aprendizagens de professoras num grupo de estudos sobre ... - PPGE

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO
CENTRO DE EDUCAÇÃO
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO
SANDRA APARECIDA FRAGA DA SILVA
APRENDIZAGENS DE PROFESSORAS
NUM GRUPO DE ESTUDOS SOBRE
MATEMÁTICA NAS SÉRIES INICIAIS
VITÓRIA
2009

SANDRA APARECIDA FRAGA DA SILVA
APRENDIZAGENS DE PROFESSORAS
NUM GRUPO DE ESTUDOS SOBRE
MATEMÁTICA NAS SÉRIES INICIAIS
VITÓRIA
2009
Tese apresentada ao Programa de
Pós-Graduação em Educação do
Centro de Educação da Universidade
Federal do Espírito Santo, como
requisito para obtenção do título de
doutora em Educação na Linha de
Educação e Linguagens (Linguagem
Matemática).
Orientação: Profª. Drª. Ligia Arantes
Sad.
Co-orientação: Profª. Drª. Vânia Maria
Pereira dos Santos-Wagner.

Dados Internacionais de Catalogação-na-publicação (CIP)
(Biblioteca Central da Universidade Federal do Espírito Santo, ES, Brasil)
Silva, Sandra Aparecida Fraga da, 1976-
S586a Aprendizagens de professoras num grupo de estudos sobre
matemática nas séries iniciais / Sandra Aparecida Fraga da Silva.
– 2009.
364 f. : il.
Orientadora: Lígia Arantes Sad.
Co-Orientadora: Vânia Maria Pereira dos Santos-Wagner.
Tese (doutorado) – Universidade Federal do Espírito Santo,
Centro de Educação.
1. Matemática (Ensino fundamental). 2. Professores -
Formação. 3. Estudos em grupo. 4. Conhecimento e
aprendizagem. 5. Metacognição. 6. Emoções e cognição. I. Sad,
Lígia Arantes. II. Santos-Wagner, Vânia Maria Pereira dos. III.
Universidade Federal do Espírito Santo. Centro de Educação. IV.
Título.
CDU: 37

A minha família:
a meu Eterno amor Jonas;
as minhas bênçãos de Deus: Matheus e Maiara;
e a meus pais: Ruth e Adenir.
Às professoras participantes do grupo.

Agradecimentos
Eis o caminho... Era preciso caminhar... Embora soubéssemos que, em muitos
momentos, o caminhar dependia de nós, pudemos partilhá-lo com outras
pessoas, envolvidas emocional e institucionalmente. A todas elas o nosso
agradecimento.
Em todos os momentos, agradecemos, primeiramente, a Deus pela vida
concedida e cuidada a cada dia ensolarado ou nublado, mas cedido para
caminhar.
O caminho foi longo, minha gratidão à minha família. Em especial, aos meus
pais por me apoiarem durante todo o caminhar e a vislumbrar cada passo,
tendo paciência e confiança de que caminhar juntos vale à pena. Também
agradeço à minha irmã Simone, pelo companheirismo.
Durante o caminho, conhecemos outros companheiros, as professoras Beatriz
e Susana, a elas agradeço pela intensa participação e confiança que
colocaram em nós, ao trilhar conosco este caminho, não se importando com as
pedras e obstáculos, mas apreciando e vislumbrando flores e frutos. E por
todos os seus alunos, que dividiram grandes momentos, ensinando-nos a
visualizar novas oportunidades. E às escolas que nos permitiram interagir com
essas professoras e alunos.
Agradecemos às professoras Vânia e Lucia, por acreditarem que peregrinar
conosco era produtivo. A Vânia, como participante e co-orientadora, por
acreditar que, caminhar junto com professores, poderia trazer bons frutos. A
Lucia, por confiar que poderia aprender e compartilhar saberes.
Às minhas orientadoras Ligia e Vânia, por contribuírem na condução e
produção deste estudo, mostrando-me caminhos possíveis.
Quando caminhamos, paralelamente, algumas pessoas vivenciam nossas
vitórias e derrotas, mesmo que de camarote, essas são chamados amigos.
Agradeço-lhes pelo companheirismo ao longo deste processo.

Não caminhamos sozinhos, somos acompanhados por pessoas que entram na
nossa vida por acaso, mas permanecem por outras razões. Agradeço aos
amigos e colegas, do mestrado e doutorado do PPGE/ UFES, pelas
aprendizagens partilhadas. Em especial, aos amigos do grupo de estudos mais
amplo, no qual vivenciamos, paralelamente à nossa investigação.
Especialmente, a convivência e a partilha de conhecimentos com Laudiceia,
Leandra, Welington, Jailson, Rose, Messenas e Isabel.
Temos outros caminhos, nos quais colocamos em prática algumas coisas
aprendidas em grupo. Agradecemos à escola e à faculdade na qual
trabalhamos, inclusive aos profissionais que atuam nesses espaços. Também
agradecemos aos nossos alunos e ex-alunos que nos ensinaram muito.
Às professoras Adair, Jane e Denise por todas as contribuições, dedicação ao
analisar e comentar nosso trabalho. Cada qual com seu olhar, enriquecendo
nosso trabalho com as diferentes visões.
À professora Circe pelas contribuições, ensinamentos e motivações a
reflexões. E à professora Maria Nader, pelas aprendizagens que foram além
das correções. Tenham certeza, aprendi muitas coisas que ficarão para
sempre.
Em especial, pelas pessoas que ficaram ao nosso lado, desde o início,
compartilhando todos os momentos. Alegrando-se com nossas vitórias,
ajudando-nos e amparando-nos nas nossas derrotas, tendo paciência e
compreensão nas horas de recolhimento e, de certa forma, abandono por
causa dos estudos. Essas pessoas são: meu esposo Jonas, grande
companheiro e amor de minha vida. E aos meus presentes de Deus: meu filho
Matheus, um adolescente abençoado e cheio de contribuições, de todos os
tipos; e a minha princesa, que chegou durante a reta final deste caminhar,
minha pequena Maiara, nascida em outubro de 2009.
Olhando o caminhar, posso vislumbrar pedaços de cada um de vocês, carrego
comigo um pouco dos outros que se fizeram presentes durante esse percurso,
sou aquilo que construímos juntos. Por isso, muito obrigada.

Debaixo do céu há momento pra tudo,
e tempo certo para cada coisa:
Tempo para nascer e tempo para morrer.
Tempo para plantar e tempo para arrancar a planta.
Tempo para matar e tempo para curar.
Tempo para destruir e tempo para construir.
Tempo para chorar e tempo para rir.
Tempo para gemer e tempo para bailar.
Tempo para atirar pedras e tempo para recolher pedras.
Tempo para abraçar e tempo para se separar.
Tempo para procurar e tempo para perder.
Tempo para guardar e tempo para jogar fora.
Tempo para rasgar e tempo para costurar.
Tempo para calar e tempo para falar.
Tempo para amar e tempo para odiar.
Tempo para a guerra e tempo para a paz.
Ecl 3, 1 - 8

LISTA DE FIGURAS
Figura 1 – Esquema para a definição do foco da pesquisa 25
Figura 2 – Esquema das perguntas da pesquisa 27
Figura 3 – Esquema das inter-relações entre perguntas e objetivos da pesquisa 29
Figura 4 - Diagrama de temas 97
Figura 5: Esquema 1 - Elaborado em 01/10/08 e reestruturado em 22/01/09. 101
Figura 6: Esquema 2 – elaborado em 09/12/08 102
Figura 7 – Monstro da matemática desenhado por aluno de Beatriz em 2007 147
Figura 8 – Retirado de uma folha xerocada trabalhada pela professora em 16/05/08 183
Figura 9 – Exemplo de questão da prova de Beatriz que envolve escrita – aluno A 193
Figura 10 – Questão da prova sobre elaboração de problemas – resposta aluno C 194
Figura 11 – Parte da prova da professora Beatriz sobre figuras geométricas 216
Figura 12 – Desenhos de figuras com três lados que não são triângulos 217
Figura 13 – Desenhos de figuras com três segmentos de retas sem ser triângulos 218
Figura 14 – Desenhos de triângulos e não triângulos 218
Figura 15 – Desenhos de triângulos que não possuem os segmentos do mesmo tamanho. 218
Figura 16 – Desenho de polígono de quatro lados que não é quadrado. 219
Figura 17 – Desenho de polígono com quatro lados iguais e que não representa quadrado. 219
Figura 18 – Desenho de polígono com quatro lados iguais e segmentos opostos paralelos. 220
Figura 19 – Desenho de quadrados 220
Figura 20 – Geoplano com construções da professora Susana 222
Figura 21 – Quadro com desenhos e definição de polígono 227
Figura 22 – Alunos fazendo as planificações em 03/set/07 230
Figura 24 – Planificações dos alunos da professora Susana de paralelepípedos 230
Figura 25 - Planificações dos alunos da professora Susana de paralelepípedos e cubo 231
Figura 26 - Planificação de aluno da professora Susana de um cilindro 232
Figura 27 – Construções de pirâmides com canudinhos 239
Figura 29 – Atividade em grupo em forma de jogo sobre geometria 242
Figura 30 – Alunos tentando utilizar diferentes sentidos para descobrir forma geométrica 243
Figura 31 – Oficina sobre sólidos geométricos – turma da professora Susana 2008 244
Figura 33 – Caixa para representar a vista e alunos desenhando 246
Figura 34 – Professora Vânia conversando com o aluno sobre seu campo de visão. 247
Figura 35 – Alunos explicando o que desenharam a partir da visualização da caixa. 247
Figura 36 – Pirâmides construídas pelos alunos e delimitação de outros sólidos com pirâmides. 249
Figura 37 – Alunos realizando registros escritos sobre o que trabalharam na aula do dia 11/04/08. 250
Figura 38 – Registro escrito do grupo A de alunos sobre a aula de 11/04/08 251
Figura 39 - Registro escrito do grupo B de alunos sobre a aula de 11/04/08 251
Figura 40 - Registro escrito do grupo C de alunos sobre a aula de 11/04/08 252
Figura 41 - Registro escrito do grupo D de alunos sobre a aula de 11/04/08 252
Figura 42 - Registro escrito do grupo E de alunos sobre a aula de 11/04/08 253
Figura 43 – Quadro com desenhos e definição de prismas 255
Figura 44 – Alunos realizando registros em seus cadernos 256
Figura 45 – Trabalho sobre diagonais: abordagem profª Vânia e caderno com anotações 257
Figura 47 – Cartazes de boas vindas, respectivamente, das salas de Beatriz e Susana 283

LISTA DE QUADROS
Quadro 1- Exemplos de adição e de subtração relacionados à ideia de juntar 71
Quadro 2 - Exemplos de adição e de subtração relacionados à ideia de transformar 71
Quadro 3 - Exemplos de adição e de subtração relacionados à ideia de igualização 71
Quadro 4 - Exemplos de adição e de subtração relacionados à ideia de comparação 72
Quadro 5 - Exemplos de adição e de subtração com mais de uma ideia de transformação 72
Quadro 6 – Exemplos de multiplicação e de divisão relacionados com ideia de grupos equivalentes 75
Quadro 7 - Exemplos de multiplicação e de divisão relacionados com a ideia de multiplicação
comparativa 75
Quadro 8 – Exemplos de multiplicação e de divisão relacionados com a ideia de proporção 75
Quadro 9 - Exemplos de multiplicação e de divisão relacionados com a ideia representação retangular
76
Quadro 10 - Exemplos de multiplicação e de divisão relacionados com a ideia de combinatória 76
Quadro 11: Perguntas, objetivos e instrumentos: elaborados em 18/09/08 e atualizado em 26/09/08
100
Quadro 12 – Metáfora comparando matemática com um animal para a professora (18/set/06) 141
Quadro 13 - Metáfora comparando matemática com um animal para os alunos (18/set/06) 143
Quadro 14 – Metáforas comparando matemática com um animal e com o que nunca seria.
(18/dez/06) 144
Quadro 15 – Respostas da metáfora entre ensino de matemática e outras profissões 152
Quadro 16 – Respostas das professoras sobre a questão: Aprender matemática é como... porque... 157
Quadro 17 – Texto coletivo escrito pelos alunos de Beatriz sobre pirâmides 253
Quadro 18 – Poesia sobre geometria escrita pelos alunos de Beatriz na 3ª série em 2007. 262
Quadro 19 – Detalhamento dos encontros do grupo 349
Quadro 20: Apresentação das aulas vivenciadas com a professora Beatriz 359
Quadro 21: Apresentação das aulas vivenciadas com a professora Susana 362

LISTA DE TABELAS
Tabela 1- Número de encontros realizados pelo grupo 133
Tabela 2: Número de aulas vivenciadas com as professora Susana e Beatriz 134
Tabela 3 – Quadro resumo da participação de cada professora no grupo de estudos 135

SUMÁRIO
CAPÍTULO I: 16
1 INTRODUÇÃO: O ESTUDO E SEUS APONTAMENTOS 16
1.1 Mapeando e traçando percursos 18
1.2 Problemática da pesquisa 22
1.3 Apresentação da estrutura do trabalho 30
CAPÍTULO II: 32
2 A TEORIA: JANELAS QUE SE ABREM 32
2.1 Janelas entreabertas: aprendizagem docente 33
2.1.1 Ensino e aprendizagem 34
2.1.2 A reflexão crítica abrindo horizontes para aprendizagens de professores 42
2.1.3 Tomada de consciência e metacognição: janelas para dentro de si mesmo 47
2.1.4 Conhecimentos de professores: diferentes janelas 50
2.2 Ensino, aprendizagem e avaliação de conteúdos matemát icos: construindo
possibilidades 53
2.2.1 Geometria: janela descoberta 54
2.2.2 Resolução de problemas envolvendo as quatro operações: olhando
diferentemente por essa janela 60
2.2.3 Avaliação de conteúdos matemáticos 76
2.3 Formação de professores que ensinam matemática: janelas fechadas ou abertas? 79
2.4 Aspectos afetivos e aprendizagem docente 85
CAPÍTULO III: 91
3 AS PORTAS SE ABREM É PRECISO CAMINHAR: TRAJETÓRIAS E PERCURSOS
METODOLÓGICOS 91
3.1 Idas e vindas para construção do problema 95
3.2 Escolhas metodológicas 103
CAPÍTULO IV: 108
4 ESCOLHENDO E PERCORRENDO O CAMINHO 108
4.1 Panorâmica do caminhar do grupo: contexto, constituição e consolidação 108
4.2 O grupo 115
4.2.1 Professora Beatriz 116
4.2.2 Professora Susana 119
4.2.3 Professora Sandra 120
4.2.4 Professora Lucia 122
4.2.5 Professora Vânia 124
4.3 Procedimentos para coleta de dados 125
4.4 Identificando e analisando o caminhar: organização e análise dos dados 130
CAPÍTULO V: 138

5 SEMENTES, FLORES E FRUTOS IDENTIFICADOS E COLHIDOS NA
CAMINHADA 138
5.1 Sementes de aprendizagens em relação aos aspectos afetivos 139
5.2 Frutos de aprendizagens de conceitos matemáticos aliados às práticas pedagógicas 169
5.2.1 Resolução de problemas 171
5.2.2 Geometria 201
5.3 Flores de aprendizagens em grupo de estudos 263
5.3.1 Aprendizagem coletiva 264
5.3.2 Aprendizagens evidenciadas por participantes a partir da experiência coletiva no grupo 284
CAPÍTULO VI: 297
6 FAZENDO UM BALANÇO DO CAMINHO PERCORRIDO: CONSIDERAÇÕES E
IMPLICAÇÕES PEDAGÓGICAS 297
6.1 Algumas aprendizagens decorrentes do caminhar 297
6.2 Refletindo sobre o caminho percorrido 319
6.3 Novas janelas, novos caminhos: desdobramentos da pesquisa 323
REFERÊNCIAS 327
ANEXOS 342

RESUMO
Esta tese de doutorado foi um estudo longitudinal qualitativo, de dois anos e
quatro meses, que analisou aprendizagens de professoras em um grupo de
estudos sobre matemática nas séries iniciais. Entre os anos de 2006 e 2008,
constituímos uma formação continuada em contexto com um grupo de estudos
com as professoras Susana e Beatriz, ambas regentes de séries iniciais na
rede municipal de Vitória. Além dessas, mais três professoras de matemática
participaram do grupo, incluindo a pesquisadora. Realizamos uma investigação
do tipo estudo de casos com perspectiva humanística. Investigamos as
seguintes questões: Que aprendizagens das professoras participantes se
destacam num grupo de estudos e em suas práticas pedagógicas? Que
relações entre aprendizagens de professoras e alguns aspectos afetivos são
evidenciadas num grupo de estudos de matemática? Como se percebe a
influência do grupo de estudos de matemática nas aprendizagens das
professoras participantes e em suas práticas pedagógicas? Os dados foram
coletados nos encontros semanais do grupo e nas aulas observadas e/ou
participadas das professoras. Dados obtidos nos incidentes críticos ou
significativos da investigação permitiram desvelar aprendizagens das
professoras Susana, Beatriz e da pesquisadora. Obtivemos evidências de
algumas aprendizagens sobre: conhecimentos dos conteúdos matemáticos, em
especial o de geometria e de resolução de problemas envolvendo as quatro
operações; conhecimento pedagógico, em especial o de contrato didático,
estabelecido e executado em aulas; conhecimento pedagógico matemático,
ações diferenciadas utilizando escrita nas aulas de matemática e oficinas com
materiais manipulativos; conhecimento do currículo matemático, organização e
valorização de diferentes conteúdos; e conhecimento dos alunos, enquanto
aprendizes de matemática. Notamos como um trabalho diferenciado de
formação continuada em contexto, num grupo no qual atuamos como amigos
críticos uns dos outros, influenciou e envolveu as integrantes. Nesse grupo, as
professoras se respeitavam, ouviam e eram ouvidas em suas vitórias e
anseios, opinavam, lançavam propostas e contribuíam para a construção dos
diferentes conhecimentos. Esse comportamento influenciou as aprendizagens
e as atitudes das professoras em relação à matemática, resultando em
ressonâncias em suas práticas em sala de aula. A reflexão crítica contribuiu
para que cada professora desenvolvesse sua própria metacognição,
reconhecendo-se de forma consciente, enquanto aprendiz e professora de
matemática. Também concluímos que é importante analisar crenças,
concepções e emoções das professoras na influência de suas atitudes em
relação à matemática, ao seu ensino, à aprendizagem e à avaliação.
Palavras-chave: Aprendizagens; grupo de estudos; matemática das séries
iniciais; formação continuada em contexto.

ABSTRAT
This doctoral thesis was a longitudinal qualitative study, of two year and four
months, which analyzed teachers‟ learning in a study group about first grades
mathematics. Between the years 2006 and 2008, we developed an inservice
teacher education context in a study group with the teachers Susana and
Beatriz, both practicing teachers of the public school system of Vitoria. In
addition to them, other three mathematics teachers participated in the group,
including the researcher. We realized a case study investigation with a
humanistic perspective. We investigated the following questions: Which learning
of the participant teachers is highlighted in a study group and in their
pedagogical practices? What relations between teachers‟ learning and some
affective aspects are evidenced in a mathematics study group? How do we
perceive the influence of the mathematics study group in the participating
teachers‟ learning and in their pedagogical practices? The data was collected in
the weekly meetings and in the observed and/or participated lessons of the
teachers. Data obtained in the critical or significant incidents of the inquiry led
us to disclose learning of the teachers Susana, Beatriz and the researcher. We
got evidences of some learning related to: mathematics content knowledge, in
particular this of geometry and problem solving concerning the four basic
operations; pedagogical knowledge, in special this of didactic contract, which is
established and implemented in lessons; pedagogical mathematics knowledge,
involving differentiated actions using writing in mathematics lessons and
workshop sessions with manipulative materials; curriculum mathematics
knowledge, such as organization and valuing of different topics; and students‟
knowledge, while mathematics learners. We noticed that a different work of
inservice teacher education in context, in the group that we acted as critical
friends from each other, influenced and involved all its members. In this group,
the teachers respected each other, listened and were heard by each other in
their successes and struggles; gave opinion, offered proposals and contributed
to the construction of each other‟s different knowledge. This behaviour
influenced the teachers‟ learning and attitudes towards mathematics, resonating
in their practices in classroom. This critical reflexion contributed that each
teacher developed his/her metacognition, acknowledging him/herself in a
conscious way as a mathematics learner and teacher. We also concluded that it
is important to analyze beliefs, conceptions and emotions in the influence of
their attitudes concerning mathematics, its teaching, learning and assessment.
Keywords: learning; study group; first grades mathematics; inservice teacher
education in context.

RESUMÉE
Cette thèse de doctorat est une étude longitudinale qualitative de deux ans et
quatre mois, qui a analysé les apprentissages des enseignantes dans un
groupe d‟études en mathématiques dans les premières années de
scolarisation. Entre 2006 et 2008, nous avons constitué un groupe d‟études
pour la formation continue en contexte avec deux enseignantes du système
municipal d‟éducation de Vitória (Susana et Beatriz). Trois autres professeurs
de mathématiques les ont rejointes dans ce groupe, y compris l‟autrice de cette
étude. Nous avons réalisé une investigation du type étude de cas sous une
perspective humaniste. Nous avons enquêté sur les questions suivantes :
Quels sont les apprentissages des enseignantes participantes les plus
remarquables dans un groupe d‟études et dans leurs pratiques pédagogiques ?
Quelles relations entre les apprentissages des enseignantes et certains aspects
affectifs sont mises en évidence dans un groupe d‟études en mathématiques ?
Comment perçoit-on l‟influence de ce groupe d‟études sur les apprentissages
des enseignantes et sur leurs pratiques pédagogiques ? Les données ont été
collectées lors des rencontres hebdomadaires du groupe et lors des cours
auxquels les enseignantes concernées ont assisté ou participé. Des données
obtenues lors des incidents critiques ou significatifs de l‟investigation ont permis
de dévoiler les apprentissages de Susana et Beatriz, ainsi que ceux de l‟autrice
de cette étude. Nous avons obtenu des évidences de certains apprentissages
sur : les connaissances en mathématiques, notamment en géométrie et en
résolution de problèmes concernant les quatre opérations ; les connaissances
pédagogiques, notamment en contrat d‟apprentissage établi et mis en œuvre
en classe ; la connaissance pédagogico-mathématique, les actions
différenciées comportant l‟usage de l‟écrit dans les cours de mathématiques et
les ateliers avec du matériel manipulatif ; la connaissance des programmes de
mathématiques, l‟organisation et la valorisation de différents contenus ; et la
connaissance des élèves en tant qu‟apprenants de mathématiques. Nous
avons remarqué comment un travail différencié de formation continue en
contexte, dans un groupe dans lequel nous avons été des « amis-critiques » les
unes des autres, a influencé et engagé les intégrantes. Dans ce groupe, les
enseignantes se respectaient, écoutaient les victoires et les aspirations des
autres et faisaient écouter les leurs, donnaient leurs avis, lançaient des
propositions et contribuaient à la construction de différentes connaissances. Ce
comportement a influé sur les apprentissages et sur les attitudes des
enseigantes vis-à-vis des mathématiques, retentissant sur leurs pratiques en
salle de classe. La réflexion critique a contribué à ce que chacune développe sa
propre métacognition et se reconnaisse consciemment comme apprenante et
enseignante de mathématiques. Nous avons également conclu qu‟il est
important d‟analyser l‟influence des convictions, conceptions et émotions des
enseignantes sur leurs attitudes vis-à-vis des mathématiques, de son
apprentissage et de son évaluation.
Mots-clés : Apprentissages; groupe d‟études; mathématiques dans les
premières années de scolarisation ; formation continue en contexte.

CAPÍTULO I:
1 INTRODUÇÃO: O ESTUDO E SEUS APONTAMENTOS
sta tese se refere a uma pesquisa realizada com professoras
participantes de um grupo de estudos sobre matemática nas séries
iniciais do ensino fundamental. Pretendíamos, desde o início
(2006), trabalhar com formação continuada, em contexto, de
professores que ensinam matemática para esse nível de ensino. Por esse
motivo, formamos o grupo de estudos enviando convites a professores que
atuavam em escolas da Prefeitura Municipal de Vitória 1 , em 2006. Aceitaram o
convite e participaram do trabalho cinco professoras: duas das séries 2 iniciais
(Susana e Beatriz 3 ), duas que atuavam nas séries finais do Ensino
Fundamental (Lúcia e Sandra – a pesquisadora deste projeto) e uma
professora da universidade (Vânia - coorientadora da investigação, e que
também possui experiência com as séries iniciais). O foco central do nosso
estudo foi análise de aprendizagens dessas professoras, neste grupo de
estudos e em suas práticas pedagógicas, sobre processos de ensino,
aprendizagem e avaliação de matemática desse nível de ensino. Isso somente
foi possível por meio da realização de um estudo longitudinal de,
aproximadamente, dois anos e quatro meses.
No decorrer da investigação, percebemos que nosso foco se encontrava nas
interseções entre formação continuada de professores, a matemática nas
séries iniciais, tanto em relação aos conteúdos como em relação às práticas
pedagógicas ou procedimentos metodológicos, e alguns aspectos cognitivos e
afetivos do professor. Para atendermos a essa complexidade de conexões e
1 Desde já agradeço a PMV por ter concedido a licença remunerada para estudo de doutoramento. Por
este motivo o nosso projeto estabelece uma devolutiva ao investimento, atuando juntamente com
professores que trabalham em escolas da rede municipal de Vitória.
2 Sabemos que estamos passando por um período de transição entre uma nomenclatura „séries‟ para
„anos‟, utilizaremos neste trabalho o termo séries porque é desta forma que utilizamos nas escolas das
professoras que participam desta pesquisa.
3 Utilizamos nomes fictícios para as professoras com exceção da pesquisadora Sandra e da professora
coorientadora Vânia.
16

interseções que se estabeleceram, decidimos investigar situações que nos
levassem a compreender algumas aprendizagens das professoras
participantes neste grupo de estudos sobre matemática nas séries iniciais.
Nosso olhar esteve voltado para o grupo, porém, temos uma quantidade maior
de dados e detalhes nas análises de algumas aprendizagens das duas
professoras, que atuavam e continuam atuando nas séries iniciais (Susana –
duas turmas de 3 as séries, 2007 e 2008, e Beatriz – 3ª série em 2007 e 4ª em
2008). Por causa da participação intensa e contínua dessas professoras nos
encontros do grupo de estudos, o que nos levou a acompanhá-las em suas
aulas de matemática nas séries iniciais. Dessa forma, realizamos num estudo
longitudinal utilizando a formação continuada em contexto para analisar
algumas aprendizagens dessas professoras no processo coletivo de explicitar,
discutir e refletir, criticamente, alguns aspectos do processo de ensino,
aprendizagem e avaliação de matemática das séries iniciais.
As professoras Susana, Beatriz, Sandra, Vânia e Lucia possuem experiências
diferenciadas em suas formações iniciais e em suas atuações em salas de
aula. Elas aceitaram fazer parte deste grupo por motivos diversos, mas, tinham,
em comum, interesse em estudar e compartilhar questões relacionadas ao
processo de ensino, aprendizagem e avaliação de matemática nas séries
iniciais. Assim sendo, cada professora com suas experiências e motivações
pode contribuir de maneira singular na constituição e na consolidação do
grupo. Os trabalhos aconteceram de agosto de 2006 a dezembro de 2008 com
encontros semanais. Detalhamos e tecemos alguns comentários e reflexões
sobre o grupo, no decorrer do trabalho, em especial, nas seções 4.1, 4.4 e 4.5.
Acreditamos que este grupo de estudos se apresentou como uma formação
continuada de professores, que ocorreu em contexto, de diferentes níveis de
ensino que trabalharam juntos, em busca de maior desenvolvimento
profissional e maior entendimento e reflexão crítica sobre questões
relacionadas à matemática, tanto no campo pessoal quanto no profissional.
Isso só foi possível pelo tempo destinado ao estudo, bem como a forma como
realizamos a formação continuada, pois possibilitou um conhecimento das
17

professoras e a constituição de uma comunidade de aprendizagem que gerou
processos reflexivos.
1.1 Mapeando e traçando percursos
Destaquei, nesta parte, algumas das razões e alguns dos interesses em
realizar uma pesquisa com formação continuada de professores que ensinam
matemática para as séries iniciais do ensino fundamental. Percebi que minha
experiência profissional contribuiu para a preocupação com relação à formação
continuada de professores. Encerrei o curso de licenciatura em matemática, no
segundo semestre de 2000, pela Universidade Federal do Espírito Santo
(UFES). Sentia dificuldades em entender alguns processos de ensino,
aprendizagem e avaliação de matemática que ocorrem ao longo da atividade
profissional. Essas dificuldades se justificam em parte pelo escasso número de
debates sobre o assunto ao longo de minha formação inicial. Já atuei como
professora no nível médio da educação básica e atuo como professora de
matemática das séries finais do ensino fundamental, na Prefeitura de Vitória
(PMV), desde 2002, e também no nível superior de ensino. Essas diferentes
experiências me proporcionaram uma visão mais ampla do ensino da
matemática e do modo como alunos de diferentes níveis escolares se
relacionam com a matemática. Pela minha experiência notei que muitos
professores não possuíam, por vários motivos, a oportunidade de debates com
seus pares sobre questões pertinentes aos processos de ensino,
aprendizagem e avaliação de matemática. Certifiquei-me também, de que, em
alguns casos, professores acabavam por “culpar” outros profissionais de níveis
de ensino anteriores, quando identificavam “problemas” na aprendizagem dos
alunos em matemática. Essa falta de reflexão e de investigação sobre as
causas e os porquês desses “problemas” não contribuíam para que pudessem
ser sanados ou atenuados. Desejava entender alguns desses questionamentos
e decidi buscar o cotidiano para realizar o meu estudo.
18

Além de atuar como professora de matemática das séries finais do ensino
fundamental, tive oportunidades de trabalhar com professores das séries
iniciais. Acompanhei, durante oito meses, o trabalho deles na mesma escola da
PMV em que lecionava e também em encontros de formação continuada em
diferentes momentos e locais na rede municipal de Vitória. Foram experiências
que contribuíram para que gerasse um incômodo na minha visão sobre
professores das séries iniciais e sobre suas práticas nas aulas de matemática.
Como licenciada em matemática, tinha a crença que esses professores eram
malpreparados e não desejavam aprender ou aprofundar seus conhecimentos
em conteúdos matemáticos. Nessas experiências, pude iniciar uma
modificação de minha crença quando percebi que muitos desejavam aprender,
diferenciar e modificar suas práticas em aulas de matemática, porém não
possuíam condições necessárias para tanto. Com um novo olhar, passei a
conceber esses profissionais como sujeitos aprendentes. De diferentes
maneiras, alguns desses profissionais tentavam fazer um trabalho diferenciado
e realizavam ações interessantes. Porém, a matemática desenvolvida, nas
séries iniciais, precisava ser desvelada. Necessitávamos e acredito que ainda
necessitamos de ações que possam dar visibilidade ao que é trabalhado com
esses alunos e ao que é realizado por diversos professores da área.
Um dos encontros do qual participamos foi o de Formação Continuada da PMV
para professores das séries iniciais, que tinha por objetivo apresentar as
propostas para o ensino de matemática das Diretrizes Curriculares para o
Ensino Fundamental da PMV 4 (VITÓRIA, 2004). Nos encontros, tive o privilégio
de discutir sobre alguns desafios e algumas dificuldades encontradas pelos
professores, relacionadas ao processo de ensino, aprendizagem e avaliação de
matemática. Notei certa vontade por parte de alguns professores em superar
determinadas dificuldades explicitadas, de continuarem a aprender.
Precisavam, portanto, de estudar conteúdos matemáticos. Algumas falas
4 Trata-se de um documento reestruturado por gestores e professores do município de Vitória em 2004
que sintetiza as orientações curriculares que deverão ser desenvolvidas no âmbito da educação municipal.
A pesquisadora fez parte da comissão organizadora que reestruturou a parte referente à área de
Matemática.
19

desses professores das séries iniciais, que se acham incapazes de ensinar
matemática, chamaram nossa atenção. Eles alegam que se sentem perdidos
pelo motivo de terem ocorrido diversas mudanças nos últimos anos, em relação
ao conteúdo matemático e as suas metodologias de ensino. Alegam que ficam
sem saber quais conteúdos são importantes na aprendizagem matemática dos
alunos. Alguns professores chegaram a pedir a realização de um curso de
“alfabetização matemática” que os ajudasse a tirar dúvidas relacionadas à
disciplina (conceitos, conteúdos e regras) e em relação às metodologias que
poderiam ser utilizadas. Outras reclamações que apareceram se relacionavam
às críticas ao livro didático utilizado ou adotado pela escola. Elas se baseavam
no fato de que o livro muitas vezes está distante da realidade dos alunos, não
possui linguagem acessível e alguns exercícios não são adequados. Esses são
alguns exemplos de colocações de professores das séries iniciais, direcionado
à matemática, que nos chamaram atenção e nos provocaram em buscar maior
conhecimento sobre o ensino. Iniciamos, portanto, um processo de mudanças
de nossas próprias crenças em relação a alguns dos professores polivalentes e
de suas práticas.
Dessas inquietações, começamos um trabalho sobre resolução de problemas
junto com a professora Circe Mary S. da S. Dynnikov, as coordenadoras dos
grupos de formação continuada e assessoras da Secretaria de Educação. O
trabalho foi realizado com o intuito de formar essas coordenadoras, para que
os grupos de formação continuada pudessem ter acesso a algumas das
propostas de ensino e aprendizagem de matemática. No ano de 2005,
realizamos minioficinas em alguns dos grupos de formação continuada das
séries iniciais, nas quais apresentamos parte desses encontros.
Outra experiência que contribuiu e continua contribuindo para nosso olhar
diferenciado de formação continuada foi a participação no grupo de estudos,
com professores de matemática, organizado e coordenado pela professora
Vânia Santos-Wagner. Cujo objetivo tem sido proporcionar momentos de
trabalho coletivo para que professores procurem se conhecerem, enquanto
professores e aprendizes. Nos vários momentos aprendemos como uma
20

proposta diferenciada de formação continuada, que se preocupa com a
formação mais ampla do professor, pode colaborar com sua prática em sala de
aula e para que nosso conhecimento enquanto aprendizes e professores de
matemática de forma consciente. No grupo de estudos, compartilhamos de
eventos e de acontecimentos em nossas aulas de matemática, que nos
chamaram a atenção e que consideramos importantes, relevantes ou críticos
por algum motivo. Também estudamos e trocamos ideias sobre assuntos
matemáticos e sobre leituras de educação matemática e de educação geral.
Essas e outras experiências nos levaram a percorrer caminhos
surpreendentes, relacionados com a formação de professores que ensinam
matemática, em especial, a formação continuada. Gerando um envolvimento
enquanto professora de matemática num processo de reflexão mais crítica que
conduz a percepções sobre o caminhar e sendo sujeito de conhecimento nos
próprios fazeres e saberes, no contexto em que estamos inseridos. Algumas
questões motivadoras e iniciais, que nos incomodavam no início dessa
pesquisa e que nos ajudaram a pensar o problema que foi se construindo,
foram: Como são trabalhados os conteúdos de matemática nas séries iniciais?
Quais as metodologias utilizadas pelos professores dessas séries? Quais
conteúdos os professores gostam de ensinar? Isso tem relação com o que eles
gostaram de aprender enquanto alunos? Por que professores das séries
iniciais afirmam ter dificuldades em abordar certos conteúdos matemáticos?
Quais são os conteúdos selecionados pelos professores das séries iniciais?
Quais têm maior relevância para eles e por quê? Algumas dessas questões
foram aproveitadas ao longo deste trabalho, e encontramos respostas, já
outras ainda continuam como dúvidas.
A princípio, por influências de discussões no grupo organizado pela professora
Vânia Santos-Wagner e por leituras do pesquisador português, João Pedro da
Ponte, pensamos em abordar, nesta pesquisa, a investigação sobre a própria
prática. Acreditávamos que esse tema fosse bem interessante, porém, no
decorrer do trabalho, percebemos que essa investigação estaria presente nos
momentos em que as professoras refletissem sobre suas práticas, logo, não
21

poderia ser o foco principal de nossa pesquisa. Constatamos, desde o início e
durante o desenvolvimento do trabalho que outros focos apareceram e
ganharam destaque na nossa investigação. Por isso, preferimos pesquisar
sobre aprendizagens das professoras, decorrentes da participação em um
grupo de estudos e acompanhamento em aulas de matemática com discussões
sobre processos de ensino, aprendizagem e avaliação de matemática nas
séries iniciais.
1.2 Problemática da pesquisa
Pesquisas sobre ensino e aprendizagem de matemática com professores das
séries iniciais 5 já vêm sendo realizadas em todo o mundo, durante algum
tempo, tanto em formação inicial como em continuada. Entretanto, sentimos a
necessidade de continuar com investigações na área para aprofundarmos
estudos sobre aprendizagens desses professores (ou simplesmente
aprendizagem docente) e suas práticas pedagógicas em aulas de matemática.
Iniciamos uma imersão, na procura de conhecimentos para a constituição da
problemática, estudando de uma maneira geral, como pesquisas sobre
educação matemática estão sendo desenvolvidas nas últimas duas décadas
(BISHOP, 1992; BORBA; ARAUJO, 2004; GROUWS, 1992; KILPATRICK,
1992; PIRES; PONTES, 1999; ROMBERG, 1992). Posteriormente
aprofundamos nossas buscas e estudos nos focos específicos de nossa
investigação conforme apresentamos a seguir.
Existe uma variedade de nomenclaturas de formações permanentes ou
continuadas que foram diversificando de acordo com o tempo, como por
exemplo: cursos de capacitação, formação em serviço, formação continuada e
5 Algumas outras formas de denominação dos professores que trabalham com as séries (anos) iniciais do
ensino fundamental encontradas em pesquisas educacionais são professores polivalentes ou ainda
professores generalistas.
22

formação permanente. Todavia, cremos que, mais importante do que pensar
em que mudanças denominações com suas respectivas raízes filosóficas
educacionais para “formações permanentes ou continuadas”, seria melhor
proporcionar ao professor fazer parte de sua própria formação. Ou seja,
promover um espaço participativo onde ocorra partilha de angústias, sucessos,
anseios, preocupações, vitórias e derrotas em relação ao ensino e à
aprendizagem de matemática. Carvalho (2005) escreve sobre os espaços de
formação, identifica que os professores sabem da importância da formação
continuada, porém, em algumas situações não se sentem parte dessa
formação. Ela ressalta o fato de pesquisas, instituições e espaços de
formações indicarem como importante a centralidade das formações no
professor, possibilitando-lhes voz e vez, mas, na realidade, nem sempre isso
ocorre. Isso nos levou a questionamentos sobre a constituição e efetivação do
grupo de estudos que iniciamos para este trabalho. Alguns desses
questionamentos são: Como realizar uma formação em contexto que
contribuísse para a formação global do professor? De que forma podemos
realizar um grupo de estudos centrado no professor e em suas práticas? Quais
iniciativas nós poderíamos tomar para que os professores sentissem motivados
à continuarem aprendendo e refletindo criticamente sobre suas concepções,
crenças, atitudes e a relação dessas sobre suas práticas? Essas perguntas nos
motivaram a buscar na literatura e em nossas ações meios para conduzirmos
uma formação continuada em contexto atendendo aos nossos anseios.
Algumas pesquisas apontam para o desenvolvimento do ensino de matemática
de modo a tornar todos os envolvidos como coaprendizes (JAWORSKI, 2001).
Concordamos com Jaworski (2001), pois, ao participar de um grupo de estudos
durante um tempo longo existe uma maior possibilidade de cada integrante
aprender de forma consciente com os parceiros e com suas próprias reflexões.
Zeichner (1998) ressalta que não existe igualdade absoluta entre os
participantes de pesquisas que trabalham junto com o professor. Vários outros
pesquisadores em educação matemática já discutiam e investigavam isso
também nessa década de 1990 (LLINARES, 1999; SANTOS, 1993, 1995).
Mas, é, exatamente, por causa dos diferentes conhecimentos e experiências de
23

cada participante que a contribuição de cada uma foi importante para a
formação e desenvolvimento do grupo. No grupo com professoras das séries
iniciais tentamos ter uma paridade no relacionamento, reconhecendo e
respeitando a contribuição do outro. Isso somente foi possível, a partir de um
estudo longitudinal, com tempo para desenvolvermos um trabalho conjunto
com o professor. Necessitávamos de um espaço de formação em que o
professor se sentisse construtor do seu conhecimento e da sua aprendizagem.
No qual ele pudesse ter voz e vez e que participasse de momentos dialógicos
de reflexão crítica sobre si próprio, seu pensar e agir na prática de sala de aula,
gerando assim conhecimento local (MIZUKAMI et al., 2002; SANTOS, 1993,
1997; SANTOS-WAGNER, 1999, 2003). Espaço que nos auxiliassem a adquirir
nossa metacognição enquanto aprendizes e enquanto professores de
matemática, formando comunidades de aprendizagens. Precisávamos e
precisamos de formações continuadas para além de palestras, espaços em
que professores e pesquisadores sentem junto, escutem uns aos outros,
trabalhem juntos de modo a partilhar e valorizar os diferentes conhecimentos.
Um trabalho conjunto no qual o fazer – refletir – fazer esteja presente na
relação dialógica. Isso está relacionado com o desenvolvimento profissional de
cada professor, que está imerso em seu contexto social, político, pessoal,
emocional e profissional (LLINARES e KRAINER, 2006).
Essa forma de desenvolvimento de trabalho, ao ser entendida como uma
parceria, uma colaboração entre os envolvidos, recebeu o nome de “amigo
crítico” 6 (critical friend) por alguns pesquisadores, desde a década de 1990.
Cooney e Krainer (1996) tornaram mais explícito o papel do amigo crítico, ao
afirmarem que:
24
Um amigo crítico pode ser um pesquisador ou um colega dedicado
que pode ajudar a escolher uma investigação ou ajudar a coletar e
analisar dados. Amigos críticos podem encorajar um professor a
gravar e analisar suas próprias experiências de um modo que elas
6 Utilizamos em todo texto „amigo(s) crítico(s)‟, mesmo se tratando de uma pesquisa com um grupo
exclusivamente feminino, por acreditarmos que a versão feminina dessa expressão não representaria seu
significado original.

possam ser vistas e discutidas por outros (COONEY; KRAINER,
1996, p. 1175, tradução nossa) 7 .
Formamos o grupo de estudos, de maneira que cada participante agisse como
um amigo crítico da outra. A riqueza de ser um amigo crítico deveria estar em
partilhar saberes, de uma maneira comprometida com as práticas envolvidas,
os diálogos formados e com as consequências de atitudes e práticas oriundas
dessas discussões. A proposta de amigo crítico já está sendo utilizada em
diferentes países para aplicação de novas sugestões pedagógicas e para o
desenvolvimento de investigações pelo professor, em suas salas de aula.
Realizando uma breve retrospectiva, sobre nosso caminhar para a definição do
foco e do nosso problema de pesquisa, comentamos que, desde o iniciar do
processo de investigação, compreendemos que estaríamos abordando e inter-
relacionando vários focos. O esquema seguinte mostra de forma sucinta os
vários focos envolvidos nesse caminhar.
Figura 1 – Esquema para a definição do foco da pesquisa
7 A critical friend can be a researcher or a dedicate colleague who can help design an investigation or help
collect and analyze data. Critical friends can encourage a teacher to record and analyze his/her
experiences in such a way that they can be shared and discussed by others (COONEY; KRAINER, 1996,
p. 1175).
25

O esquema contribui para entendermos como o foco do trabalho foi sendo
construído, mas precisamos indicar que isso ocorreu num processo contínuo
de construção da problemática de pesquisa, não de forma estanque e linear. A
elipse está envolvendo todos os itens para indicar exatamente isso, eles não
foram pensados em momentos separados, mas num ir e vir em busca do
problema. Observando notamos que no início desejávamos organizar um
trabalho de investigação que estivesse voltado para a formação continuada de
professores, devido a minha atuação na PMV como coordenadora de formação
continuada de matemática. Após o trabalho com professores das séries iniciais,
encantei-me e decidi investigar formação continuada de professores desse
nível de ensino. Depois de algumas leituras (PONTE, 2002) e influências de
discussões no grupo de estudos com a profª Vânia pensei em trabalhar com
investigação da própria prática. Na qualificação I, o projeto apresentado estava
relacionado com esse tema. Porém, diversos debates gerados após a
apresentação dessa proposta nos levaram a entender que seria inviável ter
como foco central a investigação da própria prática. Pois não seria possível,
num estudo de doutorado, a escrita pessoal e conjunta das professoras, o que
caracteriza a investigação da própria prática. Compreendemos que esse foco
continuaria no nosso trabalho embora não como central. Outra vertente que
apareceu, fortemente, no trabalho foi a reflexão, não aquela realizada por
todos, mas uma reflexão crítica pessoal, com intencionalidade e profundidade.
Mas, ainda assim, reconhecemos que nosso trabalho era mais amplo e
abrangia outros focos como os conhecimentos de professores e de alguns dos
seus aspectos afetivos (crenças, concepções e atitudes). Ao longo do
processo, entendemos que, ao trabalhar com conhecimentos de professores,
ainda deixaríamos algumas situações que, realmente, estavam acontecendo no
grupo com as professoras, sem serem realçadas. Assim, decidimos estudar e
investigar para compreender aprendizagens das professoras, e concluímos
que esse foco envolvia os outros e que perpassa pelos caminhos percorridos
anteriormente.
26

Para atender as propostas deste estudo tivemos como objetivo geral analisar
aprendizagens das professoras em uma formação continuada ocorrida
num grupo de estudos sobre matemática nas séries iniciais e em suas
práticas pedagógicas.
Acreditamos que uma única pergunta não englobaria todas as inter-relações
que surgiram. Estabelecemos três perguntas que se complementam de
maneira processual e complexa, na qual representamos de forma cíclica e que
nos ajudaram a convergir para o nosso objetivo geral (fig. 1). Numeramos as
perguntas com I, II e III, para nos ajudar na organização, mas elas não têm
uma ordem de importância, já que se integram.
Figura 2 – Esquema das perguntas da pesquisa
Na tentativa de responder as questões apresentadas destacamos alguns
objetivos específicos:
27

A. Identificar como os aspectos afetivos influenciaram aprendizagens das
professoras no grupo e em suas práticas pedagógicas.
B. Identificar algumas aprendizagens das professoras participantes que
foram explicitadas ou percebidas a partir de discussões no grupo de
estudos e em suas práticas pedagógicas.
C. Compreender como acontecem algumas aprendizagens e como estas
são percebidas ou explicitadas nos encontros do grupo e em práticas
pedagógicas pelas professoras.
D. Analisar como o grupo influenciou algumas aprendizagens das
professoras participantes e suas práticas pedagógicas.
E. Compreender como os diferentes conhecimentos estão articulados e
relacionados com aprendizagens ocorridas no grupo.
O esquema, apresentado na figura 3, nos ajuda a compreender a inter-relação
entre nossas perguntas, os objetivos específicos e o objetivo geral. Nele vemos
o objetivo geral no início, envolvendo e motivando os outros componentes. No
centro se encontra aprendizagem das professoras, pois está relacionada às
três perguntas e se integram e é o foco de nossa investigação. Cada pergunta,
por sua vez, está relacionada aos objetivos específicos, conforme as setas
pontilhadas. Os objetivos também se relacionam e contribuem uns aos outros.
A curva pontilhada que permeia todos os componentes representa nossa
crença em que ao analisar aprendizagens de professores envolvemos todos os
outros componentes, eles estão todos imbricados numa teia complexa.
Englobando toda estrutura necessária para a realização deste trabalho em
vista de atingir aos seus objetivos e responder às suas questões apresentamos
nossa estruturação na próxima seção.
28

ANALISAR APRENDIZAGENS DAS PROFESSORAS EM
FORMAÇÃO CONTINUADA NUM GRUPO DE ESTUDOS
SOBRE MATEMÁTICA NAS SÉRIES INICIAIS E EM SUAS
PRÁTICAS PEDAGÓGICAS.
Identificar algumas
aprendizagens das
professoras participantes
que foram explicitadas ou
percebidas a partir de
discussões no grupo de
estudos e em suas práticas
pedagógicas.
Identificar como os
aspectos afetivos
influenciaram
aprendizagens das
professoras no
grupo e em suas
práticas
pedagógicas.
Figura 3 – Esquema das inter-relações entre perguntas e objetivos da pesquisa
Compreender como
acontecem algumas
aprendizagens e como
estas são percebidas
ou explicitadas nos
encontros do grupo e
em práticas
pedagógicas pelas
professoras.
Compreender como os diferentes
conhecimentos estão articulados e
relacionados com as
aprendizagens ocorridas no grupo.
29
Analisar Analisar como como o o grupo grupo influenciou
algumas influenciou aprendizagens algumas das
professoras aprendizagens participantes das professoras e suas
práticas participantes pedagógicas. e suas práticas
pedagógicas.

