MATEMÁTICA - Colégio Visão

GELSON IEZZI
OSVALDO DOLCE
DAVID DEGENSZAJN
ROBERTO PÉRIGO
MATEMÁTICA
voluME únICo – CD-rom

Sumário
Seleção de exercícios de vestibulares
1 Conjuntos e conjuntos numéricos ................................................................................................................ 1
Respostas ................................................................................................................................................... 5
2 Funções ....................................................................................................................................................... 6
Respostas ................................................................................................................................................... 18
3 Progressões .................................................................................................................................................. 19
Respostas ................................................................................................................................................... 24
4 Matemática comercial e financeira ............................................................................................................... 25
Respostas ................................................................................................................................................... 32
5 Trigonometria .............................................................................................................................................. 33
Respostas ................................................................................................................................................... 40
6 Matrizes, determinantes e sistemas lineares ................................................................................................. 41
Respostas ................................................................................................................................................... 45
7 Geometria plana .......................................................................................................................................... 46
Respostas ................................................................................................................................................... 54
8 Geometria espacial ...................................................................................................................................... 55
Respostas ................................................................................................................................................... 64
9 Análise combinatória, probabilidade e binômio de Newton .......................................................................... 65
Respostas ................................................................................................................................................... 72
10 Geometria analítica ...................................................................................................................................... 73
Respostas ................................................................................................................................................... 81
11 Números complexos, polinômios e equações algébricas ............................................................................... 82
Respostas ................................................................................................................................................... 85
12 Estatística..................................................................................................................................................... 86
Respostas ................................................................................................................................................... 92
Coletânea de testes do ENEm .................................................................................................. 93
Respostas ............................................................................................................................................................. 109

Matemática Volume Único
Conjuntos e conjuntos numéricos
1. (Fatec-SP) O número inteiro N 5 16 15 1 2 56 é divisível
por:
a) 5
b) 7
c) 11
d) 13
e) 17
2. (Unifesp-SP) Dia 20 de julho de 2008 caiu num domingo.
Três mil dias após essa data, cairá:
a) Numa quinta-feira.
b) Numa sexta-feira.
c) Num sábado.
d) Num domingo.
e) Numa segunda-feira.
3. (U.E. Ponta Grossa-PR) Dois sinais luminosos acendem
juntos num determinado instante. Um deles
permanece aceso 1 minuto e apagado 30 segundos,
enquanto o outro permanece aceso 1 minuto
e apagado 20 segundos. A partir desse instante
qual o número mínimo de minutos necessários para
que os dois sinais voltem a acender juntos outra
vez? Assinale no cartão de respostas o número da
alternativa que contém a resposta que você calcular
como correta.
01) Oito
02) Dez
04) Doze
08) Quatorze
4. (U.E. Ponta Grossa-PR) Indica-se por n(X) o número
de elementos do conjunto X. Se A e B são conjuntos
tais que n(A) 5 20, n(B – A) 5 15 e n(A B) 5 8,
assinale o que for correto.
01) n(A – B) 5 12
02) n(B) 5 23
04) n(A B) 5 35
08) n(A B) – n(A B) 5 27
16) n(A) – n(B) 5 n(A – B)
5. (U.E. Ponta Grossa-PR) Assinale o que for correto.
(Indique a soma dos números obtidos.)
01) O número real representado por 0,5222... é um
número racional.
02) O quadrado de qualquer número irracional é um
número racional.
04) Se m e n são números irracionais então m ? n
pode ser racional.
08) O número real √ 3 pode ser escrito sob a forma
a
, onde a e b são inteiros e b 0.
b
16) Toda raiz de uma equação algébrica do 2º grau
é um número real.
6. (UFF-RJ) Segundo o matemático Leopold Kronecker
(1823-1891),
“Deus fez os números inteiros, o resto é trabalho
do homem”.
Os conjuntos numéricos são, como afirma o matemático,
uma das grandes invenções humanas.
Assim, em relação aos elementos desses conjuntos,
é correto afirmar que:
a) o produto de dois números irracionais é sempre
um número irracional.
b) a soma de dois números irracionais é sempre um
número irracional.
c) entre os números reais 3 e 4 existe apenas um
número irracional.
d) entre dois números racionais distintos existe pelo
menos um número racional.
e) a diferença entre dois números inteiros negativos
é sempre um número inteiro negativo.
7. (UF-RJ) Manuel, Joaquim e Antônio olham, num
certo instante, para dois relógios, A e B, que só indicam
horas e minutos. Naquele instante, A e B
indicam, respectivamente, 11h51min e 11h53min.
Diante dessa situação, segue-se o seguinte diálogo
entre os amigos:
“Nessas condições, a dedução lógica é que a defasagem
entre A e B é de 120 segundos.”, exclama
Manuel.
“Não! Só podemos garantir que a defasagem entre
A e B é de, no máximo, 120 segundos!”, contesta
Joaquim.
“Vocês dois estão enganados. Com esses dados, só
é possível concluir que a defasagem entre A e B é
de, pelo menos, 120 segundos!”, afirma Antônio.
1

Conjuntos e conjuntos numéricos
2
Sobre as conclusões dos três patrícios, avalie qual das
afirmativas a seguir é verdadeira.
I – Só Manuel está certo
II – Só Joaquim está certo
III – Só Antônio está certo
IV – Os três estão certos
V – Os três estão errados
VI – Não é possível decidir se algum nem qual dos
três está certo.
8. (FGV-SP) Sejam x e y a soma e o produto, respectivamente,
dos dígitos de um número natural. Por
exemplo, se o número é 142, então x 5 7 e y 5 8.
Sabendo-se que N é um número natural de dois
dígitos tal que N 5 x 1 y, o dígito da unidade de
N é:
a) 2
b) 3
c) 6
d) 8
e) 9
9. (PUC-RS) Pitágoras estabeleceu a seguinte relação
entre as sete notas musicais e números racionais:
DÓ rÉ mi Fá SoL Lá Si DÓ
1
8
9
64
81
3
4
2
3
16
27
128
243
Para encontrarmos o número 16
(relativo à nota
27
LÁ), multiplicamos 2
(o correspondente da nota
3
SOL) por 8
9 .
Assim, para obtermos 3
(relativo à nota FÁ), devemos
4
multiplicar 64
(da nota MI) por:
81
a) 8
9
b) 9
8
c) 243
256
d) 256
243
e) 192
324
1
2
10. (ESPM-SP) Numa empresa multinacional, sabe-se
que 60% dos funcionários falam inglês, 45%
falam espanhol e 30% deles não falam nenhuma
daquelas línguas. Se exatamente 49 funcionários
falam inglês e espanhol, podemos concluir que o
número de funcionários dessa empresa é igual a:
a) 180 d) 165
b) 140
c) 210
e) 127
11. (Cefet-PR) Se a, b e c são números naturais tais que
a – b 5 c, então podemos afirmar que a 1 b 1 c é
igual a:
a) 2a d) 5a
b) 3a
c) 4a
e) 6a
12. (Cefet-PR) Encontre o valor numérico da expressão
algébrica 2x2 2 3xy
√ x2 , para x 5 21 e y 5 4.
1 3y 2 4
a) 10
3
b) 11
3
c) 12
7
13
d)
7
14
e)
3
13. (Enem-MEC) A classificação de um país no quadro
de medalhas nos Jogos Olímpicos depende do
número de medalhas de ouro que obteve na competição,
tendo como critério de desempate o número
de medalhas de prata seguido do número de
medalhas de bronze conquistados. Nas Olimpíadas
de 2004, o Brasil foi o décimo sexto colocado no
quadro de medalhas, tendo obtido 5 medalhas de
ouro, 2 de prata e 3 de bronze. Parte desse quadro
de medalhas é reproduzida a seguir:
Classificação
País
medalhas
de ouro
medalhas
de prata
medalhas
de bronze
Total de
medalhas
8º Itália 10 11 11 32
9º
10º
Coreia do
Sul
Grã-
Bretanha
9 12 9 30
9 9 12 30
11º Cuba 9 7 11 27
12º Ucrânia 9 5 9 23
13º Hungria 8 6 3 17
Disponível em: http://www.quadroademedalhas.com.br.
Acesso em: 05 abr. 2010 (adaptado).

Matemática Volume Único
Se o Brasil tivesse obtido mais 4 medalhas de ouro, 4
de prata e 10 de bronze, sem alterações no número
de medalhas dos demais países mostrados no quadro,
qual teria sido a classificação brasileira no quadro de
medalhas das Olimpíadas de 2004?
a) 13º
b) 12º
c) 11º
d) 10º
e) 9º
14. (Enem-MEC) A disparidade de volume entre os
planetas é tão grande que seria possível colocálos
uns dentro dos outros. O planeta Mercúrio
é o menor de todos. Marte é o segundo menor:
dentro dele cabem três Mercúrios. Terra é o único
com vida: dentro dela cabem sete Martes. Netuno
é o quarto maior: dentro dele cabem 58 Terras.
Júpiter é o maior dos planetas: dentro dele cabem
23 Netunos.
Revista Veja. Ano 41, nº 26, 25 jun. 2008 (adaptado).
Seguindo o raciocínio proposto, quantas Terras cabem
dentro de Júpiter?
a) 406
b) 1 334
c) 4 002
d) 9 338
e) 28 014
15. (UF-RJ) Se x 5 √ 3 2 √ 8 2 √ 3 1 √ 8 , mostre que x
é inteiro e negativo. (Sugestão: calcule x 2 .)
16. (UF-PI) O Diretor de uma tradicional escola da cidade
de Teresina resolveu fazer uma pesquisa de opinião
junto aos seus 590 alunos do Ensino Médio, sobre
as políticas públicas de acesso ao Ensino Superior.
No questionário, pergunta-se sobre a aprovação
de: Cotas, Bolsas e ENEM, como modelo de exame
vestibular. As respostas dos alunos foram sintetizadas
na tabela abaixo:
Política
pública
Número
de aprovações
Cotas Bolsas ENEm
Cotas
e
Bolsas
Bolsas
e
ENEm
Cotas
e
ENEm
Cotas,
Bolsas
e
ENEm
226 147 418 53 85 116 44
Sobre a pesquisa e a tabela acima, é correto afirmar
que:
a) a quantidade de alunos que não opinaram por
nenhuma das três políticas é 12.
b) a quantidade de alunos que aprovam apenas uma
política pública é 415.
c) a quantidade de alunos que aprovam mais de uma
política é 167.
d) a quantidade de alunos que aprovam as três políticas
é 45.
e) há mais alunos que aprovam Cotas do que alunos
que aprovam somente o ENEM.
17. (UF-PB) Em determinada data, o câmbio, entre as
moedas abaixo, apresentava a seguinte equivalência:
1 dólar 5 0,9 euro 1 euro 5 0,7 libra
1 real 5 0,18 libra
De acordo com esses dados, é correto afirmar que,
nessa data, 1 dólar equivalia a:
a) R$ 3,40 d) R$ 3,55
b) R$ 3,45 e) R$ 3,60
c) R$ 3,50
18. (UF-MA) Quantos números inteiros pertencem ao
intervalo 2√ 10, √ 15?
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
e) Nenhum
19. (UF-PE) Antônio nasceu no século XX, e seu pai, que
tinha 30 anos quando Antônio nasceu, tinha X anos
no ano X2 . Considerando estas informações, analise
as afirmações seguintes:
0-0) O pai de Antônio nasceu no século vinte.
1-1) O pai de Antônio nasceu em 1936.
2-2) O pai de Antônio tinha 44 anos em 1936.
3-3) Antônio nasceu em 1922.
4-4) Antônio nasceu em 1936.
20. (UE-PI) Júnior tem três álbuns de figuras. No primeiro,
estão três décimos do total de figuras; no segundo,
estão alguns oitavos do total de figuras e, no terceiro
álbum, estão 15 figuras. Quantas figuras estão no
segundo álbum?
a) 110 d) 125
b) 115 e) 130
c) 120
3

Conjuntos e conjuntos numéricos
21. (UF-PB) A prefeitura de certa cidade realizou dois
concursos: um para gari e outro para assistente administrativo.
Nesses dois concursos, houve um total de
6 500 candidatos inscritos. Desse total, exatamente,
870 fizeram prova somente do concurso para gari.
Sabendo-se que, do total de candidatos inscritos,
4 630 não fizeram a prova do concurso para gari,
é correto afirmar que o número de candidatos que
fizeram provas dos dois concursos foi:
4
a) 4 630
b) 1 870
c) 1 300
d) 1 740
e) 1 000
22. (UPE-PE) Sabe-se que o produto de dois números
irracionais a e b pode ser um número racional c.
Assinale a única alternativa abaixo que exemplifica
esta afirmação.
a) a 5 √ 12, b 5 √ 3 , c 5 √ 36
b) a 5 √ 9 , b 5 √ 4 , c 5 √ 36
c) a 5 √ 144, b 5 1
4 , c 5 √ 36
d) a 5 2√ 12, b 5 2√ 3 , c 5 2√ 36
e) a 5 √ 9, b 5 √ 4 , c 5 6
23. (Uneb-BA) Considerem-se as proposições
I – p é um número racional.
II – Existe um número racional cujo quadrado é 2.
III – Se a . 0, então 2a , 0.
IV – Todo número primo é impar.
Com base nelas, é correto afirmar:
01) A proposição I é verdadeira.
02) A proposição II é verdadeira.
03) A proposição III é verdadeira.
04) As proposições I, II e IV são verdadeiras.
05) As proposições II, III e IV são verdadeiras.
24. (UE-PI) Uma mercearia tem, em estoque, uma
quantidade de canetas, de determinada marca, em
número inferior a 60 e superior a 1, que pretende
oferecer em liquidação. Na liquidação, todas as ca-
netas foram vendidas, e obteve-se um faturamento
de exatamente R$ 37,63 com a sua venda. Se cada
uma das canetas foi vendida pelo mesmo preço, qual
foi este preço?
a) R$ 0,73
b) R$ 0,72
c) R$ 0,71
d) R$ 0,70
e) R$ 0,69
25. (UF-RN) A presença de nitrogênio sob a forma de
nitrato em índices elevados oferece risco à saúde e
deixa a água imprópria para o consumo humano,
ou seja, não potável. Uma Portaria do Ministério
da Saúde limita a concentração de nitrato em,
no máximo, 10 mg/,. Quando essa concentração
ultrapassa tal valor, uma maneira de deduzi-la é
adicionar água limpa, livre de nitrato. Uma análise
feita na água de um reservatório de 12 000 ,
constatou a presença de nitrato na concentração
de 15 mg/,.
Com base em tais informações, a quantidade mínima
de litros de água que se deve acrescentar para
que o reservatório volte aos padrões normais de
potabilidade é:
a) 6 000 ,
b) 4 000 ,
c) 12 000 ,
d) 18 000 ,
26. (UF-PA) A Orquestra Sinfônica do Theatro da Paz
(OSTP) é composta por músicos de quatro naipes de
instrumentos distintos: cordas, sopro de metais, sopro
de madeiras e percussão. Ela conta com 27 músicos de
cordas, 11 de metais, 8 de madeiras e 4 de percussão.
No caso de se desejar ampliar a orquestra, de modo
que ela passe a ter 150 músicos e tal que os naipes de
instrumentos mantenham a mesma proporção entre
eles, o número de músicos de cordas e o número de
músicos de metais passariam a ser respectivamente:
a) 54 e 22
b) 60 e 30
c) 50 e 20
d) 82 e 40
e) 81 e 33

Matemática Volume Único
Conjuntos e conjuntos numéricos
respostas
1. e
2. a
3. 04
4. 01, 02, 04, 08
5. 01 1 04 5 05
6. d
7. Opção V
8. e
9. c
10. b
11. a
12. e
13. b
14. b
15. x 5 22
16. b
17. c
18. b
19. F, F, V, V, F
20. d
21. e
22. a
23. 03
24. c
25. a
26. e
5

Funções
6
Funções
1. (UF-SC) Assinale a(s) proposição(ões) correta(s). Indique
a soma dos valores:
01) Dentre todos os retângulos com 40 m de perímetro,
o de maior área é aquele com lado de 20 m
e área de 400 m2 .
02) Uma cidade é servida por três empresas de telefonia.
A empresa X cobra, por mês, uma assinatura
de R$ 35,00 mais R$ 0,50 por minuto utilizado.
A empresa Y cobra, por mês, uma assinatura de
R$ 20,00 mais R$ 0,80 por minuto utilizado. A
empresa Z não cobra assinatura mensal para até
50 minutos utilizados e, acima de 50 minutos,
o custo de cada minuto utilizado é de R$ 1,20.
Portanto, acima de 50 minutos de uso mensal
a empresa X é mais vantajosa para o cliente do
que as outras duas.
04) Em certa fábrica, durante o horário de trabalho,
o custo de fabricação de x unidades é de
C(x) 5 x2 1 x 1 500 reais. Num dia normal de
trabalho, durante as t primeiras horas de produção,
são fabricadas x(t) 5 15t unidades. O
gasto na produção, ao final da segunda hora, é
de R$ 1 430,00.
08) Certa substância radioativa que se desintegra
uniformemente ao longo do tempo tem sua
quantidade ainda não desintegrada, após t anos,
t
2
dada pela equação M(t) 5 M ? 2 20 onde M 0 0
representa a quantidade inicial dessa substância.
A porcentagem da quantidade ainda não desintegrada
após 40 anos em relação à quantidade
inicial M é de, aproximadamente, 50%.
0
16) O gráfico abaixo mostra quanto cada brasileiro
pagou de impostos (em reais per capita) nos
anos indicados.
R$ 4 500
R$ 4 000
R$ 3 500
R$ 3 000
R$ 2 500
R$ 2 000
R$ 1 500
R$ 1 000
2 042 2 082 2 006
1980
2 594
3 269
4 160
1985 1990 1995 2000 2005
Veja, São Paulo: Ed. Abril, ano 39, n. 15, 19 abr. 2006.
Com base nos dados fornecidos pelo gráfico, podese
afirmar que no ano 2000 houve um aumento de
20% no gasto com impostos, em relação a 1995.
2. (U.F. Lavras-MG) A solução da equação
log(x) 2 10(log(0,5) 1 log(8)) 5 log 1
x satisfaz:
a) log(log2(x)) 5 1
b) x 5 10
c) log (log(x)) 5 1
2
d) x 5 10log(4) 3. (UE-CE) Na figura a seguir estão representados seis
retângulos com lados paralelos aos eixos coordenados
e vértices opostos sobre o gráfico da função
f(x) 5 log x, x . 0.
2
y
f(x) 5 log 2 x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 x
A soma das áreas dos seis retângulos é igual a:
a) 2 unidades de área
b) 3 unidades de área
c) 4 unidades de área
d) 5 unidades de área
4. (UF-TO) Seja f: ]2, 2] → [21, [ definida por
f(x) 5 x2 2 4x 1 3
Então a função inversa f21 é:
a) f 21 (x) 5 2
b) f21 (x) 5 1
2
c) f21 (x) 5 2 115
3
d) f21 (x) 5 2 1 55
6
5. (U.E. Londrina-PR) Considere a função real definida
por f(x) 5 ax 2 1 bx 1 c, cujo gráfico é o seguinte:

Matemática Volume Único
Com base na situação exposta e nos conhecimentos
sobre o tema, considere as seguintes afirmativas:
I. D 5 b2 2 4ac . 0
II. a(b 1 c) . 0
III. f
2b 2 2a
2a
IV. a √ D . 0
5 f
2b 1 2a
2a
Assinale a alternativa que contém todas as afirmações
corretas.
a) I e III.
b) III e IV.
c) I, II e III.
d) I, II e IV.
e) II, III e IV.
6. (UF-PA) O vértice da parábola y 5 ax 2 1 bx 1 c é o
ponto (22, 3). Sabendo que 5 é a ordenada onde a
curva corta o eixo vertical, podemos afirmar que:
a) a . 1, b , 1 e c , 4
b) a . 2, b . 3 e c . 4
c) a , 1, b , 1 e c . 4
d) a , 1, b . 1 e c . 4
e) a , 1, b , 1 e c , 4
7. (PUC-RS) A representação:
y
4
2
24 22 0 2 4 x
22
24
y
x
é da função dada por y 5 f(x) 5 log n (x). O valor de
log n (n 3 1 8) é
a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
e) 10
8. (U.F. Santa Maria-RS) Sabe-se que as equações são
expressões matemáticas que definem uma relação
de igualdade. Dessa forma, dadas as funções
f(x) 5 1
(9x 2 1 ) e h(x) 5 3x 1 1 , para que seus gráficos
tenham um ponto em comum, deve existir um valor
de x, de modo que as imagens desse valor, pelas duas
funções, coincidam. Isso ocorre no ponto:
a) (1, 21)
b) (21, 1)
c) (3, 81)
d) 1 4
,
3 3
e) 1
3 , 33 √ 3
9. (U.F. Santa Maria-RS) Durante um passeio noturno
de barco, diversão preferida de um grupo de jovens,
surgiu uma situação de perigo, em que houve necessidade
de disparar um sinalizador para avisar o
restante do grupo que ficara no acampamento.
A função que descreve o movimento do sinal luminoso
é dada por h(t) 5 30t 2 3t2 , onde h é a altura do
sinal em metros e t, o tempo decorrido em segundos,
desde o disparo até o momento em que o sinalizador
cai na água. Assim, a altura máxima atingida pelo
sinalizador e o tempo decorrido até cair na água são,
respectivamente:
a) 75 m e 10 s
b) 75 m e 5 s
c) 74 m e 10 s
d) 74 m e 5 s
e) 70 m e 5 s
10. (Ibmec-RJ) A soma dos quadrados dos números
naturais que pertencem ao conjunto solução de:
(3 2 x) ? (x2 2 1)
> 0 é igual a:
x 1 2
a) 13
7

Funções
8
b) 14
c) 15
d) 19
e) 20
11. (PUC-MG) Uma empresa de turismo fretou um avião
com 200 lugares para uma semana de férias, devendo
cada participante pagar R$ 500,00 pelo transporte
aéreo, acrescidos de R$ 10,00 para cada lugar do
avião que ficasse vago. Nessas condições, o número
de passagens vendidas que torna máxima a quantia
arrecadada por essa empresa é igual a:
a) 100
b) 125
c) 150
d) 180
12. (PUC-PR) O prazo de validade, V, medido em uma
escala de 0% (vencido) a 100% (fresco), de um
produto em conserva, segue a seguinte função de
tempo, t, em meses:
V 5 e2t , t > 0
Onde: e 5 2,7183
É CORRETO afirmar:
I. Um mês após a produção, t 5 1, a validade corresponde
a 36,79%.
II. Seis meses após a produção, t 5 6, a validade
corresponde a 0,25%.
III. Quanto mais próximo do dia da produção maior
o frescor.
a) Somente a alternativa III está correta.
b) As alternativas I e III estão corretas.
c) As três alternativas, I, II e III, estão corretas.
d) As alternativas II e III estão corretas.
e) Nenhuma das alternativas está correta.
13. (Udesc-SC) O conjunto solução da inequação:
(2x 2 2 x 1 3
3
) . 4x é:
a) S 5 {x | 21 , x , 6}
b) S 5 {x | x , 26 ou x . 1}
c) S 5 {x | x , 21 ou x . 6}
d) S 5 {x | 26 , x , 1}
e) S 5 {x | x , 2 √ 6 ou x . √ 6 }
14. (Udesc-SC) A alternativa que representa o gráfico da
função f(x) 5 |x 1 1| 1 2 é:
a)
b)
c)
d)
e)
23 22 21
21
y
4
3
2
1
0 1
23 22 21
y
y
0
0
2
24 23 22 21
23
y
0
22 21 21
22
4
3
2
1
2
1
y
0
3
2
1
1
3
1
4
3
2
1
1
1
2
4
x
2 3
x
x
2 3
15. (Unicamp-SP) Duas locadoras de automóveis oferecem
planos diferentes para a diária de um veículo
econômico. A locadora Saturno cobra uma taxa
fixa de R$ 30,00, além de R$ 0,40 por quilômetro
rodado. Já a locadora Mercúrio tem um plano mais
elaborado: ela cobra uma taxa fixa de R$ 90,00 com
uma franquia de 200 km, ou seja, o cliente pode
percorrer 200 km sem custos adicionais. Entretanto,
para cada km rodado além dos 200 km incluídos na
franquia, o cliente deve pagar R$ 0,60.
x
x

Matemática Volume Único
a) Para cada locadora, represente no gráfico a função
que descreve o custo diário de locação em termos
da distância percorrida no dia.
b) Determine para quais intervalos cada locadora
tem o plano mais barato. Supondo que a locadora
Saturno vá manter inalterada a sua taxa fixa, indique
qual deve ser seu novo custo por km rodado
para que ela, lucrando o máximo possível, tenha
o plano mais vantajoso para clientes que rodam
quaisquer distâncias.
16. (Fuvest-SP) A função f: → tem como gráfico uma
parábola e satisfaz f(x 1 1) 2 f(x) 5 6x 2 2, para todo
número real x. Então, o menor valor de f(x) ocorre
quando x é igual a:
a) 11
6
b) 7
6
c) 5
6
d) 0
e) 2 5
6
17. (U.E. Ponta Grossa-PR) Sobre as funções
2x 1 1
f(x) 5 e g(x) 5 3x 2 5, assinale o que for
x 2 1
correto. Indique a soma dos valores.
01) O domínio da função f é {x | x . 1}
02) A função f assume valores estritamente positivos
para x , 2 1
ou x . 1
2
04) g(f(2)) 5 10
08) A função inversa de g é definida por g21 (x) 5
x 1 5
5
3
16) f 1
5 2f(x)
x
18. (U.E. Ponta Grossa-PR) Em relação à função de
em definida por f(x) 5 3x 1 2, assinale o que for
correto.
Indique a soma dos valores.
01) f(f(0)) 5 29
02) Sua imagem é o conjunto ]2, 1 [
04) f(a 1 b) 5 f(a) 1 f(b)
08) A função é decrescente
16) f(x 1 1) 2 f(x) 5 2 ? 3x 19. (Fuvest-SP) A magnitude de um terremoto na escala
Richter é proporcional ao logaritmo, na base 10, da
energia liberada pelo abalo sísmico. Analogamente,
o pH de uma solução aquosa é dado pelo logaritmo,
na base 10, do inverso da concentração de íons H1 .
Considere as seguintes afirmações:
I. O uso do logaritmo nas escalas mencionadas
justifica-se pelas variações exponenciais das grandezas
envolvidas.
II. A concentração de íons H1 de uma solução ácida
com pH 4 é 10 mil vezes maior que a de uma
solução alcalina com pH 8.
III. Um abalo sísmico de magnitude 6 na escala
Richter libera duas vezes mais energia que outro,
de magnitude 3.
Está correto o que se afirma somente em:
a) I
b) II
c) III
d) I e II
e) I e III
20. (UFF-RJ) A figura a seguir representa um quadrado
MNPQ inscrito no quadrado ABCD cuja área mede
16 cm 2 .
A
Q
D
Determine:
M
a) as medidas de AM e MB para que a área do quadrado
MNPQ seja igual a 9 cm2 .
b) as medidas de AM e MB para que a área do quadrado
MNPQ seja a menor possível.
Justifique suas respostas.
21. (FGV-SP) O valor de um carro decresce exponencialmente,
de modo que seu valor, daqui a x anos, será
dado por V 5 Ae 2kx , em que e 5 2,7182… . Hoje,
o carro vale R$ 40 000,00 e daqui a 2 anos valerá
R$ 30 000,00.
P
B
N
C
9

Funções
10
Nessas condições, o valor do carro daqui a 4 anos
será:
a) R$ 17 500,00
b) R$ 20 000,00
c) R$ 22 500,00
d) R$ 25 000,00
e) R$ 27 500,00
22. (Enem cancelado e modificado-MEC) A empresa
WQTU Cosmético vende um determinado produto,
cujo custo de fabricação de x unidades é dado por
3x2 1 232, e o seu valor de venda é expresso pela
função 180x 2 116. A empresa vendeu 10 unidades
do produto x, contudo a mesma deseja saber quantas
unidades precisa vender para obter um lucro máximo.
A quantidade máxima de unidades a serem vendidas
pela empresa WQTU para a obtenção do maior
lucro é:
a) 10 d) 116
b) 30
c) 58
e) 232
23. (UF-GO) Grande parte da arrecadação da Coroa Portuguesa,
no século XVIII, provinha de Minas Gerais
devido à cobrança do quinto, do dízimo e das entradas
(Revista de História da Biblioteca Nacional). Desses impostos,
o dízimo incidia sobre o valor de todos os bens
de um indivíduo, com uma taxa de 10% desse valor.
E as entradas incidiam sobre o peso das mercadorias
(secos e molhados, entre outros) que entravam em
Minas Gerais, com uma taxa de, aproximadamente,
1,125 contos de réis por arroba de peso.
O gráfico a seguir mostra o rendimento das entradas
e do dízimo, na capitania, durante o século XVIII.
250 000
200 000
150 000
100 000
50 000
0
1 700
Rendimento Fiscal da Capitania de Minas Gerais
Entradas Dízimos
(Em Contos de Réis)
1 720 1 740 1 760 1 780 1 800
Revista de História da Biblioteca Nacional, Rio de Janeiro,
ano 2, n. 23, ago. 2007 [Adaptado].
Com base nessas informações, em 1760, na capitania
de Minas Gerais, o total de arrobas de mercadorias,
sobre as quais foram cobradas entradas, foi de aproximadamente:
a) 1 000
b) 60 000
c) 80 000
d) 100 000
e) 750 000
24. (UF-GO) A distância que um automóvel percorre até
parar, após ter os freios acionados, depende de inúmeros
fatores. Essa distância em metros pode ser calculada
aproximadamente pela expressão D 5 V2
250 ,
onde V é a velocidade em km/h no momento inicial
da frenagem e é um coeficiente adimensional que
depende das características dos pneus e do asfalto.
Considere que o tempo de reação de um condutor é
de um segundo, do instante em que vê um obstáculo
até acionar os freios. Com base nessas informações, e
considerando 5 0,8, qual é a distância aproximada
percorrida por um automóvel do instante em que o
condutor vê um obstáculo, até parar completamente,
se estiver trafegando com velocidade constante de
90 km/h?
a) 25,0 m
b) 40,5 m
c) 65,5 m
d) 72,0 m
e) 105,5 m
25. (PUC-MG) A função f é tal que f(x) 5 g(x). Se o
gráfico da função g é a parábola a seguir, o domínio
de f é o conjunto:
24
23
3
2
1
4
22 21
21
22
a) {x | x > 0}
b) {x | x < 22 ou x > 2}
c) {x | 0 < x < 2}
d) {x | 22 < x < 2}
0
1
2 3 4

Matemática Volume Único
26. (PUC-MG) O valor de certo equipamento, comprado
por R$ 60 000,00, é reduzido à metade a cada 15
t
2
meses. Assim, a equação V(t) 5 60 000 ? 2 15, onde t
é o tempo de uso em meses e V(t) é o valor em reais,
representa a variação do valor desse equipamento.
Com base nessas informações, é CORRETO afirmar
que o valor do equipamento após 45 meses de uso
será igual a:
a) R$ 3 750,00 c) R$ 10 000,00
b) R$ 7 500,00 d) R$ 20 000,00
27. (PUC-RJ) Considere a função real g(x) 5 x 4 2 40x 2 1 144
e a função real f(x) 5 x(x 2 4) (x 1 4)
a) Para quais valores de x temos f(x) , 0?
b) Para quais valores de x temos g(x) , 0?
c) Para quais valores de x temos f(x) ? g(x) . 0?
28. (PUC-RJ) Sabendo que a curva a seguir é a parábola
de equação y 5 x 2 2 x 2 6, a área do triângulo ABC
é:
B C
A
a) 4 b) 6 c) 9 d) 10 e) 12
29. (Cefet-SC) O volume de água de um reservatório
aumenta em função do tempo, de acordo com o
gráfico abaixo:
V(m 3 )
1
Para encher este reservatório de água com 2 500
litros, uma torneira é aberta. Qual o tempo necessário
para que o reservatório fique completamente cheio?
3
t(h)
a) 7h
b) 6h50min
c) 6h30min
d) 7h30min
e) 7h50min
30. (UF-PR) Sabe-se que a velocidade do som no ar depende
da temperatura. Uma equação que relaciona essa
velocidade v (em metros por segundo) com a temperatura
t (em graus Celsius) de maneira aproximada
é v 5 20 t 1 273. Com base nessas informações,
responda às seguintes perguntas:
a) Qual é a velocidade do som à temperatura de
27 °C? (Sugestão: use 3 5 1,73)
b) Costuma-se assumir que a velocidade do som é
de 340 m/s (metros por segundo). Isso ocorre a
que temperatura?
31. (UE-MG) “Em janeiro de 2008, o Brasil tinha 14
milhões de usuários residenciais na rede mundial de
computadores. Em fevereiro de 2008, esses internautas
somavam 22 milhões de pessoas 2 8 milhões, ou
57% a mais. Deste total de usuários, 42% ainda não
usam banda larga (internet mais rápida e estável). Só
são atendidos pela rede discada”.
Atualidade e Vestibular 2009, 1º semestre, Ed. Abril.
Baseando-se nessa informação, observe o gráfico
a seguir:
(milhões de usuários)
22
14
JAN/08 FEV/08
(mês)
Se mantida, pelos próximos meses, a tendência de
crescimento linear, mostrada no gráfico acima, o
número de usuários residenciais de computadores,
em dezembro de 2009, será igual a:
a) 178 3 106 b) 174 3 105 c) 182 3 107 d) 198 3 106 11

Funções
32. (UE-RJ) Para melhor estudar o Sol, os astrônomos
utilizam filtros de luz em seus instrumentos de observação.
Admita um filtro que deixe passar 4
da intensidade
12
da luz que nele incide. Para reduzir essa intensidade
a menos de 10% da original, foi necessário utilizar
n filtros.
Considerando log 2 5 0,301, o menor valor de n
é igual a:
a) 9 c) 11
b) 10 d) 12
33. (UE-RJ) Uma bola de beisebol é lançada de um
ponto 0 e, em seguida, toca o solo nos pontos A
e B, conforme representado no sistema de eixos
ortogonais:
y (m)
0
C
D
5
A B
35
x (m)
Durante sua trajetória, a bola descreve duas parábolas
com vértices C e D.
A equação de uma dessas parábolas é y 5 2x2 2x
1
75 5 .
Se a abscissa de D é 35 m, a distância do ponto 0 ao
ponto B, em metros, é igual a:
a) 38
b) 40
c) 45
d) 50
34. (PUC-PR) Sabendo que log 20 5 1,3 e log 5 5 0,7,
é correto afirmar que log 5 20 corresponde a:
a) Exatamente 2.
b) Exatamente 0,6.
c) Maior ou igual a 0,5 e menor que 0,6.
d) Um valor entre 1,8 e 1,9.
e) Nenhuma das alternativas anteriores.
35. (UE-CE) A idade de Paulo, em anos, é um número
inteiro par que satisfaz a desigualdade
x 2 2 32x 1 252 , 0. O número que representa a
idade de Paulo pertence ao conjunto
a) {12, 13, 14}
b) {15, 16, 17}
c) {18, 19, 20}
d) {21, 22, 23}
36. (FGV-SP) O gráfico de uma função quadrática f(x) tem
as seguintes características:
O vértice é o ponto (4, 21).
Intercepta o eixo das abscissas no ponto (5, 0).
O ponto de interseção do gráfico com o eixo das
ordenadas é:
a) (0, 14)
b) (0, 15)
c) (0, 16)
d) (0, 17)
e) (0, 18)
37. (FGV-SP) Nos últimos anos, o salário mínimo tem crescido
mais rapidamente que o valor da cesta básica,
contribuindo para o aumento do poder aquisitivo da
população. O gráfico abaixo ilustra o crescimento do
salário mínimo e do valor da cesta básica na região
Nordeste, a partir de 2005.
y
R$ 300,00
R$ 154,00
0 1 2 3 4 5
R$ 510,00
R$ 184,00
2005 2006 2007 2008 2009 2010
Salário Mínimo
Cesta Básica
Suponha que, a partir de 2005, as evoluções anuais
dos valores do salário mínimo e dos preços da cesta
básica, na região Nordeste, possam ser aproximados
mediante funções polinomiais do 1º grau,
f(x) 5 ax 1 b, em que x representa o número de anos
transcorridos após 2005.
a) Determine as funções que expressam os crescimentos
anuais dos valores do salário mínimo e
dos preços da cesta básica, na região Nordeste.
b) Em que ano, aproximadamente, um salário mínimo
poderá adquirir cerca de três cestas básicas,
na região Nordeste? Dê a resposta aproximando
o número de anos, após 2005, ao inteiro mais
próximo.
x

Matemática Volume Único
38. (Enem-MEC) O gráfico mostra o número de favelas
no município do Rio de Janeiro entre 1980 e 2004,
considerando que a variação nesse número entre os
anos considerados é linear.
372
573
750
1980 1992 2004
Favela tem memória. Época, nº 621, 12 abr. 2010 (adaptado).
Se o padrão na variação do período 2004/2010 se
mantiver nos próximos 6 anos, e sabendo que o
número de favelas em 2010 é 968, então o número
de favelas em 2016 será:
a) menor que 1 150.
b) 218 unidades maior que em 2004.
c) maior que 1 150 e menor que 1 200.
d) 177 unidades maior que em 2010.
e) maior que 1 200.
39. (Enem-MEC) Nos processos industriais, como na
indústria de cerâmica, é necessário o uso de fornos
capazes de produzir elevadas temperaturas e, em
muitas situações, o tempo de elevação dessa temperatura
deve ser controlado, para garantir a qualidade
do produto final e a economia no processo.
Em uma indústria de cerâmica, o forno é programado
para elevar a temperatura ao longo do tempo de
acordo com a função:
7
t 1 20, para 0 < t < 100
5
T(t) 5
2
125 t2 2 16
t 1 320, para t > 100
5
em que T é o valor da temperatura atingida pelo
forno, em graus Celsius, e t é o tempo, em minutos,
decorrido desde o instante em que o forno é ligado.
Uma peça deve ser colocada nesse forno quando a
temperatura for 48 °C e retirada quando a temperatura
for 200 °C.
O tempo de permanência dessa peça no forno é, em
minutos, igual a:
a) 100 d) 130
b) 108
c) 128
e) 150
40. (UF-RJ) Considere o programa representado pelo
seguinte fluxograma:
Calcule
2x 22
Entre com o
valor de x
Calcule
√⎺ x 2 1
Verifique:
√⎺ x 2 1 . 1?
SIM NÃO
Calcule
(x 1 2) 1/3
a) Determine os valores reais de x para os quais é
possível executar esse programa.
b) Aplique o programa para x 5 0, x 5 4 e x 5 9.
41. (U. F. Juiz de Fora-MG) Os gráficos I, II e III, a seguir,
esboçados em uma mesma escala, ilustram modelos
teóricos que descrevem a população de três espécies
de pássaros ao longo do tempo.
população
I
tempo
população
II
tempo
população
III
tempo
Sabe-se que a população da espécie A aumenta 20%
ao ano, que a população da espécie B aumenta 100
pássaros ao ano e que a população da espécie C
permanece estável ao longo dos anos.
Assim, a evolução das populações das espécies A, B
e C, ao longo do tempo, correspondem, respectivamente,
aos gráficos
a) I, III e II. d) III, I e II.
b) II, I e III.
c) II, III e I.
e) III, II e I.
42. (UF-RJ) Um ponto P desloca-se sobre uma reta numerada,
e sua posição (em metros) em relação à origem
é dada, em função do tempo t (em segundos), por
P(t) 5 2(1 2 t) 1 8t.
2
P(t)
a) Determine a posição do ponto P no instante inicial
(t 5 0).
8
13

Funções
b) Determine a medida do segmento de reta correspondente
ao conjunto dos pontos obtidos pela
3
variação de t no intervalo 0, 2 .
43. (UF-PR) Um importante estudo a respeito de como
se processa o esquecimento foi desenvolvido pelo
alemão Hermann Ebbinghaus no final do século XIX.
Utilizando métodos experimentais, Ebbinghaus determinou
que, dentro de certas condições, o percentual
P do conhecimento adquirido que uma pessoa retém
após t semanas pode ser aproximado pela fórmula:
P 5 (100 2 a) ? bt 1 a,
sendo que a e b variam de uma pessoa para outra.
Se essa fórmula é válida para um certo estudante,
com a 5 20 e b 5 0,5, o tempo necessário para que
o percentual se reduza a 28% será:
14
a) entre uma e duas semanas.
b) entre duas e três semanas.
c) entre três e quatro semanas.
d) entre quatro e cinco semanas.
e) entre cinco e seis semanas.
44. (Fuvest-SP) Sejam f(x) 5 2x 2 9 e g(x) 5 x 2 1 5x 1 3.
A soma dos valores absolutos das raízes da equação
f(g(x)) 5 g(x) é igual a:
a) 4 d) 7
b) 5
c) 6
e) 8
45. (U.F. Juiz de Fora-MG) Uma pessoa aplicou uma quantia
inicial em um determinado fundo de investimento.
Suponha que a função F, que fornece o valor, em
reais, que essa pessoa possui investido em relação
ao tempo t, seja dada por: F(t) 5 100(1,2) t .
O tempo t, em meses, é contado a partir do instante
do investimento inicial.
a) Qual foi a quantia inicial aplicada?
b) Quanto essa pessoa teria no fundo de investimento
após 5 meses da aplicação inicial?
c) Utilizando os valores aproximados log 2 5 0,3 e
10
log 3 5 0,48, quantos meses, a partir do instante
10
do investimento inicial, seriam necessários para
que essa pessoa possuísse, no fundo de investimento,
uma quantia igual a R$ 2 700,00?
46. (UF-PI) Sejam a, b , a 0, b 0, satisfazendo
a equação 2 3a 1 b 5 3a.Considerando log 2 5 0,30 e
log 3 5 0,48, é correto afirmar que
a) b
a
5 2 7
5
b) se 3a 2 b 5 1, então a 5 8
5
c) a 5 2b
d) b
5 2
a
e) a 5 b 5 log 3
47. (UF-PI) Sobre o domínio da função f: D → ,
definida pela lei f(x) 5 3 2 |x 1 2| , pode-se afirmar
que
a) contém somente seis números inteiros.
b) possui dois inteiros positivos.
c) é um intervalo de comprimento igual a seis unidades.
d) não possui números racionais.
e) é um conjunto finito.
48. (UF-MG) Um tipo especial de bactéria caracteriza-se
por uma dinâmica de crescimento particular. Quando
colocada em meio de cultura, sua população
mantém-se constante por dois dias e, do terceiro dia
em diante, cresce exponencialmente, dobrando sua
quantidade a cada 8 horas.
Sabe-se que uma população inicial de 1 000 bactérias
desse tipo foi colocada em meio de cultura.
Considerando essas informações,
1. CALCULE a população de bactérias após 6 dias
em meio de cultura.
2. DETERMINE a expressão da população P, de bactérias,
em função do tempo t em dias.
3. CALCULE o tempo necessário para que a população
de bactérias se torne 30 vezes a população
inicial.
(Em seus cálculos, use log 2 5 0,3 e log 3 5 0,47.)
49. (UF-RN) Em uma fábrica, o custo diário com matériaprima,
para produzir x unidades de um produto, é
dado pela equação C(x) 5 10x. A quantidade de
unidades produzidas desse produto, após t horas,
0 < t < 8, por sua vez, é dada por Q(t) 5 6t 2 1
2 t2 .
a) Faça uma tabela com valores de C(x) para x igual a
10, 16 e 18, e uma tabela com valores de Q(t) para
t igual a 2, 4 e 6, explicite os cálculos efetuados.
b) Construa o gráfico da função composta C(Q(t)),
que corresponde ao custo em função das horas (t).

