Ementa de Matematica Financeira - Unemat
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UNEMAT – Universida<strong>de</strong> do Estado <strong>de</strong> Mato Grosso<br />
Matemática <strong>Financeira</strong> Prof. Eugênio Carlos Stieler<br />
http://www2.unemat.br/eugenio Estudar sem raciocinar é trabalho perdido”<br />
DESCONTOS<br />
CONCEITO<br />
A chamada operação <strong>de</strong> <strong>de</strong>sconto normalmente é realizada quando se conhece o valor futuro <strong>de</strong> um título<br />
(valor nominal, valor <strong>de</strong> face ou valor <strong>de</strong> resgate) e se quer <strong>de</strong>terminar o seu valor atual. O <strong>de</strong>sconto <strong>de</strong>ve<br />
ser entendido como a diferença entre o valor <strong>de</strong> resgate <strong>de</strong> um título e o seu valor presente na data da<br />
operação, ou seja: D= VF - VP, em que D representa o valor monetário do <strong>de</strong>sconto, VF o seu valor futuro<br />
(valor assumido pelo título na data do seu vencimento) e VP o valor creditado ou pago ao seu titular. Assim<br />
como no caso dos juros, o valor do <strong>de</strong>sconto também está associado a uma taxa e a <strong>de</strong>terminado período<br />
<strong>de</strong> tempo.<br />
Embora seja freqüente a confusão entre juros e <strong>de</strong>scontos, trata-se <strong>de</strong> dois critérios distintos, claramente<br />
caracterizados. Assim, enquanto no cálculo dos juros a taxa referente ao período da operação inci<strong>de</strong> sobre o<br />
capital inicial ou valor presente, no <strong>de</strong>sconto à taxa do período inci<strong>de</strong> sobre o seu montante ou valor futuro.<br />
De maneira análoga aos juros, os <strong>de</strong>scontos são também classificados em simples e composto, envolvendo<br />
cálculos lineares no caso do <strong>de</strong>sconto simples e exponenciais no caso do <strong>de</strong>sconto composto.<br />
DESCONTO SIMPLES (OU BANCÁRIO OU COMERCIAL)<br />
Desconto simples é aquele em que a taxa <strong>de</strong> <strong>de</strong>sconto inci<strong>de</strong> sempre sobre o montante ou valor futuro. É<br />
utilizado no Brasil <strong>de</strong> maneira ampla e generalizada, principalmente nas chamadas operações <strong>de</strong> “<strong>de</strong>sconto<br />
<strong>de</strong> duplicatas” realizadas pelos bancos, sendo, por essa razão, também conhecido por <strong>de</strong>sconto bancário ou<br />
comercial. É obtido multiplicando-se o valor <strong>de</strong> resgate do título pela taxa <strong>de</strong> <strong>de</strong>sconto e pelo prazo a<br />
<strong>de</strong>correr até o seu vencimento, ou seja:<br />
D=VF.d.n<br />
em que d representa a taxa <strong>de</strong> <strong>de</strong>sconto e n o prazo. E para se obter o valor presente, também chamado <strong>de</strong><br />
valor <strong>de</strong>scontado, basta subtrair o valor do <strong>de</strong>sconto do valor futuro do título, como segue:<br />
VP = VF - D<br />
Exemplos:<br />
1. Qual o valor do <strong>de</strong>sconto simples <strong>de</strong> um título <strong>de</strong> $ 2.000,00, com vencimento para 90 dias, á taxa <strong>de</strong><br />
2,5% ao mês?<br />
Dados:<br />
VF = 2.000,00<br />
n = 90 dias = 3 meses<br />
d = 2,5% ao mês<br />
D=?<br />
Solução:<br />
D=S.d.n<br />
D = 2.000,00 x 0,025 x 3 = 150,00<br />