1.3 Apresentação da estrutura do trabalho
Utilizamos, nos títulos e subtítulos dos seis capítulos, algumas metáforas de
um „caminhar da pesquisa‟, seus percursos e o que pôde ser visto e
vivenciado. Desde o primeiro passo, nos deparamos com algumas janelas,
portas e um caminho a ser trilhado, com escolhas e direções diferenciadas.
Sabíamos que não existia uma única estrada, mas fizemos nossas escolhas ao
longo da caminhada. A partir do caminhar e de um olhar atento, pudemos
descobrir sementes, flores e frutos do que fizemos e dos passos que demos. E,
ao encerrar, foi-nos possível analisar o caminhar. Nossas histórias, nossas
escolhas, nosso caminhar,... Tantos acertos, erros, quedas e vitórias, porém, o
mais importante foi termos caminhado juntos e possibilitado construirmos a nós
mesmos, que ressaltamos em aprendizagens.
No primeiro capítulo, proporcionamos uma visão inicial do projeto de pesquisa
que desenvolvemos, mapeamos e traçamos percursos, destacando a
problemática de estudo e nossos objetivos.
No segundo capítulo, fizemos uma explanação e apresentação de estudos de
diferentes autores que contribuíram para a abordagem do nosso foco. Estes
estudos representam algumas „janelas‟ nas quais nos deparamos durante o
caminhar. Entre as possíveis janelas escolhemos a da aprendizagem docente,
as que nos proporcionaram entender alguns processos de ensino,
aprendizagem e avaliação de matemática, a de formação continuada de
professores que ensinam matemática, e aquelas relacionadas aos aspectos
afetivos. Foi olhando através dessas janelas que constituímos nossa revisão
bibliográfica e nossa discussão teórica do trabalho.
No terceiro capítulo, apresentamos uma síntese das orientações teórico-
metodológicas. Desvelando nossos percursos metodológicos, nossa saída pela
„porta‟ inicial da pesquisa e a necessidade de ir além. Fizemos uma
panorâmica do desenrolar da pesquisa, pontuando os caminhos percorridos
para escolha e organização metodológica.
30

No capítulo quatro, explicitamos como construímos, utilizamos, organizamos e
analisamos alguns dados. O leitor constatará mais detalhes de nosso caminhar
desde a inserção no campo de pesquisa e do desvelar do grupo e suas
participantes. Demos maior visibilidade aos dados quando relatamos um pouco
do grupo e suas participantes, a partir de uma panorâmica do nosso caminhar.
Realçamos, no capítulo cinco, algumas análises de aprendizagens e alguns
processos nos quais as professoras se envolveram e desenvolveram durante a
investigação. Representam na nossa metáfora sementes, flores e frutos que
lançamos e colhemos no decorrer da caminhada. Realçamos a aprendizagem
das professoras sobre seus aspectos afetivos, as aprendizagens dos
conteúdos matemáticos e as relacionadas ao grupo pela participação de cada
uma de nós.
Finalmente, no sexto capítulo, realizamos um balanço dessa investigação
colocando algumas considerações finais acerca do vivido e implicações
pedagógicas que encontramos no desenrolar da pesquisa. Trazemos sínteses
de aprendizagens que puderam ser evidenciadas na análise dos dados e
reflexões sobre o processo e seu desenvolvimento. Explicitamos alguns
desdobramentos da pesquisa que surgiram ao longo do processo. Colocamos
também uma relação de algumas consequências e alguns direcionamentos que
surgiram a partir da pesquisa.
31

32
CAPÍTULO II:
2 A TEORIA: JANELAS QUE SE ABREM
este capítulo, apresentamos um pouco do nosso caminhar
pela literatura bibliográfica, as janelas com as quais
deparamos, identificando se estavam abertas ou
entreabertas. Outras janelas, de início, passaram
despercebidas, mas as fomos evidenciando aos poucos, no decorrer do
caminhar. Definimos, a partir das descobertas das „janelas‟, os eixos teóricos,
procurando destacar, desde o início da pesquisa questões pertinentes às
aprendizagens de professores. Esse caminhar aconteceu na medida em que se
fizeram necessárias algumas dessas leituras, ou na medida em que tivemos
acesso aos trabalhos. Como percebemos que teríamos de abordar diferentes
componentes inter-relacionados com aprendizagens de professores e com
nossa proposta de trabalho, decidimos organizar uma seleção de tópicos que
pudessem ser explorados de maneira mais intensa, se olhados
separadamente. Foram escolhas difíceis, porém, pensamos que, dessa forma,
apresentamos, de maneira mais clara, alguns componentes dessa teia que
envolve a aprendizagem. A separação feita contribuiu para ressaltar alguns
tópicos importantes e para facilitar a interpretação e a identificação dos vários
eixos que permeiam nosso trabalho. Destacamos, em todos eles, os principais
conceitos para a nossa pesquisa, evidenciando aqueles que escolheremos
para definirem os termos utilizados e que foram nossos teóricos de base.
Analisamos periódicos nacionais como: Bolema; Zetetiké; Quadrante; APM
(Associação dos professores de matemática); Educação Matemática em
Revista; e GEPEM. E tivemos acesso a periódicos internacionais por meio
eletrônico e em visitas a outras universidades, entre os quais, podemos
destacar os seguintes: Journal of Teacher Education; Journal for Research in
Mathematics Education; Journal of Mathematics Teacher Education;
Educational Research; e UNIÓN: Revista Iberoamericana de Educação

Matemática. Não limitamos data inicial para nossas buscas, pois precisamos de
textos antigos de 1986, mas esses foram casos isolados de textos originais de
alguns autores como, por exemplo, Shulman e Paul Ernest. De uma forma
geral, preferimos realizar uma busca por artigos em revistas e congressos com
datas referentes às duas últimas décadas (1990 a 2009).
Consideramos aprendizagem como um processo no qual o professor está,
constantemente, em formação. O tipo de aprendizagem depende do seu
contexto social, cultural e organizacional. Ademais, já pontuamos que a
aprendizagem docente está diretamente influenciada pelos aspectos afetivos,
cognitivos, relacionados aos conteúdos matemáticos. Para nos aprofundar
sobre esses assuntos, nosso trabalho se baseou nos seguintes eixos teóricos:
Aprendizagem docente: teorias implícitas e aspectos cognitivos que
envolvem o pensamento e conhecimento do professor, reflexão crítica
que leva à tomada de consciência e a metacognição.
Ensino e aprendizagem e avaliação de matemática: a relação entre
ensino, aprendizagem e avaliação da resolução de problemas
envolvendo as quatro operações e da geometria.
Formação de professores que ensinam matemática.
Aspectos afetivos e suas relações com aprendizagem docente: crenças,
concepções, atitudes e emoções de professores em relação à
matemática e ao seu ensino e aprendizagem.
2.1 Janelas entreabertas: aprendizagem docente
Trabalhar com aprendizagens de professores aproxima nosso olhar para
aspectos cognitivos que envolvem as participantes. Restringir-nos-emos a
detalhar a aprendizagem sob o ponto de vista do professor, no nosso caso, em
33

formação continuada num grupo de estudos sobre matemática, nas séries
iniciais. Essas aprendizagens estão envolvidas nos processos cognitivos que
envolvem processos de conhecer, compreender, relacionar, interpretar,
apreender e dar significado aos vários focos que estão sendo apresentados ou
explicitados. Sabemos que os aspectos cognitivos estão diretamente
interligados aos aspectos afetivos, porém os separamos para podermos
analisar cada um, particularmente. Nesta seção, apresentamos uma
panorâmica de alguns aspectos cognitivos que identificamos como
fundamentais em aprendizagens de professores.
2.1.1 Ensino e aprendizagem
Abordamos aqui, questões referentes ao ensino e aprendizagem no âmbito
geral, focalizando a pessoa do professor. Preocupamo-nos, nesta pesquisa, em
analisar algumas questões que dizem respeito a como nós adultos
aprendemos, sem focalizar detalhes como os alunos aprendem. Dessa forma,
colocamos o professor como uma pessoa, que ao ensinar aprende (FREIRE,
1996), realçando assim nossa natureza de aprendizes ao longo da vida.
Destacamos alguns autores de psicologia cognitiva como Vygotsky
(1988/1934 8 ) e algumas de suas principais relações com processos de ensino
e aprendizagem. Também distinguimos, nesta seção, algumas pesquisas
nacionais e internacionais que envolvem a aprendizagem dos professores de
maneira explícita. Estamos falando em aprendizagens, outros autores falam em
saberes (por exemplo, NACARATO, 2000) ou conhecimentos (por exemplo,
SHULMAN, 1986) de professores. Consideramos que a palavra
„aprendizagens‟ nos proporciona uma abrangência maior sobre processos de
associação, de provocação e de absorção do que acontece com o professor e
8 Estamos colocando duas datas em alguns autores, como por exemplo, o caso do Vygotsky. A primeira
data representa a que está impressa no livro utilizado por nós, e a segunda, a data em que o livro foi
lançado, dessa forma chamamos a atenção do leitor para o fato de as ideias defendidas por esses autores
serem de um período anterior à data da versão utilizada por nós.
34

com o contexto no qual está inserido. Assim como, aquilo que o faz refletir
criticamente e que o leva a analisar seus saberes e fazeres em suas práticas.
Por esse motivo escolhemos aprendizagens das professoras num grupo de
estudos como título do nosso trabalho. Estamos trabalhando com
aprendizagens de professores e, portanto, devemos ter uma compreensão
diferenciada da aprendizagem construída com as crianças. Tentamos colocar,
a seguir, algumas definições e a forma como entendemos aprendizagens de
professores e como usamos neste trabalho.
Acreditamos que precisamos falar em aprendizagem e ensino, não
separadamente, por entendermos que as relações existentes entre o ensino e
a aprendizagem ocorrem em processos. Da maneira em que acontecem, estão
imbricados com relações perceptíveis e imperceptíveis, explícitas e implícitas, e
que não ocorrem em momentos isolados e únicos, mas sim, por meio de
processos. Quando falamos em processos não estamos afirmando que,
simplesmente, relacionem causas e efeitos, mas que consistem em
desenvolvimento, em continuum. Várias maneiras de pensar e agir que não
precisem estar numa ordem definida e estática. Evidenciamos aprendizagens
de professores, como sujeito aprendente, num sentido mais amplo,
considerando como descrito acima que, ao falarmos em aprendizagens, não as
estamos separando do ensino, apenas destacando parte do processo.
A inter-relação entre ensino e aprendizagem é defendida por alguns autores,
como Freire (1996, p. 23) que afirma que quem ensina aprende ao ensinar e
quem aprende ensina ao aprender. Freire ainda afirma que o ensinar inexiste
sem aprender e vice-versa. Ele atribuiu a aprendizagem social à ocorrida entre
os membros de uma determinada região ou local, que aconteceu
historicamente, a percepção de que era possível ensinar por que com alguns
tipos de comportamentos, alguém estava aprendendo. Para Freire (1996), o
aprender precedeu o ensinar, e somente aprendemos o que podemos recriar
ou refazer o que foi ensinado. E mostrou como essa identificação entre ensinar
e aprender é complexa e exige de nós um envolvimento maior do que
imaginamos. Ele afirma que
35

36
Quando vivemos a autenticidade exigida pela prática de ensinaraprender
participamos de uma experiência total, diretiva, política,
ideológica, gnosiológica, pedagógica, estética e ética, em que a
boniteza deve achar-se de mãos dadas com a decência e com a
seriedade (FREIRE, 1996, p. 24).
A relação entre o ensinar e aprender, por parte do professor, pode também ser
percebida, explicitamente, em alguns trabalhos como é o caso da tese de
doutorado de Adair Nacarato (2000), que teve por objetivo identificar e analisar
saberes curriculares, reflexões, produzidos por um grupo de professores das
séries iniciais, envolvidos num processo simultâneo de ensinar e aprender
geometria. Em suas colocações, Nacarato (2000) também aponta para o fato
da aprendizagem ser social, conforme Vygotsky. Todas as componentes do
grupo aprenderam umas com as outras, aprendizagens diferenciadas, pois
cada uma está numa fase de desenvolvimento profissional e com objetivos
diferenciados para a participação nesse tipo de grupos. Aprendizagens são
individuais, ninguém pode aprender pelo outro, mas se dá socialmente, por
meio de mediações e interações com outras pessoas. Aprendizagens podem
ocorrer, a partir de experiências vivenciadas ao ensinar matemática, desde que
sejam realizadas provocações para a reflexão crítica por parte de todo o grupo.
Nacarato (2000, p. 274) também afirmou isso, quando disse em sua conclusão
que “todas aprendiam e ressignificavam saberes, tanto para quem narrava
como para quem ouvia e refletia sobre a experiência do outro”. Notamos que a
aprendizagem ocorreu a partir de reflexões sobre o que era apresentado sobre
o processo de ensinar pelos componentes do grupo.
Mizukami (2006) comenta sobre a aprendizagem na docência e faz uma
análise das pesquisas que investigam o assunto, apontando quais os principais
indícios apresentados por essas pesquisas. Confiamos em que nossa pesquisa
contribua para ampliar esses indícios, pois trabalhamos sobre várias situações
colocadas. Concordamos com Mizukami (2006) ao dizer que:
Os processos de aprender a ensinar, de aprender a ser professor e
de desenvolvimento profissional de professores são lentos, iniciam-se
antes do espaço formativo dos cursos de licenciatura e se prolongam
por toda a vida. A escola e outros espaços de conhecimento são
contextos importantes desta formação. Conhecimentos teóricos
diversos assim como aqueles que têm como fonte a experiência

37
pessoal e profissional são objetos de aprendizagens constantes. A
literatura voltada para a compreensão de processos de aprendizagem
da docência vem indicando o caráter individual e coletivo de tal
aprendizagem; a força das crenças, valores, juízos na configuração
de práticas pedagógicas; a reflexão como processo de inquirição da
própria prática no sentido de, por meio dela, superar desafios,
dilemas e problemas; a importância das comunidades de
aprendizagem e de processos colaborativos para o desenvolvimento
individual e coletivo; as aprendizagens docentes como sendo
situadas e socialmente distribuídas; diferentes tipos de
conhecimentos necessários a docência que passam gradativamente
a compor a base de conhecimentos de cada professor; processos
cognitivos acionados pelos professores para a construção da referida
base; a importância dos conteúdos e dos níveis de reflexão
(MIZUKAMI, 2006, p. 214).
Notamos como aprendizagens de professores se constituem complexamente,
sendo influenciadas por diversas vertentes: pessoais, coletivas, culturais,
emocionais, cognitivas, psicológicas e sociais. Estudar aprendizagens envolve
uma análise minuciosa dessas vertentes e suas influências no grupo na qual
estamos trabalhando. Outros autores também destacam esses
entrelaçamentos em torno de aprendizagens. Podemos perceber isso em
Llinares e Krainer (2006, p. 429) quando colocam a “aprendizagem dos
professores de matemática como um processo de aprendizado que dura a vida
inteira que inicia com nossas próprias experiências com o ensino de
matemática da perspectiva de um estudante, ou mesmo com atividades
matemáticas antes da escolarização 9 ”. Para eles, os tipos de experiências, que
acontecem antes mesmo de se iniciarem em cursos de licenciaturas,
influenciam na carreira dos professores. Concordamos com alguns autores
(LLINARES; KRAINER, 2006; MIZUKAMI, 2004; 2006) que afirmam que
nossas aprendizagens de “ser e tornar-se” professor são frutos de diferentes
experiências, em diversos momentos, como alunos e como professores, e das
relações que cada um pode vivenciar por meio das próprias experiências e do
meio sociocultural no qual está inserido. Muitas vezes, vamos (re)aprendendo e
(re)significando nossas aprendizagens de acordo com nossas experiências,
9 […] mathematics teachers‟ learning as a lifelong learning process which starts with one‟s own
experiences of mathematics teaching from the perspective of a student, or even with mathematical
activities before schooling (LLINARES e KRAINER, 2006, p. 429).

formação, participação em grupos de discussões e com o desenvolvimento do
nosso trabalho enquanto professores.
Algumas pesquisas estudam aprendizagens de professores em diferentes
momentos de sua profissionalização, realçando que a aprendizagem não fica
isolada na formação inicial. Luciana Parente Rocha (2005), em sua
dissertação, estudou alguns saberes dos profissionais que vivenciavam a
transição entre alunos e professores, nos seus primeiros anos de docência. Ela
indicou em seus resultados que são muitos os aspectos que envolvem a
passagem de aluno a professor, mas apontou para o fato de essa passagem
ser caracterizada por um período de intensas aprendizagens. Esta passagem,
normalmente, é marcada por diferentes tipos de sentimentos, como desafios,
angústias, dilemas, satisfações, responsabilidades e alegrias. Rocha (2005)
mostrou que na prática pedagógica, os professores, reconheceram a
continuidade da aprendizagem e que o processo de se tornar professor não
acaba na formação inicial. Sabemos que a aprendizagem dura toda a vida
profissional, por isso desenvolvemos esta pesquisa com professores que já
atuavam em sala de aula, há mais de 15 anos, identificando e analisando
algumas aprendizagens que foram influenciadas ou pelo menos, motivadas
pelo grupo de estudos, em particular.
Para Llinares e Krainer (2006), os professores são vistos como construtores
ativos dos seus próprios conhecimentos, por esse motivo são encorajados a
refletir sobre suas próprias práticas e modificá-las quando for apropriado. Para
eles, o desafio é encontrar respostas para questões sobre onde, como e o quê
os professores aprendem, já que “[...] aprendizagem de professores é um
processo complexo e é influenciado em ampla extensão por fatores pessoal,
social, organizacional, cultural e político” 10 (LLINARES; KRAINER, 2006, p.
429) (tradução nossa).
10 […] teachers‟ learning is a complex process and is to a large extent influenced by personal, social,
organizational, cultural, and political factors (LLINARES; KRAINER, 2006, p. 429).
38

Em relação ao aprendizado humano, Vygotsky (1988/1934) difere do
aprendizado que pode ser realizado com animais; ele afirma que o
“aprendizado humano pressupõe uma natureza social específica e um
processo através do qual as crianças penetram na vida intelectual daquelas
que as cercam” (VYGOTSKY, 1988/1934, p. 99). Esse autor interliga
aprendizado com o que chama de zona de desenvolvimento proximal e explica
essa relação ao asseverar que:
39
Propomos que um aspecto essencial do aprendizado é o fato de ele
criar a zona de desenvolvimento proximal, ou seja, o aprendizado
desperta vários processos internos de desenvolvimento, que são
capazes de operar somente quando a criança interage com pessoas
em seu ambiente e quando em cooperação com seus companheiros.
[...]
Desse ponto de vista, aprendizado não é desenvolvimento;
entretanto, o aprendizado adequadamente organizado resulta em
desenvolvimento mental e põe em movimento vários processos de
desenvolvimento que, de outra forma, seriam impossíveis de
acontecer. Assim, o aprendizado é um aspecto necessário e
universal do processo de desenvolvimento das funções psicológicas
culturalmente organizadas e especificamente humanas
(VYGOTSKY, 1988, p. 101).
Assim sendo, entendemos os processos apresentados por esse autor como
atividades do indivíduo de apropriação dos significados provocados e
discutidos nos com os pares. E o que se encontra na zona de desenvolvimento
proximal hoje pode estar no nível de desenvolvimento real no futuro
(VYGOSTKY, 1991). Desde a apropriação e a utilização, isto é, a mudança de
atitude, decorrente do uso do que foi aprendido, podemos afirmar que houve
apropriação dos significados do que estava sendo proposto. Vygotsky (1991)
afirma que a escola tem papel fundamental na apropriação do saber acadêmico
e científico e deve se preocupar com as interações entre professores e alunos
e como essa apropriação está sendo motivada e construída.
Encontramos algumas definições para aprendizagens que nos ajudaram a
entender o que acontece com o professor quando ele vivencia uma
aprendizagem.
A aprendizagem dos professores pode ser vista como um processo
construtivo e interativo (grifo nosso) que lhes permite interpretar os

sucessos sobre a base do conhecimento, crenças e disposições (a
atuar) prévias 11 (GARCIA; LLINARES, 1999, p. 61).
Sabemos que temos diferentes aprendizagens ocorrentes de acordo com o
local e o tipo de interação que os indivíduos vivenciam. A escola pode
promover certo tipo de aprendizagem que a diferencia de outras. Colinvaux
(2007) define a aprendizagem na escola, de forma a relacioná-la com
conhecimentos, significações e como processo, conforme observamos na
seguinte citação que
40
partimos do pressuposto que, na escola, a aprendizagem tem por
objetivo central (ainda que não exclusivo) construir conhecimentos.
Postulando que conhecimento é significação, conceituamos
aprendizagem como um processo que se organiza e realize em torno
de significações. A noção de processo é central e implica, de um
lado, movimentos individuais e coletivos em torno dessas
significações, movimentos estes que é importante apreender e
caracterizar, em seus possíveis recuos e avanços. De outro lado, a
noção de processo, desdobrando-se em movimentos, pressupõe uma
discussão da dimensão temporal, isto é, das escalas de tempo
adotadas para acompanhar esses mesmos processos e movimentos.
Finalmente, o processo de aprendizagem, com seus movimentos de
significação realizados ao longo do tempo, pressupõe mudanças e,
especialmente, emergência de novidades (COLINVAUX, 2007, p. 31).
Assim como Colinvaux (2007, p. 31), concebemos “aprendizagem como um
processo que se organiza e realiza em torno de significações”, que envolve e
atua em movimentos individuais e coletivos. Aprendizagens são construídas e
reconstruídas nas interações com os outros indivíduos e o meio que se está
inserido, e como movimento tem uma dimensão temporal, contextual. Um
tempo multidimensional, que inclui o tempo individual, o coletivo e aqueles a
que estamos envolvidos nas escolas e nos encontros do grupo. Portanto, os
processos de ensino e aprendizagem ocorrem em movimentos em torno de
significações. Em vista disso, investigar aprendizagem docente, que está
presente nesse processo em movimento se torna complexo, pois estamos
tratando e investigando algo dinâmico e que está em constante mudança.
Ademais, a aprendizagem docente não é linear, cada um aprende de forma
11 El aprendizaje de los profesores puede ser visto como un proceso constructivo e iterativo que lês
permite interpretar los sucesos sobre la base del conocimiento, creencias y disposiciones (a actuar)
previas. (GARCIA; LLINARES, 1999, p. 61)

diferenciada, e precisamos estar em constante discussão com o docente para
que possamos entender algumas de suas aprendizagens.
A intenção de realizar no grupo momentos de discussão sobre o que acontecia
em sala de aula oco
rreu por acreditarmos, assim como Mizukami (2004), que a aprendizagem
ocorre a partir da reflexão sobre as experiências vividas e, não apenas, pelo
fato de vivermos experiências. Nós aprendemos a partir das experiências
quando temos que parar para relembrar o que houve e tentar relatar de forma
clara para os outros membros do grupo, pois precisamos reviver, analisar e
reconstruir as experiências vividas.
É necessário analisarmos cuidadosamente ao falarmos sobre aprendizagens
de professores, e percebermos que esse processo que envolve a cognição é
contextual. Isso foi discutido por Polenttini e Sabaraense (1999) ao
assegurarem:
41
Pensando na cognição do professor no contexto de todos os desafios
e influências que o rodeiam, o professor pode aprender, mudar e
desenvolver-se enquanto interage com o seu meio ambiente. O
estudo do professor e do ensino de matemática não pode ser feito
adequadamente ignorando o contexto de interações sociais e
culturais nas quais a formação do professor e o ensino ocorrem
(POLENTTINI; SABARAENSE, 1999, p. 193).
Observamos ser preciso situar o professor e destacar, sempre que possível,
dados que ajudem o leitor entender de que lugar falamos e em qual lugar as
professoras estão trabalhando e interagindo com seus alunos e com outros
profissionais da educação. Esta pesquisa é um estudo de casos sobre algumas
aprendizagens das professoras que participam num mesmo grupo de estudos.
Portanto, estão situadas e foram influenciadas pelo contexto ao qual esta
pesquisa está inserida.

2.1.2 A reflexão crítica abrindo horizontes para aprendizagens
de professores
A questão da reflexão vem sendo trabalhada a algum tempo, de diferentes
formas por vários pesquisadores em diferentes perspectivas (ALARCÃO, 2004,
1996a; DEWEY, 1979/1910; FREIRE, 1996; LOPEZ-REAL, 2003; NÓVOA,
1992; PERRENOUD, 2002; PONTE, 2002; SANTOS, 1993; SCHÖN, 2000).
Essas pesquisas utilizam nomenclaturas diferentes, com algumas ideias
diversas entre elas, algumas se focalizaram na formação de professor reflexivo,
outras, na reflexão sobre a ação e reflexão na ação, e algumas na investigação
sobre a prática. Porém, todas elas possuem pontos em comum, estão voltadas
para a reflexão por parte do professor, de maneira organizada e sistemática.
Refletir é ato realizado por todos, mas, normalmente, sem profundidade,
criticidade, análise adequada que possam gerar possíveis mudanças às
questões levantadas. As reflexões, quase sempre, são realizadas
individualmente e em pouco tempo, muitas vezes dentro do espaço da sala de
aula. Desejamos que os professores reflitam criticamente, que observem e
analisem como agem, por que agem dessa ou daquela forma, como reagem a
determinadas situações, e como podem continuar nesse processo de reflexão
na sua prática profissional.
Concluímos que a melhor forma de entendermos algumas relações referentes
aos processos de ensino e aprendizagem em matemática é destacando a
reflexão crítica e constante. Isso leva o professor a pensar e a se tornar
consciente sobre o seu fazer, seu agir, suas crenças, concepções, valores,
atitudes, dentre outras coisas se relacionam aos processos de ensino e
aprendizagem (MIZUKAMI et al., 2002; SANTOS, 1993).
Schön (2000/1998) considera que as crenças, os valores, as superstições que
professores possuem estão relacionados com o ensino, a aprendizagem, os
alunos, os conteúdos e que influenciam sua prática na sala de aula e em sua
reflexão. Utiliza um termo que chama de profissional reflexivo, usado ao
comentar sobre a necessidade do professor (instrutor) estar atento como um
42

pesquisador, para compreender as questões relacionadas ao sucesso dos
alunos no cotidiano. Ele diferencia duas maneiras, nas quais o conhecimento
em ação é adquirido originado na reflexão: reflexão na ação e reflexão sobre a
ação. Esclarece ainda que algo acontecido não esperado ou planejado, serve
como ponto de partida para a reflexão na ação e para a reflexão sobre a ação,
isso ocorreu em nossa pesquisa. Schön (2000/1998) indica que não existe um
momento específico da formação do professor no qual ele deve aprender a ser
reflexivo, constatamos que é pela prática que isso acontece, de acordo com a
necessidade do próprio professor, a partir das ações vivenciadas, pois é a
partir da reflexão na e sobre a própria prática que as transformações podem
acontecer. Ele afirma que os momentos de reflexão-na-ação não são tão fáceis
de serem identificados isoladamente, mas são importantes para a imediata
significação na ação. Esse autor considera ainda, que “na reflexão-na-ação, o
repensar de algumas partes de nosso conhecer-na-ação leva a experimentos
imediatos e a mais pensamentos que afetam o que fazemos na situação em
questão e talvez em outras que possamos considerar como semelhantes a ela”
(p. 34). Ele faz um contraponto com a reflexão-na-ação com a reflexão sobre a
reflexão-na-ação considerando que
43
A reflexão-na-ação é um processo que podemos desenvolver sem
que precisemos dizer o que estamos fazendo [...] é claro que,
sermos capazes de refletir-na-ação é diferente de sermos capazes
de refletir sobre nossa reflexão-na-ação, de modo a produzir uma
boa descrição verbal dela. E é ainda diferente e de sermos capazes
de refletir sobre a descrição resultante (SCHÖN, 2000/1998, p. 35).
A importância que o autor dá à reflexão sobre nossa reflexão-na-ação é de que
modificaremos ações futuras, dessa forma ele afirma que essa reflexão dá
início a um diálogo de pensar e de fazer através do qual sejamos profissionais
mais habilidosos. Portanto, promover situações em que as professoras possam
pensar sobre suas ações, e como a conceberam, pode contribuir para um
processo de reflexão crítica que almejamos.
Em um de seus artigos, Alarcão (1996b) realiza uma reflexão crítica em relação
ao pensamento de Schön, chamando a atenção para o fato de ele trabalhar
com profissionais quaisquer e não apenas com formação de professores. Ela

essalta que temos que ter cuidado para não interpretarmos erroneamente as
ideias de Schön sobre reflexão. Por esse motivo, utilizamos o que
consideramos apropriado para nossa pesquisa, porém, tomando o cuidado
para não nos limitarmos aos seus pensamentos, relacionando-os com os de
pesquisadores da educação. Alarcão (1996a, 2004) utiliza o termo professor
reflexivo, e confirma que esse possa contribuir para que se efetivem mudanças.
Um dos seus argumentos é de que a reflexão é inata ao ser humano, logo,
precisa apenas de contextos com os quais se desenvolva o espírito crítico. Ela
apresenta a estrutura de uma pesquisa-ação que atende aos moldes a fim de
que ocorra a reflexão na ação e sobre a ação. Ela nos chama a atenção para o
fato de que tanto a escola como os professores devem estar em estado de
constante reflexão, de modo a manter presente a questão da função que
professores e escola desempenham na sociedade e na tentativa de solução
dos problemas e dilemas. Essa autora afirma que “ser-se reflexivo é ter a
capacidade de utilizar o pensamento como atribuidor de sentido” (ALARCÃO,
1996a, p. 175). Essa autora associa a reflexão do professor em prol da
autonomia do aluno. Concordamos com Alarcão (1996a), pois acreditamos que
os processos de mudança, por parte dos professores, devem ocorrer para
contribuir na aprendizagem do próprio professor e de seus alunos. Uma de
suas frases nos chamou atenção porque acreditamos que precisamos nos
conhecer enquanto professores para ajudar nossos alunos, no nosso caso na
aprendizagem da matemática. Ela coloca a seguinte frase como uma máxima
apresentada por ela: “Professor, descobre o sentido da tua profissão e
descobre-te a ti mesmo como professor para ajudares os teus alunos a
descobrirem a língua que aprendem e a descobrirem-se a si próprios como
alunos” (ALARCÃO, 1996a, p. 187).
Concordamos com Dóris Bolzan (2002) quando afirma que durante o processo
de reflexão constatamos que o professor deixa emergir seus esquemas
implícitos. E até mesmo suas construções teóricas, que são formuladas desde
antes de sua formação acadêmica, pois concluímos que esse profissional se
faz professor no processo em que já está inserido ainda como aluno. No
processo de refletir o professor pode olhar para o passado, suas ações,
44

práticas, crenças e atitudes, e estabelecer relações com o presente e com
possíveis ações futuras. A esse processo a autora chamou de reflexão crítica,
que pode ser feito individualmente ou em grupo, e que tornará os professores
conscientes dos modelos teóricos e epistemológicos evidenciados na atuação
profissional deles.
Bolzan (2002), ao abordar sobre o que seja necessário redirecionar a escola
para favorecer os processos de ensino e aprendizagem, mostra que um dos
caminhos para isso é a reflexão, fundamentando ao afirmar:
45
Refletir sobre a prática pedagógica parece ser um dos pontos de
partida, pois compreender o processo de construção do
conhecimento pedagógico de forma compartilhada implica
compreender como se constitui esse processo no cotidiano da
escola, local de encontros e desencontros, de possibilidades e
limites, de sonhos e desejos, de encantos e desencantos, de
atividade e reflexão, de interação e de mediação nessa construção
que não é unilateral, mas acontece à medida que compartilhamos
experiências, vivências, crenças, saberes, etc., numa ciranda que
não se esgota, ao contrário, se desdobra, se modifica, se multiplica,
revela conflitos e se amplia (BOLZAN, 2002, p. 27).
Essa reflexão sobre a prática deve ser produzida criticamente e serve para
relacionar teoria e prática. Concordamos com Freire (1996), quando afirma que
“a reflexão crítica sobre a prática se torna uma exigência da relação
Teoria/Prática sem a qual a teoria poderia ir virando blábláblá e a prática,
ativismo” (p. 22). De acordo com o educador, a reflexão deve levar a um
„pensar certo‟ sobre a prática, que envolve em qualquer pessoa a curiosidade.
Não uma curiosidade ingênua, conforme nos aponta Freire (1996, p. 39), mas
deve iniciar com a curiosidade ingênua, chegando, por meio da reflexão crítica
sobre a prática, à curiosidade epistemológica.
Llinares e Krainer (2006, p. 431) afirmam que a “reflexão pode se vista como
uma maneira em que cada professor constrói o significado e
conhecimento que guia suas próprias ações 12 ” (tradução nossa). Em outros
momentos, eles apontam para a necessidade de provocar momentos de
12 reflection is regarded as a way in which teachers construct the meaning and knowledge that guide their
actions (p. 431).

eflexão crítica, tanto para futuros professores como para professores que já
estão atuando em sala de aula. Para Llinares e Krainer (2006, p. 442), “a
reflexão é considerada como elemento chave para o desenvolvimento dos
professores, e que é a partir da reflexão que o professor continua a aprender
sobre ensino e sobre si mesmos como professores”. Certamente, os
professores devem ter uma prática que proporcione a reflexão crítica. Destarte,
o foco do processo de reflexão é o elemento chave para dar suporte à
generalização da reflexão e à análise crítica das crenças e concepções dos
professores.
Acreditamos que quando os professores refletem criticamente sobre si
próprios, suas ações, os espaços-tempos nos quais estão inseridos e em todo
o processo de ensino, aprendizagem e avaliação podem contribuir para que
ocorra mudanças no seu próprio desenvolvimento profissional como também
nesse processo no qual está imerso. Por isso, acreditamos que os professores
precisem se tornar práticos reflexivos, de forma crítica e sistemática.
Na formação de professores que atuarão nas séries iniciais, Serrazina (2003)
coloca a reflexão como fundamental, mas que deve ir além, contribuindo para a
ampliação do processo que envolve o ensino e aprendizagem de matemática:
46
o principal objetivo deve ser o de os professores serem capazes, não
só de refletir sobre na e sobre a sua prática para descobrir, criticar e
modificar os modelos, esquemas e crenças subjacentes a mesma,
como também de planificar, experimentar e avaliar projetos
curriculares. [...] o professor precisa de ter instrumentos de análise e
reflexão sobre a sua prática, sobre o seu significado, sobre o tipo de
conteúdo a trabalhar, sobre como aprendem seus alunos e sobre
como ensinar (SERRAZINA, 2003, p. 70).
Conseguiremos ajudar os professores, tanto na formação inicial como na
continuada, quando conseguirmos levá-los a refletir criticamente com utilização
de instrumentos de análise, conforme apontado por Serrazina (2003). Essa
necessidade de reflexão deve ser considerada em todos os momentos de
formação que conduzem ao desenvolvimento profissional do professor. Cooney
e Krainer (1996, p. 1162) defendiam a necessidade da ênfase na reflexão, em
programas de formação continuada, a qual pode contribuir de modo a

proporcionar aos professores explicitar considerações sobre as implicações de
suas próprias experiências de aprendizagens e sobre as influências dessas nas
suas práticas de ensino e para os contextos gerados em sala de aulas por
esses professores. Chapman (2005) e Santos (1999) também defendem a
necessidade de utilizar a reflexão sistemática e crítica sobre nossas
aprendizagens, nossas atitudes, crenças e concepções e sobre nossas práticas
para que possamos estabelecer o desenvolvimento profissional.
Utilizamos nas análises algumas das ideias sobre reflexão crítica, que envolve
o individual e o coletivo como também o social e o local, apresentadas por
Schön (2000/1998), Llinares e Krainer (2006) e Serrazina (2003). Os autores
citados anteriormente colocam o papel do professor como parceiros das
pesquisas e não sujeitos de pesquisa. Defendemos essa visão, queremos junto
com as professoras investigar os processos de ensino e aprendizagem de
matemática, partindo de nossas próprias aprendizagens, geradas por meio da
reflexão crítica dos fatores envolvidos.
2.1.3 Tomada de consciência e metacognição: janelas para
dentro de si mesmo
As questões relacionadas às mudanças de atitudes, tomadas de consciência e
metacognição se referem à reflexão do professor e sua investigação sobre a
prática. A tomada de consciência, por parte do professor, significa ele sair do
processo de apenas intuição, iniciar na reflexão sobre a própria prática para se
conhecer, enquanto professor e enquanto aprendiz. Poder ter a consciência de
seus processos de aprendizagem, do seu saber e do seu fazer, significa
reconhecer-se enquanto sujeito do conhecimento. Muitos de nós, professores,
temos atitudes inconscientes, sem refletirmos sobre as causas e as
consequências do que fazemos. Agimos num nível de intuição ingênua,
precisamos nos dar conta de nós mesmos, de maneira consciente para
podermos inferir sobre nossas ações, o que perpassa pela reflexão, ampliando
47

a discussão para aspectos cognitivos e emocionais. Santos (1995, 1994) nos
aponta para a necessidade de tomada de consciência que um futuro professor
deve ter, acrescentamos que todos os professores necessitam ter esse nível de
consciência. Ela afirma que “um professorando/a [...] precisa estar consciente
de quem ele/ela é em termos de seu conhecimento, concepções e atitudes
sobre a educação e a disciplina que ele/ela estará lecionando, e a motivação
que ele/ela tem para aprender e ensinar” (SANTOS, 1993, p. 120).
Vânia Santos (1995) discute vários aspectos que devem ser considerados
sobre a consciência metacognitiva de futuros professores, ela observa que
esse tipo de consciência deve incluir:
1. Pensar sobre seu próprio processo de pensamento durante a resolução
de problemas;
2. Pensar sobre suas próprias fortalezas e limitações no que diz respeito
a certos tópicos matemáticos e procedimentos;
3. Pensar sobre seu próprio conhecimento matemático;
4. Pensar sobre suas crenças e concepções enquanto aluno de
matemática e futuro professor de matemática;
5. Pensar sobre suas próprias atitudes sobre aprendizagem em
matemática, o ensino de matemática, e a avaliação tanto como aluno/
quanto como futuro/a professor/a de matemática;
6. Pensar sobre a influencia de suas crenças, concepções e atitudes
sobre a matemática e sua pedagogia podem ter nos seus/suas
futuros/as alunos/as;
7. Pensar sobre sua própria motivação para aprender matemática e para
superar dificuldades em matemática em comparação com o seu futuro
trabalho como professor/a para motivar os/as alunos/as a aprender e a
superar as dificuldades de aprendizagem; e
8. Pensar sobre o monitoramento e controle de seu próprio esforço para
resolver problemas matemáticos (SANTOS, 1995, p. 120 – 121).
Concluímos que esses aspectos possam ser abordados nos trabalhos com
professores que já atuam em sala de aula, mas que também necessitam
pensar sobre o seu próprio processo de pensamento, suas fortalezas e
limitações a respeito de conceitos matemáticos, sobre seu conhecimento
matemático, suas crenças e concepções, suas atitudes e a relação com sua
prática em sala de aula de matemática.
Precisamos definir melhor o que entendemos por metacognição, para isso,
estudamos alguns autores que trabalham com o assunto. Ribeiro (2003),
trabalhando a etimologia, afirma que “a palavra metacognição significa para
48

além da cognição, isto é, a faculdade de conhecer o próprio ato de conhecer,
ou, por outras palavras, consciencializar, analisar e avaliar como se conhece”
(RIBEIRO, 2003, p. 109). Essa mesma autora afirma que “a metacognição diz
respeito, entre outras coisas, ao conhecimento do próprio conhecimento, à
avaliação, à regulação e à organização dos próprios processos cognitivos”
(RIBEIRO, 2003, p. 110). Tanto Ribeiro (2003) como Jou e Sperb (2006)
apontam a metacognição como apoio ao processo de aprendizagem de alunos.
Assim, os professores precisam realizar tarefas que ajudem seus alunos a
desenvolverem o conhecimento metacognitivo, fundamental para a
aprendizagem. Ampliamos essa colocação para os professores, pois, se eles
aprendem a desenvolver a metacognição, interagindo sobre seus próprios
conhecimentos, desenvolvendo sua própria aprendizagem, possivelmente,
contribuirá melhor com a aprendizagem de seus alunos. Ribeiro (2003, p. 115)
afirma que “a metacognição pode, então, ser vista como a capacidade chave
de que depende a aprendizagem, certamente a mais importante: aprender a
aprender, o que por vezes não tem sido contemplado pela escola”.
Acreditamos que também não tem sido contemplado em muitas formações das
quais os professores participam. E analisando no âmbito do professor, cremos
que as formações necessitam criar condições que levem o professor a
experiências metacognitivas que desenvolvam o conhecimento metacognitivo
para que possa continuar aprender a aprender.
Metacognição também pode ser colocada, como um processo que envolve a
habilidade de um indivíduo (no nosso caso do professor) de refletir
criticamente, olhar para dentro de si mesmo, compreender e tentar controlar a
cognição (BAIRRAL; RODRIGUEZ, 2005; DAVIS; NUNES; NUNES, 2005;
FERREIRA, 2003; SANTOS, 1995), o que leva a conhecer melhor a própria
aprendizagem e as próprias ações de ensino. Ou ainda como “a capacidade do
ser humano de ter consciência dos seus atos e pensamentos” (JOU; SPERB,
2006, p. 177). Dessa forma, os conhecimentos que ele possui sobre si próprio
enquanto aprendiz e enquanto professor de Matemática incluem, dentre os
muitos fatores, conhecer suas potencialidades e dificuldades, tendências e
comportamentos típicos, suas atitudes em situações particulares. O professor
49

deve relacionar conhecimentos com a existência da consciência de seu próprio
repertório metodológico, táticas e estratégias e do modo como elas podem
facilitar o desempenho, quanto as crenças sobre a Matemática e sua influência
sobre sua prática. Em nossa pesquisa, trabalhamos a metacognição para
tentar levar as professoras a terem conhecimento e controle intencional acerca
de seus processos cognitivos e os produtos desses e também para
desenvolverem a habilidade de monitoramento e auto-regulação para
potencializar sua atividade cognitiva.
2.1.4 Conhecimentos de professores: diferentes janelas
Abordamos nesta seção, alguns conhecimentos que consideramos importantes
para professores e suas práticas. Em relação aos diferentes tipos de
conhecimentos dos professores, temos, por exemplo, que alguns autores
utilizam a palavra saberes. Em nossa pesquisa utilizamos a palavra
conhecimentos.
Shulman (1986) reformulou o foco de pesquisas que envolvem conhecimento
de professores. Em seus estudos sobre esses, ele afirma que existe uma base
de conhecimento que é um conjunto de compreensões, conhecimentos e
habilidades que o professor necessita para desenvolver processos de ensinar e
aprender (MIZUKAMI, 2004). Shulman (1986) classificou os conhecimentos dos
professores utilizando as seguintes categorias: conhecimento do conteúdo que
se refere às escolhas e à organização dos conteúdos matemáticos pelo
professor; conhecimento pedagógico do conteúdo, que está relacionado com
os modos que o professor utiliza para trabalhar em sala de aula os conteúdos
selecionados por ele; e o conhecimento curricular, que é mais amplo e envolve
a dinâmica educacional. Outros autores fazem outras classificações,
detalhando ou subdividindo essa classificação de Shulman (1986), entretanto,
normalmente, fazem menção à sua classificação.
50

Ponte (2001) é um dos autores que nos mostra a importância em estudar os
conhecimentos dos professores, ao afirmar que o conhecimento usado pelo
professor, na sua prática profissional, constitui um dos principais temas de
interesse em diversos estudos. Para ele, importa saber em que consiste o
conhecimento do professor, qual a sua natureza, como os conhecimentos se
desenvolvem e qual a sua relação entre conhecimentos e prática profissional.
Os estudos relacionados com os conhecimentos dos futuros professores e dos
professores em exercício são colocados por Llinares e Krainer (2006) como
importantes para que possamos entender as aprendizagens dos professores.
Concordamos que existe uma estreita ligação entre conhecimentos e
aprendizagens, de forma que, muitas vezes não conseguimos separar o que
representa cada um.
Serrazina (2003) faz considerações sobre o que o futuro professor deve saber
de matemática, mas sabemos que isso deve acontecer com todos os
professores que ensinam matemática. Ela, ao comentar Débora Ball, aponta
que o futuro professor necessita ter uma profunda compreensão da
matemática, e essa compreensão não pode ser limitada ao conhecimento tácito
de como saber fazer. No entanto, defende o conhecimento que permite o
professor falar sobre a matemática, além de descrever os passos para algum
algoritmo, mas com a capacidade de explicar os significados utilizados e as
relações e procedimentos. Serrazina (2003) aponta alguns conhecimentos
pedagógicos matemáticos quando afirma que os professores devem ser
capazes de:
Ter em conta, a todo o momento da atividade matemática, o
conhecimento matemático previamente adquirido pelos seus alunos;
Priorizar as experiências dos alunos, procurando que desenvolvam
uma aprendizagem da matemática baseada na ação e na reflexão;
Contextualizar as atividades de aprendizagem da matemática de
modo que os conhecimentos que pretende que os alunos adquiram
sejam significativos;
Incluir as atividades de ensino/aprendizagem da matemática em
situações educativas mais amplas que lhes dêem significado e onde
as explicações do professor façam sentido;
Apresentar os conteúdos matemáticos de forma relacionada,
integrada e recorrente em diferentes níveis de elaboração, pois na
51

verdade não se aprende de uma vez por todas (SERRAZINA, 2003,
p. 69).
Os artigos de Llinares (1999) e de Marcelo Bairral (2003) resumiram ideias de
várias pesquisas sobre conhecimento profissional dos professores, colocando a
variedade de classificações e a importância em se estudar e analisar como,
historicamente, foram sendo construídas essas teorias para investigações
sobre a formação de professores e sua direta relação com o conhecimento
profissional docente. Bairral (2003) realizou um estudo teórico que contribuiu
com nossa pesquisa no que diz respeito a conhecer diferentes abordagens
dadas pelos pesquisadores ao investigarem conhecimento profissional dos
professores, com isso, decidimos que vamos organizar nossas escolhas no que
Shulman (1986) realizou sobre conhecimentos, com algumas adaptações.
Fennema e Franke (1992) também abordam o tema sobre os conhecimentos
dos professores e seus impactos e esclarecem que não podem separar
conhecimentos de crenças e concepções. Nesse trabalho, as autoras fazem
uma revisão de muitos estudos que possuem abordagem nos conhecimentos
dos professores em matemática e de sua importância para a sala de aula por
ter influência direta em como os professores selecionam e aplicam os
conteúdos nas aulas. Fennema e Franke (1992) estudam também
conhecimentos das representações matemáticas e conhecimentos gerais dos
professores sobre ensino. Abordam a estrutura e os modelos cognitivos sobre
conhecimentos dos professores, apontando caminhos para as pesquisas nesse
enfoque. Em diferentes momentos, as autoras comentam as ligações entre
conhecimentos e crenças e concepções, relacionando-os com os aspectos
afetivos. Em nossa pesquisa vivenciamos essa constatação das autoras e ao
percebermos as interseções entre os diferentes conhecimentos que
professores possuem com suas crenças e concepções. Comentamos não
acreditar que podemos isolar aspectos cognitivos dos afetivos, porém abordá-
lo-emos em tópicos com destaques separadamente, mas com a consciência de
que, na prática, eles estejam se influenciando mutuamente.
52

Para nossa pesquisa utilizaremos a seguinte categorização dos conhecimentos
dos professores:
o Conhecimento dos Conteúdos Matemáticos: o que se
relaciona com a apropriação dos conceitos matemáticos pelos
professores e seleção dos conteúdos matemáticos ensinados.
o Conhecimento Pedagógico: modos como os professores
abordam o trabalho dos conteúdos em sala de aula, assim como
se apropriam do contrato didático.
o Conhecimento Pedagógico Matemático: modos como os
professores trabalham conteúdos específicos de matemática com
seus alunos.
o Conhecimento do Currículo de Matemática: organização dos
conteúdos matemáticos pelo professor.
o Conhecimento dos Alunos: que se relaciona às aprendizagens,
ao aspecto emocional e cognitivo dos alunos.
2.2 Ensino, aprendizagem e avaliação de conteúdos
matemáticos: construindo possibilidades
Vários conceitos e conteúdos matemáticos foram abordados durante este
estudo longitudinal. Alguns, em profundidade; outros, superficialmente, como
curiosidades ou desafios para nós, enquanto participantes de um grupo de
estudos. As possibilidades de abordagens foram se construindo ao longo desse
processo. As demandas do grupo surgiam em um entrelaçamento dos
trabalhos educacionais realizados pelas professoras Susana e Beatriz, com a
volitude e a necessidade do grupo em estudar tais conceitos e conteúdos
matemáticos.
53