Matemática Volume Único
50. (UF-AM) O produto dos números naturais que satis-
x x 2 5
fazem a inequação < é:
x 2 5 x
a) 12 d) 2
b) 2 e) 1
c) 60
51. (Uneb-BA) Considerando-se as funções reais
f(x) 5 log (x 1 1), g(x) 5 log x e h(x) 5 log 4x, pode-
3 2
se afimar que o valor de f(26) 2 g(0,125) 1 h(25) é
01) 8 04) 22
02) 2 05) 23
03) 0
52. (UF-PA) Beber e dirigir é uma combinação perigosa,
mas parece que o número de acidentes nas rodovias e
estradas não está sendo suficiente para convencer os
motoristas a abandonarem o volante depois de umas
doses de álcool. Então, para evitar essa combinação
perigosa, foi criada a chamada Lei 13, que determina
a punição muito mais rigorosa para os condutores
bêbados.
Sobre a concentração de álcool (etanol) no organismo,
um recente estudo científico concluiu que essa
decai linearmente em função do tempo. Em outros
termos, a concentração pode ser descrita por uma
função do tipo
C(t) 5 a ? t 1 b
Após o consumo de certa quantidade de álcool,
verifica-se que a concentração de álcool no sangue de
uma pessoa, após uma hora e meia da ingestão, é de
113,9 mg/d,, e, após duas horas e meia da ingestão,
é de 96,9 mg/d,. Sabendo-se que essa pessoa, consciente
de suas responsabilidades, só voltará a dirigir
quando a concentração de álcool em seu sangue for
zero, quanto tempo após o consumo, no mínimo, ela
deve esperar para voltar a dirigir?
a) 8,2 horas d) 7,9 horas
b) 2,0 horas e) 8,6 horas
c) 9,7 horas
53. (UF-PB) Considere a vibração de uma corda elástica
sob a resistência de uma força de atrito. O decaimento
da energia total é descrito pela função E(t) 5 E 0 e 2at ,
onde: t é o tempo, medido em segundos, a partir do
instante inicial t 0 5 0; a . 0 é uma constante real;
e E 0 é a energia inicial da corda. Considerando que
em 7 segundos, a partir de t 0 , a energia da corda cai
pela metade, o tempo necessário, para que a energia
seja reduzida a 20% de E 0 , é:
Use:
e0,7 5 2; e1,6 5 5
a) 16 s d) 18 s
b) 15 s
c) 14 s
e) 19 s
54. (UF-AL) A fórmula para medir a intensidade de um
dado terremoto na escala Richter é R 5 log (I/I ), 10 0
com I sendo a intensidade de um abalo quase im-
0
perceptível e I a intensidade de um terremoto dada
em termos de um múltiplo de I . Se um sismógrafo
0
detecta um terremoto com intensidade I 5 32 000I , 0
qual a intensidade do terremoto na escala Richter?
Indique o valor mais próximo.
Dado: use a aproximação log 2 0,30.
10
a) 3,0 d) 4,5
b) 3,5
c) 4,0
e) 5,0
55. (UF-MG) Uma fábrica vende determinado produto
somente por encomenda de, no mínimo, 500 unidades
e, no máximo, 3 000 unidades.
O preço P, em reais, de cada unidade desse produto
é fixado, de acordo com o número x de unidades
encomendadas, por meio desta equação:
90, se 500 < x < 1 000.
P 5
100 2 0,01x, se 1 000 , x < 3 000.
O custo C, em reais, relativo à produção de x unidades
desse produto é calculado pela equação
C 5 60x 1 10 000
O lucro L apurado com a venda de x unidades desse
produto corresponde à diferença entre a receita
apurada com a venda dessa quantidade e o custo
relativo à sua produção.
Considerando essas informações,
1. ESCREVA a expressão do lucro L correspondente
à venda de x unidades desse produto para
500 < x < 1 000 e para 1 000 , x , 3 000.
2. CALCULE o preço da unidade desse produto correspondente
à encomenda que maximiza o lucro.
3. CALCULE o número mínimo de unidades que uma
encomenda deve ter para gerar um lucro de, pelo
menos, R$ 26 400,00.
56. (UF-AL) Associe aos gráficos a seguir, enumerados de
1 a 4, as funções correspondentes, que têm como
15

Funções
16
domínio e contradomínio o conjunto dos números
reais, e assinale a sequência obtida, de cima para
baixo.
1) 2)
24 23 22 21
1,5
1
0,5
3) 4)
23
22 21
0
( ) y 5 |22x 2 1|
( ) y 5 |x2 2 3x 1 2|
( ) y 5 2 2 |x 1 1|
( ) y 5 |x|
A sequência correta é:
2
0
1 2
20,5
21
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3
23 22 21
a) 3, 4, 1, 2 d) 1, 4, 3, 2
b) 3, 2, 1, 4
c) 2, 3, 4, 1
e) 4, 1, 3, 2
57. (UF-PA) Uma das técnicas para datar a idade das árvores
de grande porte da floresta amazônica é medir
a quantidade do isótopo radioativo C 14 presente no
centro dos troncos. Ao tirar uma amostra de uma
castanheira, verificou-se que a quantidade de C 14
presente era de 84% da quantidade existente na
atmosfera. Sabendo-se que o C 14 tem decaimento
exponencial e sua vida média é de 5 730 anos e
considerando os valores de In(0.50) 5 20.69 e
In(0.84) 5 20.17, podemos afirmar que a idade, em
anos, da castanheira é aproximadamente
a) 420 d) 1 430
b) 750
c) 1 030
e) 1 700
2
1,5
1
1 2 3
58. (UE-PB) Um reservatório contendo gás é aquecido,
de modo que a pressão P no seu interior varia com
o tempo e a partir de um determinado valor, con-
21
6
5
4
3
2
1
0
0 1
0,5
2
3 4
forme o gráfico a seguir. A função que representa a
pressão P no interior do reservatório em um instante
t (minutos) tem lei de correspondência:
6
5
4
3
P(t)
a) y 5 2
x 1 3
3
b) y 5 x 1 3
c) y 5 1
x 1 2
2
d) y 5 1
x 1 3
2
e) y 5 2 1
x 1 3
2
0 2 4 6
59. (UF-AM) Considere a função f: → dada por
f(x) 5 |3x 2 2|.
Com relação à função acima considere as afirmações:
I. f é injetora.
II. O valor mínimo assumido por f é zero.
III. O gráfico de f intercepta o eixo y no ponto de
coordenadas (0, 22).
IV. O gráfico de f é uma reta.
V. f é uma função par.
Então:
a) Somente V é verdadeira.
b) Somente I e II são falsas.
c) Somente II é verdadeira.
d) Somente III é verdadeira.
e) Todas são falsas.
60. (UE-PI) As populações das cidades A e B crescem
exponencialmente, com taxas anuais de crescimento
de 3% e 2%, respectivamente. Se, hoje, a população
de A é de 9 milhões de habitantes, e a de B é de
11 milhões, em quanto tempo, contado a partir de
hoje, as populações das duas cidades serão iguais?
Dados: use as aproximações In(1,03/1,02) 0,01 e
In(11/9) 0,20.
a) 2 anos d) 15 anos
b) 6 anos
c) 10 anos
e) 20 anos
t

Matemática Volume Único
61. (UnB-DF) Em 1772, o matemático Euler observou
que, ao se inserir os números inteiros de 0 a 39 na
fórmula x2 1 x 1 41, obtém-se uma lista de 40 números
primos. No plano de coordenadas cartesianas
xOy considerando y 5 g(x) 5 x2 1 x 1 41, conclui-se
que os pares (N, g(N)), para 0 < N < 39, pertencem
a uma parábola que:
a) intercepta o eixo das ordenadas em um número
composto.
b) ilustra uma função crescente no intervalo [0, 39].
c) intercepta o eixo das abscissas em dois números
primos.
d) tem vértice em um dos pares ordenados obtidos
por Euler.
62. (UnB-DF) Pode-se determinar o instante da morte de
um organismo utilizando-se a Lei de Resfriamento
de Newton, segundo a qual a taxa da variação da
temperatura de um corpo é proporcional à diferença
entre as temperaturas do corpo e do meio externo.
Nesse sentido, suponha que, na investigação de um
homicídio, a temperatura do cadáver encontrado, em
°C, t horas (h) após o óbito, seja dada pela função
T 5 T(t) 5 22 1 10 e2kt , em que: t 5 0 representa
0
o instante em que o corpo foi encontrado; t , 0
corresponde, em módulo, à quantidade de horas
decorridas antes da descoberta do cadáver; t . 0
representa a quantidade de horas decorridas desde
a descoberta do corpo; e k é uma constante positiva.
Admitindo que, nessa situação hipotética, na hora do
óbito, a temperatura do corpo era de 37 °C e que,
duas horas após a descoberta do corpo, a temperatura
do corpo era de 25 °C e considerando In 2 5 0,7,
In 3 5 1,1, In 5 5 1,6, julgue os itens seguintes.
a) No instante em que o corpo foi descoberto, sua
temperatura era inferior a 30 °C.
b) A função T 5 T(t) é inversível e sua inversa é dada
por t 5 t(T) 5 1
k In
10
T 2 22 .
c) O valor de k, em h21 é superior a 5
8 .
d) Com base nos dados, conclui-se que o óbito ocorreu
40 minutos antes da descoberta do cadáver.
e) No sistema de coordenadas cartesianas tOT, o
gráfico de T 5 T(t), válido a partir do momento
em que o indivíduo morre, representa uma função
decrescente que se inicia no 1º quadrante.
f) À medida que t aumenta, T 5 T(t) tende a se
aproximar da temperatura de 22 °C, mas nunca
chega a atingi-la.
63. (UE-PI) Um fio de comprimento c deve ser dividido
em dois pedaços, e os pedaços utilizados para formar
o contorno de um quadrado e o de um hexágono
regular.
Se a divisão do fio deve ser tal que a soma das áreas
do quadrado e do hexágono regular seja a menor
possível, qual o perímetro do hexágono?
a) (2 3 2 3)c d) 3 c
6
b) c
2
c) 2 c
3
2c
e)
5
64. (UF-SE) Sejam f e g funções de em tais que f é do
primeiro grau e g é definida por g(x) 5 x 2 2 4x 2 5.
A figura abaixo apresenta um esboço gráfico de f e
g em um sistema de eixos cartesianos ortogonais.
16
9
y
0
Use as informações dadas para analisar as sentenças
seguintes.
a) O vértice da parábola é o ponto (2, 23).
b) Os gráficos de f e g interceptam o eixo das abscissas
nos pontos (29, 0), (21, 0) e (5, 0).
c) Em , o conjunto solução da inequação g(x) <
< f(x) é [22, 7].
d) O coeficiente angular da reta que representa f é
igual a 1.
e) Os gráficos das funções definidas por y 5 |f(x)| e
y 5 |g(x)| têm três pontos comuns.
65. (UF-AM) Sejam f: → e g: → funções
de fi ni das respectivamente por f(x) 5 3x 1 2 e
g(x) 5 ax 1 b. Se (g f)(x) 5 (f g)(x), então, podemos
concluir que:
a) b 5 a 2 2 d) b 5 a 1 1
b) b 5 a 2 1
c) b 5 a
e) b 5 a 1 2
7
17
x

Funções
respostas
1. 02 1 04 5 06 8. e
2. c 9. a
3. a 10. b
4. a 11. b
5. c 12. c
6. d 13. c
7. b 14. a
15. a) C (x) 5 0,4 ? x 1 30 (locadora Saturno) e
18
90, se 0 < x < 200
C (x) (locadora Mercúrio)
0,6 ? x 2 30, se x . 200
x: número de quilômetros percorridos.
Custo de locação (R$)
210
190
90
30
C m
C s
200 400
Distância percorrida (km)
b) Saturno: 0 < x < 150 ou x > 300
Mercúrio: 150 < x < 300
R$ 0,30 por quilômetro rodado.
16. c 18. 01 1 02 1 16 5 19
17. 02 1 04 1 08 5 14 19. d
20. a) AM 5 2 2 √ 2
2 e MB 5 2 1 √ 2
2
b) AM 5 MB 5 2
21. c 23. d 25. d
22. b 24. c 26. b
27. a) S 5 {x | x , 24 ou 0 , x , 4}
b) S 5 {x | 26 , x , 22 ou 2 , x , 6}
c) S 5 {x | 26 , x , 24 ou 22 , x , 0
ou 2 , x , 4 ou x . 6}
28. c
29. d
30. a) 346 m/s b) 16 °C
31. d 34. d
32. c 35. b
33. b 36. b
37. a) Salário: S(x) 5 42x 1 300
Cesta básica: C(x) 5 6x 1 154
b) Em 2012
Funções
38. c 39. d
40. a) x > 0
41. e
b) x 5 0 → 3 √ 2
x 5 4 → 3 √ 6
x 5 9 → 2
81
42. a) 2 m b) 9 m
43. c 44. d
45. a) 100 reais
b) aproximadamente R$ 249,00
c) 18 meses
46. a 47. c
48. 1) 4 096 bactérias
2) P(t) 5
3) 3,63 dias
1 000; se 0 < t < 2
1 000 ? 2 3(t 2 2) ; se t . 2
49. a) x C t Q
10 100 2 10
16 160 4 16
18 180 6 18
b)
180
0 6
12
50. a 53. a
51. 01 54. d
52. a
30x 2 10 000; se 500 < x < 1 000
55. 1) L(x) 5
20,01x2 1 40x 2 10 000; se 1 000 , x < 3 000
2) 80 reais
3) 1400 unidades
56. a 59. c
57. d 60. e
58. d 61. b
62. a) F b) V c) F d) V e) F f) V
63. a 65. b
64. São verdadeiras: b, c, d.

Matemática Volume Único
1. (Mackenzie-SP) Para que o produto dos termos da
sequência (1, √ 3 , √ 3 2
, √ 3 3
, √ 3 4
,..., √ 3 n21
) seja 314 ,
deverão ser considerados, nessa sequência:
a) 8 termos
b) 6 termos
c) 10 termos
d) 9 termos
e) 7 termos
2. (UF-RS) Considere o padrão de construção representado
pelos desenhos a seguir.
Etapa 1
Etapa 2
Etapa 3
Na Etapa 1, há um único quadrado com lado 10. Na
Etapa 2, esse quadrado foi dividido em quatro quadrados
congruentes, sendo um deles retirado, como
indica a figura. Na Etapa 3 e nas seguintes, o mesmo
processo é repetido em cada um dos quadrados da
etapa anterior.
Nessas condições, a área restante na Etapa 6 será de:
a) 100 1
4
b) 100 1
3
c) 100 1
3
d) 100 3
4
e) 100 3
4
5
6
5
6
5
Progressões
3. (FGV-SP) A soma dos 100 primeiros termos de uma
progressão aritmética é 100, e a soma dos 100 termos
seguintes dessa progressão é 200. A diferença entre
o segundo e o primeiro termos dessa progressão,
nessa ordem, é:
a) 10 24 d) 10 21
b) 1023 e) 1
c) 1022 4. (PUC-RS) Devido à epidemia de gripe do último inverno,
foram suspensos alguns concertos em lugares
fechados.
Uma alternativa foi realizar espetáculos em lugares
abertos, como parques ou praças. Para uma apresentação,
precisou-se compor uma plateia com oito
filas, de tal forma que na primeira fila houvesse 10
cadeiras; na segunda, 14 cadeiras; na terceira, 18
cadeiras; e assim por diante. O total de cadeiras foi:
a) 384
b) 192
c) 168
d) 92
e) 80
5. (UF-PR) Um quadrado está sendo preenchido como
mostra a sequência de figuras abaixo:
quadrado original
passo 2
passo 1
passo 3
No passo 1, metade do quadrado original é preenchido.
No passo 2, metade da área não coberta no
passo anterior é preenchida. No passo 3, metade da
área não coberta nos passos anteriores é preenchida,
e assim por diante.
a) No passo 4, que percentual do quadrado original
estará preenchido?
b) Qual é o número mínimo de passos necessários
para que 99,9% do quadrado original seja preenchido?
6. (UF-BA) Considerando-se as sequências (a n ) e (b n )
definidas por:
a n 5 (21) n
n 2
n 2 1 1 e
b 1 5 1
b n 1 1 5
n 1 2
n 1 1 b n
19

Progressões
20
01) O produto de dois termos consecutivos quaisquer
da sequência (a ) é um número negativo.
n
02) Para qualquer n, tem-se 21 , a , 1. n
04) A sequência (b ) é crescente.
n
08) Existe n tal que a 5 n 1
2 .
16) A sequência (b ) é uma progressão aritmética.
n
32) A sequência (a ) é uma progressão geométrica
n
de razão negativa.
7. (Unicamp-SP) Dois sites de relacionamento desejam
aumentar o número de integrantes usando estratégias
agressivas de propaganda.
O site A, que tem 150 participantes atualmente,
espera conseguir 100 novos integrantes em um período
de uma semana e dobrar o número de novos
participantes a cada semana subsequente. Assim,
entrarão 100 internautas novos na primeira semana,
200 na segunda, 400 na terceira, e assim por diante.
Por sua vez, o site B, que já tem 2 200 membros,
acredita que conseguirá mais 100 associados na
primeira semana e que, a cada semana subsequente,
aumentará o número de internautas novos em 100
pessoas. Ou seja, 100 novos membros entrarão no
site B na primeira semana, 200 entrarão na segunda,
300 na terceira, etc.
a) Quantos membros novos o site A espera atrair
daqui a 6 semanas? Quantos associados o site A
espera ter daqui a 6 semanas?
b) Em quantas semanas o site B espera chegar à
marca dos 10 000 membros?
8. (Unemat-MT) Dada uma PA cujo a 1 é o quádruplo de
sua razão e a 20 é igual a 69, sua razão será:
a) 2 b) 6 c) 4 d) 5 e) 3
9. (Enem-MEC) Uma professora realizou uma atividade
com seus alunos utilizando canudos de refrigerante
para montar figuras, onde cada lado foi representado
por um canudo. A quantidade de canudos (C) de cada
figura depende da quantidade de quadrados (Q) que
formam cada figura. A estrutura de formação das
figuras está representada a seguir.
Figura I
Figura II
Figura III
Que expressão fornece a quantidade de canudos em
função da quantidade de quadrados de cada figura?
a) C 5 4Q d) C 5 Q 1 3
b) C 5 3Q 1 1
c) C 5 4Q 2 1
e) C 5 4Q 2 2
10. (UFF-RJ) Ao se fazer um exame histórico da presença africana no desenvolvimento do pensamento matemático,
os indícios e os vestígios nos remetem à matemática egípcia, sendo o papiro de Rhind um dos documentos que
resgatam essa história.
Nesse papiro encontramos o seguinte problema:
“Divida 100 pães entre 5 homens de modo que as partes recebidas estejam em progressão aritmética e que um
sétimo da soma das três partes maiores seja igual à soma das duas menores.”
AGB PHOTO/TPG
Papiro de Rhind

Matemática Volume Único
Coube ao homem que recebeu a parte maior da
divisão acima a quantidade de
a) 115
pães
3
b) 55
pães
6
c) 20 pães
d) 65
6 pães
e) 35 pães
11. (UEL-PR) A solução da equação logarítmica:
log x 1 log x
3 3 2 1 ... 1 log x
3 49 1 log x
3 50 5 2 550
é:
a) x 5 1
b) x 5 3
c) x 5 9
d) x 5 log 1 275
3
e) x 5 log 2 550
3
12. (UF-RS) Na sequência 1, 3, 7, 15..., cada termo, a
partir do segundo, é obtido adicionando-se uma
unidade ao dobro do termo anterior. O 13º termo
dessa sequência é:
a) 2 11 2 1
b) 2 11 1 1
c) 2 12 2 1
d) 2 12 1 1
e) 2 13 2 1
13. (UFF-RJ) Com o objetivo de criticar os processos infinitos,
utilizados em demonstrações matemáticas de
sua época, o filósofo Zenão de Eleia (século V a.C.)
propôs o paradoxo de Aquiles e a tartaruga, um dos
paradoxos mais famosos do mundo matemático.
Existem vários enunciados do paradoxo de Zenão. O
escritor argentino Jorge Luis Borges o apresenta da
seguinte maneira:
Aquiles, símbolo de rapidez, tem de alcançar a tartaruga,
símbolo de morosidade. Aquiles corre dez vezes
mais rápido que a tartaruga e lhe dá dez metros de
vantagem. Aquiles corre esses dez metros, a tartaruga
corre um; Aquiles corre esse metro, a tartaruga
corre um decímetro; Aquiles corre esse decímetro, a
tartaruga corre um centímetro; Aquiles corre esse
centímetro, a tartaruga um milímetro; Aquiles corre
esse milímetro, a tartaruga um décimo de milímetro,
e assim infinitamente, de modo que Aquiles pode
correr para sempre, sem alcançá-la.
Fazendo a conversão para metros, a distância percorrida
por Aquiles nessa fábula é igual a
d 5 10 1 1 1 1
10
É correto afirmar que:
a) d 5 1
b) d 5 11,11
c) d 5 91
9
d) d 5 12
e) d 5 100
9
1 1
10
2 1 ...5 10 1
∑
n50
1
10
14. (CP2-MEC-RJ) Qual é o próximo número da sequência
abaixo?
18, 15, 30, 26, 42, 37, 54, _____
15. (Unemat-MT) Lança-se uma bola, verticalmente de
cima para baixo, da altura de 4 metros. Após cada
choque com o solo, ela recupera apenas 1
da altura
2
anterior.
A soma de todos os deslocamentos (medidos verticalmente)
efetuados pela bola até o momento de
repouso é:
a) 12 m
b) 6 m
c) 8 m
d) 4 m
e) 16 m
16. (UE-RJ) Um jogo com dois participantes, A e B, obedece
às seguintes regras:
– antes de A jogar uma moeda para o alto, B deve
adivinhar a face que, ao cair, ficará voltada para cima,
dizendo “cara” ou “coroa”;
– quando B errar pela primeira vez, deverá escrever,
em uma folha de papel, a sigla UERJ uma única vez;
ao errar pela segunda vez, escreverá UERJUERJ, e
assim sucessivamente;
– em seu enésimo erro, B escreverá n vezes a mesma
sigla.
n
21

Progressões
22
Veja o quadro que ilustra o jogo:
ordem de erro Letras escritas
1º UERJ
2º UERJUERJ
3º UERJUERJUERJ
4º UERJUERJUERJUERJ
-
-
-
nº UERJUERJUERJUERJ. . .UERJ
O jogo terminará quando o número total de letras
escritas por B, do primeiro ao enésimo erro, for igual
a dez vezes o número de letras escritas, considerando
apenas o enésimo erro.
Determine o número total de letras que foram escritas
até o final do jogo.
17. (Unifesp-SP) Progressão aritmética é uma sequência
de números tal que a diferença entre cada um desses
termos (a partir do segundo) e o seu antecessor é
constante. Essa diferença constante é chamada “razão
da progressão aritmética” e usualmente indicada
por r.
a) Considere uma PA genérica finita (a , a , a , ..., a )
1 2 3 n
de razão r, na qual n é par. Determine a fórmula
da soma dos termos de índice par dessa PA, em
função de a , n e r.
1
b) Qual a quantidade mínima de termos para que a
soma dos termos da PA (2224, 2220, 216, ...)
seja positiva?
18. (UF-PB) Em uma determinada plataforma marítima,
foram extraídos 39 960 barris de petróleo, em um período
de 24 horas. Essa extração foi feita de maneira
que, na primeira hora, foram extraídos x barris e, a
partir da segunda hora, r barris a mais do que na hora
anterior. Sabendo-se que, nas últimas 9 horas desse
período, foram extraídos 18 360 barris, o número de
barris extraídos, na primeira hora, foi:
a) 1 180 d) 1 190
b) 1 020
c) 1 065
e) 1 090
19. (UPE-PE) Considere uma progressão aritmética infinita
de números reais da forma a 1 , a 2 , a 3 ,... com razão r.
Formando a sequência b 1 , b 2 , b 3 ,... na qual b n 5 a 4n ,
n 5 1, 2, 3,..., é CORRETO afirmar que, necessariamente,
a) b , b , b ,... forma uma progressão geométrica de
1 2 3
razão 4r.
b) b , b , b ,... forma uma progressão aritmética de
1 2 3
razão 4r.
c) b , b , b ,... forma uma progressão aritmética cuja
1 2 3
razão não depende de r.
d) b , b , b ,... não forma, necessariamente, nem
1 2 3
uma progressão aritmética nem uma progressão
geométrica.
e) b , b , b ,... independentemente do valor de r, for-
1 2 3
mam uma sequência que é tanto uma progressão
aritmética quanto uma progressão geométrica.
20. (UF-RN) A corrida de São Silvestre, realizada em São
Paulo, é uma das mais importantes provas de rua
disputadas no Brasil. Seu percurso mede 15 km. João,
que treina em uma pista circular de 400 m, pretende
participar dessa corrida. Para isso, ele estabeleceu a
seguinte estratégia de treinamento: correrá 7 000 m na
primeira semana; depois, a cada semana, aumentará 2
voltas na pista, até atingir a distância exigida na prova.
a) A sequência numérica formada pela estratégia
adotada por João é uma progressão geométrica
ou uma progressão aritmética? Justifique sua
resposta.
b) Determine em que semana do treinamento João
atingirá a distância exigida na prova.
21. (UE-PB) Se o segundo dos cinco meios aritméticos
inseridos entre a e b foi 21 e o último foi 12, então
o valor de b
21
está no intervalo real:
a
a) [2, 4[ d) ]21, 0]
b) [1, 3[ e) ]0, 2[
c) [4, 6]
22. (UF-AM) Considere os inteiros positivos dispostos em
uma sequência infinita de “quadrados” formados
por quatro linhas e quatro colunas, representados a
seguir:
1 2 3 4 17 18 19 20
5
9
6
10
7
11
8
12
21
25
22
26
23
27
24
28
...
13 14 15 16 29 30 31 32
Em qual linha e coluna de um determinado quadrado
desta sequência está localizado o número 2009?
a) 1ª linha e 3ª coluna
b) 3ª linha e 1ª coluna

Matemática Volume Único
c) 4ª linha e 2ª coluna
d) 2ª linha e 4ª coluna
e) 4ª linha e 1ª coluna
23. (UE-PI) Três números reais positivos formam uma progressão
aritmética, e outros três formam uma progres-
são geométrica. Multiplicando os termos da progressão
geométrica obtém-se 12 3 . Adicionando
os termos correspondentes nas duas progressões
obtemos a sequência 50, 17 e 11. Qual a razão da
progressão aritmética?
a) 1
3
d) 3
b) 2 e) 1
5
c) 1
2
24. (UnB-DF)
nível I
nível II
nível III
A sequência de figuras acima ilustra 3 passos da
construção de um fractal utilizando-se como ponto de
partida um triminó – nível I –, que consiste em uma
peça formada por três quadrinhos de 1 cm de lado
cada, justapostos em forma de L. No segundo passo,
substitui-se cada quadradinho do fractal de nível I por
um triminó, que tem os comprimentos dos lados de
seus quadradinhos adequadamente ajustados à situação,
de forma a se obter o fractal de nível II, conforme
ilustrado acima. No terceiro passo, obtém-se, a partir
do fractal de nível II, também substituindo-se cada um
de seus quadrinhos ajustados, o fractal de nível III. O
processo continua dessa forma, sucessiva e indefinidamente,
obtendo-se os fractais de níveis n 5 I, II, III, ... .
Com base nessas informações, julgue os itens que
se seguem.
a) No fractal de nível n, há 3n quadradinhos sombreados.
b) O perímetro externo do fractal de nível VI é igual
a 8 cm.
c) A área do fractal de nível V correspondente aos
quadradinhos sombreados é superior a 1 cm2 .
d) À medida que n cresce, a área do fractal de nível
n correspondente aos quadradinhos sombreados
aproxima-se cada vez mais de 1 cm2 .
e) No quarto passo da construção, será obtido o
fractal de nível IV, com a forma ilustrada a seguir:
f) Caso o fractal de nível V seja cortado ao longo de
uma reta que bissecta o ângulo interno inferior
esquerdo do quadradinho localizado no canto
inferior esquerdo, as duas partes obtidas serão
congruentes, o que mostra ser essa estrutura
simétrica em relação a essa reta.
g) O fractal de nível II pode ser considerado uma
planificação de um poliedro convexo de 9 faces.
25. (UF-PI) Ao largar-se uma bola de uma altura de 5 m
sobre uma superfície plana, observa-se que, devido
a seu peso, a cada choque com o solo, ela recupera
apenas 3
da altura anterior. Admitindo-se que o
8
deslocamento da bola ocorra somente na direção
vertical, qual é o espaço total percorrido pela bola
pulando para cima e para baixo?
a) 6 m d) 18 m
b) 11 m
c) 15 m
e) 19 m
26. (UF-PA) O estudo dos logaritmos teve origem na
análise de relações entre progressões aritméticas e
progressões geométricas. Considerando que a tabela
abaixo, incompleta, apresenta uma PA e uma PG com
o mesmo número de termos, determine o último
termo, X, da PG.
PA 0 0,5 1 1,5 6
PG 1 2 4 8 X
A alternativa correta é:
a) 500
b) 1 024
c) 3 216
d) 4 096
e) 10 128
23

Progressões
respostas
1. a
2. e
3. c
4. b
5. a) 93,75%
24
b) n 5 10
6. 01 1 02 1 04 1 16 5 23
7. a) 3 200 novos participantes e no total 6 450.
8. e
9. b
10. a
11. c
12. e
13. e
14. 48
15. a
b) 12 semanas.
16. 760 letras
Progressões
17. a) n
4 (n ? r 1 2 a 1 )
b) 114 termos
18. e
19. b
20. a) PA de razão 800
b) 11ª semana
21. a
22. b
23. d
24. a) V
b) V
c) F
d) F
e) V
f) V
g) F
25. b
26. d

Matemática Volume Único
matemática comercial e financeira
1. (UF-PR) Luiz Carlos investiu R$ 10 000,00 no mercado
financeiro da seguinte forma: parte no fundo
de ações, parte no fundo de renda fixa e parte na
poupança. Após um ano ele recebeu R$ 1 018,00 em
juros simples dos três investimentos. Nesse período
de um ano, o fundo de ações rendeu 15%, o fundo
de renda fixa rendeu 10% e a poupança rendeu 8%.
Sabendo que Luiz Carlos investiu no fundo de ações
apenas metade do que ele investiu na poupança, os
juros que ele obteve em cada um dos investimentos
foram:
a) R$ 270,00 no fundo de ações, R$ 460,00 no fundo
de renda fixa e R$ 288,00 na poupança.
b) R$ 300,00 no fundo de ações, R$ 460,00 no fundo
de renda fixa e R$ 258,00 na poupança.
c) R$ 260,00 no fundo de ações, R$ 470,00 no fundo
de renda fixa e R$ 288,00 na poupança.
d) R$ 260,00 no fundo de ações, R$ 480,00 no fundo
de renda fixa e R$ 278,00 na poupança.
e) R$ 270,00 no fundo de ações, R$ 430,00 no fundo
de renda fixa e R$ 318,00 na poupança.
2. (Cefet-MG) Uma loja de eletrodomésticos publicou
o seguinte anúncio:
“Compre uma geladeira por R$ 950,00 para pagamento
em 30 dias, ou à vista, com um desconto
promocional de 20%”.
Se um cliente optar pela compra com pagamento
em 30 dias, a taxa de juros a ser paga, ao mês, é:
a) 20% b) 22% c) 25% d) 28%
3. (Fatec-SP) Uma empresa decidiu trocar todos os seus
computadores e aparelhos de telefone celular utilizados
por seus funcionários. Após a troca, fez um levantamento
do destino dado a esses equipamentos e constatou
que 75% do total de equipamentos foram para a
reciclagem, sendo que os computadores correspondiam
a 60% do total de equipamentos e que 20% do total
de telefones celulares não foram para a reciclagem.
Com base nesses dados sobre o total de equipamentos,
pode-se concluir que a porcentagem de computadores
que foram para a reciclagem corresponde a
a) 18% d) 37%
b) 25%
c) 30%
e) 43%
4. (Unicamp-SP) Segundo o IBGE, nos próximos anos, a
participação das gerações mais velhas na população
do Brasil aumentará. O gráfico a seguir mostra uma
estimativa da população brasileira por faixa etária,
entre os anos de 2010 e 2050. Os números apresentados
no gráfico indicam a população estimada,
em milhões de habitantes, no início de cada ano.
Considere que a população varia linearmente ao
longo de cada década.
a) Com base nos valores fornecidos no gráfico, calcule
exatamente em que ano o número de habitantes
com 60 anos ou mais irá ultrapassar o número de
habitantes com até 17 anos. (Atenção: não basta
encontrar um número aproximado a partir do
gráfico. É preciso mostrar as contas).
b) Determine qual será, em termos percentuais, a variação
da população total do país entre 2040 e 2050.
População (em milhões)
140
120
100
80
59
60
40
115
20
19
127
52
28
131
45
0
2010 2020 2030
Ano
127
52
40 40
116
64
35
2040 2050
Legenda: 0 a 17 anos 18 a 59 anos 60 anos ou mais
5. (Fuvest-SP) O Índice de Massa Corporal (IMC) é o
número obtido pela divisão da massa de um indivíduo
adulto, em quilogramas, pelo quadrado da altura,
medida em metros. É uma referência adotada pela
Organização Mundial de Saúde para classificar um
indivíduo adulto, com relação ao seu peso e altura,
conforme a tabela a seguir.
imC Classificação
até 18,4 Abaixo do peso
de 18,5 a 24,9 Peso normal
de 25,0 a 29,9 Sobrepeso
de 30,0 a 34,9 Obesidade grau 1
de 35,0 a 39,9 Obesidade grau 2
a partir de 40,0 Obesidade grau 3
25

Matemática comercial e financeira
26
Levando em conta esses dados, considere as seguintes
afirmações:
I. Um indivíduo adulto de 1,70 m e 100 kg apresenta
Obesidade Grau 1.
II. Uma das estratégias para diminuir a obesidade
na população é aumentar a altura média de seus
indivíduos por meio de atividades físicas orientadas
para adultos.
III. Uma nova classificação que considere obesos
somente indivíduos com IMC maior que 40 pode
diminuir os problemas de saúde pública.
Está correto o que se afirma somente em:
a) I b) II c) III d) I e II e) I e III
6. (UF-RS) Alguns especialistas recomendam que, para
um acesso confortável aos bebedouros por parte de
crianças e usuários de cadeiras de rodas, a borda
desses equipamentos esteja a uma altura de 76,2 cm
do piso, como indicado na figura a seguir.
Fernando Monteiro
Um bebedouro que tenha sido instalado a uma altura de
91,4 cm do piso à borda excedeu a altura recomendada.
Dentre os percentuais a seguir, o que mais se aproxima
do excesso em relação à altura recomendada é:
a) 5% b) 10% c) 15% d) 20% e) 25%
7. (UF-RS) Entre julho de 1994 e julho de 2009, a inflação
acumulada pela moeda brasileira, o real, foi de
244,15%. Em 1993, o Brasil teve a maior inflação
anual de sua história.
A revista Veja de 08/07/2009 publicou uma matéria
mostrando que, com uma inflação anual como a de
1993, o poder de compra de 2 000 reais se reduziria,
em um ano, ao poder de compra de 77 reais.
Dos valores a seguir, o mais próximo do percentual que
a inflação acumulada entre julho de 1994 e julho de
2009 representa em relação à inflação anual de 1993 é:
a) 5% b) 10% c) 11% d) 13% e) 15%
8. (UFF-RJ) O Índice de Liberdade Econômica (Index of
Economic Freedom) é um indicador elaborado pelo
The Wall Street Journal e The Heritage Foundation,
que avalia o grau de liberdade econômica de um
país. Esse índice varia de zero a cem. Quanto maior
o seu valor, maior a “liberdade econômica” do país.
Tal índice é uma média da liberdade econômica em
dez âmbitos: negócios; comércio; liberdade fiscal;
intervenção do governo; monetário; investimentos;
financeiro; corrupção; trabalho; direitos de propriedade.
A tabela a seguir fornece os índices de quatro
países, no período de 2000 a 2009, e suas respectivas
posições no ranking em 2009 (ano em que 179 países
foram avaliados).
Posição
em 2009
País
Índice de Liberdade Econômica
2009 2008 2007 2006 2005 2004 2003 2002 2001 2000
1
Hong
Kong
90,0 89,7 89,9 88,6 89,5 90,0 89,8 89,4 89,9 89,5
6
Estados
80,7 81,0 81,2 81,2 79,9 78,7 78,2 78,4 79,1 76,4
Unidos
105 Brasil 56,7 56,2 56,2 60,9 61,7 62,0 63,4 61,5 61,9 61,1
179
Coreia
2,0
do Norte
3,0 3,0 4,0 8,0 8,9 8,9 8,9 8,9 8,9
Fonte: http://www.heritage.org/Index/Explore.aspx?
view=by-region-country-year
Com base nessa tabela, pode-se afirmar que o índice
de liberdade econômica do Brasil:
a) teve um aumento superior a 1%, do ano de 2000
para o ano de 2001.
b) teve um decréscimo de 0,1%, no período de 2001
a 2004.
c) teve um aumento superior a 13%, do ano de 2003
para o ano de 2008.
d) teve um decréscimo de 30%, do ano de 2004 para
o ano de 2005.
e) cresceu, ano a ano, no período de 2003 a 2008.
9. (FGV-SP) Um supermercado fez a seguinte oferta para
a compra de determinada marca de suco de laranja
em caixa de 1litro:
R$ 3,60
Thinkstock/
Getty Images
Compre
6 e lhe
damos
2 a mais
Expresse, em porcentagem, o desconto obtido por
unidade em relação ao preço original, para quem
comprar 8 sucos de laranja.

