Ementa de Matematica Financeira - Unemat

UNEMAT – Universidade do Estado de Mato Grosso
Matemática Financeira Prof. Eugênio Carlos Stieler
http://www2.unemat.br/eugenio Estudar sem raciocinar é trabalho 2009/1
TAXA INTERNA DE RETORNO
A taxa interna de retorno é a taxa que equaliza o valor presente de um ou mais pagamentos (saídas de
caixa) com o valor presente de um ou mais recebimentos (entradas de caixa). Como normalmente temos um
fluxo de caixa inicial (no momento “zero”) que representa o valor do investimento, ou do empréstimo ou do
financiamento, e diversos fluxos futuros de caixa representando os valores das receitas, ou das prestações,
a equação que nos dá a taxa interna de retorno (TIR) pode ser escrita como segue:
e de onde se deduz que:
O exemplo a seguir deixa claro esse conceito.
1. Determinar a taxa interna de retorno correspondente a um empréstimo de $ 1.000,00 a ser
liquidado em três pagamentos mensais de $ 300,00, $ 500,00 e $ 400,00. 0 fluxo de caixa
correspondente a essa operação, tomando-se como referência o doador de recursos, é
representado como segue:
A solução desse problema implica resolver a seguinte equação matemática:
em que i é denominado taxa interna de retorno. A solução dessa equação somente pode ser obtida pelo
processo iterativo, ou seja, por “tentativa e erro”. Assim, vamos admitir inicialmente uma taxa qualquer que
julgarmos próxima da taxa procurada. Digamos 6%. Com base nessa taxa, vamos calcular o valor presente
dos três pagamentos.
P =
FC
300,
00
+
n
0 = ∑
j=
1
FC
500,
00
1.
000
400,
00
1
2
( 1,
06)
( 1,
06)
( 1,
06)
j
j
( 1+
i)
+
FC1
=
( 1+
i)
=
300,
00
( ) ( ) ( ) 3
2
1
1 + i 1 + i 1 + i
3
=
1
FC
FC2
FCn
+ + ... + 2
n
( 1+
i)
( 1+
i)
0 − ∑
j=
+
n
1.
063,
86
FC
j
1 ( 1+
i)
j
500,
00
= 0
+
400,
00
Como o valor presente desses pagamentos é superior a $ 1.000,00, deduz-se logo que a TIR é maior
que 6%. Vejamos para 11%:
P
=
300,
00
+
500,
00
+
400,
00
1
2
( 1,
11)
( 1,
11)
( 1,
11)
3
=
968,
56
Portanto, a TIR é uma taxa situada entre 6% e 11%. A partir daqui, como ternos duas taxas de
referência, o mais indicado é utilizarmos o processo de interpolação linear, como segue:
Taxa Interna de Retorno 1

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(1.063,86 — 968,56): (6% — 11%)
(1.000,00 — 968,56): (x — 11%)
31,
44x(
−5%)
x − 11% =
= −1,
65
95,
30
em que x é a taxa interna de retorno procurada. A partir dai, podemos escrever:
x= 11% —1,65% = 9,35%
Vamos verificar o valor presente para essa taxa:
P =
300,
00
500,
00
1
2
( 1,
0935)
( 1,
0935)
( 1,
0935)
A taxa procurada é um pouco menor que essa. A solução é proceder à nova interpolação, tomando
como base à taxa anterior. Vejamos:
+
400,
00
968,
56
(998,42 — 968,56) : (9,35% — 11%)
(1.000,00 — 998,42) : (x — 9,35%)
1,58 x ( −1,65%)
x − 9,35% =
= − 0,09
29,86
x = 9,35% — 0,09% = 9,26%
E para essa taxa ternos o seguinte valor presente:
P
=
300,
00
+
500,
00
1
2
( 1,
0926)
( 1,
0926)
( 1,
0926)
+
+
400,
00
3
3
=
= 1.
000,
09
Rigorosamente, a taxa ainda não é essa. E pouco superior. Uma nova interpolação entre 9,26% e
9,35% nos dará 9,265% . E, calculando-se o valor presente dos três pagamentos, a essa taxa, obteremos o
valor de $ 999,99, ou seja, com uma diferença de apenas $ 0,01. Portanto, podemos aceitar essa taxa como
a taxa interna de retorno do nosso problema.
Vamos agora apresentar uma série de exemplos com as respectivas soluções. Embora as respostas
para cada um deles tenham sido obtidas através de calculadoras adequadas, vamos indicar ao leitor como a
solução pode ser matematicamente conseguida.
2. Uma dívida no valor de $ 3.000,00 deverá ser quitada no prazo de nove meses, em
prestações mensais, de acordo com o seguinte plano: a primeira de $ 400,00, a segunda $
790,00, três iguais de $ 620,00 cada uma a serem pagas do quarto ao sexto mês, e a última de
$ 880,00 a ser liquidada no final do nono mês, corno mostra o esquema a seguir. Determinar a
taxa mensal de juros cobrada nessa operação.
Taxa Interna de Retorno 2