Dentre as possibilidades de aprofundamento nos conceitos e nos conteúdos
matemáticos destacaram-se nos nossos incidentes críticos ou significativos 13 a
geometria e a resolução de problemas envolvendo as operações fundamentais
(adição, subtração, multiplicação e divisão). Ressaltamos a importância desses
conteúdos nas séries iniciais como campos de conhecimentos fundamentais
para a construção do edifício matemático. Notamos isso nas propostas
apresentadas pelos Parâmetros Curriculares Nacionais – PCN‟s, nas
abordagens dos livros didáticos, além das diferentes pesquisas sobre esses
assuntos. Por esse motivo, discorremos sobre esses assuntos, destacando
nossos estudos e os principais autores que nos permitiram tanto contextualizar
a pesquisa, quanto entender e interagir com os dados obtidos na mesma.
2.2.1 Geometria: janela descoberta
A geometria está presente a nossa volta, no mundo que nos cerca, porém,
muitas vezes não a percebemos, ela representou nossa „janela descoberta‟.
Com a abertura dessa janela, pudemos vislumbrar outros horizontes de nossa
própria aprendizagem e em aulas de matemática. Normalmente, a formação
em geometria não tem sido satisfatória nas últimas décadas. Um forte fator que
provocou o afastamento da geometria do ensino e aprendizagem da
matemática foi o Movimento da Matemática Moderna por ocasionar mudanças
nos currículos escolares de matemática (MIORIM; MIGUEL; FIORENTINI,
1993; MIGUEL; FIORENTINI; MIORIM, 1992; PAVANELLO, 1993). Desde esse
movimento foram ocorrendo também alterações no currículo dos cursos de
licenciatura em matemática nas diferentes universidades brasileiras. E em
muitos cursos de licenciatura, desde a década de 1970, os professores de
matemática se formaram sem ter estudado em profundidade conhecimentos de
geometria euclidiana. Nos currículos escolares, a geometria foi aparecendo
13 Os incidentes críticos ou significativos e a escolha da geometria e da resolução de problemas serão
detalhados no capítulo 4.
54

sempre na lista de conteúdos como um dos últimos e os livros didáticos,
algumas vezes como referência central para o professor, reforçou essa
afirmação.
Algumas pesquisas mostram professores que não aprenderam geometria
quando estudantes e por isso são inseguros ao abordar o assunto em aulas de
matemática (PAVANELLO, 2004). Um desses motivos foi que o ensino da
geometria sofreu um „abandono‟, após o Movimento da Matemática Moderna,
no qual o ensino de álgebra se tornou central. Outro motivo foi a falta de
preparação dos professores, quanto ao desenvolvimento dos conteúdos
geométricos pela deficiência da formação (FRAGA, 2004; MIORIM; MIGUEL;
FIORENTINI, 1993; MIGUEL; FIORENTINI; MIORIM, 1992; PAVANELLO,
1993). Não pretendemos nos aprofundar nesse assunto, mas apenas citar o
fato, pois influenciou na formação de uma geração e em especial, na formação
das professoras participantes em nosso grupo. Já existem pesquisas
comprovando que, nos últimos anos, tem ocorrido uma tentativa de resgate
desse conteúdo nas aulas de matemática e em formações iniciais e
continuadas, de uma maneira diferenciada (MIORIM; MIGUEL; FIORENTINI,
1993; NACARATO; PASSOS, 2003).
Concordamos que uma formação deficitária, relativa à geometria, seja na
formação escolar básica ou na licenciatura, pode gerar maior dificuldade
posterior em ensinar geometria, principalmente por aqueles que não se sentem
atraídos ou encantados com essa parte da matemática ou desejam conhecê-la
por conta própria. Percebemos e confirmamos em algumas pesquisas, como a
de Nacarato e Passos (2003), que, durante a trajetória estudantil, professores
não estudaram de maneira adequada conteúdos de geometria, principalmente
os que atuam nas séries iniciais. Esse fato pôde ter influenciado professores na
valorização e ensino dessa área, já que concordamos com Lorenzato (1995)
quando afirma que quem não aprendeu geometria pode ter dificuldade em
ensiná-la.
Quanto à geometria, fazemos uma crítica aos PCN‟s, pois indicam a
necessidade de um trabalho com a geometria nas séries iniciais, porém não
55

colocam orientações mais diretivas de como realizá-las, talvez em forma de
exemplos como atividades para os professores utilizarem em aulas, como fez
com as quatro operações. Os PCN‟s afirmam que “a geometria é um campo
fértil para se trabalhar com situações-problema e é um tema pelo qual os
alunos costumam se interessar naturalmente” (BRASIL, 1997, p. 55 - 56).
Além disso, também está explícito que o trabalho com a geometria contribui
para a aprendizagem de aritmética e vice-versa. Evidenciam os conhecimentos
matemáticos em detrimento aos conhecimentos pedagógico matemáticos sobre
geometria. Entretanto, na parte em que estabelece algumas orientações
didáticas, o quantitativo maior é nas quatro operações, colocando exemplos e
algumas ideias que essas envolvem. As que envolvem geometria se restringem
a apresentar algumas sugestões sobre como a criança inicia o aprendizado da
geometria, porém, sem nenhuma contribuição para o conhecimento
pedagógico matemático de geometria. Sabemos que já existem estudos e
livros que trazem diferentes ideias e atividades sobre a geometria trabalhada
nas séries iniciais, mas não são indicados nos PCN‟s como orientações para o
trabalho da geometria em sala de aula.
Acreditamos que apenas mencionar a importância da geometria em
documentos oficiais não favorece efetivamente o ensino da geometria,
precisamos envolver os professores a participarem de discussões e de projetos
de formação continuada sobre o assunto, tanto da parte teórica como da
prática pedagógica desse conteúdo (NACARATO; PASSOS, 2003). Deduzimos
ser também isso um reflexo da visão coletiva de muitos professores, os quais
acreditam que, nas séries iniciais, o mais importante é ensinar os números e o
processo de contagem com as quatro operações.
Abordamos, nesta seção, algumas considerações sobre a formação de
conceitos geométricos, pois isso contribuirá para nossas discussões sobre a
aprendizagem e a (re) construção desses conhecimentos pelas professoras
participantes e por seus alunos. Alguns autores, como Broitman e Itzcovich
(2006), levantam questionamentos sobre diferenças e semelhanças entre
conhecimentos do nosso espaço tridimensional e conhecimentos geométricos
56

que são estudados na escola. Eles apontam, principalmente, para o fato de que
aprendemos alguns conhecimentos sobre o espaço, de forma espontânea e
que, normalmente, não são abordados em sala de aula. Neste trabalho
destacamos uma maneira de contribuir para a construção sobre conhecimentos
geométricos por meio da formação de professores. Instigando esses
professores para que possam pensar e elaborar atividades que contribuam
para a construção desses conhecimentos por parte dos alunos. Questionamo-
nos o „para quê‟ se ensinar geometria nas séries iniciais e concordamos com a
síntese realizada por Broitman e Itzcovich (2006), a fim de explicar os objetivos
desse ensino. Eles afirmam que
57
o ensino da geometria fundamental pode apontar para dois grandes
objetivos. Em primeiro lugar, para a construção de conhecimentos
cada vez mais próximos de “porções” de saber geométrico
elaborados ao longo da história da humanidade. E, em segundo
lugar, e talvez seja o mais importante, para a iniciação de um modo
de pensar próprio do saber geométrico. Ambos os objetivos estão
intimamente imbricados (BROITMAN; ITZCOVICH, 2006, p. 175).
Rina Hershkowitz (1994a) 14 aprofunda discussões sobre aspectos psicológicos
de aprendizagem em geometria, chamando a atenção para a formação de
conceitos geométricos. Ela inicia, fazendo referência às pesquisas e às suas
teorias que envolvem o assunto. Essa autora cita Piaget e sua teoria de
concepção do espaço para a criança, principalmente, a questão da percepção
e da representação. Hershkowitz (1994a) comenta também sobre a teoria de
Van Hiele e suas fases de ensino, e porque o seu objetivo é a construção da
geometria como uma estrutura dedutiva. Após essa reflexão, ela se refere a
alguns pontos que precisam ser abordados para a formação dos conceitos
geométricos, e os quais destacamos na sequência.
Quando comentamos sobre ensino da geometria, deparamo-nos com a
questão da visualização. Para Hershkowitz (1994a, p. 9), a “visualização
14 Os artigos utilizados dessa autora foram retirados do BOLETIM GEPEM 32 e foram resultados de
traduções realizadas em trabalhos trazidos por Hershkowitz para um curso intitulado “Ensino e
aprendizagem da geometria”, realizado na Universidade de Santa Úrsula em 1993. Logo a data dos
artigos originais pode ser diferentes da apresentada neste trabalho. Quando tivermos acesso a essa
informação, indicaremos no texto.

geralmente se refere à habilidade de representar, transformar, gerar, comunicar
e refletir sobre informação visual”. Acrescenta ainda, que a visualização se
torna importante porque envolve tipos de processos mentais que são
necessários na geometria e em outras áreas da matemática. Nacarato e
Passos (2003) também exploram a questão da visualização para situações de
ensino da geometria, em função de ser um dos elementos que envolvem o
processo de representação. Essas autoras chamam a atenção para o fato de
que, na educação matemática, a visualização pode ser tratada com outros
termos considerados equivalentes, como imagem mental ou pensamento
espacial. Neste trabalho, preferimos utilizar visualização para representar essa
habilidade de pensar em termos de imagem mental (NACARATO; PASSOS,
2003; CLEMENTS; BATTISTA, 1992).
Hershkowitz (1994b, p. 45) ressalta que o papel da visualização no
desenvolvimento dos conceitos geométricos possui complexidade e atua em
duas direções que são opostas. Uma é que, para formar a imagem de um
conceito e de seus elementos utilizamos da visualização ou identificação de
seus elementos. E a outra é que a limitação a esses elementos visuais
empobrecem a imagem conceitual. Precisamos trabalhar de forma que os
alunos tenham uma imagem mental dos objetos geométricos, utilizando-se de
diferentes sentidos e conhecimentos para realizar experiências no ambiente em
que vivemos, pois estamos rodeados de formas geométricas na natureza e
outros objetos construídos pelos seres humanos. Além de valorizarmos os
processos de argumentação e provas que devem começar a serem construídos
nas séries iniciais.
Para trabalhar a formação de conceitos geométricos básicos, Hershkowitz
(1994a) faz uma distinção entre conceito e imagem conceitual. Sendo o
conceito decorrente de sua definição matemática, e a imagem conceitual - o
conceito conforme está refletido na mente do indivíduo -, “resultado dos
processos mentais de formação do conceito” (p. 15). Ela chama a atenção para
o fato de que podemos considerar boa parte da estrutura dos conceitos básicos
de geometria como „conjunção‟ de atributos relevantes. Para Hershkowitz
58

(1994a), os conceitos possuem atributos relevantes e atributos não críticos que
devem ser trabalhados para a formação de exemplos e de contra-exemplos.
Ela faz a seguinte diferenciação:
59
O conceito é derivado de sua definição matemática e desta forma,
possui atributos relevantes (críticos) – aqueles atributos que devem
ser satisfeitos para termos um exemplo positivo do conceito – e
atributos não críticos – aqueles atributos que apenas alguns dos
exemplos possuem. A própria definição verbal geralmente inclui um
subconjunto mínimo dos atributos relevantes suficientes para definir
um conceito. A definição portanto pode ser considerada como um
critério para instâncias de classificação entre exemplos conceituais
positivos ou negativos. Os exemplos negativos (os contra-exemplos)
que são relevantes para o ensino e para as pesquisas sobre a
formação do conceito são aqueles que possuem alguns, mas não
todos os atributos relevantes (HERSHKOWITZ, 1994a, p. 16).
A formação dos exemplos e contra-exemplos foi trabalhada por nós durante a
pesquisa, uma forma de contribuir para a identificação e compreensão das
conjunções dos atributos relevantes na formação dos conceitos geométricos
pelas professoras. Destacamos, nas análises, alguns momentos em que
provocamos esses atributos, juntamente com a visualização.
Em relação à construção do saber geométrico, existe certo acordo entre os
diferentes pesquisadores sobre o estudo, das propriedades das figuras e dos
sólidos, se iniciar nas primeiras séries (BROITMAN; ITZCOVICH, 2006;
HERSHKOWITZ; BRUCKHEIMER; VINNER, 1994) e, com isso a introdução do
pensar geométrico. Hershkowitz (1994a) revela algumas implicações para o
ensino da geometria, destacando algumas características das estratégias de
ensino. Para ela, existe
(a) Falta de completude, na qual apenas parte dos exemplos e
atributos são apresentados; (b) falta de consciência, como também
ausência do conhecimento de elementos adicionais (Hershkowitz et
al., 1987 15 ) por parte do professor ou até mesmo dos livros didáticos
(ou material didático); (c) falta de consciência das dificuldades do
15 HERSHKOWITZ, R.; BRUCKHEIMER, M.; VINNER, S. Activities with teachers based on cognitive
research. In: LINDQUIST, M. M.; SHULTE, A. P. (ed.) Learning and teaching geometry k-12. Reston,
VA: National Council of Teacher of mathematics, 1987. Com tradução para o português com a seguinte
referência: HERSHKOWITZ, R.; BRUCKHEIMER, M.; VINNER, S. Atividades com professores
baseadas em pesquisas cognitivas. In: LINDQUIST, M. M.; SHULTE, A. P. (ed.) Aprendendo e
ensinando geometria. Tradução de Hygino H. Domingues. São Paulo: Atual, 1994.

aluno e dos conceitos errôneos na construção destes conceitos; e (d)
generalização dos atributos do conceito (definições) realizada (se
tanto) pelo professor ou pelo material pedagógico, com o aluno sendo
visto meramente como um simples receptor passivo
(HERSHKOWITZ, 1994a, p. 20).
Essa mesma autora, em outro artigo, resume essas características de ensino
em incompletude, quando apenas alguns poucos exemplos são utilizados pelos
professores ou em situações não formais, e, no desconhecimento ou
inconsciência do professor ou dos livros didáticos de outros elementos
(HERSHKOWITZ, 1994b; HERSHKOWITZ; BRUCKHEIMER; VINNER, 1994).
No ensino da geometria nas séries iniciais aparecem tanto a incompletude
como o desconhecimento. Um dos fatores para essa afirmação é que esses
conhecimentos não foram explorados de maneira adequada em sua formação,
nem na educação básica e nem nos cursos de licenciatura ou pedagogia. Além
disso, no momento de ensinar geometria, nas primeiras séries, ocorre muitas
vezes incompletude e desconhecimento por causa de falta desses
conhecimentos nos professores, não se sentindo confortáveis para ensinar
aquilo que não está bem construído em suas mentes (HERSHKOWITZ,
1994b). Isso se reflete na aprendizagem dos alunos em relação à geometria.
Precisamos realizar ações para que professores, em formação inicial ou
continuada, possam ter oportunidades de vivenciar situações da prática
pedagógica que contribuam para a formação do seu próprio pensamento
geométrico (NACARATO; PASSOS, 2003).
2.2.2 Resolução de problemas envolvendo as quatro
operações: olhando diferentemente por essa janela
A resolução de problemas foi um tema abordado em grande parte dos nossos
encontros. Por esse motivo, identificamo-la como um tópico ao qual
precisávamos dar a devida atenção. Sabemos que é possível haver resolução
60

de problemas vinculada a vários conteúdos matemáticos, porém, neste
trabalho restringir-nos-emos a apresentá-la relacionada com as quatro
operações fundamentais de adição, subtração, multiplicação e divisão.
Os conceitos matemáticos estão relacionados com o conhecimento de
matemática dos professores, o que eles sabem sobre cada conceito ou
definição, o que e de que forma valorizam tal conhecimento, como identificam
cada conceito ou definição e sua relação com os demais conhecimentos
matemáticos. Já existe um grande número de autores que estudam a formação
de professores e sua relação com alguns conteúdos matemáticos (LOPES,
2003; PAVANELLO, 2004), outros abordam os conteúdos com suas formas de
abordagens (LORENZATO, 2006; LORENZATO, 2006; NUNES et al., 2005;
PANIZZA, 2006; SAIZ, 1996) e a relação desses com as interações entre
professores e alunos (CARRAHER, 1986; CARRAHER, CARRAHER e
SCHLIEMANN, 1988; MUNIZ, 2004). Por meio dessas leituras, observamos
como alguns dos conceitos matemáticos colocados, anteriormente, foram
abordados por outros professores e pesquisadores, e ainda, como esses
trabalhos contribuiriam para nossa investigação.
As operações fundamentais de adição, subtração, multiplicação e divisão
também ganharam destaque em nossas discussões e no que foi observado em
sala de aula. Notamos, entretanto, que estavam normalmente envolvidas por
situações-problema e em suas resoluções. Por isso, decidimos abordá-la,
conjuntamente, com a resolução de problemas. Mesmo sendo uma abordagem
e conteúdo amplamente trabalhado pelas professoras, olhamo-la,
diferentemente, e percebemos que solicitava a apreendermos alguns conceitos
que envolvem as operações fundamentais de maneira aprofundada e
diferenciada. Olhando através dessa janela, ampliamos nossos horizontes,
aprendemos e identificamos novas propostas.
61

Resolução de problemas
Ao estudarmos sobre resolução de problemas, constatamos que ela sempre
esteve presente na matemática, mas, pesquisadores somente começaram a
investigá-la de maneira sistemática na década de 1970 (ONUCHIC, 1999;
ONUCHIC; ALLEVATO, 2004; STANIC; KILPATRICK, 1989). Também
notamos que essa atividade é algo complexo e envolve várias capacidades
cognitivas, conforme Lester (1993) nos aponta ao comentar que:
62
A resolução de problemas é uma actividade que requer que um
indivíduo se envolva numa variedade de acções cognitivas cada uma
das quais exigindo algum conhecimento e capacidade. Além disso,
estas acções cognitivas são influenciadas por factores não cognitivos.
Ou seja, pela sua natureza mais intrínseca, a resolução de problemas
é uma forma extremamente complexa de desafio que envolve muito
mais do que o simples recordar de factos para a aplicação de
procedimentos bem aprendidos. Além do mais, a capacidade para
resolver problemas de Matemática desenvolve-se lentamente ao
longo de um período muito alargado de tempo porque o seu sucesso
depende de muito mais do que os conhecimentos de conteúdos. O
desempenho em resolução de problemas parece ser uma função de
pelo menos cinco categorias alargadas e interdependentes de
factores: (1) aquisição e utilização de conhecimentos; (2) controlo
[sic]; (3) concepções; (4) factores do domínio afectivo; e (5) contextos
sócio-culturais. Estas cinco categorias intersectam-se (e.g., não é
possível separar completamente factores do domínio afectivo,
concepções e contextos sócio-culturais) e relacionam-se numa
variedade de formas tão vasta [...] (LESTER, 1993, p. 24-25).
Admitimos estarem presentes nas práticas dos professores esses fatores,
portanto, devemos atentar para a não simplificação da resolução de problemas
como a um simples fato de buscarmos uma resposta a um problema proposto.
Precisamos investigar o contexto nos quais professores e alunos estão
envolvidos, suas crenças, seus conhecimentos matemáticos e o domínio
afetivo ao se resolverem problemas em aulas de matemática.
Neste trabalho, nos restringimos a situar o leitor sobre as três diferentes
abordagens, com resolução de problemas em educação matemática, pois,
estudos mais detalhados já podem ser encontrados na literatura específica da
área (ONUCHIC; ALLEVATO, 2004; SANTOS, 1993; SANTOS-WAGNER,
2008; SCHOENFELD, 1992; STANIC; KILPATRICK, 1989).

Uma das vertentes apontadas por Onuchic e Allevato (2004, p. 220) é a
“metodologia de „Ensino-aprendizagem de Matemática através da Resolução
de Problemas‟ (grifo nosso), que se constitui num caminho para ensinarmos
matemática através da Resolução de Problemas”. Nessa metodologia, inicia-se
o trabalho da matemática com problemas, utilizando resolução de problemas
fazendo conexões entre os conteúdos e para desvelar conceitos matemáticos a
serem explorados (SANTOS-WAGNER, 2008). Nesse caso, não apenas
ensinamos a resolver problemas, mas partimos de problemas para ensinar
matemática. Assim, havemos de considerar que “a aprendizagem será uma
consequência do processo de Resolução de Problemas” (ONUCHIC;
ALLEVATO, 2004, p. 221). Os PCN‟s (BRASIL, 1997) apontam esse caminho
como proposta para um trabalho que coloque como foco do processo de ensino
e aprendizagem, a resolução de problemas.
Em outra abordagem do ensino sobre resolução de problemas, professores e
alunos aprendem caminhos de como resolver problemas de maneira mais
sistemática. Alguns professores focalizam no uso de algumas estratégias para
resolver problema, diferenciando os problemas e classificando-os segundo
modelos. Ensinam o conceito matemático para depois trabalharem os
problemas modelos com os alunos. Indicam, sistematicamente, como se
resolvem os problemas, nem sempre valorizando o processo de pensar próprio
de cada aluno. Santos-Wagner (2008) exemplifica que o papel do professor
nessa abordagem, muitas vezes restringe ao uso dos quatro passos de Polya,
pois
63
o professor preocupa-se em exemplificar e exercitar com os alunos as
estratégias de resolução de problemas e as quatro fases para a
resolução de Polya. [...], que são: leitura e compreensão do problema;
planejamento e implementação de ações para resolver o problema;
tentativa de resolução segundo os planos identificados; verificação da
solução e análise da solução (SANTOS-WAGNER, 2008, p. 58-59).
A terceira abordagem é a do ensino para a resolução de problemas, na qual ao
ensinarmos matemática, esperamos que os alunos utilizem, em diferentes
situações, o que foi aprendido na resolução de problemas. Por conseguinte,

num momento final do processo de ensino, “o professor propõe aos alunos
uma série de atividades denominadas problemas, onde, na verdade, uma
grande parte são, de fato, exercícios para praticar e fixar os conceitos e
procedimentos explorados e estudados em aulas” (SANTOS-WAGNER, 2008,
p. 59). Aqui aparece o questionamento sobre o que é um problema e sua
diferença de atividades. Consideramos, como problema, uma situação na qual
o sujeito precisa buscar solução, mas que não conhece todo o percurso ou a
estratégia necessária para seguir e solucionar tal situação (CHARLES;
LESTER, 1982 16 apud SANTOS-WAGNER, 2008; KRULIK; REYS, 1997/1980).
Temos ciência de que a terceira abordagem de ensino foi e continua sendo o
que aparece nos livros e o qual os professores fazem inicialmente em sala de
aula. Já o ensino sobre resolução foi iniciado e ampliado depois que o livro de
Polya foi divulgado. E o ensino através da resolução de problemas aparece
como uma abordagem mais abrangente e dinâmica e também nessa
abordagem percebe-se como é importante que o professor também trabalhe
com as outras duas abordagens também. Indicamos que não devemos
valorizar apenas uma dessas abordagens, mas utilizar a que mais convir para a
situação proposta. Pois, quando um professor limita somente a uma dessas
abordagens, empobrece a aprendizagem de seus alunos, pois não possibilita
que ele tenha acesso a outras formas de olhar e utilizar a resolução de
problemas.
A terceira abordagem foi a que mais esteve presente nas práticas em aulas de
matemática. Não podemos afirmar que, em nossos encontros, predominou
esse ou aquele enfoque, pois, discutimos sobre resolução de problemas e de
maneira a atender demandas trazidas pelas professoras. Porém, não
abordamos a resolução de problemas como um meio para ensinar determinado
conteúdo e, sim, como discussão de conceitos matemáticos e diferentes
formas de abordagens em sala de aula.
16 CHARLES, R.; LESTER, F. Teaching problem solving: What, why and how. Palo Alto, CA: Dale
Seymour Publications, 1982.
64

Tivemos em alguns encontros discussões sobre a segunda abordagem,
inclusive, com estudo de um texto sobre o assunto, levado pela professora
Lucia. Porém, o que se destacou nos debates e o que apresentamos em
nossas análises foram momentos de reflexão e trocas sobre resolução de
problemas. Em alguns tópicos mostramos algumas estratégias utilizadas pelas
professoras para ajudarem seus alunos a resolver problemas, mas, sem que
atendessem, rigorosamente, os passos sugeridos por Polya ou por outro
matemático para esse fim. O que ocorreu durante as aulas aconteceu de uma
forma mais ampla e sem se vincular a um autor específico, e de uma maneira
muito particular pelas professoras.
Concordamos com diferentes autores quando afirmam que o papel do
professor é importante para o desenvolvimento dos processos de ensino e
aprendizagem de matemática, utilizando resolução de problemas. São as
crenças e atitudes do professor que nos fornecerão indícios sobre como esses
trabalham a resolução de problemas em suas salas de aulas. Isto está de
acordo com o que Lester (1993) comentava sobre a interconexão das cinco
categorias que envolvem os conhecimentos: o controlo; o domínio afetivo; as
crenças; as concepções; e o contexto sociocultural, quando falava sobre
resolução de problemas nas pesquisas desenvolvidas nos Estados Unidos.
Brito (2006, 2006a) aponta algumas atitudes que professores precisam utilizar
para que possamos compreender como se dá o processo de resolução e
pensamento dos alunos, em relação ao problema proposto.
65
Assim, cabe ao professor a função de mediador entre o ambiente e
os sujeitos da aprendizagem, buscando conhecer e integrar as
diferentes formas de pensamento, usando essas maneiras diferentes
de pensar para mostrar a importância da reflexão sobre os processos
mentais. O professor deve propor questões e atividades que motivem
o estudante e, para isso, os problemas propostos devem despertar a
atenção do aluno, engajá-lo na tarefa e ser visto como um desafio
para o pensamento. Ao final, os estudantes devem ser solicitados a
justificar oralmente ou por escrito, individualmente ou em grupo, os
diferentes procedimentos empregados, as ideias utilizadas e as
descartadas e o que aprenderam na atividade (BRITO, 2006a, p. 47-
48).
Uma estratégia metodológica utilizada nas resoluções de problemas foi sugerir
aos alunos que utilizassem diferentes representações. Passamos então a

mostrar um pouco do que e por que escolhemos o uso de diversas
representações como um procedimento de ensino. Observamos que para o
trabalho referente aos conceitos matemáticos, os professores precisam ajudar
os alunos a utilizar diferentes representações. O uso de representações
costuma enfatizar os materiais manipulativos, porém, devemos sugerir que
crianças façam representações espontâneas para tentarem resolver problemas
(SELVA; BORBA, 2005).
Muitas vezes, as pessoas, em especial os alunos, possuem a crença de que a
resolução de problemas deve ser realizada para responder ao questionamento
do problema com uma única resposta (SANTOS, 1997). Nós, professores,
algumas vezes reforçamos essa crença quando trabalhamos em nossas aulas
de matemática, apenas, com problemas desse tipo. Outras vezes, não
valorizamos as diferentes respostas e alternativas dadas pelos alunos. Agindo
dessa forma, não mostramos a riqueza existente em procurar soluções por
caminhos diferenciados. Com isso, não motivamos nossos alunos a buscar
mais de uma alternativa de resolução, nem a pensar em diferentes
representações para seus raciocínios quando resolvem problemas
matemáticos. Notamos que, normalmente, alunos copiam a resolução exposta
pelo professor durante a correção, ignorando muitas vezes sua própria solução
(SANTOS-WAGNER; SILVA, 2009). Com isso, nós, professores, pouco
contribuímos para o crescimento e a segurança do nosso aluno ao resolver
problemas. Em verdade, precisamos ajudar nossos alunos a valorizar suas
estratégias de solução e a entender como os colegas resolvem os mesmos
problemas. Para que possam assim, perceber a diversidade, riqueza e
amplitude que um problema pode ter em suas soluções. Concordamos com
Nunes et al. (2005), ao esclarecerem que
66
os professores precisam encontrar maneiras com que os alunos
registrem suas estratégias de resolução de problemas para que elas
possam ser discutidas, validadas e comparadas entre si. A explicação
do raciocínio ajuda o aluno a compreender melhor suas próprias
estratégias e ajuda o professor na tarefa de oferecer feedback e
propor situações que levem o aluno a novas formas de abordar o
problema (NUNES et al., 2005, p. 68).

Nós, professores que ensinamos matemática, identificamos e reiteramos o
quanto mais precisamos estudar sobre a resolução de problemas, a fim de
melhor ajudarmos nossos alunos. Refletir sobre nossas práticas com a
resolução de problemas, quais abordagens utilizamos, de que forma as
realizamos e como podemos adequar essas práticas e nossas atitudes para
contribuirmos com uma visão mais ampla, relacionando-a a resolução de
problemas, para assim melhor serem discernidas por parte do aluno.
Operações fundamentais
O trabalho de Abrantes, Serrazina e Oliveira (1999) destaca que as operações
fundamentais de adição, subtração, multiplicação e divisão representam uma
extensa área de aprendizagem nas séries iniciais. Esse fato ocorre em outros
países assim como acontece no Brasil (BRASIL, 1997, CARRAHER;
CARRAHER; SCHLIEMANN, 2003/1988; SELVA; BORBA, 2005;
VASCONCELLOS, 1998). Confirmando essa hipótese, em nossas discussões
em grupo, estiveram destacadamente presentes questões referentes às
operações fundamentais. Percebemos que as quatro operações são
trabalhadas de forma intensa pelas professoras das séries iniciais, porém não
temos informações sobre a compreensão dessas operações por parte das
crianças. Podemos afirmar, pela nossa experiência, que professores de
matemática, que atuam com as séries finais do ensino fundamental,
questionam a compreensão dos alunos sobre essas operações fundamentais.
Porém, não sabemos se os mesmos professores licenciados em matemática
possuem, eles próprios, uma compreensão clara e completa das ideias
subjacentes a cada operação fundamental. O que percebemos, a partir de um
trabalho em grupo de estudos, como o formado pela professora Vânia e citado
anteriormente, é que alguns professores não possuem clareza quanto às várias
ideias que envolvem a adição, a subtração, a multiplicação e a divisão. Porém,
isso não é foco deste trabalho e não abordamos neste texto. Queremos apenas
levantar alguns questionamentos: Os cursos de licenciaturas em matemática
ou em pedagogia conseguem fazer conexões entre os conteúdos estudados
67

com essas ideias iniciais das operações fundamentais? Os professores de
matemática têm conhecimento dessas ideias que envolvem as operações? Os
professores conseguem compreender como seus alunos constroem esses
conceitos matemáticos? São esses quesitos provocações para outras
pesquisas já que não tivemos a oportunidade de investigá-las de forma
rigorosa em nosso trabalho.
Em alguns casos, as crianças sabem realizar os algoritmos, mas não
compreendem o que fazem; realizam a operação, mecanicamente.
Concordamos com algumas pesquisas, quando apontam que, compreender
uma operação vai além de saber utilizá-las, mas “é ter a percepção de suas
propriedades, perceber as relações existentes entre elas e ter um
entendimento intuitivo do efeito de uma operação num par de números”
(NCTM, 1991 17 , apud JESUS, 2005, p. 93). A autora Ana Maria Jesus (2005)
amplia essa discussão, pontuando questões de devem permear a
compreensão das operações pelos alunos, conforme vemos a seguir:
68
Crianças com uma sólida compreensão das operações estão aptas a
usá-las significativamente e com flexibilidade. [...] contrariamente,
aprender regras e procedimentos sem entendimento pode provocar
sérias consequências a longo prazo e que não se vêem
imediatamente. Se os procedimentos são aprendidos como peças
soltas de informação sem conexão com o conhecimento conceptual,
os alunos tem maior dificuldade de os relembrar e transpor para os
outros contextos (JESUS, 2005, p. 93).
Harmonizamo-nos com o que a autora afirmou e ampliamos nossa discussão
para o fato de entendermos que professoras que não construíram essa sólida
compreensão também possuem dificuldades ao trabalhar esses conteúdos com
seus alunos. Por esse motivo, estávamos cientes de que ampliando nossas
discussões com as professoras estaríamos contribuindo para um entendimento
de todas nós sobre essas operações e sobre a cognição que as envolvem.
Percebemos, ao longo de nossas discussões, que cada uma de nós não tinha
clareza de todos os aspectos e sentidos de cada operação fundamental.
17 NCTM. Normas para o Currículo e a Avaliação em Matemática Escolar. Lisboa: APM e IIE, 1991.

Para trabalharmos com números e as quatro operações nos encontros,
utilizamos vários livros como: os do projeto Fundão - o livro de Avaliação de
Vânia Santos (1997) e o livro sobre Números de Santos e Rezende (1996); o
livro de Terezinha Nunes et al. (2005); alguns livros didáticos como os de
Bigode e Gimenez (2005); e a revista Nova Escola, especial Matemática
(2007). Também utilizamos textos específicos para trabalhos com as quatro
operações e indicamos quais foram estudados nos encontros.
Separamos as operações fundamentais em duas partes, conforme vem sendo
trabalhada por vários autores: adição e subtração ou campo aditivo; e
multiplicação e divisão ou campo multiplicativo. Essas ideias foram trabalhadas
por autores como Piaget, Constance Kamii e por Vergnaud. Neste trabalho não
abordamos de maneira aprofundada o que cada um desses autores investigou
e a forma como foi realizado. Apenas, vamos apontar as ideias referentes a
cada operação, e sua ligação com as demais para situarmos nossas
discussões sobre o assunto. Logo, fizemos uma explanação das ideias e
conceitos subjacentes às operações fundamentais, destacando suas nuances
que, algumas vezes, passaram despercebidas.
Adição e subtração ou Campo aditivo
Evidenciamos alguns de nossos estudos realizados sobre a adição e subtração
ou, simplesmente, sobre o campo aditivo. Percebemos que algumas pesquisas
já têm se preocupado em como os alunos aprendem tais conceitos e como
professores e pesquisadores têm tratado tal assunto (FUSON, 1992; MORO,
2004; MORO; SOARES, 2006; NUNES et al., 2005; VASCONCELOS, 1998).
Karen Fuson (1992) em sua revisão sobre pesquisas, que abordam adição e
subtração, mostra-nos que crianças saem da educação infantil com certo
conhecimento de situações de adição e subtração as quais devemos
considerar. Quando as crianças iniciam o ensino fundamental, já possuem
alguma compreensão de adição e subtração, portanto, precisamos explorar
69

esse conhecimento para investigar quais procedimentos e estratégias usam
para resolver os problemas. Fuson (1992) também faz uma crítica aos livros
didáticos, afirmando que não abordam todas as ideias que envolvem as
operações, não possibilitando assim as crianças compreenderem os diferentes
significados. Concordamos com a autora e acrescentamos que, nós, enquanto
professores, algumas vezes também não possuímos o cuidado de inserir, em
nossas aulas, situações-problema que englobem essas diferentes ideias,
inclusive, muitas vezes, também não possuímos clareza e conhecimento sobre
a importância desse trabalho.
Segundo os PCN (BRASIL, 1997) deve ser realizado um trabalho com as
operações fundamentais, concentrando-se na compreensão dos diferentes
significados de cada operação e em suas relações. Acreditamos que devemos
trabalhar os problemas aditivos e subtrativos, simultaneamente, pois existem
estreitas conexões entre as situações que envolvem essas operações. Muitos
autores seguem as ideias organizadas nas estruturas aditivas de Vergnaud,
como é o caso de estudos de Moro (2004) e da pesquisa, com crianças e
professores de 1ª e 2ª séries, realizada por Moro e Soares (2006). Para esses
autores, as crianças devem ser levadas ao estudo das estruturas aditivas de
maneira a abordarem de problemas aditivos e subtrativos, simultaneamente,
respeitando as particularidades de cada operação, mas não subordinando a
subtração à adição. Eles acreditam que “o que deve, sim, ser trabalhado é o
caráter oposto e/ou recíproco das duas operações” (MORO; SOARES, 2006, p.
138).
Analisando as ideias que englobam as estruturas aditivas utilizadas e
apresentadas por diferentes autores (FUSON, 1992; MORO; SOARES, 2006;
PCN – BRASIL, 1997; VASCONCELOS, 1998) podemos realizar a seguinte
separação:
Num primeiro grupo, temos situações-problema associadas à ideia de
combinar ou de juntar duas grandezas, para obter uma terceira;
comumente, essa ideia está associada com a ação de “juntar”.
70

Operação Problema Esquema
Adição
Subtração
O segundo grupo trata da alteração de um estado inicial, são as
situações ligadas à ideia de “transformação”. Os problemas que
trabalham essa ideia também são considerados como problemas de
mudança. A partir de um estado inicial, ocorre uma ação direta que
causa um aumento ou uma redução naquela quantidade.
Operação Problema Esquema
Adição Paula gosta de colecionar figurinhas. Ela tinha 7 figurinhas. Sua
mãe lhe deu mais 5. Quantas figurinhas ela tem agora?
Paula gosta de colecionar figurinhas. Ela tinha 12 figurinhas. Ela
Subtração deu 5 para sua irmã que também começou a colecionar figurinhas.
Quantas figurinhas ela tem agora?
Quadro 2 - Exemplos de adição e de subtração relacionados à ideia de transformar
71
7 + 5 = ?
12 - 5 = ?
No terceiro grupo, temos situações-problema, ligadas à ideia de
“comparação” quantificada. Os autores dividem opinião sobre esse tipo
de problema. Colocamos as duas ideias que encontramos sobre isso.
Alguns desses problemas são denominados de „problemas de
igualização‟, porque eles envolvem mudança na quantidade de forma
que as duas partes tenham a mesma quantidade. Ao mesmo tempo, em
que os problemas envolvem ação, precisam de comparação entre as
grandezas iniciais e finais.
Operação Problema Esquema
Adição
Paula gosta de colecionar figurinhas. Ela tinha 5 figurinhas da turma
da Mônica e 7 da Barbie. Quantas figurinhas ela tem no total?
Paula gosta de colecionar figurinhas. Ela tem ao todo 12 figurinhas.
Se 5 são da turma da Mônica, quantas são da Barbie?
Quadro 1- Exemplos de adição e de subtração relacionados à ideia de juntar
Paula e Maria gostam de colecionar figurinhas. Paula tem 12
figurinhas e Maria tem 5. Quantas figurinhas Maria tem que
comprar para ficar com a mesma quantidade que Paula?
Paula e Maria gostam de colecionar figurinhas. Paula tem 12
Subtração figurinhas e Maria tem 5. Quantas figurinhas Paula tem que dar
para seu irmão para ficar com a mesma quantidade que Maria?
Quadro 3 - Exemplos de adição e de subtração relacionados à ideia de igualização
5 + 7 = ?
12 - 5 = ?
5 + ? =
12
12 - ? = 5

Outros problemas envolvem a comparação entre duas quantidades e realiza-se
uma análise da diferença entre essas grandezas.
Operação Problema Esquema
Adição
Paula e Maria gostam de colecionar figurinhas. Paula tem 12
figurinhas e Maria tem 5 a mais que Paula. Quantas figurinhas
Maria tem?
Paula e Maria gostam de colecionar figurinhas. Paula tem 12
Subtração figurinhas e Maria tem 5. Quantas figurinhas Maria tem a menos
que Paula?
Quadro 4 - Exemplos de adição e de subtração relacionados à ideia de comparação
72
12 + 5 =
?
12 - 5 = ?
E o quarto grupo compreende situações que supõem a compreensão de
que ocorreu mais de uma transformação (positiva ou negativa).
Operação Problema Esquema
Adição
Paula gosta de colecionar figurinhas. Paula tinha 12 figurinhas e
ganhou de Maria mais 5. Depois ela ganhou mais 2 figurinhas de
sua mãe. Com quantas figurinhas Paula ficou?
12 + 5 + 2
Subtração
Paula gosta de colecionar figurinhas. Paula tinha 12 figurinhas e
ganhou de Maria mais 5. Depois ela perdeu 2 figurinhas. Com
quantas figurinhas Paula ficou?
12 + 5 - 2 =
?
Quadro 5 - Exemplos de adição e de subtração com mais de uma ideia de transformação
Colocamos, anteriormente, alguns exemplos das ideias que envolvem as
estruturas aditivas, mas os tipos de problemas de adição e subtração podem
sofrer modificações, em relação a qual dos três elementos que envolvem a
operação é desconhecido (VASCONCELOS, 1998). Isso parece natural para
um adulto, mas precisamos de estruturas mentais diferenciadas para
resolvermos cada situação que se apresenta. Enquanto professores, devemos
estar atentos aos processos cognitivos que nossos alunos se envolvem ao
resolverem os problemas e de que forma modificam essas estruturas.
= ?

Multiplicação e divisão ou Campo multiplicativo
Em nossos estudos sobre a multiplicação e a divisão,também denominada de
„campo multiplicativo‟ ou estruturas multiplicativas, percebemos a necessidade
de aprofundar nossos conhecimentos, enquanto professores sobre as ideias
que envolvem tais operações (CARRAHER, 1998; CORREA, 2006; CORREA;
SPINILLO, 2004; GREER, 1992; NUNES et al., 2005; SAIZ, 1996; SELVA,
1998).
Ao trabalharmos com as estruturas multiplicativas (multiplicação e divisão),
percebemos que, normalmente, é iniciado com os alunos o significado mais
simples de multiplicação que se associa com a adição de parcelas repetidas. O
que queremos destacar é que esse significado pode não permitir que os alunos
explorem, compreendam ou resolvam outras situações relacionadas à
multiplicação, que abordamos na sequência deste trabalho. As ideias da
divisão com as quais vamos trabalhar envolvem os dois significados atribuídos
pela maioria dos autores que encontramos. Um significado que está associado
à ação de repartir em partes iguais, ou significado de divisão equitativa ou
distributiva. O outro significado de divisão está associado à ideia de quantos
cabe ou divisão quotativa ou por quotas, também considerado como medida
por alguns autores. Portanto, quando abordamos problemas de divisão,
separamos em dois tipos: partição e quotição. É interessante destacar que a
palavra quota (cota) possui significado no dicionário, já a palavra „quotativa‟
aparece como uma palavra da linguagem matemática, não estando presente
nem mesmo em dicionários.
Normalmente, os professores não percebem a diferença entre partição e
quotição e trabalham esses diferentes tipos de problemas, sem a devida
atenção às possíveis representações que podem ser feitas com cada um
destes. Para aprofundar e esclarecer a diferença entre essas ideias, nós
buscamos, na literatura, as definições dadas pelos autores que trabalham com
o assunto. Selva e Borba (2005) fazem essa diferenciação da seguinte forma:
Problemas de partição são aqueles em que é dado um conjunto maior
e o número de partes em que o mesmo deve ser distribuído, o
73

esultado é o valor de cada parte. Problemas de quotição consistem
em problemas em que é dado o valor do conjunto maior e o valor das
quotas em que se deseja dividir o mesmo, o resultado consiste no
número de partes obtidas (SELVA, BORBA, 2005, p. 55).
Outros autores, como Jesus (2005), realizam essa separação entre os dois
sentidos da divisão, porém utilizando outros termos. Ela comenta que um dos
sentidos é o de partilhar, equitativamente, um conjunto de objetos e outra é
identificar o número de grupos de uma mesma quantidade formados, a partir de
certa quantidade. Dessa maneira, Jesus (2005) faz a diferenciação entre
divisão por partilha e divisão por agrupamento. Ela explica cada um desses
sentidos da seguinte forma:
74
A divisão por partilha pode ser começada a realizar mais cedo, na
medida em que não exige qualquer conhecimento de contagem,
rebuçado [bala ou doce] a cada um até que não haja mais rebuçados,
ou até que os rebuçados não cheguem para mais uma volta. Como o
total é partilhado de igual modo, chama-se divisão partitiva. Na
divisão por agrupamento, também considerada como medida, a
criança faz agrupamentos com igual número de elementos (JESUS,
2005, p. 94).
Outra questão que nos chamou a atenção durante a pesquisa foi a abordagem
dada à resposta aos problemas de divisão, que pode ser exata ou inexata.
Essa questão é fundamental para a compreensão do conceito de divisão,
porquanto, na maioria das vezes, consideramos e identificamos a divisão como
o inverso da multiplicação. Porém, isso apenas ocorre caso a divisão seja
exata (ou com resto igual a zero), no caso de divisão inexata ou com resto não
nulo, temos que a divisão se relaciona com a multiplicação e a adição. Na
discussão sobre esse assunto, Carraher (1998, p. 77) afirma que “na verdade,
matematicamente, a divisão é definida pela multiplicação e pela adição. A
divisão no domínio dos números inteiros é expressa pela equação A = qB + R,
onde R é menor do que B”. Por esse motivo, a divisão com resto não nulo é
considerada mais complexa do que a com resto zero, e os alunos tendem a
não saber como agir com relação ao resto (SELVA, 1998).
Colocamos a seguir as ideias identificadas, com base em estudos sobre as
estruturas multiplicativas (CARRAHER, 1998; CORREA, 2006; CORREA;

SPINILLO, 2004; GREER, 1992; BRASIL, 1997; NUNES et al., 2005; SAIZ,
1996; SCHILIEMANN; CARRAHER, 1998; SELVA, 1998), com os respectivos
exemplos:
No primeiro grupo, colocamos problemas relacionados aos grupos
equivalentes.
Multiplicação Divisão partitiva Divisão quotativa
Matheus comprou 5 pacotes de
figurinhas com 3 figurinhas em
casa um. Quantas figurinhas
Matheus conseguiu com essa
compra?
Matheus comprou 5
pacotes de figurinhas e
agora tem 15 figurinhas.
Quantas figurinhas tem
em cada pacote?
75
Matheus comprou pacotes de
figurinhas e agora tem 15
figurinhas. Se em cada pacote
vem 3 figurinhas, quantos
pacotes ele comprou?
Quadro 6 – Exemplos de multiplicação e de divisão relacionados com ideia de grupos equivalentes
No segundo grupo, envolvemos situações-problema associadas ao que
se poderia denominar de „multiplicação comparativa‟ ou „comparação
multiplicativa‟.
Multiplicação Divisão partitiva Divisão quotativa
Ana possui 5 bonecas e
Rosangela possui três vezes
mais bonecas que Ana.
Rosangela possui quantas
bonecas?
Rosangela possui 15
bonecas, sabemos que ela
tem três vezes mais bonecas
que Ana. Quantas bonecas a
Ana tem?
Rosangela possui 15
bonecas e Ana 5 bonecas.
Quantas vezes é que
Rosangela tem a mais
bonecas que Ana?
Quadro 7 - Exemplos de multiplicação e de divisão relacionados com a ideia de multiplicação
comparativa
Já no terceiro grupo, temos as situações-problema relacionadas à
comparação entre „razões‟, envolvendo, portanto, a ideia de „proporção‟,
comumente encontrada em situações cotidianas.
Multiplicação Divisão partitiva Divisão quotativa
Um carro se move a uma
velocidade média de 60 km
por hora. Quantos quilômetros
esse carro percorreu em 5
horas?
Um carro percorreu 300 km em 5
horas. Se percorrer sempre à
mesma velocidade, quantos km
andou por hora?
Um carro se move a uma
velocidade média de 60
km por hora. Quantas
horas demora para
percorrer 300 km?
Quadro 8 – Exemplos de multiplicação e de divisão relacionados com a ideia de proporção
O quarto grupo traz problemas associados à „representação retangular‟
ou a ideia de „área retangular‟.

Multiplicação Divisão partitiva Divisão quotativa
Uma sala de aula possui 5 filas com 6
carteiras cada uma. Quantas crianças
no máximo podem estar nessa sala?
76
Numa sala de aula tem 30 carteiras dispostas em
filas com a mesma quantidade de carteiras. Quantas
carteiras tem em cada uma das 5 filas? 18
Quadro 9 - Exemplos de multiplicação e de divisão relacionados com a ideia representação
retangular
No quinto grupo, encontramos as situações-problema relacionadas à
„combinatória‟.
Multiplicação Divisão partitiva Divisão quotativa
Numa sorveteria existem 5 sabores
diferentes de sorvete e 3 coberturas
diferentes. De quantos modos podemos
fazer um sorvete de um sabor com uma
cobertura?
Uma sorveteria faz 15 tipos de sorvetes com
coberturas diferentes. Sabendo que essa
sorveteria oferece 5 sabores de sorvete,
quantas são as coberturas?
Quadro 10 - Exemplos de multiplicação e de divisão relacionados com a ideia de combinatória
Tivemos um panorama de diferentes ideias relacionadas aos conceitos
matemáticos envolvendo as operações fundamentais, aprofundamos a seguir
questões referentes à avaliação em aulas de matemática.
2.2.3 Avaliação de conteúdos matemáticos
Precisamos abordar, além de ensino e aprendizagem, questões referentes à
avaliação, pois, sabemos que esses processos estão imbricados. Restringimo-
nos à avaliação em aulas de matemática, pelo emprego desse tipo de
avaliação em nosso trabalho. Quando Santos (1997) comenta sobre a
avaliação para a sala de aula de matemática, adequada às novas mudanças e
às necessidades do século XXI, ela aponta para a diferença em se trabalhar
com avaliação em uma concepção de educação e ensino de matemática mais
inovadora. Essa nova concepção valoriza a criatividade, a intuição e os
processos de raciocínio e aquisição de conceitos (SANTOS, 1997), admitindo
18 Algumas das ideias não possuem separação entre divisão por partição ou quotição. Acreditamos que
seja pela interpretação que pode ser ambígua nesses casos.

que o conhecimento matemático seja construído continuamente. Portanto, a
avaliação não pode ser pontual, utilizando um único tipo de instrumento e ao
final do processo educativo. Vários são os fatores que influenciam a
aprendizagem e a construção do conhecimento matemático e é com base
nisso, que Santos (1997) assevera:
77
Neste caso a avaliação deve ser feita em vários momentos do
processo educativo e deve utilizar diversos instrumentos
quantitativos e qualitativos que analisem aspectos objetivos e
subjetivos da aprendizagem dos alunos.
Esta nova visão de avaliação serve para evidenciar o que os alunos
sabem e o que não sabem durante todo o processo educativo. A
avaliação ocorre em diversos momentos, em situações formais e
informais, e o professor encara o processo de ensino-aprendizagemavaliação
como um processo integrado à instrução e sujeito a
alterações de percurso caso estas sejam necessárias (SANTOS,
1997, p. 6).
Observando o professor e sua ação em relação à avaliação nessa visão mais
ampla do processo de ensino e aprendizagem de matemática, Santos (1997)
assenta algumas afirmações:
E acrescenta:
O professor tem uma visão mais ampla do potencial dos alunos, pois
os diversos instrumentos de avaliação possibilitam que os alunos
demonstrem habilidades rotineiras e não-rotineiras do que foi
explorado em sala de aula. Como conseqüência os alunos tornam-se
mais criativos e autônomos enquanto aprendizes de matemática. O
professor é uma autoridade de saber matemático, mas não é o único
detentor desde saber e, portanto estimulará os alunos a validarem
suas respostas e a tornarem-se mais independentes e responsáveis
por seu processo de aprendizagem (SANTOS, 1997, p. 6).
O professor precisa estar atento para que haja coerência entre seu
trabalho pedagógico e a forma de avaliação utilizados. A forma como
elaboramos nossas avaliações e os critérios de correção adotados
transmitem uma forte mensagem para nossos alunos sobre o que
priorizamos e valorizamos em matemática (SANTOS, 1997, p. 7).
Algumas funções da avaliação são destacadas por Santos (1997),
evidenciamos aquela na qual ela afirma que uma dessas funções é a de
desenvolver, no professor, alguns conhecimentos. Essa autora destaca o
conhecimento metacognitivo, o qual o faz refletir sobre ele mesmo, enquanto
professor-educador acerca dos seguintes aspectos:

o Pontos fortes e fracos (o que já sabe sobre como ensinar e avaliar
determinado conhecimento de seus alunos e o que ainda não
domina)
o Auto-reflexão sobre seu conhecimento matemático e sobre seu
conhecimento pedagógico de matemática (conhecimentos sobre as
diferentes formas de explorar um conteúdo, sobre os obstáculos
epistemológicos de aquisição de determinado conteúdo, sobre as
dificuldades de ensinar este assunto e sobre as dificuldades do aluno
em aprender este conteúdo)
o Controle de tempo e estratégias (saber que estratégias são
adequadas ou não para ensinar e compartilhar um conhecimento
com seu aluno, saber quanto tempo é necessário para explorar com
os alunos as dificuldades conceituais de determinado assunto, e
saber verificar se utilizou ou não os caminhos apropriados para
permitir que o aluno adquirisse o conhecimento que queria ensinar)
(SANTOS, 1997, p. 12).
Realizar avaliações com os professores sobre eles próprios levando a
conhecimentos e aprendizagens, ajudou-nos a compreender o professor e seu
pensamento. Acreditamos que para atender aos aspectos apresentados
anteriormente necessitávamos contribuir de alguma maneira para que as
professoras se conhecessem enquanto aprendizes de matemática e
professoras que ensinam tal conteúdo. Precisávamos ter espaços nos quais as
professoras refletissem sobre seus saberes e fazeres em aulas de matemática
para realizarem uma avaliação da própria prática. Essa avaliação não acontece
de maneira isolada, quando partilhada com os pares se torna mais efetiva. A
avaliação que contribui para um desenvolvimento profissional deve ser crítica,
formativa e continuada, pois deve ocorrer em diferentes momentos para atingir
os diferentes objetivos. Assim como a avaliação dos processos de
aprendizagens por parte dos alunos, não deve ocorrer de maneira isolada. Isso
foi discutido por nós em diferentes momentos, a partir de situações vivenciadas
nas aulas das professoras.
Indicamos a importância de um olhar externo, dos amigos críticos, não para
recriminar ou buscar defeitos a partir da avaliação, mas para contribuir e
levantar questionamentos ou realçar pontos fortes não percebidos pelas
professoras. Esse tipo de avaliação que se faz em grupo pode ser rico pela
diversidade de experiências e contribuições que cada participante pode
proporcionar.
78

Temos consciência que a questão da avaliação em larga escala já tem sido
discutida em diferentes pesquisas há algum tempo, mas não temos ciência de
pesquisas que investigaram os diferentes usos da avaliação em aulas de
matemática. Acreditamos que precisamos situar o leitor que utilizamos e
discutimos formas de avaliação da aprendizagem pessoal e dos alunos de
várias maneiras. Porém, não desenvolvemos uma análise sistemática sobre o
tema avaliação, o que discutimos foram algumas propostas apresentadas por
Santos (1997) em seu livro “Avaliação de aprendizagem e raciocínio em
matemática: métodos alternativos”. Ampliando nossas discussões com alguns
resultados identificados em aulas de matemática pelas participantes.
2.3 Formação de professores que ensinam matemática:
janelas fechadas ou abertas?
A formação de professores é um assunto muito comentado nas últimas
décadas, porém seu significado tem sido considerado de diferentes modos.
Analisamos diferentes trabalhos sobre formação de professores (FIORENTINI,
2003; FIORENTINI; NACARATO, 2005; NACARATO; PAIVA, 2006; SILVER,
2006), alguns deles focalizaram na formação inicial (CURI, 2004; REIS, 2007;
NASSER; SANTOS, 1994; SANTOS-WAGNER; NASSER; TINOCO, 1997)
outros na continuada (ESPINOSA, 2002; FERREIRA, A. C., 2003, 2003a;
GIMENES, 2006; MARQUESIN, 2007; NACARATO, 2000; SILVA, 2007).
Pesquisamos vários trabalhos relacionados a formação, porém não
apresentamos todas as análises, dando maior destaque às que tratam de
formação de professores que ensinam matemática para as séries iniciais, pela
interseção com nosso trabalho.
79

Formação e desenvolvimento profissional devem estar relacionados, mas
acreditamos que os processos de formação que já estão instituídos nem
sempre privilegiam o desenvolvimento profissional. Comentam-se e executam-
se formações sem levantar a questão do desenvolvimento profissional, parece
que essa preocupação deve ser algo particular do professor. Destarte,
compreendemos e identificamos várias formações iniciais e continuadas que
acontecem, mas cujos retornos se tornam momentâneos, pois com o
encerramento das formações, algumas das propostas discutidas ficam
esquecidas. Realmente, esse tipo de formação, como cursos de
aperfeiçoamento, são necessários, porém, com uma programação de
acompanhamento durante um período mais longo. Defendemos uma formação
mais produtiva para o professor e para o ensino de matemática, e
concordamos com Elvira Ferreira (2002) quando afirma que
80
A formação de professores não se esgota em cursos pontuais, sobre
temas específicos, desligados da sala de aula e do contexto da
escola. A formação de professores tem de caminhar muito para além
desta concepção e fomentar uma ligação cada vez mais estreita entre
a teoria e a prática, prolongando-se no tempo, em contextos de
escola, com grupos de professores, com mais debate, com trocas de
experiências, com mais reflexão, ganhando bastante significado o seu
desenvolvimento ao longo de toda sua carreira (FERREIRA, 2002, p.
238).
A formação inicial do professor, que ensina matemática, tem sido discutida em
diferentes pesquisas sob diversos enfoques. Serrazina (2003), no início de seu
artigo, aponta que os futuros professores necessitam experimentar e vivenciar
a matemática que ensinarão. Acrescentamos que tanto futuros professores
como os que já atuam em sala de aula precisam vivenciar diferentes
experiências matemáticas. Numa formação continuada nos moldes
mencionados por Ferreira (2002), podemos proporcionar tais experiências, de
maneira que os profissionais (re) signifiquem sua aprendizagem e sua prática,
ampliando assim sua própria aprendizagem, em relação aos conteúdos de
matemática, ao seu ensino e em relação às suas crenças e concepções em
relação à matemática.