Matemática Volume Único
10. (FGV-SP) O gráfico a seguir fornece o Índice da Bolsa
de Valores de São Paulo (IBovespa) nos finais dos anos
2000 (ano 0), 2001 (ano 1) até 2008 (ano 8).
Índice Bovespa
70 000
60 000
50 000
63 886
40 000
30 000
20 000 15 259
22 236
33 455
26 196
44 473
37 550
10 000
0
13 577 11 268
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Ano
Considerando o menor e o maior valor observados do
índice, o aumento porcentual em relação ao menor
valor foi de aproximadamente:
a) 170%
b) 270%
c) 370%
d) 470%
e) 570%
11. (UF-CE) Uma garrafa está cheia de uma mistura, na
qual 2
do conteúdo é composto pelo produto A e
3
1
pelo produto B. Uma segunda garrafa, com o
3
dobro da capacidade da primeira, está cheia de uma
mistura dos mesmos produtos da primeira garrafa,
sendo agora 3
do conteúdo composto pelo produto
5
A e 2
pelo produto B. O conteúdo das duas garrafas
5
é derramado em uma terceira garrafa, com o triplo
da capacidade da primeira. Que fração do conteúdo
da terceira garrafa corresponde ao produto A?
a) 10
15
b) 5
15
c) 28
45
17
d)
45
3
e)
8
12. (PUC-RJ) Duas torneiras jogam água em um reservatório,
uma na razão de 1 m³ por hora e a outra na
razão de 1 m³ a cada 6 horas. Se o reservatório tem
14 m³, em quantas horas ele estará cheio?
a) 8 d) 14
b) 10
c) 12
e) 16
13. (Unicamp-SP) O valor presente, V , de uma parcela
p
de um financiamento, a ser paga daqui a n meses,
é dado pela fórmula a seguir, em que r é o percentual
mensal de juros (0 < r < 100) e p é o valor da
parcela.
p
V 5 p
r
1 1
100 n
a) Suponha que uma mercadoria seja vendida em
duas parcelas iguais de R$ 200,00, uma a ser
paga à vista, e outra a ser paga em 30 dias (ou
seja, 1 mês). Calcule o valor presente da mercadoria,
V , supondo uma taxa de juros de 1%
p
ao mês.
b) Imagine que outra mercadoria, de preço 2p, seja
vendida em duas parcelas iguais a p, sem entrada,
com o primeiro pagamento em 30 dias (ou seja, 1
mês) e o segundo em 60 dias (ou 2 meses). Supondo,
novamente, que a taxa mensal de juros é igual
a 1%, determine o valor presente da mercadoria,
V , e o percentual mínimo de desconto que a loja
p
deve dar para que seja vantajoso, para o cliente,
comprar à vista.
14. (UF-ES) Num país longínquo, a tributação sobre a
venda de veículos novos é feita por meio de um
imposto único de 8%, que incide sobre o valor de
venda estipulado pelas concessionárias. O preço final
de um veículo ao consumidor é o valor estipulado
pelas concessionárias acrescido dos 8% de imposto,
que as concessionárias então repassam ao governo.
Como as vendas vinham caindo muito, em decorrência
da crise mundial, o governo resolveu reduzir
temporariamente esse imposto para 4%.
a) Determine a queda percentual no preço final
de um veículo novo ao consumidor. Essa queda
depende do preço de venda estipulado pelas
concessionárias? Justifique a sua resposta.
b) A redução do imposto veio acompanhada de um
acréscimo de 20% nas vendas, o que não impediu
que o governo perdesse receita. Determine a
queda percentual da receita do governo advinda
do imposto sobre a venda de veículos novos.
c) Ao invés de reduzir o imposto para 4%, o governo
poderia ter reduzido o imposto para x%. Admitindo
que, com a redução do imposto para x%,
houvesse um aumento de 5(8 − x)% nas vendas,
o governo arrecadaria uma fração f(x) do que
arrecadava antes. Determine f(x), 0 < x < 8, e
esboce o gráfico de f.
27

Matemática comercial e financeira
15. (UF-TO) Uma TV de plasma com 20% de desconto
é vendida por R$ 2 500,00. O preço da TV sem desconto
é:
28
a) R$ 3 125,00
b) R$ 3 000,00
c) R$ 2 800,00
d) R$ 3 100,00
e) R$ 3 500,00
16. (Unemat-MT) Sr. José, residente em um município do
Estado de Mato Grosso, verificou na fatura da rede
de energia que a alíquota de ICMS para o seu Estado
é de 25%. Em determinado mês, a fatura de Sr. José
acusou um total (consumo + ICMS) de R$ 199,00 a
ser pago.
Assinale a alternativa correta.
a) Deste total, R$ 49,75 é referente ao ICMS.
b) Retirando-se a quantia cobrada como ICMS, Sr.
José pagará o valor de R$ 149,25.
c) O valor a ser pago pelo Sr. José, sem o ICMS,
representa 75% do total apresentado na fatura.
d) De acordo com a alíquota do Mato Grosso, do
total apresentado na fatura de R$ 199,00, 25%
são referentes ao ICMS.
e) No referido mês, Sr. José pagará a quantia de
R$ 39,80, referente ao ICMS.
17. (PUC-PR) O senhor Rogério economiza dinheiro para
seu futuro, faz isto guardando R$ 50,00 por mês em
um cofre dentro de sua casa. O senhor Mauricio também
economiza dinheiro para seu futuro e também
guarda R$ 50,00 por mês, só que Mauricio guarda
na poupança, que rende 0,5% ao mês. Rogério tem
atualmente R$ 500,00 e Mauricio R$ 100,25.
20. (UE-RJ)
Considerando que a situação descrita não sofrerá
qualquer alteração, pode-se afirmar:
a) Mauricio nunca terá mais dinheiro que Rogério.
b) O dinheiro de Rogério aumenta em PG e o de
Mauricio em PA.
c) Em cinco anos Mauricio terá mais dinheiro que
Rogério.
d) Se Rogério, em vez de guardar R$ 50,00 por mês,
passar a guardar R$ 51,00 por mês, Mauricio
nunca terá mais dinheiro que Rogério.
e) Nenhuma das alternativas anteriores.
18. (UE-CE) Renato contratou um empréstimo de
R$ 1 400,00, para pagar um mês depois, com juros
de 15% ao mês. Ao final do mês, não podendo pagar
o total, deu por conta apenas R$ 750,00 e, para o
restante, firmou um novo contrato nas mesmas bases
do anterior, o qual foi pago integralmente um mês
depois. O valor do último pagamento foi:
a) R$ 889,00.
b) R$ 939,00.
c) R$ 989,00.
d) R$ 1 009,00.
19. (UE-CE) Quatro amigos fundaram uma empresa com
capital inicial K. Um deles participou com a terça
parte, outro com a sexta parte, o terceiro com 20%
e o último com R$ 1 029 000,00. O valor de K situa-se
entre:
a) R$ 3 000 000,00 e R$ 3 150 000,00.
b) R$ 3 100 000,00 e R$ 3 250 000,00.
c) R$ 3 200 000,00 e R$ 3 350 000,00.
d) R$ 3 300 000,00 e R$ 3 450 000,00.
A definição apresentada pelo personagem não está correta, pois, de fato, duas grandezas são inversamente proporcionais
quando, ao se multiplicar o valor de uma delas por um número positivo, o valor da outra é dividido por
esse mesmo número.
Ziraldo

Matemática Volume Único
Admita que a nota em matemática e a altura do
personagem da tirinha sejam duas grandezas, x e y,
inversamente proporcionais.
A relação entre x e y pode ser representada por:
a) y 5 3
x 2
b) y 5 5
x
c) y 5
2
x 1 1
2x 1 4
d) y 5
3
21. (FGV-SP) Sandra fez uma aplicação financeira, comprando
um título público que lhe proporcionou, após
um ano, um montante de R$ 10 000,00. A taxa de
juros da aplicação foi de 10% ao ano. Podemos
concluir que o juro auferido na aplicação foi:
a) R$ 1 000,00 d) R$ 909,09
b) R$ 1 009,09
c) R$ 900,00
e) R$ 800,00
22. (FGV-SP) Em uma escola, a razão entre o número de
alunos e o de professores é de 50 para 1. Se houvesse
mais 400 alunos e mais 16 professores, a razão entre o
número de alunos e o de professores seria de 40 para 1.
Podemos concluir que o número de alunos da escola é:
a) 1 000 d) 1 150
b) 1 050
c) 1 100
e) 1 200
23. (Enem-MEC) Os dados do gráfico foram coletados
por meio da Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios.
Porcentagem (%)
Estudantes que possuem telefone móvel celular
com idade de 10 anos ou mais
70
60
50
40
30
20
10
0
63
37 36
Norte
Possuíam
Não possuíam
Nordeste
64
56
44
Sudeste
62
Sul
Regiões brasileiras
38
58
42
Fonte: IBGE. Disponível em http://www.ibge.gov.br.
Acesso em: 28 abr. 2010 (adaptado).
Supondo-se que, no Sudeste, 14 900 estudantes
foram entrevistados nessa pesquisa, quantos deles
possuíam telefone móvel celular?
a) 5 513 d) 8 344
b) 6 556
c) 7 450
e) 9 536
Centro-Oeste
24. (Enem-MEC) O jornal de certa cidade publicou em
uma página inteira a seguinte divulgação de seu
caderno de classificados.
x mm
26 mm
4%
outros
jornais
96%
Pessoas que consultam
nossos classificados
260 mm
400 mm
Para que a propaganda seja fidedigna à porcentagem
da área que aparece na divulgação, a medida do
lado do retângulo que representa os 4% deve ser
de aproximadamente:
a) 1 mm d) 160 mm
b) 10 mm e) 167 mm
c) 17 mm
25. (Enem-MEC) Uma empresa possui um sistema de
controle de qualidade que classifica o seu desempenho
financeiro anual, tendo como base o do ano anterior.
Os conceitos são: insuficiente, quando o crescimento
é menor que 1%; regular, quando o crescimento é
maior ou igual a 1% e menor que 5%; bom, quando o
crescimento é maior ou igual a 5% e menor que 10%;
ótimo, quando é maior ou igual a 10% e menor que
20%; e excelente, quando é maior ou igual a 20%.
Essa empresa apresentou lucro de R$ 132 000,00 em
2008 e de R$ 145 000,00 em 2009.
De acordo com esse sistema de controle de qualidade,
o desempenho financeiro dessa empresa no ano de
2009 deve ser considerado:
a) insuficiente d) ótimo
b) regular e) excelente
c) bom
26. (Enem-MEC) Um grupo de pacientes com Hepatite
C foi submetido a um tratamento tradicional em
que 40% desses pacientes foram completamente
curados. Os pacientes que não obtiveram cura foram
distribuídos em dois grupos de mesma quantidade
e submetidos a dois tratamentos inovadores. No
primeiro tratamento inovador, 35% dos pacientes
foram curados e, no segundo, 45%.
29

Matemática comercial e financeira
30
Em relação aos pacientes submetidos inicialmente,
os tratamentos inovadores proporcionaram cura de:
a) 16% d) 48%
b) 24% e) 64%
c) 32%
27. (UF-PR) O gráfico abaixo representa a velocidade de
um veículo durante um passeio de três horas, iniciado
às 13h00.
Velocidade (km/h)
65
60
55
50
45
40
35
13h00 14h00 15h00 16h00
tempo
De acordo com o gráfico, o percentual de tempo nesse
passeio em que o veículo esteve a uma velocidade
igual ou superior a 50 quilômetros por hora foi de:
a) 20% d) 45%
b) 25% e) 50%
c) 30%
28. (UE-GO) A fazenda do João da Rosa produz, em média,
80 litros de leite por dia. Desse leite, 65% são utilizados
na fabricação de queijos que são vendidos a R$ 7,50
o quilo, e o restante é vendido no laticínio da cidade a
R$ 0,75 o litro. Se, a cada 8 litros de leite, João fabrica
1 quilo de queijo, a arrecadação mensal de João da
Rosa com a venda dos queijos e do leite será
a) menor que 1 946 reais.
b) maior que 2 200 e menor que 2 275 reais.
c) maior que 1 987 e menor que 2 000 reais.
d) maior que 1 950 e menor que 2 170 reais.
29. (UE-GO) Uma pequena empresa foi aberta em sociedade
por duas pessoas. O capital inicial aplicado por
elas foi de 30 mil reais. Os sócios combinaram que
os lucros ou prejuízos que eventualmente viessem
a ocorrer seriam divididos em partes proporcionais
aos capitais por eles empregados. No momento da
apuração dos resultados, verificaram que a empresa
apresentou lucro de 5 mil reais. A partir dessa
constatação, um dos sócios retirou 14 mil reais, que
correspondia à parte do lucro devida a ele e ainda o
total do capital por ele empregado na abertura da
empresa. Determine o capital que cada sócio empregou
na abertura da empresa.
30. (UF-PI) Aumentar o preço de um produto em 15% e,
em seguida, conceder um desconto de 10% equivale a
a) permanecer com o preço original.
b) ter um prejuízo de 1% em relação ao preço original.
c) ter um ganho de 3,5% em relação ao preço original.
d) ter um prejuízo de 5% em relação ao preço original.
e) ter um ganho de 7% em relação ao preço original.
31. (UF-AL) Dois eletrodomésticos foram comprados por
um total de R$ 3 500,00. Se um desconto de 10%
fosse dado no preço do primeiro eletrodoméstico e um
desconto de 8% fosse dado no preço do segundo, o
preço total dos eletrodomésticos seria de R$ 3 170,00.
Quanto se pagou pelo primeiro eletrodoméstico?
a) R$ 2 400,00 d) R$ 2 650,00
b) R$ 2 500,00
c) R$ 2 600,00
e) R$ 2 700,00
32. (UF-GO) Um pecuarista deseja fazer 200 kg de ração
com 22% de proteína, utilizando milho triturado,
farelo de algodão e farelo de soja. Admitindo-se que
o teor de proteína do milho seja 10%, do farelo de
algodão seja 28% e do farelo de soja seja 44%, e que
o produtor disponha de 120 kg de milho, calcule as
quantidades de farelo de soja e farelo de algodão que
ele deve adicionar ao milho para obter essa ração.
33. (UF-GO) Segundo uma reportagem publicada na
Folha on-line (31/08/2009), a chamada camada présal
é uma faixa que se estende, abaixo do leito do
mar, ao longo dos estados de Espírito Santo e Santa
Catarina e engloba três bacias sedimentares. O petróleo
encontrado nessa área está a profundidades que
superam os 7 000 m, abaixo de uma extensa camada
de sal, e sua extração colocaria o Brasil entre os dez
maiores produtores do mundo.
Para extrair petróleo da camada pré-sal, a Petrobras
já perfurou poços de petróleo a uma profundidade
de 7 000 m, o que representa um aumento de 582%
em relação à profundidade máxima dos poços perfurados
em 1994.
De acordo com essas informações, calcule a profundidade
máxima de um poço de petróleo perfurado
pela Petrobras, no ano de 1994.

Matemática Volume Único
34. (UE-PI) Maria comprou uma blusa e uma saia em
uma promoção. Ao término da promoção, o preço
da blusa aumentou de 30%, e o da saia de 20%. Se
comprasse as duas peças pelo novo preço, pagaria
no total 24% a mais. Quanto mais caro foi o preço
da saia em relação ao preço da blusa?
a) 42% d) 48%
b) 44% e) 50%
c) 46%
35. (UF-MG) Um banco oferece dois planos para pagamento
de um empréstimo de R$ 10 000,00, em prestações
mensais iguais e com a mesma taxa mensal
de juros:
• no Plano 1, o período é de 12 meses; e
• no Plano 2, o período é de 24 meses.
Contudo a prestação de um desses planos é 80%
maior que a prestação do outro.
1. Considerando essas informações, DETERMINE em
qual dos dois planos – Plano 1 ou Plano 2 – o valor
da prestação é maior.
2. Suponha que R$ 10 000,00 são investidos a uma
taxa de capitalização mensal igual à taxa mensal
de juros oferecida pelo mesmo banco.
CALCULE o saldo da aplicação desse valor ao final
de 12 meses.
36. (UF-PA) A tabela abaixo fornece os dados sobre a
produção de alumínio primário no Brasil, importante
componente da produção industrial do Estado do
Pará, e apresenta, além disso, a porcentagem da
produção exportada.
Ano
Quantidade de alumínio
(mil ton)
Exportação
(%)
1973 111 700 1
1978 186 365 2,1
1983 400 744 44,5
1989 887 432 61,5
2000 1 271 400 71,4
2004 1 457 000 71,3
Alguns críticos destacam a importância da produção
de alumínio primário na exportação de energia
elétrica, devido ao grande consumo dessa forma
de energia na produção industrial. Considerando
que o consumo de energia dependa linearmente
da quantidade de alumínio produzida, podemos
afirmar que, comparando os anos de 1983 e 2004,
o crescimento da quantidade exportada de energia
elétrica presente na produção de alumínio primário
foi de aproximadamente:
a) 60% d) 363%
b) 263% e) 160%
c) 482%
37. (Uneb-BA) Uma empresa produz e comercializa um
determinado equipamento K. Desejando-se aumentar
em 40% seu faturamento com as vendas de K, a produção
desse equipamento deve aumentar em 30% e
o preço do produto também deve sofrer um reajuste.
Para que a meta seja atingida, estima-se um reajuste
mínimo aproximado de
a) 5,6% d) 8,6%
b) 6,3% e) 9,8%
c) 7,7%
38. (UE-PI) O salário bruto mensal de um vendedor é composto
de uma parcela fixa de R$ 600,00, adicionada a
5% do total de suas vendas que exceder R$ 1 000,00.
Em determinado mês, o vendedor recebeu de salário
líquido um total de R$ 1 080,00. Se o total de descontos
que incidem sobre seu salário bruto é de 10%, qual
foi o seu total de vendas naquele mês?
a) R$ 11 000,00 d) R$ 14 000,00
b) R$ 12 000,00 e) R$ 15 000,00
c) R$ 13 000,00
39. (UF-SE) Um comerciante vende artigos nordestinos.
No início deste ano ele comprou 100 redes ao preço
unitário de X reais. Até o final de junho vendeu 3
5
do total delas, com lucro de 40% sobre o preço da
compra. Como desejava renovar o estoque, fez uma
liquidação em agosto e alcançou seu intento: vendeu
todas as que haviam sobrado. Entretanto, nessa segunda
venda, teve um prejuízo de 10% em relação
ao valor pago por elas. O total arrecadado com as
vendas das 100 redes foi R$ 3 600,00.
Use o texto acima para analisar as afirmações abaixo.
a) X 5 30
b) O valor arrecadado com a venda das redes no
primeiro semestre foi R$ 2 650,00.
c) O valor arrecadado com a venda das redes em
agosto foi R$ 1 080,00.
d) Com a venda de todas as redes, ele teve um lucro
de R$ 750,00.
e) Com a venda de todas as redes, ele teve um prejuízo
de R$ 150,00.
31

Matemática comercial e financeira
respostas
1. a
2. c
3. e
4. a) No ano de 2032.
5. a
6. d
7. b
8. a
32
b) Redução de 1,83% no número de habitantes.
9. 25%
10. d
11. e
12. c
13. a) 398,02
b) 1,5%
14. a) 3,7%
15. a
16. e
17. c
18. c
matemática comercial e financeira
b) 40%
x(28 2 x)
c) f(x) 5
160
O gráfico é uma parábola, com a , 0 e raízes 0 e 28.
19. d
20. b
21. d
22. e
23. d
24. d
25. c
26. b
27. e
28. d
29. R$ 12 000,00 e R$ 18 000,00
30. c
31. b
32. 20 kg de farelo de algodão e 60 kg de farelo de soja.
33. 1 026,4 m, aproximadamente.
34. e
35. 1) Plano 1
2) R$ 12 500,00
36. c
37. c
38. c
39. São verdadeiras: a, c.

Matemática Volume Único
Trigonometria
1. (FGV-SP) O número de soluções da equação:
1 1 sen x 2 2 ? |cos 2x| 5 0,
com 0 < x , 2p, é:
a) 8 d) 5
b) 7
c) 6
e) 4
2. (UFU-MG) O valor de tg 10°(sec 5° 1 cossec 5°) ?
? (cos 5° 2 sen 5°) é igual a:
a) 2
b) 1
2
c) 1
d) 0
3. (PUC-SP) Leia com atenção o problema proposto a
Calvin na tira seguinte.
Calvin Hobbes, Bill Watterson © 1987 Watterson /
Dist. by Universal Uclic
Supondo que os pontos A, B e C sejam vértices de um
triângulo cujo ângulo do vértice A mede 60°, então
a resposta correta que Calvin deveria encontrar para
o problema é, em centímetros:
a) (5√ 3 )
3 d) 5√ 3
b) (8√ 3 )
3 e) 10√ 3
c) (10√ 3 )
3
4. (FGV-SP) O valor de cos 72° 2 cos 2 36° é idêntico ao
de:
a) cos 36° d) 2sen2 36°
b) 2cos2 36° e) sen2 c) cos
36°
2 36°
5. (UF-PB) Considere a função f: [0, 2p] → , definida
por:
y 5 f(x) 5 1
? [sen x 1 cos x 2 sen (2x) 2 cos (2x)]
2
O gráfico que melhor representa essa função é:
a)
b)
c)
d)
e)
y
1
p
1
2 3p
2
2
2
21
0 p 2p
1
2
1
21
1
21
y
y
y
p
2
3p
2
0 p 2p
0 2p
1
1
2
p
2
2
21
0 p 3p
2
2p
1
2
1
21
y
3p
2
0 p 2p
p
2
x
x
x
x
x
33

Trigonometria
6. (UFSM-RS) Em determinada cidade, a concentração
diária, em gramas, de partículas de fósforo na atmosfera
é medida pela função C(t) 5 3 1 2 sen pt
6 ,
em que t é a quantidade de horas para fazer essa
medição.
O tempo mínimo necessário para fazer uma medição
que registrou 4 gramas de fósforo é de:
a) 1
2 hora
b) 1 hora
34
c) 2 horas
d) 3 horas
e) 4 horas
7. (Mackenzie-SP) Na figura, tg é igual a:
2,0 cm
0,5 cm
a) 16
81
b) 8
27
c) 19
63
10,0 cm
2
d)
3
1
e)
4
8. (UEL-PR) Se cos (2x) 5 1
, onde x (0, p), então o
3
[sen (3x) 2 sen (x)]
valor de y 5 é:
cos (2x)
a) 21 d) (2√ 3 )
3
b) (√ 3 )
e) 1
3
c) 3
√ 3
9. (UF-SC) Na figura a seguir determine a medida do
segmento AB, em cm, sabendo que sen a 5 0,6.
C
a
100 cm
a
B
A
10. (Fatec-SP) Da trigonometria sabe-se que quaisquer
que sejam os números reais p e q,
sen p 1 sen q 5 2 ? sen
p 1 q
2
? cos
p 2 q
2
Logo, a expressão cos x ? sen 9x é idêntica a:
a) sen 10x 1 sen 8x
b) 2 ? (sen 6x 1 sen 2x)
c) 2 ? (sen 10x 1 sen 8x)
d) 1
? (sen 6x 1 sen 2x)
2
e) 1
? (sen 10x 1 sen 8x)
2
11. (UF-RS) As medidas dos lados de um triângulo são
proporcionais a 2, 2 e 1. Os cossenos de seus ângulos
internos são, portanto:
a) 1 1 1
, ,
8 8 2
b) 1 1 1
, ,
4 4 8
c) 1 1 7
, ,
4 4 8
1 1 1
d) , ,
2 2 4
1 1 7
e) , ,
2 2 8
12. (PUC-RS) Para representar os harmônicos emitidos
pelos sons dos instrumentos da orquestra, usam-se
funções trigonométricas.
A expressão 2 sen2 x 1 2 cos2 x 2 5 envolve estas
funções e, para p , x , 3p
, seu valor é de:
2
a) 27 d) 2p 2 5
b) 23 e) 3p 2 5
c) 21
13. (UE-MG) Na figura a seguir, um fazendeiro F dista
600 m da base da montanha (ponto B). A medida
do ângulo AF ˆ B é igual a 30º.
(F)
Ao calcular a altura da montanha, em metros, o
fazendeiro encontrou a medida correspondente a:
a) 200√ 3
b) 100√ 2
c) 150√ 3
d) 250√ 2
A
B
.
Fernando Monteiro

Matemática Volume Único
14. (Unemat-MT) Na figura abaixo, o triângulo ABC é um
triângulo equilátero de 3 cm de lado, e o triângulo
retângulo BCD tem lados BD 5 4 cm e CD 5 5 cm
e CB ˆ D 5 900.
A
C
B
Qual a medida do segmento AD?
a) √ 3
b) 4√ 3
c) √ 100 1 √ 3
d) √ 25 1 12√ 3
e) 2√ 3
15. (ESPM-SP) Uma pessoa cujos olhos estão a 1,80 m de
altura em relação ao chão avista o topo de um edifício
segundo um ângulo de 30° com a horizontal. Percorrendo
80 m no sentido de aproximação do edifício,
esse ângulo passa a medir 60°. Usando o valor 1,73
para a raiz quadrada de 3, podemos concluir que a
altura desse edifício é de aproximadamente:
a) 59 m
b) 62 m
c) 65 m
d) 69 m
e) 71 m
16. (UE-CE) O número de soluções da equação
3 sen 2 x 2 3 ? |sen x| 1 cos 2 x 5 0 que estão no
intervalo [0, 2p] é:
a) 2
b) 8
c) 4
d) 6
17. (FGV-SP) A previsão de vendas mensais de uma
empresa para 2011, em toneladas de um produto,
é dada por f(x) 5 100 1 0,5x 1 3 sen px
, em que
6
x 5 1 corresponde a janeiro de 2011, x 5 2 corres-
ponde a fevereiro de 2011 e assim por diante.
A previsão de vendas (em toneladas) para o primeiro
trimestre de 2011 é:
(Use a aproximação decimal √ 3 5 1,7.)
D
a) 308,55
b) 309,05
c) 309,55
d) 310,05
e) 310,55
18. (Enem-MEC) Um satélite de telecomunicações,
t minutos após ter atingido sua órbita, está a r quilômetros
de distância do centro da Terra. Quando r
assume seus valores máximo e mínimo, diz-se que
o satélite atingiu o apogeu e o perigeu, respectivamente.
Suponha que, para esse satélite, o valor de r
em função de t seja dado por:
5 865
r(t) 5
1 1 0,15 ? cos (0,06t)
Um cientista monitora o movimento desse satélite
para controlar o seu afastamento do centro da Terra.
Para isso, ele precisa calcular a soma dos valores de r,
no apogeu e no perigeu, representada por S.
O cientista deveria concluir que, periodicamente, S
atinge o valor de:
a) 12 765 km
b) 12 000 km
c) 11 730 km
d) 10 965 km
e) 5 865 km
19. (Fuvest-SP) No losango ABCD de lado 1, representado
na figura, tem-se que M é o ponto médio de AB, N
é o ponto médio de BC e MN 5 14
. Então, DM é
4
igual a:
A
a) √ 2
4
b) √ 2
2
c) √ 2
d) 3√ 2
2
e) 5√ 2
2
D
M
B
N
C
35

Trigonometria
20. (Mackenzie-SP) Considerando o esboço do gráfico da
função f(x) 5 cos x, entre 0 e 2p, a reta que passa
pelos pontos P e Q define com os eixos coordenados
um triângulo de área:
36
y
0
P
a) p
2
b) p
4
c) p
Q
1 2 3 4 5 6
p
d)
8
p
e)
6
21. (Fuvest-SP) A figura representa um quadrado ABCD
de lado 1. O ponto F está em BC, BF mede √ 5
, o
4
ponto E está em CD e AF é bissetriz do ângulo BÂE.
Nessas condições, o segmento DE mede:
a) 3√ 5
40
b) 7√ 5
40
c) 9√ 5
40
A B
D
E
d) 11√ 5
40
e) 13√ 5
40
22. (UFF-RJ) Nos itens a seguir, arccos denota a função
inversa da função cosseno restrita ao intervalo [0, p]
e arctg denota a função inversa da função tangente
restrita ao intervalo 2 p p
,
2 2 .
a) Calcule arccos cos p
5 .
b) Calcule sen (arctg (21)).
c) Verifique que sen (arccos (x)) 5 √ 1 2 x 2 para todo
x [21,1].
F
C
x
23. (UF-BA) Dadas as funções reais:
sen x, 0 < x ,
f(x) 5
p
2
1 1 cos x, p
< x < p 1 2
2
g(x) 5
f x 1 p
2
1 1 f x 1 p
2
p
, 2 < x , 0
2
, 0 < x < p
2
p
determine x, pertencente ao intervalo 0, 2 tal que
[f(x)] 2 1 g(x) 2 7
5 0.
4
24. (UE-RJ) Observe abaixo a ilustração de um pistão e
seu esquema no plano.
O pistão é ligado, por meio da haste BC, a um disco
que gira em torno do centro A.
Considere que:
• o raio AB e a haste BC medem, respectivamente,
1 polegada e 4 polegadas;
• à medida que o disco gira, o pistão move-se verticalmente
para cima ou para baixo, variando a
distância AC e o ângulo BÂC.
Se a medida do ângulo BÂC é dada por x radianos, a
distância entre A e C, em polegadas, pode ser obtida
pela seguinte equação:
a) y 5 4 1 sen (x)
b) y 5 4 1 cos (x)
c) y 5 sen (x) 1 √ 16 2 cos 2 (x)
d) y 5 cos (x) 1 √ 16 2 sen 2 (x)
25. (UE-GO) No ciclo trigonométrico, as funções seno e
cosseno são definidas para todos os números reais.
e
Fernando Monteiro

Matemática Volume Único
Em relação às imagens dessas funções, é correto
afirmar:
a) sen (7) . 0
b) sen (8) , 0
c) (cos (√ 5 ) . 0)
d) (cos (√ 5 ) . sen (8))
26. (UF-RN) Marés são movimentos periódicos de rebaixamento
e elevação de grandes massas de água
formadas pelos oceanos, mares e lagos. Em determinada
cidade litorânea, a altura da maré é dada pela
função h(t) 5 3 1 0,2 cos p
? t , onde t é medido
6
em horas a partir da meia-noite.
Um turista contratou um passeio de carro pela orla
dessa cidade e, para tanto, precisa conhecer o movimento
das marés.
Desse modo,
a) qual a altura máxima atingida pela maré?
b) em quais horários isto ocorre no período de um
dia?
27. (UF-AL) De um ponto A, situado no mesmo nível da
base de uma torre, o ângulo de elevação do topo da
torre é de 20°. De um ponto B, situado na mesma
vertical de A e 5 m acima, o ângulo de elevação do
topo da torre é de 18°. Qual a altura da torre? Dados:
use as aproximações tg 20° 0,36 e tg 18° 0,32.
a) 42 m d) 45 m
b) 43 m
c) 44 m
e) 46 m
28. (UF-AL) Quantas soluções a equação trigonométrica
sen4 x 2 cos4 x 5 1
admite no intervalo fechado com
2
extremos 0 e 35p?
Fernando Monteiro
a) 66 d) 72
b) 68
c) 70
e) 74
29. (UF-PI) Seja a um número real satisfazendo
0 , a , p tan a
e 5 √ 2. É correto afirmar que:
2 2
a) cos a 1 sen a 5 1 2 2√ 2
3
b) sec a 5 3
c) cossec a é um número racional
d) sen a 5 1
e) sen a cos a 5 1
30. (UF-GO) Uma empresa de vigilância irá instalar um
sistema de segurança em um condomínio fechado,
representado pelo polígono da figura abaixo.
S
T A
P
A empresa pretende colocar uma torre de comunicação,
localizada no ponto A, indicado na figura, que
seja equidistante dos vértices do polígono, indicados
por P, Q, R, S e T, onde serão instalados os equipamentos
de segurança. Sabe-se que o lado RQ desse
polígono mede 3 000 m e as medidas dos outros lados
são todas iguais à distância do ponto A aos vértices
do polígono. Calcule a distância do ponto A, onde
será instalada a torre, aos vértices do polígono.
31. (UE-PB) Dados tg x 5 22 e x um arco do 2º quadrante,
o valor de sec x 1 cossec x é:
a) 2√ 5 d) √ 5
2
b) 2 √ 5
4
e) √ c) 2
5
√ 5
2
32. (UF-PB) Em determinado trecho do oceano, durante
um período de vinte e quatro horas, a altura H das
ondas, medida em metros, variou de acordo com a
R
Q
37

Trigonometria
38
expressão H(t) 5 2 1 3 pt
sen , onde t . 0 é
2 12
o tempo, dado em horas. A altura das ondas nesse
trecho não ultrapassou 2,75 m no horário da(s):
a) 0h às 2h e das 10h às 24h
b) 1h às 3h e das 9h às 23h
c) 2h às 3h e das 8h às 20h
d) 3h às 5h e das 7h às 20h
e) 4h às 5h e das 6h às 20h
33. (UF-PE) Considere a função f, com domínio e contradomínio
o conjunto dos números reais, dada por
f(x) 5 √ 3 cos x 2 sen x, que tem parte de seu gráfico
esboçado a seguir.
Analise a veracidade das afirmações seguintes acerca
de f:
a) f(x) 5 2 ? sen x 1 p
, para todo x real.
6
b) f é periódica com período 2p.
c) As raízes de f(x) são 2 p
1 2 kp, com k inteiro.
6
d) f(x) > 2√ 3, para todo x real.
e) f(x) < 2, para todo x real.
34. (UE-PI) Do topo de uma montanha se avistam os
pontos A e B de uma planície. As linhas de visão do
topo aos pontos A e B formam entre si um ângulo
de 30°. A linha de visão do topo com o ponto A
tem inclinação de 30°, em relação à horizontal. Se
AB 5 2√ 3 km, qual a altura da montanha?
30°
A B
30°
a) 2,8 km
b) 2,9 km
c) 3,0 km
d) 3,1 km
e) 3,2 km
35. (UF-PE) Na ilustração abaixo, temos dois retângulos
congruentes com base medindo 12 cm, e altura 5 cm.
Qual o inteiro mais próximo da distância, em cm, do
ponto A até a horizontal? Dado: use a aproximação
√ 3 1,73.
36. (UF-AM) O alcance máximo no lançamento oblíquo
de um corpo é dado pela expressão A 5 v2 sen θ 0
,
g
onde v e g denotam respectivamente a velocidade
0
inicial de lançamento do corpo e a aceleração da
gravidade. Um jogador de golfe lança uma bola com
A
30°
velocidade inicial v 0 5 √ 10 m/s obtendo um alcance
máximo de √ 2 2 cos θ metros.
Considerando que θ é um ângulo do 1º quadrante, e
a aceleração da gravidade igual a 10 m/s², o ângulo
de lançamento θ é:
a) p
2
b) p
3
c) p
4
d) p
6
e) p
8
Fernando Monteiro

Matemática Volume Único
37. (UF-AM) O Big Ben, ao contrário do que muitos pensam,
não é o famoso relógio do Parlamento Inglês,
nem tampouco sua torre. É o nome do sino, que pesa
13 toneladas.
http://emundo.files.wordpress.com/2009/01/big-ben2.jpg
Acesso em: 21 out. 2009.
O nome do relógio é Tower Clock, e é muito conhecido
pela sua precisão e tamanho. O ponteiro dos
minutos mede 3,4 m (medindo do centro do relógio
até a extremidade do ponteiro).
Ao se deslocar 42 minutos, a distância percorrida pela
extremidade do ponteiro dos minutos deste relógio
é aproximadamente (considere p 5 3,14):
a) 11 m
b) 12 m
c) 15 m
d) 19 m
e) 21 m
38. (UE-PI) Se os lados de um triângulo medem a, b e
√ a2 1 ab 1 b2 , quanto mede o maior ângulo do
triângulo?
a) 30°
b) 45°
c) 60°
d) 90°
e) 120°
Thinkstock/Getty Images
39. (Uneb-BA) Se arcsen x 5 p
, então cos (2 arcsen x)
3
é igual a:
a) 1 2 √ 3
4
b) 2 1
2
c) 1 2 √ 3
d) 0
e) 1
40. (UPE-PE) Um relógio de ponteiros (apenas com ponteiro
para hora e ponteiro para minuto) foi acertado,
exatamente, às 3h. Se o ponteiro menor (das horas)
tiver percorrido um ângulo de 2p
radianos com
5
relação a sua posição inicial, qual a hora que estará
indicada pelo relógio, assumindo que a cada hora o
ponteiro maior (dos minutos) percorre um ciclo completo
e que tanto o movimento do ponteiro menor
quanto do ponteiro maior ocorre continuamente com
o passar do tempo?
a) 6 horas e 24 minutos.
b) 5 horas e 30 minutos.
c) 3 horas e 12 minutos.
d) 5 horas e 12 minutos.
e) 5 horas e 24 minutos.
41. (UF-RN) A figura abaixo representa uma torre de
altura H equilibrada por dois cabos de comprimentos
L e L , fixados nos pontos C e D, respectivamente.
1 2
C
30°
L 1
H
A
B
Entre os pontos B e C passa um rio, dificultando a
medição das distâncias entre esses pontos. Apenas
com as medidas dos ângulos C e D e a distância entre
B e D, um engenheiro calculou a quantidade de cabo
(L 1 L ) que usou para fixar a torre.
1 2
O valor encontrado, usando √ 3 5 1,73 e BD 5 10 m, é
L 2
60°
a) 54,6 m. c) 62,5 m.
b) 44,8 m. d) 48,6 m.
D
39

Trigonometria
respostas
1. b
2. a
3. c
4. d
5. e
6. b
7. a
8. d
9. 96 cm
10. e
11. c
12. b
13. a
14. d
15. e
16. d
17. d
18. b
19. b
20. b
21. d
22. a) arccos cos p
5
40
Trigonometria
5 p
5
b) sen (arctg(21)) 5 sen 2 p
4 5 2 √ 2
2
c) Use a relação: sen 2 a 1 cos 2 a 5 1
23. x 5 p
6
24. d
25. a
26. a) 3,2
27. d
28. c
29. b
b) 0h e 12h
30. 1 000 √ 3 m
31. c
32. a
33. a) F
34. c
b) V
c) F
d) F
e) V
35. 10
36. c
37. c
38. e
39. b
40. e
41. a

Matemática Volume Único
matrizes, determinantes e sistemas lineares
1. (Ufla-MG) O determinante da matriz
⎛sen
x
A 5 ⎜
⎜
⎝
cos2 cos x
sen x
x
0
2sen
cos x⎞
2sen x⎟⎟⎠
2 é:
x cos x
a) 21
b) 1
c) 0
d) sen 2x
2. (Fatec-SP) Sobre o sistema linear, nas incógnitas x, y
e z,
⎧ x 1 2y 1 3z 5 1
⎪
S ⎨2x
1 y 2 z 5 m
⎪
⎩3x
1 ky 1 2z 5 4
em que k e m são constantes reais, pode-se afirmar
que:
a) não admite solução se k 5 4.
b) admite infinitas soluções se k 5 m 5 3.
c) admite infinitas soluções se k 5 3 e m 5 5.
d) admite solução única se k 5 3 e m é qualquer real.
e) admite solução única se k 5 e m 5 3.
3. (Udesc-SC) Dada a matriz A (figura 1).
Seja a matriz B tal que A21BA 5 D, onde a matriz D
(figura 2), então o determinante de B é igual a:
Figura 1
A 5 ⎡1 2⎤
⎢ ⎥⎦
⎣1
21
Figura 2
D 5 ⎡ 2 1⎤
⎢ ⎥⎦
⎣21
2
a) 3
b) 25
c) 2
d) 5
e) 23
4. (U.E. Londrina-PR) Se o determinante da matriz
⎡ x 2 1⎤
A 5
⎢ 1 21 1⎥⎥⎦
⎢
⎣2x
21 3
é nulo, então:
a) x 5 23
b) x 5 2 7
4
c) x 5 21
d) x 5 0
e) x 5 7
4
5. (Mackenzie-SP) Considerando 0 , x , 3p
, o número
2
de soluções da equação
det ⎛log(tg(x)) log(cotg(x)) ⎞
⎜ ⎟⎠ 5 0 é:
⎝ 1 1
a) 2
b) 3
c) 0
d) 1
e) 4
6. (Mackenzie-SP) Dadas as matrizes A 5 (a ij ) 3 3 3 tal que
⎧a
5 10, se i 5 j
ij
⎨
⎩a
5 0, se i j ij e B 5 (bij ) tal que
3 3 3
⎧b
5 3, se i 5 j
ij
⎨
, o valor de det(AB) é:
⎩b
5 0, se i j ij
a) 27 3 10 3
b) 9 3 10 3
c) 27 3 10 2
d) 3 2 3 10 2
e) 27 3 10 4
7. (FGV-SP) O sistema linear abaixo, nas incógnitas x e
y: ⎧ x 1 3y 5 m
⎨
⎩2x
2 py 5 2 ,
será impossível quando:
a) Nunca
b) p 26 e m 5 1
c) p 26 e m 1
d) p 5 26 e m 5 1
e) p 5 26 e m 1
41

