Curso de Dinâmica das Estruturas 1 I – INTRODUÇÃO1 O ... - IME

Curso de Dinâmica das Estruturas 5
II.1.2 – Vibrações Livres Não-Amortecidas
• Equação de equilíbrio:
VIBRAÇÕES LIVRES: p () t = 0
VIBRAÇÕES NÃO-AMORTECIDAS: c → 0
() t + k ⋅ x()
t 0
m ⋅ x&
& =
k
x & 2
() t + ⋅ x()
t = 0 ⇒ x&
& () t + ω ⋅ x()
t = 0 onde
m
Substituindo na equação anterior:
⇒ x
() t
() t
⇒ x = A ⋅ e
s
2
= A
+ ω
2
= 0
⇒ s = ± iω
1
⋅ e
iωt
st
+ A
2
⋅ e
−iωt
2 =
ω
Onde A 1 e A 2 são constantes de integração, dependendo dos valores iniciais de
deslocamento x ( 0)
e velocidade x& ( 0)
.
⇒
iωt
⇒ x()
t = A1
⋅ e
−iωt
+ A2
⋅ e
() t = A1
⋅ ( cos ωt
+ i sen ωt
) + A ⋅ ( cos ωt
− i sen ωt
)
() t = cos ωt(
A1
+ A2
) + sen ωt
⋅ i(
A1
A2
)
() t = cos ωt
⋅ ( A ⋅ cos φ)
+ sen ωt
⋅ ( A ⋅ φ)
() t = A ⋅ ( cos ωt
⋅ cos φ + sen ωt
⋅ φ)
x 2
⇒ x −
⇒ x
sen
⇒ x
sen
() t = A ⋅ cos(
ω − φ)
⇒ x
t
AMPLITUDE DO MOVIMENTO: = [ x(
0)
]
ÂNGULO FASE:
k
m
( ) 2
0
A
2 ⎡ x&
+ ⎢
⎣ ω
⎤
⎥
⎦
( )
( ) ⎥ ⎡ − x&
0 ⎤
φ = arctg⎢
⎣ω
⋅ x 0 ⎦
O sistema realiza oscilação harmônica simples (OHS ou MHS) com frequência
k
ω = .
m
O termo ω é conhecido como frequência natural, pois, quando colocado em movimento
através de condições iniciais não-nulas de deslocamento e/ou velocidade, livre de
carregamentos e sem amortecimento, sempre oscilará com a mesma frequência ω.