Serrazina (2003) comenta que não se deve falar em formação de professores
para o ensino de matemática na educação pré-escolar e no 1º ciclo do ensino
básico, sem comentar sobre o que deve ser o ensino de matemática para cada
ciclo. Ela faz referência ao papel do professor, sua importância para que se
realizem mudanças no ensino de matemática. Indica ainda a necessidade de o
professor desenvolver uma atitude de investigação e de constante
questionamento em matemática, além de desenvolver uma abertura em
relação à experimentação e a inovação. Dessa forma, Serrazina (2003, p. 68)
afirma que “o principal objetivo da formação deve ser o de futuros professores
se prepararem e se envolverem no seu próprio desenvolvimento de modo que
o prossigam ao longo da carreira”. Em consequência, a formação poderia
contribuir para a autonomia dos professores que ensinarão matemática.
Ampliamos esse pensamento, afirmando que um dos objetivos da formação
continuada de professores que realizamos foi contribuir para um
desenvolvimento profissional adequado a realidade de cada participante.
Artigos relacionados também com formação de professores demonstram a
necessidade de analisar a prática. Polenttini (1999) mostra as análises feitas
por professores a fim de verificar se mudou suas práticas, o que requer
reflexão. Afirma que a “reflexão sobre as experiências passadas e presentes
desempenha um papel fundamental para o desenvolvimento profissional do
professor” (POLENTTINI, 1999, p. 250). Porque a reflexão desejada não é a
realizada sem criticidade, de maneira quase autônoma, mas a reflexão que
possui uma predisposição para a pesquisa, realizada em profundidade e
criticamente.
Acreditamos numa formação que possua o intuito de ser uma forma de
contribuir no processo de constituir-se professor, para o seu desenvolvimento
profissional. Pois, na nossa concepção, formação e desenvolvimento
profissional devem estar inter-relacionados. Acreditamos numa formação que
permita e incentive o professor a pensar sobre o seu próprio conhecimento, o
conhecimento de seus alunos e o seu fazer em sala de aula, contribuindo
assim para a formação de um profissional reflexivo e crítico, um profissional
81

que consiga lidar com os problemas enfrentados ao ensinar e aprender, no
nosso caso em matemática.
No Brasil, temos grupos de pesquisadores que realizam trabalhos, com foco
em formação continuada de professores e a ideia de grupos de estudos. Um
desses trabalhos desenvolvidos nessa linha é realizado desde 1982 no Rio de
Janeiro, denominado Projeto Fundão, que realiza atividades com formação
continuada de professores e pesquisas em educação matemática. Esse projeto
constitui-se de grupos temáticos, nos quais os professores participam de
acordo com seus interesses, como resultado desse trabalho, vários livros foram
publicados, assim como a realização de eventos. Desde 1999 em Campinas,
outro grupo de estudo denominado Grupo de Sábado (GdS). O objetivo e a
dinâmica trabalhada pelo grupo GdS podem ser entendidos, com base na fala
de Fiorentini e Jiménez
82
Esta dinâmica que acontece no GdS pode ser considerada uma
modalidade reflexiva e investigativa de educação contínua de
professores, onde o professor, frente aos desafios diários, busca
continuamente novos saberes e arrisca-se em novas experiências
docentes, re-significando permanentemente sua prática e seus
saberes. No grupo e pelo grupo, o professor não apenas acompanha
e recebe novos conhecimentos e ideias, mas, também, troca e
contribui para o desenvolvimento de seu campo profissional. Ou
seja, o professor adquire mais autonomia, tornando-se sujeito de sua
profissão; alguém que participa do debate público, desenvolve
coletivamente projetos e grupo de estudo, dentro ou fora da escola,
tentando buscar, no outro e com o outro, novas experiências e
saberes da profissão docente (FIORENTINI; JIMÉNEZ, 2003, p. 9).
Nos últimos anos, muitas pesquisas de doutorado e mestrado focalizaram na
formação do professor de matemática. Um exemplo é tese de Silva (2007) que
trabalha com formação continuada num grupo de professores das séries
iniciais na tentativa de identificar alguns dos fatores que poderiam exercer
influência sobre o processo de desenvolvimento profissional dos docentes. Ela
destaca a reflexão sobre a prática em trabalho colaborativo, para se romperem
crenças e concepções dos professores sobre o ensino e aprendizagem da
matemática, no seu caso, sobre frações. Silva (2007) conclui que são
necessários espaços para rediscutirmos alguns conteúdos matemáticos e
como a reflexão aliada a um trabalho colaborativo influencia nas práticas de

professores das séries iniciais. Porém, isso deve ocorrer num grupo com
objetivos em comum e de forma contínua na escola. Caso isso não aconteça,
esse tipo de intervenção pode se tornar superficial e sem muitos resultados.
Acrescentamos a importância do tipo de trabalho que estamos desenvolvendo,
um estudo longitudinal, que possa influenciar professores de modo a
continuarem com reflexões críticas após a intervenção. A formação de grupos
de estudo terá mais significado, se a motivação partir dos próprios professores
envolvidos, conforme foi o nosso caso.
Curi (2004) realizou, em seu trabalho de doutorado, uma pesquisa com futuras
professoras polivalentes, investigando conhecimentos necessários para ensinar
matemática e as crenças e atitudes que podem influenciar nesses
conhecimentos. Curi (2004) analisou impactos da formação inicial, juntamente
com a análise das crenças e atitudes relativas à matemática e seu ensino, que
intervieram na formação dos sujeitos de sua pesquisa. Acreditamos que é
essencial irmos além, pois essas formações iniciais são uma parte da formação
permanente. Necessitamos investigar como professores que já atuam nas
salas de aulas estão analisando suas próprias crenças e concepções em
relação à matemática e como isso está sendo aplicado em sala de aula.
Portanto, nossa pesquisa procurou colaborar, trabalhar com professores que já
estão em sala de aula e levá-los a refletirem sobre suas crenças e concepções
e como elas estão presentes em suas práticas, principalmente como
aprendemos em grupo de estudos.
Outro trabalho que se realizou a partir da constituição de um grupo de
professores refere-se ao de Marquesin (2007), no qual se fez um estudo de
caso que focalizou o processo de desenvolvimento profissional de professoras
que ensinam matemática nas séries iniciais do ensino fundamental. Esse
desenvolvimento foi analisado em professores que passaram a pertencer a um
grupo com o propósito de aprender e de ensinar Geometria. Esse tipo de
formação aconteceu na escola escolhida pela pesquisadora, com participação
voluntária das professoras. De acordo com a conclusão dessa autora,
concordamos quando afirma que formações desse tipo favorecem o
83

desenvolvimento profissional das professoras envolvidas e que o processo de
reflexão conjunta pode influenciar nas aprendizagens dos componentes do
grupo. Nosso trabalho também envolveu professores, embora não de uma
única escola, mas de uma rede de ensino, a prefeitura municipal de Vitória.
Além disso, não escolhemos a priori um único conteúdo matemático, pois
queríamos investigar aprendizagens de professoras ao debaterem em grupo o
ensino de matemática, nas séries iniciais, e perceber quais conteúdos teriam
maior destaque e quais seriam colocados como dúvidas no posicionamento
das professoras. Participamos da opinião da autora ao afirmar que a adesão
das professoras por livre e espontânea vontade permite uma maior participação
nas ações desenvolvidas no grupo.
Gimenes (2006) desenvolveu a sua dissertação com o objetivo de identificar as
contribuições de um grupo de estudos para a prática de professores que atuam
nas séries inicias e desejam buscar “os porquês” de determinados conteúdos
matemáticos. No caso dessa pesquisa, focalizaram-se as quatro operações
fundamentais e o sistema decimal. A proposta foi que o professor estivesse em
constante processo de aprendizagem e percebesse a Matemática como algo
construído, que ele soubesse relacionar as ideias essenciais, de modo a
favorecer seu papel de mediador do conhecimento matemático. Somos do
mesmo parecer da autora quando conclui que o professor precisa se
conscientizar de que deve estar aprendendo constantemente e também que a
participação num grupo de estudos pode contribuir para esse tipo de atitude.
Uma de nossas propostas com o grupo de estudos é justamente fazer com que
o professor saiba que sempre temos coisas a ensinar e a aprender com o outro
e que em se trocando experiências e se discutindo sobre eventos ocorridos em
sala de aulas podemos ampliar nossos próprios conhecimentos sobre nós
mesmos enquanto aprendizes e professores.
Alguns livros e artigos contribuíram para definirmos o tipo de formação que
desejávamos realizar no nosso trabalho (CURY, 2001; GERALDI; FIORENTINI;
PEREIRA, 1998; MOREIRA; DAVID, 2005; KRAINER; PETER-KOOP, 2003;
PETER-KOOP; SANTOS-WAGNER; BREEN; BEGG, 2003; SARAIVA;
84

PONTE, 2003). Consideramos o processo de acompanhamento da formação
continuada enquanto processo de constituição do professor e enquanto sujeito
desse seu próprio conhecimento, potencializando o seu desenvolvimento
profissional. Portanto, desenvolvemos os encontros do grupo de estudos de
forma a provocar o professor a olhar seu próprio ensino e aprendizagem,
refletindo sobre o que e como ensina e sobre sua própria relação com a
matemática. Em conclusão, todos os componentes do grupo foram envolvidos
nessa formação e cada professor pode formar-se e crescer profissionalmente
mediante a troca (MOURA, 2005). Estamos de acordo com Freire (1996, p. 39)
quando afirma que “na formação permanente de professores, o momento
fundamental é o da reflexão crítica sobre a prática. É pensando criticamente a
prática de hoje ou de ontem que se pode melhorar a próxima prática”.
Deduzimos que esses processos de formação devem favorecer reflexões,
autoconhecimento, auto-reflexão e metacognição, que são alguns dos aspectos
cognitivos relacionados com aprendizagens de professores.
2.4 Aspectos afetivos e aprendizagem docente
Os aspectos afetivos que abordamos nesta seção são os relacionados às
crenças, concepções, emoções e atitudes dos professores. Nessa revisão
termos uma visão mais abrangente de como pesquisadores relacionam os
aspectos afetivos dos professores com os processos de ensino e
aprendizagem de matemática.
Utilizamos crenças e concepções como tradução de “beliefs”, termo utilizado
por Thompson (1992, p. 61). Essa autora define “beliefs” como processos
mentais e abrange de uma maneira mais ampla as crenças, significados,
conceitos, proposições, regras, imagens mentais, preferências e semelhanças.
85

Consideramos que traduzindo dessa forma, não estamos limitando ou
reduzindo esse termo e, sim, contribuindo para interpretações mais coerentes
em nosso contexto. Ao mesmo tempo, acreditamos que exista uma estreita
ligação de crenças e concepções com os aspectos cognitivos. Admitimos que
concepções possuem características mais profundas que crenças, são mais
difíceis de mudanças e que as crenças estão mais baseadas no contexto
social, enquanto as concepções são mais pessoais, a partir do que se tem
como crenças. Gómez Chacón (2003) fala de crenças com base na perspectiva
do aluno, todavia, em nosso trabalho utilizamo-las na perspectiva do professor,
pois acrescentamos crenças dos docentes sobre aprendizagens matemáticas
enquanto alunos. Colocamos nossa crítica em relação à autora Gómez Chacón
(2003), no que se refere ao fato de ter utilizado em sua apresentação parte dos
textos de Paul Ernest (1989/1988) e de Thompson (1992) sem fazer a devida
citação da fonte. Ou seja, tivemos acesso às obras citadas e constatamos o
quanto das obras foi utilizado sem a devida referência, no texto comentado.
O artigo de Cury (1999) faz uma revisão de pesquisas sobre concepções e
crenças dos professores de Matemática e discute os diferentes significados,
que são atribuídos a esses termos pelos investigadores. Para ela, os
pesquisadores concluíram que as crenças dos professores iniciam das suas
experiências prévias como alunos de Matemática (SANTOS, 1993). Desta
forma, Cury (1999) chama a atenção para os cursos de formação de
professores, alegando ter necessidade de enfatizar não só a aquisição de
conhecimentos matemáticos, mas também a possibilidade de desenvolver
experiências de ensino em que as crenças fossem explicitadas e pudessem ser
discutidas.
Identificamos diferentes definições para concepções e crenças. Moron e Brito
(2005) fizeram uma seleção de alguns autores e apresentam algumas
definições de concepções. Essas autoras nos apontam que as concepções
operam, permanentemente, sobre as crenças, valores, conhecimentos e
elementos afetivos. Significando que as concepções envolvem o professor
86

como pessoa, individual e profissionalmente. Ao final das colocações sobre os
diferentes autores consultados, Moron e Brito (2005) afirmam que
87
concepção é definida como a maneira própria de cada indivíduo
elaborar, interpretar, representar suas ideias e agir de acordo com as
mesmas. É construída a partir das experiências individuais que são
influenciadas por uma serie de variáveis do ambiente (conhecimento,
valores, experiência prática, componente emocional) (MORON;
BRITO, 2005, p. 266 - 267) (grifo das autoras).
Em relação às atitudes, Moron e Brito (2005) colocam que as atitudes estão
situadas em três dimensões: cognitivo, afetivo e intencional ou de tendência a
certo tipo de comportamento. Ao focalizarem o olhar para a matemática eles
fazem uma categorização entre atitudes em relação à matemática e atitudes
matemáticas.
Compreendemos que as atitudes são mais fáceis de serem identificadas, pois
acontecem de maneira mais explícita, facilitando a identificação e análise.
Algumas leituras nos ajudaram a entender as diferenças e como estaríamos
tratando essas atitudes (MATOS, 1992; MENDUNI, 2003; MORON; BRITO,
2005; PIROLA; BRITO, 2005). A diferenciação de atitudes em relação à
matemática e atitudes matemáticas nos ajuda entender parte do que acontece
em sala de aula e em relação às aprendizagens de cada pessoa. A atitude está
relacionada ao comportamento diante da matemática que possui influência das
crenças e concepções de cada indivíduo. Ressaltamos também que é um dos
pontos que podem ter mudanças sensíveis de uma maneira mais rápida, desde
a reflexão sobre a prática e o entendimento das próprias crenças e
concepções.
Concordamos com Gonçalez e Brito (2005, p. 223 - 224), ao observarem que
“compete aos professores criar situações que favoreçam o estabelecimento e
desenvolvimento de objetivos atitudinais nos alunos”. A preocupação em não
transmitir ideias negativamente pré-concebidas aos estudantes deve estar
presente na reflexão dos professores. Ao contrário, o que vai ser ensinado aos
alunos precisa estar revestido de um caráter positivo, para que gere atitudes
positivas dos alunos. Favorecendo as atitudes positivas podemos esperar que

os alunos sintam vontade e necessidade de aprender o conteúdo. É pretensão
dos professores que os alunos se sintam competentes para usar o que
aprendem, não apenas em sala de aula, mas também fora da escola, em
situações do dia a dia.
88
Os objetivos dos professores de matemática deveria ser o de ajudar
as pessoas a entender a matemática e encorajá-las a acreditar que é
natural e agradável continuar a usar e a aprender matemática.
Entretanto, é essencial que ensinemos de tal forma que os
estudantes vejam a matemática como parte sensível, natural e
agradável de seu ambiente. Acredito que, freqüentemente, falhamos
ao ensinar matemática apropriada e que a matemática que temos
ensinado tem sido ensinada de tal forma que leva o estudante a não
gostar, nem da matemática e nem da aprendizagem da mesma,
assegurando, portanto, que mesmo eles pudessem usar a
matemática de forma efetiva, eles não o fariam (WILLOUGHBY,
2000, p.8; apud PIROLA e BRITO, 2005, p. 88).
As atitudes dos professores não são “pré-disposições” tão simples e, por isso,
Gonçalez e Brito (2002) dizem que atitudes apresentam componentes tanto do
domínio cognitivo, como do afetivo e o do comportamental. Qualquer programa
que busque modificar, de alguma forma, as atitudes, deve buscar atingir essas
três esferas. Isso somente é possível por evidenciarmos, assim como esses
autores que “as atitudes não são estáveis e cristalizadas, podendo mudar de
direção de acordo com determinadas circunstâncias” (GONÇALEZ, BRITO,
2002, p. 224).
Questões relacionadas com mudanças e tomadas de consciência estão
diretamente ligadas aos aspectos afetivos com os quais os professores estão
envolvidos. Gómez Chacón (2003, p. 147) chama a atenção para o fato de que
cada professor adota em sua sala de aula uma série de decisões e de atitudes
em relação ao que acredita ser o ensino e a aprendizagem em matemática. Ela
diz que é importante refletir sobre as atitudes e que as mudanças se dão, a
partir dessa reflexão. Gómez Chacón (2003) relaciona emoções às crenças e
complementa que essas dependem dos acontecimentos vivenciados pelos
professores. Estamos de acordo com essa autora, pois acreditamos que
diferentes situações ocorridas ao longo da formação de uma pessoa pode
influenciar suas emoções com relação a matemática, no nosso caso. Em sua
definição, apresenta as emoções de maneira complexa afirmando que são

89
respostas organizadas além da fronteira dos sistemas psicológicos,
incluindo o fisiológico, o cognitivo, o motivacional e o sistema
experiencial. Surgem como resposta a um acontecimento (interno ou
externo) que possui uma carga de significado positiva ou negativa
para o indivíduo (p. 22).
Em suas explanações, Gómez Chacón (2003, p. 64) pontua, os professores
como foco das mudanças nas reformas educativas, colocando que “em grande
parte, os avanços dependem, essencialmente, das mudanças produzidas no
professor, como individuo, em sua aproximação ao ensino e a aprendizagem
da matemática e suas crenças.” Para produzir mudanças „no professor‟ é
necessário trabalhar mais de perto com esses professores, contribuindo para o
início de um processo de reflexão crítica onde possam olhar para si mesmos e
perceberem o que fazem e como relacionam isso com suas crenças e
concepções. Essa foi nossa intenção na constituição desse grupo, trabalhar
mais de perto com as professoras.
A influência do contexto social nas oportunidades e restrições para a situação
de ensino também foi apontada por Gómez Chacón (2003, p. 65). Ela pontua
como a influência deste contexto social age em vários aspectos do processo de
ensino e aprendizagem, vivenciado em sala de aula de matemática.
Realmente, percebemos as diferenças existentes nas escolas e nas
professoras integrantes dessa pesquisa e notamos a importância do contexto
social para a prática de cada uma delas. Para ampliar a discussão, podemos
nos apoiar na síntese feita por Gómez Chacón a partir de Coob, Yackel e Wood
(1989) 19 quando diz que
o ato emocional é gerado pelas avaliações cognitivas das situações,
influenciadas pela ordem social local. A avaliação envolve uma
comparação da situação interpretada por meio das expectativas. Sua
ênfase na base cognitiva da emoção como ato não nega que as
pessoas sintam emoções, ou que possam sentir, em determinadas
ocasiões, uma emoção que vai além do seu controle. Nessas
ocasiões a experiência emocional intensa gera uma interpretação
subjetiva cognitiva de uma situação particular (GÓMEZ-CHACÓN,
2003, p. 46).
19 COOB, P.; YACKEL, E. WOOD, T. Young children‟s emotional acts while engaged in mathematical
problem solving. In: MCLEOD, D. B.; ADAMS, V.M. (eds.). Affects and mathematical problem
solving: a new perspective. Nova York: Springer Verlag, p. 117 – 148, 1989.

As abordagens que envolvem aspectos cognitivos e afetivos contribuíram para
apurar nosso olhar sobre as situações ocorridas e observadas por nós nos
diferentes momentos de interação com as professoras. Também revelaram
algumas relações das professoras sobre alguns conteúdos matemáticos que
valorizam ou que repudiam. As crenças, concepções, emoções e atitudes estão
imbricadas com o modo com que as professoras conduzem suas aulas, bem
como a relação de cada uma delas com a matemática. Por isso, optamos por
realizar nossa investigação, segundo características de pesquisas
internacionais determinadas como naturalística ou humanística. Pesquisas
essas que nos ajudam a entender que não podemos separar o profissional da
pessoa do professor que ensina matemática. Devemos ter certo cuidado ao
realizar pesquisas desse tipo, pois estão imbricadas com questões
psicológicas. Concluímos, então, que nos era preciso aprofundar em
discussões presentes na psicologia da Educação Matemática, pelas razões
expostas anteriormente. Procuramos observar na literatura internacional
relacionada ao grupo Psycology Education Mathematics – PME, em especial o
livro organizado por Gutiérrez e Boero (2006), no qual há uma síntese das
pesquisas realizadas por esse grupo entre 1976 a 2006. Essas leituras
contribuíram para uma visão mais atual sobre como pesquisas em diferentes
países estão tratando do assunto.
90

CAPÍTULO III:
3 AS PORTAS SE ABREM É PRECISO CAMINHAR:
TRAJETÓRIAS E PERCURSOS METODOLÓGICOS
pesquisa foi de natureza qualitativa procurando compreender e
analisar quais são as aprendizagem e como elas acontecem
(FIORENTINI; LORENZATO, 2006; FLICK, 2004; LINCOLN;
GUBA, 1985; CHAPMAN, 2005, 2006). Nosso foco principal é o
professor e sua aprendizagem que está relacionada com seu
pensar e seu fazer. Assim sendo, escolhemos metodologias que contribuam
para analisar aprendizagens dos professores que estejam envolvidos, de modo
a obter um olhar voltado para cada professor como pessoa, que possui
características próprias e que tem sua atuação profissional repleta do seu „eu‟.
Por conseguinte, não havemos de olhar para o professor como um ser isolado,
insta analisar o ser coletivo do professor, ou seja, o ambiente em que o
profissional está inserido, sua formação, seu caminhar escolar, seu
desenvolvimento profissional, dentre outras coisas. Também não devemos
generalizar nossas análises, pois cada pessoa é única e precisa ser olhada
como tal. Embora muitas de nossas análises sejam aplicáveis, de um modo
geral, a outras vivências educativas e sirvam para fomentar diferentes
reflexões, estaremos apresentando dados e análises de maneira pontual. Se
esses dados e essas análises puderem ser utilizados para outros olhares,
estaremos indo além dos nossos objetivos com este trabalho.
Optamos por pesquisar professores e a nós mesmos enquanto aprendizes e
tentamos observar alguns conhecimentos de prática que fazemos sobre
aprendizagens. Precisamos destacar que fizemos uma ligação entre o olhar
pontual sobre as aprendizagens de cada professor e do grupo como um todo e
colocações de autores como Llinares e Krainer (2006) e outros que
desenvolvem pesquisas ligadas às perspectivas apontadas pelo grupo
Psychology of Mathematics Education – PME. Procuramos no desenrolar da
91

pesquisa e em seus diferentes momentos, voltar nossos estudos para os
manuais de pesquisa na área da educação matemática.
A escolha pela perspectiva humanística se deu pelo fato de ela contribuir para
desenvolvermos esse tipo de análise. Ouvimos, pela primeira vez, sobre
estudos humanísticos na palestra da professora Olive Chapman, realizada em
2005 no auditório do Centro de Educação da UFES. Quando iniciamos nossa
pesquisa, sabíamos que seria de caráter qualitativo e após análise de
pesquisas, constatamos que queríamos realizar algo que ampliasse e
contemplasse indicações nacionais e internacionais. Encontramos autores de
renome internacional que já estão utilizando metodologias diferenciadas para
pesquisas de natureza qualitativa, naturalística ou humanística, há mais de
duas décadas. Investigando mais profundamente conseguimos encontrar
textos de Lincoln e Guba (1985) que trabalham sobre essa discussão, num
âmbito mais geral de pesquisa científica. Esses autores afirmam que:
92
Cada época histórica tem exibido algum modo característico de
responder às questões eternas do que existe que pode ser conhecido
e como alguém pode conhecer isto. [...] Hoje nós vivemos na era da
ciência. As questões eternas são melhores respondidas, isto é
afirmado, ao colocar-se questionamentos diretamente para a
Natureza e deixar a Natureza mesmo respondê-los. [...] Este livro é
sobre tal desafio. Ele descreve um paradigma alternativo que,
grandemente por acidente histórico, está agora viajando sob o nome
''naturalístico''. Ele tem outros nomes aliados também, por exemplo: o
pós-positivístico, etnográfico, fenomenológico, subjetivo, estudo de
caso, qualitativo, hermenêutico, humanístico. Ele tem tantos nomes
porque as pessoas que professam praticar o mesmo tendem a
considerar diferentes visões do que este implica [...] (LINCOLN;
GUBA, 1985, p. 5) 20 .
Escolhemos trabalhar com uma autora da educação matemática que aborda a
perspectiva humanística em suas pesquisas. Em nosso estudo, vamos
considerar as professoras da mesma forma que Chapman (2006), colocando
20 Every historical age has exhibited some characteristic way of answering the eternal of what there is that
can be known and how one can go about knowing it. […] Today we live in the age of science. The eternal
questions are best answered, it is asserted, by putting queries directly to Nature and letting Nature itself
answer. […] This book is about such a challenge. It describes an alternative paradigm that, largely
through historical accident, is now traveling under the name “naturalistic.” It has other aliases as well, for
example: the postpositivistic, ethnographic, phenomenological, subjective, case study, qualitative,
hermeneutic, humanistic. It has so many names because de persons who profess to practice it tend to take
different views of what it implies […] (LINCOLN e GUBA, 1985, p. 5)

como participante e não como objeto de estudo. Além disso, queremos
identificar aprendizagens, sempre que possível, a partir da visão das
professoras. Chapman (2006) explica de maneira interessante a
fundamentação adotada por ela, e seguida por nós, para utilização da pesquisa
com perspectiva humanística, conforme podemos verificar na citação a seguir:
93
Em contraste com a perspectiva analítica, a perspectiva humanística
focaliza-se na compreensão da natureza dos pensamentos e
contextos do professor que moldam a percepção dele ou dela da sua
realidade. Considera o pensamento do professor a partir da
perspectiva do professor de seu comportamento em sala de aula, a
fim de dar sentido ao ensino. É, portanto, preocupado com a própria
compreensão do professor sobre sua própria perspectiva. Em geral,
os estudos baseados nessa perspectiva de pesquisa vêem o
professor de modo humanista que é consistente com as perspectivas
teóricas do conhecimento profissional dos professores [...] Os
professores são tratados como pessoas que tem algo de valor para
contribuir e não como objetos de estudo. Suas ações são vistas para
ter (dar) significados em suas situações ou contextos. Assim, o foco
desse estudo é a conceituação do conhecimento experiencial dos
professores e fornecer explicações plausíveis dos processos de
ensino como o são para o professor. Em particular, os
comportamentos de ensino têm que ser entendidos em relação às
intenções dos professores e à complexidade da situação (CHAPMAN,
2006, p. 111-112) 21 .
A pesquisa qualitativa, que Lincoln e Guba (1985) denominam naturalística, foi
citada por Bicudo (2004, p. 105-106) para identificar a diferenciação entre
pesquisa qualitativa e a pesquisa quantitativa. Ela afirma que, em pesquisas
qualitativas, privilegiam-se o olhar sobre os aspectos humanos sem passar
pelos crivos da mensuração, sem partir de um método previamente definido e,
portanto, sem ficar preso a quantificadores e aos cálculos decorrentes
21 In contrast to the analytic perspective, the humanistic perspective focuses on understanding the nature
of the teacher‟s thing and contexts that shape his our her perception of his or her reality. It considers
teacher thinking from the teacher‟s perspective of his or her classroom behavior in order to make sense of
teaching. It is thus concerned with understanding teachers from their own perspective. In general, studies
based on this researcher perspective view teachers in a humanistic way that is consistent with the
theoretical perspectives of teachers‟ professional knowledge […]. Teachers are treated as persons who
have something of value to contribute and not as objects of study. Their actions are seen to have meaning
in their situations or contexts. Thus, the focus of these studies is on conceptualizing the experiential
knowledge of teachers and providing plausible explanations of teaching processes as they are for the
teacher. In particular, teaching behaviors have to be understood in relation to the intentions of teachers
and to the situational complexity (CHAPMAN, 2006 p. 111-112).

(BICUDO, 2004, p. 105). Nossa proposta é de trilhar esses caminhos da
pesquisa qualitativa, de uma forma naturalística, evidenciando as
características apontadas desde o desenvolvimento da investigação.
Como analisamos algumas aprendizagens das professoras envolvidas,
escolhemos implementar um estudo longitudinal por termos um espaço de
tempo mais longo para partilhar nossos olhares e permitir trabalhar com as
complexidades que nosso trabalho propicia. Além disso, um trabalho por um
período prolongado como esse permite-nos aprofundar e analisar criticamente
nossas aprendizagens, os conhecimentos desvelados, nossas reflexões e os
desdobramentos dessa investigação. Estamos acompanhando as duas
professoras durante dois anos e quatro meses, o que consideramos um longo
período de tempo. Somente dessa forma, poderemos fazer algumas
considerações relativas às suas aprendizagens e ao seu desenvolvimento
profissional. Uma pesquisa com um período reduzido de tempo não nos
permitiria agir e interagir com as professoras envolvidas, de modo a efetuarmos
considerações pertinentes ao tipo de investigação. Segundo Llinares e Krainer
(2006, p. 445), algumas pesquisas que envolvem investigação do
desenvolvimento profissional de professores revelam que a aprendizagem de
professores é um processo complexo em que múltiplos fatores intervêm,
sugerindo uma inter-relação do individual, do social e do organizacional 22 .
Concordamos com os autores, ao colocarem o desenvolvimento profissional
como um processo de aprendizagem. Pois, também cremos que se
compreendermos melhor os processos de aprendizagem, questões referentes
ao desenvolvimento profissional de professores poderão ser entendidas de
maneira mais propícia.
Os procedimentos metodológicos que apresentamos e utilizamos nesta
pesquisa foram construídos e modificados num constante refinamento. Não
tínhamos, previamente, os procedimentos que seriam usados completamente
articulados. O caminhar do grupo, as leituras relacionadas com o tipo de
22 Reveals that teachers‟ learning is a complex process in which multiple factors intervene, suggesting an
interrelation of the individual, the social and the organizational.
94

pesquisa e a maturidade da pesquisadora fundamentaram os passos que
foram seguidos, ao longo do processo como investigadora iniciante. Esse tipo
de aprendizado e procedimento metodológico foi partilhado com a
coorientadora fundamentado nos trabalhos de Chapman (2005) e a partir dos
indicativos de Lincoln e Guba (1985) sobre as propostas de montagem de
pesquisa de cunho qualitativo. Esses autores destacam que o pesquisador
deve ter um balizador para que se inicie a pesquisa e para que se tomem os
cuidados necessários para a coleta e análise inicial dos dados. Porém, esses
balizadores não devem estar fechados, de início, ou quando se apresenta o
projeto de pesquisa. Para Lincoln e Guba (1985), uma pesquisa qualitativa
pode deixar que o desenvolvimento da investigação indique outros
questionamentos e procedimentos a serem implementados. Retratamos as
trajetórias e percursos metodológicos que foram trilhados, tentando deixar claro
para o leitor o nosso caminhar, as escolhas, os desafios, os acertos e os
tropeços vivenciados nesta investigação.
3.1 Idas e vindas para construção do problema
Relatamos nesta seção um pouco do nosso caminhar para que o leitor tenha
uma visão de como aconteceram algumas idas e vindas referentes a este
estudo longitudinal. Seria inviável apontar todos os nossos passos e reflexões,
porém, para que possamos ter uma panorâmica da pesquisa, decidimos
desvendar os momentos e reflexões considerados mais relevantes.
Nossa pesquisa foi se delimitando no decorrer do estudo longitudinal. Desde o
início, desejávamos trabalhar com a formação continuada de professores que
ensinam matemática nas séries iniciais. Daí surgiu uma proposta para trabalhar
com processos de ensino e aprendizagem de matemática para esse nível de
ensino. Concluímos que nossa pesquisa estava ampla e complexa. Tínhamos a
95

necessidade de delimitá-la para conseguirmos realizá-la de maneira
satisfatória. Por influência de experiências vivenciadas no grupo de estudos
mais amplo e de leituras de autores como, por exemplo, João Pedro da Ponte
(2002) e Ponte e Serrazina (2003) de Portugal, pensamos inicialmente em
trabalhar com a investigação da própria prática. Achamos interessante o
assunto e acreditávamos que, com este tipo de abordagem, poderíamos
proporcionar momentos em que cada professor pudesse iniciar um olhar para
si mesmo enquanto profissional, de maneira mais sistematizada numa proposta
de formação continuada. Confiávamos que o nosso grupo de estudos daria a
oportunidade de provocar essa reflexão, uma investigação sobre a própria
prática. Sabíamos que não seria tarefa fácil, mas acreditávamos inicialmente
que seria possível. A partir de alguns questionamentos de colegas e de alguns
professores da banca de qualificação I, tivemos a oportunidade de refletir sobre
o fato. Este olhar externo contribuiu para apurar nossa “investigação da nossa
própria prática”, como pesquisadora iniciante. Alguns comentários,
questionamentos e leituras nos levaram a refletir e constatamos que seria
complicado colocar a investigação da pesquisadora de sua própria prática, já
que definimos abordar a matemática nas séries iniciais e a pesquisadora não
trabalha neste segmento de ensino. Também entendemos que relatar as
investigações das próprias professoras sobre suas práticas não seria tarefa
fácil para uma tese, pois é um trabalho escrito, unicamente, pela pesquisadora.
Acreditamos que um resultado satisfatório para a investigação da própria
prática seria num trabalho em que cada professora pudesse escrever sobre o
desenvolvimento e a sua consecução. Essas e outras colocações nos
ajudaram a chegar à conclusão de que precisávamos delimitar melhor nossa
pesquisa, pois identificamos que a investigação sobre a própria prática não
caberia como eixo central deste estudo de doutorado. Continuamos a incentivar
as professoras a investigar suas próprias práticas em matemática por
acreditarmos que tal atitude contribui para a reflexão e, consequentemente,
para o desenvolvimento profissional delas. Além disso, essa metodologia é
utilizada por nós, no outro grupo de estudos, do qual participamos. Logo,
estamos convictos que a investigação sobre a própria prática possa contribuir
como uma provocação de reflexão crítica por parte do professor.
96

A partir da identificação da inviabilidade da metodologia de pesquisa, voltamos
a analisar a delimitação da nossa pesquisa. Pois, conforme já comentamos,
estava bem ampla. Tínhamos a formação continuada de professores, a
matemática nas séries iniciais e seus processos de ensino e aprendizagem.
Verificamos, ainda, que na medida em que o grupo foi se consolidando e o
trabalho foi se efetivando, questões referentes aos aspectos cognitivos
(conhecimentos, tomada de consciência, metacognição) e aos aspectos
afetivos (crenças, concepções, emoções, atitudes) mostraram grande influência
sobre o que estava sendo desenvolvido. Com isso, fomos (re) constituindo o
problema no cotidiano e a partir desse cotidiano. No decorrer do estudo
longitudinal, compreendemos que, para se realizar um trabalho com foco no
professor e em suas aprendizagens, precisávamos investigar mais
detalhadamente alguns dos aspectos cognitivos e afetivos. Identificamos que
nosso estudo estava na interseção ilustrada no diagrama a seguir.
Figura 4 - Diagrama de temas
Num período posterior à qualificação I, a partir de questionamentos e estudos
sobre nossa delimitação da pesquisa, decidimos centrar nosso problema de
pesquisa em conhecimentos das professoras e relacioná-los com crenças,
concepções e atitudes na prática das aulas de matemática. Porém,
identificamos que a situação vivida e as relações surgidas eram mais
complexas e abrangiam outros pontos que não estaríamos considerando se
pontuássemos apenas conhecimentos das professoras. O movimento do grupo
97

de estudos e de seus participantes era mais amplo e expressava bem o que a
professora Denise Meyrelles de Jesus comentou (durante a qualificação I)
sobre os fluxos contínuos. Precisávamos analisar a dinâmica dos fluxos
contínuos, ou seja, o movimento proporcionado e vivenciado pelo grupo, pois
reconhecemos que não conseguiríamos dar conta de relatar, registrar e
analisar todos os momentos e todas as situações vivenciadas na dinâmica que
o grupo se envolveu. A reflexão que nos provocou os questionamentos foi a de
tomarmos consciência de que estávamos trabalhando com pessoas de
experiências, de envolvimentos e de propósitos diferentes. E ainda, por
vivenciarmos muitos momentos no grupo e em sala de aula, durante as
observações não conseguimos revelar a experiência em sua totalidade.
Apresentamos algumas das aprendizagens de pessoas que estavam
compartilhando algumas vitórias, anseios, práticas, conhecimentos, dentre
outras coisas, num fluxo contínuo, que somente pôde ser revelado e
identificado em “flashes”. Momentos foram captados ou explicitados de alguma
maneira, mas não puderam ser apresentados na sua totalidade e complexidade
desse movimento. O que abordamos foi decorrente dos incidentes críticos ou
significativos identificados por nós.
Tínhamos conhecimento da complexidade que estaríamos enfrentando. Como
expressar isso? Qual a melhor forma de identificar e relatar todos estes
envolvimentos? Era imprescindível organizar nosso texto e até mesmo nosso
foco para que, de certa forma, apresentássemos a amplitude e o movimento
que se realizou em relação ao desenvolvimento profissional das professoras no
grupo de estudos e a partir dele. Identificamos algumas palavras que definiriam
o que queríamos, palavras como conhecimentos, saberes e aprendizagens.
Optamos por utilizar „aprendizagens‟, inclusive sem o artigo definido, por
termos certeza de que não conseguiríamos abranger todas as aprendizagens.
Julgávamos que fossem processos e como tal nem sempre conseguíamos
identificar sua totalidade, mas a palavra aprendizagem reforçava o que
queríamos compreender. Essas aprendizagens foram de diferentes naturezas,
como por exemplo, atitudinais, conceituais e emocionais. As aprendizagens
foram muitas, diferentes conforme já comentamos e imprevisíveis.
98

Concordamos com Meirieu (2005), quando comenta a questão da incerteza na
aprendizagem. Ele afirma que aprendizagem se insere numa dinâmica, num
processo pessoal e de busca pela autonomia. Segundo as palavras do próprio
Meirieu (2005, p. 76) “implica num risco, um salto no desconhecido, uma
decisão que ninguém pode tomar pela pessoa. De fato, é sempre uma questão
de fazer uma coisa que não se sabe fazer para aprender a fazê-la”. Todas as
professoras participantes do grupo de estudos viviam um pouco isso,
estávamos ali para aprender umas com as outras, para sermos parceiras,
enquanto partilhávamos nossas práticas.
Para clarear nossa ideia sobre o problema, focalizado nas aprendizagens e
sobre nossas perguntas e objetivos, fizemos, a pedido das orientadoras, alguns
quadros e esquemas com suas respectivas datas. Isso, com a intenção de
registrar um pouco de nossas idas e vindas na construção e estruturação do
problema de pesquisa e de seus procedimentos metodológicos, uma ligação
direta com as perguntas integradas que relatamos na seção 1.2.
Em setembro de 2008, apresentamos para as orientadoras o Quadro 11, onde
tentamos relacionar nossas perguntas aos objetivos e apresentar os
instrumentos que estávamos utilizando para responder a cada pergunta.
Constatamos que cada uma das perguntas estava direcionada, de maneira
direta ou indireta, a mais de um objetivo, e precisávamos evidenciar esse fato.
Reformulamos o quadro de forma que as nossas perguntas ficassem bem
expostas, transformando-o em diferentes esquemas para mostrarmos algumas
relações entre perguntas e objetivos.
O último esquema é um mapa conceitual que organizamos para entendimento
e clareza de nossas ideias sobre a pesquisa como um todo. Ele foi estruturado
a partir da expressão „aprendizagens de professores‟, na qual relacionamos e
elaboramos as conexões.
99

Quadro 11: Perguntas, objetivos e instrumentos: elaborados em 18/09/08 e atualizado em 26/09/08
Perguntas Objetivos Instrumentos
I.Que aprendizagens dos
professores
participantes podem ser
destacadas, a partir de
discussões num grupo
sobre os processos de
ensino e aprendizagem
de matemática nas
séries iniciais?
II.Como aprendizagens
de professores são
percebidas e/ou
evidenciadas pelos
professores, no grupo e
nas práticas, em sala
de aula de matemática
nas séries iniciais?
III.Que relações entre
crenças, concepções,
atitudes e
conhecimentos
relacionados à
matemática com as
aprendizagens dos
professores são
evidenciados em
discussões do grupo ou
em práticas
pedagógicas?
A. Identificar algumas aprendizagens
dos professores participantes que
foram explicitadas ou percebida, a
partir de discussões no grupo de
estudos e em suas práticas
pedagógicas.
B. Compreender como acontecem
algumas aprendizagens e como
estas são percebidas ou
explicitadas nos encontros do grupo
e em práticas pedagógicas pelos
professores.
C. Compreender como os diferentes
conhecimentos estão articulados e
relacionados com as discussões do
grupo e com as práticas
pedagógicas.
D. Verificar como os professores
participantes explicitam suas
percepções e sua tomada de
consciência das relações existentes
entre suas crenças, concepções,
atitudes e conhecimentos com suas
práticas, em relação aos processos
de ensino e aprendizagem de
matemática.
E. Identificar algumas crenças,
concepções, atitudes e
conhecimentos dos professores
relacionados aos processos de
ensino e aprendizagem de
matemática em diferentes
momentos da pesquisa.
F. Comparar algumas crenças,
concepções e atitudes de cada
professora, relacionadas aos
processos de ensino e
aprendizagem de matemática,
identificadas em diferentes
momentos da pesquisa.
100
Gravações em áudio
Textos escritos pelos professores
Registros obtidos em sala de aula
Avaliações preparadas
Entrevistas semi-estruturadas
individuais e coletivas
Gravações em áudio
Registros obtidos em sala de aula
Materiais
professoras
impressos das
Avaliações preparadas
Entrevistas semi-estruturadas
individuais e coletivas
Cadernos da observadora
Reflexões escritas e
compartilhadas por e-mail com coorientadora
Gravações em áudio
Materiais
professoras
impressos das
Avaliações preparadas
Entrevistas semi-estruturadas
individuais e coletivas
Cadernos da observadora
Gravações em áudio
Registros obtidos em sala de aula
Materiais impressos das
professoras
Avaliações preparadas
Entrevistas semi-estruturadas
individuais e coletivas
Reflexões escritas e
compartilhadas por e-mail com coorientadora
Metáforas
Textos escritos pelos professores
Gravações em áudio
Registros obtidos em sala de aula
Entrevistas semi-estruturadas
individuais e coletivas
Reflexões escritas e
compartilhadas por e-mail com coorientadora
Registros obtidos em sala de aula
Entrevistas semi-estruturadas
individuais e coletivas

I. Que aprendizagens dos
professores participantes
podem ser destacadas a
partir de discussões num
grupo sobre os processos
de ensino e aprendizagem
de matemática nas séries
iniciais?
A. Identificar
algumas
aprendizagens dos
professores
participantes que
foram explicitadas
ou percebidas, a
partir de
discussões no
grupo de estudos e
em suas práticas
pedagógicas.
Aprendizagens
de professoras
II. Como aprendizagens de
professores são percebidas e/ou
evidenciadas pelos professores
no grupo e nas práticas em sala
de aula de matemática nas
séries iniciais?
B. Compreender
como acontecem
algumas
aprendizagens e
como estas são
percebidas ou
explicitadas nos
encontros do grupo e
em práticas
pedagógicas pelos
professores.
E. Identificar algumas
crenças, concepções,
atitudes e conhecimentos
dos professores
relacionados aos
processos de ensino e
aprendizagem de
matemática em diferentes
momentos da pesquisa.
C. Compreender como os diferentes
conhecimentos estão articulados e
relacionados com as discussões do grupo
e com as práticas pedagógicas.
Figura 5: Esquema 1 - Elaborado em 01/10/08 e reestruturado em 22/01/09.
III. Que relações entre crenças,
concepções, atitudes e
conhecimentos relacionados à
matemática com as
aprendizagens dos professores
são evidenciados em discussões
do grupo ou em práticas
pedagógicas?
D. Verificar como
os professores
participantes
explicitam suas
percepções e sua
tomada de
consciência das
relações existentes
entre suas crenças,
concepções,
atitudes e
conhecimentos com
suas práticas em
relação aos
processos de ensino
e aprendizagem de
matemática.
F. Comparar algumas
crenças, concepções e
atitudes de cada professor,
relacionadas aos processos de
ensino e aprendizagem de
matemática, identificadas em
diferentes momentos da
pesquisa.
Legenda das setas:
Linhas cheias – ligação direta.
Linhas tracejadas – ligação
indireta
101

Figura 6: Esquema 2 – elaborado em 09/12/08
102

Existem outros mapas conceituais e outros esquemas anteriores realizados em
seminários para alunos da sub-linha de linguagem matemática, os quais foram
desenvolvidos pela professora Vânia Santos-Wagner, em 2006 e 2007 no
entanto, o quadro e os esquemas apresentados, ajudam na compreensão do
nosso caminhar e do nosso amadurecimento no decorrer da pesquisa.
3.2 Escolhas metodológicas
Ao iniciarmos a pesquisa, não tínhamos a certeza dos refinamentos da
metodologia de natureza qualitativa a ser utilizada neste estudo longitudinal.
Registramos, na primeira qualificação, que a metodologia dependeria do
caminhar do grupo. Somente tivemos como apresentar as características deste
estudo longitudinal, a partir dos indicativos que foram surgindo juntamente com
o caminhar da pesquisa, seguindo os moldes de uma pesquisa qualitativa
como é definido internacionalmente. Indicávamos que, dentro desta pesquisa
qualitativa, iríamos também trabalhar numa perspectiva colaborativa. Porém,
verificamos que esse tipo de caracterização metodológica demandaria maior
tempo, disponibilidade e envolvimento de todos os participantes. Não
poderíamos garantir a adesão dessas demandas num grupo constituído para
estudar práticas e processos de ensino e aprendizagem em matemática nas
séries iniciais. Pois, para que o tipo de caracterização metodológica de
pesquisa colaborativa pudesse, realmente, acontecer os participantes deviam
estar muito mais imbricados em todos os processos da investigação, o que não
garantiríamos que acontecesse com o período de que dispúnhamos.
Conseguimos constituir um grupo que já possui algumas práticas colaborativas,
onde os participantes já possuem certo grau de envolvimento. Porém, nem
todos são responsáveis pelo planejamento, implementação, organização e
análise dos dados coletados e pela escrita dos relatórios ou desejam executar
as incumbências dessas pesquisas.
103

Ao longo dos encontros e por causa da perspectiva humanística, notamos que
não ser possível generalizar e analisar o grupo de forma única. Cada
professora estava num estágio de desenvolvimento profissional e agindo de
forma diferenciada no que se refere a sua participação, interação e vivência no
grupo. Estávamos implementando um trabalho, segundo os princípios de uma
pesquisa qualitativa, mas que precisava ser relatada como estudos de caso.
Concordamos com Stake (1994), ao afirmar que a escolha metodológica por
estudos de casos é uma abordagem diferente de estudar „objetos de pesquisa‟.
No nosso caso, aprendizagens mais específicas de professoras participantes
num grupo de estudos, no qual deveríamos analisar e compreender o caminhar
de cada uma delas, assim como as aprendizagens decorrentes das que podem
ser percebidas e explicitadas.
Para Stake (1994, p. 237), o estudo de casos é ao mesmo tempo o processo
de aprendizagem sobre o caso e a produção desta própria aprendizagem 23 .
Concordamos com o autor, pois, ao mesmo tempo em que aprendemos sobre
cada uma das professoras e com suas aprendizagens, também, produzimos
aprendizagens pessoal, em grupo e em nível de desenvolvimento de pesquisa,
com formação de professores em grupo de estudos. Sabemos que,
apresentando este estudo de caso, estamos fazendo algo particularizado: são
aprendizagens de professoras que participaram deste grupo de estudos em
contexto sobre matemática. Temos a consciência da não generalização de
nossas conclusões, mas acreditamos que os casos sirvam de „espelho‟ para
muitos outros professores se enxergarem em situações semelhantes e fazerem
suas próprias leituras sobre os assuntos abordados e comentados neste
trabalho, relacionando-os com suas próprias práticas.
O estudo de caso foi por nós escolhido, objetivando expressar a particularidade
da situação envolvida e a análise detalhada de cada professora. Ponte (1994,
2006) realizou, em dois momentos diferentes, uma abordagem sobre estudo de
casos, e utilizamos essas referências a fim de apontarmos nossa proposta para
23 A case study is both the process of learning about the case and the product of our learning. (tradução
nossa)
104

utilização da forma de investigar nossa pesquisa. Concordamos com Ponte
(2006), ao mostrar, com detalhes, o que vem a ser um caso.
105
um caso constitui uma entidade bem definida, necessariamente
inserida num contexto. O que explica que o caso seja como é são
sempre as determinantes internas, a sua história, a sua natureza, as
suas propriedades próprias, bem como as influências externas,
próximas e distantes, directas e indirectas que recebe do seu próprio
contexto. Por isso, no estudo de um caso, seja ele qual for, é sempre
preciso dar atenção à sua história (o modo como desenvolveu) e ao
seu contexto (os elementos exteriores, quer da realidade local, quer
de natureza social e sistêmica que mais o influenciaram) (PONTE,
2006, p. 110).
Preocupamo-nos com os determinantes externos e internos e por isso,
juntamente com a coorientadora 24 , elaboramos alguns procedimentos e
instrumentos de coleta, organização e análise de dados. Sempre com o
cuidado de relatarmos todo processo que a investigação esteve envolvida,
dando atenção ao que Ponte (2006) chamou de história e contexto.
Após definirmos o estudo de caso, como modelo de pesquisa, deparamo-nos
com outra situação que necessitava ser envolvida neste processo. Desde o ano
de 2007, as professoras, que atuam nas séries iniciais do ensino fundamental,
pediram a nossa participação em algumas de suas aulas de matemática, o que
aconteceu desde então. Entretanto, à medida que nos envolvíamos com as
professoras e seus alunos, em aulas de matemática, percebíamos que
estávamos participando, agindo e interagindo de forma ampla nos processos
de ensino e aprendizagem de matemática. Constatamos que a metodologia de
estudo de caso foi modificada ou incrementada, Acreditamos que, ao formar e
desenvolver as práticas realizadas no grupo de estudos, desenvolvemos
algumas características da pesquisa-ação.
Entendemos que o envolvimento e a metodologia de formação desse grupo é
resultado próprio da pesquisa-ação, e que nossa interação e a forma que
24 E-mails trocados e discussões em encontros com a professora coorientadora Vânia Mª Pereira Santos-
Wagner, durante todo o processo de pesquisa.

estamos desenvolvendo nessa pesquisa estão de acordo com as propostas
identificadas por Barbier (2004) asseverando que:
106
A pesquisa-ação obriga o pesquisador de implicar-se. Ele percebe
como está implicado pela estrutura social na qual ele está inserido e
pelo jogo de desejos e de interesses de outros. Ele também implica
os outros por meio do seu olhar e de sua ação singular no mundo.
(BARBIER, 2004, p. 14)
Trabalhamos, então, com o procedimento metodológico de estudo de caso,
quando olhamos para cada professora em seu contexto diferenciado e em sua
interação com o grupo, e que possui algumas características da pesquisa-ação,
na formação, constituição e desenvolvimento das atividades do grupo, ao
interagirmos e intervirmos inclusive nas atitudes das professoras participantes.
Convém ressaltar que essa pesquisa nos ajudou a compreender o processo
como um todo, pois, ao mesmo tempo em que intervínhamos na prática
precisávamos refletir sobre ela. E como age num ciclo reflexivo está a todo o
momento nos colocando frente a novas situações que são produzidas ou
discutidas pelo grupo, levando-nos a diferentes práticas educacionais.
Concordamos com Fiorentini (2004), quando conceitua que pesquisas com
características da pesquisa-ação ocorrem como
um processo investigativo de intervenção em que caminham juntas a
prática investigativa, a prática reflexiva e a prática educativa. Ou seja,
a prática educativa, ao ser investigada, produz compreensões e
orientações que são imediatamente utilizadas na transformação
dessa mesma prática, gerando novas situações de investigação
(FIORENTINI, 2004, p. 69).
Nossa proposta com a esta pesquisa propõe discutir e analisar práticas
pedagógicas que são desencadeadas a partir de ciclos de reflexão (IBIAPINA,
2008, p. 12). Essa autora também aponta para o trabalho com o professor e
não sobre o professor, de modo a trabalhar “na perspectiva de contribuir para
que os docentes se reconheçam como produtores de conhecimentos, da teoria
e da prática de ensinar, transformando, assim, as compreensões e o próprio
contexto do trabalho escolar” (IBIAPINA, 2008, p. 12 – 13).

