Curso de Dinâmica das Estruturas 1 I – INTRODUÇÃO1 O ... - IME

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4 Notas de Aula – Prof. Luiz A. C. Moniz de Aragão Filho • Influência da força gravitacional: () t + c ⋅ x& () t + k ⋅ x() t = p() t W m ⋅ x& & + FORÇA PESO: W = m ⋅ g DEFORMAÇÃO DA MOLA: DESLOCAMENTO TOTAL: FORÇAS ELÁSTICAS: ∆st = W / k x() t = x() t + ∆st fS () t = k ⋅ x() t + k ⋅ ∆st () t + c ⋅ x& () t + k ⋅ x() t + k ⋅ ∆ = p() t W m ⋅ x& & st + () t + c ⋅ x& () t + k ⋅ x() t p() t ⇒ m ⋅ x& & = A equação de movimento expressa em relação à posição do equilíbrio estático do sistema dinâmico não é afetada por forças gravitacionais. Logo, as flechas totais, tensões máximas, etc, serão obtidas pela adição das respostas estáticas aos resultados obtidos da análise dinâmica.
Curso de Dinâmica das Estruturas 5 II.1.2 – Vibrações Livres Não-Amortecidas • Equação de equilíbrio: VIBRAÇÕES LIVRES: p () t = 0 VIBRAÇÕES NÃO-AMORTECIDAS: c → 0 () t + k ⋅ x() t 0 m ⋅ x& & = k x & 2 () t + ⋅ x() t = 0 ⇒ x& & () t + ω ⋅ x() t = 0 onde m Substituindo na equação anterior: ⇒ x () t () t ⇒ x = A ⋅ e s 2 = A + ω 2 = 0 ⇒ s = ± iω 1 ⋅ e iωt st + A 2 ⋅ e −iωt 2 = ω Onde A 1 e A 2 são constantes de integração, dependendo dos valores iniciais de deslocamento x ( 0) e velocidade x& ( 0) . ⇒ iωt ⇒ x() t = A1 ⋅ e −iωt + A2 ⋅ e () t = A1 ⋅ ( cos ωt + i sen ωt ) + A ⋅ ( cos ωt − i sen ωt ) () t = cos ωt( A1 + A2 ) + sen ωt ⋅ i( A1 A2 ) () t = cos ωt ⋅ ( A ⋅ cos φ) + sen ωt ⋅ ( A ⋅ φ) () t = A ⋅ ( cos ωt ⋅ cos φ + sen ωt ⋅ φ) x 2 ⇒ x − ⇒ x sen ⇒ x sen () t = A ⋅ cos( ω − φ) ⇒ x t AMPLITUDE DO MOVIMENTO: = [ x( 0) ] ÂNGULO FASE: k m ( ) 2 0 A 2 ⎡ x& + ⎢ ⎣ ω ⎤ ⎥ ⎦ ( ) ( ) ⎥ ⎡ − x& 0 ⎤ φ = arctg⎢ ⎣ω ⋅ x 0 ⎦ O sistema realiza oscilação harmônica simples (OHS ou MHS) com frequência k ω = . m O termo ω é conhecido como frequência natural, pois, quando colocado em movimento através de condições iniciais não-nulas de deslocamento e/ou velocidade, livre de carregamentos e sem amortecimento, sempre oscilará com a mesma frequência ω.
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