2. Qual a taxa mensal <strong>de</strong> <strong>de</strong>sconto utilizada numa operação a 120 dias, cujo valor <strong>de</strong> resgate é <strong>de</strong> $<br />
1.000,00 e cujo valor atual é <strong>de</strong> R$ 880,00?<br />
Dados:<br />
VF = 1.000,00<br />
VP = 880,00<br />
n = 120 dias = 4 meses<br />
d=?<br />
Solução:<br />
Desconto Simples Pág.1
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3. Uma duplicata no valor <strong>de</strong> $ 6.800,00 é <strong>de</strong>scontada por um banco, gerando um crédito <strong>de</strong> $ 6.000,00 na<br />
conta do cliente. Sabendo-se que a taxa cobrada pelo banco é <strong>de</strong> 3,2% ao mês, <strong>de</strong>terminar o prazo <strong>de</strong><br />
vencimento da duplicata.<br />
Dados:<br />
VF =<br />
VP =<br />
d =<br />
n =<br />
4. Calcular o valor líquido creditado na conta <strong>de</strong> um cliente, correspon<strong>de</strong>nte ao <strong>de</strong>sconto <strong>de</strong> uma duplicata<br />
no valor $ 34.000,00, com prazo <strong>de</strong> 41 dias, sabendo-se que o Banco está cobrando nessa operação uma<br />
taxa <strong>de</strong> <strong>de</strong>sconto <strong>de</strong> 4,7% ao mês.<br />
5. O <strong>de</strong>sconto <strong>de</strong> uma duplicata gerou um crédito <strong>de</strong> $ 70.190,00 na conta <strong>de</strong> uma empresa. Sabendo-se<br />
que esse título tem um prazo a <strong>de</strong>correr <strong>de</strong> 37 dias até o seu vencimento e que o Banco cobra uma taxa <strong>de</strong><br />
<strong>de</strong>sconto <strong>de</strong> 5,2% ao mês nessa operação, calcular o valor da duplicata.<br />
6. No caso do exemplo anterior, calcular a taxa mensal <strong>de</strong> juros correspon<strong>de</strong>nte àquela operação, <strong>de</strong> acordo<br />
com o critério <strong>de</strong> juros compostos.<br />
A solução po<strong>de</strong> ser obtida a partir da fórmula do montante S= P (1+¡) n . Como a taxa informada é mensal e<br />
o prazo é dado em número <strong>de</strong> dias, basta dividir este por 30 para expressá-lo em número <strong>de</strong> meses e assim<br />
compatibilizar as duas variáveis. Substituindo na equação do montante, ternos:<br />
Desconto Simples Pág.2
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Cálculo do Valor do Desconto Simples para Séries <strong>de</strong> Títulos <strong>de</strong> Mesmo Valor<br />
Vamos admitir que sejam apresentados a um banco 5 títulos, no valor <strong>de</strong> $ 1.000,00 cada um, com<br />
vencimentos <strong>de</strong> 30 a 150 dias (<strong>de</strong> 1 a 5 meses) respectivamente, para serem <strong>de</strong>scontados. Sabendo-se que<br />
a taxa <strong>de</strong> <strong>de</strong>sconto cobrada pelo banco é <strong>de</strong> 3% ao mês, calcular o valor do <strong>de</strong>sconto global e o valor líquido<br />
correspon<strong>de</strong>nte a ser creditado na conta do cliente. As novas variáveis serão representadas pelos seguintes<br />
símbolos:<br />
DT = valor do <strong>de</strong>sconto total = D1 + D2 + ... + Dn<br />
N = número <strong>de</strong> títulos (ou prestações)<br />
PT= valor líquido total dos títulos = N x S - DT<br />
Obtenção do <strong>de</strong>sconto global, a partir do cálculo individual, para cada título.<br />
Sendo D = S.d.n, tem - se que:<br />
D1 = 1.000,00 x 0,03 x 1 = 30,00<br />
D2 = 1.000,00 x 0,03 x 2 = 60,00<br />
D3 = 1.000,00 x 0,03 x 3 = 90,00<br />
D4 = 1.000,00 x 0,03 x 4 = 120,00<br />