Em nossa pesquisa, realizamos algumas estratégias, as quais foram
fundamentais para os resultados apresentados neste trabalho. Fizemos
levantamentos iniciais de informações e discutimos nossa proposta de trabalho.
Iniciamos com as pessoas interessadas e deixamos o espaço aberto para que
novas pessoas pudessem entrar no grupo. Os trabalhos desenvolvidos criaram
condições de colaboração, levando ao desenvolvimento de práticas
colaborativas, sem dar importância demasiada aos erros, mas considerando a
aprendizagem como um processo. Além disso, planejamos ações de estudos e
reflexões, por um longo período de tempo, de modo a oportunizar trocas. Essa
oportunidade pode envolver as pessoas dando-lhes vez e voz durante o
processo de investigação. Como pesquisadora, era participante do grupo,
necessitando dialogar com as outras professoras. Notamos que foi um
processo de reflexão crítica, onde cada participante agiu como amigo crítico,
ajudou os outros refletindo sobre o que pensavam, como faziam e qual a
relação entre essas vertentes. Outra estratégia utilizada por nós foi a de
partilhar nossos registros e anotações com as participantes de forma crítica e
reflexiva permitindo modificações e correções Avaliando, periodicamente, o que
e como as discussões e reflexões influenciaram suas práticas e atitudes.
Mais do que definir uma metodologia de pesquisa estamos preocupados em
desenvolver uma pesquisa qualitativa, envolvendo formação continuada de
professores. Concordamos com Fiorentini (2004) ao destacar que um trabalho
realizado por professores não precisa seguir, rigorosamente, um
enquadramento teórico-metodológico. Mas a coerência, a consistência e a
qualidade da investigação sobre o seu trabalho docente devem ser feitas com,
atitude cuidadosa, organizada, ética, reflexiva e crítica para privilegiar seu
objeto de estudo. Um estudo que contemple os múltiplos aspectos relacionados
ao fenômeno educativo de seus protagonistas e utilizando os aportes teóricos
que ajudaram no caso específico do estudo que estiver sendo desenvolvido
(FIORENTINI, 2004).
Após apresentarmos nossas escolhas metodológicas descrevemos sobre
nossas ações e nossos percursos nesse caminhar.
107

108
CAPÍTULO IV:
4 ESCOLHENDO E PERCORRENDO O CAMINHO
esde o momento que fizemos nossas escolhas metodológicas,
constatamos que era preciso seguir o caminho: deveríamos
escolher por onde caminharíamos e como seria o percurso. Para
explicitar nossas escolhas e trajetos, colocamos, nessa seção, o
contexto e a constituição do nosso grupo de estudos. O início da caminhada foi
um tanto demorado, e precisamos de muita persistência, paciência e
esperança para formarmos o grupo. Dando sequência, detalhamos
procedimentos para coleta, organização e a análise dos dados. Realizamos
também uma apresentação de cada professora, sua formação e nossas
considerações iniciais sobre a motivação e participação de cada uma, nesse
grupo de estudos. Finalmente, fizemos uma panorâmica do caminhar do grupo,
na qual registramos uma breve descrição dos encontros vivenciados e das
aulas das professoras, Susana e Beatriz, observadas e participadas por nós,
durante o estudo longitudinal.
4.1 Panorâmica do caminhar do grupo: contexto,
constituição e consolidação
Realçamos nesta seção, uma panorâmica das atividades do grupo, desde o
contexto no qual está inserido, a constituição e a consolidação com as reuniões
de estudo e com as aulas observadas e/ou participadas. Apresentamos,
primeiramente, de forma geral e, posteriormente, deter-nos-emos em alguns
detalhes, até mesmo contribuindo para o entendimento de nossas justificativas

das escolhas de alguns momentos. Os leitores entenderão um pouco de nosso
caminhar e verificarão como desenvolvemos o estudo longitudinal.
Nossa pesquisa foi realizada no contexto da Prefeitura Municipal de Vitória
(PMV). O primeiro contato ocorreu no mês de junho de 2006, com as
coordenadoras que acompanhavam a Formação Continuada de 1ª a 4ª séries
em 2006, na PMV. O contato inicial serviu para tomarmos conhecimento dos
dias de encontros de formações continuadas e da possibilidade em fazer o
convite pessoalmente, para os professores das séries iniciais. A princípio, nos
meses de junho e julho de 2006, fizemos cartazes na forma de convites, em
duas situações diferentes, mas não tivemos retorno por parte de interessados.
Buscamos outras formas de falar com os professores, fomos a algumas
escolas e fizemos o convite pessoalmente. Em agosto de 2006, marcamos
visitas às escolas situadas nas proximidades da UFES. Conseguimos nomes e
telefones de pedagogas responsáveis por dez escolas dessa região, mas
somente visitamos nove escolas. Dessas, apenas em cinco conseguimos falar
com os professores. Foi deixado um convite, marcando um encontro para o dia
30 de agosto de 2006. Com esse contato mais próximo, explicamos nossa
proposta com o grupo de estudos. Uma dificuldade enfrentada relacionava-se
aos horários e dias dos encontros, pois precisavam atender tanto as
professoras interessadas como a pesquisadora.
Visitamos também os encontros de formação e explicamos nossa proposta
inicial e convidamos os professores para o encontro do dia 30/08/06. No dia
marcado, compareceram duas professoras, e iniciamos os trabalhos com elas.
Mas continuamos ligando para as professoras interessadas na tentativa de
ampliar o grupo.
A reunião seguinte ficou marcada para a semana que compreendia do dia 18
ao 22 de setembro de 2006. Devido a problemas relacionados aos dias e
horários disponíveis pelas professoras interessadas, marcamos dois dias para
atender aos pedidos delas: na segunda e na terça-feira (dias 18 e 19 de
109
setembro de 2006), às 18h30min no prédio do Centro de Educação/UFES.

Compareceram duas professoras em cada um dos dias marcados. As que
compareceram, na segunda-feira, foram as mesmas que tinham comparecido
no dia 30/08, já na terça-feira, foram outras duas professoras. Em comum
acordo com as professoras, estabelecemos deixar os encontros marcados para
as segundas-feiras no mesmo horário e local.
As professoras que permaneceram no grupo foram Susana e Beatriz, que
trabalhavam com 3ª e 4ª séries em escolas diferentes da PMV. Intensificamos
os trabalhos e tivemos, ao longo do ano 2006, treze encontros. O grupo se
formou, a princípio, com as duas professoras, que atuam em séries iniciais, e a
pesquisadora. Tentamos, por diversas vezes, motivar outras professoras a
participarem do grupo, porém, sem êxito. No ano de 2007, conseguimos a
adesão da professora Elisa, porém, por motivos de horários e outros
planejamentos, não pôde continuar conosco. Em julho de 2007, a professora
Lucia, que atua com matemática, nas séries finais do ensino fundamental,
aderiu aos encontros do grupo. Desde sua constituição, a professora Vânia
(coorientadora desta pesquisa) participou, presencialmente, sempre que estava
no Brasil, ou por meio de conversas telefônicas e troca de e-mails, quando
estava na Alemanha. Gostaríamos de deixar claro que o grupo não esteve
“fechado” em nenhum momento e se outros professores quisessem participar
seriam muito bem-vindos. A preocupação com o tamanho do grupo nos
incomodou por algum tempo e foi um ponto de discussão na qualificação I.
Porém, com o passar dos encontros, o entrosamento e o conhecimento que
fomos adquirindo umas das outras nos levou a compreender que não teríamos
problemas em relação ao número de pessoas integrantes do grupo.
Acreditamos que o maior envolvimento, o respeito, a interação e a confiança
cresceram entre as participantes exatamente pelo fato de pertencermos a um
grupo com cinco membros: Susana, Beatriz, Lucia, Vânia e Sandra.
Destacamos que, em muitos encontros, a professora Vânia não esteve
presente por morar alguns meses na Alemanha. Entretanto, participou das
discussões, pois, conversava, por telefone, antes e depois dos encontros com
110
a professora Sandra. Além disso, em muitas ocasiões, a professora Vânia

conversava com todos os membros do grupo durante as reuniões, também por
telefone, contribuindo, dessa forma, para os planejamentos e ações realizadas
no grupo. Essas atitudes permitiram que Vânia se tornasse membro ativo do
grupo, mesmo não estando presente, fisicamente, em todos os encontros.
Nesse relato, notamos a difícil tarefa de constituição de um grupo por
professores voluntariamente, sem ajuda monetária ou certificados. Isso nos
leva a alguns questionamentos: “Porque os professores resistem tanto? Eles já
sabem? Não querem saber? Sua carga horária é demasiadamente alta que
não os permite inserir outras atividades? Não temos resposta, mas acredito
que seja interessante, para nós, enquanto formadores de professores,
refletirmos sobre essas atitudes.
Após a constituição do grupo de estudos, definimos que os encontros
aconteceriam todas as segundas-feiras (18h00min às 20h30min), em uma sala,
no prédio do Centro de Educação / UFES (IC IV). A escolha do local se deu
pelo fato de cada professora atuar em diferentes escolas, e a universidade
estar situada num ponto central e ser de fácil acesso. No início das atividades
em 2006, tivemos algumas dificuldades relativas à efetivação de alguns
encontros, porque não possuíamos uma sala fixa. Mesmo assim, conseguimos
cumprir nossa proposta. As reuniões aconteceram semanalmente, salvo
quando houve alguns imprevistos (problemas relacionados à saúde, outras
reuniões, falta de energia, feriados, férias e vestibulares da UFES, etc.). Os
encontros foram suspensos durante as férias escolares, porém, nesse período,
cada participante organizava suas propostas de trabalho para o próximo ano.
Nos anos de 2007 e 2008, continuamos a nos encontrar, às segundas-feiras,
no mesmo horário, em sala reservada pela profª. Vânia Santos-Wagner, no
prédio do IC IV/UFES. Alguns momentos aconteceram em locais alternativos,
nos períodos em que a universidade ou o IC-IV estavam fechados, como nas
bibliotecas e nas casas da pesquisadora ou da Lucia. Em junho de 2008,
decidimos nos reunir quinzenalmente, com poucas exceções necessárias.
É interessante destacar que para o ano de 2007, as professoras se
111
preocuparam em assumir uma mesma série do ensino fundamental (3ª série),

mesmo trabalhando em escolas diferentes. Dessa maneira, elas acreditavam
que aproximaríamos as discussões sobre os conteúdos trabalhados das
atividades desenvolvidas em sala de aula, mesmo tendo realidades diferentes.
Durante o ano de 2007, compreendemos que a ideia de discussões mais
próximas seria complicada, exatamente, pela diferença de realidade vivenciada
pelas duas professoras. Em vista disso, em 2008, as professoras não
mantiveram essa proposta, a professora Susana não continuou trabalhando
com sua turma na 4ª série e assumiu uma nova turma de 3ª série. A professora
Beatriz continuou seu trabalho com os mesmos alunos e, em 2008,
acompanhou-os com a 4ª série 25 . Consequentemente, no ano letivo de 2008,
trabalhamos na coleta de dados com uma das professoras atuando, na 3ª série
e outra, na 4ª série.
Em maio de 2007 e, mais profundamente, no segundo semestre desse mesmo
ano tivemos como proposta, além dos encontros com o grupo, a observação e
participação em aulas de matemática das professoras atuantes nas séries
iniciais. A observação e a participação nas aulas serviram para que
pudéssemos desenvolver, num trabalho conjunto, atividades elaboradas no
grupo, em aulas de matemática e conhecer mais de perto o trabalho dessas
integrantes.
Caso o leitor tenha interesse, registramos todos os encontros realizados pelo
grupo de estudos, com as datas que ocorreram e as professoras presentes em
cada um dos encontros no anexo D. Pontuamos, de maneira resumida, as
principais propostas ou assuntos discutidos. Ressaltamos alguns pontos
considerados importantes e alguns pontos que precisavam ser retomados em
encontros seguintes, porque não estavam completamente claros quando
surgiram o debate.
Inserimos, no anexo E, alguns registros num quadro resumo, de cada aula que
observamos das professoras Beatriz e Susana nos anos de 2007 e 2008.
25 Praticamente os mesmos alunos tinham trabalhado na 3ª série em 2007, salvo alguns alunos novatos e
outros que pediram transferência ou que ficaram reprovados.
112

Apontamos os principais assuntos trabalhados nas referidas aulas, alguns
comentários importantes e as principais metodologias ou materiais utilizados e
identificados por nós. A partir desse quadro, pode ser vista a quantidade de
dados que possuímos. Daí a necessidade de selecionarmos alguns momentos
que consideramos importantes e relevantes para apresentar nossa pesquisa.
Foram momentos considerados incidentes críticos 26 , aqueles que, de certa
forma, contribuíram para as discussões que revelamos neste trabalho. A
escolha não significa que os outros momentos foram menos importantes ou
não propiciaram aprendizagens, mas os incidentes críticos selecionados
representam a decisão feita pelo grupo como os pontos que mereciam
destaques e apresentação neste trabalho.
Acreditamos que o grupo amadureceu no sentido de discussão e organização
com o passar do tempo. As pessoas se comprometeram com o grupo e
contribuíram com sua história de vida, por esse motivo, o grupo foi o retrato dos
indivíduos que fizeram parte do mesmo. Organizando e analisando alguns
dados obtidos no caminhar do grupo, identificamos quatro grandes momentos.
Não foram, linearmente concebidos e percebidos. Porém, essa separação
ajuda a entender a dinâmica do grupo. Estes momentos podem ser assim
distinguidos:
I. O início da constituição do grupo correspondeu aos 13 encontros em
113
2006, quando participavam apenas as professoras Susana, Beatriz e
Sandra. A professora Vânia sabia dos encontros, mas não conhecia as
professoras e ainda não tinha participado dos mesmos. Foi um momento
de estudo exploratório inicial, de constituição do grupo, em que as
professoras se conheceram um pouco e começaram alguns trabalhos.
Iniciamos, nesse momento, a investigação sobre nossas aprendizagens,
nossas concepções, crenças e atitudes em relação à matemática e ao
seu ensino e aprendizagem. Foi um momento introdutório de reflexão
26 Explicamos o que consideramos como incidentes críticos ou significativos na seção 4.4.

114
crítica pessoal sobre nossas práticas e atitudes, frente a algumas
questões relativas à matemática.
II. Num segundo momento, a professora Vânia começou a fazer parte do
grupo (a partir de dez/2006). Assim, passamos a ser quatro professoras
participantes, cada uma com sua experiência de vida. O grupo se
fortaleceu e foi durante esse momento que sentimos necessidade de
estarmos em sala de aula, com as professoras que atuavam nas séries
iniciais. Esse seria um modo de nos aproximarmos da realidade
comentada pelas professoras Susana e Beatriz.
III. Um terceiro momento foi quando outras professoras fizeram parte do
grupo: a professora Lucia iniciou sua participação em jul/07 e continuou
em alguns momentos em 2008. Participou também a professora Elisa,
que compareceu a dois encontros. Porém, pelos incidentes críticos, não
conseguimos com os dados selecionados inserir as discussões que
tiveram a presença dessa professora nas nossas análises. A presença
da professora Lucia no grupo foi importante, pois nos provocava a
pensar em outras formas de conceber as discussões. No entanto, não
tivemos muitos dados dessa professora, por sua descontinuidade
causada por problemas pessoais.
IV. Período das atividades realizadas em 2008, nas quais o grupo já estava
consolidado e tendo características próprias. As professoras se
conheciam, suficientemente, para conseguirem trabalhar em grupo de
maneira mais consciente e independente. Realizamos algumas
descobertas importantes sobre a influência do grupo em nossas aulas
de matemática e sobre nossas crenças e atitudes em relação a esse
conteúdo.
Após abordarmos a panorâmica do caminhar do grupo, apresentamos um
pouco sobre cada professora, sua formação, expectativas para a participação
neste trabalho e alguns detalhes que consideramos importantes.

4.2 O grupo
No grupo, as duas professoras que atuam nas séries iniciais, Beatriz e Susana,
possuem mais de 15 anos no magistério com turmas de 1ª a 4ª séries do
Ensino Fundamental. Além disso, já atuaram ou ainda atuam como pedagogas.
Trabalham com as séries iniciais, em escolas da rede Municipal de Vitória, mas
com alunos completamente diferentes em muitos aspectos. Uma delas trabalha
com alunos de um bairro de classe média e a outra, com alunos da classe
baixa, com sérios problemas de risco social. Nos encontros, conseguimos, em
vários momentos, levantar semelhanças e diferenças entre os alunos e seus
comportamentos em relação à matemática, não para compararmos, mas para
entendermos que algumas situações acontecem em ambos ambientes e outras
são particularidades. Em muitos de momentos, debatemos sobre
acontecimentos em sala de aula e percebemos como vivenciamos situações
semelhantes em questões de ensino e aprendizagem, mesmo com algumas
realidades diferentes.
Quando falamos sobre cada professora, relatamos um pouco sobre sua vida
acadêmica e a influência desse aspecto em suas práticas. Sabemos que
muitos assuntos abordados, neste trabalho, refletem nossos olhares sobre
essas professoras, porém tentamos, sempre que possível, captar o que fica
explícito nas suas falas e ações sobre elas mesmas. Além disso, pedimos-lhes
que lessem o que escrevemos sobre elas para acrescentarem, modificarem ou
clarearem algumas de nossas colocações, durante as devolutivas.
Conseguimos observar que a professora Beatriz possuía, desde o início, um
encantamento com a matemática, apesar de algumas dificuldades, mas a
professora Susana possuía certo medo ou aversão à matemática. A professora
Susana sempre mostrou consciência de que precisava superar essa atitude
frente à matemática para ajudar, de maneira satisfatória, seus alunos. As
professoras Sandra, Vânia e Lucia atuam como professoras de matemática e
115
se encantam com a mesma. Um caso interessante que contribuiu para

enriquecer as discussões do grupo foi o fato de que as professoras Sandra e
Lucia não fizeram magistério e não possuíam experiência com esse nível de
ensino. As professoras sabem matemática, mas desconheciam algumas
situações vivenciadas nas séries iniciais. As ideias, colocadas a seguir, são
exemplos simples, porém importantes, que nos mostram como precisamos dar
mais atenção aos nossos professores das séries iniciais e como devemos
contribuir para sua formação pessoal e continuada na realização desse tipo de
trabalho. E ainda, como podemos, num trabalho em que existe uma parceria
entre professores das séries iniciais e os das séries finais do ensino
fundamental, organizar momentos de aprendizagem ampla para todos os
integrantes dos grupos.
Vamos apresentar, de maneira mais sistematizada, das professoras, a fim de
que o leitor possa conhecer um pouco mais sobre as profissionais. Foram
relatos construídos ao longo do estudo longitudinal, com base em várias
atividades realizadas com as professoras do grupo em diferentes momentos.
4.2.1 Professora Beatriz
Para o grupo, a professora Beatriz é uma pessoa meiga 27 e tímida, pois, em
muitos momentos, precisávamos pedir para que ela falasse ou opinasse. Caso
contrário, ela ficava quieta ou preferia ouvir mais que falar, principalmente, no
início das atividades do grupo. As participantes do grupo também a consideram
inteligente, criativa, aberta a novidades, caprichosa e curiosa porque sua
atitude nos encontros e em sala de aula mostrou uma “sede” em aprender mais
e a descobrir diferentes formas de trabalhar a matemática. A professora Beatriz
também nos impressionou por sua calma, em sala de aula, até seu tom de voz
transmitia tranquilidade. Podemos dizer que essa professora é uma pessoa
116
27 Os adjetivos referentes à professora que utilizamos neste parágrafo foram apontados por nós em alguns
momentos dos encontros. A listagem de adjetivos surgiu no encontro do dia 15/set/08 a pedido da
pesquisadora.

corajosa, persistente e perseverante, conforme registros da sua trajetória de
vida escolar.
A professora Beatriz atua no magistério há mais de trinta anos, graduou-se em
Letras Português/UFES e fez pós-graduação em Planejamento Educacional.
Atua como professora das séries iniciais em escolas da Grande Vitória, uma da
Prefeitura Municipal de Vitória e outra do estado que foi municipalizada para a
Prefeitura da Serra. Em 2006, quando iniciamos o grupo, trabalhava como
coordenadora desta escola da Serra (que pertencia à rede estadual de ensino).
Beatriz afirmou, em vários momentos do grupo, que gosta de ler e de estudar,
de lançar desafios para seus alunos e ajudá-los a compreender melhor o que
estudam, além disso, gosta de atividades que desenvolvam o raciocínio lógico.
Em diferentes momentos do grupo e em nossas observações de aulas de
matemática, notamos essa proposta da professora Beatriz, que gosta de
desafios e trabalha desta forma com seus alunos. Na realização de uma
atividade sobre suas memórias, referentes à matemática, enquanto aluna, ela
começou a contar-nos sobre sua vida escolar. Afirmou que somente frequentou
escola regular quando fez universidade, antes disso foi, em grande parte,
autodidata em relação a sua aprendizagem. Aprendeu a ler, a escrever e a
contar com seu pai, agricultor da região montanhosa do Espírito Santo, assim
como todos os seus irmãos. Mas não estava satisfeita apenas em ler, escrever
e contar, ela quis ir além, e assim estimulada, fez o ensino fundamental num
supletivo, por meio do Instituto Universal Brasileiro. Fez inscrição e recebia as
apostilas em casa, realizava as atividades e mandava as resoluções pelo
correio, conseguindo concluir o ensino fundamental. Ela afirmou que, em
muitos momentos durante esse estudo, desenvolvia algumas atividades de
matemática por repetição, mas ficava sem compreender a lógica ou por que se
fazia daquela forma, pois não tinha um professor que a explicasse.
Morava numa região do interior do estado do Espírito Santo, carente de
professores, e assim, por ter concluído o ensino fundamental, conseguiu
trabalhar como professora das séries iniciais no município. Num programa do
117
governo local, pôde fazer o ensino médio também com caráter de supletivo, no

Projeto de Habilitação do Professor não Titulado – Projeto HAPRONT. O curso
teve duração de 36 meses, sendo que, durante esses meses, os professores
eram submetidos a avaliações e revisões presenciais. Além disso, os
professores que participavam do projeto eram visitados em suas escolas para
verificação se estavam ou não aplicando em sala de aula o que era ensinado
(as teorias) trabalhado no curso 28 . Todo esse esforço a levou à universidade
onde cursou licenciatura em Letras Português/UFES. Foi a primeira vez que fez
um curso completamente presencial. Contou-nos que conseguiu fazer a parte
discursiva da prova do vestibular porque o seu pai, descendente de alemães,
lhe contava histórias de guerras que sua família tinha vivenciado, e esse foi o
assunto cobrado na prova discursiva.
Quando perguntada sobre seus objetivos ao entrar no grupo, Beatriz afirmou
que gostava de matemática e pretendia aprender outras formas de ajudar seus
alunos com a aprendizagem dessa disciplina. A participação da professora no
grupo foi intensa, na maioria das vezes ela tentou inserir em sua sala de aula,
aquilo que discutíamos ou que partilhávamos como propostas nos encontros.
Ela comentou, no grupo, que trabalha em sua escola acompanhando os
mesmos alunos na 3ª e 4ª séries. Dessa forma, conseguimos acompanhar seu
trabalho numa mesma turma durante os anos 2007 (3ª. série) e 2008 (4ª.
série). Nesse trabalho, observamos aprendizagens dos alunos, mas não
aprofundamos o assunto porque o nosso enfoque foram aprendizagens das
professoras.
Beatriz nos chamou a atenção por sua postura em relação ao ensino da
matemática e seu relacionamento com os alunos. Ela possuia uma
preocupação em tentar responder a todos os questionamentos feitos por seus
alunos, de sempre desafiá-los com atividades diversificadas que envolvam
raciocínio lógico. Ela mesma afirmou que sua preocupação teve fundamento na
sua escolarização, conforme já comentado anteriormente. Beatriz afirmou não
desejar que seus alunos tivessem alguns sentimentos vivenciados por ela,
28 A professora nos deu mais detalhes sobre esse curso após fazer uma revisão do que tínhamos escrito
sobre ela.
118

quando não conseguia entender alguns conceitos. Foram sentimentos
relembrados pela professora na atividade sobre a memória, enquanto aluna.
4.2.2 Professora Susana
Desde o primeiro encontro, a professora Susana mostrou-se falante 29 ,
espontânea, corajosa e ousada. Isto foi perceptível pelas participantes do
grupo de estudos, por meio de seu envolvimento. Ela não teve medo de se
expor, de colocar suas ideias, mesmo sem a certeza de estarem corretas.
Também percebemos que a professora é dedicada e organizada. Um exemplo
dessa organização foi o seu caderno de anotações dos encontros e seu
caderno de planejamento da escola. Durante os encontros e em sala de aula a
professora Susana se mostrou inteligente, perceptiva e também teimosa, pois,
em diferentes momentos ela queria (ou insistia em) fazer o que era proposto,
mas do seu jeito. Normalmente, estava alegre e bem divertida, inclusive nos
ajudava a olhar situações de outra forma. Ela chamou nossa atenção por sua
criatividade. Reconhecemos isso nos momentos em que partindo de temas ou
de situações propostas, ela conseguia fazer relações interessantes entre
termos matemáticos e a linguagem conotativa, alguns dos quais destacaremos
posteriormente.
A professora Susana atua no magistério há mais de 20 anos, fez o curso de
Magistério no Instituto de Educação, em Vitória, e graduou-se em Pedagogia
pela UFES. Possui pós-graduação em Supervisão Escolar e trabalha como
professora das séries iniciais do ensino fundamental e, como pedagoga, em
escolas da Prefeitura Municipal de Vitória. Susana, desde os primeiros
momentos, afirmou que não gostava muito de matemática e sentia dificuldades
em ensinar alguns conteúdos matemáticos. Como trabalhava em escolas que
119
29 Os adjetivos referentes à professora as quais utilizamos neste parágrafo foram apontados por nós em
alguns momentos dos encontros. A listagem de adjetivos surgiu no encontro do dia 15/set/08 a pedido da
pesquisadora.

estão situadas em zona de risco social, estava constantemente preocupada
com questões sociais que envolviam seus alunos. É uma professora bastante
comunicativa e participou, ativamente, com comentários e pontos de vista
diferenciados.
Uma situação interessante em relação à professora Susana foi que, desde o
início, ela expôs suas dúvidas sem medo. Tanto que no primeiro encontro
(30/ago/06), ela levou uma prova que iria aplicar no dia seguinte e perguntou o
que achávamos. A prova era referente a expressões numéricas, contendo
apenas um enunciado que era “resolva as expressões numéricas abaixo”,
seguida de dez letras com expressões a serem resolvidas. Alguns exemplos
das expressões são: 10 x 10 +1 =; 250 x 3 – 750 =; 43 x 13 – 27 =; (6+10) x (4
+ 3)= e 530 – (20 – 2 x 5 + 10) =. Antes mesmo que respondêssemos o que
achávamos, ela disse que gostaria de fazer diferente, mas não sabia como,
afirmou que estava muito „seco‟. Conversamos sobre os seus objetivos para
aquela avaliação; após ter-nos explicado, sugerimos-lhe que trabalhasse com
resolução de problemas. Chegamos á conclusão de que ela poderia pedir para
os alunos escolherem uma entre as expressões e escrevesse um problema
cuja solução fosse, exatamente, a expressão escolhida. Outra maneira de
desafiar os alunos seria pedindo que eles explicassem como fariam a conta,
sem que a resolvessem. As professoras afirmaram que nunca tinham pensado
assim e reconheceram que poderia dar certo, Susana aceitou testar. No
encontro posterior a esse (que aconteceu 15 dias depois), ela levou as provas
resolvidas por seus alunos, pois queria nos mostrar como foi produtiva a
mudança sugerida. Estava satisfeita com seus alunos e com a mudança,
abordando um novo enfoque.
4.2.3 Professora Sandra
Eu, professora Sandra, fui persistente desde o início da constituição do grupo,
120
pois acreditava e acredito que, com esse tipo de iniciativa, pudéssemos

aprender mais sobre matemática, principalmente, sobre a trabalhada nas séries
iniciais. Acreditava também que esta investigação contribuiria para a educação
matemática no que se refere à formação de professores.
As participantes do grupo de estudos me consideram uma pessoa meiga,
amiga, atenciosa e paciente, por sempre estar disposta a escutar e a dialogar.
Outras características destacadas foram inteligência, curiosidade e criatividade,
por conseguir envolver de diferentes maneiras as professoras do grupo e
propor diversas atividades para o trabalho de matemática em sala de aula.
Durante os encontros, eu gostava de instigar e provocar as demais professoras
para suscitar discussões sobre os processos de ensino e aprendizagem de
matemática, em especial, nas séries iniciais. As professoras me consideram
diligente, responsável e estudiosa, pois estive sempre desenvolvendo
atividades e propondo sugestões que favoreceram o crescimento do grupo e a
sua consolidação.
Eu atuo como professora de matemática há cerca de 10 anos, e trabalhei com
todos os níveis de ensino básico e superior 30 . Sou professora de matemática
das séries finais do ensino fundamental da Prefeitura de Vitória e professora de
ensino superior de uma faculdade particular de Vitória. Também tenho
experiência no trabalho com crianças fora da escola, em ambiente religioso há
mais de 20 anos. Vários fatores me levaram a possuir curiosidade sobre o que
e como crianças das séries iniciais desenvolvem e trabalham com a
matemática.
Eu já gostava de matemática desde o ensino básico, sempre tive facilidade em
aprender os diferentes conteúdos de matemática. Fiz ensino médio técnico e
optei fazer licenciatura em Matemática como curso superior. Terminei o curso
na Universidade Federal do Espírito Santo, em 2000/2 e já estava trabalhando
em sala de aula de ensino médio. A princípio, não pensava em ser professora,
mas após ter iniciado o trabalho nessa área percebi que tinha feito a opção
30 Professora do ensino médio por três anos, ensino fundamental há mais de sete anos e professora do
ensino superior por, aproximadamente, oito anos.
121

correta para minha vida profissional. Eu gosto de instigar meus alunos a pensar
na matemática, gosto de levar os alunos a conjecturar, a buscar relações entre
o que eles já conhecem ou que sabem de outras disciplinas com a matemática
estudada. Valorizo o que conseguem realizar sozinhos e tento incentivá-los a
não desistir perante dificuldades que podem aparecer durante o processo de
construção do conhecimento matemático. Essa estratégia foi utilizada por mim
para conduzir algumas discussões nos encontros. Tentava valorizar o que as
professoras conseguiam fazer e mostrava que elas poderiam ampliar algumas
construções delas próprias se persistissem e confiassem mais nelas mesmas.
Na seção 1.1, comentamos alguns caminhos trilhados por mim e que me
motivaram a realizar esta pesquisa. Atividades como a coordenação de
formação continuada, participação em grupos de estudos, organização de
materiais para a formação continuada (CeFoCo), ajudou-me a entender a
proposta de formação continuada a partir de materiais produzidos por um
grupo. Também fui convidada a desenvolver, em 2006 e 2007, encontros com
alguns Centros Municipais de Educação Infantil – CEMEI, para trocar ideias
sobre a matemática que pode ser trabalhada nesse nível de ensino. Além
disso, em 2007 e em 2008, também participei, a convite das escolas de
momentos de formação continuada para trabalhar com os professores, gerando
discussões sobre a matemática das séries iniciais. Essas foram algumas das
experiências e vivências durante o caminhar da pesquisa.
4.2.4 Professora Lucia
A professora Lucia tem pouco mais de 10 anos de atividade docente, fez
licenciatura em Matemática na Universidade Federal do Espírito Santo e atuava
em escola particular da Grande Vitória, com o ensino de matemática nas séries
finais do ensino fundamental e com ensino médio. Trabalhou durante sua
participação no grupo em escola pública da rede municipal de Vitória. Gosta
122
muito de matemática e artes, consegue levar aos seus alunos alguns

conteúdos que mostram a interligação entre essas duas disciplinas, como por
exemplo, o origami.
É uma pessoa inteligente, persistente, porém teimosa. Essas foram algumas
das características que as professoras participantes indicaram para ela. Gosta
de aprender coisas novas e de fazer várias ligações e interseções entre a
matemática e outras disciplinas. Tinha algumas crenças que são fortes e que
causam conflitos em alguns momentos; nem sempre é fácil para ela, quando
tem que confrontar algumas coisas novas com as crenças que estão
enraizadas. A professora possuía certa resistência em entender ou perceber
outros caminhos em algumas situações vivenciadas.
Participou de alguns encontros, mas não pôde estar presente da maioria deles,
embora tenha contribuído, diretamente, para algumas discussões. Devido a
sua falta de conhecimento em relação ao trabalho realizado pelos professores
das séries iniciais pode levantar alguns debates importantes para o grupo. Seu
objetivo para a participação no grupo foi desejar aprender mais sobre a
matemática trabalhada nas series iniciais do ensino fundamental. Porque sentia
necessidade de ajudar seus alunos de 5ª série que possuíam algumas
dificuldades, e não entendia porque elas apareciam.
Tinha uma ampla experiência com escolas particulares, quando iniciou sua
atuação em instituição pública. Sentiu muita diferença, e sua participação nos
encontros a ajudou a entender um pouco mais sobre a realidade que viveu.
Como as outras professoras do grupo tinham ampla experiência com escolas
públicas puderam contribuir, com suas vivências, para que ela pensasse e
conseguisse perceber as sutilezas, semelhanças e diferenças entre as duas
realidades.
123

4.2.5 Professora Vânia
A professora Vânia atua há mais de 25 anos como professora, tem ampla
experiência em todos os níveis de ensino, desde as séries iniciais até cursos
de pós-graduação. Fez curso de magistério no Rio de Janeiro e graduou-se em
licenciatura e bacharelado em Matemática na Universidade Federal do Rio de
Janeiro – UFRJ – no ano de 1976. Seu mestrado em matemática foi defendido
em 1980 na UFRJ e o doutoramento em Educação foi feito em Indiana
University, nos Estados Unidos da América e defendido em 1993.
Tem mais de 30 anos de atuação como professora nesses diferentes níveis de
ensino. Atuou em escolas públicas, do Rio de Janeiro, com séries iniciais e
finais do ensino fundamental, e com alunos de licenciatura da UFRJ. Foi
integrante do projeto Fundão, na UFRJ, no qual trabalhou com professores
sobre educação matemática. Como um dos resultados dessa atuação publicou
o livro intitulado “Avaliação de aprendizagem e raciocínio em matemática:
métodos alternativos”, em 1997. Desde 1997, trabalha com alunos de
mestrado e doutorado no Programa de Pós-Graduação em Educação na
Universidade Federal do Espírito Santo. Além disso, organizou, em Vitória, o
grupo de estudos voltado para a compreensão dos professores sobre suas
próprias práticas já citado anteriormente.
Vânia possuía ampla experiência no trabalho com professores sobre suas
práticas em sala de aula. Estudou e aprofundou diferentes formas de avaliação
de conteúdos matemáticos. Podemos destacar o que foi mais significativo no
grupo de estudos que descrevemos neste trabalho, que foi o trabalho em grupo
e a utilização da escrita nas aulas de matemática.
No encontro do dia 15/set/08 as professoras pontuaram que consideram Vânia
como uma pessoa inteligente, amiga, interessada e motivada pelo que faz. Por
suas atitudes podemos dizer que é uma pessoa instigante, idealista,
esclarecedora e atenciosa. O que nos chamou a atenção foi a persistência
124
dessa professora e sua tentativa de manter uma postura ética. O trabalho neste

grupo e no outro que já citamos anteriormente retratam essas características
da professora Vânia.
4.3 Procedimentos para coleta de dados
Os instrumentos empregados para a coleta de dados foram construídos
conforme as necessidades levantadas ao caminhar e ao desenvolver a
pesquisa. Apresentamos os instrumentos que usamos, porém destacamos que
eles não estão colocados na ordem em que foram aplicados ou desenvolvidos,
simplesmente, porque esses instrumentos foram utilizados em diversos
momentos. Alguns foram repetidos mais de uma vez e outros perpassaram
todo o estudo longitudinal. Às vezes, fizemos modificações que julgamos
necessárias, de acordo com a demanda do estudo. Cremos que o mais
importante seja conhecer a forma como esses instrumentos foram empregados
e por que escolhemos cada um deles. Na exposição das etapas desenvolvidas
na pesquisa e nas análises, indicamos quais instrumentos foram utilizados e
seus objetivos em cada momento. Apresentamos os instrumentos que usamos
e como identificamos cada um deles a seguir:
Metáforas
Consideramos que metáforas nos auxiliaram no entendimento sobre o
pensamento de determinados conceitos, contribuem para entendermos alguns
acontecimentos, escolhas e modos de conceber o ensino, e o contexto no qual
o professor está inserido, evidencia a maneira que demos sentido à realidade e
ao que foi vivenciado por nós. Segundo Chapman (1997, 2005, 2006), elas nos
ajudam a entender questões referentes a níveis cognitivo e afetivo dos
professores com a matemática e com seus processos de ensino, de
125
aprendizagem e de avaliação. Portanto, podemos dizer que as metáforas se

constituem numa forma metodológica que nos mostram um modo de olhar
diferentes situações. As atividades utilizando metáforas foram adaptadas de
textos escritos por Olive Chapman (2005) após demonstração em um ciclo de
três palestras, no PPGE/ Centro de Educação / UFES, e da participação de um
grupo de trabalho com a profª. Vânia Santos-Wagner. As pesquisadoras
acreditam que metáforas propiciam início de diálogo com as professoras
participantes. Temos conhecimento de que „metáforas‟ podem ser utilizadas em
outras pesquisas com diferentes propósitos. Porém, nesta pesquisa, a opção
foi de desvelar algumas informações de maneira indireta, sobre a relação das
professoras com a matemática.
Textos escritos pelas professoras: narrativas, memórias positivas e
negativas, histórias de aulas e relatos de experiência
Para a constituição e integração do grupo, iniciamos com o conhecimento e
entrosamento entre as professoras. Para isso, realizamos atividades,
envolvendo memórias das professoras enquanto alunas e também professoras,
pontuando primeiramente os aspectos positivos e, posteriormente, os negativos
relacionados à matemática, seu ensino, aprendizagem e avaliação. O
compartilhamento de histórias de aulas, memórias positivas e negativas nos
ajudaram a compreender que os acontecimentos, as atitudes e as emoções
não devem ser analisados isoladamente. Acreditamos que “trazer à tona”
algumas dessas memórias ajudou, no que tange o conhecimento de nós
mesmas, enquanto professoras, aprendizes e favorecem o entendimento de
outras situações que envolvem o trabalho intelectual e profissional.
Trabalhamos, assim, aspectos cognitivos e afetivos e, ao mesmo tempo,
possibilitamos uma tomada de consciência de cada uma de nós.
Cadernos de bordo da pesquisadora: um sobre o grupo e outro sobre
126
as observações e/ou participações em aulas de matemática de Beatriz e
Suzana
Organizamos, inicialmente, um caderno de bordo com anotações realizadas
durante os encontros, no qual anotamos o máximo de informações possíveis,

deixando para detalhar com mais reflexão, num momento posterior. Mesmo
quando tivemos o recurso da gravação em áudio, anotamos o que achávamos
importante e o que merecesse destaque, essa prática contribuiu muito para o
nosso trabalho, quando tivemos problemas com o gravador. Com as anotações
obtivemos um histórico de nosso caminhar. Esse caderno nos auxiliou na
reconstrução do caminhar percorrido e vivenciado pelo grupo, durante esses
dois anos e quatro meses.
Possuíamos também um caderno de bordo para a observação e/ou
participação das aulas das professoras Susana e Beatriz, separado, em dois
blocos, as anotações das aulas dessas professoras. As anotações favoreceram
um acompanhamento das aulas e a continuidade do trabalho de cada uma.
Numeramos as páginas do caderno, como proposto pela orientadora Ligia, a
fim de facilitar a identificação durante as análises dos dados, sendo necessário
pelo grande volume de dados que tivemos e para nos auxiliar na escolha dos
incidentes críticos ou significativos.
É interessante colocar que as anotações foram recortes de aulas que
consideramos relevantes e aqueles ressaltados e compreendidos no amplo
processo vivenciado na sala de aula de matemática. Constituíram-se de
fragmentos das aulas, pois não conseguimos colocar todos os componentes
que se encontravam inter-relacionados durante o processo de ensino e
aprendizagem desses momentos.
Relatos e reflexões escritas e compartilhadas por e-mail com co-
orientadora
Em muitos momentos da pesquisa, fizemos relatos escritos e orais por telefone
e e-mail para a co-orientadora Vânia. Discutíamos alguns instrumentos
utilizados e preparávamos novos instrumentos, após análises dos resultados
obtidos. Os relatos se transformaram em reflexões escritas que fizeram parte
de nossas análises iniciais dos dados e do caminhar da pesquisa. Eles foram
usados para retomar momentos de aprendizagens.
127

