Lista 10 – Análise Combinatória e Probabilidade
Lista 10 – Análise Combinatória e Probabilidade
Lista 10 – Análise Combinatória e Probabilidade
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
‘<br />
Responsáveis:<br />
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL<br />
COLÉGIO DE APLICAÇÃO - INSTITUTO DE MATEMÁTICA<br />
OFICINAS DE ENSINO-APRENDIZAGEM DE MATEMÁTICA<br />
LABORATÓRIO DE PRÁTICA DE ENSINO EM MATEMÁTICA<br />
Prof. Luiz Davi Mazzei, Profa Simone Cruz, Profa. Fabiana Serres, Prof . Marcus Basso,<br />
Acadêmicos: Andressa Pizzinato, Guiherme Guedes, Jordana Donelli, Marcelo Anjos, Paola Rossato e Walter Haselein<br />
<strong>Lista</strong> <strong>10</strong> <strong>–</strong> <strong>Análise</strong> <strong>Combinatória</strong> e <strong>Probabilidade</strong><br />
1) Dada a palavra AMORECO, responda as seguintes questões:<br />
a) Quantos são seus anagramas?<br />
= 2520<br />
b) Quantas são os anagramas que começam e terminam por consoante?<br />
(<br />
) .<br />
c) Quantos são os anagramas que começam por consoante e terminam por vogal?<br />
(<br />
) .<br />
d) Quantos são os anagramas que tem RECO nesta ordem? Considere RECO como uma<br />
só letra e sobrará apenas 4 espaços para permutar todas as letras, portanto teremos<br />
.<br />
e) Quantos são os anagramas que tem as letras M e O juntas? Mesmo raciocínio da letra<br />
d: considere M e O como uma só letra e permute o total de letras, ou seja, 6!. Mas como<br />
temos mais que uma possibilidade de formar palavras com as letras M e O, multiplicamos a<br />
permutação das letras pelo número de permutações que podemos formar com as letras M e O<br />
juntas, no caso, 2! (MO ou OM). Então teremos .<br />
2) Informe para quais valores as igualdades a seguir são válidas:<br />
a) An,2=6<br />
( )<br />
( )( )<br />
( )<br />
( )<br />
A igualdade é válida para quando .<br />
O valor faz sentido nesse caso?<br />
b) C5,2= n<br />
( )
‘<br />
Responsáveis:<br />
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL<br />
COLÉGIO DE APLICAÇÃO - INSTITUTO DE MATEMÁTICA<br />
OFICINAS DE ENSINO-APRENDIZAGEM DE MATEMÁTICA<br />
LABORATÓRIO DE PRÁTICA DE ENSINO EM MATEMÁTICA<br />
Prof. Luiz Davi Mazzei, Profa Simone Cruz, Profa. Fabiana Serres, Prof . Marcus Basso,<br />
Acadêmicos: Andressa Pizzinato, Guiherme Guedes, Jordana Donelli, Marcelo Anjos, Paola Rossato e Walter Haselein<br />
A igualdade é válida para quando n=<strong>10</strong>.<br />
c) An,n-1 = Cn,n-1<br />
( ( ))<br />
( ) ( ( ))<br />
(<br />
(<br />
)<br />
)<br />
A igualdade é válida para quando n=1, pois 1! = 1 e para n=2, pois 2! = 2.1= 2.<br />
3) Calcule o Binômio nas seguintes alternativas:<br />
a) (x² + 7)² = resposta<br />
b)( ) = resposta<br />
c)(<br />
)<br />
= resposta<br />
Utilize este exemplo para o cálculo dos binômios acima: dado um n, potência que eleva a<br />
equação, o binômio será escrito da seguinte forma:<br />
4) Construa o Triângulo de Pascal, calcule a combinação e veja se a igualdade é válida:<br />
Construção:
‘<br />
Responsáveis:<br />
a) (<br />
b) (<br />
(<br />
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL<br />
COLÉGIO DE APLICAÇÃO - INSTITUTO DE MATEMÁTICA<br />
OFICINAS DE ENSINO-APRENDIZAGEM DE MATEMÁTICA<br />
LABORATÓRIO DE PRÁTICA DE ENSINO EM MATEMÁTICA<br />
Prof. Luiz Davi Mazzei, Profa Simone Cruz, Profa. Fabiana Serres, Prof . Marcus Basso,<br />
Acadêmicos: Andressa Pizzinato, Guiherme Guedes, Jordana Donelli, Marcelo Anjos, Paola Rossato e Walter Haselein<br />