D5 = 1.000,00 x 0,03 x 5 = 150,00<br />
DT= 30,00 + 60,00 + 90,00 + 120,00 + 150,00 = 450,00<br />
Dedução <strong>de</strong> uma fórmula que possibilita obter o <strong>de</strong>sconto total <strong>de</strong> forma simplificada.<br />
Com base no <strong>de</strong>senvolvimento feito no item anterior, po<strong>de</strong>mos escrever:<br />
DT = D1 + D2 + D3 + D4 + D5<br />
DT =1.000 x 0,03 x 1 + 1.000 x 0,03 x 2 + 1.000 x 0,03 x 3 + 1.000 x 0,03 x 4 + 1.000 x 0,03 x 5<br />
DT= (1.000, x 0,03) x (1+2+3+4+5)<br />
Aplicando-se a fórmula que dá a soma <strong>de</strong> uma progressão aritmética:<br />
(t1<br />
+ t n)<br />
× N<br />
SPA<br />
=<br />
2<br />
em que t1 representa o prazo do título que vence primeiro, tn o prazo do título que vence por último e N o<br />
número <strong>de</strong> títulos, ternos:<br />
D T<br />
DT= 1.000,00 x 0,03 x 15 = 450,00.<br />
D<br />
(1 + 5) × 5<br />
=<br />
1.000×<br />
0,03×<br />
2<br />
T<br />
(t1<br />
+ tn)<br />
× N<br />
= VF × d×<br />
2<br />
(1)<br />
O valor líquido creditado na conta do cliente seria:<br />
P = S x N - DT = 1.000,00 x 5 - 450,00 = 4.550,00<br />
Substituindo na expressão (1) cada número pelo seu símbolo correspon<strong>de</strong>nte, ternos:<br />
t1 t n<br />
2<br />
+<br />
ou<br />
D<br />
T<br />
t1<br />
+ tn<br />
= VF×<br />
N×<br />
d×<br />
2<br />
em que a expressão representa o prazo médio dos títulos <strong>de</strong>scontados.<br />
Essa fórmula somente é válida para <strong>de</strong>sconto <strong>de</strong> séries <strong>de</strong> títulos ou <strong>de</strong> prestações com valores iguais <strong>de</strong><br />
vencimentos sucessivos e <strong>de</strong> periodicida<strong>de</strong> constante a partir do primeiro vencimento. Quando os<br />
vencimentos ocorrem no final dos períodos unitários, a partir do primeiro, a fórmula para <strong>de</strong>terminar o<br />
<strong>de</strong>sconto total <strong>de</strong> uma série <strong>de</strong> títulos po<strong>de</strong> ser escrita como segue:<br />
Desconto Simples Pág.3
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D<br />
T<br />
1+<br />
t<br />
= S×<br />
N×<br />
d×<br />
2<br />
n<br />
em que tn, que representa o prazo expresso em número <strong>de</strong> períodos unitários (mês, bimestre, ano etc.)<br />
referente ao título que vence por último, será sempre igual ao número <strong>de</strong> títulos N.<br />
É importante lembrar que o período unitário da taxa <strong>de</strong>ve estar sempre coerente com o período unitário do<br />
prazo, isto é, se na fórmula <strong>de</strong> cálculo os prazos forem representados em meses, trimestres ou anos, a taxa<br />
<strong>de</strong> <strong>de</strong>sconto também <strong>de</strong>ve ser representada em termos <strong>de</strong> taxa mensal, trimestral ou anual,<br />
respectivamente.<br />
Exemplos:<br />
7. Calcular o valor líquido correspon<strong>de</strong>nte ao <strong>de</strong>sconto bancário <strong>de</strong> 12 títulos, no valor <strong>de</strong> $ 1.680,00 cada<br />
um, vencíveis <strong>de</strong> 30 a 360 dias, respectivamente, sendo a taxa <strong>de</strong> <strong>de</strong>sconto cobrada pelo banco <strong>de</strong> 2,5% ao<br />
mês.<br />
Dados: VF = 1.680,00<br />
N = t n = 12<br />
d = 2,5%<br />
PT = ?<br />
8. Quatro duplicatas, no valor <strong>de</strong> $ 32.500,00 cada uma, com vencimentos para 90, 120, 150 e 180 dias,<br />