Matrizes, determinantes e sistemas lineares
8. (PUC-RJ) Maria comprou duas bicicletas por um total
de R$ 670,00. Vendeu uma das bicicletas com lucro
de 10% e a outra com prejuízo de 5%. No total, ela
ganhou R$ 7,00. Quais foram os preços de compra?
42
a) R$ 370,00 e R$ 300,00
b) R$ 270,00 e R$ 400,00
c) R$ 277,00 e R$ 400,00
d) R$ 200,00 e R$ 470,00
e) R$ 377,00 e R$ 293,00
9. (UF-CE) Os inteiros não todos nulos m, n, p, q são
tais que 45m ? 60n ? 75p ? 90q 5 1.
Pede-se:
a) dar exemplo de um tal quaterno (m, n, p, q).
b) encontrar todos os quaternos (m, n, p, q) como
acima, tais que m 1 n 1 p 1 q 5 8.
10. (CP2-MEC-RJ) Para comemorar o seu aniversário de
15 anos, Marcela convidou alguns amigos para uma
festa em sua casa e comprou certa quantidade de
brindes para distribuir entre seus convidados.
Planejou que cada um dos seus amigos ganharia três
brindes e ainda restariam dois para guardar de reserva.
Porém, no dia da festa, seis amigos não puderam
comparecer. Dessa forma, Marcela preferiu dar, para
cada convidado, um brinde a mais do que o previsto,
não lhe restando, assim, mais nenhum.
a) Represente a situação descrita no texto acima
através de um sistema de equações.
b) Resolva o sistema de equações obtido no item (a)
e diga quantos amigos compareceram à festa de
Marcela.
11. (UF-PR) Considere a função f definida pela expressão:
⎡ cos (2x) sen x 0
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎤ ⎥
1
f(x) 5 det cos x
0⎥⎥⎥⎦
2
1 0 2
a) Calcule f(0) e f 5 p
4 .
b) Para quais valores de x se tem f(x) 5 0?
12. (Unicamp-SP) Uma confeitaria produz dois tipos de
bolos de festa. Cada quilograma do bolo do tipo A
consome 0,4 kg de açúcar e 0,2 kg de farinha. Por
sua vez, o bolo do tipo B consome 0,2 kg de açúcar
e 0,3 kg de farinha para cada quilograma produzido.
Sabendo que, no momento, a confeitaria dispõe
de 10 kg de açúcar e 6 kg de farinha, responda às
questões a seguir.
a) Será que é possível produzir 7 kg de bolo do tipo A
e 18 kg de bolo do tipo B? Justifique sua resposta.
b) Quantos quilogramas de bolo do tipo A e de bolo
do tipo B devem ser produzidos se a confeitaria
pretende gastar toda a farinha e todo o açúcar de
que dispõe?
13. (UF-ES) Vicente, que tem o hábito de fazer o controle
do consumo de combustível de seu carro, observou
que, com 33 L de gasolina, ele pode rodar 95 km
na cidade mais 276 km na estrada e que, com 42 L
de gasolina, ele pode rodar 190 km na cidade mais
264 km na estrada.
a) Calcule quantos quilômetros Vicente pode rodar
na cidade com 1L de gasolina.
b) Sabendo que Vicente viajou 143,5 km com 13 L
de gasolina, determine o comprimento do seu
trajeto na estrada e o comprimento do seu trajeto
na cidade.
14. (PUC-PR) Considere as seguintes desigualdades:
I.
II.
2 2 . 3 4
21 4 1 5
3 26 . 4 7
5 22 21 5
III.
8 1
22 26
.
9 2
21 27
É correto afirmar que:
a) São verdadeiras apenas as desigualdades I e II.
b) São verdadeiras apenas as desigualdades II e III.
c) São verdadeiras apenas as desigualdades I e III.
d) As três desigualdades são verdadeiras.
e) As três desigualdades são falsas.
15. (UE-CE) Se x, y e z constituem a solução do sistema
linear
⎧x
1 y 1 z 5 1
⎪
⎨x
1 2y 2 3z 5 22
⎪
⎩x
1 4y 1 5z 5 24
então o produto x ? y ? z é igual a:
a) 24 c) 22
b) 28 d) 26

Matemática Volume Único
16. (UE-CE) Se n é um número inteiro positivo e X é a
⎡ 1 0 0 ⎤
matriz ⎢ 1 2 0 ⎥⎥⎦ , então o valor do determinante da
⎢
⎣ 1 1 3
matriz Y 5 Xn é:
a) 2 n c) 6 n
b) 3 n d) 9 n
17. (FGV-SP) O sistema linear nas incógnitas x, y e z
⎧x
2 y 5 10 1 z
⎪
⎨y
2 z 5 5 2 x
⎪
⎩z
1 x 5 7 1 y
pode ser escrito na forma matricial AX 5 B , em que:
⎡ x ⎤ ⎡10⎤
X 5 ⎢ y ⎥⎥⎦ e B 5 ⎢ 5 ⎥⎥⎦
⎢ ⎢
⎣ z ⎣ 7
Nessas condições, o determinante da matriz A é
igual a:
a) 5 d) 2
b) 4
c) 3
e) 1
18. (UFF-RJ) A transmissão de mensagens codificadas
em tempos de conflitos militares é crucial. Um dos
métodos de criptografia mais antigos consiste em
permutar os símbolos das mensagens. Se os símbolos
são números, uma permutação pode ser efetuada
usando-se multiplicações por matrizes de permutação,
que são matrizes quadradas que satisfazem as
seguintes condições:
Cada coluna possui um único elemento igual a 1
(um) e todos os demais elementos são iguais a zero;
cada linha possui um único elemento igual a 1 (um)
e todos os demais elementos são iguais a zero.
⎡ 0 1 0 ⎤
Por exemplo, a matriz M 5 ⎢ 0 0 1 ⎥⎥⎦ permuta os
⎢
⎣ 1 0 0
⎡ a ⎤
elementos da matriz coluna Q 5 ⎢ b ⎥⎥⎦ ,
⎢
⎣ c
⎡ b ⎤
transformando-a na matriz P 5 ⎢ c ⎥⎥⎦ , pois P 5 M ? Q.
⎢
⎣ a
⎡ a ⎤
Pode-se afirmar que a matriz que permuta ⎢ b ⎥⎥⎦ ,
⎢
⎣ c
⎡ c ⎤
transformando-a em ⎢ a ⎥⎥⎦ , é:
⎢
⎣ b
⎡ 0 0 1 ⎤
a) ⎢ 1 0 0 ⎥⎥⎦
⎢
⎣ 0 1 0
⎡ 1 0 0 ⎤
b) ⎢ 0 0 1 ⎥⎥⎦
⎢
⎣ 0 1 0
c)
⎡ 0 1 0 ⎤
⎢ 1 0 0 ⎥⎥⎦
⎢
⎣ 0 0 1
d)
e)
⎡ 0 0 1 ⎤
⎢ 0 1 0 ⎥⎥⎦
⎢
⎣ 1 0 0
⎡ 1 0 0 ⎤
⎢ 0 1 0 ⎥⎥⎦
⎢
⎣ 0 0 1
19. (Fuvest-SP) Uma geladeira é vendida em n parcelas
iguais, sem juros. Caso se queira adquirir o produto,
pagando-se 3 ou 5 parcelas a menos, ainda sem
juros, o valor de cada parcela deve ser acrescido de
R$ 60,00 ou de R$ 125,00, respectivamente. Com
base nessas informações, conclui-se que o valor de
n é igual a:
a) 13
b) 14
c) 15
d) 16
e) 17
20. (UF-RN) Matilda saiu de casa para fazer compras.
Passou em um supermercado e numa farmácia,
gastando um total de R$ 110,00.
Se suas despesas no supermercado foram superiores
às despesas na farmácia em R$ 94,00, quanto ela
gastou em cada estabelecimento?
21. (UF-AL) Três ligas metálicas têm as constituições
seguintes:
– a primeira é formada por 20 gramas de ouro, 30
gramas de prata e 40 gramas de bronze;
– a segunda é formada por 30 gramas de ouro, 40
gramas de prata e 50 gramas de bronze;
– a terceira liga é formada por 40 gramas de ouro,
50 gramas de prata e 90 gramas de bronze.
As três ligas devem ser combinadas para compor uma
nova liga contendo 37 gramas de ouro, 49 gramas de
prata e 76 gramas de bronze. Quanto será utilizado
da terceira liga?
a) 0,3 gramas
b) 0,4 gramas
c) 0,5 gramas
d) 0,6 gramas
e) 0,7 gramas
43

Matrizes, determinantes e sistemas lineares
22. (UF-PB) Na confecção de três modelos de camisas
(A, B e C), são usados dois tipos de botão: grandes
(G) e pequenos (P). O número de botões, por modelo,
está indicado na tabela a seguir.
44
botão A
modelo
B C
P 3 1 5
G 6 5 5
O número de cada modelo de camisas confeccionadas,
nos meses de julho e agosto, está indicado na
tabela a seguir.
camisas julho
meses
agosto
A 100 50
B 50 100
C 50 50
De acordo com esses dados, o número total de
botões usados na confecção dessas camisas, nesses
dois meses, foi:
a) 3 250
b) 5 000
c) 2 850
d) 4 200
e) 2 550
23. (UF-AM) Seja A uma matriz quadrada de ordem n,
tal que det A 5 k, com k 0. Sendo A 21 a matriz
inversa de A, o valor do det A 21 é:
a) 2k
b) 3k
c) k
3
d) k
2
e) 1
k
24. (UF-GO) Uma agência de turismo vende pacotes familiares
de passeios turísticos, cobrando para crianças
o equivalente a 2
do valor para adultos. Uma família
3
de cinco pessoas, sendo três adultos e duas crianças,
comprou um pacote turístico e pagou o valor total
de R$ 8 125,00.
Com base nessas informações, calcule o valor que a
agência cobrou de um adulto e de uma criança para
realizar esse passeio.
25. (UF-PE) Uma fábrica de automóveis utiliza três tipos de
aço, A 1 , A 2 e A 3 na construção de três tipos de carros,
C 1 , C 2 e C 3 . A quantidade dos três tipos de aço, em
toneladas, usados na confecção dos três tipos de carro,
está na tabela a seguir:
C 1 C 2 C 3
A 1 2 3 4
A 2 1 1 2
A 3 3 2 1
Se foram utilizadas 26 toneladas de aço do tipo A 1 , 11
toneladas do tipo A 2 e 19 toneladas do tipo A 3 , qual
o total de carros construídos (dos tipos C 1 , C 2 ou C 3 )?
26. (UE-PB) Se os dois sistemas lineares ⎧2x 2 y 5 0
⎨
⎩ x 1 y 5 3 e
⎧mx
1 ny 5 21
⎨
são equivalentes, os valores de m
⎩mx
2 ny 5 1
e n são, respectivamente:
a) 1
e 21
2
b) 0 e 1
2
c) 1
e 1
2
d) 0 e 2 1
2
e) 1 e 22
27. (UF-SE) Considere as matrizes A 5 ⎡21 2⎤
⎢ ⎥⎦ ,
⎣ 0 1
B 5 ⎡1 0⎤
⎢ ⎥⎦ e C 5
⎣2
21 ⎡a b⎤
⎢ ⎥⎦ , com a, b, c, d reais,
⎣c
d
para analisar as afirmações abaixo.
a) A 1 B 5 ⎡0 2⎤
⎢ ⎥⎦
⎣2
0
b) Se A 2 B
2 5 C, então ba 5√ 2.
c) Se At é a matriz transposta de A, então
det At 5 21.
d) Se C é a matriz inversa de B, então a ? d 5 1.
e) Se A ? C 5 B, então C 5 ⎡3 2⎤
⎢ ⎥⎦ .
⎣2
1

Matemática Volume Único
matrizes, determinantes e sistemas lineares
respostas
1. a
2. b
3. d
4. e
5. a
6. a
7. e
8. b
9. a) n 5 3, m 5 5, p 5 21 e q 5 26, por exemplo.
b) m 5 40, n 5 24, p 5 28 e q 5 248.
10. a) Sejam: x o número de amigos e y o número de brindes,
temos:
⎧y
5 3x 1 2
⎨
⎩y
5 4(x 2 6)
b) O número de amigos que compareceram à festa é 20.
11. a) 1; 21
b) S 5 ⎧ ⎨x | x 5
⎩ p p
1 k
8 2 , com k Z ⎫ ⎬
⎭
12. a) Não, pois faltará farinha.
b) 22,5 kg do tipo A e 5 kg do tipo B.
13. a) 9,5 km na cidade e 12 km na estrada.
14. b
15. a
16. c
17. b
18. a
19. a
b) 96 km na estrada e 47,5 km na cidade.
20. R$ 8,00 na farmácia e R$ 102,00 no supermercado.
21. c
22. a
23. e
24. Adulto: R$ 1 875,00; criança: R$ 1 250,00.
25. 9 carros ao todo
26. d
27. São verdadeiras: a, c.
45

Geometria plana
46
Geometria plana
1. (UF-MG) O octógono regular de vértices ABCDEFGH,
cujos lados medem 1 dm cada um, está inscrito no
quadrado de vértices PQRS, conforme mostrado nesta
figura:
S
G
H
P
F
A
E
R
D
C
B Q
Então, é correto afirmar que a área do quadrado
PQRS é:
a) 1 1 2√ 2 dm2 b) 1 1 √ 2 dm2 c) 3 1 2√ 2 dm2 d) 3 1 √ 2 dm2 2. (UF-GO) Os “Sulbasutras” são manuscritos que foram
escritos pelos habitantes do noroeste da Índia
por volta de 1500 a.C. Eles trazem instruções para
a realização de cerimônias religiosas que requeriam
a construção de altares em formatos combinados
de triângulos, retângulos e trapézios. Uma dessas
instruções é um método para construir um quadrado
a partir de dois quadrados menores. Denotando-se
por ABCD e PQRS os dois quadrados menores na
figura a seguir, marca-se um ponto X no lado DC,
de modo que DX 5 PQ; em seguida, ligam-se A e X
e constrói-se o novo quadrado AXFE.
Q
P
R
S
A
D
Sabendo que PQ 5 2 m e AD 5 4 m, calcule a área
da região sombreada ABGFE.
X
E
B
G
C
F
3. (Fuvest-SP)
A
x
F
C
G
E B
O triângulo ABC da figura acima é equilátero de lado
1. Os pontos E, F e G pertencem, respectivamente,
aos lados AB, AC e BC do triângulo. Além disso, os
ângulos AFE e CGF são retos e a medida do segmento
AF é x.
Assim, determine:
a) A área do triângulo AFE em função de x.
b) O valor de x para o qual o ângulo FEG também é
reto.
4. (Ibmec-RJ) O triângulo ABC (figura) tem área igual a
36 cm 2 . Os pontos M e N são pontos médios dos lados
AC e BC. Assim, a área da região MPNC, em cm 2 , vale:
B
A
a) 10 d) 16
b) 12
c) 14
e) 18
P
M
N C
5. (PUC-MG) Certo desenhista faz dois modelos de ladrilho:
um desses modelos é um quadrado de 64 cm 2
e outro, um retângulo cujo comprimento tem 2 cm a
mais e cuja largura tem 2 cm a menos que a medida
do lado do quadrado. Nessas condições, pode-se
afirmar que a medida da área do modelo retangular,
em centímetros quadrados, é igual a:
a) 60 c) 72
b) 64 d) 80

Matemática Volume Único
6. (Udesc-SC) Uma circunferência intercepta um triângulo
equilátero nos pontos médios de dois de seus
lados, conforme mostra a figura, sendo que um dos
vértices do triângulo é o centro da circunferência.
Se o lado do triângulo mede 6 cm, a área da região
destacada na figura é:
a) 9 ⎡ ⎢(2√ 3 ) 2
⎣ ⎛ p ⎞ ⎤
⎝ 6 ⎠
⎥
⎦ cm2
b) 9 ⎡ ⎢(√ 3 ) 2
⎣ ⎛ p ⎞ ⎤
⎝ 18 ⎠
⎥
⎦ cm2
c) 9 [(√ 3 ) 2 p] cm 2
d) 9 ⎡ ⎢(√ 3 ) 2
⎣ ⎛ p ⎞ ⎤
⎝ 3 ⎠
⎥
⎦ cm2
e) 9 ⎡ ⎢(√ 3 ) 2
⎣ ⎛ p ⎞ ⎤
⎝ 6 ⎠
⎥
⎦ cm2
7. (U.E. Londrina-PR) Uma metalúrgica utiliza chapas de
aço quadradas de 8 m 3 8 m para recortar formas
circulares de 4 m de diâmetro, como mostrado na
figura a seguir.
A área de chapa que resta após a operação é de
aproximadamente:
Dado: considere p 5 3,14.
a) 7,45 m2 c) 26,30 m2 e) 56 m2 b) 13,76 m2 d) 48 m2 8. (Mackenzie-SP)
2x
50 x
90
160
Considerando p 5 3, a área da figura vale:
a) 1 176 d) 978
b) 1 124
c) 1 096
e) 1 232
4
4
9. (UF-MG) Por razões antropológicas desconhecidas,
certa comunidade utilizava uma unidade de área
singular, que consistia em um círculo, cujo raio media
1 cm, e a que se dava o nome de anelar.
Adotando-se essa unidade, é CORRETO afirmar que
a área de um quadrado, cujo lado mede 1 cm, é:
a) 1
anelar c) 1 anelar
p
b) 1
anelar d) p anelares
2p
10. (Vunesp-SP) A figura representa uma chapa de alumínio
de formato triangular de massa 1 250 gramas.
Deseja-se cortá-la por uma reta r paralela ao lado
BC, que intercepta o lado AB em D e o lado AC em
E, de modo que o trapézio BCED tenha 700 gramas
de massa. A espessura e a densidade do material da
chapa são uniformes. Determine o valor percentual
da razão de AD por AB.
Dado: √ 11 3,32
D
A
B C
a) 88,6 d) 66,4
b) 81,2
c) 74,8
e) 44,0
11. (UF-RS) O tangran é um jogo chinês formado por uma
peça quadrada, uma peça em forma de paralelogramo
e cinco peças triangulares, todas obtidas a partir de
um quadrado de lado ,, como indica a figura a seguir.
,
1 5
3
2
4
,
2
Três peças do tangran possuem a mesma área. Essa
área é:
a) ,2
16
b) ,2
12
E
c) ,2
8
6
7
r
,
2
d) ,2
6
e) ,2
4
47

Geometria plana
12. (UF-GO) Uma folha de papel retangular, de lados a
e b, com a . b
, foi dobrada duas vezes, conforme
2
as figuras a seguir e as seguintes instruções:
– dobre a folha ao longo da linha tracejada, sobrepondo
o lado menor, a, ao lado maior, b (fig. 1 e fig. 2);
– dobre o papel ao meio, sobre o lado b, de modo
que o ponto P sobreponha-se ao ponto Q (fig. 3).
48
a
a
b
Figura 1
Q P
Figura 2
a
Figura 3
B
A
A área do triângulo ABC, destacado na figura 3, em
função de a e b, é:
a) A 5 2a2 1 2ab 1 b2
2
b) A 5 ab
2
c) A 5 a2 2 2ab 1 b2 d) A 5 a2 2 b2
4
e) A 5 a2 2 ab 1 b2
4
13. (PUC-MG) De uma placa quadrada de 16 cm 2 , foi
recortada uma peça conforme indicado na figura. A
medida da área da peça recortada, em centímetros
quadrados, é:
C
a) 4 c) 6
b) 5 d) 7
14. (Fuvest-SP) Um transportador havia entregado uma
encomenda na cidade A, localizada a 85 km a noroeste
da cidade B, e voltaria com seu veículo vazio
pela rota AB em linha reta.
No entanto, recebeu uma solicitação de entrega na
cidade C, situada no cruzamento das rodovias que
ligam A a C (sentido sul) e C a B (sentido leste), trechos
de mesma extensão. Com base em sua experiência, o
transportador percebeu que esse desvio de rota, antes
de voltar à cidade B, só valeria a pena se ele cobrasse
o combustível gasto a mais e também R$ 200,00 por
hora adicional de viagem.
a) Indique a localização das cidades A, B e C num
esquema.
b) Calcule a distância em cada um dos trechos perpendiculares
do caminho. (Considere a aproximação
√ 2 5 1,4.)
c) Calcule a diferença de percurso do novo trajeto
relativamente ao retorno em linha reta.
d) Considerando o preço do óleo diesel a R$ 2,00 o
litro, a velocidade média do veículo de 70 km/h e
seu rendimento médio de 7 km por litro, estabeleça
o preço mínimo para o transportador aceitar
o trabalho.
Norte
15. (PUC-RJ) Ao meio-dia, a formiga A está 3 km a oeste
da formiga B. A formiga A está se movendo para o
oeste a 3 km/h e a formiga B está se movendo para
o norte com a mesma velocidade.

Matemática Volume Único
Qual a distância entre as duas formigas às 14 h?
a) √ 17 km d) √ 117 km
b) 17 km e) 117 km
c) √ 51 km
16. (Cefet-SC) Para cobrir o piso de uma cozinha com 5 m
de comprimento por 4 m de largura, serão utilizados
pisos de 25 cm 3 25 cm. Cada caixa contém 20 pisos.
Supondo que nenhum piso se quebrará durante o
serviço, quantas caixas são necessárias para cobrir o
piso da cozinha?
a) 17 caixas d) 15 caixas
b) 16 caixas e) 12 caixas
c) 20 caixas
17. (CP2-MEC-RJ) Na figura abaixo, os quatro círculos são
tangentes dois a dois. Os raios dos círculos menores
medem 4 cm cada um. A altura do trapézio ABCD
mede 12 cm.
A
D E C
B
a) Simbolizando o raio da circunferência maior por
x, determine esse valor, aplicando o Teorema de
Pitágoras aos lados do triângulo ADE.
b) Calcule a medida da área do trapézio ABCD.
18. (UF-ES) Para irrigar uma região retangular R de dimensões
, 3 3,, um irrigador giratório é acoplado a uma
bomba hidráulica por meio de um tubo condutor de
água. A bomba é instalada em um ponto B. Quando
o irrigador é colocado no ponto C, a uma distância
3,
do ponto B, ele irriga um círculo de centro C e
2
raio 2, (veja figura).
porção irrigada
tubo condutor
de água
B C
3,
2
R
2,
,
3,
a) Calcule a área da porção irrigada de R quando o
irrigador está no ponto C.
b) Admitindo que o raio da região irrigada seja inversamente
proporcional à distância do irrigador
até a bomba, calcule o raio da região irrigada
quando o irrigador é colocado no centro da região
retangular R.
19. (Unemat-MT) No triângulo equilátero ABC, os pontos
M e N são respectivamente pontos médios dos lados
AB e AC.
O segmento MN mede 6 cm.
B
A área do triângulo ABC mede:
a) 18√ 3 cm2 b) 24√ 2 cm2 c) 30√ 2 cm2 d) 30√ 3 cm2 e) 36√ 3 cm2 M
20. (ESPM-SP) Uma folha de papel retangular foi dobrada
como mostra a figura abaixo. De acordo com as medidas
fornecidas, a região sombreada, que é a parte
visível do verso da folha, tem área igual a:
a) 24 cm 2
b) 25 cm 2
c) 28 cm 2
d) 35 cm 2
e) 36 cm 2
A
4 cm 6 cm
N
C
49

Geometria plana
21. (UE-CE) Se a medida, em metros, de cada um dos
lados de um triângulo equilátero é x, seja S(x) a expressão
da área deste triângulo em função de x. O
valor, em m², de S 1
1 S(3) é:
3
a) 17√ 3
18
50
b) 35√ 3
18
c) 49√ 3
18
d) 41√ 3
18
22. (UE-CE) Uma reta paralela a um dos lados de um
triângulo equilátero intercepta os outros dois lados
determinando um triângulo menor e um trapézio, os
quais têm o mesmo perímetro. A razão entre a área
do triângulo menor e a área do trapézio é:
a) 6
4
b) 7
5
8
c)
6
9
d)
7
23. (Enem-MEC) A loja Telas & Molduras cobra 20 reais
por metro quadrado de tela, 15 reais por metro linear
de moldura, mais uma taxa fixa de entrega de 10
reais.
Uma artista plástica precisa encomendar telas e
molduras a essa loja, suficientes para 8 quadros
retangulares (25 cm 3 50 cm). Em seguida, fez uma
segunda encomenda, mas agora para 8 quadros
retangulares (50 cm 3 100 cm).
O valor da segunda encomenda será:
a) o dobro do valor da primeira encomenda, porque
a altura e a largura dos quadros dobraram.
b) maior do que o valor da primeira encomenda, mas
não o dobro.
c) a metade do valor da primeira encomenda, porque
a altura e a largura dos quadros dobraram.
d) menor do que o valor da primeira encomenda,
mas não a metade.
e) igual ao valor da primeira encomenda, porque o
custo de entrega será o mesmo.
24. (Enem-MEC) Uma metalúrgica recebeu uma encomenda
para fabricar, em grande quantidade, uma
peça com o formato de um prisma reto com base
triangular, cujas dimensões da base são 6 cm, 8 cm
e 10 cm e cuja altura é 10 cm. Tal peça deve ser vazada
de tal maneira que a perfuração na forma de
um cilindro circular reto seja tangente às suas faces
laterais, conforme mostra a figura.
6 cm 8 cm
10 cm
O raio da perfuração da peça é igual a:
a) 1 cm d) 4 cm
b) 2 cm
c) 3 cm
e) 5 cm
25. (UF-RJ) A figura 1 a seguir apresenta um pentágono
regular de lado 4L; a figura 2, dezesseis pentágonos
regulares, todos de lado L.
Figura 1 Figura 2
Qual é maior: a área A do pentágono da figura 1
ou a soma B das áreas dos pentágonos da figura 2?
Justifique sua resposta.
26. (UF-PR) Um telhado inclinado reto foi construído
sobre três suportes verticais de aço, colocados nos
pontos A, B e C, como mostra a figura abaixo. Os
suportes nas extremidades A e C medem, respectivamente,
4 metros e 6 metros de altura.
4 m
12 m
8 m
A B C
A altura do suporte em B é, então, de:
a) 4,2 metros d) 5,2 metros
b) 4,5 metros
c) 5 metros
e) 5,5 metros
6 m

Matemática Volume Único
27. (Fuvest-SP) Na figura, o triângulo ABC é equilátero
de lado 1, e ACDE, AFGB e BHIC são quadrados. A
área do polígono DEFGHI vale:
E
a) 1 1 √ 3
b) 2 1 √ 3
c) 3 1 √ 3
d) 3 1 2√ 3
e) 3 1 3√ 3
D
C
A B
F G
28. (UF-MG) Considere esta figura:
B
A C
Nesta figura,
• o triângulo ABC é equilátero, de lado 3;
• o triângulo CDE é equilátero, de lado 2;
• os pontos A, C e D estão alinhados; e
• o segmento BD intersecta o segmento CE no
ponto F.
Com base nessas informações,
1. DETERMINE o comprimento do segmento BD.
2. DETERMINE o comprimento do segmento CF.
3. DETERMINE a área do triângulo sombreado BCF.
29. (UF-PI) Conforme ilustrado na figura a seguir, um trem
saiu da cidade A com destino à cidade B, deslocandose
com a mesma velocidade com que um outro trem
ia da cidade C para a cidade D. Sabendo-se que a
distância do ponto M às cidades C e A é a mesma,
e que, por um atraso, as locomotivas partiram no
mesmo instante, é correto afirmar que:
F
I
E
H
D
Distância em km
Cidade D
Cidade A 1 200
Cidade C 1 600
Cidade A
90°
Cidade C
Cidade B
M
Cidade D
a) a distância da cidade D ao ponto M é 350 km.
b) a distância da cidade C ao ponto M é 336 km.
c) a distância da cidade A ao ponto M é 500 km.
d) a distância da cidade C à cidade A é 1 200 km.
e) não haverá o choque dos trens.
30. (UF-RN) Para comemorar o aniversário de independência,
o Governo da Guiana comprou um lote de
bandeiras para distribuir com a população. A Figura 1
representa a bandeira e a Figura 2, as características
geométricas desta.
Figura 1
A B
D Figura 2
C
Sabendo que BE 5 EC e que F é o ponto de interseção
das diagonais do retângulo ABCD, justifique por que
a quantidade de tecido utilizada na confecção da
bandeira correspondente ao triângulo ADF é a mesma
que a utilizada para o quadrilátero AFDE.
31. (UF-GO) A grama-esmeralda é uma das mais difundidas
no Brasil, usada para cobrir terrenos, jardins,
F
E
51

Geometria plana
52
campos de futebol, etc. Em certa loja de jardinagem,
essa grama é vendida em tapetes (ou placas)
naturais regulares, cada um com 0,40 m de largura
por 1,25 m de comprimento, ao preço de R$ 1,50.
Para o plantio, recomenda-se que cada tapete dessa
grama seja colocado no terreno mantendo-se uma
distância de 2 cm entre um tapete de grama e outro,
em toda a volta do tapete. E, em relação às margens
do terreno, recomenda-se que haja uma distância de
1 cm entre a placa e a margem, conforme a figura
a seguir.
1 cm
1,25 m
1 cm
0,40 m
2 cm
2 cm
2 cm
Plantio de tapetes segundo as recomendações
O dono de uma chácara procurou a referida loja para
cobrir com grama-esmeralda seu terreno retangular,
com dimensões de 52,5 m por 25,4 m. Sabendo
que cada tapete será plantado inteiro, ou seja, sem
ser cortado e seguindo as recomendações acima,
qual será o custo total com os tapetes de gramaesmeralda?
32. (UF-GO) A “árvore pitagórica fundamental” é uma
forma estudada pela Geometria Fractal e sua aparência
característica pode representar o formato
dos galhos de uma árvore, de uma couve-flor ou
de um brócolis, dependendo de sua variação. A
árvore pitagórica a seguir foi construída a partir
de um triângulo retângulo, ABC, de lados AB 5 3,
AC 5 4 e CB 5 5, e de quadrados construídos sobre
seus lados. A figura ramifica-se em quadrados
e triângulos retângulos menores, semelhantes aos
iniciais, sendo que os ângulos Ĉ, F ˆ , e Î , são congruentes,
seguindo um processo iterativo que pode
se estender infinitamente.
G
I
H
F
D
C
E
Com base nessas informações, calcule a área do
triângulo GHI, integrante dessa árvore pitagórica.
33. (UF-PE) Na ilustração a seguir, temos três cincunferências
tangentes duas a duas e com centros nos
vértices de um triângulo com lados medindo 6 cm,
8 cm e 10 cm.
Calcule a área A da região do triângulo, em cm 2 ,
limitada pelas três circunferências e indique 10A.
Dado: use as aproximações:
p 3,14 e arctg 0,75 0,64.
34. (UF-PE) Na figura abaixo, AB 5 AD 5 25, BC 5 15
e DE 5 7. Os ângulos DEA, BCA e BFA são retos.
Determine AF.
35. (UF-RN) Uma empresa de publicidade foi contratada
para confeccionar um outdoor com a sigla RN, conforme
as medidas determinadas na figura a seguir.
A
B
Fernando Monteiro

Matemática Volume Único
Para estimar a quantidade de tinta a ser utilizada na
pintura, a empresa precisa calcular as áreas das letras.
Sabendo que as medidas acima estão em centímetros,
determine, em metros quadrados, a área de cada
uma das letras.
36. (UF-GO) Dados experimentais indicam que a dilatação
linear experimentada por um objeto material é proporcional
ao seu comprimento inicial (L ) e à variação
0
da temperatura a que é submetido (DT), sendo que a
constante de proporcionalidade, denominada de coeficiente
de dilatação linear (a) depende do material
utilizado.
Um fio de alumínio (a 5 25 3 1026 °C21 ) de 10 m
de comprimento está a uma temperatura de 20 °C,
e é fixado pelas extremidades entre dois suportes,
cuja distância é de 10 m. Um peso é colocado em seu
ponto médio, de modo que o fio possa ser considerado
reto entre o ponto médio e cada extremidade.
Caso o fio seja aquecido, atingindo uma temperatura
de 40 °C, ele sofrerá uma dilatação, de modo que o
ponto médio estará a uma distância H da horizontal,
como mostrado na figura. Nessa situação, qual é o
valor de H em centímetros?
37. (UF-MA) Em uma planta residencial, em escala, ao
utilizar-se uma régua convencional, nota-se que os
lados da sala retangular medem, exatamente, 16 cm
e 9 cm. Se a área real da sala em questão é igual a
36 m 2 , então o perímetro real da sala é igual a:
a) 21 m d) 25 m
b) 19 m
c) 20 m
e) 22 m
Ilustrações: Fernando Monteiro
38. A figura abaixo é a representação de seis ruas de uma
cidade. As ruas R 1 , R 2 e R 3 são paralelas entre si.
Paulo encontra-se na posição A da rua R e quer ir
1
para a rua R até a posição B.
2
Se a escala de representação for de 1 : 50 000, a
distância, em metros, que Paulo vai percorrer será
de, aproximadamente,
a) 1 333. b) 750. c) 945. d) 3 000.
39. (UF-MA) Sobre os lados opostos AB e CD de um
retângulo ABCD são marcados, respectivamente, os
pontos P e Q. A soma das áreas dos triângulos AQB
e CPD resulta exatamente em 240 u.a. Então, a área
do retângulo ABCD é igual a:
a) 360 u.a. d) 200 u.a.
b) 120 u.a. e) 300 u.a.
c) 240 u.a.
40. (UF-MG) Nesta figura plana, PQR é um triângulo
equilátero de lado a e, sobre os lados desse triângulo,
estão construídos os quadrados ABQP, CDRQ e EFPR:
Considerando essas informações,
a) DETERMINE o perímetro do hexágono ABCDEF.
b) DETERMINE a área do hexágono ABCDEF.
c) DETERMINE o raio da circunferência que passa
pelos vértices do hexágono ABCDEF.
53

Geometria plana
respostas
1. c
2. 9 m 2
3. a) Área 5 (x2 √ 3 )
2
b) 1
5
4. b
5. a
6. e
7. b
8. a
9. a
10. d
11. c
12. e
13. c
14. a) A
15. d
16. b
54
C B
b) 59,5 km
c) 34 km
d) R$ 106,86
17. a) x 5 9
b) 156 cm2 18. a) A 5 ,2
6 (2p 1 3 √ 3 )
b) R 5 6 ? ,
5
Geometria plana
19. e
20. b
21. d
22. d
23. b
24. b
25. As áreas são iguais.
26. d
27. c
28. 1) √ 19
2) 6
5
3) 9 √ 3
10
29. a
30. Note que área ADF 5 1
2
31. R$ 3 750,00
32. 2,4576 cm 2
33. 1,9 cm 2
34. 15
? área ADE.
35. letra R ⇒ 0,64 m2 letra N ⇒ 0,64 m2 5
36. Aproximadamente m (ou 15,8 cm).
√ 1 000
37. d
38. a
39. c
40. a) 3a( √ 3 1 1)
b) a 2 ? (3 1 √ 3 )
c) a√ 12 1 3 √ 3
3

Matemática Volume Único
Geometria espacial
1. (UE-GO) Uma lâmpada, cujas dimensões são consideradas
desprezíveis, é fixada no teto de uma sala de
4 metros de altura. Um objeto quadrado com lado
de 30 centímetros é suspenso a 1 metro do teto, de
modo que fique paralelo ao solo e seu centro esteja
na mesma vertical que a lâmpada. Calcule a área da
sombra projetada pela luminosidade da lâmpada no
solo.
2. (Fuvest-SP) A figura representa uma pirâmide ABCDE,
cuja base é o retângulo ABCD. Sabe-se que:
A
P
D
AB 5 CD 5 √ 3
2
AD 5 BC 5 AE 5 BE 5 CE 5 DE 5 1
AP 5 DQ 5 1
2
Determine:
a) A medida de BP.
b) A área do trapézio BCQP.
c) Volume da pirâmide BPQCE.
3. (Mackenzie-SP)
a
3
a
a
Q
E
2
B
A peça da figura, de volume a 2 , é o resultado de um
corte feito em um paralelepípedo reto retângulo,
retirando-se um outro paralelepípedo reto retângulo.
O valor de a é:
a
2
C
a) 2
3
d) 4
b) 5 e) 4
5
c) 6
4. (PUC-RJ) Pretende-se fabricar uma caixa com faces
retangulares e ângulos retos, aberta em cima, com
um volume de 10 m 3 (conforme figura a seguir). O
comprimento de um dos lados da base deve ser o dobro
do comprimento do outro lado. O material para
construir a base custa R$10,00 por metro quadrado,
ao passo que o material para construir as laterais
custa R$ 6,00 por metro quadrado.
2p
a) Se o lado p mede 2 metros, quanto vale n?
b) Com os valores do item (a), calcule o custo de
construção da caixa.
c) Encontre o custo de construção da caixa em função
de p.
5. (UE-RJ) Observe o dado ilustrado a seguir, formado
a partir de um cubo, com suas seis faces numeradas
de 1 a 6.
Esses números são representados por buracos deixados
por semiesferas idênticas retiradas de cada uma
das faces. Todo o material retirado equivale a 4,2%
do volume total do cubo.
Considerando p 5 3, a razão entre a medida da
aresta do cubo e a do raio de uma das semiesferas,
expressas na mesma unidade, é igual a:
a) 6 c) 9
b) 8 d) 10
p
Thinkstock/Getty Images
n
55

Geometria espacial
6. (UF-SC) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
56
01) Considere duas caixas-d’água de mesma altura:
uma em forma de cubo e a outra em forma de
paralelepípedo retângulo com área da base de
6 m2 . Se o volume da caixa cúbica tem 4 m3 a menos
que o volume da outra caixa, então a única
medida possível da aresta da caixa cúbica é 2 m.
02) É possível construir um poliedro regular, utilizando-se
seis triângulos equiláteros.
04) Na figura 1, estão representados três sólidos e, na
figura 2, estão representadas três planificações.
Fazendo corresponder cada sólido com sua planificação,
tem-se a relação A → 1, B → 3 e C → 2.
figura 1
figura 2
A B C
3
1 2
08) Um retângulo, quando girado em torno de seu
lado maior, descreve um cilindro cujo volume tem
432p cm 3 . Se o lado maior do retângulo mede
o dobro da medida do lado menor, então a área
desse retângulo é de 72 cm 2 .
7. (Unicamp-SP) Em um sistema de piscicultura superintensiva,
uma grande quantidade de peixes é cultivada
em tanques-rede colocados em açudes, com alta densidade
populacional e alimentação à base de ração.
Os tanques-rede têm a forma de um paralelepípedo
e são revestidos com uma rede que impede a fuga
dos peixes, mas permite a passagem da água.
a) Um grupo de 600 peixes de duas espécies foi
posto em um conjunto de tanques-rede. Os peixes
consomem, no total, 800 g de ração por refeição.
Sabendo-se que um peixe da espécie A consome
1,5 g de ração por refeição e que um peixe da
espécie B consome 1,0 g por refeição, calcule
quantos peixes de cada espécie o conjunto de
tanques-rede contém.
b) Para uma determinada espécie, a densidade máxima
de um tanque-rede é de 400 peixes adultos
por metro cúbico. Suponha que um tanque possua
largura igual ao comprimento e altura igual a 2 m.
Quais devem ser as dimensões mínimas do tanque
para que ele comporte 7 200 peixes adultos da
espécie considerada?
8. (Fuvest-SP) Uma pirâmide tem como base um quadrado
de lado 1, e cada uma de suas faces laterais é
um triângulo equilátero. Então, a área do quadrado,
que tem como vértices os baricentros de cada uma
das faces laterais, é igual a:
a) 5
9
b) 4
9
c) 1
3
2
d)
9
1
e)
9
9. (UEPG-PR) Considerando dois planos a e b e uma
reta r, assinale o que for correto.
01) Se r é perpendicular a a e a b então a é paralelo
a qualquer plano que contenha r.
02) Se r é perpendicular a a e a b então a e b são
paralelos entre si.
04) Se a e b são perpendiculares e a reta r está contida
em a, então r é também perpendicular a b.
08) Se r é paralela a a então todo plano contendo r
é paralelo a a.
16) Se r a 5 então r e a são paralelos.
10. (UEPG-PR) Dado que um poliedro convexo tem 2
faces pentagonais, 4 faces quadrangulares e n faces
triangulares, assinale o que for correto.
01) Se o número de vértices do poliedro é 11, então
n 5 4.
02) Se o número de faces do poliedro é 16, então
n 5 10.
04) O menor valor possível para n é 1.
08) Se a soma dos ângulos de todas as faces do
poliedro é 3 600º, então n 5 6.
16) Se o número de arestas do poliedro é 25, então
n 5 8.
11. (UF-MG) Em uma indústria de velas, a parafina é
armazenada em caixas cúbicas, cujo lado mede a.
Depois de derretida, a parafina é derramada em moldes
em formato de pirâmides de base quadrada, cuja
altura e cuja aresta da base medem, cada uma, a
2 .

