Revista de - Ministério da Agricultura

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A renda média é
(2)
Agregando as pessoas da mais pobre até a
i-ésima posição na série 1, a proporção acumulada
da população é
e a respectiva proporção acumulada da renda é
Sabe-se que a curva de Lorenz mostra
como Φᵢ varia em função de pᵢ. Admitindo que
xᵢ ≥ 0 e sendo β a área entre a curva de Lorenz
e o eixo das abscissas (pᵢ), o índice de Gini pode
ser definido como
G = 1 - 2β (5)
Pode-se demonstrar que o mesmo índice
é dado por
(3)
(4)
(6)
Considere-se, em seguida, que a renda xᵢ é
formada por k parcelas, de maneira que
(7)
com x representando o valor da h-ésima par-
hi
cela da renda da i-ésima pessoa.
A média da h-ésima parcela é
(8)
e a proporção acumulada do total dessa parcela
até a i-ésima pessoa na série 1 é
(9)
Analogamente à definição da curva de
Lorenz, denomina-se curva de concentração
da h-ésima parcela a curva que mostra como
Φ hi varia em função de p i . Cabe ressaltar que
na construção da curva de concentração de x hi
Ano XX – N o 2 – Abr./Maio/Jun. 2011
é usada a ordenação dos x i (e não a ordenação
dos x hi , que pode ser diferente).
Admitindo que x ≥ 0 e sendo β a área
hi h
entre a curva de concentração de x e o eixo das
hi
abscissas (p ), a respectiva razão de concentra-
i
ção é definida como
C = 1 - 2β (10)
h h
Note-se a semelhança entre (5) e (10).
Analogamente a (6), pode-se demonstrar que
Verifica-se que .
(11)
A participação da h-ésima parcela na
renda total é
(12)
Pode-se demonstrar que o índice de Gini
é a seguinte média ponderada das razões de
concentração:
Como ∑φ h = 1, pode-se escrever
(13)
(14)
Com φ h > 0, o sinal de G - C h é que determina
se a parcela contribui para reduzir ou
aumentar o valor do índice de Gini. Se C h < G,
a parcela x hi está contribuindo para reduzir o
índice de Gini. Se C h > G, a parcela x hi está contribuindo
para aumentar o índice de Gini.
Para uma parcela x ≥ 0 da renda x ,
hi i
define-se a medida de progressividade de
Lerman-Yitzhaki como
π = G - C (15)
h h
O nome dado a essa medida de progressividade
é um reconhecimento do pioneirismo
de Lerman e Yitzhaki (1985, 1995), que ressal-