são apresentadas para <strong>de</strong>sconto. Sabendo-se que a taxa <strong>de</strong> <strong>de</strong>sconto cobrada pelo banco é <strong>de</strong> 3,45% ao<br />
mês, calcular o valor do <strong>de</strong>sconto.<br />
Dados:<br />
VF = 32.500,00<br />
N = 4<br />
d = 3,45% ao mês<br />
t1 = 90 dias = 3 meses<br />
tn = 180 dias = 6 meses<br />
DT = ?<br />
9. Uma empresa apresenta nove títulos <strong>de</strong> mesmo valor para serem <strong>de</strong>scontados em um banco. Sabendo-se<br />
que a taxa <strong>de</strong> <strong>de</strong>sconto é <strong>de</strong> 2,8% ao mês, que os títulos vencem <strong>de</strong> 30 em 30 dias, a partir da data <strong>de</strong><br />
entrega do bor<strong>de</strong>rô, e que o valor líquido creditado a empresa foi <strong>de</strong> $ 25.000,00, calcular o valor <strong>de</strong> cada<br />
título.<br />
Dados:<br />
PT = 25.000,00<br />
N = t n =9<br />
d = 2,8%<br />
S =?<br />
Desconto Simples Pág.4
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10. Um consumidor <strong>de</strong>seja liquidar antecipadamente 6 prestações restantes <strong>de</strong> um financiamento obtido para<br />
a compra <strong>de</strong> um bem. Sabendo-se que o valor <strong>de</strong> cada prestação é <strong>de</strong> $ 30.000,00; que a primeira<br />
prestação vence a 30 dias <strong>de</strong> hoje e a última a 180 dias, e que o <strong>de</strong>sconto dado pelo credor é <strong>de</strong> 1% ao mês<br />
(<strong>de</strong>sconto simples ou bancário), calcular o valor a ser pago pelo financiado para liquidar o contrato.<br />
Dados:<br />
VF = 30.000,00<br />
N =t n = 6<br />
d = 1%<br />
PT = ?<br />
11. Oito títulos, no valor <strong>de</strong> $ 1.000,00 cada um, são <strong>de</strong>scontados por um banco, cujo líquido<br />
correspon<strong>de</strong>nte, no valor <strong>de</strong> $ 6.830,00, é creditado na conta do cliente. Sabendo-se que os vencimentos<br />
<strong>de</strong>sses títulos são mensais e sucessivos a partir <strong>de</strong> 30 dias, calcular a taxa <strong>de</strong> <strong>de</strong>sconto.<br />
Dados:<br />
VF = 1.000,00<br />
PT = 6.830,00<br />
N =tn = 8<br />
d = ?<br />
Exercícios<br />
1. Uma duplicata <strong>de</strong> $ 70.000,00, com 90 dias a <strong>de</strong>correr até o seu vencimento foi <strong>de</strong>scontada<br />
por um banco a taxa <strong>de</strong> 2,70% ao mês Calcular o valor líquido entregue ou creditado ao cliente.<br />
Resposta: 64 330,00<br />
2. Calcular o valor do <strong>de</strong>sconto <strong>de</strong> um título <strong>de</strong> $ 100 000,00, com 115 dias a vencer, sabendo se<br />
que a taxa <strong>de</strong> <strong>de</strong>sconto é <strong>de</strong> 3% ao mês.<br />
Resposta: 11.500,00<br />
3. Sabendo se que o <strong>de</strong>sconto <strong>de</strong> uma duplicata no valor <strong>de</strong> $ 25 000.00, com 150 dias a vencer,<br />
gerou um crédito <strong>de</strong> $ 22.075,06 na conta do cliente. Determinar a taxa mensal <strong>de</strong> <strong>de</strong>sconto.<br />
Resposta: 2.34%<br />
4. Um título <strong>de</strong> $ 140 000,00 foi <strong>de</strong>scontado a 33% ao ano, 5 meses antes do seu vencimento.<br />
Determinar o valor líquido entregue ao seu portador<br />
Resposta: 120.750,00<br />
5. Determinar o valor nominal ou <strong>de</strong> face <strong>de</strong> um título, com 144 dias para o seu vencimento, que<br />