Matemática Volume Único
Considerando-se essas informações, é CORRETO
afirmar que, com a parafina armazenada em apenas
uma dessas caixas, enche-se um total de:
a) 6 moldes c) 24 moldes
b) 8 moldes d) 32 moldes
12. (UF-RS) Um reservatório tem
forma de um cilindro circular
reto com duas semiesferas
acopladas em suas extremidades,
conforme representado
na figura ao lado.
O diâmetro da base e a altura
do cilindro medem, cada um,
4 dm, e o volume de uma
esfera de raio r é 4
3 pr3 .
Dentre as opções a seguir, o valor mais próximo da
capacidade do reservatório, em litros, é:
a) 50 b) 60 c) 70 d) 80 e) 90
13. (FGV-SP) A figura indica a planificação da lateral de
um cone circular reto:
10
252°
O cone a que se refere tal planificação é
a)
b)
c)
6
7
8
10
10
10
10
d)
e)
10
10
6
7
14. (UF-GO) Leia o texto a seguir.
Era uma laje retangular enorme, uma brutidão de
mármore rugoso […].
É a mãe da pedra, não disse que era o pai da pedra,
sim a mãe, talvez porque viesse das profundas, ainda
maculada pelo barro da matriz, mãe gigantesca
sobre a qual poderiam deitar-se quantos homens,
ou ela esmagá-los a eles, quantos, faça as contas
quem quiser, que a laje tem de comprimento trinta
e cinco palmos, de largura quinze, e a espessura é de
quatro palmos, e, para ser completa a notícia, depois
de lavrada e polida, lá em Mafra, ficará só um pouco
mais pequena, trinta e dois palmos, catorze, três, pela
mesma ordem e partes, e quando um dia se acabarem
palmos e pés por se terem achado metros na terra,
irão outros homens a tirar outras medidas [...].
SARAMAGO, José. Memorial do convento. 17. ed. Rio
de Janeiro: Bertrand Brasil, 1996. p. 244-245.
No romance citado, Saramago descreve a construção
do Palácio e Convento de Mafra (séc. XVIII), em
Portugal, no qual a laje (em forma de paralelepípedo
retângulo) foi colocada na varanda da casa de Benedictione.
Supondo que a medida de um palmo seja
20 cm, então o volume retirado do mármore, após
ser polido e lavrado, em m3 , foi de:
a) 0,024 c) 10,752 e) 60,480
b) 6,048 d) 16,800
15. (PUC-RJ) Um octaedro é um
poliedro regular cujas faces
são oito triângulos equiláteros,
conforme indicado na figura.
Para um octaedro de aresta a:
a) Qual é a sua área total?
b) Qual é o seu volume?
c) Qual é a distância entre duas faces opostas?
16. (Cefet-SC) Uma indústria precisa fabricar 10 000
caixas com as medidas da figura abaixo.
Desprezando as abas, aproximadamente, quantos
m 2 de papelão serão necessários para a confecção
das caixas?
14 cm
20 cm
40 cm
a) 0,328 m2 c) 112 m2 e) 1 640 m2 b) 1 120 m2 d) 3 280 m2 57

Geometria espacial
17. (UF-PR) A parte superior de
uma taça tem o formato de
um cone, com as dimensões
indicadas na figura.
58
a) Qual o volume de líquido
x
que essa taça comporta
quando está completamente
cheia?
b) Obtenha uma expressão
para o volume V de líquido
nessa taça, em função da altura x indicada na
figura.
18. (UF-BA) Sendo o ângulo formado entre uma diagonal
e uma face de um mesmo cubo, determine
1
sen 2 .
19. (UE-MG)
60 cm
40 cm
10 cm
O desenho, acima, representa uma caixa de madeira
maciça de 0,5 cm de espessura e dimensões externas
iguais a 60 cm, 40 cm e 10 cm, conforme indicações.
Nela será colocada uma mistura líquida de água
com álcool, a uma altura de 8 cm. Como não houve
reposição da mistura, ao longo de um certo período,
1 200 cm³ do líquido evaporaram.
Com base nesta ocorrência, a altura, em cm, da
mistura restante na caixa corresponde a um valor
numérico do intervalo de
a) [5,0; 5,9]
b) [6,0; 6,9]
c) [7,0; 7,6]
d) [7,6; 7,9]
12 cm
4 cm
20. (UFU-MG) Um canal de televisão pretende instalar
o serviço de TV digital em Uberlândia e, para isso,
será necessária a construção de uma nova antena de
transmissão. A antena deve ser composta por uma
base cúbica, por um poste cilíndrico, ambos maciços
e feitos de concreto, por uma haste de sustentação
e por uma esfera maciça feita de uma liga metálica
(conforme a ilustração a seguir).
Ilustrações: Fernando Monteiro
esfera metálica
haste da antena
poste cilíndrico
base cúbica
Sejam D, d e R, respectivamente, as medidas (em
metros) da diagonal da base cúbica, da diagonal
da face da base cúbica e do raio da esfera metálica.
Sabe-se que:
1) O valor de D 2 excede em 16 m 2 o valor de d 2 .
2) O diâmetro da base do poste cilíndrico é a metade
da aresta da base cúbica.
3) O volume do poste cilíndrico é 18 m 3 .
4) 1 m 3 da liga metálica corresponde a 300 kg (quilogramas).
Com base nestas informações, responda as seguintes
perguntas:
a) Deseja-se pintar o poste cilíndrico de uma cor
diferente da base cúbica. Considerando que a
região de contato entre a haste e a parte superior
do poste tenha área desprezível, qual é o valor da
área do poste a ser pintada?
b) Se a haste da antena suporta um peso máximo
de 50 kg, determine o maior valor possível para
R, de forma que o peso da esfera de raio igual a
este valor não exceda o peso máximo suportado
pela haste.
21. (Vunesp-SP) Prevenindo-se contra o período anual de
seca, um agricultor pretende construir uma cisterna
fechada, que acumule toda a água proveniente da
chuva que cai sobre o telhado de sua casa, ao longo
de um período de um ano.
As figuras e o gráfico representam as dimensões do
telhado da casa, a forma da cisterna a ser construída
e a quantidade média mensal de chuva na região
onde o agricultor possui sua casa.

Matemática Volume Único
Figura 1
8 m
Figura 2
4 m
12 m
2 m
h m
Sabendo que 100 milímetros de chuva equivalem ao
acúmulo de 100 litros de água em uma superfície
plana horizontal de 1 metro quadrado, determine a
profundidade (h) da cisterna para que ela comporte
todo o volume de água da chuva armazenada durante
um ano, acrescido de 10% desse volume.
22. (UE-RJ) A embalagem de papelão de um determinado
chocolate, representada na figura abaixo, tem a
forma de um prisma pentagonal reto de altura igual
a 5 cm.
Ilustrações: Fernando Monteiro
Em relação ao prisma, considere:
• cada um dos ângulos Â, Bˆ, Ĉ e Dˆ da base superior
mede 120º;
• as arestas AB, BC e CD medem 10 cm cada.
Considere, ainda, que o papelão do qual é feita a
embalagem custa R$ 10,00 por m 2 e que √ 3 5 1,73.
Na confecção de uma dessas embalagens, o valor,
em reais, gasto somente com o papelão é aproximadamente
igual a:
a) 0,50 c) 1,50
b) 0,95 d) 1,85
23. (UE-RJ) A figura abaixo representa um recipiente
cônico com solução aquosa de hipoclorito de sódio
a 27%. O nível desse líquido tem 12 cm de altura.
12 cm
Para o preparo de um desinfetante, diluiu-se a solução
inicial com água, até completar o recipiente,
obtendo-se a solução aquosa do hipoclorito de sódio
a 8%.
Esse recipiente tem altura H, em centímetros, equivalente
a
a) 16 c) 20
b) 18 d) 22
24. (ESPM-SP) Um vidro de perfume tem a forma e as
medidas indicadas na figura abaixo e sua embalagem
tem a forma de um paralelepípedo cujas dimensões
internas são as mínimas necessárias para contê-lo.
Pode-se afirmar que o volume da embalagem não ocupado
pelo vidro de perfume vale aproximadamente:
2 cm
6 cm
a) 142 cm 3 d) 176 cm 3
b) 154 cm 3 e) 182 cm 3
c) 168 cm 3
H
3 cm
10 cm
59

Geometria espacial
25. (UE-CE) Um fabricante de latas de alumínio com a
forma de cilindro circular reto vai alterar as dimensões
das latas fabricadas de forma que o volume seja preservado.
Se a medida do raio da base das novas latas
é o dobro da medida do raio da base das antigas,
então a medida da nova altura é:
60
a) a metade da medida da altura das latas antigas.
b) um terço da medida da altura das latas antigas.
c) um quarto da medida da altura das latas antigas.
d) dois terços da medida da altura das latas antigas.
26. (UE-RJ) Um sólido com a forma de um cone circular
reto, constituído de material homogêneo, flutua em
um líquido, conforme a ilustração abaixo.
Se todas as geratrizes desse sólido forem divididas ao
meio pelo nível do líquido, a razão entre o volume
submerso e o volume do sólido será igual a:
a) 1
2
b) 3
4
c) 5
6
d) 7
8
27. (FGV-SP) Após t horas do início de um vazamento de
óleo de um barco em um oceano, constatou-se ao
redor da embarcação a formação de uma mancha
com a forma de um círculo cujo raio r varia com o
tempo t mediante a função r(t) 5 30
√ p t0,5 metros. A
espessura da mancha ao longo do círculo é de 0,5
centímetros. Desprezando a área ocupada pelo barco
na mancha circular, podemos afirmar que o volume
de óleo que vazou entre os instantes t 5 4 horas e
t 5 9 horas foi de:
a) 12,5 m3 b) 15 m3 c) 17,5 m3 d) 20 m3 e) 22,5 m3 Fernando Monteiro
28. (Enem-MEC) A siderúrgica “Metal Nobre” produz
diversos objetos maciços utilizando o ferro. Um tipo
especial de peça feita nessa companhia tem o formato
de um paralelepípedo retangular, de acordo com
as dimensões indicadas na figura que segue.
Metal Nobre
2,5 m
0,5 m
1,3 m
O produto das três dimensões indicadas na peça
resultaria na medida da grandeza
a) massa d) capacidade
b) volume
c) superfície
e) comprimento
29. (Enem-MEC) Dona Maria, diarista na casa da família
Teixeira, precisa fazer café para servir as vinte pessoas
que se encontram numa reunião na sala. Para fazer
o café, Dona Maria dispõe de uma leiteira cilíndrica
e copinhos plásticos, também cilíndricos.
8 cm
20 cm
4 cm
4 cm
Com o objetivo de não desperdiçar café, a diarista
deseja colocar a quantidade mínima de água na
leiteira para encher os vinte copinhos pela metade.
Para que isso ocorra, Dona Maria deverá:
a) encher a leiteira até a metade, pois ela tem um
volume 20 vezes maior que o volume do copo.
b) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um
volume 20 vezes maior que o volume do copo.
c) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um
volume 10 vezes maior que o volume do copo.
d) encher duas leiteiras de água, pois ela tem um
volume 10 vezes maior que o volume do copo.
e) encher cinco leiteiras de água, pois ela tem um
volume 10 vezes maior que o volume do copo.
30. (Enem-MEC) Para construir uma manilha de esgoto,
um cilindro com 2 m de diâmetro e 4 m de altura (de
espessura desprezível) foi envolvido homogeneamente
por uma camada de concreto, contendo 20 cm de
espessura.

Matemática Volume Único
Supondo que cada metro cúbico de concreto custe
R$ 10,00 e tomando 3,1 como valor aproximado de
p, então o preço dessa manilha é igual a:
a) R$ 230,40
b) R$ 124,00
c) R$ 104,16
d) R$ 54,56
e) R$ 49,60
31. (Enem-MEC) No manejo sustentável de florestas, é
preciso muitas vezes obter o volume da tora que pode
ser obtida a partir de uma árvore. Para isso, existe
um método prático, em que se mede a circunferência
da árvore à altura do peito de um homem (1,30 m),
conforme indicado na figura. A essa medida denomina-se
“rodo” da árvore. O quadro a seguir indica
a fórmula para se cubar, ou seja, obter o volume da
tora em m 3 a partir da medida do rodo e da altura
da árvore.
Um técnico em manejo florestal recebeu a missão de
cubar, abater e transportar cinco toras de madeira,
de duas espécies diferentes, sendo:
• 3 toras da espécie I, com 3 m de rodo, 12 m de
comprimento e densidade 0,77 toneladas/m3 ;
• 2 toras da espécie II, com 4 m de rodo, 10 m de
comprimento e densidade 0,78 toneladas/m3 .
Após realizar seus cálculos, o técnico solicitou que
enviassem caminhões para transportar uma carga
de, aproximadamente
a) 29,9 toneladas
b) 31,1 toneladas
c) 32,4 toneladas
d) 35,3 toneladas
e) 41,8 toneladas
O volume da tora em m 3
é dado por
V 5 rodo 2 3 altura 3 0,06
O rodo e a altura da árvore devem ser
medidos em metros.
O coeficiente 0,06 foi
obtido experimentalmente.
32. (Enem-MEC) Em um casamento, os donos da festa
serviam champanhe aos seus convidados em taças
com formato de um hemisfério (Figura 1), porém um
Ilustrações: Fernando Monteiro
acidente na cozinha culminou na quebra de grande
parte desses recipientes.
Para substituir as taças quebradas, utilizou-se um outro
tipo com formato de cone (Figura 2). No entanto,
os noivos solicitaram que o volume de champanhe
nos dois tipos de taças fosse igual.
R 5 3 cm
R 5 3 cm
Figura 1 Figura 2
Considere:
V esfera 5 4
3 pR3 e V cone 5 1
3 pR2 h
Sabendo que a taça com o formato de hemisfério é
servida completamente cheia, a altura do volume de
champanhe que deve ser colocado na outra taça, em
centímetros, é de:
a) 1,33
b) 6,00
c) 12,00
d) 56,52
e) 113,04
33. (Enem-MEC) Um porta-lápis de madeira foi construído
no formato cúbico, seguindo o modelo ilustrado
abaixo. O cubo de dentro é vazio. A aresta do cubo
maior mede 12 cm e a do cubo menor, que é interno,
mede 8 cm.
O volume de madeira utilizado na confecção desse
objeto foi de
a) 12 cm3 b) 64 cm3 c) 96 cm3 d) 1 216 cm3 e) 1 728 cm3 h
61

Geometria espacial
34. (UFF-RJ) Para ser aprovada pela FIFA, uma bola de
futebol deve passar por vários testes. Um deles visa
garantir a esfericidade da bola: o seu “diâmetro” é
medido em dezesseis pontos diferentes e, então, a
média aritmética desses valores é calculada. Para
passar nesse teste, a variação de cada uma das dezesseis
medidas do “diâmetro” da bola com relação
à média deve ser no máximo 1,5%. Nesse teste, as
variações medidas na Jabulani, bola oficial da Copa
do Mundo de 2010, não ultrapassaram 1%.
Se o diâmetro de uma
bola tem aumento de
1%, então o seu volume
aumenta x%.
Dessa forma, é correto
afirmar que:
62
a) x [5, 6) d) x [3, 4)
b) x [2, 3)
c) x 5 1
e) x [4, 5)
35. (Fuvest-SP) A esfera ε, de centro O e raio r > 0, é
tangente ao plano a. O plano b é paralelo a a e
contém O. Nessas condições, o volume da pirâmide
que tem como base um hexágono regular inscrito na
intersecção de ε com b e, como vértice, um ponto
em a, é igual a:
a) √ 3r3 4 d) 7√ 3r3 16
b) 5√ 3r3 16 e) √ 3r3 2
c) 3√ 3r 3
8
36. (UF-AL) A cúpula de uma catedral tem a forma de
uma semiesfera (sem incluir o círculo da base) com
diâmetro medindo 50 m. O exterior da cúpula será
restaurado ao custo de R$ 800,00 por metro quadrado.
Quanto custará a restauração? Dado: use a
aproximação p 3,14.
a) 3,14 milhões de reais
b) 6,28 milhões de reais
c) 7,28 milhões de reais
d) 8,14 milhões de reais
e) 262 milhões de reais
37. (UF-PI) De um círculo feito com uma folha de cartolina
com raio 15 cm, é retirado um setor de ângulo central
igual a 120°. Com o que restou do círculo, constrói-se
um copo cônico. Qual é o volume desse copo?
Imagebroker RM/Diomedia
120°
15 cm
a) p√ 3
3 cm3 d) 128p cm 3
b) 100p
3 cm3 e) 500p√ 5
3
c) 128p
3 cm3
cm 3
38. (UF-AL) Na ilustração a seguir, temos um paralelepípedo
retângulo e são conhecidos os ângulos que
duas das diagonais de duas faces adjacentes formam
com arestas da base e o comprimento da diagonal da
face superior, como estão indicados na figura. Qual
o volume do paralelepípedo?
60°
√ 30 cm
30°
a) 23 cm 3
b) 24 cm 3
c) 25 cm 3
d) 26 cm 3
e) 27 cm 3
39. (UF-PA) Uma rasa é um paneiro utilizado na venda
de frutos de açaí. Um típico exemplar tem forma de
um tronco de cone, com diâmetro de base 28 cm,
diâmetro de boca 34 cm e altura 27 cm. Podemos
afirmar, utilizando p 5 3,14, que a capacidade da
rasa, em litros, é aproximadamente
a) 18 d) 24
b) 20
c) 22
e) 26
40. (UPE-PE) Um cone circular reto possui o mesmo
volume de uma esfera com raio igual à medida do
raio da base deste cone. Sabendo-se que a soma
do raio da base do cone com sua altura é igual a
5 metros, qual o volume deste cone em m 3 ?

Matemática Volume Único
a) p
2
b) 5p
3
c) p
3
2p
d)
3
4p
e)
3
41. (UF-RN) Como parte da decoração de sua sala de
trabalho, José colocou sobre uma mesa um aquário
de acrílico em forma de paralelepípedo retângulo,
com dimensões medindo 20 cm 3 30 cm 3 40 cm.
Com o aquário apoiado sobre a face de dimensões
40 cm 3 20 cm, o nível da água ficou a 25 cm de altura.
Se o aquário fosse apoiado sobre a face de dimensões
20 cm 3 30 cm, a altura da água, mantendo-se o
mesmo volume, seria de, aproximadamente,
a) 16 cm. c) 33 cm.
b) 17 cm. d) 35 cm.
42. (UE-MA) Uma pirâmide regular de base hexagonal
tem altura igual a 5 m e é interceptada por um plano
paralelo a sua base a uma distância de 2 m de seu
vértice, formando uma região de área igual a 25 m 2 .
A área da base dessa pirâmide é:
a) 156,25 m2 d) 125,00 m2 b) 165,52 m2 e) 225,00 m2 c) 150,00 m2 43. (UF-AM) Considere as seguintes proposições:
I. Se dois planos a e b são paralelos a uma reta r,
então a é paralelo a b.
II. Se as projeções ortogonais de duas retas, sobre
um plano, são paralelas, então as retas são paralelas.
III. Se dois pontos distintos de uma reta pertencem a
um plano, então a reta está contida neste plano.
IV. Se duas retas r e s são concorrentes, então elas
possuem um único ponto em comum.
Podemos afirmar que:
a) somente as proposições I e II são falsas.
b) somente as proposições II e III são falsas.
c) somente as proposições I e IV são verdadeiras.
d) todas as proposições são falsas.
e) todas as proposições são verdadeiras.
44. (UF-PB) Para fazer seu cafezinho, dona Severina ferve
a água e o pó de café juntos; em seguida, despeja
essa mistura em um filtro de onde o café escoa para
um recipiente, conforme a figura abaixo. Nessa situação,
considere:
• o recipiente tem a forma de um cilindro circular
reto, com diâmetro e altura medindo 12 cm e 20 cm
respectivamente;
• o filtro tem a forma de um cone circular reto,
com diâmetro e altura medindo 15 cm e 18 cm
respectivamente.
Nesse contexto, sabendo-se que a mistura atingiu
a altura máxima de 12 cm no filtro e que o volume
do resíduo do pó de café
que ficou no filtro era de
28p cm3 15
, é correto afirmar
que, no recipiente,
18
o café atingiu uma altura
de pelo menos:
a) 6,3 cm
b) 4 cm
c) 3 cm
d) 5,5 cm
e) 2 cm
45. (UF-AM) Uma piscina tem a forma e as medidas
conforme a figura a seguir:
9 – x
x + 3
3x + 9
x + 3
x + 1
A aplicação polinomial que melhor representa o
volume desta piscina é:
a) V(x) 5 9x3 1 51
2 x2 1 45
x 1 5
2
b) V(x) 5 9x3 1 45
2 x2 1 36x 1 3
c) V(x) 5 3x 3 1 30x 2 1 45
2
x 1 81
2
d) V(x) 5 3x3 1 30x2 1 6x 1 81
2
e) V(x) 5 3x3 1 51
2 x2 1 63x 1 81
2
46. (UF-PE) Uma pirâmide hexagonal regular tem a medida
da área da base igual à metade da área lateral.
Se a altura da pirâmide mede 6 cm, assinale o inteiro
mais próximo do volume da pirâmide, em cm3 . Dado:
use a aproximação √ 3 1,73.
12
20
3x
63
Ilustrações: Fernando Monteiro

Geometria espacial
respostas
1. 1,44 m 2
2. a) (√ 10 )
4
b) 9
16
c) (3 √ 3 )
64
3. d
4. a) 1,25 m
5. d
64
b) R$ 170,00
c) 20p 2 1 180
p
6. 04 1 08 5 12
7. a) 400 da espécie A e 200 da espécie B.
8. d
b) 3 m 3 3 m 3 2 m
9. são corretas: 2 e 16
10. são corretas: 01, 02, 08 e 16
11. c
12. d
13. b
14. b
15. a) 2a 2 ? √ 3
b) (a3 ? √ 2 )
c)
16. d
3
(a ? √ 6 )
3
17. a) 16p cm 3
18. 3
19. c
b) p ? x 3
Geometria espacial
20. a) 18
p cm
(36 1 p) cm 2
b) r 5 (3 √ p2 )
2p cm
21. 7,7 m
22. b
23. b
24. d
25. c
26. d
27. e
28. b
29. a
30. d
31. a
32. b
33. d
34. d
35. e
36. a
37. e
38. e
39. b
40. e
41. c
42. a
43. a
44. e
45. e
46. 83,04 cm 3

Matemática Volume Único
Análise combinatória, probabilidade e binômio de Newton
1. (FGV-SP) Se
⎛n
2 1⎞
⎜ ⎟⎠
⎝ 5
1 ⎛n 2 1⎞
⎜ ⎟⎠
⎝ 6
então n é igual a:
a) 4
b) 6
c) 9
d) 5
e) 8
5 n2 2 n
,
2
2. (UF-CE) O símbolo ⎛ n⎞
⎜ ⎟⎠ indica a combinação de n
⎝ k
objetos k a k. O valor de x2 2 y2 quando
x 5 420 20
? ∑
k50
⎛ 20 ⎞
⎜ ⎟⎠ ?
⎝ k ⎛ k
3⎞
⎜ ⎟ e y 5 5
⎝ 4⎠
20 20
? ∑
k50
⎛ 20 ⎞
⎜ ⎟⎠ ?
⎝ k ⎛ 2⎞
⎜ ⎟
⎝ 5⎠
é igual a:
a) 0 d) 225
b) 21
c) 25
e) 2125
3. (Fatec-SP) Admita que, na FATEC-SP, há uma turma
de 40 alunos de Logística, sendo 18 rapazes; e uma
turma de 36 alunos de Análise de Sistemas, sendo 24
moças. Para participar de um debate serão escolhidos
aleatoriamente dois alunos, um de cada turma.
Nessas condições, a probabilidade de que sejam
escolhidos uma moça e um rapaz é:
a) 29
60
b) 47
96
c) 73
144
81
d)
160
183
e)
360
4. (Mackenzie-SP) Eu vou ser aprovado no vestibular do
Mackenzie.
Cada palavra da frase acima é colocada em uma
urna. Sorteando-se, sucessivamente, sem reposição,
duas palavras, a probabilidade de pelo menos uma
das palavras sorteadas ter mais do que 4 letras é:
a) 9
14
b) 6
56
c) 5
14
5
d)
15
21
e)
56
k
5. (UF-RS) O Google, site de buscas na internet criado
há onze anos, usa um modelo matemático capaz
de entregar resultados de pesquisas de forma muito
eficiente. Na rede mundial de computadores, são
realizadas, a cada segundo, 30 000 buscas, em média.
A tabela a seguir apresenta a distribuição desse total
entre os maiores sites de busca.
Sites Buscas
Google 21 000
Yahoo 2 700
Microsoft 800
Outros 5 500
Total 30 000
De acordo com esses dados, se duas pessoas fazem
simultaneamente uma busca na internet, a probabilidade
de que pelo menos uma delas tenha usado
o Google é
a) 67%
b) 75%
c) 83%
d) 91%
e) 99%
6. (UF-RS) Uma urna contém bolas numeradas de 1 até
15. Retirando-se da urna 3 bolas, sem reposição, a
probabilidade de a soma dos números que aparecem
nessas bolas ser par é:
a) 1
13
b) 6
13
c) 28
65
31
d)
65
33
e)
65
7. (Ita-SP) A expressão (2√ 3 1 √ 5 ) 5
igual a:
a) 2 630√ 5
b) 2 690√ 5
c) 2 712√ 5
d) 1 584√ 15
e) 1 604√ 15
2 (2√ 3 2 √ 5 ) 5
8. (PUC-RS) Uma melodia é uma sequência de notas
musicais. Para compor um trecho de três notas mu-
é
65

Análise combinatória, probabilidade e binômio de Newton
66
sicais sem repeti-las, um músico pode utilizar as sete
notas que existem na escala musical. O número de
melodias diferentes possíveis de serem escritas é:
a) 3
b) 21
c) 35
d) 210
e) 5 040
9. (UF-CE) Poupêncio investiu R$ 1 000,00 numa aplicação
bancária que rendeu juros compostos de 1% ao
mês, por cem meses seguidos. Decorrido esse prazo,
ele resgatou integralmente a aplicação. O montante
resgatado é suficiente para que Poupêncio compre
um computador de R$ 2 490,00 à vista? Explique sua
resposta.
10. (UF-PR) Em uma população de aves, a probabilidade
de um animal estar doente é 1
25 .
Quando uma ave está doente, a probabilidade de
ser devorada por predadores é 1
, e, quando não
4
está doente, a probabilidade de ser devorada por
predadores é 1
. Portanto, a probabilidade de uma
40
ave dessa população, escolhida aleatoriamente, ser
devorada por predadores é de:
a) 1,0%
b) 2,4%
c) 4,0%
d) 3,4%
e) 2,5%
⎡a11
11. (Unicamp-SP) Considere a matriz A 5
⎢a
⎢ 21
⎣a31
cujos coeficientes são números reais.
a12 a22 a32 a ⎤ 13
a ⎥⎥⎦ , 23
a33 a) Suponha que exatamente seis elementos dessa
matriz são iguais a zero. Supondo também que
não há nenhuma informação adicional sobre A,
calcule a probabilidade de que o determinante
dessa matriz não seja nulo.
b) Suponha, agora, que a 5 0 para todo elemento
ij
em que j . i, e que a 5 i 2 j 1 1 para os elemen-
ij
tos em que j < i.
Determine a matriz A, nesse caso, e calcule sua
inversa, A−1 .
12. (UFU-MG) O Programa Nacional de Tecnologia
Educacional do MEC financia e instala laboratórios
de informática nas escolas públicas de Educação
Básica. Suponha que, no processo de licitação para
a compra dos computadores destinados aos laboratórios,
o MEC tenha a sua disposição 15 consultores
técnicos, sendo que 10 são consultores júnior e 5 são
consultores sênior. Dois fabricantes de computadores,
sendo um da marca A e outro da marca B, resolveram
participar do processo de licitação. Para decidir qual
marca comprar, uma equipe de consultores técnicos
testou as duas marcas durante uma semana. Os técnicos
concluíram que a probabilidade de que ocorra
um problema em computadores da marca A é de 1
da marca B é de 1
1
, e, em ambas, é de
4 100 .
Com base nestas informações, responda às seguintes
perguntas:
a) Se o MEC deseja designar 5 consultores técnicos
para compor a equipe de testes, sendo que 3 são
consultores júnior e 2 são consultores sênior, de
quantas maneiras distintas podem ser escolhidos
os 5 consultores?
b) Durante os testes realizados, qual a probabilidade
de que nenhuma marca tenha apresentado problema?
13. (UF-ES) Três casais devem sentar-se em 8 poltronas
de uma fileira de um cinema. Calcule de quantas
maneiras eles podem sentar-se nas poltronas:
a) de modo arbitrário, sem restrições;
b) de modo que cada casal fique junto;
c) de modo que todos os homens fiquem à esquerda
ou todos os homens fiquem à direita de todas as
mulheres.
14. (UE-RJ) Uma rede é formada de triângulos equiláteros
congruentes, conforme a representação abaixo.
B
Uma formiga se desloca do ponto A para o ponto B
sobre os lados dos triângulos, percorrendo X cami-
A
2 ,

Matemática Volume Único
nhos distintos, cujos comprimentos totais são todos
iguais a d.
Sabendo que d corresponde ao menor valor possível
para os comprimentos desses caminhos, X equivale a:
a) 20 c) 12
b) 15 d) 10
15. (Unemat-MT) Em uma competição há sete candidatos,
dois do sexo masculino e cinco do sexo feminino.
Para definir os dois primeiros candidatos que irão iniciar
a competição, efetuam-se dois sorteios seguidos,
sem reposição, a partir de uma urna contendo fichas
com os nomes de todos os candidatos.
Nesta situação, a probabilidade de os dois nomes
sorteados serem do sexo feminino é de:
a) 10
21
b) 7
21
c) 2
5
5
d)
7
5
e)
14
16. (UE-RJ) Ao refazer seu calendário escolar para o segundo
semestre, uma escola decidiu repor algumas
aulas em exatamente 4 dos 9 sábados disponíveis
nos meses de outubro e novembro de 2009, com
a condição de que não fossem utilizados 4 sábados
consecutivos.
Para atender às condições de reposição das aulas, o
número total de conjuntos distintos que podem ser
formados contendo 4 sábados é de:
a) 80 c) 120
b) 96 d) 126
17. (UE-CE) A senha de um cartão eletrônico possui sete
caracteres, todos distintos, sendo quatro algarismos
e três letras maiúsculas, intercalando algarismos e
letras (por exemplo, 5C7X2P8). Sabendo que são
disponibilizados 26 letras e 10 algarismos, o número
de senhas distintas que podem ser confeccionadas é:
a) 66 888 000 c) 78 624 000
b) 72 624 000 d) 84 888 000
18. (FGV-SP) As saladas de frutas de um restaurante são
feitas misturando pelo menos duas frutas escolhidas
entre: banana, laranja, maçã, abacaxi e melão.
Quantos tipos diferentes de saladas de frutas podem
ser feitos considerando apenas os tipos de frutas e
não as quantidades?
a) 26 d) 30
b) 24 e) 28
c) 22
19. (FGV-SP)
a) Em um laboratório, uma caixa contém pequenas
peças de mesma forma, tamanho e massa. As
peças são numeradas, e seus números formam
uma progressão aritmética:
5, 10, 15, ..., 500
Se retirarmos ao acaso uma peça da caixa, qual
é a probabilidade, expressa em porcentagem, de
obtermos um número maior que 101?
b) Explique por que podemos afirmar que 101! 1 19
não é um número primo.
20. (Enem-MEC) A figura I abaixo mostra um esquema
das principais vias que interligam a cidade A com a
cidade B. Cada número indicado na figura II representa
a probabilidade de pegar um engarrafamento
quando se passa na via indicada.
Assim, há uma probabilidade de 30% de se pegar
engarrafamento no deslocamento do ponto C ao
ponto B, passando pela estrada E4, e de 50%,
quando se passa por E3. Essas probabilidades são
independentes umas das outras.
B
E3
E5
E4
E6
C
D
E1
E2
A
B
0,5
0,4
0,3
0,6
Figura I Figura II
Paula deseja se deslocar da cidade A para a cidade
B usando exatamente duas das vias indicadas, percorrendo
um trajeto com a menor probabilidade de
engarrafamento possível.
O melhor trajeto para Paula é
a) E1E3
b) E1E4
c) E2E4
d) E2E5
e) E2E6
C
D
0,8
0,7
67
A

Análise combinatória, probabilidade e binômio de Newton
21. (Enem-MEC) O diretor de um colégio leu numa revista
que os pés das mulheres estavam aumentando. Há
alguns anos, a média do tamanho dos calçados das
mulheres era de 35,5 e, hoje, é de 37,0. Embora não
fosse uma informação científica, ele ficou curioso e
fez uma pesquisa com as funcionárias do seu colégio,
obtendo o quadro a seguir:
68
Tamanho dos calçados Número de funcionárias
39,0 1
38,0 10
37,0 3
36,0 5
35,0 6
Escolhendo uma funcionária ao acaso e sabendo que
ela tem calçado maior que 36,0, a probabilidade de
ela calçar 38,0 é:
a) 1
3
b) 1
5
c) 2
5
5
d)
7
5
e)
14
22. (Enem-MEC) João mora na cidade A e precisa visitar
cinco clientes, localizados em cidades diferentes da
sua. Cada trajeto possível pode ser representado por
uma sequência de 7 letras. Por exemplo, o trajeto
ABCDEFA informa que ele saíra da cidade A, visitando
as cidades B, C, D, E e F nesta ordem, voltando para
a cidade A. Além disso, o número indicado entre
as letras informa o custo do deslocamento entre as
cidades. A figura mostra o custo de deslocamento
entre cada uma das cidades.
A
6
D
6
8 9
13
7
8
B
12
10
E
Como João quer economizar, ele precisa determinar
qual o trajeto de menor custo para visitar os cinco
clientes.
5
5
3
4
6
F
2
C
Examinando a figura, percebe que precisa considerar
somente parte das sequências, pois os trajetos
ABCDEFA e AFEDCBA têm o mesmo custo. Ele gasta
1min30s para examinar uma sequência e descartar
sua simétrica, conforme apresentado.
O tempo mínimo necessário para João verificar todas
as sequências possíveis no problema é de
a) 60 min
b) 90 min
c) 120 min
d) 180 min
e) 360 min
23. (UF-RJ) Um ponto M é selecionado ao acaso no interior
de um círculo C de raio 2 e centro O. Em seguida,
constrói-se um quadrado, também centrado em O,
que tem M como ponto médio de um de seus lados.
Calcule a probabilidade de que o quadrado assim
construído esteja inteiramente contido no círculo C.
24. (UFF-RJ) Muitos consideram a Internet como um novo
continente que transpassa fronteiras geográficas e
conecta computadores dos diversos países do globo.
Atualmente, para que as informações migrem de um
computador para outro, um sistema de endereçamento
denominado IPv4 (Internet Protocol version 4)
é usado. Nesse sistema, cada endereço é constituído
por quatro campos separados por pontos. Cada
campo, por sua vez, é um número inteiro no intervalo
[0, 2 8 2 1]. Por exemplo, o endereço IPv4 do servidor
WEB da UFF é 200.20.0.21. Um novo sistema está
sendo proposto: o IPv6. Nessa nova versão, cada endereço
é constituído por oito campos e cada campo
é um número inteiro no intervalo [0, 2 16 2 1].
Thinkstock/Getty Images
Com base nessas informações, é correto afirmar que:
a) o número de endereços diferentes no sistema
IPv6 é o quádruplo do número de endereços
diferentes do sistema IPv4.