Gravações em áudio de encontros do grupo e aulas
Pedimos e conseguimos a autorização das professoras para gravar em áudio
os encontros. Em algumas circunstâncias esquecemos o gravador ou tivemos
falhas no funcionamento do aparelho, por esse motivo não temos as gravações
de todos os encontros. Nas reuniões em que não possuíamos o recurso do
gravador, o volume de informações anotadas no caderno foi mais intenso e,
posteriormente, tentava reler minhas anotações e acrescentar alguns
comentários importantes. Em algumas aulas, tentamos realizar gravações em
áudio, porém o ruído atrapalhava e notamos que não seria viável o uso desse
recurso. Ouvimos todas as gravações, e ao analisarmos os encontros,
transcrevíamos algumas partes que considerávamos importantes. Ao escutar
as gravações, acrescentávamos detalhes nas anotações no caderno,
destacando pontos importantes que não tinham sido percebidos no momento
do registro.
Registros obtidos de atividades trabalhadas em sala de aula: fotos
128
de professoras e de alunos desenvolvendo atividades, fotos de cadernos
de alunos, textos escritos pelos alunos e alguns cadernos de alunos.
Solicitamos que as professoras levassem, aos encontros do grupo, cadernos e
atividades de alunos para conversarmos sobre o trabalho em sala de aula e
como seus alunos realizavam o registro. Esse instrumento nos auxiliou a
entender e a perceber como as professoras organizavam seus processos de
ensino, aprendizagem e avaliação de matemática. No decorrer do processo,
sentimos necessidade de utilizar outros meios de registros, por esse motivo,
iniciamos, em julho de 2007, o registro por meio de fotografias. As fotos
mostraram um pouco da dinâmica da sala de aula e do que os alunos
anotavam nos cadernos. As análises das fotos proporcionaram novos olhares
sobre a pesquisa e sobre as professoras no processo de ensino e
aprendizagem de matemática. É interessante destacar que, no decorrer do
processo de pesquisa, alguns alunos modificaram algumas de suas formas de
registro, melhoraram suas letras e a apresentação do que faziam, porque
queriam que seus cadernos fossem fotografados. Em muitas aulas, os alunos

produziram materiais escritos aos quais tivemos acesso, como: poesias,
resumos, cartas e outros. Esclarecemos que algumas das fotos relacionadas
nos cadernos foram de aulas observadas e participadas por nós. Porém, não
nos restringimos às aulas que foram observadas, pois também tiramos fotos de
atividades nos cadernos, mesmo das aulas não observadas. Algumas dessas
aulas foram comentadas pelas professoras nos encontros do grupo de estudos
ou em conversas informais. As aulas que não foram comentadas, diretamente,
pelas professoras, mas que foram fotografadas e forneceram-nos dicas ou
pistas sobre a continuidade do desenvolvimento do trabalho dos conteúdos em
sala de aula.
Materiais impressos e aplicados pelas professoras: provas, listas de
exercícios/atividades e livros didáticos
Em alguns encontros, foi solicitado que as professoras levassem materiais que
utilizavam em sala de aula, tais como: atividades xerocadas, livros didáticos,
provas e outros. Muitas vezes, mesmo sem nossa solicitação, as professoras
levaram materiais para serem mostrados e discutidos no grupo. Nessas
situações demonstravam sentir necessidade de compartilhar seus
entusiasmos, seus questionamentos e/ou dificuldades no processo de ensino e
aprendizagem de matemática. Isso foi importante, pois desde o primeiro
momento do grupo, discutimos e refletimos sobre provas, seus objetivos e
como poderíamos continuar a avaliação da aprendizagem.
Avaliações sobre a pesquisa
Organizamos formulários de avaliação que foram aplicados nos finais dos anos
ou em momentos importantes. Avaliações que estavam direcionadas ao que
era discutido, sobre a influência do grupo de estudos, em afinidade com nossa
atuação nas aulas observadas e em conteúdos matemáticos que se
relacionavam com nossa pesquisa. Muitos dos formulários foram resultados de
conversas com a coorientadora, em tentativas de elaborar instrumentos de
129
avaliação. Os formulários foram reformulados, diluídos, reestruturados para

atender às demandas que apareciam no decorrer da pesquisa. Também
fizemos algumas avaliações com os alunos em sala de aula.
Entrevistas semi-estruturadas individuais e coletivas
Concomitantemente, realizamos entrevistas semi-estruturadas individuais e
coletivas, no entanto, as coletivas se destacaram pela estrutura do grupo.
Denominamos entrevistas coletivas aos momentos de discussões no grupo de
estudos, as quais geraram reflexões e demandaram tempo de debate, em
relação a um objetivo específico. Em muitos encontros, já estruturávamos
tópicos relacionados a comentários anteriores ou a uma discussão informal,
preparávamos perguntas, questões ou tópicos, resultante da necessidade do
próprio grupo, surgindo, assim, outros tópicos, outras questões centrais
organizadas pelo grupo e que direcionaram nossas discussões. Estamos de
acordo com Ponte (2001), ao entender essas narrativas e entrevistas, como
conversas informais que tiveram seus temas estruturados pela pesquisadora.
4.4 Identificando e analisando o caminhar: organização e
análise dos dados
Relatamos, anteriormente, os diferentes procedimentos que geraram dados no
decorrer da pesquisa longitudinal. Com base no levantamento, selecionamos e
organizamos os dados coletados para analisarmos de forma ampla e
aprofundada. Seria inviável, para um trabalho dessa natureza, registrar e
analisar todos os dados coletados por sua grande quantidade.
Em sequência, apresentamos um pouco dessa seleção, organização e análise
dos dados, que consideramos como incidentes críticos ou significativos. A
análise aconteceu em vários níveis. Realizamos, paralelamente, aos encontros
130
uma pré-análise e aprofundamos em diferentes níveis de análise até

concluirmos com a triangulação dos dados, na qual analisamos a contribuição
dos diferentes autores e das teorias que nos embasaram nesta pesquisa para
atingirmos nossos objetivos.
Selecionamos dos dados coletados, aqueles que se referiram aos momentos
significativos ou incidentes críticos. Consideramos como momentos ou
incidentes significativos aqueles apresentados pelos professores participantes
do grupo, como os que representavam possíveis situações que incluíam
sucesso ou insucesso nas situações de ensino (LOPEZ – REAL, 2003).
Convém salientar – assim como Lopez-Real (2003) chama atenção –, que os
momentos significativos são específicos de determinado professor, no nosso
caso do grupo ao qual fazemos parte. Os incidentes escolhidos foram aqueles
apontados no grupo, por um ou mais participante, como incidentes que
contribuíram, diretamente, para debates e discussões, em vários momentos no
decorrer do estudo longitudinal. E outros que ajudaram a responder as
perguntas de pesquisa.
Após fazermos a catalogação das aulas (anexo E) e dos encontros (anexo D),
definimos nossas escolhas das aprendizagens referentes aos conteúdos
matemáticos que iríamos apresentar no trabalho. De acordo com os incidentes
críticos ou significantes os conteúdos escolhidos foram geometria e resolução
de problemas, envolvendo as quatro operações, conteúdos esses que estavam
presentes, em diferentes momentos, nos relatos das professoras e nas
discussões do grupo em todos os anos do estudo.
Quando investigamos aprendizagens e suas relações com os aspectos
afetivos, concluímos que os incidentes significativos foram momentos em que
as participantes começaram a perceber e a compreender sua própria relação
com a matemática, seu ensino, aprendizagem e avaliação. Além disso, alguns
aspectos afetivos estiveram presentes nas aulas e nos encontros onde
destacamos algumas crenças, concepções e atitudes frente à matemática e ao
seu ensino em sala de aula e à aprendizagem docente de alguns conteúdos e
metodologias. A integração das professoras participantes nos mostrou alguns
131
incidentes significantes relacionados à parte afetiva. Acreditamos que os

momentos ou incidentes significativos possuem influências dos modos de
pensar das professoras. E esse está diretamente relacionado com a formação
de cada professora, com suas vivências e com a experiência de pertença em
relação a esse grupo de estudos.
Um fato importante e valorizado nesta pesquisa foi o retorno, que
denominamos „devolutiva‟. A troca de informações e as discussões com as
professoras, principalmente, em relação aos materiais selecionados e em
relação às nossas análises, foi algo privilegiado. Em diferentes momentos ao
longo da pesquisa, as professoras contribuíram ao expressarem suas opiniões
sobre alguns materiais para análise. Também foram solicitadas a dar seus
pareceres, identificando momentos que julgavam importantes ou os incidentes
significativos que mereciam destaques. Também solicitamos explicação sobre
os motivos que as levaram a não selecionar algumas aulas, com as devidas
justificativas. Questionávamos se compreendiam nossa forma de analisar, se
havia ressonância ou dissonância com os nossos comentários. Além disso, se
gostariam de modificar, esclarecer ou complementar algumas de nossas
considerações referentes aos resultados, de modo que nossas interpretações
fossem fidedignas. Com esse procedimento, acreditamos ter garantido
confiabilidade às nossas interpretações e compreensões. Colocamos essa
atitude como uma triangulação das participantes.
Um exemplo desse procedimento ocorreu ao selecionarmos dentre o bloco de
aulas observadas e participadas, as que julgávamos interessantes de serem
detalhadas e analisadas. Pedimos às professoras que nos auxiliassem neste
processo de seleção por meio de uma listagem das aulas observadas.
Confrontamos as escolhas realizadas pelas professoras com nossas seleções
e, em conformidade com os objetivos, escolhemos as aulas que foram
detalhadas e analisadas. Em muitos momentos, as aulas selecionadas pelas
professoras participantes coincidiram com as escolhidas por nós. Para nós, a
coincidência não foi um indício aleatório, mas a revelação de que já
conseguimos conhecer as professoras e que o entrosamento se tornou cada
132
vez mais fortalecido no grupo. Um dos motivos foi o fato de termos formado um

grupo onde atuamos como parceiros profissionais ou como amigos críticos
(KRAINER, 1994, 1998).
A triangulação foi realizada com as aulas nas quais participamos, com os
dados obtidos nos encontros do grupo de estudo e com outros materiais, como:
fotos de aulas e de cadernos de alunos, provas elaboradas pelas professoras,
gravações de nossas conversas, ou através dos questionários respondidos em
diferentes momentos. Relatamos essas triangulações no decorrer das
apresentações das análises e conclusões.
Pontuamos alguns dos procedimentos que realizamos para organizar e analisar
os encontros do grupo de estudos e as participações de aulas das professoras
Susana e Beatriz, sobre a matemática nas séries iniciais: descrevemos sobre
nosso caminhar na fase de observação, organização, análise das aulas e
reflexões em grupo.
Tivemos um total de 73 encontros distribuídos ao longo dos dois anos e quatro
meses. Para expor uma panorâmica dos momentos do grupo de estudos,
apresentamos, na tabela 1, os números de encontros realizados em cada um
dos três anos desse trabalho.
Tabela 1- Número de encontros realizados pelo grupo
Anos 2006 2007 2008 Total
Número de encontros do grupo de estudos 13 36 24 73 encontros
Com esses números, podemos inferir a grande quantidade de materiais que
puderam ser coletados e compartilhados. Por esse motivo, explicitaremos
adiante as nossas escolhas dos encontros, ou partes desses, que serão
analisados. Colocamos também justificativas dos tópicos discutidos que foram
escolhidos e apresentamos a forma como organizamos o material para que o
leitor entenda a dinâmica ocorrida nos ambientes de aula.
As observações das aulas das professoras Susana e Beatriz, iniciaram no dia
30 de maio de 2007, ocorriam uma vez por semana, em dia previamente
133
combinado, e duravam o equivalente a 2 ou 3 aulas semanais. Em um primeiro

momento, participamos das aulas como ouvintes para que os alunos se
acostumassem com nossa presença e se sentissem à vontade para interagir
com os outros alunos e com a professora. Além disso, para aprendermos, no
próprio contexto da pesquisa, em sala de aula a desempenhar o papel de
observadora nesse processo da pesquisa. Depois de um tempo, iniciamos uma
maior interação com as turmas, conforme planejávamos durante os encontros.
Compreendemos que, aos poucos, as observações tornaram-se participações,
pois, de certa forma, fazíamos parte da rotina da sala de aula e realizávamos
alguns trabalhos com os alunos. Na turma da professora Beatriz, que
acompanhamos por dois anos consecutivos (2007 e 2008), o entrosamento foi
maior e, em 2008, não houve problemas com a minha presença nas suas
aulas 31 . Entretanto, nas aulas observadas e participadas da professora Susana,
precisamos passar pelo processo inicial de entrosamento e aceitação da turma
em relação a minha presença, nos anos de 2007 e de 2008, porque eram
turmas diferentes. Por esse motivo, o entrosamento com os alunos dessas
turmas foi menos intenso quanto com o dos alunos da professora Beatriz.
Ainda dentro das nossas ações neste estudo longitudinal e ampliando mais o
entendimento da dimensão deste trabalho, apresentamos um quadro resumo
do total de aulas observadas de cada professora que ensina matemática, nas
séries iniciais, nos anos de 2007 e 2008.
Tabela 2: Número de aulas vivenciadas com as professora Susana e Beatriz
Professoras
Anos
Beatriz
Susana
2007 18 aulas 21 aulas
2008 14 aulas 15 aulas
Total 32 aulas 36 aulas
Os dados coletados rapidamente se transformaram num volume grande de
informações e sentimos necessidade de planejar a organização dos mesmos
para facilitar nossa análise, conforme já comentamos. Outros materiais, obtidos
por meio de folhas xerocadas disponibilizadas pelas professoras, foram
31 Quando a professora Vânia estava em Vitória participava das aulas dessas professoras.
134

organizados em pasta arquivo e separados de acordo com o ano em que foi
coletado. Aprendemos muito durante a pesquisa, inclusive após cometer
alguns „erros‟ no processo de coletar, organizar e dar o retorno para as
professoras. Mas, percebemos os erros e fomos acertando, o que nos ajudou a
crescer como pesquisadora ao longo deste estudo longitudinal.
Quantificamos a participação de cada uma das professoras. Isso contribui na
justificação de nossas escolhas em aprofundar as análises nas aprendizagens
das professoras Beatriz e Susana, pelo envolvimento das duas e pela
dedicação a este grupo de estudos. A tabela 3 apresenta o total de encontros
participados por cada uma das cinco profissionais envolvidas. Colocamos
também dados da professora Elisa que não pode continuar no grupo.
Tabela 3 – Quadro resumo da participação de cada professora no grupo de estudos
Professora
Encontros
2006 2007 2008
Total de
encontros
Porcentagem de participação em
encontros
Sandra 13 36 24 73 100 %
Susana 12 32 22 66 90 %
Beatriz 11 33 23 67 92 %
Vânia 32 4 9 8 21 29 %
Lucia - 9 10 19 26 %
Elisa - 2 - 2 3 %
Com base nesses dados da tabela 3, constatamos que somente a
pesquisadora teve 100% de participação. Porém, é verídica a participação das
professoras, Susana e Beatriz, em mais de 90 % dos encontros. Assim sendo,
muitos dados escolhidos para análise foram àqueles coletados dessas
professoras. A professora Lucia compareceu em alguns momentos, a partir de
2007, por isso, não possuímos dados suficientemente para analisarmos. Por
sua vez, a professora Elisa esteve presente a apenas dois encontros de 2007,
não podendo continuar no grupo por causa do seu local e horário de trabalho.
Vânia participou das reuniões, presencialmente, ou por telefone, entretanto,
tinha conhecimento do caminhar do grupo. Esses dados numéricos e o fato de
Susana e Beatriz atuarem nas séries iniciais do ensino fundamental serviram
135
32 Esses foram os encontros em que a professora Vânia esteve presencialmente ou com conversas longas
por telefone, pois em vários momentos trocava ideias, semanalmente, com a pesquisadora – professora
Sandra.

para justificar nossas escolhas. Esclarecemos que, em alguns momentos,
incluímos dados de todas as professoras, por acreditarmos serem pertinentes.
Nessa análise final dos dados, apresentamos alguns resultados da
compreensão ocorrida a partir do conhecimento dos dados em diferentes níveis
de análise. Fomos desenvolvendo esses níveis de análise, na medida em que
foram acontecendo os fluxos contínuos nos encontros e nas observações e
participações em aulas de matemática. Destacamos que durante o estudo
longitudinal, conversamos por telefone ou trocamos e-mails com a professora
Vânia (coorientadora e integrante do grupo) para relatarmos os encontros. Com
isso, organizamos os dados coletados e planejamos ações a serem realizadas.
Isso contribuiu para entendermos que era preciso refinar as análises em
diferentes momentos, foi o que chamamos de „níveis de análise‟. Por isso,
acreditamos que, na própria organização dos dados iniciávamos um tipo de
análise em nível preliminar. Explicamos a seguir o que consideramos em cada
nível e reforçamos a ideia de que eles não foram estáticos ou fechados.
Algumas vezes nem percebemos quando passamos de um nível para outro de
análise.
Denominamos como nível de pré-análise dos dados, os momentos que se
referiram às tentativas de relatar, resumidamente, o que foi vivenciado no
grupo de estudos ou observado em sala de aula. Líamos, novamente, as
anotações, e selecionávamos o que achávamos interessante estar relatando.
Acrescentávamos nos cadernos de observação, as novas anotações, dando
maior visibilidade para os incidentes críticos ou significativos. Muitas vezes não
conseguimos colocar tudo o que observamos no caderno, em momento real em
que aconteciam os fatos. Por esse motivo, deixávamos espaços vazios que
eram preenchidos em função de um trabalho de busca na memória recente do
ocorrido nos encontros e em sala de aula.
Após os encontros ou observações ou participações em aula, passávamos
para um primeiro nível que denominamos de nível inicial, no qual líamos
novamente as anotações, olhando, quando possível, algumas fotos e/ou
136
materiais trabalhados. A digitação total dos materiais obtidos nos encontros e

nas aulas se tornou inviável pela quantidade de material que registrávamos a
cada semana. Consequentemente, fomos levadas a realizar outro tipo de
registro, acrescentando, algumas novas observações e/ou reflexões que
recordávamos ou que eram interessantes por instigarem nova análise ou
investigação. Também ouvíamos gravações dos encontros para lembrarmos
alguns pontos que mereciam ser realçados nos relatos. Esse nível inicial
aconteceu, paralelamente, ao processo de coleta de dados.
No nível seguinte de análise, necessitávamos de maior sistematização, pois
partindo de uma releitura das anotações, fazíamos uma primeira identificação e
selecionávamos nossos incidentes críticos ou significativos. Essa fase foi
importante, pois nos ajudou a identificar crenças, concepções, atitudes e
conhecimentos que foram explicitados pelos professores ou percebidos por
nós. Em alguns momentos, tentamos utilizar um referencial de cores para
realçar os diferentes conhecimentos dos professores. Porém, essa forma de
organizar os dados ficou abrangente e contribuía pouco para olharmos as
interconexões existentes nas aprendizagens dos professores. Por tal razão,
decidimos fazer anotações mais detalhadas em outro caderno de releitura e
análise de dados.
Num nível posterior, buscamos correlações entre as discussões no grupo de
estudos e as observações ou participações em sala de aula, evidenciando e
examinando alguns pontos comuns e alguns conflitantes, caso existissem.
Reconhecemos, nesse momento, as ligações entre as metáforas, as narrativas
e memórias positivas e negativas, tentando pontuar respostas a algumas das
perguntas do projeto. Num nível posterior, relacionamos os entrelaçamentos
com as bases teóricas do nosso trabalho.
Depois de descrever como identificamos, selecionamos e analisamos os
dados, relatamos nossas análises para que o leitor possa vislumbrar este
trabalho e os recortes que fizemos.
137

138
CAPÍTULO V:
5 SEMENTES, FLORES E FRUTOS IDENTIFICADOS E
COLHIDOS NA CAMINHADA
esse capítulo, registramos nossas análises dos dados
coletados e selecionados, conforme já comentamos. A
caminhada foi longa, e durante o caminhar fomos,
intencionalmente ou não, lançando sementes em
aspectos emocionais das professoras nos diferentes solos, algumas delas
vimos germinar, outras se perderam. Também nos encantamos e nos
surpreendemos com o desabrochar de diferentes flores, que chamaram a
atenção de cada uma de nós de uma forma diferente, em relação à
aprendizagem em grupo. Observamos alguns frutos relativos aos conceitos
matemáticos, alguns em estado inicial, verdes, outros já amadurecendo e
sendo colhidos. No decorrer do presente texto, destacamos algumas das
sementes, flores e frutos que fizeram parte da história do nosso caminhar em
grupo.
Selecionamos partes de diálogos que foram transcritos das gravações em
áudio de alguns dos nossos encontros ao longo deste estudo. Colocamos
alguns grifos, utilizando negrito, chamando atenção para partes das falas que
consideramos importantes ou relevantes. Inserimos nossos comentários ao
longo das transcrições, sempre que julgamos necessário, para deixar claro
nosso destaque nas falas e a importância disso para aprendizagens que
ocorreram ou ainda para dar maior significado às nossas escolhas.
Esclarecemos que não seguimos uma sequência temporal rígida, porque ao
mostrarmos idas e vindas, de alguns assuntos ou os momentos em que
discutimos os mesmos no grupo, complementaríamos as análises e daríamos
maior sustentabilidade para as afirmações. Tivemos o cuidado de identificar os
diálogos com datas e com os nomes das professoras, para que o leitor

entendesse o contexto geral do trabalho de maneira ampla. Algumas vezes,
voltamos a alguns relatos anteriores pela interação entre os diferentes focos
que apresentamos neste capítulo. Dessa forma, pretendemos colocar de
maneira evidente e clara algumas análises que ajudaram na construção de
argumentos para as conclusões.
5.1 Sementes de aprendizagens em relação aos aspectos
afetivos
Semelhante à parábola do semeador da Bíblia Sagrada 33 , em muitos
momentos dos nossos encontros lançamos sementes. Essas nem sempre
caíram em terreno bom e preparado para que a semente desenvolvesse. As
sementes lançadas, realmente caíram em diferentes terrenos, beiras de
caminhos, terrenos pedregosos, cheios de espinhos e também no terreno bom,
pronto para o plantio. Na nossa pesquisa isso também aconteceu, ainda não
podemos ter a certeza de que tudo foi apreendido pelas professoras,
principalmente em questões referentes aos aspectos afetivos. Mas, trazemos,
no presente texto, indícios de resultados das sementes que foram lançadas.
Crenças e concepções das professoras em relação à matemática
Sabemos que alguns fatores como o que o professor ensina, como ensina, e
quais metodologias utiliza estão, intimamente, relacionados com suas crenças
e concepções frente à matemática e ao seu ensino, aprendizagem e avaliação.
33 Mt 13, 1 - 23
139

Alguns professores não têm clareza de suas concepções em relação à
matemática, outros têm conhecimentos de algumas concepções, mas não
conseguem refletir criticamente de modo a entender ou mesmo formar ideia
sobre a influência dessas em suas escolhas nas suas práticas pedagógicas. A
seguir, percebemos como atividades com uso de metáforas (CHAPMAN, 1997,
2005, 2006) contribuiu para a tomada de consciência de algumas dessas
crenças e concepções. Em nossa pesquisa confirmamos o que autores
(ERNEST, 1989; GOMEZ-CHACÓN, 2002; SANTOS, 1993ª, 1995, 1997;
THOMPSON, 1992) e até mesmo alguns documentos oficiais (PCN´s –
BRASIL, 1997) afirmam sobre a necessidade de ter clareza das próprias
crenças e concepções para entender as próprias práticas pedagógicas.
Observamos, a seguir, como o uso de metáforas nos aproximou do
pensamento das professoras sobre a matemática e seu ensino e
aprendizagem. Reafirmando que “[...] no contexto de ensino, pensamento
metafórico provavelmente está por detrás das histórias que professores contam
sobre a sala de aula dele e geram os modos que as situações de sala de aula
são formuladas” (CHAPMAN, 1997, p. 209). Indicamos esses indícios ao longo
da apresentação.
Utilizamos, no nosso segundo encontro de 2006 (18/set/2006), atividades que
deixou evidente algumas relações iniciais das professoras Susana, Sandra e
Beatriz com a matemática. Baseando-nos em ideias e sugestões de Vânia
Santos-Wagner e Olive Chapman 34 , nós propusemos uma atividade com uso
de metáfora para relacionar a matemática com um animal, explicando a
justificativa. A questão provocadora para as professoras foi: “Se matemática
fosse um bicho seria... porque...” As participantes 35 completaram oralmente a
pergunta e as respostas estão colocadas no quadro a seguir:
140
34 Artigos de Olive Chapman (1997; 2005; 2006) e atividades aplicadas pela professora Vânia Santos-
Wagner num grupo de pesquisa, desde 2006, e em aulas de seminários realizados em 2006 e 2007 dos
quais participamos.
35 Nesse momento do grupo as participantes eram Susana, Beatriz e Sandra, por esse motivo não temos as
respostas das outras professoras.

Quadro 12 – Metáfora comparando matemática com um animal para a professora (18/set/06)
Profª
Susana
Beatriz
Sandra
Para mim, se matemática fosse um bicho
seria... porque... (entrevista coletiva 36 )
Barata: porque tenho medo e tem em todos os
lugares.
Camelo: pela utilidade, é vital na vida no
deserto, mas está distante da minha realidade.
Bicho de sete cabeças: que dá medo.
Cavalo: pois preciso dominá-lo, mas quando
domino pode ser de grande ajuda. Porém, pode
dar coices, mas é bonito.
Pássaro: exemplo águia. Na matemática você
tem que tratar e depois tem que empurrar,
depois a pessoa tem que aprender sozinha.
E depois que a pessoa aprende sozinha, vai
enfrentar tempestades, calor, vai voar por
lugares bons e ruins, mas vai voar.
141
Comentários adicionais de cada
professora (transcrição áudio)
“Vou dizer alguma coisa, num é
uma coisa que me agrade muito
não, chega a dar arrepio”.
“Eu tenho medo da matemática,
tenho muita dificuldade”.
“Eu não sou boa em matemática”.
“Eu pego o básico do básico, faço
coisas em matemática porque eu
preciso no dia a dia, senão não
utilizaria”.
“Matemática para mim é um
desafio, quando eu me proponho
a desvendá-lo enquanto não
consigo não sossego”.
“Para mim é fascinante, por isso é
um cavalo”.
“De vez em quando ela me dá um
coice, mas me fascina”.
“Eu adoro jogar buraco, todo final
de semana eu jogo. [...] Cada vez
eu invento estratégias lógicas,
mas também depende da sorte.
Mas é fascinante”.
“História da águia, me ajuda a
entender um pouco da
matemática e de sua
aprendizagem”.
Notamos que a professora Susana comparou a matemática com uma barata,
pois estava em todos os lugares e era repugnante, dava „medo‟. Também
comparou a um camelo por estar em todos os lugares do deserto e possuir
muita importância para a vida das pessoas que moram lá. Mas, está tão
distante de sua vida que não consegue ver muita utilidade. Essa visão da
professora Susana pode ser comparada ao que Paul Ernest (1989) denomina
de visão instrumentista ou utilitarista da matemática, na qual a matemática é
um conjunto de regras, esquemas e métodos que nos ajuda com problemas
reais. Essa concepção de matemática ficou nítida em sua participação ao longo
dos encontros de 2006. Muitas vezes, a professora Susana não compartilhava
36 Indicamos os instrumentos que utilizamos em cada situação apresentada.

dos debates de alguns assuntos por não saber como fazer, porque
desconhecia o assunto ou por não achar utilidade no que estava sendo
discutido com a sua realidade. A professora chegou a afirmar ainda que para
ela a matemática era um bicho de sete cabeças, desvelando seu medo e
dificuldade em relação à matemática. Podemos concluir desta atividade inicial
que a professora Susana começou a participar do grupo com uma crença de
que matemática era difícil, porém útil e presente em todos os lugares e que ela
somente precisaria usar e ensinar as quatro operações fundamentais (o básico
do básico).
A professora Beatriz mostra sua fascinação pela matemática mesmo que exige
um esforço dela. Comparou a matemática com um cavalo, pois precisa dominá-
lo, mas quando dominava podia ser de grande ajuda, dava coices, mas tinha
beleza. Ela disse que gosta de cavalos, assim como de matemática. Ela ainda
acrescentou comentando „matemática pra mim é como um desafio, quando eu
me proponho a desvendá-lo enquanto não consigo não sossego. É busca de
estratégias lógicas‟. Percebemos que esta professora se encanta com a
matemática apesar de comentar, em diferentes ocasiões, que não teve a
oportunidade de estudá-la em profundidade, devido a sua escolarização.
Notamos que sua crença inicial é de que a matemática encanta, mas que há
necessidade de saber controlá-la, e ainda, precisamos passar por uma etapa
de adaptação ou de entrosamento, com surpresas, agradáveis ou não. Dessa
fase inicial, notamos que Beatriz gosta da matemática, acha útil e necessária e,
como se sente encantada, deixa-se envolver mesmo com dificuldades.
A crença que eu mesma, professora Sandra, coloquei nessa fase inicial foi que
a matemática está, intimamente, relacionada ao seu ensino. Está diretamente
ligada com o sujeito, é o sujeito que vê a matemática, que lhe dá significado.
Penso que, nesse momento, eu não soube diferenciar a matemática do seu
ensino, pois a minha resposta parece mais com as características do ensino de
matemática e não com a matemática somente. Mas, matemática é algo que é
aprendido e o sujeito pode ir além, alcançar vôos, como pontuei. Passa por
142
etapas e necessita da interação com o outro, o papel do mediador

(VYGOTSKY, 1988/1934; 1991), para que possa lhe dar suporte no início do
caminhar em matemática.
No mesmo encontro (18/set/2006), as professoras responderam essa mesma
provocação, pensando no que seus alunos responderiam se fossem comparar
matemática com um animal. As respostas dadas ajudaram-nos a entender um
pouco mais sobre suas crenças e concepções frente à matemática. O quadro
14 apresenta as respostas das professoras:
Quadro 13 - Metáfora comparando matemática com um animal para os alunos (18/set/06)
Professora
Susana
Beatriz
Sandra
Para meus alunos, se matemática
fosse um bicho seria... porque...
(entrevista coletiva)
Meninos: Cachorrinho – pois eles se
divertem.
Meninas: Bicho de sete cabeças –
pois elas têm muitas dificuldades e
não gostam.
Cavalo: pois precisam dominá-lo, de
vez em quando levam coices, mas
acham bonito.
Pássaro mais simples: querem ser
tratados, às vezes estão afobados,
mas depois devagar você deve
mostrar que ele deve passar pelas
etapas, para aprender a voar.
Comentários adicionais de cada
professora (anotações caderno
bordo)
Meninos têm mais facilidades com
matemática do que meninas.
Eu acho que isso é relativo, tem uma
menina que acha que não sabe
matemática, mas nem é tanto assim.
Os alunos normalmente são
afobados, querem ir além, porém
com uma ânsia muito grande.
Chegamos às conclusões de que as professoras Beatriz e Sandra
permaneceram com os mesmos bichos, quando relacionam matemática para
seus alunos. Já a professora Susana fez uma diferenciação entre meninas e
meninos com a matemática. Ela acredita que os meninos possuem maior
facilidade com a matemática do que as meninas. Num outro momento do grupo
levamos um artigo que comentava exatamente sobre essa diferenciação de
gênero, notamos como isso representa um discurso tradicional, que ainda não
foi superado. As respostas reforçam nossas colocações anteriores.
Algumas crenças e concepções das professoras foram se modificando ao
longo dos encontros, e já tínhamos percebido isso em dezembro de 2006. Por
143
exemplo, na última reunião do ano de 2006 (18/dez/06), fizemos uma avaliação

sobre a apreciação do grupo como um todo, em relação aos nossos encontros
de 2006 e o que desenvolvemos. Nesse dia, reconhecemos que algumas
informações e situações que tinham sido trabalhadas não estavam claras nas
memórias das professoras, por isso resolvemos realizar novamente a metáfora
da matemática com o animal para verificar possíveis mudanças. Provocamos a
nova atividade na qual pretendíamos buscar outras informações sobre as
crenças e concepções das professoras, em relação à matemática. A seguir,
apresentamos um quadro com as respostas das professoras Susana e Beatriz,
ao relacionarem matemática com um bicho e também com uma contradição:
para mim... matemática nunca seria como...
Quadro 14 – Metáforas comparando matemática com um animal e com o que nunca seria.
(18/dez/06)
Professora
Susana
Beatriz
Para mim, se
matemática fosse um
bicho seria... porque...
(entrevista coletiva)
Elefante: é muito
pesado.
Tigre ou leão: porque
tem predador e presa.
Cavalo: pode dar
coices, mas é bonito,
encanta.
Comentários adicionais
de cada professora
(entrevista coletiva)
“A matemática já não me
assusta tanto. Não sinto
medo mais”.
“Ele está mais dócil, mas
ainda dá uns coices”.
144
Para mim... matemática
nunca seria como...
(entrevista coletiva)
Borboleta: pois não é
gracioso, bonito e leve.
Rato: porque é
repugnante, e tem pavor.
Barata: que tem nojo,
pavor.
Barata: porque gosta de
matemática e não de
barata.
A professora Susana não conseguia lembrar com qual bicho tinha comparado a
matemática e ficou bastante tempo pensando, mas sem conseguir lembrar. A
professora Vânia fez, então, uma pergunta oposta a aquela que tinha sido feita
Nunca podemos comparar a matemática com o quê? Por quê?” Nesse
momento tivemos uma surpresa, Susana fez a mesma comparação, com a
barata, mas agora num sentido contrário. Ela disse que a matemática nunca
seria como um rato ou uma barata, pois eram repugnantes e davam pavor. Foi
interessante verificar um início de modificação de sua concepção em relação à
matemática. Considerava, após quatro meses de trabalho com o grupo, mesmo
com algumas dificuldades e alguns “medos”, que matemática era mais útil e
que não deveria ficar longe dela. Susana afirmou, que a mudança na sua

esposta à metáfora era devido a sua participação no grupo, pois já se sentia
mais segura em relação a alguns conteúdos que estavam obscuros
anteriormente. No encontro de dezembro de 2006, a professora Susana
afirmou que pretendia continuar no grupo, pois percebia que estava crescendo.
No primeiro encontro de 2007 (05/fev/07), pedi para que pensassem em casa e
respondessem à seguinte pergunta: “O que é matemática para você”? A
resposta deveria ser levada no encontro da semana seguinte, a fim de
conversarmos. Porém, somente eu (Sandra) e a professora Beatriz realizamos
tal proposta. Susana não elaborou sua resposta nos encontros que seguiram.
Apenas no 6º encontro (19/mar/07), conversamos sobre a pergunta inicial. A
professora Susana ainda não tinha respondido e no momento decidi provocar,
atuando como mediadora, para que discutíssemos sobre nossas ideias em
relação à matemática. Partimos para um diálogo que mostra o que as
professoras Susana, Beatriz e Sandra debateram sobre a visão de matemática
para cada uma. A descrição do diálogo (transcrição do áudio da reunião de
19/03/07) foi interrompida por alguns de meus comentários sempre que senti
necessidade de explicação ou detalhamento.
Susana: [...] Logo no início eu coloquei isso. Matemática não era algo complicado
para mim não. Eu me lembro dessas coisas da minha infância,... Antes de eu
entrar na primeira série eu tive umas aulas particulares lá em casa, a C. e a S. que
moraram lá em casa, me ensinaram. Quando eu fui para a escola eu já estava préalfabetizada
e sabia um pouco de soma. A subtração já era um pouco mais difícil
para mim, mas também não era muita novidade. O problema começou quando
eu não aprendi divisão 37 na escola, com aquele método tradicional, mesmo. Aí
eu carreguei essa dificuldade para o resto da minha vida. Quando eu cheguei
à faculdade, advinha qual a matéria que eu achei mais difícil... Claro, tinha que
ser a estatística, quase que eu fiquei reprovada nesta disciplina, mesmo usando a
calculadora. Pra você ter uma ideia de como formou um bloqueio muito
grande... Agora eu coloquei assim, pra mim como professora, o melhor que
eu puder,... Os métodos que eu puder usar para minimizar ao máximo as
dificuldades desses meninos [alunos], eu vou trabalhar. E também explorar o
máximo deles com estes desafios, estas ideias pra quando ele chegar lá na frente
olhar a matemática... Porque a gente está acostumada a dar só conta de armar
e efetuar e dar uns problemas para resolver, num é Beatriz. E quando ele
chegar lá, olha um x lá e num faz ideia do que é aquilo, num sabe o que é uma
145
37 Como já foi comentado no início do capítulo destacarei nas falas que considero importante ou que nos
ajudam a compreender algumas colocações das professoras, utilizando negrito. Em seguida, colocamos
nossa interpretação do que destacamos.

coluna, num sabe área, num sabe nada. A gente tem que se desdobrar para
ensinar. O desafio agora é aproveitar melhor o tempo e ver o que mais a
gente consegue dar. Por que esses meninos num sabem nada de geometria?
Ah, porque dificilmente a gente num consegue trabalhar geometria.
(transcrição do áudio de 19/03/07)
Inferimos que a professora Susana expõe momentos de sua infância relatando
um pouco sobre um dos motivos de seus „medos‟ frente à matemática. As
afirmações e informações da professora nos ajudaram a compreender certas
atitudes dela em sala de aula e nos encontros. A partir do que destacamos no
diálogo transcrito acima, compreendemos que Susana coloca como primeiro
problema a sua aprendizagem de divisão pelo método tradicional. Essa
dificuldade seguiu por toda sua vida. Ela deu um exemplo da aula de
estatística, na faculdade, como uma das consequências do bloqueio que se
formou. Notamos que a professora, estava querendo minimizar esse bloqueio,
pois sabia que precisava superá-lo para trabalhar, de maneira coerente, com
seus alunos. Destacou ainda, que estava acostumada a trabalhar apenas as
quatro operações e alguns problemas. Realidade de muitos professores das
séries iniciais. Cremos que a professora Susana estava disposta a modificar
algumas de suas atitudes em sala de aula e propôs se colocar em desafio:
aproveitando melhor o tempo para trabalhar outros conteúdos em matemática
com as crianças. Ela apontou para uma realidade: que a geometria estava
ausente das aulas dos alunos das séries iniciais do ensino fundamental.
Notamos, portanto, pela própria fala da professora, alguns indícios de sua
relação com a matemática, seu ensino, aprendizagem e avaliação. Fala que
passou despercebida no momento do encontro, foi quando comentou sobre
geometria. Ela afirmou que não conseguia trabalhar a geometria.
Posteriormente, propomos uma discussão sobre o ensino de geometria e ela
se lembrou da fala que eu não tinha observado. Achamos que ela comentara
sobre alguns tópicos de sua vida, seus medos, mas não respondera à pergunta
inicial sobre o que era matemática para ela, por isso, continuamos com alguns
questionamentos.
146

Eu: Ah, mas você não respondeu o que é matemática. Se você tivesse que
explicar para uma criança o que é matemática, como você faria? Qual resposta
você daria a ela? Você contou um pouco da sua biografia...
Susana: Matemática para mim... Aos poucos... Eu lembro direitinho daquele
monstrinho que aquele menino desenhou [aluno] da Beatriz. Ai de repente
você vai pensando, ou se você faz uma comparação melhor, como se fosse
um quebra-cabeça, entendeu?... Que já vai encaixando as peças. A
matemática para mim, ainda... Ainda é um desafio muito grande. Agora é que
estou colocando a matemática como um desafio, porque eu estou tendo
estes encontros aqui, a gente está desvendando. Porque antes era um
horror, tá. O quadro que eu pintaria para a matemática era muito pior do que
agora. Com certeza. (transcrição do áudio de 19/03/07)
A professora Susana ainda mostra que a matemática é um monstro para ela,
lembrando inclusive de um desenho feito por um aluno de Beatriz sobre o
monstro da matemática, que está a seguir. Mas, o aluno “E” desenhou o
monstro como um „sabe tudo‟ de matemática e que resolvia todos os
problemas. Já, a professora Susana, usou a mesma imagem para representar
uma coisa não bonita, mas seu medo em relação à matemática.
Figura 7 – Monstro da matemática desenhado por aluno de Beatriz em 2007
A sua concepção da matemática começou, depois de, aproximadamente, seis
meses de encontros, a modificar, ou pelo menos, se abrir a mudanças. Já
pontuava que matemática poderia ser um quebra-cabeça, e que já estava
encaixando as peças. Ela indicava em sua fala que sua visão de matemática
era pior e que foi se alterando com a participação no grupo. A seguir, na
147
continuidade do diálogo, compreendemos que, realmente, a matemática

necessária para ela era somente a que se referia ao básico. Voltamos a
pontuar a matemática instrumentalista destacada por Paul Ernest (1989). Como
Susana acreditava que, no seu dia a dia, somente precisa da matemática
básica, afirmou que somente o básico era importante. Continuamos os
questionamentos sobre a relação dela com a matemática, conforme podemos
ver a seguir.
Eu: Então antes você falaria que matemática era o quê?
Susana: Um bicho de sete-cabeças... Um bicho de sete-cabeças, um monstro,
assustador... Eu me contentaria só com o básico, mesmo, sabe? Por exemplo:
Um carro de quatro rodas e acabou, só para poder andar. O resto era
inatingível, entendeu? (transcrição do áudio de 19/03/07)
Ficou claro que a professora Susana continuava utilizando metáforas para
relacionar à matemática. Além disso, vimos também a questão que ela insistia
sempre, que ela precisava apenas do básico para utilizar a matemática no seu
dia a dia. Ela pensava que o além do básico era inatingível para ela.
Eu: Para você?
Susana: É, em algumas situações sim... Agora vai ter concurso para a prefeitura,
num vai? Para auditor, R$ 10.000,00 o salário, vai ver a matemática, aplicada, né?
Matemática Financeira...
Eu: Então de certa forma isso aqui está mudando sua visão de matemática.
Susana: Tá.
Eu: Se você parasse para olhar, o que você diria que já está mudando?
Susana: (pensando) Você faz uma pergunta que agora eu não tenho resposta
não. (transcrição do áudio de 19/03/07)
Tentamos estimular uma reflexão crítica dessa professora sobre o que, em
suas práticas, estava sendo modificado, mas ela ainda não conseguia
perceber. Em um encontro em 2008, reparamos que ela conseguia refletir
melhor, colocamos seus comentários sobre essas mudanças, a partir da sua
participação no grupo 38 . Continuamos a questioná-la sobre o que havia
mudado, conforme pode ser visto na continuidade do diálogo.
38 Essa reflexão está apresentada no presente texto na seção 5.3
148

Eu: Por exemplo, o que você não fazia que você faz? Ou o que você fazia que
agora não faz mais?...
Susana: É o que eu estou falando. Por exemplo, encarar estas questões de
colunas, estatística, saber analisar isso aqui [...] Entendeu? Mas agora eu estou
mais perto de chegar ao ponto de construir o gráfico sem ter tanto medo.
Mas sozinha ainda não, sozinha eu não faço. Algumas coisas que eu não fazia
e que agora eu faço.
Eu: Essa história do gráfico te marcou profundamente. (transcrição do áudio de
19/03/07)
Essa questão do gráfico ocorreu quando a professora Susana cursava o ensino
médio e desenhou um gráfico errado, achando que estava correto, e seu
professor sabia que estava errado e procurou apenas o erro para mostrar que
ele, professor, estava certo. Com essa atitude, o professor não a ajudou a
construir o gráfico corretamente. Como isso não foi trabalhado com ela, o erro
tomou uma proporção maior, pois ela se sentia incapaz de interpretar gráficos e
desenhá-los. Tal ponto não foi trabalhado, profundamente, nos encontros do
grupo, mas constatamos que a professora buscou algumas atividades que
envolviam gráficos para trabalhar com seus alunos. Ela precisava de ajuda
para superar certos obstáculos que a atrapalhavam na matemática, ou de
encorajamento para que pudesse superar os medos e traumas. Pontuamos
algumas das situações no decorrer da apresentação desta pesquisa.
Susana: Ah, mas tem outros casos também, você quer ver também... Problemas
aí oh, de porcentagem, números decimais, aquelas contas difíceis, bem mais
complicadas, num é cálculo simples, entendeu? De você somar o preço dos
produtos que está lá [...] que tem decimal, mas coisas que exigissem de mim um
raciocínio mais apurado eu já, já caia.
A questão da matemática necessária à vida, para ela se restringia às quatro
operações, o que sempre esteve presente nas afirmações da professora
Susana. Ela não percebia que, por vezes, realizava alguns cálculos que não
envolviam apenas as quatro operações, mas sim outros conceitos
matemáticos, como é o caso de raciocínio proporcional para resolver
porcentagens. Relatamos, na próxima seção, alguns episódios que mostraram,
a professora Susana, a utilização além das quatro operações. Verificamos que
alguns conteúdos identificados com dificuldades pela professora Susana
149
estavam, indiretamente ou diretamente, relacionados com a divisão.

Conferimos isso com a porcentagem e os números decimais que possuem
essa ligação.
A análise desse diálogo contribuiu para triangular e confirmar as evidências
obtidas por meio dos dados com as metáforas usando animais, pois sabemos
que algumas de nossas considerações estão de acordo com outras falas de
Susana. Verificamos, na prática, que o professor pode se reconhecer enquanto
aprendiz e educador de matemática. A reflexão e autoconhecimento são
viáveis, basta ter tempo e saber como trabalhar junto com o professor. Susana
se sentia confortável para expressar o que pensava em forma de metáforas
confirmando o que Chapman (2005, 2006) afirmou sobre a possibilidade de nos
aproximamos do pensamento da professora a partir da utilização de metáforas.
Em relação à pergunta inicial, Susana não conseguiu uma resposta fechada.
Ela discursou sobre a matemática na vida dela e sobre sua aprendizagem de
matemática, o que nos ajudou a entender algumas de suas atitudes.
O diálogo, a seguir, é uma continuidade da discussão sobre o que é
matemática para cada professora. Neste momento, voltamos o olhar para a
professora Beatriz. Percebemos que ela foi mais sucinta ao responder o que é
matemática para ela. Essa professora já tinha nos entregado sua resposta por
escrito em alguns encontros anteriores à discussão. Por esse motivo, sua
resposta estava mais direta. Chegamos a essa diferença ao relatamos as
respostas de Beatriz e Sandra. Mas, mesmo assim, constatamos algumas das
concepções sobre matemática, presentes nas falas das professoras.
Eu: Beatriz, o que é matemática para você? O que você colocou aí?
Beatriz: Para mim é uma ciência que tem por base os cálculos, ensina
calcular, ensina pensar, quantias, quantidades,...
Eu: E como você explicaria isso para uma criança?
Beatriz: Para uma criança? ... Eu falaria para ele que a matemática é a ciência
que ensina a contar e registrar os cálculos. Que trabalha com quantidades,
quantias e fazer os cálculos.
Analisando a resposta de Beatriz, notamos que ela afirmou ser a matemática
uma ciência relacionada com cálculos, quantias e quantidades. Em diferentes
150
momentos, Beatriz reforçou essa definição de matemática. Quando ela

comentou que a matemática é uma ciência que ensina a pensar ela estava, em
nossas análises, colocando uma característica da matemática que está ligada
ao que Ernest (1989) denominou visão de matemática como resolução de
problemas. Com base em suas diferentes respostas aos questionamentos que
a fizemos percebemos que ela considerava a matemática como uma estrutura
organizada, dinamicamente, e que nos ajuda a calcular e registrar cálculos.
A seguir, eu (professora Sandra) expus sobre o que era matemática para mim
nesse mesmo encontro (19/mar/07). Acredito que tentei colocar uma definição
mais ampla da matemática.
Eu (Sandra): Deixa-me falar sobre o que eu escrevi, deixa-me ler, porque senão
eu vou inventar outra resposta. Matemática é uma forma ampla que os homens
inventaram e foram aos poucos aperfeiçoando, e ainda estão, para organizar,
entender, definir e estudar o mundo em suas diferentes dimensões,
dimensões pessoais, de relacionamento, comércio, de produção, de beleza e
estratégias. Ela surgiu e surge ao longo do tempo, a princípio pela
necessidade dos homens e posteriormente pelo aperfeiçoamento desta
ciência que serve de base ou instrumento de tantas outras. É algo que nos
cerca e nem sempre nos damos conta disso, muitas vezes por não conhecêla
bem, ou por não pensarmos que quase tudo que nos envolve de uma
forma ou outra a utilizou ou utiliza em uma de suas grandes e diferentes
áreas, que não são isoladas, mas que podem se entrelaçar e ajudar umas as
outras.
A minha resposta passa pela construção da natureza histórica da matemática,
da necessidade de construir novos conceitos matemáticos. Acredito que isso
se deve à influência do meu aprendizado e da minha formação. Pontuei
também que a matemática está relacionada com o mundo de uma forma geral
e que está presente em quase tudo, mas as pessoas nem sempre alcançam.
Esse tipo de resposta também estava de acordo com o que Ernest (1989)
denominou de visão de resolução de problemas para a matemática, construída
num contexto social e cultural.
151

Crenças e concepções das professoras sobre o ensino, aprendizagem e
avaliação de matemática
Colocamos, a seguir, alguns momentos dos encontros do grupo de estudos
que estão relacionados com os processos que envolvem o ensino, a
aprendizagem e a avaliação em matemática. A avaliação foi um tema que
surgiu desde o primeiro encontro, por isso, iniciamos uma relação dialógica
sobre avaliação. Com os demais encontros percebemos as relações dessas
professoras com o ensino e aprendizagem de matemática.
Pontuamos uma atividade que desenvolvemos sobre ensino de matemática,
utilizando metáforas para comparar o ensino de matemática com uma
profissão. No 6º encontro de 2006 (16/out/06), pedimos para que as
professoras respondessem a seguinte metáfora: “Se fosse comparar o ensino
da matemática com uma profissão, qual seria? Por quê?”
Quadro 15 – Respostas da metáfora entre ensino de matemática e outras profissões
Professora
Susana
Beatriz
152
“Se fosse comparar o ensino da matemática com uma profissão, qual
seria? Por quê?”
Normalmente o professor de 1ª a 4ª série tem a preocupação maior de
ensinar as quatro operações, envolvendo interpretação de problemas. Se
fosse comparar com uma profissão, uma delas seria a do confeiteiro ou do
padeiro, que adiciona ingredientes, subtrai do total do conteúdo da
embalagem do produto, multiplica os produtos e divide a massa em partes
iguais no caso da fabricação dos pães. Ao final, é feito o cálculo do preço a
ser cobrado tendo em vista a planilha de custos para a fabricação do(s)
produto(s).
Envolve operações simples, problemas, expressões numéricas, frações,
regras diversas, etc.
Se incluirmos aí outros fatores como tempo de preparo, entrega, e tudo o
mais, você trabalha praticamente tudo em matemática.
Lembrou também do boiadeiro, pois tem que percorrer distâncias, contar a
boiada, perceber se algum animal morre...
O ensino da matemática pode ser comparado com o trabalho do feirante que
está, permanentemente, calculando quantias, quantidades, explicando para
os seus fregueses o porquê de determinada quantia e pedindo a eles para
conferirem.
O ensino da matemática pode ser comparado com o trabalho do engenheiro
civil que calcula as áreas, faz orçamentos, dá instruções ao mestre de obras,
que, por sua vez, as transmite ao pedreiro. Tudo precisa ser milimetricamente
calculado para que as peças se ajustem, para que não haja desperdício.

Sandra
153
O ensino da matemática pode ser comparado ao da dona de casa que faz
compras, pesquisa preços, compara, faz seu orçamento doméstico... Calcula
as refeições, dobra receitas e ela as transmite às filhas, à empregada...
Ao do agricultor que calcula o espaçamento das covas para o plantio, a
quantidade de insumos... Explica ao filho ou ao empregado como proceder...
O ensino de matemática está presente em todas?...
O ensino de matemática é como o trabalho de um jardineiro, cada aluno é um
tipo de planta e devemos saber como „cuidar‟ delas, o ensino precisa utilizar
diferentes metodologias. Porque tem que preparar a terra, têm que conhecer
as mudinhas, umas gostam mais de sol, outras de sombra. Tem que conhecer
cada uma delas, tem que saber quando afofar a terra, quando podar. Tem
umas que são venenosas, já outras têm espinhos,...
As respostas das professoras confirmam nossas afirmações anteriores sobre
crenças e concepções em relação à matemática. A professora Susana
relacionou a uma profissão que, em suas ações, desenvolvia
fundamentalmente as quatro operações. Ela começou fazendo a afirmação:
“Normalmente o professor de 1ª a 4ª série tem a preocupação maior de ensinar
as quatro operações, envolvendo interpretação de problemas” (Susana,
16/out/06). A professora fez esse tipo de comentário diversas vezes, o que
nos leva a afirmar que isso era muito forte para ela. A resposta de Beatriz
abordou várias profissões e suas ações lembravam algo relacionado com
matemática. Com sua resposta, entendemos um pouco mais sua preocupação
com o aluno. Em sua fala, ela pontuou que alguém deve transmitir ou repassar
algo para outro e, por isso, deve ter cuidado. A preocupação com a forma de
transmissão da matemática para os alunos foi uma preocupação real desta
professora. Ela de certa forma colocou a exatidão da matemática em uma de
suas comparações. E terminou com a sensação de que poderia continuar a
comparar ou relacionar a matemática com qualquer profissão. Em minha
resposta fui um pouco filosófica, coloquei a questão das diferentes abordagens
para atingir as individualidades de cada aluno. A importância de conhecer o
quê e como se ensina e a quem se ensina, relacionei o ensino de matemática
com a jardinagem. É interessante destacar que minha resposta foi parecida
com o exemplo dado por Chapman (2006) ao apresentar um exemplo de
comparação realizada por um professor em suas pesquisas. Chamamos a
atenção para o fato de que a utilização de diferentes estratégias contribuiu para
a tomada de consciência por parte das professoras de suas próprias crenças.