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Solução:
3.
000,
00
=
400,
00
+
790,
00
1 ( 1 + i)
( 1 + i)
2
+ 620,
00
x
( )
( ) ( ) ( ) 9
3
3
3
1 + i −1
1
x +
1 + i x i 1 + i 1 + i
880,
00
Por tentativa e erro, utilizando-se interpolação linear como fizemos no primeiro exemplo, ou com o
auxilio de calculadoras adequadas, obtém-se = 5,94% (ou 5,94304% com cinco casas decimais).
Realmente, se calcularmos o valor presente das seis prestações mencionadas, á taxa de 5,94304% ao mês,
vamos obter o valor $ 3.000,00, o que comprova que essa taxa é a taxa interna de retorno da operação.
3. Um equipamento no valor de 70 milhões é integralmente financiado, para pagamento em
sete parcelas mensais; as três primeiras de 10 milhões, as duas seguintes de 15 milhões, a 6ª
de 20 milhões e a 7ª de 30 milhões. Determinar a taxa interna de retorno dessa operação.
Solução:
Com a utilização de uma calculadora adequada, ou por tentativa e erro, utilizando-se interpolação
linear como fizemos no primeiro exemplo, obtém-se ¡ = 10,40% ao mês (ou 10,39749% com cinco casas
decimais).
4. Um consumidor adquire um eletrodoméstico pelo sistema de crediário para pagamento em
seis prestações mensais de $ 735,70. Sabendo-se que o valor financiado foi de $ 2.450,00 e que
a primeira prestação será paga no final do 5º mês (4 meses de carência), determinar a taxa de
juros cobrada pela loja.
Solução:
70 = 10
x
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7
6
5
4
3
3
1 + i − 1 15 15 20 30
+ + + +
1 + i x i 1 + i 1 + i 1 + i 1 + i
Esquematicamente ternos o seguinte fluxo de caixa:
2.
450,
00
=
735,
70
x
( )
( ) ( ) 4
6
6
1 + i −1
1
x
1 + i x i 1 + i
Por tentativa e erro, ou com o auxilio de calculadora adequada, obtém-se 8,30%, que é a taxa mensal
de juros cobrada pela loja e que corresponde á taxa interna de retorno do fluxo de caixa representativo
dessa operação.
Taxa Interna de Retorno 3

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5. Um banco credita $ 180.530,00 na conta de um cliente, referente ao desconto de três
duplicatas de valores: $ 52.600,00, $ 63.400,00 e $ 93.570,00, com prazos de 42, 57 e 85 dias
respectivamente. Determinar a taxa mensal de juros cobrada nessa operação, calculada de
acordo com o regime de capitalização composta.
Solução:
Esquematicamente temos o seguinte fluxo de caixa:
180.
530,
00
=
52.
600,
00
+
63.
400,
00
93.
570,
00
( ) ( ) ( ) 85
57
42
1 + i 1 + i 1 + i
+
em que ¡, neste caso, é uma taxa diária. Por tentativa e erro, ou com o auxilio de calculadoras adequadas,
obtém-se ¡ = TIR = 0,22848%. Para se determinar à taxa mensal, fazer como segue:
i m = (1,0022848) 30 - 1 = 7,08640%
6. Uma debênture de valor nominal correspondente a $ 1.000,00 emitida no dia 10-03-83, paga
juros trimestralmente á razão de 2,874% (equivalente a 12% ao ano) mais correção
monetária. Sabendo-se que essa debênture foi emitida com dois anos de prazo, que os juros
são pagos no dia 10 dos meses de junho, setembro, dezembro e março de cada ano e que a
mesma foi negociada no dia 02-05-84 por $ 952,50 calcular a taxa efetiva anual dessa
transação.
Esquematicamente, temos o seguinte fluxo de caixa:
Soluçao:
222
131
39
28,
74
952,
50 =
1 + i
+
28,
74
1 + i
28,
74
+
1 + i
1.
028,
74
+
1 + i
( ) ( ) ( ) ( ) 312
Por tentativa e erro, utilizando-se interpolação linear, ou através de calculadoras, obtém-se ¡ = TIR =
0,05300%, que é uma taxa diária. Para se obter a anual, fazer:
I a = (1,00053) 360 —1 = 21,01562%
7. Os técnicos de uma empresa industrial estão analisando duas opções apresentadas para a
compra de uma máquina: uma, de valor equivalente a US$ 100.000 com vida útil prevista de
cinco anos, e outra, como dobro de capacidade da primeira, vida útil de dez anos e custo
Taxa Interna de Retorno 4