Matemática Volume Único
b) existem exatamente 4 ? (2 8 2 1) endereços diferentes
no sistema IPv4.
c) existem exatamente 2 32 endereços diferentes no
sistema IPv4.
d) o número de endereços diferentes no sistema IPv6
é o dobro do número de endereços diferentes do
sistema IPv4.
e) existem exatamente (28 2 1) 4 endereços diferentes
no sistema IPv4.
25. (UF-PR) Em uma cidade de 250 000 habitantes, aproximadamente
10 000 foram vacinados contra o vírus
H1N1, número muito menor do que as autoridades
de saúde previam. Se tomarmos aleatoriamente 50
habitantes dessa cidade, quantos deles se espera que
tenham sido vacinados contra o vírus H1N1?
a) 2 habitantes
b) 6 habitantes
c) 8 habitantes
d) 12 habitantes
e) 15 habitantes
26. (Fuvest-SP) Um dado cúbico, não viciado, com faces
numeradas de 1 a 6, é lançado três vezes. Em cada
lançamento, anota-se o número obtido na face superior
do dado, formando-se uma sequência (a, b,
c). Qual é a probabilidade de que b seja sucessor de
a ou que c seja sucessor de b?
a) 4
27
b) 11
54
c) 7
27
d) 10
27
e) 23
54
27. (U.F. Juiz de Fora-MG) Nas quartas de final de um
campeonato de futebol, 8 times, denominados A, B,
C, D, E, F, G e H, serão divididos aleatoriamente em
4 grupos de 2 times. Em cada grupo, os 2 times se
enfrentam sem possibilidade de empate. O perdedor
é eliminado e o vencedor avança para a próxima fase.
a) O time A sempre vence os times B, C, D e E. Além
disso, o time A sempre perde dos times F, G e
H. Qual é a probabilidade de o time A avançar à
próxima fase?
b) Já sabemos que o time B sempre perde para o
time A. Além disso, a probabilidade de vitória do
time B, quando este enfrenta os times C, D ou E,
é sempre igual a 1
, e a probabilidade de vitória
4
do time B, quando este enfrenta os times F, G ou
H, é sempre igual a 2
. Qual é a probabilidade de
3
o time B avançar à próxima fase?
28. (UE-GO) Na cantina “Canto Feliz”, surgiram as seguintes
vagas de trabalho: duas para serviços de
limpeza, cinco para serviços de balcão, quatro para
serviços de entregador e uma para serviços gerais.
Para preencher essas vagas, candidataram-se 23
pessoas: oito para a função de limpeza, sete para a
de balconista, seis para a de entregador e duas para
serviços gerais. Considerando todas as possibilidades
de seleção desses candidatos, determine o número
total dessas possibilidades.
29. (UE-RJ) Uma máquina contém pequenas bolas de
borracha de 10 cores diferentes, sendo 10 bolas de
cada cor. Ao inserir uma moeda na máquina, uma
bola é expelida ao acaso.
Observe a ilustração:
Para garantir a retirada de 4 bolas de uma mesma
cor, o menor número de moedas a serem inseridas
na máquina corresponde a:
a) 5
b) 13
c) 31
d) 40
30. (UF-PI) Considere os resultados da Olimpíada Brasileira
de Matemática das Escolas Públicas – 2008 e os
números de medalhas dos alunos do Piauí, Ceará e
Maranhão, apresentados no quadro a seguir. Qual é
INB - Images/Glow Images
69

Análise combinatória, probabilidade e binômio de Newton
70
a probabilidade de se escolher dentre esses alunos
um que seja do Piauí, dado que ele tenha recebido
medalha de prata?
a) 8
29
b) 31
29
c) 29
46
d) 8
31
e) 8
46
CE mA Pi Totais
ouro 19 1 1 21
Prata 31 7 8 46
Bronze 47 20 20 87
Totais 97 28 29
31. (UF-MG) Numa brincadeira, um dado, com faces
numeradas de 1 a 6, será lançado por Cristiano e,
depois, por Ronaldo. Será considerado vencedor
aquele que obtiver o maior número como resultado
do lançamento. Se, nos dois lançamentos, for obtido
o mesmo resultado, ocorrerá empate.
Com base nessas informações,
1. CALCULE a probabilidade de ocorrer um empate.
2. CALCULE a probabilidade de Cristiano ser o
vencedor.
32. (UF-RN) Uma família é composta por cinco pessoas:
os pais, duas meninas e um menino. No aniversário
de casamento dos pais, uma foto foi “tirada” com
os filhos em pé e os pais sentados à frente dos filhos.
Mantendo-se os pais à frente dos filhos,
a) qual a quantidade máxima de fotos diferentes
que podem ser tiradas, com relação à ordem de
localização das pessoas na foto?
b) dentre as diferentes fotos obtidas, qual a probabilidade
do pai estar à esquerda da mãe e o menino
ficar entre as duas meninas?
33. (UF-PE) Um escritório tem 7 copiadoras e 8 funcionários
que podem operá-las. Calcule o número
m de maneiras de se copiar simultaneamente (em
máquinas distintas, sendo operadas por funcionários
diferentes) 5 trabalhos idênticos neste escritório.
Indique a soma dos dígitos de m.
34. (UF-PE) Um construtor compra 60% das suas telhas
da Companhia A e o restante da Companhia B.
Suponha que 96% das telhas compradas de A são
entregues sem defeito, e o mesmo ocorre com 98%
das telhas de B. Se uma telha foi entregue com defeito,
calcule a probabilidade percentual p% de ter
sido entregue pela Companhia A. Indique p.
35. (UF-AM) As cidades A, X, Y, Z e B estão interligadas
por rodovias indicadas conforme a figura a seguir. De
quantos modos uma pessoa pode sair da cidade A
e chegar à cidade B, passando apenas uma vez por
cada cidade em cada caminho escolhido?
Fernando Monteiro
a) 90
b) 92
c) 94
d) 95
e) 102
36. (UE-PI) O código de abertura de um cofre é formado
por seis dígitos (que podem se repetir, e o código
pode começar com o dígito 0). Quantos são os códigos
de abertura com pelo menos um dígito 7?
a) 468 559
b) 468 595
c) 486 595
d) 645 985
e) 855 964
37. (UF-MG) Cinco times de futebol, de igual excelência,
vão disputar oito edições seguidas de um torneio
anual. Considerando essa informação:
1. CALCULE a probabilidade de um mesmo time
vencer as duas primeiras edições desse torneio.
2. CALCULE a probabilidade de não haver vencedores
consecutivos durante a realização das oito
edições desse torneio.
38. (UF-PE) No desenvolvimento binomial de 1 1 1
3
quantas parcelas são números inteiros?
10
,

Matemática Volume Único
39. (UF-RN) De um grupo de cinco homens e quatro
mulheres, duas pessoas serão premiadas com uma
viagem. Como todos merecem o prêmio, a escolha
será feita escrevendo-se o nome de cada um num
pedaço de papel, que será colocado numa urna. Sem
nenhuma possibilidade de identificação prévia, dois
papéis serão retirados da urna.
Determine a probabilidade de as duas pessoas escolhidas
serem homens.
40. (UF-RN) Um empresário contribui financeiramente
para uma instituição filantrópica e a visita semanalmente,
sendo o dia da semana escolhido aleatoriamente.
Em duas semanas consecutivas, a probabilidade de a
visita ocorrer no mesmo dia da semana é
a) três vezes a probabilidade de ocorrer em dois dias
distintos.
b) um terço da probabilidade de ocorrer em dois dias
distintos.
c) seis vezes a probabilidade de ocorrer em dois dias
distintos.
d) um sexto da probabilidade de ocorrer em dois dias
distintos.
41. (UF-GO) Observa-se empiricamente, em diversas
séries estatísticas quantitativas, que é muito maior a
frequência de dados cujo primeiro dígito (à esquerda)
é 1 do que a frequência de dados cujo primeiro
dígito é 9. Por exemplo, na série de população dos
5 565 municípios brasileiros publicada pelo IBGE em
2009, existem 1 619 municípios cuja população é
expressa por um número iniciado por 1 (por exemplo:
Goiânia, 1 281 975 habitantes), enquanto em
apenas 209 municípios a população é expressa por
um número iniciado por 9 (por exemplo: Itumbiara,
92 832 habitantes). Esse fato é conhecido como lei
de Benford, e é expresso da seguinte maneira: em
um conjunto de observações numéricas satisfazendo
essa lei, a probabilidade de que o primeiro dígito seja
D, em que D pode assumir os valores inteiros de 1 a
9, é dada por: P 5 log 1 1 D 1
D .
De acordo com essas informações, para uma série
de dados que satisfaz a lei de Benford, extraindo
um dado ao acaso, qual é a probabilidade de se ter
o primeiro dígito menor do que 5?
Use log 2 5 0,3
71

Análise combinatória, probabilidade e binômio de Newton
respostas
1. e
2. a
3. a
4. a
5. d
6. e
7. b
8. d
9. (11 0,01) 100 . 2 495
72
Análise combinatória, probabilidade e binômio de Newton
Para verificar essa afirmação, some os três primeiros
termos do desenvolvimento do binômio.
Logo, o montante resgatado será suficiente para comprar
o computador de R$ 2 490,00.
10. d
11. a) 1
14
b) A 21 5
12. a) 1 200
b) 26%
13. a) 20 160
14. b
15. a
16. c
17. c
18. a
b) 480
c) 2 016
19. a) 80%
⎡ 1 0 0 ⎤
⎢
22 1 0
⎥⎥⎦
⎢
⎣ 1 22 1
b) Observe que 101! 1 19 é múltiplo de 19, pois um dos
fatores de 101! é igual a 19.
20. d
21. d
22. b
23. 50%
24. c
25. a
26. c
27. a) 4
7
b) 11
28
28. 17 640
29. c
30. e
31. 1) 1
6
2) 5
12
32. a) 12
b) 1
6
33. 141 120 maneiras; a soma dos dígitos é 9.
34. 75
35. d
36. a
37. 1) 1
5
2) 4
5
38. 2
39. 5
18
40. d
41. 70%
7

Matemática Volume Único
Geometria analítica
1. (U.E. Londrina-PR) O vértice, o foco e a reta diretriz
da parábola de equação y 5 x 2 são dados por:
a) Vértice: (0, 0); Foco: 0, 1
; Reta diretriz:
4
y 5 2 1
4
b) Vértice: (0, 0); Foco: 0, 1
; Reta diretriz:
2
y 5 2 1
2
c) Vértice: (0, 0); Foco: (0, 1); Reta diretriz: y 5 21
d) Vértice: (0, 0); Foco: (0, 21); Reta diretriz: y 5 1
e) Vértice: (0, 0); Foco: (0, 2); Reta diretriz: y 5 22
2. (Ita-SP) Considere a parábola de equação y 5 ax 2 1
1 bx 1 c, que passa pelos pontos (2, 5), (21, 2) e
tal que a, b, c formam, nesta ordem, uma progressão
aritmética. Determine a distância do vértice da
parábola à reta tangente à parábola no ponto (2, 5).
3. (UF-PA) Conhecendo as coordenadas de três pontos
A(0, 2), B(3, 0) e C(21, 22), encontre a coordenada
do centro da circunferência que contém os três
pontos.
4. (PUC-RJ) Dadas a parábola y 5 x 2 1 x 1 1 e a reta
y 5 2x 1 m:
a) Determine os valores de m para os quais a reta
intercepta a parábola.
b) Determine para qual valor de m a reta tangencia
a parábola. Determine também o ponto de tangência.
5. (U.F. Pelotas-RS) O gráfico a seguir representa a função:
f(x) 5 x2 2 5x 1 6.
y
A
B
x
Com base nessas informações é CORRETO afirmar
que a equação da circunferência que passa em B e
tem centro em A é:
a) (x 2 6) 2 1 y 5 45
b) x2 1 (y 2 6) 2 5 9
c) x2 1 (y 2 6) 2 5 45
d) (x 2 6) 2 1 y2 5 9
e) x2 1 (y 2 3) 2 5 9
6. (U.F. Santa Maria-RS) A massa utilizada para fazer
pastéis folheados, depois de esticada, é recortada
em círculos (discos) de igual tamanho. Sabendo que
a equação matemática da circunferência que limita
o círculo é x 2 1 y 2 2 4x 2 6y 2 36 5 0 e adotando
p 5 3,14, o diâmetro de cada disco e a área da
massa utilizada para confeccionar cada pastel são,
respectivamente:
a) 7 e 113,04
b) 7 e 153,86
c) 12 e 113,04
d) 14 e 113,04
e) 14 e 153,86
7. (PUC-RJ) Calcule a área do triângulo de vértices
A 5 (1, 2), B 5 (2, 4) e C 5 (4, 1).
a) 5
2
b) 3
c) 7
2
d) 4
e) 9
2
y
A
B
8. (Udesc-SC) Analise as afirmações dadas a seguir,
classifique-as como verdadeiras (V) ou falsas (F).
C
x
73

Geometria analítica
74
( ) A equação x2 2 2x 1 y2 1 2y 1 1 5 0 representa
uma circunferência que é tangente
tanto ao eixo das abscissas quanto ao eixo das
ordenadas.
( ) A elipse de equação 9x2 1 4y2 5 36 intercepta
a hipérbole de equação x2 2 4y2 5 4 em apenas
dois pontos, que são os vértices da hipérbole.
( ) O semieixo maior da elipse 9x2 1 4y2 5 36 é
paralelo ao eixo real da hipérbole x2 2 4y2 5 4.
Assinale a alternativa que contém a sequência
correta, de cima para baixo.
a) V – V – V d) F – F – V
b) V – V – F
c) F – V – F
e) V – F – F
9. (UF-CE) Um losango do plano cartesiano Oxy tem
vértices A(0, 0), B(3, 0), C(4, 3) e D(1, 3).
a) Determine a equação da reta que contém a diagonal
AC.
b) Determine a equação da reta que contém a diagonal
BD.
c) Encontre as coordenadas do ponto de interseção
das diagonais AC e BD.
10. (UF-CE) Considere as seguintes regiões do plano
cartesiano xOy:
A 5 {P(x, y); x2 1 y2 2 4x 2 4y 1 4 < 0} e
B 5 {P(x, y); 0 < y < x < 4}.
a) Identifique e esboce graficamente a região A.
b) Identifique e esboce graficamente a região B.
c) Calcule a área da região A B.
11. (UF-RJ) Os pontos (26, 2), (3, 21) e (25, 25) pertencem
a uma circunferência.
Determine o raio dessa circunferência.
12. (Unifesp-SP) Num sistema cartesiano ortogonal, são
dados os pontos A(1, 1), B(5, 1), C(6, 3) e D(2, 3),
vértices de um paralelogramo, e a reta r, de equação
r: 3x 2 5y 2 11 5 0.
y
A
D C
B
r
x
A reta s, paralela à reta r, que divide o paralelogramo
ABCD em dois polígonos de mesma área, terá por
equação:
a) 3x 2 5y 2 5 5 0
b) 3x 2 5y 5 0
c) 6x 2 10y 2 1 5 0
d) 9x 2 15y 2 2 5 0
e) 12x 2 20y 2 1 5 0
13. (U.E. Ponta Grossa-PR) Sabendo que os pontos
A(–3, –1), B(–2, 6) e C(5, 5) são vértices de um quadrado
ABCD, assinale o que for correto.
01) A área do quadrado vale 50 u.a.
02) O vértice D tem coordenadas (4, –2).
04) A circunferência que circunscreve o quadrado
tem raio igual a 5 u.c.
08) A reta suporte da diagonal BD tem equação
4x 1 3y – 10 5 0.
16) As diagonais do quadrado se interceptam no
ponto (1, 2).
14. (Vunesp-SP) A figura mostra a representação de algumas
das ruas de nossas cidades. Essas ruas possuem
calçadas de 1,5 m de largura, separadas por uma
pista de 7 m de largura. Vamos admitir que:
I. os postes de iluminação projetam sobre a rua
uma área iluminada na forma de uma elipse de
excentricidade 0,943;
II. o centro dessa elipse encontra-se verticalmente
abaixo da lâmpada, no meio da rua;
III. o eixo menor da elipse, perpendicular à calçada,
tem exatamente a largura da rua (calçadas e pista).
Se desejarmos que as elipses de luz se tangenciem
nas extremidades dos eixos maiores, a distância, em
metros, entre dois postes consecutivos deverá ser de
aproximadamente:
Dado: 0,9432 0,889 e √ 0,111 0,333
a) 35
b) 30
c) 25
d) 20
e) 15
Fernando Monteiro

Matemática Volume Único
15. (UF-RS) Os pontos de interseção do círculo de equação
(x 2 4) 2 1 (y 2 3) 2 5 25 com os eixos coordenados
são vértices de um triângulo. A área desse
triângulo é
a) 22
b) 24
c) 25
d) 26
e) 28
16. (UFF-RJ) A palavra “perímetro” vem da combinação
de dois elementos gregos: o primeiro, perí, significa
“em torno de”, e o segundo, metron, significa “medida”.
O perímetro do trapézio cujos vértices têm coordenadas
(21, 0), (9, 0), (8, 5) e (1, 5) é:
a) 10 1 √ 29 1 √ 26
b) 16 1 √ 29 1 √ 26
c) 22 1 √ 26
d) 17 1 2√ 26
e) 17 1 √ 29 1 √ 26
17. (FGV-SP) Dionísio possui R$ 600,00, que é o máximo
que pode gastar consumindo dois produtos A e B em
quantidades x e y respectivamente.
O preço por unidade de A é R$ 20,00 e o de B é
R$ 30,00.
Admite-se que as quantidades x e y sejam representadas
por números reais não negativos e sabe-se
que ele pretende gastar no máximo R$ 300,00 com
o produto A.
Nessas condições, o conjunto dos pares (x, y) possíveis,
representados no plano cartesiano, determinam
uma região cuja área é:
a) 195
b) 205
c) 215
d) 225
e) 235
18. (FGV-SP) Dada a circunferência de equação x 2 1 y 2 2
2 6x 2 10y 1 30 5 0, seja P seu ponto de ordenada
máxima. A soma das coordenadas de P é:
a) 10 d) 11,5
b) 10,5
c) 11
e) 1
19. (FGV-SP) A representação gráfica da equação (x 1
1 y) 2 5 x 2 1 y 2 no sistema cartesiano ortogonal é:
a) o conjunto vazio.
b) um par de retas perpendiculares.
c) um ponto.
d) um par de pontos.
e) um círculo.
20. (Fuvest-SP) No sistema ortogonal de coordenadas
cartesianas Oxy da figura, estão representados a
circunferência de centro na origem e raio 3, bem
como o gráfico da função y 5 √ 8
|x| .
D
C
Nessas condições, determine
y
O
B
a) as coordenadas dos pontos A, B, C, D de interseção
da circunferência com o gráfico da função.
b) a área do pentágono OABCD.
21. (UF-CE) Em um sistema cartesiano de coordenadas, o
valor positivo de b tal que a reta y 5 x 1 b é tangente
ao círculo de equação x2 1 y2 5 1 é:
a) 2 d) 1
√ 2
b) 1 e) 3
c) √ 2
22. (Cefet-SC) Dada a figura abaixo cujas medidas estão
expressas em centímetros,
22
A
2
22
2
x
75

Geometria analítica
76
e as proposições:
I. é uma circunferência de diâmetro 2 cm.
II. é uma circunferência de área 4p cm².
III. é uma circunferência de equação x² 1 y² 5 4.
Considerando as proposições apresentadas, assinale
a alternativa correta:
a) Apenas as proposições I e III são verdadeiras.
b) Apenas as proposições I e II são verdadeiras.
c) Apenas a proposição III é verdadeira.
d) Apenas as proposições II e III são verdadeiras.
e) Apenas a proposição II é verdadeira.
23. (UF-PR) A figura a seguir mostra uma circunferência
tangente ao eixo y, com centro C sobre o eixo x e
diâmetro de 10 unidades.
y
D
C
A
B x
a) Sabendo que A 5 (8, 4) e que r: 3y 1 x 5 20 é a
reta que passa por A e B, calcule a área do triângulo
CAB.
b) Encontre as coordenadas do ponto D, indicado na
figura acima, no qual a reta r intercepta a circunferência.
24. (UF-BA) Na figura, considere os pontos A(4, 0), B(4, 2),
C(4, 3) e D(3, 3) e a reta r que passa pela origem do
sistema de coordenadas e pelo ponto B.
y
3
2
1
O
1
2
D
3
C
B
A
4
Com base nessa informação, pode-se afirmar:
01) O triângulo BCD é equilátero.
02) A área do setor circular hachurado é igual a p
4 u.a.
04) A equação y 5 x
representa a reta r.
2
08) O ângulo entre o eixo Ox, no sentido positivo, e
a reta r mede 30º.
16) A imagem do ponto C pela reflexão em relação
à reta r é o ponto de coordenadas (4, 1).
r
x
32) A imagem do triângulo OAB pela homotetia de
razão 1
4
é um triângulo de área
3 3 u.a.
64) A imagem do ponto D pela rotação de 45º em
torno da origem do sistema, no sentido positivo,
é o ponto de coordenadas (0, 3).
25. (Unicamp-SP) No desenho a seguir, a reta y 5 ax (a . 0)
e a reta que passa por B e C são perpendiculares,
interceptando-se em A. Supondo que B é o ponto
(2, 0), resolva as questões que se seguem.
a) Determine as coordenadas do ponto C em função
de a.
b) Supondo, agora, que a 5 3, determine as coordenadas
do ponto A e a equação da circunferência
com centro em A e tangente ao eixo x.
C
y
O
A
B
y 5 ax
26. (UFU-MG) No plano cartesiano, considere o círculo S
descrito pela equação cartesiana x 2 1 y 2 5 5 e a reta
r descrita pela equação cartesiana y 5 2x. Assim, r
intersecta S nos pontos A e B.
Considerando uma nova reta h, descrita pela equação
cartesiana y 5 x 1 1, esta reta intersecta S nos
pontos A e C.
a) Determine os pontos A, B e C.
b) Determine a área do triângulo de vértices A, B e C.
27. (UF-TO) Considere as equações das circunferências:
C 1 : x 2 2 2x 1 y 2 2 2y 5 0
C 2 : x 2 2 4x 1 y 2 2 4y 5 0
cujos gráficos estão representados abaixo:
y
O
C 1
C 2
x
x

Matemática Volume Único
A área da região hachurada é:
a) 3p unidades de área.
b) p unidades de área.
c) 5p unidades de área.
d) 6p unidades de área.
e) p
unidades de área.
2
28. (UF-TO) Considere o conjunto dos números reais
e b . Encontre os valores de b, tais que no plano
cartesiano xy, a reta y 5 x 1 b intercepta a elipse
x 2
4 1 y2 5 1 em um único ponto. A soma dos valores
de b é:
a) 0 d) √ 5
b) 2
c) 2√ 5
e) 22√ 5
29. (Unemat-MT) Dada uma circunferência de centro
C (3; 1) e raio r 5 5 e seja o ponto P(0; a), com a ,
é correto afirmar:
a) Se 23 , a , 5, então P é externo à circunferência.
b) Se 23 , a , 5, então P pertence à circunferência.
c) Se a 5 5 ou a 5 23, então P é interno à circunferência.
d) Se a , 23 ou a . 5, então P é externo à circunferência.
e) Se a , 23 ou a . 5, então P é interno à circunferência.
30. (Unemat-MT) Dada a equação de reta (s): 2x 2 y 1
1 1 5 0, a equação de reta paralela a s pelo ponto
P(1, 1) será:
a) 2x 2 y 5 0
b) 2x 1 y 11 5 0
c) 2x 1 y 2 1 5 0
d) 2x 2 y 2 1 5 0
e) 2x 2 y 1 2 5 0
31. (ESPM-SP) No plano cartesiano, uma reta de coeficiente
angular 1 intercepta a parábola de equação y 5
5 x 2 2 2x 1 4 nos pontos A e V, sendo V o vértice da
mesma. O comprimento do segmento AV é igual a:
a) 1 d) √ 3
b) 2
c) √ 5
e) √ 2
32. (UE-CE) Para valores reais de k, as equações (k 2 4)x 1
1 5y 2 5k 5 0 representam no plano cartesiano uma
família de retas que passam pelo ponto fixo P(m, n).
O valor de m 1 n é:
a) 9
b) 11
c) 13
d) 14
33. (FGV-SP) No plano cartesiano, uma circunferência,
cujo centro se encontra no segundo quadrante,
tangencia os eixos x e y.
Se a distância da origem ao centro da circunferência
é igual a 4, a equação da circunferência é:
a) x2 1 y2 1 (2√ 10 )x 2 (2√ 10 )y 1 10 5 0
b) x2 1 y2 1 (2√ 8 )x 2 (2√ 8 )y 1 8 5 0
c) x2 1 y2 1 (2√ 10 )x 1 (2√ 10 )y 1 10 5 0
d) x2 1 y2 2 (2√ 8 )x 1 (2√ 8 )y 1 8 5 0
e) x2 1 y2 2 4x 1 4y 1 4 5 0
34. (Enem-MEC) A figura a seguir é a representação de
uma região por meio de curvas de nível, que são
curvas fechadas representando a altitude da região,
com relação ao nível do mar. As coordenadas estão
expressas em graus de acordo com a longitude, no
eixo horizontal, e a latitude, no eixo vertical. A escala
em tons de cinza desenhada à direita está associada
à altitude da região.
70,0 800 m
60,8
700 m
600 m
60,6
500 m
O
60,4
400 m
300 m
60,2
200 m
60,0
X
100 m
20,0 20,2 20,4 20,6 20,8 21,0 21,2
Um pequeno helicóptero usado para reconhecimento
sobrevoa a região a partir do ponto X 5 (20; 60). O
helicóptero segue o percurso:
0,8° L → 0,5° N → 0,2° O → 0,1° S → 0,4° N → 0,3° L
De acordo com as orientações, o helicóptero pousou
em um local cuja altitude é:
a) menor ou igual a 200 m.
b) maior que 200 m e menor ou igual a 400 m.
c) maior que 400 m e menor ou igual a 600 m.
d) maior que 600 m e menor ou igual a 800 m.
e) maior que 800 m.
N
S
77
L

Geometria analítica
35. (UF-PR) Um balão de ar quente foi lançado de uma
rampa inclinada. Utilizando o plano cartesiano, a
figura abaixo descreve a situação de maneira simplificada.
Fernando Monteiro
78
Ao ser lançado, o balão esticou uma corda presa aos
pontos P e Q, mantendo-se fixo no ar. As coordenadas
do ponto P, indicado na figura, são, então:
a) (21, 7)
b) (22, 8)
c) (24, 12)
d) (25, 13)
e) (26, 15)
36. (U.F. Juiz de Fora-MG) No plano cartesiano, seja λ a
circunferência de centro C 5 (3, 5) e raio 4 e seja r
a reta de equação y 5 2x 1 6.
a) Determine todos os valores de x para os quais o
ponto P 5 (x, y) pertence à reta r e está no interior
da circunferência λ.
b) Encontre a equação cartesiana da circunferência λ1 concêntrica à circunferência λ e tangente à reta r.
37. (UE-GO) Em uma chácara há um pasto que é utilizado
para criar vacas e bezerros. Esse pasto tem área de
dois hectares, sendo que cada um corresponde a
um quadrado de 100 metros de lado. Observações
técnicas indicam que cada vaca deverá ocupar uma
área de, no mínimo, 1 000 m 2 e cada bezerro de, no
mínimo, 400 m 2 .
a) De acordo com as observações técnicas, esse pasto
comportará 15 vacas e 15 bezerros? Justifique sua
resposta.
b) Represente algébrica e graficamente as condições
dessa situação, respeitando as observações
técnicas.
38. (UF-AL) A figura a seguir ilustra os gráficos da circunferência
com equação x 2 1 y 2 2 6x 1 2y 2 17 5 0, da
reta com equação x 2 y 1 2 5 0 e da circunferência
que tem um diâmetro com extremos nas interseções
da reta e da circunferência anteriores. Qual das alternativas
a seguir é uma equação da circunferência, em
tracejado na ilustração, que tem um diâmetro com
extremos nas interseções da reta e da circunferência
dadas?
22
6
4
2
0 2 4 6 8
22
24
26
a) x2 1 y2 2 4y 1 5 5 0
b) x2 1 y2 2 4y 2 5 5 0
c) x2 1 y2 1 4y 1 5 5 0
d) x2 1 y2 1 4y 2 5 5 0
e) x2 1 y2 2 5y 1 4 5 0
39. (UF-AM) A equação da reta t que passa pela origem e
pelo ponto de interseção das retas r: y 2 3x 1 2 5 0
e s: y 1 x 2 2 5 0 é dada pela equação:
a) t: y 1 2x 5 0
b) t: y 2 2x 5 0
c) t: y 1 x 5 0
d) t: y 2 x 5 0
e) t: y 5 0
40. (UF-PI) Duas retas r e s do plano se interceptam no
ponto (21, 6) e formam, com o eixo das abscissas,
ângulos agudos a e b, respectivamente. Se tg (a) 5 3
e tg (b) 5 2, uma possibilidade para a medida da área
do triângulo formado por r, s e o eixo das abscissas é
a) 11 unidades de área
b) 12 unidades de área
c) 13 unidades de área
d) 14 unidades de área
e) 15 unidades de área

Matemática Volume Único
41. (UF-PE) Seja (a, b) o ortocentro do triângulo com
vértices nos pontos com coordenadas (5, 1), (7, 2) e
(1, 3). Assinale 4a 2 2b.
42. (UF-PB) O Governo pretende construir armazéns
com o intuito de estocar parte da produção da safra
de grãos, de modo que não haja desperdícios por
situações adversas. A seção transversal da cobertura
de um desses armazéns tem a forma de um arco de
cincunferência, apoiado em colunas de sustentação
que estão sobre uma viga. O comprimento dessa
viga é de 24 m e o comprimento da maior coluna
de sustentação é de 8 m, conforme figura a seguir.
C D
24 m
8 m
Considerando um sistema cartesiano de eixos ortogonais
xy, com origem no ponto C, de modo que o
semieixo x positivo esteja na direção CD e o semieixo
y positivo apontando para cima, é correto afirmar
que a equação da circunferência que contém o arco
CD da seção transversal do telhado, com relação ao
sistema de eixos xy, é dada por:
a) (x 2 12) 2 1 (y 1 5) 2 5 169
b) (x 2 12) 2 1 (y 2 7) 2 5 193
c) (x 2 12) 2 1 (y 2 6) 2 5 180
d) (x 2 12) 2 1 (y 1 6) 2 5 180
e) (x 2 12) 2 1 (y 2 5) 2 5 169
43. (UF-MG) Considere as retas r, s e t de equações,
respectivamente,
x 1 7
y 5 2x 2 4, y 5 2x 1 11 e y 5
5 .
a) TRACE, no plano coordenado abaixo, os gráficos
dessas três retas.
y
7
6
5
4
3
2
1
21 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
21
x
b) CALCULE as coordenadas dos pontos de interseção
A 5 r s, B 5 r y e C 5 s t.
c) DETERMINE a área do triângulo ABC.
44. (UF-PB) A secretaria de infraestrutura de um município
contratou um arquiteto para fazer o projeto de uma
praça. Na figura a seguir, está o esboço do projeto proposto
pelo arquiteto: uma praça em formato retangular
medindo 80 m 3 120 m, onde deverá ser construído
um jardim em forma de elipse na parte central.
A
F 1
10 m
10 m 10 m
10 m
B
D
120 m
F 2
C
80 m
Estão destacados na figura os segmentos AC e BD,
que são, respectivamente, o eixo maior e menor da
elipse, bem como os pontos F e F , que são os focos
1 2
da elipse onde deverão ser colocados dois postes de
iluminação.
Com base nessas informações, conclui-se que a
distância entre os postes de iluminação será, aproximadamente,
de:
a) 68 m
b) 72 m
c) 76 m
d) 80 m
e) 84 m
45. (UF-GO) No plano cartesiano, as retas r e s, de equações
2x 2 3y 1 3 5 0 e x 1 3y 2 1 5 0, respectivamente,
se intersectam em um ponto C. Considerando
o ponto P(0, 24) determine as coordenadas de dois
pontos, A r e B s, de modo que o segmento CP
seja uma mediana do triângulo ABC.
46. (Uneb-BA) Se (m, n) são as coordenadas do centro da
circunferência x 2 1 2√ 3x 1 y 2 2 6y 1 7 5 0, então
(23m 1 √ 3n) é igual a
a) 6√ 3
b) 1
c) 0
d) 2√ 3
e) 23
79

Geometria analítica
47. (UE-MA) A equação da circunferência com raio r 5
5 2 cm e que tem centro no ponto S de encontro
das retas y 2 x 2 1 5 0 e y 1 x 2 3 5 0 corta o eixo
y nos pontos A e B. Dessa forma, sendo as medidas
em centímetros, a distância entre os pontos A e B é:
80
a) 3√ 2 cm
b) (2 1 √ 3 ) cm
c) 2√ 3 cm
d) 2 cm
e) 1 cm
48. (UF-AM) A equação da elipse cujo gráfico é mostrado
na figura a seguir é dada por:
a) 16x 2 1 9y 2 1 96x 2 36y 1 36 5 0
b) 16x 2 1 9y 2 2 96x 1 36y 1 36 5 0
c) 9x 2 1 16y 2 2 36x 2 96y 1 36 5 0
d) 9x 2 2 16y 2 2 36x 1 96y 1 36 5 0
e) 9x 2 1 16y 2 2 36x 1 96y 1 36 5 0
49. (UF-RN) Na construção de antenas parabólicas, os
fabricantes utilizam uma curva, construída a partir
de pontos dados, cujo modelo é uma parábola,
conforme a figura abaixo.
Uma fábrica, para construir essas antenas, utilizou
como modelo a curva que passa pelos pontos de
coordenadas (0, 0), (4, 1), (24, 1).
Outro ponto que também pertence a essa curva tem
coordenadas
a) 3, 1
2
b) 2, 1
4
1
c) 22,
2
1
d) 21,
4
50. (Uneb-BA) A reta 3x 1 4y 2 6 5 0 determina na
circunferência x 2 1 y 2 2 2x 2 4y 1 1 5 0 uma corda
de MN de comprimento igual, em u.c., a
a) 6 c) 3 e) √ 3
b) 2√ 3 d) 2√ 2
Ilustrações: Fernando Monteiro

Matemática Volume Único
respostas
1. a
2. √ 5
5
3.
9 2
, 2
14 7
4. a) m | m > 3
4
b) 3 1 7
; ,
4 2 4
5. c
6. e
7. c
8. b
9. a) y 5 0,75x
10. a)
b) y 5 23 9
x 1
4 2
c) 2, 3
2
2
2
C
A região A é um círculo centrado
em (2, 2) de raio igual a 2.
b) Temos que:
⎧0
< y < 4
⎪
0 < y < x < 4 ⇒ ⎨0
< x < 4
⎪
⎩y
< x
4
Geometria analítica
C
4
y 5 x
A região B é um triângulo retângulo
isósceles cujos catetos medem 4.
p ? 22
c) 5 2p u.a.
2
11. 5
12. c
13. São corretas: 01, 02, 04, 08 e 16.
14. b
15. b
16. e
17. d
18. a
19. b
20. a) A(2√ 2; 1), B(1; 2√ 2 ),
C(21; 2√ 2 ) e D(22√ 2; 1)
b) 7 1 2√ 2
21. c
22. d
23. a) 30
b) (5, 5)
24. São corretas: 02 e 04.
25. a) C 0, 2
a
b) A 1 3
,
5 5
x 2 1
5
2
1 x 2 3
5
2
5 3
5
26. a) A(1, 2), B(21, 22) e C(22, 21)
b) 3
27. d
28. a
29. d
30. d
31. e
32. a
33. b
34. a
35. c
36. a) 2 2 √ 7 , x , 2 1 √ 7
b) (x 2 3) 2 1 (y 2 5) 2 5 2
2
37. a) não
b) Sejam x e y, respectivamente,
o número de vacas e o número
de bezerros.
Devemos ter: x > 0, y > 0 e
5x 1 2y < 100.
38. b
39. d
40. e
41. 24
42. a
43. a)
y
50
y (B)
20
x (V)
7
r
6
5
4
A
3
C
t
2
1
B
s
21 0
21
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x
b) A(5, 6), B(3, 2), C(8, 3)
c) 9 u.a.
44. d
45. A 5 2 28 47
, 2
3 9 e
B 5 28 25
, 2
3 9
46. a
47. c
48. e
49. b
50. b
81

Números complexos, polinômios e equações algébricas
1. (UFU-MG) Sabe-se que o número complexo 2 1 i,
em que i é a unidade imaginária, e o número real 3
são raízes do polinômio de terceiro grau p(z), cujos
coeficientes são números reais. Sabendo-se também
que p(0) 5 30, calcule |p(i)|.
2. (FGV-SP) O quociente da divisão do polinômio
P(x) 5 (x 2 1 1) 4 ? (x 3 1 1) 3 por um polinômio de grau
2 é um polinômio de grau:
82
Números complexos, polinômios e equações algébricas
a) 5
b) 10
c) 13
d) 15
e) 18
3. (Mackenzie-SP)
y
A B
O
A figura mostra uma semicircunferência com centro
na origem. Se o ponto A é (2√ 2, 2), então o ponto
B é:
a) (2, √ 2 )
b) (√ 2, 2)
c) (1, √ 5 )
d) (√ 5, 1)
e) (2, √ 5 )
4. (U.E. Ponta Grossa-PR) As representações gráficas
dos complexos z tais que z3 5 1 são os vértices de
um triângulo. Em relação a esse triângulo assinale o
que for correto.
01) É um triângulo equilátero de lado igual a √ 3 u.c.
02) É um triângulo isósceles de altura igual a 3
4 u.c.
04) Um de seus vértices pertence ao 2º quadrante.
08) Seu perímetro é 3√ 3 u.c.
16) Sua área é 3√ 3
4 u.a.
x
5. (UF-RS) O menor número inteiro positivo n para
o qual a parte imaginária do número complexo
cos p
n
p
1 i ? sen é negativa é:
8 8
a) 3 d) 8
b) 4
c) 6
e) 9
6. (Ita-SP) Sabe-se que o polinômio p(x) 5 x5 2 ax3 1
1 ax2 – 1, a , admite a raiz 2i.
Considere as seguintes afirmações sobre as raízes
de p:
I. Quatro das raízes são imaginárias puras.
II. Uma das raízes tem multiplicidade dois.
III. Apenas uma das raízes é real.
Destas, é (são) verdadeira(s) apenas:
a) I d) I e III
b) II
c) III
e) II e III
7. (UF-GO) Considere o polinômio p(x) 5 x 3 2 9x 2 1
1 25x 2 25. Sabendo-se que o número complexo
z 5 2 1 i é uma raiz de p, o triângulo, cujos vértices
são as raízes de p, pode ser representado, no plano
complexo, pela seguinte figura:
a)
b)
c)
1
21
y
1
2
22 2 x
1
22
y
21 2 x
21
y
5 x

Matemática Volume Único
d)
e)
5
1
y
22 2 x
1
y
22 2 x
21
8. (Vunesp-SP) Uma raiz da equação x 3 2 (2a 2 1)x 2 2
2 a(a 1 1)x 1 2a 2 (a 2 1) 5 0 é (a 2 1). Quais são
as outras duas raízes dessa equação?
9. (UE-CE) Os números 22, 21, 0, 1 e 2 são as soluções
da equação polinomial p(x) 5 0, as quais são todas
simples. Se o polinômio p(x) é tal que p(√ 2) 5 2√ 2,
então o valor de p(√ 3) é igual a:
a) 2√ 3
b) 3√ 2
c) 3√ 3
d) 6√ 2
10. (Ibmec-RJ) O conjunto imagem de todos os números
complexos da forma z 5 a 1 bi que satisfazem a
equação z ? w 1 z 1 w 5 0, onde w é o conjugado
de z, é dado por:
a) uma circunferência
b) uma elipse
c) uma hipérbole
d) uma parábola
e) o semiplano x < 0
11. (FGV-SP)
a) Calcule a área do losango ABCD cujos vértices são
os afixos dos números complexos: 3, 6i, 23 e 26i,
respectivamente.
b) Quais são as coordenadas dos vértices do losango
A’B’C’D’ que se obtém girando 90° o
losango ABCD, em torno da origem do plano
cartesiano, no sentido anti-horário?
c) Por qual número devemos multiplicar o número
complexo cujo afixo é o ponto B para obter o
número complexo cujo afixo é o ponto B’?
B
O
C A
D
12. (U.F. Juiz de Fora-MG) Seja p(x) 5 x 3 1 ax 2 1 bx 1 c
um polinômio com coeficientes reais. Sabe-se que as
três raízes desse polinômio são o quarto, o sétimo e o
décimo sexto termos de uma progressão aritmética,
cuja soma de seus vinte primeiros termos é igual a 80
3
e o seu décimo terceiro termo é igual a 3. Encontre
os valores de a, b e c.
13. (UE-GO) João gosta de brincar com números e fazer
operações com eles. Em determinado momento, ele
pensou em três números naturais e, em relação a
esses números, observou o seguinte:
• a soma desses números é 7;
• o produto deles é 8;
• a soma das três parcelas resultantes dos produtos
desses números tomados dois a dois é 14.
Assim, os três números pensados por João são raízes
da equação
a) x3 2 7x2 1 14x 2 8 5 0
b) x3 1 7x2 2 14x 1 8 5 0
c) x3 2 7x2 2 14x 2 8 5 0
d) x3 1 7x2 2 14x 2 8 5 0
14. (UF-AL) Ao dividirmos o polinômio x 2010 1 x 1005 1 1
pelo polinômio x 3 1 x, qual o resto da divisão?
a) 0
b) x2 1 x 1 1
c) x2 2 x 1 1
d) x2 2 x 2 1
e) x2 1 x 2 1
15. (UF-PI) Seja o polinômio p(x) 5 x 3 2 3x 2 1 ax 1 b,
com coeficientes reais. Sabe-se que p(x) possui três
y
x
83

Números complexos, polinômios e equações algébricas
84
raízes reais, distintas e que estão em Progressão Geométrica.
Sabendo-se que p(x) é divisível por x 2 4,
pode-se afirmar que o valor do coeficiente a é:
a) 26
b) 23
c) 0
d) 3
e) 6
16. (UF-GO) Dados dois polinômios p(x) e q(x), as abscissas
dos pontos de intersecção dos seus gráficos
são as soluções da equação algébrica p(x) 5 q(x).
Considere os polinômios p(x) 5 x 3 1 a 2 x 2 1 a 1 x 1 a 0
e q(x) 5 3 2 2x. Determine os valores de a 0 , a 1 e a 2
para que os polinômios p(x) e q(x) se intersectem nos
pontos de abscissa 22, 3 e 4.
17. (UE-PB) O resto da divisão do polinômio P(x) 5 3x 2n13 2
2 5x 2n12 1 8, por x 1 1 com n natural é:
a) 21
b) 1
c) zero
d) 2
e) 6
18. (UF-PE) Se as raízes da equação x 3 2 7x 2 2 28x 1
1 k 5 0 são termos de uma progressão geométrica,
determine e assinale o valor do termo constante k.
19. (UF-PE) A representação geométrica dos números
complexos z que satisfazem a igualdade
2|z 2 i| 5 |z 2 2| forma uma circunferência com raio
r e centro no ponto com coordenadas (a, b). Calcule
r, a e b e determine 9(a 2 1 b 2 1 r 2 ).
20. (UF-AM) Na figura a seguir os números complexos
Z , Z , Z , Z , Z e Z estão representados pelos vérti-
1 2 3 4 5 6
ces de um hexágono regular. Podemos afirmar que
Z ? Z 2 3 é:
Z ? Z 5 6
Z 4
a) 1 d) 22
b) 21
c) 2
e) 3
Z 3
Z 5
y
Z 2
Z 6
Z 1 5 1
21. (UF-SE) Considerando que a e b são números
4 2 ai
reais, use os números complexos u 5 ,
1 2 i
v 5 3 2 (b 1 1) ? i e w 5 cos 18° 1 i sen 18° para
analisar a veracidade das afirmações seguintes.
a) Se u é um imaginário puro, então u5 5 1 024i.
b) Considerando que, no plano de Argand-Gauss,
o afixo de v pertence ao quadrante, então, se
|v| 5 5, o argumento principal de v é: 11p
6 rad.
c) Se a 5 22 e b 5 3, então 3 , v
, 5.
u
d) Se a 5 b 5 0, o conjugado de (u 2 v) 2 é igual a
21 1 i.
e) Uma das raízes sextas de w10 é igual a
2 √ 3
2
1 1
2 i.
x