No encontro de 26/mai/08, pedimos que cada professora participante
escrevesse sobre o que acreditava ser um bom professor e descobrimos
indícios de crenças e concepções das professoras sobre ensino de matemática
(GOMEZ-CHACÓN, 2002). Com base nas respostas transcrevemos nossas
conclusões sobre como cada uma concebeu o ensino da matemática.
Analisando a resposta dada pela professora Susana verificamos que ela tinha
uma preocupação forte com a questão social, pelo que conhecemos da
professora deduzimos como isso fica explícito em suas respostas.
Um bom professor preocupa-se em estar sempre preparado para avançar o
aluno, interessando em tudo que possa ajudar ou atrapalhar nesse processo.
Envolve-se, mas sem se comprometer, em questões às vezes muito pessoais,
procurando aconselhá-lo em suas decisões e orientando no seu dia-a-dia.
Empurra para frente quando vislumbra maiores chances e estende a mão para
aqueles que vão ficando para trás... É um mestre em todos os sentidos e está
sempre buscando os melhores meios para alcançar seus objetivos. (Susana,
26/mai/08)
A resposta dada pela professora Beatriz e se aproxima muito de argumentos
colocados por Freire (1996) em Pedagogia da Autonomia:
Um bom professor é aquele que consegue motivar o aluno que não é
considerado “bom aluno”. Conseguir ótimos resultados com alunos como aluno E,
aluno A, aluna C,...[bons alunos] É muito fácil, basta oferece oportunidades para
que pensem, propor desafios, instigar o raciocínio de várias maneiras... Os
resultados virão, com certeza! O grande desafio é fazer com que alunos como
aluna J, aluna P ou aluno G [alunos com dificuldades] comecem a descobrir
coisas novas e se encantar com elas. O bom professor, então, é aquele que
consegue bons resultados com todos, é o criativo, o que tem percepção
rápida, é o paciente... Dedicação às vezes não basta. (Beatriz, 26/mai/08)
Defendemos ser preciso refletir sobre nossa abordagem em sala de aula e
analisarmos como estamos tratando o conhecimento, qual nossa visão do que
seja aprender, ensinar e avaliar. Muitas vezes, sabemos o que queremos dos
alunos: que sejam capazes de resolver problemas, conforme os que
apresentamos, mas somente a partir da reflexão na e sobre a prática (SCHÖN,
2000/1998) podemos analisar em quais situações contribuímos para que os
alunos pensem e raciocinem sobre determinado problema.
154

Eu, professora Sandra, respondi a esse questionamento com a seguinte frase,
um bom professor
É aquele que consegue junto com seus alunos caminhar, aprender, ensinar,
provocar os alunos para pensarem juntos, mediar às discussões, aquele que
consegue relacionar falas, atos, acontecimentos com sua matéria e vice-versa
quando possível. É aquele que vai além, está aberto a novas questões e novos
desafios, que não tem medo de errar, que se preocupa com cada aluno e
com a classe. Que está aberto a discussões e quer sempre aprender mais
sobre si mesmo, sobre seus alunos no processo de ensino e aprendizagem
por meio da reflexão crítica (Sandra, 26/mai/08).
Para mim, a educação não estava centrada no professor, somos mediadores,
colaboradores, contribuímos para que o aluno aprenda, não fazemos para ele.
Apenas organizamos e planejamos atividades, de forma a propiciar momentos
em que o aluno possa construir seus conhecimentos matemáticos. Novamente,
está de acordo com o que Ernest (1989) coloca sobre professora com visão de
resolução de problemas de matemática. Para ele, o professor é um facilitador,
que trabalha com seus alunos na forma de construção dos conhecimentos.
No encontro de 23/abr/07, pedi para que as professoras redigissem sobre seus
primeiros anos de docência. Queríamos provocar reflexões nas professoras e
acreditamos também que esta é uma forma de nos conhecermos mais
enquanto professoras. A seguir, encontram-se as respostas das professoras
Sandra, Susana e Beatriz, com alguns comentários.
Sandra: Iniciei dando aulas quando ainda estava na faculdade, cursando o 2º
período. Não tinha experiência de sala de aula, de planejamento. Não tinha
feito magistério e sentia falta de um aprofundamento didático. Seguia minha
intuição, trabalhava numa escola do estado, “Belmiro Teixeira Pimenta” com
turmas de 7ª e 8ª séries. Peguei o livro didático que a escola utilizava e
comecei a segui-lo. Quando não gostava de como o conteúdo estava exposto ou
não gostava das atividades pegava outros livros didáticos e tentava adaptar do
meu jeito. Tive muita sorte, pois meu coordenador e minha diretora eram ótimos e
me ajudaram bastante. Não me lembro de pedagogas, acho que a escola não
tinha. Lembro que a outra professora que trabalhava com 5ª e 6ª séries sempre
me perguntava algumas coisas e tirava dúvidas, pois só tinha complementação
pedagógica e magistério. Eu gostava, pois me fazia parar para pensar em algumas
coisas. Fazia o que achava que daria certo, nem sempre deu, errei muito, mas
cresci muito com este primeiro ano de atuação. Tinha vinte anos e gostava de
conversar com os alunos e às vezes era confundida com eles. (23/04/07)
155

Uma realidade dos cursos de formação de professores é que os alunos
começam a trabalhar antes mesmo de estudarem matérias didáticas e de
fazerem estágios. Os professores iniciantes fazem muitas coisas por intuição e
quando trabalham num ambiente que contribui para seu crescimento, podem
crescer e amadurecer com a experiência inicial.
Susana: Não consigo me lembrar de muita coisa. Como professora tinha
sempre em mente de que pelo menos pensar no que trabalhar, era
necessário para eu dar aulas. Já recorri a cadernos de outros, mas os meus
eram sempre garantidos. Procurava sempre que possível, garantir material
adequado, mas nem sempre tinha conhecimento necessário para explorar
todos eles. Hoje estou bem mais amadurecida e mais experiente na busca de
novas opções, principalmente vindas de relatos de outros colegas. Procuro
agora é com o pouco tempo que temos para dar conta de tanto
conhecimento/informação que temos que dar. (23/04/07)
A professora Susana mostrou algumas de suas características em sala de aula,
ela precisava ter em mente o que ia trabalhar. Era bem organizada com relação
aos seus cadernos de planejamento e anotações. Ela apontou para um
problema que atinge alguns professores, eles possuem acesso a diferentes
materiais didáticos, mas nem sempre possuem conhecimento para explorá-los.
Susana fez uma auto-reflexão e afirmou estava mais amadurecida, pois
conseguia escolher melhor entre as opções que possuía para trabalhar com
seus alunos. Ela apontou o que havia de positivo em relação às trocas de
experiências entre pares. Ouvir relatos de outros professores pode contribuir
para um professor se tornar mais experiente e amadurecido. A mediação entre
os profissionais contribui para a construção dos significados dos diferentes
conhecimentos (Vygotsky, 1988).
Beatriz: Antigamente eu passava mais tempo planejando atividades,
organizava melhor o meu “plano de aula”, o que era realmente executado na sala
de aula. Em compensação fiz muitos “planos de curso” para serem entregues
ao pedagogo, que, com certeza nunca foram retirados da gaveta. Tenho uma
lembrança muito positiva de uma pedagoga que era o terror da escola, nunca
me pedia nada escrito, mas me chamava semanalmente para conversar e me
fazia refletir sobre os objetivos de cada atividade que eu propunha aos
alunos, analisava junto comigo os resultados e me dizia com frases abertas
quando não concordava com algumas atitudes. Era exigente, mas dava todo o
suporte que precisava para executar meu trabalho. Aprendi com ela que o
aluno está sempre em primeiro lugar. Ela fazia-nos pensar: “será que fizemos
tudo o que estava ao nosso alcance? Haveria outra forma? Temos consciência
156

profissional?”, mas por outro lado também sabia dizer: “Também somos
limitados...” (23/04/07)
Analisando o relato da professora Beatriz, observamos que ela refletiu sobre
seu planejamento. Quando estava iniciando o seu trabalho ela „gastava‟ mais
tempo planejando. Isso é comum nos professores iniciantes. Ela apontou para
um dado que aconteceu em algumas de nossas escolas, os professores fazem
planos de curso que ficam apenas nas gavetas. É interessante perceber como
uma pedagoga influenciou essa professora de maneira positiva. Ela já contava
com a relação dialógica entre pares. O interessante foi notar o trabalho
conjunto, a inquirição como ferramenta para incentivo à reflexão crítica da
prática.
Estamos tratando de aprendizagens de professoras, por isso, investigamos o
que elas disseram sobre avaliação. No encontro de 10/set/07, pedimos para
que as professoras respondessem ao seguinte questionamento: “Aprender
matemática é como... porque...” (CHAPMAN, 1997; 2005; 2006). O quadro 17
apresenta as respostas que as professoras escreveram nesse encontro e, na
sequência, colocamos nossos comentários.
Quadro 16 – Respostas das professoras sobre a questão: Aprender matemática é como... porque...
157
Professora Aprender matemática é como... porque... (relatos escritos)
Aprender matemática que ensino para as séries primárias é fácil, mas já
nas séries finais e do ensino médio é complicado.
Dominar o conteúdo das séries iniciais faz parte do nosso dia a dia, mas
ao sinal dos primeiros desafios que envolvem cálculos diversos,
descobrir valores, percorrer várias etapas já não domino.
Susana
Posso comparar então que neste momento aprender matemática é como
um filme bem simples de entender que depois vira uma série em que o
anterior é necessário para entender o que vem depois.
Ou então a um filhote de animal selvagem que quando pequenino todos
querem adotá-lo, mas depois ninguém consegue chegar perto.
... É como assistir a um bom filme de enredo complicado. No começo parece
difícil de entender, mas não dá para parar; quando se começa a
entender, não se tem mais vontade de parar... A cada cena que
desenrola esperam-se as consequencias que trará, que implicações terá
Beatriz
no decorrer da trama. E quando acaba, fica um gostinho de “quero
mais”... Por exemplo, “E o vento levou”, “Doutor Givago”, “Pássaros Feridos”,
“Os canhões de Navarone”,...
Hoje, minha atenção está sempre voltada para as questões matemáticas.

158
Professora Aprender matemática é como... porque... (relatos escritos)
É como uma criança pequena crescendo. Crescer, porque a princípio você
não entende muito bem o que faz, muitas vezes você repete o que os outros
fazem, depois aquilo começa a fazer sentido e você quer saber mais,
Sandra alguns são mais curiosos e buscam mais experiências, outros mais
quietos, mas também tem situações novas, desafiadoras, e quando
consegue superar limites pode ir além e ficar muito feliz. É aprender a
entender os símbolos e usar quando for necessário.
Iniciando com a professora Susana, observamos que ela mais uma vez nos
mostrou seu vínculo com a matemática. Ao afirmar que aprender matemática
nas séries iniciais é fácil, mas em outros níveis é difícil, continuou nos
mostrando a sua relação com a matemática, que considera básica. Quando
comentou sobre aprendizagem, remeteu-se à própria aprendizagem de
matemática. Somente depois de se colocar, enquanto aprendiz de matemática,
que teve alguns problemas com a matemática das séries finais do ensino
fundamental e do ensino médio, é que fez a comparação proposta pela
questão. Susana comparou a matemática a um filme seriado, no qual para
entender a sequência é necessário saber o episódio anterior. Podemos
associar isso à matemática, ela considerou que somente aprende nessa
sequência, onde os conteúdos estão encadeados como elos, no entanto, existe
a necessidade de passar por todos eles, seguindo alguns pré-requisitos. Mais
uma vez, identificamos com Ernest (1989) ao denominar como visão da
matemática utilitarista, na qual a matemática básica é a necessária para o dia a
dia. A outra comparação também reforçou a sua relação com a matemática,
que, quando „básica‟, todos querem e dominam, mas ao „crescerem‟, os
conteúdos passam a ser estudados nas séries finais do ensino fundamental e
no ensino médio. Nem colocamos a matemática de nível superior, que, para
ela, seria um conteúdo muito além do que considera fácil.
A professora Beatriz começou, fazendo, também, sua comparação que
também foi com um filme. O interessante foi observar que a justificativa vai em
direção oposta à da professora Susana. Ela comparou com um filme que, a
princípio, parece difícil de entender, mas que, após se „encantar‟, ficar
envolvido com sua história torna-se difícil deixar de querer ver o final. Também
demonstrou seu encantamento com a matemática, apesar de ter, certo receio a

princípio que foi superado e transformado em algo positivo e motivador para
continuar aprendendo. Ela colocou, inclusive, exemplos de filmes antigos dos
quais gostou. Terminou sua resposta, comentando que sua atenção, quando a
questão foi apresentada, estava voltada para a matemática.
A minha resposta (professora Sandra) possuía interseções com as respostas
das duas professoras. Afirmo que aprender matemática é como uma criança
crescendo. De certa forma estava relacionada com o filhote da professora
Susana, mas com uma justificativa oposta. Seria como se envolver após
conhecer, assim como na justificativa da resposta da professora Beatriz.
Apareceu, também, a questão da curiosidade, da diferença entre os
aprendizes, da superação de alguns limites e da satisfação após vencer essa
etapa. Considero que, baseada na minha formação em matemática, apontei
sobre a linguagem própria da matemática, a partir dos seus símbolos e da
necessidade de saber utilizá-los quando preciso.
A questão da avaliação esteve presente em muitas das nossas discussões.
Porém, sentimos a necessidade em aprofundar o debate e preparamos, para o
terceiro encontro de 2007 (26/fev/07), alguns questionamentos sobre o que era
avaliar. Colocamos a seguir parte do diálogo realizado, nesse encontro, sobre
avaliação.
Eu (Sandra): Eu quero que vocês pensem agora rapidinho o que é avaliação para
vocês? O que é avaliação de uma maneira geral. [...]
Susana: O que é avaliação para mim?... Olha, eu vou dizer uma coisa, alguns vão
dizer que eu sou boba. Mas hoje, na minha plena maturidade como professora
que estou vivendo hoje, graças a Deus,... Eu vejo que avaliação é para mim, ela
é um retorno tanto do meu trabalho quanto do retorno que os meus alunos
têm. Hoje um aluno chegou para mim, ele é muito gozador, ele dava muito
problema ano passado tanto que ficou reprovado e deu um sururu na escola, que
eles tiraram quatro alunos meus e colocaram outros que não eram meus. Tanto
que este aluno L veio importado de outra sala. Aí tudo bem, ai ele veio para mim,
pois já tinha ficado reprovado com outra professora e isso não dá certo. Deu a
entender que comigo ele tava, como diz o outro, se adaptando. Ele me disse:
“sabia que você é uma boa professora”. Eu respondi, meu querido, vou dizer uma
coisa para você, se você for capaz de no final do ano ler, escrever e calcular
melhor do que você chegou hoje, então aí eu serei uma boa professora.
Agora, não me pergunte se vou ser uma boa... o que ele queria dizer que eu seria
uma professora legal, boa,..;.e eu falei assim, eu não sou boa, mas se chegar ao
final do ano e eu ver que você está melhor, aí sim eu vou ser uma boa professora.
159

Eles ficaram pensando... Pra mim avaliação é isso é você ter toda uma gama
de coisas e você ter esse retorno, eu tenho pra mim que essa turma vai me
dar muito retorno, tudo que eu propuser para eles se eu der da maneira certa
e utilizando o material correto, aí a avaliação vai abranger todo mundo. É isso
aí, só meter bronca... Avaliação é um processo, tanto é que eu falei com eles...
Eu vou copiar Beatriz, sua ideia do asterisco lá [quadro de merecimento que a
professora Beatriz utiliza]. Fábia sempre fez isso, só que Fábia sempre
carinhosa...
Eu: Mas explica [Beatriz] para ela como você faz... Ela [Beatriz] bota na parede...
Susana: Usa coraçãozinho, Fábia faz no caderno... e ela fala assim,...
Eu: Num é na parede que você faz? [perguntando para Beatriz]...
(transcrição da gravação em áudio de 26/fev/07)
Percebemos que a professora Susana fez uma reflexão sobre ela mesma,
inclusive sobre a maturidade que adquiriu com o tempo, trabalhando como
professora. Foi pela maturidade e reflexão que nos mostrou ter opinião
esclarecida sobre avaliação, ao afirmar que avaliação representa um retorno
tanto para ela como para o aluno. Susana indicou a avaliação diagnóstica da
aprendizagem do aluno e em comparação ao início do ano letivo.
Reconhecemos mais uma vez, a preocupação dessa professora com a maneira
de transmitir os conteúdos e com o material a ser utilizado que, na fala dela,
devem ser „corretos‟. Acreditamos que o „correto‟ para a professora significa
aquilo que contribui para o aluno se interessar pelo conteúdo trabalhado.
No referido encontro, Susana nos deu indícios sobre a resposta, ao
questionamento do que vem a ser um „bom professor‟. Ela exemplificou que ser
uma boa professora aconteceria quando conseguia fazer o aluno ler, escrever
e calcular melhor do que quando começou o ano escolar. Concluímos mais
uma vez que a professora Susana dava preferência a ler, escrever e calcular
nas séries iniciais.
Dando sequência ao diálogo, pedimos à professora Beatriz que nos falasse
sobre o que considerava „avaliação‟.
Eu: [...] Agora é você Beatriz,...
Beatriz: Avaliação para mim,... Concordo com Susana. Avaliação... ela vai trazer
um retorno do que ele aproveitou, do que não conseguiu, e do meu trabalho.
Se eu avalio o aluno eu me avalio também, se ele não dominou alguma coisa,
160

porque ele não dominou. Quais os pré-requisitos que ele ainda não tem, por
que ele não tem, eu não soube formar, eu não soube perceber,... Ele não está
pronto, por que não está? Passa por tudo isso.
Susana: Você falou em pronto eu lembrei da palavra prontidão. A palavra
prontidão me veio agora, ficou tão malhado isso.
Beatriz: Não é fácil avaliar não. Tem que perceber...
Susana: Não é mesmo não.
Beatriz: Até aqui ele vai, até aqui ele domina, ele consegue fazer o problema...
(transcrição da gravação em áudio de 26/fev/07)
A professora Beatriz nos mostrou uma visão amadurecida da avaliação.
Considerou-a como um retorno para os alunos de uma maneira positiva - do
que ele aproveitou – e negativa – do que não conseguiu. Avaliar o aluno
também é se avaliar, perceber que temos influência no processo de
aprendizagem. Beatriz colocou alguns comentários e questionamentos que
precisariam ser feitos por nós, professores, quando avaliamos nossos alunos:
“Quais os pré-requisitos que ele ainda não tem? Por que ele não tem? Eu não
soube formar, eu não soube perceber,... Ele não está pronto, por que não
está?”. A professora Beatriz terminou sua fala, comentando que avaliar não é
fácil. Notamos, em outros momentos, que a professora Beatriz iniciou um
processo de modificação, em suas avaliações, com a participação no grupo de
estudos.
No 31º encontro de 2007 (29/out/07), pedimos às professoras que
completassem o seguinte questionamento: Avaliar se ocorreu aprendizagem
em matemática é como... porque... Foi interessante que lançamos o
questionamento e cada professora entendeu da sua maneira. Isso nos mostrou
como muitas vezes falamos algo e cada pessoa entendeu de uma forma
particular, atribuindo seus próprios significados. Patenteamos isso na anotação
de cada uma na folha de resposta. Abaixo, transcrevemos as respostas
escritas pelas professoras Susana e Beatriz sobre a questão.
Professora Susana: Avaliar se ocorreu aprendizagem em matemática. Como? Por
quê?
Em meu entendimento houve aprendizagem sim, mas não em tudo. Trocando
em miúdos, foram dadas aulas de operações, desafios, problemas, tamanhos,
relações entre numerais (maior, menor), números pares e ímpares, ordens
161

crescente e decrescente, sucessor e antecessor, numerais ordinais e romanos e
sólidos geométricos.
Ficou difícil para eles o raciocínio lógico, ou pelo menos para uma boa parte, não
querem decorar tabuada e ainda não viram nada sobre frações.
Porém, a cada conteúdo dado foi proporcionado a eles momento lúdico onde
é estimulada a competição saudável.
Meu maior desafio (e talvez o inimigo) é o tempo. Uma pena que tenha de
dedicar apenas uma parte, mas procuramos, digo, procuro, integrar o melhor que
posso a outros conteúdos.
P.S.: Verifico a aprendizagem a partir da independência que demonstram em
responderem sozinhos. (Susana, 29/10/07)
Quando a professora Susana foi levada a analisar sobre como avalia a
aprendizagem de seus alunos, ela fez uma reflexão sobre os conteúdos
trabalhados, em especial daqueles que possuíam resultados insatisfatórios. Ela
mostrou mais uma vez estar iniciando um nível de metacognição sobre ela
mesma, enquanto professora. Em um exame crítico e relacionou o que foi feito
com seus alunos, o trabalhado realizado e o que iria desenvolver. Novamente,
professora comentou sobre o conteúdo ser trabalhado de forma satisfatória,
com materiais adequados. Quando Susana comentou sobre o lúdico, significou
que ela queria que seus alunos aprendessem matemática de maneira
prazerosa. Também apontou a questão do tempo como prejudicial para o
trabalho do professor. Quando a professora Susana comentou que verificou a
aprendizagem, a partir da independência e do caminhar autônomo dos seus
alunos, ela relacionou essa vivência com a dela mesma, em relação à
matemática. Em diferentes momentos constatamos que a professora Susana
afirmava ter aprendido algo novo ou (re)construído algum conceito matemático,
ao conseguir ser mais autônoma para resolver as questões propostas.
A professora Beatriz também nos respondeu ao questionamento e apresentou,
alguns indícios sobre o que e como avalia seus alunos.
Professora Beatriz: O que fizemos em matemática. Ocorreu aprendizagem?
Como? Por quê?
Acho que sim, vários alunos hoje evidenciam que possuem ideias claras
sobre conceitos como, a ideia de adição, subtração, multiplicação e divisão;
utilizaram essas operações na resolução de problemas, fazem associações,
162

descobrem maneiras diferentes de pensar, apontam caminhos diferentes a
um mesmo resultado, fazem descobertas.
As ideas de frações começam a ficar cada vez mais claras; já identificam
frações de unidades e frações de conjuntos; descobrem equivalências,
comparam, fazem operações,...
Encaram diferentes desafios de lógica e a cada dia conseguem fazer mais
progressos. Mas ainda tenho alunos que possuem um raciocínio mais lento,
que ainda precisam de mais tempo e de mais presença de professor para
“provocar” as diferentes formas de raciocínio,...
Falhas minhas: certa ansiedade e ainda acho que falta mais criatividade. Mas
estou adorando a oportunidade de ter um grupo, de pertencer a um grupo
que me faz pensar e ter um novo olhar sobre a matemática.
Ensinei? Sim, mas poderia ter atingido a um grupo ainda maior. Sempre há o
que melhorar.
A professora Beatriz nos expõe como analisa a aprendizagem de seus alunos.
Ela nos mostrou por meio de exemplos, evidenciando casos matemáticos, ao
afirmar que devem possuir ideias claras sobre os conceitos ensinados, como
utilizar as quatro operações na resolução de problemas, fazer associações,
pensar de diferentes maneiras, fazer descobertas e identificar diversas formas
de chegar a um mesmo resultado. Nessa reflexão, Beatriz demonstrou estar
ciente das diferentes fases de aprendizagem de seus alunos e, novamente,
relatou que o professor deve ser um provocador, aquele que auxilia seu aluno,
não como um detentor do saber, mas como um incentivador e motivador no
processo de aprendizagem (ERNEST, 1989). Um fato interessante, nesse
relato, foi a colocação final da professora, quando fez uma autocrítica,
pontuando algumas falhas no seu trabalho enquanto professora. Ela comentou
sobre a ansiedade e, como veremos, em diferentes momentos, a professora
tentou trabalhar nela mesma, principalmente, em relação ao cumprimento de
todo conteúdo proposto. Em relação à falta de criatividade notamos que a
professora Beatriz não observava algumas coisas que conseguia fazer em sala
de aula e que, nós, pesquisadoras percebemos enquanto grupo. Além disso, a
professora demonstrou uma análise sobre a participação dela no grupo e o
quanto isso a ajudou no seu desenvolvimento profissional. Beatriz realizou uma
avaliação sobre seu processo de ensinar, identificando que pode melhorar sua
prática, essa atitude demonstra um amadurecimento do nível de consciência
163
cognitiva e emocional. Notamos que as aprendizagens das professoras

influenciam nas aprendizagens dos alunos e vice-versa, mostrando a
importância em não separá-las.
Uma aprendizagem da professora Beatriz foi identificar os pontos fortes e
fracos de seus alunos e adequar suas avaliações para atingir um número maior
de alunos. Atendendo as propostas de Santos (1997), quando aponta alguns
fatores que influenciam a aprendizagem dos alunos a partir da avaliação
realizada pelo professor. Essa professora incluiu em suas aulas diferentes tipos
de avaliações, não ocorrendo de maneira isolada. Com isso, pôde se aproximar
mais dos alunos, em especial daqueles que, aparentemente, possuíam maiores
dificuldades com determinados conteúdos matemáticos.
A partir dos relatos apresentados nesta seção, confirmamos o que alguns
pesquisadores revelam sobre a importância de um grupo de formação que
auxilie professores a refletirem criticamente sobre si mesmos, como
professores e aprendizes (SANTOS, 1993, 1993a). Um grupo no qual cada
participante atue como „amigo crítico‟ dos outros, realçando o que pode servir
de exemplos para outros professores e contribuir para buscar alternativas
perante as dúvidas ocorridas ou explicitadas. Esse grupo esteve submerso nas
emoções e atitudes de cada participante.
Emoções e atitudes das professoras frente à matemática ensinada,
aprendida e avaliada
Quando falamos em emoções e atitudes, estamos comentando sobre algo
muito particular de cada indivíduo. Nossas emoções e atitudes estão
intimamente relacionadas com nossas experiências pessoais e com nossa
história de vida. Conseguinte, fizemos, nesta parte, separação entre as
professoras, pontuando o que ficou mais evidente em cada uma, em relação as
suas emoções explicitadas e às suas atitudes, durante os encontros e práticas
164
em sala de aulas. Mostramos como identificamos relações com a matemática

ensinada, aprendida e avaliada e algumas emoções e atitudes de cada
professora. Além disso, como cada uma delas, em maior ou menor
profundidade, conseguiu tomar consciência de suas próprias atitudes frente à
matemática e ao seu processo de ensino e aprendizagem e avaliação.
Limitamos a apresentar alguns indícios dessas emoções e atitudes porque
acreditamos ter exposto isso nas outras seções de análise, já que não
conseguimos separar emoções e atitudes das outras aprendizagens
apresentadas.
A professora Beatriz sempre teve uma postura diferenciada em sala de aula,
notamos que trabalhava exigindo do aluno uma participação mais ampla. No
encontro (30/jul/07), em uma conversa, ela explicou um dos motivos por que
age dessa forma, conforme podemos conferir na parte do diálogo transcrito a
seguir.
Beatriz: [...] Lá no meu bairro,..., o que a gente faz? A gente tenta manter um
nível de escola particular. Em cima de tarefa e atividade para casa,
principalmente. E tenta nivelar por cima e não por baixo. Por exemplo, eu
reconheço que minhas provas, minhas avaliações são além do que deveria
ser, dentro do que a prefeitura quer. Eu prefiro sempre olhar para cima... E a
gente está conseguindo, as notas baixas são poucas. E quando acontece a
gente faz um trabalho para recuperar.
Lucia: Você tem alguma prova sua aí? Para eu dar uma olhada?
Beatriz: Tenho não... Sandra tem algumas cópias de provas minhas.
Lucia: Depois você me mostra.
Beatriz: Eu gosto disso, de lançar desafios. Se metade da turma alcançar
[completamente ou corretamente] aquilo que eu quero, eu fico... [realizada, ela
não completou o pensamento nesse momento, mas falou posteriormente]
(transcrição da gravação em áudio de 30/jul/07)
Diante da fala dessa professora, evidenciamos que sua atitude relaciona-se ao
trabalho da escola, situada num bairro de classe média, em Vitória. A
professora acreditava que seus alunos podiam atingir níveis mais elevados de
aprofundamento, denominado por ela de „nivelar por cima‟. Realizou um
trabalho para atingir esse patamar estabelecido, inclusive pelos alunos com
dificuldades. Beatriz afirmou que gostava de lançar desafios e estimular seus
165
alunos, mesmo que alguns desses não consigam resolver sozinhos. O

importante para ela era o estímulo e tentativa de solução, o pensar sobre o que
foi abordado.
Em algumas reflexões provocadas por nós, a professora Beatriz falou sobre ela
mesma e suas contradições. A reflexão realizada de forma consciente pela
professora estimulou-a a parar e a olhar para si mesma, suas atitudes e suas
falas. Beatriz percebeu que, em alguns momentos da sua prática pedagógica,
comentou ou afirmou frases que vão contra o que acreditava. A situação foi
justificada pela professora por não refletir profunda e conscientemente sobre o
que comenta ou faz. Um exemplo disso está explícito na fala da professora que
colocamos a seguir.
Uma das coisas que mais me cobro é quando não consigo planejar direito o
meu trabalho. Ao mesmo tempo em que critico as seis horas de planejamento
semanal, porque me tira da sala de aula, do trabalho efetivo com os meus alunos,
sou obrigada a reconhecer que sem planejamento também não se consegue
avançar muito. (Beatriz, 10/nov/08)
A questão do tempo sempre esteve presente nos comentários das professoras
e, em especial, da professora Beatriz. Ela exige, dela mesma, muitas respostas
e resultados, e fica se cobrando a aprendizagem dos alunos. Como exemplo,
um comentário da professora Beatriz sobre sua própria atitude em relação ao
cumprimento do currículo, prescrito pela escola e por ela mesma, e sobre as
formas como desenvolvia os conteúdos.
Acho que o que me atrapalha às vezes é o fato de ser conteudista demais, vejo
todo o programa traçado, percebo a sua importância, olho a variedade de recursos
que hoje temos disponível e fico ansiosa querendo desenvolver mais e mais
conteúdos e o tempo é curto... (Beatriz, 10/nov/08)
No final da pesquisa, a professora Beatriz fez outra reflexão sobre suas
aprendizagens e afirmou mudanças em sua forma de pensar. Ela ainda se
considerava ansiosa, mas afirmou ter aprendido a prestar mais atenção no que
necessitava voltar e refazer. Conforme está explícito no diálogo do encontro de
06/out/08, no qual conversávamos sobre nossas aprendizagens:
Beatriz: Eu aprendi a ser mais paciente um pouco também.
Eu/Sandra: Mais paciente ainda?
166

Beatriz: Ela [Vânia] entendeu aquele dia que eu falei. Eu sou impaciente às
vezes com o resultado, eu vou muito longe. Então vocês me ensinaram que
às vezes é preciso voltar, é preciso tentar entender porque ele ainda está
pensando daquela forma, reconstruir aquele caminho, rever os
procedimentos para entender como o menino está pensando... Quando a
gente começou na divisão, por exemplo, vocês me deram um toque, quando
eu deixei eles (os alunos) mostrarem como tinham entendido a divisão,
saíram coisas interessantíssimas. Aqueles desenhos. Lembra? Aquelas
outras maneiras de fazer divisão. Então me mostrou a não correr muito com
certas coisas, às vezes também.
Susana: A gente querer fazer tudo.
Beatriz: Eu tenho um pouco disso, para o menino. De lançar conteúdos para o
menino e às vezes queimar etapas. Aprendi a andar mais devagar um pouco
[com a matéria] pelo menos voltando.
(transcrição da gravação em áudio de 06/out/08)
A professora Beatriz sempre teve uma preocupação com a aprendizagem do
aluno, no sentido de completar todo conteúdo traçado para o ano letivo. Ela
conseguiu fazer um trabalho intenso e afirmou que uma aprendizagem com o
grupo foi fazer análises, voltar aos conteúdos ou atividades que os alunos
tiveram mais dificuldades ou „erros‟. Um exemplo dessa atitude tomada pela
professora foi o retorno de um problema abordado em uma de suas provas, e
os alunos não tiveram sucesso ao resolvê-lo, conforme ela mesma comentou:
Eu/Sandra: Deste ano tem algum exemplo que você poderia dar disso, de estar
voltando?
Beatriz: As avaliações, por exemplo. Aquelas resoluções de problemas, eu
percebi que tinha exagerado,... Eu voltava. Fazia tudo de novo, às vezes com
números mais simples... Até ficar mais claro para eles.
(transcrição da gravação em áudio de 06/out/08)
Esse problema será abordado na seção que trata sobre resolução de
problemas. Essa característica da Beatriz demonstoura que seu nível de
autorreflexão e de metacognição estava mais apurado e amadurecido com a
participação no grupo de estudos.
A professora Susana possuía uma emoção negativa em relação à matemática
ao iniciar sua participação no grupo. Identificamos na fala seguinte, sua
aversão pela matemática e também uma análise de mudança, a partir da
167
motivação gerada pelo grupo, na tentativa de realizar diferentes atividades em

sua sala de aula de matemática. Chamamos a atenção para o fato da ideia de
reciclar caixas de leite para transformar em cestos de lixo individuais foi da
própria professora. Inclusive o trabalho de formas geométricas com seus
alunos. Ela mesma percebeu diferenças, em sua prática, após sua inserção no
grupo.
Susana: Gente isso aqui é uma terapia,..., terapia,... Igual a Sandra me colocou
e foi muito bondosa. Porque eu cheguei aqui, com um verdadeiro pavor em
matemática. [...] mas eu cheguei apavorada.
Eu: Agora fica inventando moda.
Susana: Eu me soltei, de certo modo, a gente inventa moda. Onde que eu iria
inventar de fazer um lixinho com forma geométrica lá na sala,... Nunca!
(transcrição da gravação em áudio de 03/set/07)
Esse exemplo mostra uma atitude diferenciada da professora Susana, que,
normalmente, demorava mais a inserir em sua sala de aula as propostas do
grupo. A princípio, ela tinha que ultrapassar a barreira do „pavor ou medo‟ da
matemática, o que acreditamos ter sido superado. A superação levou a
professora a inovar e a modificar suas práticas de maneira mais lenta que a
professora Beatriz. Acreditamos que isso se deve ao fato da professora Susana
estar numa etapa diferenciada de desenvolvimento profissional, em especial,
em relação à matemática. Sua própria visão de matemática foi se alterando ao
longo do processo, conforme vimos em exemplos de crenças e concepções.
A partir de reflexões, sobre algumas atitudes e emoções, relacionadas à
matemática e aos seus processos de ensino, aprendizagem e avaliação,
notamos que ao longo do processo foi ficando mais claro as relações, entre
atitudes e emoções, com os conteúdos matemáticos. Isso esclareceu, para
todas nós e, principalmente, para as professoras Susana e Beatriz, o que
estava „amadurecido‟ e o que ainda estava „verde‟ em relação aos conteúdos
matemáticos que elas sabiam e os que ensinavam. Esclarecemos essa parte
na seção seguinte.
168

5.2 Frutos de aprendizagens de conceitos matemáticos
aliados às práticas pedagógicas
O que chamamos de frutos de aprendizagens de conceitos matemáticos são os
indícios que assimilamos sobre as construções individuais desses conceitos, as
significações que cada uma dava ao que estávamos discutindo e ao que estava
sendo trabalhado em sala de aula. A metáfora do fruto foi colocada, pois
sabemos que um fruto passa por processos de formação e de
amadurecimento. Ele depende da árvore na qual está inserido, do local em que
está plantado, da quantidade de sol, da água que a árvore recebe e transmite.
Depende se a árvore é boa, dos seus frutos, da qualidade da semente, da terra
e das flores,... Portanto, não depende, exclusivamente, de apenas um fator,
mas das relações entre os vários fatores que a envolvem. E, dessa forma,
identificamos a construção dos conceitos matemáticos. O processo de
construção não depende apenas do indivíduo, mas também do meio em que
está inserido, do contexto, da sua constituição histórica e pessoal, dos seus
pares. Inferimos também como a construção dos conceitos matemáticos está
aliada às práticas pedagógicas. Em muitos casos, ao longo do processo de
desenvolvimento deste trabalho, íamos concluindo como essa construção é
mais complexa do que imaginamos. E como, muitas vezes, precisamos utilizar
diferentes estratégias para construirmos esses conceitos, e como eles vão se
formando nas inter-relações entre as pessoas envolvidas e a forma pela qual
influenciamos e somos influenciados pelos outros.
Afirmamos que os conteúdos matemáticos das séries iniciais que mais se
destacaram em nossas discussões foram:
o Números: inteiros, decimais e frações.
o As quatro operações: adição, subtração, multiplicação e divisão.
o Geometria plana e espacial: formas e medidas.
Também teve destaque nos debates os temas transversais e sua relação com
169
os conteúdos que poderiam ser trabalhados em matemática. Os conceitos

matemáticos foram sendo estudados, a partir da necessidade surgida e
apresentada pelas professoras nos encontros. Pela característica da pesquisa
não poderíamos definir quais conteúdos seriam de interesse dos professores,
pois foi acontecendo a partir da dinâmica do próprio grupo. No decorrer do
estudo longitudinal, tivemos vários momentos que nos levaram a refletir sobre
nossas práticas e nossas metodologias de ensino. Foram reflexões e
discussões que nos levaram a organizar e desenvolver em sala de aula
algumas das metodologias de ensino. Destacamos alguns dos trabalhos que
foram desenvolvidos pelas professoras durante o estudo longitudinal:
o Resolução de problemas.
o Realização de trabalhos com grupo de alunos.
o Uso da linguagem escrita nas aulas de matemática.
o Realização de “Oficinas” com utilização de materiais concretos.
A questão relacionada com a forma que executamos a avaliação também
esteve presente nas nossas discussões no grupo de estudos. Muitas vezes,
debatemos sobre provas a serem aplicadas pelas professoras e provas que já
tinham sido aplicadas, por isso organizamos uma abordagem sobre este
assunto na medida em que apresentávamos o que escolhemos. Um material
que esteve presente desde os encontros iniciais foi o livro da professora Vânia
Santos (1997) sobre avaliação. Nós, integrantes do grupo de estudos,
conversamos sobre várias atividades propostas por ela e aplicamos em sala de
aula com adaptações, quando necessárias.
Embora tenhamos abordado vários conteúdos matemáticos no decorrer de
nossas análises, decidimos apresentar aqueles que se tornaram incidentes
críticos ou significativos. Conforme já citamos anteriormente, aprofundamos as
análises na resolução de problemas, em especial as que envolvem as quatro
operações fundamentais (adição, subtração, multiplicação e divisão) e em
algumas ideias da geometria. Por esse motivo, esta seção está separada em
subtítulos que são resoluções de problemas e geometria.
170

Na medida em que apresentamos nossas análises, concluímos que algumas
professoras se destacam mais em alguns momentos do que outras. Isso é
natural, pois tem relação direta com o que cada professora acha mais
relevante, o que cada uma aplicou em sala de aula e com suas crenças e
concepções relativas ao que seja ensinar matemática. Na parte de resolução
de problemas, a professora Beatriz se destacou mais por gostar de desafiar
seus alunos e por acreditar que o desafio seja a forma mais adequada de se
trabalhar com alunos em sala de aula. Quanto à geometria, a professora
Susana tem pontos fortes, por querer aprender o que não sabia e por gostar de
trabalhar mais com materiais concretos em aulas, como oficinas e projetos,
resumindo, aulas que envolvem parte prática com os alunos. Deixamos os
detalhes para serem apresentados no decorrer do texto, onde colocamos
algumas de nossas observações, principalmente, sobre os recortes realizados.
5.2.1 Resolução de problemas
Uma das metodologias mais discutidas e abordadas em nossos encontros foi
resolução de problemas. Assim sendo, colocamos uma seção própria para o
assunto. Porém, não falamos, exclusivamente, sobre a resolução de problemas
como metodologia, mas como uma proposta para a discussão sobre os
conteúdos matemáticos abordados e discutidos nos encontros do grupo, como
as quatro operações e o sistema decimal como um todo.
Resolução de problemas e ideias sobre as quatro operações
Muitas de nossas discussões partiram de resoluções de problemas, como em
um debate que gerou bons frutos sobre ideias que envolvem as operações de
171
adição, subtração, multiplicação e divisão. Normalmente, são conteúdos

trabalhados, intensamente, nas séries iniciais e em alguns momentos,
conforme fala da professora Susana, já citada na seção 5.1, são conteúdos
privilegiados nesse nível de ensino. Mostramos, nesta seção, como as
discussões do grupo nos levaram a estudar e aprofundar o tema e como
percebemos que sempre existe algo a aprender e que nós, professores,
fazemos algumas coisas sem a devida reflexão e conhecimento sobre alguns
conteúdos que trabalhamos em nossas aulas de matemática.
Apresentamos algumas de nossas discussões sobre o início dos estudos sobre
as quatro operações por meio de análise de problemas. A atividade,
desenvolvida no encontro do dia 19/mar/07, foi retirada do livro de Santos
(1997). A proposta da atividade era de separar os problemas fornecidos por
meio das operações semelhantes. Posteriormente os problemas deveriam ser
separados por ideias operatórias dentro de cada operação. As professoras
receberam a atividade com os problemas separados em tiras de papel e
tiveram um tempo para resolverem o que estava sendo proposto antes de
discutirmos novamente. Essa atividade foi colocada na íntegra, a seguir.
172
Agrupe estes problemas pelas operações. Depois para cada
operação agrupe-os em conjuntos de problemas do mesmo tipo, isto
é, problemas que apresentem a mesma ideia operatória.
a) Eu tenho 8 bolinhas de gude e João tem 3. Quantas bolinhas eu
tenho a mais do que João?
b) Eu tenho 2 maçãs e 3 laranjas. Se juntarmos estas frutas com
quantas frutas ficarei?
c) Eu tenho 3 camisas de cores diferentes e 4 shorts de cores
distintas. Quantos trajes distintos eu posso formar?
d) Eu tenho 45 bombons e existem 9 crianças que irão reparti-los
igualmente. Quantos bombons cada criança irá receber?
e) Eu tinha 8 bolinhas de gude. Agora tenho 2. Quantas eu perdi?
f) Eu tenho 4 vasos de flores e quero colocar 3 rosas em cada
vaso. Quantas rosas eu preciso ter?
g) Eu tinha 8 bolinhas de gude, perdi 5. Com quantas eu fiquei?
h) Eu tenho 45 balas. Eu vou dar 5 balas para cada criança num
grupo. Quantas crianças receberão balas?
i) Uma banda escolar tem 8 filas de instrumentista, com 7
membros em cada fila. Quantos alunos estão na banda?
j) Sorvete Sem Nome tem 6 sabores de sorvete e 8 coberturas
diferentes. Quantos sorvetes de casquinhas diferentes podem
ser feitos?
k) A biblioteca escolar tem 80 livros sobre cachorros e tem 10
alunos que irão retirar os livros, cada um levando a mesma
quantidade. Quantos livros pode levar cada aluno?