<strong>de</strong>scontado á taxa <strong>de</strong> 48% ao ano proporcionou um valor atual (valor líquido creditado) <strong>de</strong> $<br />
38.784.00.<br />
Resposta: 48.000.00.<br />
6. Sendo <strong>de</strong> $ 3419,44 o valor do <strong>de</strong>sconto uma duplicata, <strong>de</strong>scontada a taxa <strong>de</strong> 3,55% ao mês,<br />
120 dias antes do seu vencimento. Calcular o valor creditado na conta do cliente.<br />
Resposta: 20.661,12<br />
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7. Determinar quantos dias faltam para o vencimento <strong>de</strong> uma duplicata, no valor <strong>de</strong> $ 9.800,00,<br />
que sofreu um <strong>de</strong>sconto <strong>de</strong> $ 548,50, á taxa <strong>de</strong> 32% ao ano<br />
Resposta: 63 dias.<br />
8. Uma empresa <strong>de</strong>sconta uma duplicata no valor <strong>de</strong> $ 44.000,00 e com 60 dias <strong>de</strong> prazo até o<br />
vencimento. Sabendo-se que o banco cobra uma taxa <strong>de</strong> <strong>de</strong>sconto <strong>de</strong> 5,3% ao mês, calcular o<br />
valor creditado na conta <strong>de</strong>ssa empresa e a taxa efetiva <strong>de</strong> juros, calculada <strong>de</strong> acordo com o<br />
regime <strong>de</strong> capitalização composta, cobrada nessa operação.<br />
Respostas: 39.336,00<br />
5,76% ao mês.<br />
9. Que taxa <strong>de</strong> <strong>de</strong>sconto ao mês <strong>de</strong>ve ser cobrada numa operação com prazo <strong>de</strong> 90 dias, que<br />
resulte numa taxa efetiva <strong>de</strong> juros <strong>de</strong> 7,1% ao mês, calculada com base no regime <strong>de</strong><br />
capitalização composta?<br />
Resposta: 6,2% ao mês.<br />
10. Uma pessoa obteve um financiamento para ser quitado em 18 prestações mensais, iguais e<br />
consecutivas <strong>de</strong> $ 9.470,00. No dia do vencimento da 10ª prestação, após ter pago esta, o<br />
financiado propõe à financeira a quitação, nesta data, das 8 prestações restantes. Sabendo se que<br />
essa <strong>Financeira</strong> conce<strong>de</strong> um <strong>de</strong>sconto <strong>de</strong> 3,4% ao mês para pagamentos antecipados, calcular o<br />
valor do <strong>de</strong>sconto total concedido.<br />
Resposta: 11.591,28<br />
11. Uma empresa apresenta a um banco, para <strong>de</strong>sconto, quatro duplicatas no valor <strong>de</strong> $<br />
32.600,00 cada uma, com vencimentos para 60, 120, 180 e 240 dias. Calcular o valor líquido<br />
creditado pelo banco na conta da empresa, sabendo-se que a taxa <strong>de</strong> <strong>de</strong>sconto cobrada é <strong>de</strong><br />
2,4% ao mês.<br />
Resposta: 114.752,00.<br />
12. Determinar o número <strong>de</strong> títulos com vencimentos sucessivos <strong>de</strong> 30 em 30 dias, <strong>de</strong>scontados à<br />
taxa <strong>de</strong> 3,3% ao mês, sabendo-se que todos são <strong>de</strong> mesmo valor, igual a $13.000,00 cada um, e<br />
cujo <strong>de</strong>sconto total é <strong>de</strong> $12.012,00.<br />
Resposta: 7 títulos.<br />
13. Determinar a que taxa <strong>de</strong>vem ser <strong>de</strong>scontados três títulos, no valor <strong>de</strong> $ 6.000,00 cada um,<br />
com vencimento para 30, 60 e 90 dias, para que se tenha um valor atual, global, <strong>de</strong> $ 16.524,00<br />
Resposta: 4,1% ao mês<br />
Desconto Simples Pág.6