) (<br />
) (<br />
) (<br />
).<br />
) a igualdade é válida.<br />
) a igualdade não é valida. (No triângulo de pascal acima, foi marcado<br />
5) Em dois lançamentos sucessivos de um mesmo dado, qual a probabilidade de ocorrer<br />
um número maior que 3 e o número 2?<br />
Perceba que a ocorrência do primeiro evento não influencia na probabilidade do outro ocorrer,<br />
portanto são dois eventos independentes e teremos que calculá-los de forma independente.<br />
Seja o evento “A” “sair um número maior que 3”: Para este, temos como possíveis resultados<br />
os números 4, 5 ou 6 e, portanto e = {4,5,6}. No lançamento de um dado, temos 6 valores<br />
possíveis, portanto e.a. = {1,2,3,4,5,6}. Portanto, a probabilidade do evento ocorrer é p(A) =<br />
½.<br />
Seja o evento “B” “sair o número 2”. Para este, só temos um possível resultado, portanto e =<br />
{2}. Novamente temos seis valores possíveis para o lançamento do dado, e portanto portanto,<br />
e = {4,5,6}. Logo, a probabilidade do evento ocorrer é p(B) =<br />
Seja p(AB) a probabilidade do evento A e do evento B ocorrer. Portanto, pelo principio<br />
multiplicativo, teremos ( )<br />
,<br />
6) Em uma cartola de mágico há 30 bolinhas numeradas de 1 a 30. Serão retiradas dela<br />
duas bolinhas, uma após a outra, sem reposição. Qual a probabilidade de sair um múltiplo de<br />
<strong>10</strong> na primeira e um número ímpar na segunda?<br />
Solução: Como as bolinhas são retiradas sem reposição, o primeiro evento interefere na<br />
probabilidade do segundo evento ocorrer. Portanto, esses eventos não são independentes e não<br />
podem ser calculados de forma independente.<br />
Seja o evento “A” “sair um múltiplo de <strong>10</strong>”. Portando, e ={<strong>10</strong>, 20, 30}. Como temos 30<br />
bolinhas, p(A) =<br />
.<br />
Seja o evento “B” “sair um número ímpar”. Portanto e ={1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21,<br />
23, 25, 27, 29}. Como já foi retirada uma bolinha, teremos 29 restantes, logo p(B) =<br />
Seja ( ) a probabilidade dos dois eventos ocorrerem, logo, pelo principio multiplicativo,<br />
teremos que ( )<br />
.<br />
.
‘<br />
Responsáveis:<br />
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL<br />
COLÉGIO DE APLICAÇÃO - INSTITUTO DE MATEMÁTICA<br />
OFICINAS DE ENSINO-APRENDIZAGEM DE MATEMÁTICA<br />
LABORATÓRIO DE PRÁTICA DE ENSINO EM MATEMÁTICA<br />
Prof. Luiz Davi Mazzei, Profa Simone Cruz, Profa. Fabiana Serres, Prof . Marcus Basso,<br />
Acadêmicos: Andressa Pizzinato, Guiherme Guedes, Jordana Donelli, Marcelo Anjos, Paola Rossato e Walter Haselein<br />
7) Um professor de física gostaria de fazer um experimento com nitrogênio líquido para<br />
mostrar aos alunos que quando se põe nitrogênio liquido em um lugar comprimido, e em<br />
contato com o ar atmosférico, ao passar do estado liquido para o gasoso, ele explode. Para<br />
fazer isso ele utilizou uma garrafa pet e colocou a garrafa com o nitrogênio dentro de uma<br />
lixeira opaca e fechou ela com <strong>10</strong> bolinhas, distribuídas metade a metade entre as cores azul e<br />
branca, mas percebeu que <strong>10</strong> bolinhas eram demais para a lixeira, e teve que retirar duas. Qual<br />
a probabilidade de ele retirar 2 bolinhas brancas ao acaso, uma após a outra?<br />
Solução: Como as bolinhas são retiradas ao acaso uma após a outra, o primeiro evento<br />
interfere na probabilidade do segundo evento ocorrer. Portanto, esses eventos não são<br />