Matemática Volume Único
Números complexos, polinômios e equações algébricas
respostas
1. 16√ 5
2. d
3. a
4. São corretas: 01, 04, 08 e 16
5. e
6. c
7. a
8. 2a e 2a
9. a
10. a
11. a) 36
b) (0, 3), (26, 0), (0, 23) e (6, 0)
c) Devemos multiplicar por i.
12. A 5 21, B 5 217 e C 5 215
13. a
14. b
15. a
16. a 0 5 27; a 1 5 24 e a 2 5 25.
17. c
18. 64
19. 40
20. a
21. São verdadeiras: a, e.
85

Estatística
86
Estatística
1. (PUC-RJ) Na revisão de prova de uma turma de quinze
alunos, apenas uma nota foi alterada, passando a ser
7,5. Considerando-se que a média da turma aumentou
em 0,1, a nota do aluno antes da revisão era:
a) 7,6 d) 6,0
b) 7,0
c) 7,4
e) 6,4
2. (UF-GO) O gráfico a seguir mostra a prevalência de
obesidade da população dos EUA, na faixa etária de
20 a 74 anos, para mulheres e homens, e de 12 a 19
anos, para meninas e meninos.
porcentagem
40
30
20
10
0
1960-62
1971-74 1976-80 1988-94 1999-2002
Mulheres Homens Meninas Meninos
Fonte: Scientific American Brasil. São Paulo, jun. 2005,
n. 38, p. 46.
De acordo com os dados apresentados neste gráfico,
a) de 1960 a 2002, em média, 30% dos homens
estavam obesos.
b) a porcentagem de meninas obesas, no período
1999-2002, era o dobro da porcentagem de meninas
obesas no período 1988-1994.
c) no período 1999-2002, mais de 20% dos meninos
estavam obesos.
d) no período 1999-2002, mais de 50% da população
pesquisada estava obesa.
e) a porcentagem de mulheres obesas no período1988-1994
era superior à porcentagem de
mulheres obesas no período 1976-1980.
3. (Cefet-MG) O gráfico da figura apresenta dados
referentes às faltas diárias dos alunos na classe de
uma escola, em determinado tempo.
nº de
dias
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0 1 2 3 4 5
nº de faltas
por dia
Analisando-se esses dados, é correto concluir que
ocorreram:
a) 2 faltas por dia
b) 19 faltas em 15 dias
c) 52 faltas em 27 dias
d) 2 faltas a cada 4 dias
4. (CP2-MEC-RJ) A coleta seletiva de lixo é a separação
dos materiais recicláveis do restante do lixo. Os
principais materiais recicláveis são os papéis, vidros,
plásticos e metais. O objetivo é que estes materiais
sejam enviados para as usinas de reciclagem e transformados
em outros produtos.
Considere que a matéria orgânica (vide gráfico) seja
a parte do lixo que pode ser transformada em composto
orgânico (adubo).
O que tem o lixo do brasileiro
Outros
8,08%
Alumínio
0,51%
Matéria orgânica
57,4%
Inertes
. . . . . . . . . . . . . .
0,46%
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
Material
. . . . . . . . . . . . . .
ferroso
Papel/ . . . . . . . . . . . . . .
1,56%
. . . . . . . . . . . . . .
papelão . . . . . . . . . . . . . .
13,16% . . . . . . . . . . . . . .
Vidro
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . Plástico . . . . . . . . .
2,34%
. . . . . 16,49% . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . Fonte: ABRELPE
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
Fonte: Revista Carta
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . Capital . . . . . . (27/9/2007 . . . . – Adaptado).
a) Considere que as oito mil toneladas de lixo coletadas,
em média, diariamente na cidade do Rio de
Janeiro se distribuam proporcionalmente como no
gráfico acima. Determine quantas toneladas desse
lixo poderiam ser transformadas em adubo.
b) Um exemplo que deve ser imitado é o da cidade
de Londrina, no Paraná. Das 400 toneladas de
lixo recolhidas diariamente, 110 são recicladas.
Qual o percentual de lixo reciclado, por mês, em
Londrina?
5. (CP2-MEC-RJ) Um comerciante de frutas possuía 70
dúzias de laranjas de uma mesma qualidade para
vender num dia ensolarado do mês de outubro. Inicialmente,
começou vendendo a dúzia dessa laranja
por R$ 3,70 e, conforme as vendas não correspondiam
às suas expectativas, foi reduzindo o preço para
garantir a venda de toda a mercadoria. Dessa forma,

Matemática Volume Único
o preço da laranja foi reduzido em três ocasiões. A
tabela a seguir informa a quantidade de dúzias de
laranjas vendidas em cada horário daquele dia e os
respectivos preços cobrados pelo comerciante.
Período Preço por dúzia
Nº de dúzias
vendidas
Das 8h às 10h 3,70 10
Das 10h às 12h 3,20 15
Das 12h às 14h 2,80 30
Das 14h às 16h 2,50 15
a) Qual foi o preço médio da dúzia da laranja vendida
naquele dia?
b) Se o comerciante vendesse as 25 primeiras dúzias
a R$ 3,42 (a dúzia), por quanto deveria vender
cada dúzia restante para que o preço médio das
dúzias de laranjas vendidas naquele dia fosse de
R$ 3,15?
6. (PUC-MG) Ao misturar 2 kg de café em pó do tipo
I com 3 kg de café em pó do tipo II, um comerciante
obtém um tipo de café cujo preço é R$ 6,80 o
quilograma. Mas, se misturar 3 kg de café em pó
do tipo I com 2 kg de café em pó do tipo II, o quilo
da nova mistura custará R$ 8,20. Com base nessas
informações, é CORRETO afirmar que o preço de um
quilo do café em pó do tipo I é igual a:
a) R$ 4,00 c) R$ 11,00
b) R$ 7,50 d) R$ 12,40
7. (UF-RJ) A revista DigiNet publicou uma pesquisa sobre
50 páginas da Internet muito visitadas, informando
que a média diária de visitas às páginas era igual
a 500 e que o tempo médio de existência dessas
páginas era igual a 38 meses. A revista BiteNet criticou
a pesquisa por ela não ter considerado a sua
página, uma das mais visitadas. A BiteNet informou
ainda que, com a inclusão de sua página, a média
de visitas aumentaria para 1000 e o tempo médio de
existência passaria para 37 meses. Admitindo-se que
as médias publicadas pela DigiNet estejam corretas,
então pelo menos uma das médias informadas pela
BiteNet estaria errada.
Determine qual delas estaria necessariamente errada.
Justifique sua resposta.
8. (UF-RS) O orçamento do Fundo de Amparo ao Trabalhador
para 2010 é de 43 bilhões de reais. Um
pesquisador estudou a distribuição desse orçamento
e representou o resultado em um gráfico de setores,
como na figura a seguir.
Qualificação de
trabalhadores
Outras
despesas
Financiamento
do BNDES
Seguro-desemprego
Abono para quem
ganha até dois
salário mínimos
Nesse gráfico, a quantia destinada ao abono para
quem ganha até dois salários mínimos foi representada
por um setor cujo ângulo mede 72º. O pesquisador
verificou, então, que o gráfico não estava correto,
pois a quantia destinada ao abono encontrada na
pesquisa superava em 200 milhões de reais a representada
pelo gráfico. Logo, o valor encontrado na
pesquisa para aquele abono foi, em bilhões de reais,
a) 8,8 d) 9,8
b) 9,1
c) 9,5
e) 10,6
9. (FGV-SP) Chama-se custo médio de fabricação por
unidade ao custo total de fabricação dividido pela
quantidade produzida.
Uma empresa fabrica bicicletas a um custo fixo
mensal de R$ 90 000,00; entre peças e mão de obra,
cada bicicleta custa R$ 150,00 para ser produzida. A
capacidade máxima de produção mensal é de 1 200
unidades.
O custo médio mensal mínimo por unidade vale:
a) R$ 150,00 d) R$ 262,50
b) R$ 187,50
c) R$ 225,00
e) R$ 300,00
10. (FGV-SP) A média aritmética dos elementos do conjunto
{17, 8, 30, 21, 7, x} supera em uma unidade a
mediana dos elementos desse conjunto.
Se x é um número real tal que 8 , x , 21 e x 17,
então a média aritmética dos elementos desse conjunto
é igual a:
a) 16 d) 19
b) 17
c) 18
e) 20
87

Estatística
11. (CP2-MEC-RJ) Uma estimativa feita por cientistas da
USP indica que as emissões de gases do efeito estufa
no Brasil aumentaram 24,6% entre 1990 e 2005.
88
Após a leitura das informações contidas no texto e
ilustração acima, responda às perguntas abaixo:
a) Mantendo a variação percentual de emissão de
gases para os próximos 15 anos, quantos milhões
de toneladas de CO estima-se que o Brasil deverá
2
emitir em 2020?
b) Qual a média de emissão de CO relativa aos
2
anos observados na figura acima?
12. (ESPM-SP) Uma prova era composta de 3 testes. O
primeiro valia 1 ponto, o segundo valia 2 pontos e o
terceiro 4 pontos, não sendo considerados acertos
parciais. A tabela abaixo mostra a quantidade de
alunos que obtiveram cada uma das notas possíveis:
Nota obtida 0 1 2 3 4 5 6 7
Nº de alunos 2 3 1 5 7 2 3 1
O número de alunos que acertaram o segundo teste
foi:
a) 10 d) 13
b) 11
c) 12
e) 14
13. (ESPM-SP) Considere o conjunto A 5 {x N* | x < 51}.
Retirando-se um número desse conjunto, a média
aritmética entre seus elementos não se altera. Esse
número é:
a) ímpar
b) primo
c) quadrado perfeito
d) maior que 30
e) múltiplo de 13
Fernando Monteiro
14. (UE-CE) A média aritmética entre os divisores primos
e positivos do número 2 310 é:
a) 5,6 c) 6,3
b) 6,0 d) 6,7
15. (UF-PR) O gráfico a seguir mostra o número de
usuários no restaurante universitário da UFPR Litoral
atendidos durante uma determinada semana, de
segunda a sexta-feira.
número de estudantes
500
450
400
350
300
250
200
150
100
50
0
400
200
350
250
50
150
2ª feira 3ª feira 4ª feira
dia da semana
450
300
almoço
jantar
100
50
5ª feira 6ª feira
Os preços fixos praticados pelo restaurante são: almoço
R$ 1,60 e jantar R$ 2,00. Qual foi o faturamento
do restaurante nessa semana?
a) R$ 4 220,00 d) R$ 5 000,00
b) R$ 10 800,00
c) R$ 4 060,00
e) R$ 10 000,00
16. (FGV-SP) O gráfico abaixo apresenta os lucros anuais
(em milhões de reais) em 2008 e 2009 de três empresas
A, B e C de um mesmo setor. A média aritmética
dos crescimentos percentuais dos lucros entre 2008
e 2009 das três empresas foi de aproximadamente:
500
450
400
350
300
250
200
150
100
50
0
200 210
300 320
A B
2008 2009
a) 8,1% d) 9,3%
b) 8,5%
c) 8,9%
e) 9,7%
17. (Enem-MEC) Em sete de abril de 2004, um jornal
publicou o ranking de desmatamento, conforme
gráfico, da chamada Amazônia Legal, integrada por
nove estados.
400
C
450

Matemática Volume Único
Ranking do Desmatamento em km 2
9º Amapá
8º Tocantins
7º Roraima
6º Acre
5º Maranhão
4º Amazonas
3º Rondônia
2º Pará
1º Mato Grosso
4
136
326
549
766
797
3 463
7 293
10 416
Disponível em: www.folhaonline.com.br.
Acesso em: 30 abr. 2010 (adaptado).
Considerando-se que até 2009 o desmatamento
cresceu 10,5% em relação aos dados de 2004, o
desmatamento médio por estado em 2009 está entre:
a) 100 km2 e 900 km2 b) 1 000 km2 e 2 700 km2 c) 2 800 km2 e 3 200 km2 d) 3 300 km2 e 4 000 km2 e) 4 100 km2 e 5 800 km2 18. (Enem-MEC) O gráfico apresenta a quantidade de
gols marcados pelos artilheiros das Copas do Mundo
desde a Copa de 1930 até a de 2006.
Quantidade de Gols dos Artilheiros
das Copas do Mundo
Gols 14
12
10
8
6
4
2
0
1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010
Ano
Disponível em: http://www.suapesquisa.com.
Acesso em: 23 abr. 2010 (adaptado).
A partir dos dados apresentados, qual a mediana das
quantidades de gols marcados pelos artilheiros das
Copas do Mundo?
a) 6 gols d) 7,3 gols
b) 6,5 gols
c) 7 gols
e) 8,5 gols
19. (Enem-MEC) Marco e Paulo foram classificados em
um concurso. Para a classificação no concurso o
candidato deveria obter média aritmética na pontuação
igual ou superior a 14. Em caso de empate na
média, o desempate seria em favor da pontuação
mais regular. No quadro a seguir são apresentados os
pontos obtidos nas provas de Matemática, Português
e Conhecimentos Gerais, a média, a mediana e o
desvio padrão dos dois candidatos.
Dados dos candidatos no concurso:
matemática
Português
Conhecimentos
Gerais
média mediana
Desvio
Padrão
marco 14 15 16 15 15 0,32
Paulo 8 19 18 15 18 4,97
O candidato com pontuação mais regular, portanto
mais bem classificado no concurso, é:
a) Marco, pois a média e a mediana são iguais.
b) Marco, pois obteve menor desvio padrão.
c) Paulo, pois obteve a maior pontuação da tabela,
19 em Português.
d) Paulo, pois obteve maior mediana.
e) Paulo, pois obteve maior desvio padrão.
20. (Enem-MEC) O quadro seguinte mostra o desempenho
de um time de futebol no último campeonato.
A coluna da esquerda mostra o número de gols
marcados e a coluna da direita informa em quantos
jogos o time marcou aquele número de gols.
Gols marcados Quantidade de partidas
0 5
1 3
2 4
3 3
4 2
5 2
7 1
Se X, Y e Z são, respectivamente, a média, a mediana
e a moda desta distribuição, então:
a) X 5 Y , Z d) Z , X , Y
b) Z , X 5 Y
c) Y , Z , X
e) Z , Y , X
21. (UFF-RJ) Diz-se que uma família vive na pobreza
extrema se sua renda mensal por pessoa é de, no
máximo, 25% do salário mínimo nacional. Segundo
levantamento do Instituto de Pesquisa Econômica
Aplicada (Ipea), mais de treze milhões de brasileiros
saíram da pobreza extrema entre 1995 e 2008. No
entanto, a diminuição generalizada nas taxas de po-
89

Estatística
90
50
40
30
20
10
0
breza extrema nesse período não ocorreu de forma
uniforme entre as grandes regiões geográficas do
país, conforme ilustra o gráfico a seguir.
Taxas de pobreza extrema no Brasil e nas suas
grandes regiões em 1995 e 2008 (em %)
22,8
17,6
Norte
1995 2008
41,8
24,9
11,7
13,6
6,9 5,5
17,5
20,9
11,6 10,5
Nordeste Sudeste Sul Centro-Oeste Brasil
Adaptado do IBGE – PNAD – Ipea.
Tendo em vista o gráfico, verifica-se que a taxa nacional
de pobreza extrema caiu 49,8%, passando de
20,9% para 10,5%. Pode-se concluir, então, que a
região em que a taxa de pobreza extrema (em %)
caiu mais de 50% foi:
a) a região Norte
b) a região Sudeste
c) a região Nordeste
d) a região Centro-Oeste
e) a região Sul
22. (UF-PR) Em 2010, uma loja de carros vendeu 270 carros
a mais que em 2009. A seguir temos um gráfico
ilustrando as vendas nesses dois anos.
Nessas condições, pode-se concluir que a média
aritmética simples das vendas efetuadas por essa loja
durante os dois anos foi de:
a) 540 carros d) 270 carros
b) 530 carros
c) 405 carros
e) 135 carros
23. (UF-PI) Na rede de padarias Estrela Dalva, a distribuição
de frequências de salários de um grupo de
30 funcionários, no mês de dezembro de 2008, é
apresentada na tabela a seguir:
Fernando Monteiro
Número da
classe
Salário do mês
(em reais)
Número de
empregados
1 465 | — 665 16
2 665 | — 865 8
3 865 | — 1065 4
4 1065 | — 1265 2
A média e a mediana do salário pago, nesse mesmo
mês, são:
a) R$ 725,00 e R$ 725,00
b) R$ 711,67 e R$ 652,50
c) R$ 865,00 e R$ 525,00
d) R$ 711,67 e R$ 660,00
e) R$ 575,00 e R$ 625,00
24. (UF-PB) Segundo dados do IBGE, as classes sociais das
famílias brasileiras são estabelecidas, de acordo com
a faixa de renda mensal total da família, conforme a
tabela a seguir.
Classe Faixa de renda
A Acima de R$ 15 300,00
B De R$ 7 650,01 até R$ 15 300,00
C De R$ 3 060,01 até R$ 7 650,00
D De R$ 1 020,01 até R$ 3 060,00
E Até R$ 1 020,00
Adaptado de: http://www.logisticadescomplicada.com/
o-brasil-suas-classes-sociais-e-a-implicacao-na-economia.
Acesso em: 5 nov. 2010.
Após um levantamento feito com as famílias de um
município, foram obtidos os resultados expressos no
gráfico a seguir.
Número de famílias
2 250
1 500
500
250
Classe A
Classe B Classe C Classe D Classe E
Com base nas informações contidas no gráfico e na
tabela, conclui-se que o percentual das famílias que
têm renda acima de R$ 3 060,00 é de:
a) 45% d) 85%
b) 60%
c) 70%
e) 90%

Matemática Volume Único
25. (UF-PB) A tabela a seguir apresenta a quantidade exportada
de certo produto, em milhares de toneladas,
no período de 2000 a 2009.
Ano
Quantidade Exportada
(em milhares de toneladas)
2000 48
2001 52
2002 54
2003 52
2004 52
2005 50
2006 48
2007 52
2008 54
2009 52
Considerando os dados apresentados na tabela,
identifique as afirmativas corretas:
I. A quantidade exportada, de 2006 a 2008, foi
crescente.
II. A média da quantidade exportada, de 2003 a
2006, foi de 53 mil toneladas.
III. A moda da quantidade exportada, de 2000 a
2009, foi de 52 mil toneladas.
IV. A média da quantidade exportada, de 2000 a
2004, foi maior que a média de 2005 a 2008.
V. A mediana da quantidade exportada, de 2000 a
2009, foi de 51 mil toneladas.
26. (UE-MA) Realizada uma pesquisa na Escola Vamos
Estudar para saber o número de horas que seus
alunos dormem por dia, encontrou-se o resultado
apresentado no quadro a seguir:
Número de horas Número de alunos
3 5
5 10
7 14
9 8
11 3
O tempo médio dormido pelos alunos dessa escola foi:
a) 6h d) 5h30min
b) 7h e) 6h42min
c) 7h36min
27. (UF-RN) José, professor de Matemática do Ensino
Médio, mantém um banco de dados com as notas
dos seus alunos. Após a avaliação do 1º bimestre,
construiu as tabelas a seguir, referentes à distribuição
das notas obtidas pelas turmas A e B do 1º ano.
Nota por nº de
alunos – Turma A
Nota
Número de
alunos
30 4
50 5
60 9
70 5
80 2
90 3
100 2
Nota por nº de
alunos – Turma B
Nota
Número de
alunos
20 2
40 3
50 4
60 6
90 3
100 2
Ao calcular a média das notas de cada turma, para
motivar, José decidiu sortear um livro entre os alunos
da turma que obteve a maior média.
A média da turma que teve o aluno sorteado foi:
a) 63,0 b) 59,5 c) 64,5 d) 58,0
28. (UF-SE) A tabela abaixo apresenta a distribuição da
arrecadação de certo imposto municipal, num dado
mês, em uma cidade com 5 000 contribuintes.
Classe
Valor do
imposto, em
reais, per
capita
Número de
contribuintes
Valor total
arrecadado
por classe, em
reais
1 0 —| 10 3 000 21 000
2 10 —| 20 1 000 15 000
3 20 —| 30 700 17 500
4 30 —| 40 300 10 000
Total 5 000 64 000
Use esses dados para analisar as informações que
seguem.
a) Um histograma demonstrativo da relação entre
os intervalos de valores do imposto per capita, em
reais, e os respectivos números de contribuintes é:
Número de
contribuintes
3 000
2 000
1 000
700
300
0 10
20 30 40
Valor
do imposto,
em reais
b) Nesse mês, o valor médio do imposto per capita
localiza-se na classe 3.
c) Na classe 2, o valor médio do imposto pago pelos
contribuintes é R$ 12,00.
d) Nesse mês, 20% do total de contribuintes pagaram
mais de R$ 20,00 de imposto.
e) Escolhendo-se aleatoriamente um dos contribuintes
do município, a probabilidade de que o valor
do imposto pago por ele nesse mês seja igual ou
menor do que R$ 30,00 é 47
50 .
91

Estatística
respostas
1. d
2. e
3. c
4. a) 4 592 toneladas
92
b) 27,5%
5. a) R$ 2,95
6. c
b) R$ 3,00
7. Tempo médio de existência.
8. a
9. c
10. a
11. a) 2 492 milhões de toneladas.
12. a
13. e
Estatística
b) 1 796,5 milhões de toneladas.
14. a
15. c
16. a
17. c
18. b
19. b
20. e
21. e
22. a
23. b
24. b
25. I, III, IV
26. e
27. a
28. São verdadeiras: a, d, e.

Matemática Volume Único
Coletânea de testes do ENEm
1. O mapa ao lado representa
um bairro de determinada
Y
cidade, no qual as flechas
indicam o sentido das mãos X
do tráfego. Sabe-se que esse
bairro foi planejado e que
cada quadra representada na
figura é um terreno quadrado,
de lado igual a 200 metros.
Desconsiderando-se a largura das ruas, qual seria o
tempo, em minutos, que um ônibus, em velocidade
constante e igual a 40 km/h, partindo do ponto X,
demoraria para chegar até o ponto Y?
a) 25 min d) 1,5 min
b) 15 min
c) 2,5 min
e) 0,15 min
Texto para as questões 2 e 3
A população mundial está ficando mais velha, os
índices de natalidade diminuíram e a expectativa de vida
aumentou. No gráfico seguinte, são apresentados dados
obtidos por pesquisa realizada pela Organização das Nações
Unidas (ONU), a respeito da quantidade de pessoas
com 60 anos ou mais em todo o mundo. Os números
da coluna da direita representam as faixas percentuais.
Por exemplo, em 1950 havia 95 milhões de pessoas com
60 anos ou mais nos países desenvolvidos, número entre
10% e 15% da população total nos países desenvolvidos.
números em milhões
95
110
países desenvolvidos
269
490
15
países em
10
desenvolvimento
estimativas
461
1 592
1950 70 90 2010 30 50
Fonte: “Perspectivas da População Mundial”. ONU, 2009.
35
30
25
20
Disponível em: www.economist.com.
Acesso em: 9 jul. 2009 (adaptado).
2. Suponha que o modelo exponencial y = 363e 0,03x , em
que x = 0 corresponde ao ano 2000, x = 1 corresponde
ao ano 2001, e assim sucessivamente, e que y é a
5
0
Imagens: Zapt
população em milhões de habitantes no ano x, seja
usado para estimar essa população com 60 anos ou
mais de idade nos países em desenvolvimento entre
2010 e 2050. Desse modo, considerando e 0,3 = 1,35,
estima-se que a população com 60 anos ou mais
estará, em 2030, entre:
a) 490 e 510 milhões.
b) 550 e 620 milhões.
c) 780 e 800 milhões.
d) 810 e 860 milhões.
e) 870 e 910 milhões.
3. Em 2050, a probabilidade de se escolher, aleatoriamente,
uma pessoa com 60 anos ou mais de idade,
na população dos países desenvolvidos, será um
número mais próximo de:
a) 1
2
b) 7
20
c) 8
25
d) 1
5
e) 3
25
4. Dados da Associação Nacional de Empresas de
Transportes Urbanos (ANTU) mostram que o número
de passageiros transportados mensalmente nas
principais regiões metropolitanas do país vem caindo
sistematicamente. Eram 476,7 milhões de passageiros
em 1995, e esse número caiu para 321,9 milhões em
abril de 2001. Nesse período, o tamanho da frota
de veículos mudou pouco, tendo no final de 2008
praticamente o mesmo tamanho que tinha em 2001.
O gráfico a seguir mostra um índice de produtividade
utilizado pelas empresas do setor, que é a razão
entre o total de passageiros transportados por dia e
o tamanho da frota de veículos.
passageiro/veículo
Capitais brasileiras - Sistema de Ônibus Urbano*
Passageiros transportados por veículos/dia**
1995 a 2008
650 631
600 569 568
550 581
555 506
500
505 451
450
435 438 447
463
428
441
446
400
440
407 410 418
422
400 391 393 404 410 415 411
350
out/95
abr/96
out/96
abr/97
out/97
abr/98
out/98
abr/99
out/99
abr/00
out/00
abr/01
out/01
abr/02
out/02
abr/03
out/03
abr/04
out/04
abr/05
out/05
abr/06
out/06
abr/07
out/07
abr/08
out/08
*São Paulo, Rio de Janeiro, Belo Horizonte, Recife, Porto
Alegre, Salvador, Fortaleza, Curitiba e Goiânia
** Passageiro total mensal/frota/25
Disponível em: http://www.ntu.org.br.
Acesso em: 16 jul. 2009 (adaptado).
93

Coletânea de testes do ENEM
94
Supondo que as frotas totais de veículos naquelas
regiões metropolitanas em abril de 2001 e em outubro
de 2008 eram do mesmo tamanho, os dados do
gráfico permitem inferir que o total de passageiros
transportados no mês de outubro de 2008 foi aproximadamente
igual a:
a) 355 milhões
b) 400 milhões
c) 426 milhões
d) 441 milhões
e) 477 milhões
5. Uma resolução do Conselho Nacional de Política
Energética (CNPE) estabeleceu a obrigatoriedade de
adição de biodísel ao óleo dísel comercializado nos
postos. A exigência é que, a partir de 1º de julho de
2009, 4% do volume da mistura final seja formada
por biodísel. Até junho de 2009, esse percentual era
de 3%. Essa medida estimula a demanda de biodísel,
bem como possibilita a redução da importação de
dísel de petróleo.
Disponível em: http://www1.folha.uol.com.br.
Acesso em: 12 jul. 2009 (adaptado).
Estimativas indicam que, com a adição de 4% de
biodísel ao dísel, serão consumidos 925 milhões
de litros de biodísel no segundo semestre de 2009.
Considerando-se essa estimativa, para o mesmo
volume da mistura final dísel/biodísel consumida no
segundo semestre de 2009, qual seria o consumo de
biodísel com a adição de 3%?
a) 27,75 milhões de litros.
b) 37,00 milhões de litros.
c) 231,25 milhões de litros.
d) 693,75 milhões de litros.
e) 888,00 milhões de litros.
6. O governo cedeu terrenos para que famílias construíssem
suas residências com a condição de que
no mínimo 94% da área do terreno fosse mantida
como área de preservação ambiental. Ao receber o
terreno retangular ABCD, em que AB = BC
, Antônio
2
demarcou uma área quadrada no vértice A, para a
construção de sua
residência, de acordo
com o desenho, no
qual AE = AB
é lado
5
do quadrado.
B C
A E D
Imagens: Zapt
Nesse caso, a área definida por Antônio atingiria
exatamente o limite determinado pela condição
se ele:
a) duplicasse a medida do lado do quadrado.
b) triplicasse a medida do lado do quadrado.
c) triplicasse a área do quadrado.
d) ampliasse a medida do lado do quadrado em 4%.
e) ampliasse a área do quadrado em 4%.
7. A suspeita de que haveria uma relação causal entre
tabagismo e câncer de pulmão foi levantada pela
primeira vez a partir de observações clínicas. Para
testar essa possível associação, foram conduzidos
inúmeros estudos epidemiológicos. Dentre esses,
houve o estudo do número de casos de câncer em
relação ao número de cigarros consumidos por
dia, cujos resultados são mostrados no gráfico a
seguir.
casos de câncer pulmonar
Casos de câncer pulmonar dado o número de
cigarros consumidos diariamente
60
50
40
30
20
10
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 22 23 24 25
número de cigarros consumidos diariamente
Centers for Disease Control and Prevention CDC-EIS
Summer Course — 1992 (adaptado).
De acordo com as informações do gráfico,
a) o consumo diário de cigarros e o número de casos
de câncer de pulmão são grandezas inversamente
proporcionais.
b) o consumo diário de cigarros e o número de casos
de câncer de pulmão são grandezas que não se
relacionam.
c) o consumo diário de cigarros e o número de casos
de câncer de pulmão são grandezas diretamente
proporcionais.
d) uma pessoa não fumante certamente nunca será
diagnosticada com câncer de pulmão.
e) o consumo diário de cigarros e o número de casos
de câncer de pulmão são grandezas que estão
relacionadas, mas sem proporcionalidade.
8. O gráfico a seguir mostra a evolução, de abril de
2008 a maio de 2009, da população economicamente
ativa para seis regiões metropolitanas pesquisadas.

Matemática Volume Único
23 500
23 300
23 100
22 900
22 700
22 500
22 300
População economicamente ativa (em mil pessoas)
22 811
04/08
22 741
05
06
07
08
09
10
11
12
22 969
23 020
01/09
02
03
04
05
Fonte: IBGE, Diretoria de Pesquisas, Coordenação de Trabalho e
Rendimento, Pesquisa Mensal de Emprego.
Disponível em: www.ibge.gov.br.
Considerando que a taxa de crescimento da população
economicamente ativa, entre 05/09 e 06/09, seja
de 4%, então o número de pessoas economicamente
ativas em 06/09 será igual a:
a) 23 940 c) 920 800 e) 32 228 000
b) 32 228 d) 23 940 800
9. A música e a matemática se encontram na representação
dos tempos das notas musicais, conforme
a figura seguinte.
semibreve
mínima
semínima
colcheia
semicolcheia
fusa
semifusa
1
1
2
1
4
1
8
Zapt
1
16
1
32
1
64
Um compasso é uma unidade musical composta por
determinada quantidade de notas musicais em que
a soma das durações coincide com a fração indicada
como fórmula do compasso. Por exemplo, se a fórmula
de compasso for 1
, poderia ter um compasso
2
ou com duas semínimas ou uma mínima ou quatro
colcheias, sendo possível a combinação de diferentes
figuras. Um trecho musical de oito compassos, cuja
fórmula é 3
, poderia ser preenchido com:
4
a) 24 fusas. d) 24 colcheias e 12 semínimas.
b) 3 semínimas. e) 16 semínimas e 8 semicolcheias.
c) 8 semínimas.
Zapt
10. As figuras a seguir exibem um trecho de um quebracabeças
que está sendo montado. Observe que as
peças são quadradas e há 8 peças no tabuleiro da
figura A e 8 peças no tabuleiro da figura B. As peças
são retiradas do tabuleiro da figura B e colocadas no
tabuleiro da figura A na posição correta, isto é, de
modo a completar os desenhos.
Figura A
Figura B
peça 1 peça 2
Reprodução
Reprodução
Disponível em: http://pt.eternityii.com.
Acesso em: 14 jul. 2009.
É possível preencher corretamente o espaço indicado
pela seta no tabuleiro da figura A colocando a peça:
a) 1 após girá-la 90° no sentido horário.
b) 1 após girá-la 180° no sentido anti-horário.
c) 2 após girá-la 90° no sentido anti-horário.
d) 2 após girá-la 180° no sentido horário.
e) 2 após girá-la 270° no sentido anti-horário.
95

Coletânea de testes do ENEM
11. O controle de qualidade de uma empresa fabricante
de telefones celulares aponta que a probabilidade
de um aparelho de determinado modelo apresentar
defeito de fabricação é de 0,2%. Se uma loja acaba
de vender 4 aparelhos desse modelo para um cliente,
qual é a probabilidade de esse cliente sair da loja com
exatamente dois aparelhos defeituosos?
96
a) 2 ? (0,2%) 4 d) 4 ? (0,2%)
b) 4 ? (0,2%) 2 c) 6 ? (0,2%)
e) 6 ? (0,2%) ? (99,8%)
2 ? (99,8%) 2
12. A tabela mostra alguns dados da emissão de dióxido
de carbono de uma fábrica, em função do número
de toneladas produzidas.
Produção
(em toneladas)
Emissão de dióxido de carbono
(em partes por milhão – ppm)
1,1 2,14
1,2 2,30
1,3 2,46
1,4 2,64
1,5 2,83
1,6 3,03
1,7 3,25
1,8 3,48
1,9 3,73
2,0 4,00
Cadernos do Gestar II, Matemática TP3.
Disponível em: www.mec.gov.br. Acesso em: 14 jul. 2009.
Os dados na tabela indicam que a taxa média de
variação entre a emissão de dióxido de carbono (em
ppm) e a produção (em toneladas) é:
a) inferior a 0,18.
b) superior a 0,18 e inferior a 0,50.
c) superior a 0,50 e inferior a 1,50.
d) superior a 1,50 e inferior a 2,80.
e) superior a 2,80.
13. Uma pousada oferece pacotes promocionais para
atrair casais a se hospedarem por até oito dias. A
hospedagem seria em apartamento de luxo e, nos
três primeiros dias, a diária custaria R$ 150,00, preço
da diária fora da promoção. Nos três dias seguintes,
seria aplicada uma redução no valor da diária, cuja
taxa média de variação, a cada dia, seria de R$ 20,00.
Nos dois dias restantes, seria mantido o preço do
sexto dia. Nessas condições, um modelo para a promoção
idealizada é apresentado no gráfico a seguir,
no qual o valor da diária é função do tempo medido
em número de dias.
valor
da diária
150
1 2 3 4 5 6 7 8 tempo
De acordo com os dados e com o modelo, comparando
o preço que um casal pagaria pela hospedagem por
sete dias fora da promoção, um casal que adquirir o pacote
promocional por oito dias fará uma economia de:
a) R$ 90,00 d) R$ 150,00
b) R$ 110,00
c) R$ 130,00
e) R$ 170,00
14. Em Florença, Itália, na Igreja de Santa Croce, é possível
encontrar um portão em que aparecem os anéis de
Borromeo. Alguns historiadores acreditavam que os
círculos representavam as três artes: escultura, pintura
e arquitetura, pois elas eram tão próximas quanto
inseparáveis.
Scientific American, ago, 2008.
Qual dos esboços a seguir melhor representa os anéis
de Borromeo?
a) d)
b) e)
c)
Reprodução

Matemática Volume Único
15. Brasil e França têm relações comerciais há mais de
200 anos. Enquanto a França é a 5ª nação mais rica
do planeta, o Brasil é a 10ª, e ambas se destacam na
economia mundial. No entanto, devido a uma série
de restrições, o comércio entre esses dois países ainda
não é adequadamente explorado, como mostra a
tabela seguinte, referente ao período 2003-2007.
Ano
investimentos bilaterais
(em milhões de dólares)
Brasil na
França
França no
Brasil
2003 367 825
2004 357 485
2005 354 1 458
2006 539 744
2007 280 1 214
Disponível em: www.cartacapital.com.br.
Acesso em: 7 jul. 2009.
Os dados da tabela mostram que, no período considerado,
os valores médios dos investimentos da
França no Brasil foram maiores que os investimentos
do Brasil na França em um valor
a) inferior a 300 milhões de dólares.
b) superior a 300 milhões de dólares, mas inferior a
400 milhões de dólares.
c) superior a 400 milhões de dólares, mas inferior a
500 milhões de dólares.
d) superior a 500 milhões de dólares, mas inferior a
600 milhões de dólares.
e) superior a 600 milhões de dólares.
16. Um grupo de 50 pessoas fez um orçamento inicial
para organizar uma festa, que seria dividido entre
elas em cotas iguais. Verificou-se ao final que, para
arcar com todas as despesas, faltavam R$ 510,00, e
que 5 novas pessoas haviam ingressado no grupo. No
acerto foi decidido que a despesa total seria dividida
em partes iguais pelas 55 pessoas. Quem não havia
ainda contribuído pagaria a sua parte, e cada uma
das 50 pessoas do grupo inicial deveria contribuir
com mais R$ 7,00.
De acordo com essas informações, qual foi o valor
da cota calculada no acerto final para cada uma das
55 pessoas?
a) R$ 14,00 d) R$ 32,00
b) R$ 17,00
c) R$ 22,00
e) R$ 57,00
17. Técnicos concluem mapeamento
do aquífero Guarani
O aquífero Guarani localiza-se no subterrâneo dos
territórios da Argentina, Brasil, Paraguai e Uruguai, com
extensão total de 1 200 000 quilômetros quadrados, dos
quais 840 000 quilômetros quadrados estão no Brasil. O
aquífero armazena cerca de 30 mil quilômetros cúbicos
de água e é considerado um dos maiores do mundo.
Na maioria das vezes em que são feitas referências à
água, são usadas as unidades metro cúbico e litro, e não
as unidades já descritas. A Companhia de Saneamento
Básico do Estado de São Paulo (SABESP) divulgou,
por exemplo, um novo reservatório cuja ca pacidade de
armazenagem é de 20 milhões de litros.
Disponível em: http://noticias.terra.com.br.
Acesso em: 10 jul. 2009 (adaptado).
Comparando as capacidades do aquífero Guarani e
desse novo reservatório da SABESP, a capacidade do
aquífero Guarani é:
a) 1,5 × 102 vezes a capacidade do reservatório novo.
b) 1,5 × 103 vezes a capacidade do reservatório novo.
c) 1,5 × 106 vezes a capacidade do reservatório novo.
d) 1,5 × 108 vezes a capacidade do reservatório novo.
e) 1,5 × 109 vezes a capacidade do reservatório novo.
18. A rampa de um hospital tem na sua parte mais
elevada uma altura de 2,2 metros. Um paciente ao
caminhar sobre a rampa percebe que se deslocou
3,2 metros e alcançou uma altura de 0,8 metro.
A distância em metros que o paciente ainda deve
caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa é:
a) 1,16 metro. d) 5,6 metros.
b) 3,0 metros.
c) 5,4 metros.
e) 7,04 metros.
19. A figura a seguir mostra as medidas reais de uma
aeronave que será fabricada para utilização por companhias
de transporte aéreo. Um engenheiro precisa
fazer o desenho desse avião em escala de 1 : 150.
36 metros
28,5 metros
Zapt
97

