendido
é dada pela probabilidade de estarem c
servidores ocupados, tendo assim:
B(
c,
A)
A
= c
∑ i=
0
=
p
c
k!
i
A i!
=
A
c
c!
A
k
c
∑ k=
0 k!
Computacionalmente é mais eficiente a utilização
da expressão de Erlang B, na sua forma recursiva:
em que
...
λ λ
k-1 k c
kμ c μ
1−λ−(k-1)μ 1−λ−kμ 1−λ N −μ χ
AB(
c −1,
A)
B(
c,
A)
=
c + AB(
c −1,
A)
B(
0,
A)
= 1
Esta expressão é conhecida como a
fórmula de Erlang-B
MF-13

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Modelos e Simulação em Sistemas de Telecomunicações
Modelos de Filas
Sistemas M / M / c / c / m
É um sistema equivalente ao anterior,
existindo agora a particularidade de a
população não ser infinita. Neste caso o ritmo
de chegadas dependerá da população.
Como, o ritmo de chegadas não será
constante, teremos:
e
k
m!
A ⎛m
⎞
pk = p0
= p0⎜
⎟A
k!
( m − k)!
⎝ k ⎠
p
0
⎛
= ⎜
∑
⎝
c
⎛m
⎞
⎝ i ⎠
⎞
= 0 ⎟ i
⎜ ⎟A
i
⎠
−1
k
0
mλ
1
(m-1)λ (m-2)λ (m-c+1)λ
2 ... c-1
(m-c)λ
μ 2μ 3μ (c−1)μ cμ
Assim, teremos
⎛m
⎞ k
⎜ ⎟A
⎝ k ⎠
⎛m
⎞
⎜ ⎟A
⎝ i ⎠
c
∑ i=
0
Se pretendermos saber a probabilidade de um
utente não encontrar o sistema completo,
teremos:
B
=
⎛m
⎞ c
⎜ ⎟A
⎝ c ⎠
⎛m
⎞
⎜ ⎟A
⎝ i ⎠
c
∑ i=
0
i
p
k
=
Esta é a fórmula de
Engset, normalmente
utilizada em redes de
telecomunicações
privadas
i
c
MF-14