independentes e não podem ser calculados de forma independente.<br />
Seja o evento “A” “tirar a primeira bolinha branca”. No total temos <strong>10</strong> bolinhas, portanto a<br />
cardinalidade do espaço amostral é <strong>10</strong>. Dentre essas <strong>10</strong>, temos 5 brancas, portanto a<br />
cardinalidade do evento é 5. Portanto p(A) = .<br />
Seja o evento “B” “tirar a segunda bolinha branca”. Como já foi retirada uma bolinha, temos<br />
que a cardinalidade do espaço amostral é 9. A bolinha retirada foi uma branca, portanto a<br />
cardinalidade do evento é 4. Portanto p(B) = .<br />
Seja ( ) a probabilidade dos dois eventos ocorrerem, logo, pelo principio multiplicativo,<br />
teremos que ( ) .<br />
8) (PUC-RIO 20<strong>10</strong>) Quatro moedas distintas são lançadas simultaneamente. Qual é a<br />
probabilidade de ocorrer coroa em uma só moeda?<br />
Solução: Lembre-se que temos probabilidade de cair coroa para as 4 moedas, portanto ao<br />
fazer os cálculos temos que levar isso em conta. Para cada moeda temos duas possibilidades,<br />
cara ou coroa. Portanto, pelo raciocínio da combinatória e pelo principio multiplicativo, para<br />
as 4 moedas teremos possibilidades e, portanto a cardinalidade do espaço<br />
amostral é 16.<br />
Para a primeira moeda temos que a cardinalidade do evento é 1, portanto p(A) = 1/16. Para a<br />
segunda moeda temos que a cardinalidade do evento é 1, portanto p(B) = 1/16. Para a terceira<br />
moeda temos que a cardinalidade do evento é 1, portanto p(C) = 1/16. Para a quarta moeda<br />
temos que a cardinalidade do evento é 1, portanto p(D) = 1/16.<br />
Seja ( ) a probabilidade de cair coroa em uma só moeda. Como o evento é cair<br />
cara em somente uma das moedas, temos a probabilidade do evento ocorrer para a primeira<br />
moeda ou para a segunda moeda ou para a terceira moeda ou para a quarta moeda, portanto<br />
pelo principio aditivo ( )<br />
9) Três moedas são lançadas ao mesmo tempo. Qual é a probabilidade de as três moedas caírem<br />
com a mesma face para cima?
‘<br />
Responsáveis:<br />
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL<br />
COLÉGIO DE APLICAÇÃO - INSTITUTO DE MATEMÁTICA<br />
OFICINAS DE ENSINO-APRENDIZAGEM DE MATEMÁTICA<br />
LABORATÓRIO DE PRÁTICA DE ENSINO EM MATEMÁTICA<br />
Prof. Luiz Davi Mazzei, Profa Simone Cruz, Profa. Fabiana Serres, Prof . Marcus Basso,<br />
Acadêmicos: Andressa Pizzinato, Guiherme Guedes, Jordana Donelli, Marcelo Anjos, Paola Rossato e Walter Haselein<br />
Solução: Através do princípio fundamental da contagem podemos determinar o número total<br />
de agrupamentos ao lançarmos três moedas. Como cada moeda pode produzir dois resultados<br />
distintos, três moedas irão produzir 2 . 2 . 2 resultados distintos, ou seja, poderão produzir 8<br />
resultados distintos e este é o nosso espaço amostral. Dentre as 8 possibilidades do espaço<br />
amostral, o evento que representa todas as moedas com a mesma face para cima possui apenas<br />
2 possibilidades, ou tudo cara ou tudo coroa e, portanto, a probabilidade das três moedas<br />
caírem com a mesma face para cima é igual a ¼.<br />
<strong>10</strong>) Em uma caixa há 2 correntes amarelas, 5 correntes azuis e 7 correntes verdes. Se retirarmos<br />
uma única corrente, qual a probabilidade dela ser verde ou amarela?<br />
Solução: A cardinalidade do espaço amostral é 14. Como a ocorrência de um evento não<br />
interfere no outro, pois são eventos distintos, podemos calcular as probabilidades<br />