Coletânea de testes do ENEM
98
Para o engenheiro fazer esse desenho em uma folha
de papel, deixando uma margem de 1 cm em relação
às bordas da folha, quais as dimensões mínimas, em
centímetros, que essa folha deverá ter?
a) 2,9 cm 3 3,4 cm. d) 21 cm 3 26 cm.
b) 3,9 cm 3 4,4 cm. e) 192 cm 3 242 cm.
c) 20 cm 3 25 cm.
20. Um posto de combustível vende 10 000 litros de
álcool por dia a R$ 1,50 cada litro. Seu proprietário
percebeu que, para cada centavo de desconto que
concedia por litro, eram vendidos 100 litros a mais
por dia. Por exemplo, no dia em que o preço do álcool
foi R$ 1,48, foram vendidos 10 200 litros.
Considerando x o valor, em centavos, do desconto
dado no preço de cada litro, e V o valor, em R$,
arrecadado por dia com a venda do álcool, então a
expressão que relaciona V e x é:
a) V = 10 000 + 50x – x2 d) V = 15 000 + 50x – x2 b) V = 10 000 + 50x + x2 e) V = 15 000 – 50x + x2 c) V = 15 000 – 50x – x2 21. Uma empresa que fabrica esferas de aço, de 6 cm de
raio, utiliza caixas de madeira, na forma de um cubo,
para transportá-las.
Sabendo que a capacidade da caixa é de 13 824 cm3 ,
então o número máximo de esferas que podem ser
transportadas em uma caixa é igual a:
a) 4 b) 8 c) 16 d) 24 e) 32
22. Para cada indivíduo, a sua inscrição no Cadastro de
Pessoas Físicas (CPF) é composta por um número de
9 algarismos e outro número de 2 algarismos, na
forma d d , em que os dígitos d e d são denomi-
1 2 1 2
nados dígitos verificadores. Os dígitos verificadores
são calculados, a partir da esquerda, da seguinte
maneira: os 9 primeiros algarismos são multiplicados
pela sequência 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 (o primeiro
por 10, o segundo por 9, e assim sucessivamente); em
seguida, calcula-se o resto r da divisão da soma dos
resultados das multiplicações por 11, e se esse resto
r for 0 ou 1, d é zero, caso contrário d = (11 – r).
1 1
O dígito d é calculado pela mesma regra, na qual os
2
números a serem multiplicados pela sequência dada
são contados a partir do segundo algarismo, sendo
d o último algarismo, isto é, d é zero se o resto s
1 2
da divisão por 11 das somas das multiplicações for
0 ou 1, caso contrário, d = (11 – s).
2
Suponha que João tenha perdido seus documentos,
inclusive o cartão de CPF e, ao dar queixa da perda
na delegacia, não conseguisse lembrar quais eram os
dígitos verificadores, recordando-se apenas que os
nove primeiros algarismos eram 123.456.789. Neste
caso, os dígitos verificadores d 1 e d 2 esquecidos são,
respectivamente:
a) 0 e 9 d) 9 e 1
b) 1 e 4
c) 1 e 7
e) 0 e 1
23. Um experimento consiste em colocar certa quantidade
de bolas de vidro idênticas em um copo com água até
certo nível e medir o nível da água, conforme ilustrado
na figura a seguir. Como resultado do experimento,
concluiu-se que o nível da água é função do número
de bolas de vidro que são colocadas dentro do copo.
O quadro a seguir mostra alguns
resultados do experimento
realizado.
Número de
bolas (x)
Nível da
água (y)
5 6,35 cm
10 6,70 cm
15 7,05 cm
Disponível em: www.penta.ufrgs.br.
Acesso em: 13 jan. 2009 (adaptado).
Qual a expressão algébrica que permite calcular o
nível da água (y) em função do número de bolas (x)?
a) y = 30x d) y = 0,7x
b) y = 25x + 20,2
c) y = 1,27x
e) y = 0,07x + 6
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Zapt
24. Suponha que a etapa final de uma gincana escolar
consista em um desafio de conhecimentos. Cada
equipe escolheria 10 alunos para realizar uma prova
objetiva, e a pontuação da equipe seria dada pela
mediana das notas obtidas pelos alunos. As provas
valiam, no máximo, 10 pontos cada. Ao final, a vencedora
foi a equipe Ômega, com 7,8 pontos, seguida
pela equipe Delta, com 7,6 pontos. Um dos alunos
da equipe Gama, a qual ficou na terceira e última
colocação, não pôde comparecer, tendo recebido nota
zero na prova. As notas obtidas pelos 10 alunos da
equipe Gama foram 10; 6,5; 8; 10; 7; 6,5; 7; 8; 6; 0.
Se o aluno da equipe Gama que faltou tivesse comparecido,
essa equipe
a) teria a pontuação igual a 6,5 se ele obtivesse nota 0.
b) seria a vencedora se ele obtivesse nota 10.
c) seria a segunda colocada se ele obtivesse nota 8.
y

Matemática Volume Único
d) permaneceria na terceira posição, independentemente
da nota obtida pelo aluno.
e) empataria com a equipe Ômega na primeira colocação
se o aluno obtivesse nota 9.
25. Uma cooperativa de colheita propôs a um fazendeiro
um contrato de trabalho nos seguintes termos: a cooperativa
forneceria 12 trabalhadores e 4 máquinas,
em um regime de trabalho de 6 horas diárias, capazes
de colher 20 hectares de milho por dia, ao custo
de R$ 10,00 por trabalhador por dia de trabalho, e
R$ 1 000,00 pelo aluguel diário de cada máquina.
O fazendeiro argumentou que fecharia contrato se
a cooperativa colhesse 180 hectares de milho em 6
dias, com gasto inferior a R$ 25 000,00.
Para atender às exigências do fazendeiro e supondo
que o ritmo dos trabalhadores e das máquinas seja
constante, a cooperativa deveria
a) manter sua proposta.
b) oferecer 4 máquinas a mais.
c) oferecer 6 trabalhadores a mais.
d) aumentar a jornada de trabalho para 9 horas diárias.
e) reduzir em R$ 400,00 o valor do aluguel diário de
uma máquina.
26. Uma escola lançou uma campanha para seus alunos
arrecadarem, durante 30 dias, alimentos não perecíveis
para doar a uma comunidade carente da região.
Vinte alunos aceitaram a tarefa e nos primeiros 10
dias trabalharam 3 horas diárias, arrecadando 12 kg
de alimentos por dia. Animados com os resultados,
30 novos alunos somaram-se ao grupo, e passaram
a trabalhar 4 horas por dia nos dias seguintes até o
término da campanha.
Admitindo-se que o ritmo de coleta tenha se mantido
constante, a quantidade de alimentos arrecadados
ao final do prazo estipulado seria de:
a) 920 kg
b) 800 kg
c) 720 kg
d) 600 kg
e) 570 kg
27. Segundo as regras da Fórmula 1, o peso mínimo do carro,
de tanque vazio, com o piloto, é de 605 kg, e a gasolina
deve ter densidade entre 725 e 780 gramas por
litro. Entre os circuitos nos quais ocorrem competições
dessa categoria, o mais longo é Spa-Francorchamps,
na Bélgica, cujo traçado tem 7 km de extensão. O
consumo médio de um carro da Fórmula 1 é de 75 litros
para cada 100 km.
Suponha que um piloto de uma equipe específica,
que utiliza um tipo de gasolina com densidade de
750 g/L, esteja no circuito de Spa-Francorchamps, parado
no box para reabastecimento. Caso ele pretenda
dar mais 16 voltas, ao ser liberado para retornar à
pista, seu carro deverá pesar, no mínimo:
a) 617 kg
b) 668 kg
c) 680 kg
d) 689 kg
e) 717 kg
28. Ao morrer, o pai de João, Pedro e José deixou como
herança um terreno retangular de 3 km 3 2 km que
contém uma área de extração de ouro delimitada por
um quarto de círculo de raio 1 km a partir do canto
inferior esquerdo da propriedade. Dado o maior valor
da área de extração de ouro, os irmãos acordaram em
repartir a propriedade de modo que cada um ficasse
com a terça parte da área de extração, conforme
mostra a figura a seguir.
3 km
1 km
João
1 km
Pedro
José
2 km
Em relação à partilha proposta, constata-se que
a porcentagem da área do terreno que coube a
João corresponde, aproximadamente, a: considere
3
= 0,58
3
a) 50% d) 33%
b) 43% e) 19%
c) 37%
29. Rotas aéreas são como pontes que ligam cidades,
estados ou países. O mapa a seguir mostra os estados
brasileiros e a localização de algumas capitais
identificadas pelos números. Considere que a direção
seguida por um avião AI que partiu de Brasília-DF, sem
Zapt
99

Coletânea de testes do ENEM
100
escalas, para Belém, no Pará, seja um segmento de
reta com extremidades em DF e em 4.
1 Manaus
2 Boa Vista
3 Macapá
4 Belém
5 São Luís
6 Teresina
7 Fortaleza
8 Natal
9 Salvador
18
17
2
10 Rio de Janeiro
11 São Paulo
12 Curitiba
13 Belo Horizonte
14 Goiânia
15 Cuiabá
16 Campo Grande
17 Porto Velho
18 Rio Branco
1
3
4
14
11
12
DF
15
16
5
13
6 7 8
SIQUEIRA, S. Brasil Regiões.
Disponível em: www.santiagosiqueira.pro.br.
Acesso em: 28 jul. 2009 (adaptado).
Suponha que um passageiro de nome Carlos pegou
um avião AII, que seguiu a direção que forma
um ângulo de 135° no sentido horário com a rota
Brasília – Belém e pousou em alguma das capitais
brasileiras. Ao desembarcar, Carlos fez uma conexão
e embarcou em um avião AIII, que seguiu a direção
que forma um ângulo reto, no sentido anti-horário,
com a direção seguida pelo avião AII ao partir de
Brasília-DF. Considerando que a direção seguida por
um avião é sempre dada pela semirreta com origem
na cidade de partida e que passa pela cidade destino
do avião, pela descrição dada, o passageiro Carlos
fez uma conexão em:
a) Belo Horizonte, e em seguida embarcou para
Curitiba.
b) Belo Horizonte, e em seguida embarcou para
Salvador.
c) Boa Vista, e em seguida embarcou para Porto
Velho.
d) Goiânia, e em seguida embarcou para o Rio de
Janeiro.
e) Goiânia, e em seguida embarcou para Manaus.
30. Doze times se inscreveram em um torneio de futebol
amador. O jogo de abertura do torneio foi escolhido
da seguinte forma: primeiro foram sorteados 4 times
para compor o Grupo A. Em seguida, entre os times
do Grupo A, foram sorteados 2 times para realizar o
jogo de abertura do torneio, sendo que o primeiro
deles jogaria em seu próprio campo, e o segundo
seria o time visitante.
A quantidade total de escolhas possíveis para o Grupo
A e a quantidade total de escolhas dos times do jogo
de abertura podem ser calculadas através de:
10
9
Zapt
a) uma combinação e um arranjo, respectivamente.
b) um arranjo e uma combinação, respectivamente.
c) um arranjo e uma permutação, respectivamente.
d) duas combinações.
e) dois arranjos.
31. Na tabela, são apresentados dados da cotação mensal
do ovo extra branco vendido no atacado, em Brasília,
em reais, por caixa de 30 dúzias de ovos, em alguns
meses dos anos 2007 e 2008.
mês Cotação Ano
Outubro R$ 83,00 2007
Novembro R$ 73,10 2007
Dezembro R$ 81,60 2007
Janeiro R$ 82,00 2008
Fevereiro R$ 85,30 2008
Março R$ 84,00 2008
Abril R$ 84,60 2008
De acordo com esses dados, o valor da mediana das
cotações mensais do ovo extra branco nesse período
era igual a:
a) R$ 73,10 c) R$ 82,00 e) R$ 85,30
b) R$ 81,50 d) R$ 83,00
32. O quadro apresenta informações da área aproximada
de cada bioma brasileiro.
Biomas
continentais
brasileiros
área
aproximada
(km 2)
área / total
Brasil
Amazônia 4 196 943 49,29%
Cerrado 2 036 448 23,92%
Mata Atlântica 1 110 182 13,04%
Caatinga 844 453 9,92%
Pampa 176 496 2,07%
Pantanal 150 355 1,76%
Área Total Brasil 8 514 877
Disponível em: www.ibge.gov.br.
Acesso em: 10 jul. 2009 (adaptado).
É comum em conversas informais, ou mesmo em
noticiários, o uso de múltiplos da área de um campo
de futebol (com as medidas de 120 m 3 90 m)
para auxiliar a visualização de áreas consideradas
extensas. Nesse caso, qual é o número de campos
de futebol correspondente à área aproximada do
bioma Pantanal?

Matemática Volume Único
a) 1 400 d) 1 400 000
b) 14 000 e) 14 000 000
c) 140 000
33. A vazão do rio Tietê, em São Paulo, constitui preocupação
constante nos períodos chuvosos. Em alguns
trechos, são construídas canaletas para controlar
o fluxo de água. Uma dessas canaletas, cujo corte
vertical determina a forma de um trapézio isósceles,
tem as medidas especificadas na figura I. Neste
caso, a vazão da água é de 1 050 m3 /s. O cálculo da
vazão, Q em m3 /s, envolve o produto da área A do
setor transversal (por onde passa a água), em m2 ,
pela velocidade da água no local, v, em m/s, ou seja,
Q = Av.
Planeja-se uma reforma na canaleta, com as dimensões
especificadas na figura II, para evitar a ocorrência
de enchentes.
30 m
20 m
49 m
41 m
2,5 m
2,0 m
Disponível em: www2.uel.br.
Acesso em: 5 maio 2010.
Na suposição de que a velocidade da água não se
alterará, qual a vazão esperada para depois da reforma
na canaleta?
a) 90 m3 /s d) 1 512 m3 /s
b) 750 m3 /s e) 2 009 m3 c) 1 050 m
/s
3 /s
34. Uma fábrica produz velas de parafina em forma de
pirâmide quadrangular regular com 19 cm de altura e
6 cm de aresta da base. Essas velas são formadas por
4 blocos de mesma altura — 3 troncos de pirâmide
de bases paralelas e 1 pirâmide na parte superior —,
espaçados de 1 cm entre
eles, sendo que a base
superior de cada bloco é
igual à base inferior do bloco
sobreposto, com uma
haste de ferro passando
pelo centro de cada bloco,
unindo-os, conforme a
figura.
6 cm
6 cm
Imagens: Zapt
Se o dono da fábrica resolver diversificar o modelo,
retirando a pirâmide da parte superior, que tem
1,5 cm de aresta na base, mas mantendo o mesmo
molde, quanto ele passará a gastar com parafina para
fabricar uma vela?
a) 156 cm3 d) 216 cm3 b) 189 cm3 e) 540 cm3 c) 192 cm3 35. A população brasileira sabe, pelo menos intuitivamente,
que a probabilidade de acertar as seis dezenas da
mega-sena não é zero, mas é quase. Mesmo assim,
milhões de pessoas são atraídas por essa loteria,
especialmente quando o prêmio se acumula em
valores altos. Até junho de 2009, cada aposta de seis
dezenas, pertencentes ao conjunto {01, 02, 03, ..., 59,
60}, custava R$ 1,50.
Disponível em: www.caixa.gov.br.
Acesso em: 7 jul. 2009.
Considere que uma pessoa decida apostar exatamente
R$ 126,00 e que esteja mais interessada em
acertar apenas cinco das seis dezenas da mega-sena,
justamente pela dificuldade desta última. Nesse
caso, é melhor que essa pessoa faça 84 apostas de
seis dezenas diferentes, que não tenham cinco números
em comum, do que uma única aposta com
nove dezenas, porque a probabilidade de acertar a
quina no segundo caso em relação ao primeiro é,
aproximadamente:
a) 1 1
vez menor. d) 9 vezes menor.
2
b) 2 1
vezes menor. e) 14 vezes menor.
2
c) 4 vezes menor.
36. Nos últimos anos, o volume de petróleo exportado
pelo Brasil tem mostrado expressiva tendência de
crescimento, ultrapassando as importações em 2008.
Entretanto, apesar de as importações terem se mantido
praticamente no mesmo patamar desde 2001,
os recursos gerados com as exportações ainda são
inferiores àqueles despendidos com as importações,
uma vez que o preço médio por metro cúbico do
petróleo importado é superior ao do petróleo nacional.
Nos primeiros cinco meses de 2009, foram
gastos 2,84 bilhões de dólares com importações e
gerada uma receita de 2,24 bilhões de dólares com
as exportações. O preço médio por metro cúbico em
maio de 2009 foi de 340 dólares para o petróleo importado
e de 230 dólares para o petróleo exportado.
101

Coletânea de testes do ENEM
102
O quadro a seguir mostra os dados consolidados de
2001 a 2008 e dos primeiros cinco meses de 2009.
Comércio exterior de petróleo
(milhões de metros cúbicos)
Ano importação Exportação
2001 24,19 6,43
2002 22,06 13,63
2003 19,96 14,03
2004 26,91 13,39
2005 21,97 15,93
2006 20,91 21,36
2007 25,38 24,45
2008 23,53 25,14
2009* 9,00 11,00
*Valores apurados de janeiro a maio de 2009.
Disponível em: http://www.anp.gov.br.
Acesso em: 15 jul. 2009 (adaptado).
Considere que as importações e exportações de petróleo
de junho a dezembro de 2009 sejam iguais a
7
das importações e exportações, respectivamente,
5
ocorridas de janeiro a maio de 2009. Nesse caso,
supondo que os preços para importação e exportação
não sofram alterações, qual seria o valor mais aproximado
da diferença entre os recursos despendidos
com as importações e os recursos gerados com as
exportações em 2009?
a) 600 milhões de dólares.
b) 840 milhões de dólares.
c) 1,34 bilhão de dólares.
d) 1,44 bilhão de dólares.
e) 2,00 bilhões de dólares.
37. A resolução das câmeras digitais modernas é dada
em megapixels, unidade de medida que representa
um milhão de pontos. As informações sobre cada um
desses pontos são armazenadas, em geral, em 3 bytes.
Porém, para evitar que as imagens ocupem muito
espaço, elas são submetidas a algoritmos de compressão,
que reduzem em até 95% a quantidade de
bytes necessários para armazená-las. Considere 1 KB =
= 1 000 bytes, 1 MB = 1 000 KB, 1 GB = 1 000 MB.
Utilizando uma câmera de 2.0 megapixels cujo algoritmo
de compressão é de 95%, João fotografou
150 imagens para seu trabalho escolar. Se ele deseja
armazená-las de modo que o espaço restante no dispositivo
seja o menor espaço possível, ele deve utilizar
a) um CD de 700 MB.
b) um pendrive de 1 GB.
c) um HD externo de 16 GB.
d) um memory stick de 16 MB.
e) um cartão de memória de 64 MB.
38. Considere um ponto P
em uma circunferência
de raio r no plano
y
cartesiano. Seja Q a
projeção ortogonal de
P sobre o eixo x, como
mostra a figura, e suponha
que o ponto P
P
r
percorra, no sentido
Q
x
anti-horário, uma distância d < r sobre a circunferência.
Então, o ponto Q percorrerá, no eixo x, uma distância
dada por:
a) r 1 – sen d
r
b) r 1 – cos d
r
c) r 1 – tg d
r
d) r sen r
d
e) r cos r
d
39. Joana frequenta uma academia de ginástica onde
faz exercícios de musculação. O programa de Joana
requer que ela faça 3 séries de exercícios em 6 aparelhos
diferentes, gastando 30 segundos em cada série.
No aquecimento, ela caminha durante 10 minutos
na esteira e descansa durante 60 segundos para
começar o primeiro exercício no primeiro aparelho.
Entre uma série e outra, assim como ao mudar de
aparelho, Joana descansa por 60 segundos.
Suponha que, em determinado dia, Joana tenha
iniciado seus exercícios às 10h30min e finalizado às
11h7min. Nesse dia e nesse tempo, Joana
a) não poderia fazer sequer a metade dos exercícios
e dispor dos períodos de descanso especificados
em seu programa.
b) poderia ter feito todos os exercícios e cumprido
rigorosamente os períodos de descanso especificados
em seu programa.

Matemática Volume Único
c) poderia ter feito todos os exercícios, mas teria
de ter deixado de cumprir um dos períodos de
descanso especificados em seu programa.
d) conseguiria fazer todos os exercícios e cumpriria
todos os períodos de descanso especificados em
seu programa, e ainda se permitiria uma pausa
de 7 min.
e) não poderia fazer todas as 3 séries dos exercícios
especificados em seu programa; em alguma
dessas séries deveria ter feito uma série a menos
e não deveria ter cumprido um dos períodos de
descanso.
40. O Indicador do CadÚnico (ICadÚnico), que compõe
o cálculo do Índice de Gestão Descentralizada do
Programa Bolsa Família (IGD), é obtido por meio da
média aritmética entre a taxa de cobertura qualificada
de cadastros (TC) e a taxa de atualização de
cadastros (TA), em que TC = NV NA
, TA = , NV é o
NF
NV
número de cadastros domiciliares válidos no perfil
do CadÚnico, NF é o número de famílias estimadas
como público-alvo do CadÚnico e NA é o número
de cadastros domiciliares atualizados no perfil do
CadÚnico.
Portaria nº 148 de 27 de abril de 2006 (adaptado).
Suponha que o ICadÚnico de um município específico
é 0,6. Porém, dobrando NF o ICadÚnico cairá para
0,5. Se NA + NV = 3 600, então NF é igual a:
a) 10 000
b) 7 500
c) 5 000
d) 4 500
e) 3 000
41. João deve 12 parcelas de R$ 150,00 referentes ao
cheque especial de seu banco e cinco parcelas de
R$ 80,00 referentes ao cartão de crédito. O gerente
do banco lhe ofereceu duas parcelas de desconto no
cheque especial, caso João quitasse esta dívida imediatamente
ou, na mesma condição, isto é, quitação
imediata, com 25% de desconto na dívida do cartão.
João também poderia renegociar suas dívidas em
18 parcelas mensais de R$ 125,00. Sabendo desses
termos, José, amigo de João, ofereceu-lhe emprestar
o dinheiro que julgasse necessário pelo tempo de 18
meses, com juros de 25% sobre o total emprestado.
A opção que dá a João o menor gasto seria:
a) renegociar suas dívidas com o banco.
b) pegar emprestado de José o dinheiro referente à
quitação das duas dívidas.
c) recusar o empréstimo de José e pagar todas as
parcelas pendentes nos devidos prazos.
d) pegar emprestado de José o dinheiro referente à
quitação do cheque especial e pagar as parcelas
do cartão de crédito.
e) pegar emprestado de José o dinheiro referente à
quitação do cartão de crédito e pagar as parcelas
do cheque especial.
42. Um artesão construiu peças de artesanato interceptando
uma pirâmide de base quadrada com um
plano. Após fazer um estudo das diferentes peças que
poderia obter, ele concluiu que uma delas poderia ter
uma das faces pentagonal.
Qual dos argumentos a seguir justifica a conclusão
do artesão?
a) Uma pirâmide de base quadrada tem 4 arestas
laterais e a interseção de um plano com a pirâmide
intercepta suas arestas laterais. Assim, esses
pontos formam um polígono de 4 lados.
b) Uma pirâmide de base quadrada tem 4 faces
triangulares e, quando um plano intercepta essa
pirâmide, divide cada face em um triângulo e um
trapézio. Logo, um dos polígonos tem 4 lados.
c) Uma pirâmide de base quadrada tem 5 faces e
a interseção de uma face com um plano é um
segmento de reta. Assim, se o plano interceptar
todas as faces, o polígono obtido nessa interseção
tem 5 lados.
d) O número de lados de qualquer polígono obtido
como interseção de uma pirâmide com um plano
é igual ao número de faces da pirâmide. Como a
pirâmide tem 5 faces, o polígono tem 5 lados.
e) O número de lados de qualquer polígono obtido
interceptando-se uma pirâmide por um plano é
igual ao número de arestas laterais da pirâmide.
Como a pirâmide tem 4 arestas laterais, o polígono
tem 4 lados.
43. Um médico está estudando um novo medicamento
que combate um tipo de câncer em estágios avançados.
Porém, devido ao forte efeito dos seus componentes,
a cada dose administrada há uma chance
de 10% de que o paciente sofra algum dos efeitos
colaterais observados no estudo, tais como dores
de cabeça, vômitos ou mesmo agravamento dos
103

Coletânea de testes do ENEM
104
sintomas da doença. O médico oferece tratamentos
compostos por 3, 4, 6, 8 ou 10 doses do medicamento,
de acordo com o risco que o paciente pretende
assumir.
Se um paciente considera aceitável um risco de até
35% de chances de que ocorra algum dos efeitos colaterais
durante o tratamento, qual é o maior número
admissível de doses para esse paciente?
a) 3 doses.
b) 4 doses.
c) 6 doses.
d) 8 doses.
e) 10 doses.
44. A cisterna é um recipiente utilizado para armazenar
água da chuva. Os principais critérios a serem observados
para captação e armazenagem de água da
chuva são: a demanda diária de água na propriedade;
o índice médio de precipitação (chuva), por região,
em cada período do ano; o tempo necessário para
armazenagem; e a área de telhado necessária ou
disponível para captação.
Para fazer o cálculo do volume de uma cisterna, devese
acrescentar um adicional relativo ao coeficiente
de evaporação. Na dificuldade em se estabelecer um
coeficiente confiável, a Empresa Brasileira de Pesquisa
Agropecuária (EMBRAPA) sugere que sejam adicionados
10% ao volume calculado de água.
Desse modo, o volume, em m3 , de uma cisterna é
calculado por V = V × N , em que V = volume de
c d dia d
demanda da água diária (m3 ), N = número de dias
dia
de armazena gem, e este resultado deve ser acrescido
de 10%.
Para melhorar a qualidade da água, recomenda-se
que a captação seja feita somente nos telhados das
edificações.
Considerando que a precipitação de chuva de 1 mm
sobre uma área de 1 m2 produz 1 litro de água, podese
calcular a área de um telhado a fim de atender a
necessidade de armazenagem da seguinte maneira:
área do telhado (em m2 ) = volume da cisterna (em
litros)/precipitação.
Disponível em: www.cnpsa.embrapa.br.
Acesso em: 8 jun. 2009 (adaptado).
Para atender a uma demanda diária de 2 000 litros
de água, com período de armazenagem de 15 dias e
precipitação média de 110 mm, o telhado, retangular,
deverá ter as dimensões mínimas de:
a) 6 metros por 5 metros, pois assim teria uma área
de 30 m2 .
b) 15 metros por 20 metros, pois assim teria uma
área de 300 m2 .
c) 50 metros por 60 metros, pois assim teria uma
área de 3 000 m2 .
d) 91 metros por 30 metros, pois assim teria uma
área de 2 730 m2 .
e) 110 metros por 30 metros, pois assim teria uma
área de 3 300 m2 .
45. Um professor dividiu a lousa da sala de aula em quatro
partes iguais. Em seguida, preencheu 75% dela com
conceitos e explicações, conforme a figura seguinte.
XXXXX XXXXXXXX
XXXXX XXXXXXXX
XXXXX XXXXXXXX
XXXXX XXXXXXXX
XXXXX XXXXXXXX
XXXXX XXXXXXXX
XXXXX XXXXXXXX
XXXXX XXXXXXXX
XXXXX XXXXXXXX
XXXXX XXXXXXXX
XXXXX XXXXXXXX
XXXXX XXXXXXXX
XXXXX XXXXXXXX
XXXXX XXXXXXXX
XXXXX XXXXXXXX
XXXXX XXXXXXXX
XXXXX XXXXXXXX
XXXXX XXXXXXXX
Algum tempo depois, o professor apagou a lousa por
completo e, adotando um procedimento semelhante
ao anterior, voltou a preenchê-la, mas, dessa vez,
utilizando 40% do espaço dela.
Uma representação possível para essa segunda
situação é
a) XXXXXX XXXXXX
XXXXXX XXXXXX
XXXXXX XXXXXX
XXXXXX XXXXXX
XXXXXX XXXXXX
XXXXXX XXXXXX
b) XXXXXX XXXXXX
XXXXXX XXXXXX
XXXXXX XXXXXX
XXXXXX XXXXXX
XXXXXX XXXXXX
XXXXXX XXXXXX
XXXXXX XXXXXX
XXXXXX XXXXXX
XXXXXX XXXXXX
XXXXXX XXXXXX
XXXXXX XXXXXX
XXXXXX XXXXXX
c) XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX
XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX
XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX
XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX
XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX
XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX
d) XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX
XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX
XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX
XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX
XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX
XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX
e) XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX
XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX
XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX
XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX
XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX
XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX
46. Uma fábrica produz barras de chocolates no formato
de paralelepípedos e de cubos, com o mesmo volume.
As arestas da barra de chocolate no formato de

Matemática Volume Único
paralelepípedo medem 3 cm de largura, 18 cm de
comprimento e 4 cm de espessura.
Analisando as características das figuras geométricas
descritas, a medida das arestas dos chocolates que
têm o formato de cubo é igual a
a) 5 cm. d) 24 cm.
b) 6 cm.
c) 12 cm.
e) 25 cm.
47. O Salto Triplo é uma modalidade do atletismo em que
o atleta dá um salto em um só pé, uma passada e um
salto, nessa ordem. Sendo que o salto com impulsão
em um só pé será feito de modo que o atleta caia
primeiro sobre o mesmo pé que deu a impulsão; na
passada ele cairá com o outro pé, do qual o salto é
realizado.
Disponível em: www.cbat.org.br (adaptado).
Um atleta da modalidade Salto Triplo, depois de estudar
seus movimentos, percebeu que, do segundo
para o primeiro salto, o alcance diminuía em 1,2 m,
e, do terceiro para o segundo salto, o alcance diminuía
1,5 m.
Querendo atingir a meta de 17,4 m nessa prova e
considerando os seus estudos, a distância alcançada
no primeiro salto teria de estar entre
a) 4,0 m e 5,0 m. d) 7,0 m e 8,0 m.
b) 5,0 m e 6,0 m.
c) 6,0 m e 7,0 m.
e) 8,0 m e 9,0 m.
48. O gráfico a seguir apresenta o gasto militar dos Estados
Unidos, no período de 1988 a 2006.
O GASTO MILITAR DOS ESTADOS UNIDOS SUPERA O DO FIM DA GUERRA FRIA
Em bilhões de dólares
600
Queda do Muro de Berlim
(fim da Guerra Fria)
500
426,8
403,7
400
371,4
422,1 354,3 354,8
334,8
315,1
300
200
EUA entram na
Guerra do Golfo
315,1
Atentado de 11 de setembro:
ação militar no Afeganistão
298,1
289,7
301,7
290,5
304,1
341,5
417,4
536,6
526,7
486,4
Início da guerra
no Iraque
1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006
Almanaque Abril 2008. Editora Abril.
Com base no gráfico, o gasto militar no início da
guerra no Iraque foi de
a) US$ 4 174 000,00.
b) US$ 41 740 000,00.
c) US$ 417 400 000,00.
d) US$ 41 740 000 000,00.
e) US$ 417 400 000 000,00.
49. Embora o Índice de Massa Corporal (IMC) seja
amplamente utilizado, existem ainda inúmeras restrições
teóricas ao uso e às faixas de normalidade
preconizadas.
O Recíproco do Índice Ponderal (RIP), de acordo com
o modelo alométrico, possui uma melhor fundamentação
matemática, já que a massa é uma variável
de dimensões cúbicas e a altura, uma variável de
dimensões lineares.
As fórmulas que determinam esses índices são:
massa (kg)
IMC =
[altura (m)] 2
altura (cm)
RIP =
3
√ massa (kg)
ARAUJO, C. G. S.; RICARDO, D. R. Índice de Massa Corporal:
Um Questionamento Científico. Baseado em Evidências.
Arq. Bras. Cardiologia, volume 79, nº 1, 2002 (adaptado).
Se uma menina com 64 kg de massa apresenta IMC
igual a 25 kg/m2 , então ela possui RIP igual a
a) 0,4 cm/kg 1
3. d) 20 cm/kg 1
3.
b) 2,5 cm/kg 1
3. e) 40 cm/kg 1
3.
c) 8 cm/kg 1
3.
50. Os dados do gráfico seguinte foram gerados a partir
de dados colhidos no conjunto de seis regiões
metropolitanas pelo Departamento Intersindical de
Estatística e Estudos Socioeconômicos (Dieese).
São Paulo
Salvador
Recife
Porto Alegre
Belo Horizonte
Distrito Federal
Taxas de desemprego nas regiões
metropolitanas março/2010
9,8
10,2
13,1
14,7
0 5 10 15 20
19,9
19,3
Disponível em: http://g1.globo.com.
Acesso em: 28 abr. 2010 (adaptado).
Supondo que o total de pessoas pesquisadas na
região metropolitana de Porto Alegre equivale a
250 000, o número de desempregados em março
de 2010, nessa região, foi de
a) 24 500. d) 223 000.
b) 25 000.
c) 220 500.
e) 227 500.
105
25

Coletânea de testes do ENEM
51. Um balão atmosférico, lançado em Bauru (343 quilômetros
a Noroeste de São Paulo), na noite do último
domingo, caiu nesta segunda-feira em Cuiabá
Paulista, na região de Presidente Prudente, assustando
agricultores da região. O artefato faz parte do
programa Projeto Hibiscus, desenvolvido por Brasil,
França, Argentina, Inglaterra e Itália, para a medição
do comportamento da camada de ozônio, e sua descida
se deu após o cumprimento do tempo previsto
de medição.
106
Balão
Disponível em: http://www.correiodobrasil.com.br.
Acesso em: 2 maio 2010.
60°
30°
1,8 km A 3,7 km B
Na data do acontecido, duas pessoas avistaram o balão.
Uma estava a 1,8 km da posição vertical do balão
e o avistou sob um ângulo de 60°; a outra estava a
5,5 km da posição vertical do balão, alinhada com
a primeira, e no mesmo sentido, conforme se vê na
figura, e o avistou sob um ângulo de 30°.
Qual a altura aproximada em que se encontrava o
balão?
a) 1,8 km c) 3,1 km e) 5,5 km
b) 1,9 km d) 3,7 km
52. Uma escola recebeu do governo uma verba de
R$ 1 000,00 para enviar dois tipos de folhetos pelo
correio. O diretor da escola pesquisou que tipos de
selos deveriam ser utilizados. Concluiu que, para o
primeiro tipo de folheto, bastava um selo de R$ 0,65
enquanto para folhetos do segundo tipo seriam necessários
três selos, um de R$ 0,65, um de R$ 0,60 e
um de R$ 0,20. O diretor solicitou que se comprassem
selos de modo que fossem postados exatamente 500
folhetos do segundo tipo e uma quantidade restante
de selos que permitisse o envio do máximo possível
de folhetos do primeiro tipo.
Quantos selos de R$ 0,65 foram comprados?
a) 476 d) 965
b) 675
c) 923
e) 1 538
53. Acompanhando o crescimento do filho, um casal
constatou que, de 0 a 10 anos, a variação da sua
altura se dava de forma mais rápida do que dos 10
aos 17 anos e, a partir de 17 anos, essa variação
passava a ser cada vez menor, até se tornar imperceptível.
Para ilustrar essa situação, esse casal fez um
gráfico relacionando as alturas do filho nas idades
consideradas.
Que gráfico melhor representa a altura do filho desse
casal em função da idade?
a)
b)
c)
d)
e)
Altura (cm)
180
171
148
51
Altura (cm)
180
171
148
0 10 17
51
Altura (cm)
180
171
148
51
Altura (cm)
180
171
148
51
Altura (cm)
180
171
148
0 10 17
0 10 17
0 10 17
51
0 10 17
Idade (anos)
Idade (anos)
Idade (anos)
Idade (anos)
Idade (anos)

Matemática Volume Único
54. Em 2006, a produção mundial de etanol foi de 40
bilhões de litros e a de biodiesel, de 6,5 bilhões. Neste
mesmo ano, a produção brasileira de etanol correspondeu
a 43% da produção mundial, ao passo que
a produção dos Estados Unidos da América, usando
milho, foi de 45%.
Disponível em: www.planetasustentavel.abril.com.br.
Acesso em: 2 maio 2009.
Considerando que, em 2009, a produção mundial
de etanol seja a mesma de 2006 e que os Estados
Unidos produzirão somente a metade de sua produção
de 2006, para que o total produzido pelo Brasil
e pelos Estados Unidos continue correspondendo a
88% da produção mundial, o Brasil deve aumentar
sua produção em, aproximadamente,
a) 22,5%. d) 65,5%.
b) 50,0%.
c) 52,3%.
e) 77,5%.
55. Ronaldo é um garoto que adora brincar com números.
Numa dessas brincadeiras, ele empilhou caixas
numeradas de acordo com a sequência mostrada no
esquema a seguir.
1
1 2 1
1 2 3 2 1
1 2 3 4 3 2 1
...
Ele percebeu que a soma dos números em cada
linha tinha uma propriedade e que, por meio dessa
propriedade, era possível prever a soma de qualquer
linha posterior às já construídas.
A partir dessa propriedade, qual será a soma da 9ª linha
da sequência de caixas empilhadas por Ronaldo?
a) 9 c) 64 e) 285
b) 45 d) 81
56. Em canteiros de obras de construção civil é comum
perceber trabalhadores realizando medidas de comprimento
e de ângulos e fazendo demarcações por
onde a obra deve começar ou se erguer. Em um
desses canteiros foram feitas algumas marcas no chão
plano. Foi possível perceber que, das seis estacas colocadas,
três eram vértices de um triângulo retângulo
e as outras três eram os pontos médios dos lados
desse triângulo, conforme pode ser visto na figura,
em que as estacas foram indicadas por letras.
B
P
A
M
A região demarcada pelas estacas A, B, M e N deveria
ser calçada com concreto.
Nessas condições, a área a ser calçada corresponde
a) à mesma área do triângulo AMC.
b) à mesma área do triângulo BNC.
c) à metade da área formada pelo triângulo ABC.
d) ao dobro da área do triângulo MNC.
e) ao triplo da área do triângulo MNC.
57. A resistência elétrica e as dimensões
do condutor
A relação da resistência elétrica com as dimensões
do condutor foi estudada por um grupo de cientistas
por meio de vários experimentos de eletricidade. Eles
verificaram que existe proporcionalidade entre:
• resistência (R) e comprimento (,), dada a mesma
secção transversal (A),
• resistência (R) e área da secção transversal (A), dado
o mesmo comprimento (,) e
• comprimento (,) e área da secção transversal (A),
dada a mesma resistência (R).
Considerando os resistores como fios, pode-se
exemplificar o estudo das grandezas que influem na
resistência elétrica utilizando as figuras seguintes.
N
fio condutor
A resistência R
fios de mesmo material
fios de mesmo
material fios de mesmo material
A resistência R
A resistência R
A resistência R
A
resistência 2R
2
2A resistência
R
2
2A
C
resistência R
Disponível em: http://www.efeitojoule.com.
Acesso em: abr. 2010 (adaptado).
As figuras mostram que as proporcionalidades existentes
entre resistência (R) e comprimento (,), resistência
(R) e área da secção transversal (A), e entre
comprimento (,) e área da secção transversal (A) são,
respectivamente,
a) direta, direta e direta.
b) direta, direta e inversa.
c) direta, inversa e direta.
d) inversa, direta e direta.
e) inversa, direta e inversa.
2
107

Coletânea de testes do ENEM
58. Alguns testes de preferência por bebedouros de água
foram realizados com bovinos, envolvendo três tipos
de bebedouros, de formatos e tamanhos diferentes.
Os bebedouros 1 e 2 têm a forma de um tronco de
cone circular reto, de altura igual a 60 cm, e diâmetro
da base superior igual a 120 cm e 60 cm, respectivamente.
O bebedouro 3 é um semicilindro, com 30 cm
de altura, 100 cm de comprimento e 60 cm de largura.
Os três recipientes estão ilustrados na figura.
108
120 cm 60 cm
Bebedouro 1
100 cm
60 cm 60 cm
60 cm
Bebedouro 3
Bebedouro 2
30 cm
Considerando que nenhum dos recipientes tenha
tampa, qual das figuras a seguir representa uma
planificação para o bebedouro 3?
a) 100 cm
b)
60 cm
100 cm
c) 100 cm
60 cm
60 cm
d) 60 cm
e)
60 cm
60 cm
60 cm
100 cm
100 cm
59. No monte de Cerro Armazones, no deserto de Atacama,
ficará o maior telescópio da superfície terrestre, o
Telescópio Europeu Extremamente Grande (E-ELT). O
E-ELT terá um espelho primário de 42 m de diâmetro,
“o maior olho do mundo voltado para o céu”.
Disponível em: http://www.estadao.com.br.
Acesso em: 27 abr. 2010 (adaptado).
Ao ler esse texto em uma sala de aula, uma professora
fez uma suposição de que o diâmetro do olho
humano mede aproximadamente 2,1 cm.
Qual a razão entre o diâmetro aproximado do olho
humano, suposto pela professora, e o diâmetro do
espelho primário do telescópio citado?
a) 1 : 20 d) 1 : 1 000
b) 1 : 100
c) 1 : 200
e) 1 : 2 000
60. Uma empresa vende tanques de combustíveis de
formato cilíndrico, em três tamanhos, com medidas
indicadas nas figuras. O preço do tanque é diretamente
proporcional à medida da área da superfície
lateral do tanque. O dono de um posto de combustível
deseja encomendar um tanque com menor custo
por metro cúbico de capacidade de armazenamento.
4 m 4 m
6 m
6 m
(I)
8 m
(II)
8 m
(III)
Qual dos tanques deverá ser escolhido pelo dono do
posto? (Considere p > 3.)
a) I, pela relação área/capacidade de armazenamento
de 1
3 .
b) I, pela relação área/capacidade de armazenamento
de 4
3 .
c) II, pela relação área/capacidade de armazenamento
de 3
4 .
d) III, pela relação área/capacidade de armazenamento
de 2
3 .
e) III, pela relação área/capacidade de armazenamento
de 7
12 .
61. A ideia de usar rolos circulares para deslocar objetos
pesados provavelmente surgiu com os antigos egípcios
ao construírem as pirâmides.
BOLT, Brian. Atividades matemáticas. Ed. Gradiva.
Representando por R o raio da base dos rolos cilíndricos,
em metros, a expressão do deslocamento
horizontal y do bloco de pedra em função de R, após
o rolo ter dado uma volta completa sem deslizar, é
a) y 5 R. c) y 5 pR. e) y 5 4pR.
b) y 5 2R. d) y 5 2pR.

Matemática Volume Único
Coletânea de testes do ENEm
respostas
1. d
2. e
3. c
4. a
5. d
6. c
7. e
8. d
9. d
10. c
11. c
12. d
13. a
14. e
15. d
16. d
17. e
18. d
19. d
20. d
21. b
22. a
23. e
24. d
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