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correspondente a US$ 175.000, ambas com valor de revenda zero no fim do período de vida
útil. A menor tem capacidade para atender á produção prevista para os próximos cinco anos;
como a partir do 6º ano a produção deverá crescer substancialmente, a compra da menor hoje
implicará a necessidade de compra de duas do mesmo porte no final do 5º ano com custo
unitário idêntico ao atual. Comprando a menor, as receitas líquidas anuais geradas (já
descontados todos os custos, diretos e indiretos de fabricação, com exceção da depreciação)
para os próximos dez anos são estimadas em US$ 56.000 ao ano para os cinco primeiros anos,
US$ 70.000 para os dois seguintes e US$ 95.000 para os três últimos. Adquirindo a maior, as
receitas líquidas anuais estão estimadas em US$ 58.000 para os próximos dois anos, US$
65.000 para os três seguintes e US$ 95.000 para os cinco últimos. Determinar qual a melhor
opção.
Os diagramas representativos dos fluxos de caixa das duas hipóteses são os seguintes:
a) Máquina menor (em US$ 1.000)
b) Máquina maior (em US$ 1.000)
Solução: A opção a ser escolhida será aquela que apresentar a maior taxa interna de retorno.
a) TIR para a máquina de menor porte
= 55.000
5 ( 1 + i ) − 1 200.
− 5 ( 1 + i)
x i ( 1 + i)
Pelo processo de tentativa e erro (ou através de calculadoras adequadas) obtém-se ¡ = TIR = 42,42% ao
ano
b) TIR para a máquina de maior porte
2 ( 1 + i)
( 1 + i)
−1
3 ( 1 + i)
−1
1
x
3 ( 1 + i)
x i ( 1 + i)
( )
( ) ( ) 5
5
5
1 + i − 1 1
1 + i x i 1 + i
175. 000 = 58.000 x + 65.
000 x
+ 95.
000 x
x
2
2
x
i
000
+
2 ( 1 + i)
− 1 1
x 2 ( 1 + i)
x i ( 1 + i)
( )
( ) ( ) 7
3
3
1 + i − 1 1
1 + i x i 1 + i
100. 000
x
70.
000 x
95.
000 x
x
5
5
Resolvendo essa equação pelos processos mencionados, obtém-se i = TIR = 36,49% ao ano.
Portanto, como a TIR correspondente á opção a é maior do que a TIR referente á opção b, é mais
aconselhável a aquisição das máquinas de menor porte.
Taxa Interna de Retorno 5
+

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8. Uma casa usada foi adquirida no dia 14-11-81 por $ 4.338.000,00. Um mês após, o
proprietário pagou $ 85.000,00 pela reforma feita, alugando-a no mesmo dia por $ 40.000,00
mensais. O contrato firmado em 14-12-81 tinha dois anos de prazo, com reajustes anuais. Em
14-12-82 o aluguel foi reajustado para $ 80.000,00. No vencimento do contrato, em 14-12-83,
o inquilino resolveu sair da casa. O proprietário, então, empreendeu nova reforma no valor de $
950.000,00, que foi integralmente pago dois meses depois e colocou a casa á venda por $
36.000,000,00. Três meses após ela foi vendida por esse valor, em três parcelas: $
15.000.000,00 na assinatura da escritura (dia 14-05-84), $ 11.000.000,00 no dia 14-08-84 e $
10.000.000,00 no dia 14-11-84.Sabendo-se que a expectativa do proprietário era a de ganhar,
nesse empreendimento, pelo menos o rendimento médio da Caderneta de Poupança, no período
de novembro/81 a maio/84 (cerca de 8% ao mês), calcular:
a) a taxa efetiva de rendimento obtida pelo vendedor nesse empreendimento (TIR);
b) o valor pelo qual deveria ter sido vendida a vista, em 14-05-84, para que obtivesse uma taxa de
rendimento de 8% ao mês.
O fluxo de caixa correspondente a essa operação é representado esquematicamente como segue (em
$ 1.000):
Solução:
a) Taxa efetiva de rendimento obtida pelo vendedor (TIR)
Utilizando-se os critérios utilizados nos exercícios anteriores, vamos encontrar ¡ = TIR = 7,01%.
b) Valor pelo qual a casa deveria ter sido vendida a vista para que pudesse obter 8% ao mês
Para a solução desta questão é necessário desconsiderar os fluxos de $ 15.000, $ 11.000 e $ 10.000
mil correspondentes á venda da casa, e calcular o montante dos demais fluxos na data de 14-05-84. Vamos
considerar os valores dos aluguéis com o sinal negativo, no sentido de que estes representem amortizações
do investimento inicial.
Solução:
S = 4.338
( 1+
i)
30 ( 1,08)
+ 85(
1,08)
12 ( 1 + i)
−1
1
x
12 ( 1 + i)
x i ( 1 + i)
29
- 40
( , 08)
−1
0,08
12 ( 1 + i)
− 1 1 950 15.
000 11.
000 10.
x − + + +
12
13
27
30
33
( 1 + i)
x i ( 1 + i)
( 1 + i)
( 1 + i)
( 1 + i)
( 1 + i)
85
000
4. 338 = -
+ 40 x
+ 80 x
1
36
( 1 08 , )
( 1 08 , )
12
12
1 17
3
x x
x
x
=
− 1
0 08 ,
5 ( 1,08)
+ 950(
1,
08)
40.
601,
18
Portanto, para ganhar 8% ao mês nesse investimento, o proprietário teria de ter vendido a casa por
$40.601.180,00 a vista em 14-05-84.
Taxa Interna de Retorno 6
− 80