separadamente.<br />
Seja o evento “A” o evento de se “obter uma corrente verde”. A cardinalidade do evento é 7,<br />
portanto a probabilidade do evento ocorrer é igual a 7/ 14:<br />
Seja o evento “B” ...qual evento?. A cardinalidade do evento é 2, portanto a probabilidade do<br />
evento ocorrer é igual a 2/ 14:<br />
Seja ( ) probabilidade de um ou outro evento ocorrer, portanto pelo principio aditivo<br />
( )<br />
.<br />
11) Uma turma de amigos está em um bar. Sobre a mesa há duas travessas, e em uma delas há 3<br />
pastéis e 5 coxinhas, na outra há 2 coxinhas e 4 pastéis. Se José quiser pegar um pastel, qual a<br />
probabilidade dele pegar um pastel e qualquer uma das travessas?<br />
Solução: a cardinalidade do espaço amostral é 14, a cardinalidade do evento é 7, portanto p(A)=<br />
.<br />
12) De um total de 6 pratos à base de carboidratos e 4 pratos à base de proteínas, pretendo fazer o<br />
meu prato com 5 destes itens, itens diferentes, de sorte que contenha ao menos 2 pratos à base de<br />
proteínas. Qual é o número máximo de pratos distintos que poderei fazer?<br />
Solução: Se não houvesse a restrição das duas proteínas, o cálculo seria simplesmente C<strong>10</strong>, 5.,<br />
mas como há tal restrição, devemos descontar deste total o número de pratos que só contém<br />
carboidratos, que é igual a C6, 5. Não podemos nos esquecer de que também podemos montar<br />
pratos contendo apenas um item de proteína, então devemos desconsiderá-los também. Estes<br />
pratos são o produto de C6, 4, referentes aos quatro itens de carboidrato, por C4, 1, referentes ao<br />
único item de proteína:<br />
Multiplicando as combinações:
‘<br />
Responsáveis:<br />
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL<br />
COLÉGIO DE APLICAÇÃO - INSTITUTO DE MATEMÁTICA<br />
OFICINAS DE ENSINO-APRENDIZAGEM DE MATEMÁTICA<br />
LABORATÓRIO DE PRÁTICA DE ENSINO EM MATEMÁTICA<br />
Prof. Luiz Davi Mazzei, Profa Simone Cruz, Profa. Fabiana Serres, Prof . Marcus Basso,<br />
Acadêmicos: Andressa Pizzinato, Guiherme Guedes, Jordana Donelli, Marcelo Anjos, Paola Rossato e Walter Haselein<br />
Podemos formar então 6 pratos sem qualquer item de proteína e mais 60 pratos com somente<br />
um item de proteína. Então de 252 que é o número total de combinações possíveis sem a<br />
restrição, devemos subtrair 66 pratos para obtermos a resposta do exercício, ou seja, 186.<br />
13) Em um pequeno galinheiro há 12 aves, dentre um galo, galinhas, frangos e frangas, no entanto só<br />
existe espaço para <strong>10</strong> aves no poleiro. De quantas maneiras distintas elas podem ser empoleiradas,<br />
sabendo-se que o poleiro sempre ficará lotado?<br />
Solução: Para a primeira ave a subir no poleiro tem-se 12 possibilidades, para a segunda temse<br />
11, para a terceira tem-se <strong>10</strong> e assim por diante, até a décima ave onde teremos apenas 3<br />
possibilidades, já que apenas duas ficarão de fora. Multiplicando tudo temos:<br />
12 . 11 . <strong>10</strong> . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 = 239500800 maneiras distintas, em outras palavras fizemos<br />
= 12 . 11 . <strong>10</strong> . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 = 239500800<br />
A12, <strong>10</strong> =<br />
( )<br />
Se não importasse a ordem das aves no poleiro, iríamos dividir 239500800 por <strong>10</strong>! para anular<br />
a permutação das <strong>10</strong> aves no poleiro, mas a ordem das aves empoleiradas distingue um<br />
agrupamento do outro.