173
l) A garagem da UFRJ tem 7 ônibus velhos e 20 novos. Quantos
ônibus têm na garagem?
m) Barbara acabou 14 dos problemas para casa e Jose terminou 9.
Quantos problemas Barbara terminou a mais do que Jose?
n) Um jardineiro plantou 16 canteiros de margaridas, com 8 mudas
em cada canteiro. Quantas mudas ele plantou ao todo?
o) Ana estava inscrita em 6 disciplinas na faculdade. Por causa de
falta de tempo para estudar ela trancou 2 disciplinas. Quantas
disciplinas ela ainda está fazendo?
p) Joana tem 5 irmãs e distribuiu (sic) para cada uma delas 3
tíquetes para a peça de teatro. De quantos tíquetes Joana
precisa?
q) Jose possuía 14 carros. Agora tem 7. Quantos carros ele
vendeu?
r) Uma companhia aérea está anunciando 66 passagens com
desconto para pessoas que comprem pares de passagens.
Quantas pessoas podem comprar um par de passagens?
(SANTOS, 1997, p. 77 – 78)
O diálogo dessa sequência ocorreu no 6º encontro de 2007 (19/mar/07) e
mostra como a discussão sobre a atividade foi rica e como nos chamou a
atenção para a necessidade de estudarmos mais sobre as operações
fundamentais e as ideias que as envolvem. Colocamos no decorrer do diálogo
nossas considerações e análises sobre o que achamos pertinente.
Eu (Sandra): Vamos lá... vocês acharam todas as operações,... todas as quatro
operações. Vamos falar como nós 39 separamos e verificar se separamos igual.
Beatriz: Esta aqui da garagem,...
Eu: Essa da garagem é sobre o quê?
Beatriz: Adição. E também a das 3 laranjas e 2 maças. Só essas.
Susana: Só, isso mesmo.
Eu: Só estas duas, né? Quais as ideias que tem aí?
Susana: Juntar e... juntar.
Eu: Juntar,... e quantos têm. As palavrinhas-chave do primeiro problema. No
primeiro tem a palavra “juntar e ficar” e a do segundo problema “quantos têm”.
Essas são as palavrinhas que eu comentei que tinha que ter no problema no
início, colocar a exigência de que tem que ter a palavrinha,... “juntar”.
(transcrição da gravação de áudio de 19/mar/07)
Começamos analisando os problemas de adição e quando falamos em discutir
as ideias neles contida analisamos “palavras-chave” que apareciam na escrita
do problema. Essa foi a forma como consideramos as ideias que os problemas
39 As professoras presentes neste encontro foram Sandra, Susana e Beatriz.

envolviam. Conseguimos identificar nos problemas de adição as palavras:
juntar, ficar e quantos tem. E, no momento, achamos que essas eram as
sugestões que envolviam adição. Não estávamos preparadas para uma
discussão mais aprofundada sobre isso. Quando estudamos sobre essas ideias
que envolvem os problemas relacionados com as quatro operações,
entendemos que alguns autores organizam esses tipos de problemas como
„estruturas aditivas‟ que envolvem os conceitos de adição e subtração.
Analisando, deduzimos que as ideias relacionadas à adição e à subtração eram
mais abrangentes do que simplesmente a noção de juntar.
Os dois problemas da atividade que dizem respeito à adição, são:
1) Eu tenho 2 maçãs e 3 laranjas. Se juntarmos estas frutas com quantas
frutas ficarei?
2) A garagem da UFRJ tem 7 ônibus velhos e 20 novos. Quantos ônibus têm
na garagem?
A professora Vânia nos mostrou que esses problemas possuem complexidades
diferentes. Ambos remetem à ideia de juntar, porém o segundo problema fala
de uma mesma entidade – ônibus – já o primeiro problema fala de maçãs e
laranjas e as crianças devem perceber que elas fazem parte de uma
classificação mais ampla, a das frutas. A ideia de inclusão também é usada em
outros conteúdos matemáticos e a falta de trabalho adequado nas séries
iniciais pode prejudicar o desenvolvimento de conteúdos posteriores sobre
inclusão em álgebra, por exemplo. Não costumamos conversar com nossos
alunos sobre essas diferenças. Acredito que, por isso, temos, em alguns
momentos, alunos que querem resolver problemas apenas fazendo alguma
operação com os números, sem analisar o problema como um todo. Algumas
vezes nossos alunos querem encontrar palavras-chave nos problemas,
conforme nós, professores, fizemos nessa tarefa, mas não olham a sutileza
que envolve cada situação. Queremos chamar a atenção para alguns „vícios‟
que utilizamos ao trabalharmos problemas em nossas salas de aulas.
Normalmente, todos os problemas vêm com dados numéricos, precisamos
explorar situações-problema que possam ser resolvidos sem colocarmos as
174
quantidades. É preciso aprender a reformular perguntas, contextos, apresentar

diferentes significados para uma mesma operação e levar os alunos a terem
uma ideia esclarecida e amadurecida sobre resolução de problemas. A forma
inadequada de resolver problemas perdura nas séries finais do ensino
fundamental e acarreta problemas em níveis de ensino após o fundamental,
pois os alunos não conseguem interpretá-los de forma satisfatória.
Continuando o relato e análise do diálogo, analisamos os problemas de
subtração que identificamos e nossas conclusões sobre algumas ideias
envolvidas.
Eu: [...] E agora? Vamos passar para outra. Quais que vocês querem agora?
Susana: Subtração... José possuía 14 carros, agora têm 7. Quantos carros ele
vendeu?
Eu: E quais são os outros problemas? Vamos lá... Vamos colocar todos e ver as
ideias.
Beatriz: Eu tinha 8 bolinhas de gude, perdi 5...
Susana: Com quantas fiquei?
Eu: Aí tem dois problemas de bolinhas de gude bem parecidos...
Susana: Muito parecidos, eu até achei que era erro e elas eram iguais.
Eu: É, mas a ideia é completamente diferente...
Beatriz: Esse aqui é: eu tinha 8 bolinhas de gude. Agora tenho 2. Quantas eu
perdi?
Eu: Então a ideia é “quantas fiquei” e a outra “quantas perdi”.
Susana: E essa do carro?
Eu: “Quantas fiquei”. “Quantos vendeu?” Dá a ideia de quantidade, também.
Beatriz: Eu tenho 8 bolinhas de gude e João tem 3. Quantas eu tenho a mais do
que João?
Eu: É... Quantas a mais. Esse primeiro é quantos vendeu.
Susana: Ana estava inscrita em 6 disciplinas na faculdade. Por causa de falta de
tempo para estudar, ela trancou 2 disciplinas. Quantas disciplinas ela ainda está
fazendo? Num é?
Eu: Quantas ela ainda está fazendo?... Essa ideia aí é de quantas fiquei ainda.
Essa de quantos vendeu?... Não... É diferente... Mas essa é de quantas ainda ela
está fazendo é a ideia de quantos ficou para ela fazer... Ainda é de quantificar...
E a outra? Bárbara acabou 14 problemas para a casa e José terminou 9. Quantos
problemas ela terminou a mais?
Susana: É isso,... quantos a mais...
Eu: Ideia de a mais,... então um é a ideia de ficar, perdeu, perdeu e ficou... e a
outra ideia é eu tinha tantos, agora eu tenho tantos, quantos eu tenho... essa
175

ideia do perdi e do vendo, elas são mais ou menos a mesma ideia. Pois elas
são eu tinha tanto e perdi ou vendi e pergunto com quantas tenho agora. Ela é
diferente do fiquei e do tenho agora.
Susana: Essas filipetas vão ficar com a gente, né.
Eu: sim...
(transcrição da gravação de áudio de 19/mar/07)
Temos nesse diálogo sobre subtração a identificação, seis problemas,
conseguimos no momento do encontro elencar as ideias de analisar um
resultado a partir da perda e da venda – ideia de „quantos ficou‟ – e novamente
não observamos diferenças entre as complexidades dos problemas. Os seis
problemas estão expostos em sua forma completa a seguir. Os quatro
primeiros remetem à ideia de „quantos ficou‟. Já os dois últimos trazem a ideia
de comparação, mas, no momento do diálogo o classificamos como „quanto a
mais‟.
1) Eu tinha 8 bolinhas de gude. Agora tenho 2. Quantas eu perdi?
2) Eu tinha 8 bolinhas de gude, perdi 5. Com quantas eu fiquei?
3) José possuía 14 carros. Agora tem 7. Quantos carros ele vendeu?
4) Ana estava inscrita em 6 disciplinas na faculdade. Por causa de falta de
tempo para estudar ela trancou 2 disciplinas. Quantas disciplinas ela ainda
está fazendo?
5) Bárbara acabou 14 dos problemas para casa e José terminou 9. Quantos
problemas, Bárbara terminou a mais do que José?
6) Eu tenho 8 bolinhas de gude e João tem 3. Quantas bolinhas eu tenho a
mais do que João?
Alguns problemas são parecidos, como os dois primeiros selecionados, n e
inclusive levou a um comentário da professora Susana que afirmou ter
pensado, a princípio, ser erro e se tratar de um mesmo problema. Em estudos
seguintes a esse encontro e conversas com a professora Vânia, percebemos
que os propósitos dos dois problemas era verificar quantos ficaram, porém, a
complexidade do primeiro exposto acima é maior do que a do segundo. Pois, o
primeiro exemplo é um problema direto, já o segundo é um problema inverso
(NUNES et al., 2005). Logo, a forma que uma criança deve pensar nesses
problemas é diferente, conforme veremos a seguir.
1) Eu tinha 8 bolinhas de gude. Agora tenho 2. Quantas eu perdi? 8 - ? = 2
2) Eu tinha 8 bolinhas de gude, perdi 5. Com quantas eu fiquei? 8 – 5 = ?
176

Adultos não percebem que são estruturas mentais diferentes, pois já dominam
esse tipo de problema. Mas, enquanto professores precisamos estar atentos ao
abordarmos diferentes tipos, propositalmente, para que nossos alunos possam
atingir níveis diferentes de maturidade em relação a esses conteúdos. Como
podemos inserir em nossas práticas pedagógicas diferentes abordagens.
A ideia referente aos dois últimos problemas explicitados, anteriormente,
(problemas 5 e 6) envolvem raciocínio de comparação, inclusive, entre
grandezas possuídas por pessoas diferentes. Essa ideia leva a uma
comparação relacional dos elementos. É outra estrutura mental, na qual a
criança precisa operar com os elementos em relação biunívoca, até perceber a
operação de subtração envolvida.
Continuando o diálogo sobre a atividade, comentamos sobre os problemas que
envolvem a multiplicação e suas ideias.
Susana: Agora tem a multiplicação, né.
[...]
Eu: Multiplicação, vamos lá...
Susana: Eu tenho 3 vasos de flores e quero colocar 3 rosas em cada vaso.
Quantas rosas eu preciso ter? Combinatória?
Eu: Não,... Parcelas iguais,...
Susana: Parcelas iguais...
Eu: Sim,..., 4 vasos, 3 rosas em cada uma. Parcelas iguais.
Susana: Esta daqui está parecendo,..., um jardineiro...
Beatriz: Um jardineiro plantou 16 canteiros de margaridas, com oito mudas em
cada canteiro. Quantas mudas ele plantou ao todo?
Eu: (concordou) um jardineiro plantou 16 com 8 em cada uma,..., parcelas iguais.
Susana: Já... Joana tem 5 irmãs e distribuiu para cada uma delas 3 tíquetes para a
peça de teatro. De quantos tíquetes Joana precisa?... Também é de parcelas
iguais...
Eu: Eu acho que essa pergunta está errada. Deveria ser “de quantos tíquetes
Joana precisou?”. Se ela já distribuiu...
Susana: Alguma coisa está estranha, alguma coisa não está batendo.
Eu: Quantos tíquetes ela precisou, se ela já distribuiu, como ela vai precisar
ainda? Ela não precisa de mais nada, precisou...
177

Beatriz: Olha como a gente fixa o pensamento em uma palavra. Acontece que
distribuir dá a ideia de divisão.
Susana: é dá a ideia...
Eu: Eu vi isso, mas depois eu parei e olhei que ela distribuiu para cada uma três,
então é a ideia de parcelas iguais... Mais o quê?
Susana: Uma banda escolar, num é? Tem 8 filas de instrumentista, com 7
membros em cada fila... Agora a ideia de combinatória,... Tem o Sorvete sem
nome que tem 6 sabores de sorvete e 8 coberturas... E a outra que eu tenho
camisas de cores diferentes e 4 shorts cores distintas. Não é isso? Deu para
entender. Com uns probleminhas desses é alguma coisa simples de você está,...
né.
(transcrição da gravação de áudio de 19/mar/07)
Identificamos, nos problemas sobre multiplicação, as ideias de parcelas iguais
e de combinatória. Em alguns momentos, ficamos com a impressão de ter
outras ideias envolvidas com a de parcelas iguais, ou alguma particularidade.
Porém, devido nossa falta de conhecimento sobre esses conteúdos, não
conseguimos identificar possíveis sutilezas nos problemas. Os problemas de
multiplicação identificados foram:
1) Joana tem 5 irmãs e distribuiu para cada uma delas 3 tíquetes para a peça
de teatro. De quantos tíquetes Joana precisa?
2) Um jardineiro plantou 16 canteiros de margaridas, com 8 mudas em cada
canteiro. Quantas mudas ele plantou ao todo?
3) Eu tenho 4 vasos de flores e quero colocar 3 rosas em cada vaso.
Quantas rosas eu preciso ter?
4) Uma banda escolar tem 8 filas de instrumentista, com 7 membros em cada
fila. Quantos alunos estão na banda?
5) Eu tenho 3 camisas de cores diferentes e 4 shorts de cores distintas.
Quantos trajes distintos eu posso formar?
6) Sorvete Sem Nome tem 6 sabores de sorvete e 8 coberturas diferentes.
Quantos sorvetes de casquinhas diferentes podem ser feitos?
Os quatro primeiros problemas foram considerados como problemas que
envolvem a ideia de „parcelas iguais‟. Mas, o segundo e o terceiro problemas
apresentados são classificados em alguns livros (PCN‟s – BRASIL, 1997) como
problemas de situações associadas à configuração retangular. Os dois últimos
problemas são ligados à ideia de combinatória. Após estudos, observamos
que, na relação desses problemas, não apareceu nenhum com a ideia de
proporção e nem de multiplicação comparativa (que envolve dobro, triplo,
metade).
178

No meio da discussão sobre os problemas, surgiu um comentário sobre uma
atividade, que foi desenvolvida com a turma da professora Susana, de elaborar
problemas. Na aula, a professora Susana pediu para que seus alunos
inventassem problemas, utilizando os números que eram dados nas operações
indicadas por ela. Acredito que não percebemos no momento do debate, como
precisávamos resgatar essas ideias com os alunos. Isso apenas apareceu
após iniciarmos um estudo mais aprofundado sobre as ideias matemática
presentes nos problemas.
Eu: É interessante ver que, quando você pediu para seus alunos inventarem
problemas eles não inventaram problemas como esses. Eles só inventaram
problemas de “quantos eu fiquei”. Na verdade a gente anotou errado, é eu tinha,
agora eu tenho, e vamos ver a diferença entre o antes e depois... Só tem uma
ideia de divisão?
Susana: Vamos lá. Uma companhia aérea estava... no caso é só dividir por dois e
achar o resultado. Mas eu não soube qual é essa ideia, não.
Beatriz: divisão...
Eu: Divisão em partes iguais.
Susana: É isso mesmo? Dividir em parcelas iguais. E isso? Agora tem o
seguinte: eu tenho 45 balas. Eu vou dar 5 balas para cada criança num grupo.
Quantas crianças receberão balas? Essa é a que a gente chama de propriedades
distributivas. É isso mesmo? Distribuir...
Eu: Também em parcelas iguais. Distribuir em parcelas iguais.
Susana: Quantas crianças receberão as balas? Formar grupos de 5 e distribuir
para as crianças, nove grupos. É isso, distributiva?
Beatriz: Agora, esse problema aqui da companhia aérea, pares e passagens.
Cada pessoa pode comprar um par de passagens. Tem como comprar um par,
dois pares, três pares...
Eu: Cada pessoa pode comprar um par de passagens. Qual o maior número de
pessoas...
Susana: Está um par de passagem...
Eu: Tem a palavra um par. Se tivesse somente pares de passagens poderia uma
pessoa comprar vários pares de passagens.
Susana: Aqui, o do bombom é o inverso da bala. Pois, aqui está dizendo a
quantidade e perguntando quanto cada um vai receber. É o contrário, essa
ideia aí eu num sei não.
Eu: Todas essas ideias são parcelas iguais e a questão da distributiva, o que
muda é como você pergunta. Uma você tem 45 e vai dar 5 balas para cada um.
O outro você tem 45 bombons e vai dar para 9 crianças. Uma é distributiva e a
outra de parcelas iguais. E a da biblioteca? Tem livros e alunos... Também é de
parcelas iguais... Quantos livros podem levar cada aluno?
179

Os problemas referentes à divisão foram identificados com uma mesma ideia
de parcelas iguais – distributiva. Porém, em diversas falas, reconhecemos
como nós, professoras, ficamos incomodadas com alguns problemas e como,
algumas vezes, tivemos dúvidas. Os problemas que envolvem ideias de divisão
foram:
1) Eu tenho 45 bombons e existem 9 crianças que irão reparti-los igualmente.
Quantos bombons cada criança irá receber?
2) A biblioteca escolar tem 80 livros sobre cachorros e tem 10 alunos que
irão retirar os livros, cada um levando a mesma quantidade. Quantos livros
pode levar cada aluno?
3) Eu tenho 45 balas. Eu vou dar 5 balas para cada criança num grupo.
Quantas crianças receberão balas?
4) Uma companhia aérea está anunciando 66 passagens com desconto para
pessoas que comprem pares de passagens. Quantas pessoas podem
comprar um par de passagens?
Após estudos, concluímos que as ideias que envolvem os problemas de divisão
são mais complexas do que pensávamos e conhecíamos no momento do
debate. Os dois primeiros problemas apresentados são os que envolvem a
noção de partição, as quantidades precisam ser distribuídas igualmente.
Porém, pessoas diferentes podem realizar operações diferentes para chegar ao
resultado. Os dois últimos problemas são relacionados à ideia de cotição (ou
quotição), no qual há uma quantidade específica de cotas que se deseja
distribuir. A princípio, dá-nos impressão de que essas ideias sejam
equivalentes, mas a forma de resolução é completamente diferente para os
dois casos. Na partição, podemos distribuir a quantidade nos grupos indicados,
colocando apenas um de cada vez, por grupo ou podemos colocar de 3 em 3
ou com outro valor. Nos problemas de cotição, devemos colocar exatamente a
quantidade estipulada em cada grupo, não existe a abertura de realizar a ação,
distribuindo de diferentes formas.
Há algumas dificuldades com relação às ideias matemáticas apresentadas
pelas professoras nesses problemas, inclusive em minhas ideias, enquanto
licenciada em matemática A realidade nos mostra como nossas formações
valorizam a matemática de nível superior e não chamam a atenção para alguns
conceitos fundamentais da base do edifício matemático. Esses fatos nos
180
levaram a refletir sobre nossos conhecimentos e sobre nossas formações. Isto

gerou a necessidade de estudarmos mais profundamente o assunto. Outras
discussões foram realizadas pelo grupo, em diferentes momentos e algumas
delas serão apresentadas ao longo deste texto. Como consequência,
pesquisamos em alguns livros (NUNES et al., 2005) as diferentes ideias que
envolvem cada uma das operações. Aprofundamos os estudos em diferentes
pesquisas sobre as estruturas aditivas e multiplicativas, em revistas (Nova
Escola, 2007), capítulos de livros (CORREA, 2006, CORREA; SPINILLO, 2004;
MORO, 2004; SAIZ, 1996) e, especialmente, em conversas com a
coorientadora Vânia. Reconhecemos que entender ideias que envolvem os
conceitos matemáticos não é simples e que, muitas vezes, nós não
valorizamos isso, ou nem disso tomamos conhecimento. Em encontros
posteriores, discutimos sobre o assunto e começamos a pensar mais sobre as
diferentes abordagens. Alguns resultados das discussões aparecem nos
relatos e nas análises de aulas das professoras participantes do grupo de
estudos.
Resolução de problemas em aulas de Beatriz
Desde a primeira aula que assistimos da professora Beatriz, vimos que
abordava grande quantidade de questões envolvendo resolução de problemas.
Esse assunto estava de acordo com a visão de matemática que essa
professora possuía. Notamos também, que, nas avaliações, Beatriz utilizava
questões envolvendo resolução de problemas e raciocínio lógico. Questionada
sobre sua aprendizagem nessa área, ela afirmou que:
O que mais gostei foi quando aprendi que muitos problemas podem ser resolvidos
pela „regra de três‟ ou equações simples com apenas uma incógnita. [...] é bem
gratificante achar a solução de problemas apenas pelo raciocínio lógico, sem
fórmulas,...” (Beatriz, 18/set/2006).
Identificamos que ela se sente desafiada pela matemática, por isso gosta de
181
trabalhar com raciocínio lógico. Apesar das dificuldades explicitadas, Beatriz

possui muita curiosidade e gosta de ler e de desafiar a si própria, o que a
direciona numa busca de aprender sempre mais. Ela afirmou e continua
afirmando várias vezes que não deseja que seus alunos tenham dúvidas como
ela teve, o porquê de sua preocupação em ajudá-los na superação de suas
dificuldades. Ela falou que participar do grupo a ajudou a entender conceitos ou
definições relacionados à matemática que ainda pareciam obscuros. Um
exemplo de ideias matemáticas, que não estavam claros para ela, é o conceito
ou definição do número , ela afirmou nunca ter entendido, apesar de usar em
algumas atividades matemáticas. Tivemos a oportunidade de explicar-lhe por
meio de desenhos e palavras, a relação do com o diâmetro e o comprimento
da circunferência (nov/06).
Um exemplo sobre sua relação com seus alunos e como gosta de trabalhar em
matemática, pôde ser percebida na sua escrita sobre uma aula que tinha
gostado do que e como realizou e como os alunos dela participaram.
Reproduzimos o que ela relatou sobre a aula que considerada positiva.
Gosto quando lanço desafios e o aluno, sem muita explicação, apenas com
pequenas pistas, consegue chegar à resposta.
Exemplo: Propus o seguinte problema: Mamãe comprou ¼ de uma torta para
repartir entre mim, meu irmão e ela. Quanto de torta cada um recebeu? Desenhe
ou represente e dê uma resposta.
Apenas alertei: não se esqueçam de considerar a torta inteira. Depois usei a
linguagem matemática: ¼ : 3 = vários alunos acertaram.
Em várias situações-problema gosto quando o aluno mostra diferentes
cálculos. Sempre os convido para mostrarem no quadro qual foi o “caminho”
escolhido. (Beatriz, set/2006) 40
Esse desafio foi aplicado após o trabalho com frações, e ela deixou claro como
gosta dessa estratégia de trabalho e como valoriza o raciocínio dos alunos.
Observamos que ela transmite para seus alunos, por meio de suas atitudes em
sala de aula, a importância ou a facilidade em trabalhar com raciocínio lógico,
atividade que ela acha importante e gosta.
182
40 A partir desse momento estamos colocando falas das próprias professoras. Para diferenciá-las das
citações de outros autores, colocamos um recuo de um centímetro de ambos os lados e utilizamos as letras
em itálico. Ao início dos diálogos ou ao final de cada fala colocamos o nome da professora e a data das
afirmações.

Quando estamos trabalhando com resolução de problemas, devemos tomar
cuidado com as atividades denominadas „problemas‟ que, na verdade, não o
são. Os autores do livro „Aprender Pensando‟ colocam esses tipos de
atividades como exercícios tipo papagaio (Carraher, 1986/1983, p. 14). Tal
problema somente exige dos alunos que eles sejam capazes de repetir o que o
professor acabou de ensinar, entretanto, reconhecemos que essas atividades
representam, algumas vezes, a maior parte de nossos exercícios. Muitas
vezes, tratamos como problemas o que os alunos nem precisam pensar sobre,
apenas retomam os valores e fazem a operação que acabou de ser ensinada.
Não afirmamos que eles não sejam necessários, porém, temos convicção que
eles não podem ser os únicos tipos de problemas oferecidos aos nossos
alunos.
Passamos a relatar um exemplo da inter-relação entre aulas observadas e as
discussões que foram provocadas no grupo a partir dessa situação. Na aula do
dia 16/mai/08, presenciamos uma situação em que a professora apresentou um
“verdadeiro problema” para os alunos. Deduzimos que fosse um problema, pois
os alunos precisaram levantar conjecturas, buscar alternativas de resolução e
não resolveram, de imediato, gerando uma discussão interessante em sala de
aula, tanto no sentido professoras X alunos como alunos X alunos, realçando
bem as mediações que Vygotsky (1988) comenta em seu trabalho. O problema
era o seguinte:
Figura 8 – Retirado de uma folha xerocada trabalhada pela professora em 16/05/08
183

Fonte: Folha xerografada pela professora, não possuímos origem dessa atividade.
Somente o aluno A conseguiu resolver o problema que tinha ficado para casa
como atividade. Com essa informação, a professora não deixou que ele
apresentasse sua solução para a turma durante a correção, antes de dar um
tempo para os outros resolverem. Foi interessante perceber como alguns
alunos, com nossa ajuda, e algumas dicas, conseguiram reorganizar suas
estratégias e chegar bem próximo ao resultado do problema.
Beatriz pediu que eles desenhassem a estrada e os telefones no caderno para
verem se isso os ajudaria a pensar. Nesse caso, os alunos teriam que ir além
do que haviam estudado, eles não podiam apenas fazer uma divisão, tinham
que pensar nas condições impostas pelo problema, o que foi mesmo para os
alunos um “problema”, porque precisavam pensar, relacionar as informações e
desenvolver uma estratégia com base no que já haviam estudado, mas
somente isso não bastava.
A maioria dos alunos não só iniciou com a divisão 630 por 14, como chegou
também à resposta 45 km, mas lia a informação que estava evidenciada no
desenho, juntamente com o problema e parava de resolver. Quando a
professora pediu para que eles desenhassem, eles viram quantos espaços
havia na estrada, que deveriam ser iguais:
Telefones
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
0 km 630 km
Algumas das perguntas que lhes fazíamos eram: O que você quer dividir: os
telefones ou a estrada? Em quantas partes devemos dividir a estrada? O que
você terá que fazer? O que o seu desenho está mostrando? A partir dos
questionamentos eles chegaram à conclusão de que deveriam dividir a estrada
em 15 parte iguais e não 14, como haviam pensado anteriormente. A divisão
184
não se referia ao número de telefones, mas sim aos espaços que ficariam entre

os telefones, e assim eram 15 espaços, logo a divisão deveria ser por 15 e não
por 14.
Dividindo 630 por 15 encontravam 42 e terminavam o cálculo. Depois, no
momento da correção, a professora mostrou que eles, exceto o aluno A, não
tinham respondido à pergunta do problema. E concluiu com eles que deveriam
localizar em que quilômetro estava localizado cada telefone, chegando ao
resultado do problema. Notamos que alguns alunos queriam colocar a solução
42 como resposta, pois acreditavam que os problemas tivessem uma única
solução a ser destacada. No caso, eles estão vivenciando o que comentamos,
anteriormente, sobre os problemas com uma só solução.
A situação foi uma das muitas que conseguimos presenciar sobre a interação
da professora com seus alunos. E observamos que a professora em diferentes
momentos deu mais atenção aos processos de resolução de cada aluno,
tentando levá-los a ampliar suas análises sobre os problemas e a experimentar
caminhos alternativos na busca de estratégias para a resolução de problemas.
A atitude da professora Beatriz foi contra ao que apontam Gonçalez e Brito
(2005), ao afirmarem que:
185
Em muitas salas de aula, é observado que apenas as respostas
certas dos alunos são aquelas passiveis de recompensa, sendo dada
pouca ou nenhuma atenção aos diferentes procedimentos que o
estudante usa para resolver um problema. Ocorrendo situações como
essa, o ensino pode apresentar um desvio, pois é enfatizado apenas
o produto final e não o processo. Embora a resposta final correta seja
desejável, o excesso de cobranças e punição quando ocorrem as
respostas erradas acabam gerando atitudes negativas e alta
ansiedade durante as provas e exames (GONÇALEZ; BRITO, 2005,
p. 224).
Após discutirmos com a coorientadora sobre a aula, ela nos indicou alguns
caminhos que utilizamos para reforçar as discussões no grupo de estudos.
Pedimos para ela comentar a aula num grupo de estudos (dia 19/maio/08), e
isso gerou discussões enriquecedoras em torno do trabalho com resolução de
problemas e sobre como enunciados de problemas podem levar a diferentes
interpretações. Nós utilizamos esse tipo de estratégia a fim de provocar as
professoras para narrarem suas experiências durante, contribuindo para

discussões e reflexões das situações vivenciadas e adquirindo aprendizagem
por experiências, dando maior significado ao que foi vivido em sala de aula.
No encontro, pedimos que cada participante reescrevesse o problema do
telefone com outros valores, modificando algumas informações e/ou perguntas.
A seguir, apresentamos os problemas que elaboramos e algumas discussões
que fizemos sobre as novas propostas. Essas discussões representaram
aprendizagens de conhecimento pedagógico matemático e conhecimento
matemático pelas participantes.
A primeira proposta de reescrita do problema do telefone apresentada pela
professora Beatriz foi a seguinte:
Numa estrada há 5 telefones distribuídos em distâncias iguais. Se a estrada tem
125 quilômetros qual é a distância entre os telefones? (Beatriz, 19/mai/08)
Levantamos alguns questionamentos: Será que está claro o que significa
telefones distribuídos em distâncias iguais? A estrada começa com um telefone
(km zero) ou este é colocado num ponto posterior ao início da estrada? As
distâncias são iguais apenas entre eles ou em relação ao início e ao fim da
estrada, também temos que analisar? Se colocássemos um desenho ficaria
mais claro para o leitor do problema?
Conversamos um pouco sobre os questionamentos e, ao longo de nossas
discussões, a professora Beatriz reformulou seu problema, pensando em
facilitar o entendimento de quem o ler. Com as modificações, o problema de
Beatriz ficou da seguinte forma:
186
Numa estrada há 5 telefones distribuídos em distâncias iguais. Se a estrada tem 125 km
determine:
a) Qual é a distância entre os telefones?
b) Se o primeiro telefone estiver no início da estrada, em quais quilômetros estarão
os outros? (Beatriz, 19/mai/08)
Ela não gostou da sua reescrita do problema e acreditava que o poderia
melhorar, para ficar mais compreensível. Com questionamentos apresentados
e outros argumentos, concluímos que nem sempre é fácil elaborar problemas

ou reescrever um que já temos. Pedimos às outras professoras que também
apresentassem suas reescritas. O problema da professora Susana ficou da
seguinte forma:
Numa estrada de 500 km há 10 telefones de socorro. As distâncias entre eles são
iguais. Em que quilômetros estes telefones estão localizados sabendo que eles
começam no quilômetro 10? (Susana, 19/mai/08)
Foram interessantes os comentários da professora, pois ela apresentou o
problema e já iniciou uma explicação de como ela resolveria. Susana disse que
colocou 10 telefones para a conta ficar mais fácil, pois 500 divididos por 10 é
igual a 50. Reiniciamos a discussão quanto aos números de telefones ou dos
espaços entre eles. Solicitamos à Susana que nos respondesse como tinha
pensado, ela exemplificou com um desenho semelhante ao reproduzido a
seguir. A nosso pedido, a professora Susana desenhou a estrada e marcou os
500 km (traços na parte superior do desenho) e depois foi colocando os
telefones a partir do km 10 e distribuiu-os de 50 em 50 km (traços mais grossos
abaixo da linha horizontal).
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 km
10 60 110 160 210 260 310 360 410 460
Na fala da professora Susana ela queria que o último telefone ficasse no fim da
estrada, mas não foi isso que ocorreu. Então ela acrescentou a sua explicação:
sobraram 40 km, logo 40 dividido por 10 é igual a 4, basta acrescentar 4 em
cada distância entre os telefones. Levantamos outros questionamentos: Essa é
uma solução para o problema da forma como ele está escrito? O problema
possui outras soluções? Se a resposta for afirmativa, quais? Temos que
colocar mais alguma informação ao problema para que sua compreensão seja
a obtenção de uma única solução? Precisamos sempre de problemas com uma
única solução? Discutimos algumas dessas colocações e questionamentos e
percebemos que ao resolvermos problemas, queremos chegar a uma resposta
única. Será que isto é sempre possível? É necessário? Entendemos que não,
pois, podemos trabalhar com problemas que envolvam mais de uma solução,
187
ou que não tenha solução. Devemos desmistificar algumas crenças e

concepções em relação à resolução de problemas. Depois dessa discussão
ficou claro o porquê da frase do problema: “E também são iguais as distâncias
entre o começo da estrada e o primeiro telefone e do último telefone até o fim
da estrada.”
Os problemas apresentados pelas professoras Sandra e Lucia são os
seguintes:
Numa estrada de 180 km gostaria de colocar telefones a cada 30 km, sendo que o
primeiro fica no início da estrada e o último no fim da estrada. Quantos telefones
terão neste trecho de estrada? (Sandra, 19/mai/08)
Numa estrada de 630 km, há 11 telefones de socorro. As distâncias entre os
telefones são iguais. Sabendo que no início e no fim da estrada há telefone e que
no percurso todo, a distância entre um telefone e outro é a mesma, em que
quilômetros da estrada estão os 11 telefones? Qual a distância de um telefone
para o outro? (Lucia, 19/mai/08)
Conversamos sobre algo bastante comentado conosco pela professora Vânia:
a diferença entre as diversas maneiras de reescrever um problema e as
dificuldades que podem surgir dos diferentes níveis de organização mental
necessária à reelaboração dos problemas; e inventar problemas nem sempre é
tarefa fácil, mas muitas vezes não temos consciência disso. O resultado foi que
cada professora pensou diferente, uma tentou modificar alguns indicativos
(profª Lucia), outra tentou modificar a pergunta (profª Sandra) e as outras
modificaram as quantidades e alguns indicativos (profª Beatriz e Susana).
Foi um exemplo de experiências vividas em sala de aula, com resolução de
problemas, que contribuíram para nossas discussões no grupo de estudos.
Com exemplos desse tipo, sentimos a riqueza e amplitude de discussões que
podem gerar situações vivenciadas em sala de aula. e como podem contribuir
para a construção de aprendizagens sobre conhecimentos pedagógicos
matemáticos e sobre o ensino e aprendizagem de matemática.
Na nossa pesquisa, vivenciamos essas práticas e discussões para ajudar as
professoras a refletirem sobre suas práticas com resolução de problemas.
Realizando, assim, um trabalho mais produtivo com a formação de professores
conforme foi apontado por Chapman (1997) ao afirmar que :
188

189
Nós precisamos compreender o conhecimento do professor e o
significado pessoal de uma perspectiva mais ampla se nós quisermos
aprender deles para ser capazes de trabalhar com professores mais
eficientemente, particularmente em situações onde é necessário
ajudá-los a construir e/ou reconstruir as experiências pessoais deles
para aperfeiçoar e/ou mudar o ensino deles para refletir, por exemplo,
recomendações de reformas atuais. Logo, com uma contribuição
desta situação o intento é sugerir uma possível interpretação holística
de uma perspectiva do professor de ensino de resolução de
problemas e criar consciência do potencial desta interpretação como
uma base de pesquisas subseqüentes e programas de
desenvolvimento do professor sobre o ensino de resolução de
problemas (CHAPMAN, 1997, p. 204) 41 (tradução nossa).
Para entender nossa aprendizagem sobre avaliação e sua relação com o
ensino e aprendizagem de matemática colocamos o relato que segue. Beatriz
planejou um trabalho em sala de aula um dia após uma avaliação, em março
de 2008. É interessante destacar como atitudes utilizadas pela professora, tais
como, caminhar entre as carteiras, observando os trabalhos dos alunos e
dialogar com eles sobre o que registraram, puderam levá-la a uma reflexão que
influenciou na sua prática. Após observar durante a avaliação como seus
alunos da 4ª série (5º ano) resolviam um problema de divisão, com resto não
nulo e pensar sobre os questionamentos e comentários que aconteceram, a
professora Beatriz decidiu que precisaria retomar problemas que alguns alunos
tiveram dificuldades. Por isso, a professora iniciou uma das aulas observadas,
explicando que estava abordando, novamente, o assunto por causa da prova
realizada no dia anterior, onde tinha percebido que alguns não haviam
conseguido resolver uma das questões propostas. Disse também que
acreditava ter isso ocorrido pelo fato de alguns alunos não prestarem atenção
no enunciado e por quererem resolver os problemas apenas mecanicamente.
O problema da prova, que gerou essa reflexão e atitude por parte da
professora, possui algumas particularidades em sua interpretação. Na escrita
do problema, apenas uma das informações para sua resolução estava
41 We need to understand the teacher‟s knowledge and personal meaning from a broader perspective if we
are to learn from them to be able to work with teachers more effectively, particularly in situations where it
is necessary to help them to construct and/or reconstruct their personal experiences to enhance and/or
change their teaching to reflect, for example, current reform recommendations. Thus, as a contribution to
this situation, the intent of this paper is to suggest a possible holistic interpretation of teacher‟s
perspective of teaching problem solving and to create awareness of the potential of this interpretation as a
basis of further research and teacher development programs on teaching problem solving (CHAPMAN,
1997, p. 204).

presente, a outra deveria ser identificada na ilustração, conforme podemos
observar a partir da foto seguinte:
A solução do problema consiste numa divisão com resto não nulo. Como os
alunos procuraram resolver, utilizando apenas o algoritmo da divisão, alguns
tiveram dificuldades para determinar o que aconteceria com o resto. Segundo o
depoimento da professora, ela formulou algumas perguntas no momento da
avaliação para que as crianças fossem levadas a pensar sobre o problema.
Algumas das perguntas foram as seguintes: “todas as crianças irão? (era um
passeio)”; “não ficou nenhuma criança para trás?”; “Se você fosse o motorista o
que você faria?” Algumas crianças conseguiram resolver a questão, mas
apareceram as mais variadas respostas em relação ao resto como, por
exemplo: “um pai foi levar as crianças que sobraram”; “tiveram que voltar para
casa”; “coloca um a mais no último banco porque só tem dois alunos”. Mas
mesmo assim, alguns alunos não conseguiram resolver corretamente a
questão e ignoraram o resto da divisão. A partir da comprovação desse fato
pela professora, ela decidiu que deveria abordar novos problemas dessa
natureza para levantar alguns questionamentos com os alunos e ajudá-los a
interpretar e resolver problemas de divisão com resto não nulo. Nessa situação
ao tentarem apenas utilizar o algoritmo da divisão algumas crianças se
desligaram do contexto da situação e apenas se preocuparam em resolver a
operação. Reparamos que o caso é bem diferente do que relatamos na
primeira situação, em maio de 2007, quando as mesmas crianças resolveram
os problemas de divisão, usando diferentes procedimentos e relacionando
sempre com o contexto proposto em cada problema.
Ele deveria que
dividir as
crianças e
grupos de 14
crianças, ele ia
separar mais o
que sobrou 8
crianças. Ele
deverá fazer 15
viagens.
190

Para a professora, esse tipo de problema era simples e os alunos não teriam
empecilhos ao resolvê-los; ela se impressionou com as respostas e as dúvidas
dos alunos, pois não entendia porque eles tinham tanta dificuldade em analisar
o resto. Esse fato contribuiu para seu aprendizado em relação ao
conhecimento dos alunos. Ela acreditava, como muitos professores, que ao
ensinar problemas de divisão, os alunos já saberiam quando tinham que
analisar o resto e quando não era necessário. Isso é identificado em pesquisas
sobre resolução de problemas de divisão, Saiz (1996) comenta na conclusão
de uma pesquisa dessa natureza que:
191
As crianças carecem de recursos para reconhecer se sua solução é
errada ou não. Na realidade, não chegam a analisar se o número
obtido é o resultado do problema. O quociente obtido pela aplicação
do algoritmo nem sempre coincide com o número procurado: a partir
dele é necessário proceder a uma escolha levando em conta o
problema concreto por resolver (SAIZ, 1996, p. 170).
Nessa aula, a professora colocou o seguinte no quadro: Copie, pense e
resolva: Em uma excursão, uma escola precisa levar 467 alunos. Ela contratou
um ônibus que pode levar até 40 crianças. a) Quantas viagens deverão fazer
para levar todas as crianças, sabendo que, no máximo, só poderá levar 1 a
mais? b) E se fossem 2 ônibus? c) Você acha que isso seria possível? Por
quê? Ela nos explicou que pensou num problema similar ao da prova, mas com
uma dificuldade maior, já que poderia ter um tempo maior para discuti-lo com
os alunos, em sala de aula. Por esse motivo, ela colocou números maiores,
tanto no total de alunos como em cada parte a ser levada pelo ônibus, e
colocou ainda a questão que poderia levar uma criança a mais em cada
viagem.
É interessante destacar as diferentes formas de intervenção utilizada pela
professora para instigar os alunos a pensar e de fato refletir sobre o problema.
Depois de dar um tempo para cada um copiar no caderno e pensar em que
estratégias usariam, ela pediu para que os alunos lessem com os olhos
acompanhando sua indicação com o dedo no quadro. Ela também pediu para
que alguns alunos comentassem com suas palavras o que tinham entendido. É
uma estratégia bastante utilizada pela professora na resolução de problemas,

principalmente com os alunos que possuem dificuldades. Logo depois, ela
iniciou alguns questionamentos: vamos pensar do jeito que deveria ser na
realidade... Primeiro o ônibus leva 40 crianças, depois mais 40... e assim vai...
Que conta é essa que vamos fazendo grupinhos? Alguns alunos responderam
que seria a divisão. Outros falaram que o ônibus poderia levar 40 ou 41
crianças, mas um deles disse que não fazia diferença, pois o número de
viagens seria o mesmo. Como desdobramento da conversa coletiva, alguns
alunos conseguiam resolver o problema, mas ainda não conseguiam entender
a importância de se analisar o resto. Por isso, a professora Beatriz colocou,
oralmente, outra questão para tentar esclarecer o tópico. A questão era a
seguinte: imaginem se eu tivesse 59 balas em meu armário (eu não tenho),
mas se eu tivesse e quisesse distribuir entre os meus 26 alunos presentes
hoje... Eu vou dar 2 balas para cada um e sobram 7 balas. O que posso fazer
com estas balas? Sortear, guardar, ficar para mim... mas as balas existem, não
posso esquecê-las. A professora esperava que, com o exemplo, os alunos
conseguissem resolver o problema inicial, pensando no resto.
Depois dessa orientação, ela pediu para que alguns alunos fossem ao quadro
mostrar como tinham resolvido, explicando sua solução. A professora Beatriz
trabalha dessa maneira e consegue fazer com que os alunos valorizem suas
diferentes formas de resolução e saibam argumentar sobre o quê e como
fizeram. Em alguns momentos, os alunos não conseguem explicar direito o
porquê, fazem de determinado jeito e outros colegas ajudam, tentando explicar
as soluções. Identificamos no caso do aluno G, que apresentou a seguinte
resposta:
467 |40 27
-40 11 - 11 R: 12 viagens.
067 16
- 40
27
A professora questionou-o sobre a operação 27–11, porém ele não soube
responder por que tinha feito assim e a que resultado tinha chegado. A aluna C
explicou que essa subtração era se acontecesse do motorista levar 1 criança a
192
mais em cada viagem, já que sobraram 27 alunos e o motorista já tinha feito 11

viagens, mas que não adiantaria, pois ainda sobrariam 16 alunos. Assim
sendo, ainda precisaria fazer mais uma viagem, totalizando 12 viagens em
qualquer uma das situações, levando 40 ou 41 crianças. Outros alunos
realizaram as duas divisões, por 40 e por 41, verificando que sobrariam
crianças em ambas, sendo necessárias 12 viagens.
Outra atitude da professora a qual valorizamos e queremos destacar foi a
aplicação numa prova posterior a esse episódio, de outro problema que
envolvia a ideia de análise do resto de um problema de divisão. A professora
consegue avaliar se sua estratégia de retomar os problemas não solucionados
pela maioria dos alunos foi adequada. Porém, ela conseguiu na nova versão
pedir para eles representarem por escrito suas ideias de solução. Foi outra
estratégia metodológica discutida nos encontros do grupo. Colocamos, abaixo,
a questão da prova e uma resposta de um aluno selecionado.
Questão 7 da prova de maio/08
Figura 9 – Exemplo de questão da prova de Beatriz que envolve escrita – aluno A
Resposta deste aluno: “Irá 23 crianças sentadas e + 5 crianças espremidas e
no outro ônibus irá 23 crianças sentadas e + 6 crianças espremidas”
A professora, novamente, apresenta em sua prova um problema, como o
trabalhado, no qual os alunos deveriam identificar o que seria feito com o resto.
As nossas discussões nos grupos fizeram com que ela refletisse sobre como
desenvolver e analisar o mesmo raciocínio em diferentes momentos de sua
aula de matemática.
Outro fato que podemos abordar foi o de alguns alunos terem inventados
193
problemas de divisão com resto com a ideia de passeio e ônibus que deveriam

separar. Ideias parecidas com as trabalhadas em sala de aula, normalmente,
acontece quando pedimos aos alunos para inventarem problemas.
Figura 10 – Questão da prova sobre elaboração de problemas – resposta aluno C
54 alunos vão a um parque. A escola alugou um ônibus que tem capacidade para 32
alunos. Quantas viagens o ônibus terá que fazer? Vão sobrar alunos? Quantos?
R: O ônibus vai fazer 2 viagens. Na segunda irá levar os 22 alunos que sobraram.
Trabalhar com diferentes representações, também, foi uma abordagem da
professora Beatriz. Ela valorizava sempre as diferentes formas de soluções dos
alunos e encorajava-os a buscar outras formas de representar ou que
analisassem como os colegas haviam respondido. Por considerar que essa
forma seja adequada para se trabalhar com alunos é que concordamos com
Nunes et al. (2005), quando afirmam que
194
[...] os professores precisam encontrar maneiras com que os alunos
registrem suas estratégias de resolução de problemas para que elas
possam ser discutidas, validadas e comparadas entre si. A explicação
do raciocínio ajuda o aluno a compreender melhor suas próprias
estratégias e ajuda o professor na tarefa de oferecer feedback e
propor situações que levem o aluno a novas formas de abordar o
problema (NUNES et al., 2005, p. 68).
Muitas atividades realizadas com os alunos de Beatriz contribuíram para
reforçar essa afirmação de Nunes et al. (2005). Nossa aprendizagem do
conhecimento pedagógico matemático foi reforçando cada vez mais com tais
situações. Essa situação levou-nos a apresentar um artigo no 2º Seminário
Internacional de Pesquisa em Educação Matemática – 2º SIPEMAT/2008
(SILVA; SANTOS-WAGNER, 2008).

Resolução de problemas em aulas de Susana
A professora Susana, desde os encontros iniciais explicitou, por meio de suas
falas, seu „bloqueio‟ com a divisão. Em um de seus relatos sobre suas
memórias (seção 5.1), enquanto aluna de matemática, ela afirmou que teve
dificuldades em aprender a dividir. O episódio da sua vida escolar interfere na
sua prática de sala de aula, e transparece em certas atitudes de Susana. Por
exemplo, em uma aula de Susana (13/ago/07), a professora Sandra inventou
alguns probleminhas de adivinhações para os alunos, conforme tinham
comentado no grupo, na semana anterior. As adivinhações eram as seguintes:
a) Sou um número par maior que 120 e menor que 130. A soma dos meus
algarismos é 11. Que número eu sou?
b) Sou um número impar menor que 200. Meu algarismo da dezena é 3 e a soma
dos meus algarismos é 9. Que número eu sou?
c) Sou um número ímpar. Estou entre 40 e 50. Sou divisível por 3. Qual número eu
sou?
No encontro do grupo de estudos, a professora Susana comentou sobre essa
atividade e disse que a professora Sandra „pegou pesado‟ com a última
adivinhação. Susana falou com a outra participante: “O último problema foi
mais difícil, pois eu não gosto de divisão”. Nesse momento, a professora
Sandra interveio e perguntou se ela tinha percebido o que havia feito em sala
de aula. A professora Susana não percebeu que disse aos seus alunos: "Agora
prestem atenção, pois chegou a parte mais difícil da minha aula." (Susana,
13/ago/07). Ela não percebia, mas em algumas de suas afirmações em sala de
aula deixava transparecer sua concepção de que divisão é difícil,
possivelmente influenciando as concepções de seus alunos em relação à
divisão. A professora Susana analisou sua colocação e disse que prestaria
mais atenção às suas afirmações em sala de aula.
Apresentamos, a seguir, um exemplo de nossas análises iniciais e discussões
no grupo de estudos sobre um acontecimento ocorrido na sala de aula da
195
professora Susana no dia 03/mar/08. Tentamos revelar nossas primeiras

análises a partir da descrição da aula na qual a professora dava continuidade
ao trabalho realizado com a “oficina do material escolar”. Susana aproveitou
algumas situações e alguns problemas, envolvendo as quatro operações,
inventados por seus alunos para abordar conceitos matemáticos sobre
números, que ela julgou necessários e pertinentes para a compreensão dos
números decimais e suas operações.
Em nossas análises iniciais, sentimos necessidade de estarmos desenvolvendo
discussões mais aprofundadas no grupo de estudos sobre a multiplicação pelo
número 10 e sobre a representação decimal. Destarte, no encontro do grupo do
dia 03/mar/08, mesmo dia da observação da aula, voltamos a questionar sobre
esses assuntos. Nossa proposta era de levantar questionamentos para
provocar a reflexão crítica, uma reflexão sobre a ação (SCHÖN, 2000) e
conseguir entender os procedimentos adotados pela professora ao desenvolver
a atividade.
Durante a aula de matemática citada, ocorreu um fato que nos chamou a
atenção. A professora Susana propôs o seguinte problema para seus alunos:
Anny Gabrieli comprou na papelaria 2 cadernos de R$ 2,00 cada, 1 cx de lápis de
cor por 2,00, estojo de canetinhas pelo mesmo preço, apontador e borracha por
1,00 cada, 1 régua por 1,50 e lápis por 50,00. Como você faria uma tabela disso?
No momento da aula, ficamos em dúvida sobre o motivo que levou a
professora Susana a colocar o preço do lápis como R$ 50,00. Em outro
momento, ela comentou que colocou, de propósito, o valor de 50,00 para o
lápis, pois havia utilizado alguns dados apresentados por seus alunos, em
outra atividade. Na ocasião, a professora Susana notou que uma de suas
alunas havia colocado o valor de R$ 50,00 para o lápis e decidiu utilizar nesse
problema para levantar os questionamentos sobre a lógica do preço e da
escrita. Ela compreendeu, durante o desenvolvimento da atividade anterior,
que oralmente sua aluna tinha falado cinquenta centavos, mas tinha escrito
cinquenta reais (50,00). Utilizar essa forma de escrita num problema seria uma
situação provocadora e interessante, para levantar algumas discussões com
seus alunos.
196

Durante a aula, quando os alunos começaram a ler e copiar o problema
proposto pela professora também começaram a questionar o valor do lápis,
comentando inclusive que somente um lápis de ouro poderia custar aquele
valor. A aluna, que tinha escrito isso na tarefa, explicou que ela queria ter
escrito 50 centavos e não 50 reais. A professora Susana aproveitou a situação
para questionar seus alunos sobre como deveriam escrever 50 centavos.
Algumas propostas foram colocadas por eles, dentre as respostas, destacamos
a do aluno que disse que deveria ser 00,50. Nesse momento, a professora
perguntou se haveria necessidade de escrever dois zeros antes da vírgula.
Outro aluno observou que o zero deveria ser colocado após o 50 ficando 0,500.
Logo, a professora Susana iniciou alguns questionamentos sobre a fala do
aluno: “colocar outro zero depois do 0,50?”. Ela comentou que ficariam 500
centavos, o que assustou alguns alunos que perguntaram se com 500 centavos
daria para comprar alguma coisa. A explicação dada pela professora foi que
500 centavos correspondem a 5 reais, logo dava para comprar alguma coisa.
Além disso, ela afirmou que 500 centavos poderiam ser pensados como 500
moedas de 1 centavo. Assentou também que 1 centavo corresponde a 1
centésimo de 1 real, isto é, poderíamos repartir 1 real em 100 pedaços e 1
desses representa 1 centavo.
Foi interessante acompanhar o pensamento da professora, a partir dos 500
centavos e como ela conseguiu articular alguns conteúdos na abordagem.
Ficamos incomodados com a escrita dos 500 centavos, que não foi abordada
pela professora, sabíamos que 0,500 não representa o valor de 500 centavos.
Por causa dessa inquietação, no encontro do grupo de estudos, aproveitamos
a oportunidade para conversar, discutir e verificar sua justificativa e sua
explicação para o fato de que não estava bem explicado: se 0,500 corresponde
a 500 centavos.
Seguindo a proposta de trabalho do grupo nesse mesmo dia (03/mar/08),
começamos alguma discussão comentando com os demais participantes, os
acontecimentos ocorridos durante as aulas. Então, a professora Susana repetiu
197
seu pensamento em relação à representação dos 500 centavos. Aproveitamos

para levantar alguns questionamentos e perguntamos à professora, pois
pensava que 0,500 significava 500 centavos. Ela respondeu que era porque
tinha acrescentado um zero e mostrou outro exemplo de que 0,10 se
transformaria em 100 centavos. Para a explicação, ela realizou a seguinte
multiplicação:
0,
10
10 logo, 100 centavos;
0,
100
Na ideia da professora Susana, acrescentar um zero ao final de um número é o
mesmo que multiplicar por 10, tanto que ela fez a multiplicação por 10 quando
queria nos mostrar que 0,10 acrescido de um zero ao final, ficando 0,100
seriam os 100 centavos. Discutimos sobre a sua multiplicação e o valor da
vírgula, ela sabia que dava 1 real (1,00) mas não tinha conseguido observar
isso na sua operação. Assim fomos desconstruindo algumas crenças e
percepções da professora sobre a escrita de números decimais e sobre a
multiplicação de um número por 10.
Pedimos para a professora Susana que escrevesse cinco centavos. A princípio
ela escreveu 0,5 e logo percebeu sozinha que essa representação
correspondia a 50 centavos e não a 5 centavos. Após, ela mesma escreveu
corretamente 5 centavos = 0,05. Aproveitamos para conversar sobre os
milésimos que, em algumas ocasiões, aparecem na nossa vida, como por
exemplo, nos postos de gasolina que utilizam os milésimos para o preço dos
combustíveis (ex.: 2,599) ou em competições esportivas como na natação que
a diferença entre os competidores é de milésimos de segundo. Também
discutimos, a partir desse evento, questões relacionadas aos decimais: leitura
de números decimais, correspondência de valores (ex.: 3,02 = três unidades de
real e 2 centavos, que por sua vez era igual a 302 centavos), multiplicação de
um número por 10, acréscimo de zeros em um número decimal, dentre outras
coisas relacionadas ao nosso sistema monetário. E conseguimos ajudar a
professora Susana a (re) construir alguns conceitos sobre esses assuntos.
198
Nossas aprendizagens sobre os conhecimentos matemáticos estavam sendo

construídas, além das relacionadas as avaliações sobre as aprendizagens dos
alunos.
É importante destacar como se faz necessário estarmos observando algumas
regras que são apresentadas nas escolas, no caso, a multiplicação de um
número por 10, 100 ou 1000. Normalmente, apresentamos uma regra prática
com a qual afirmamos que, nesses tipos de multiplicações, apenas devemos
acrescentar zero(s), um, dois ou três (dependendo da multiplicação) ao final da
escrita do número. Em que situações isso é verdade? O que significa
acrescentar zeros? Será que nós, professores de matemática, formadores de
professores estamos dando atenção devida a esse tipo de colocação? Será
que acreditamos que isto é algo simples e que não precisa ser explicado? São
perguntas que nos levaram a refletir.
O pensamento da professora sobre o acréscimo de zeros não estava errado,
se estivéssemos trabalhando com números inteiros, mas reconhecemos que
ela conhecia a regra, mas não sabia em quais situações poderia utilizar.
Naquele encontro e, posteriormente, acreditamos que ocorreu (re) significação
do conteúdo matemático e da forma como trabalhamos o assunto em sala de
aula para as participantes. A professora Vânia ligou para a casa da professora
Lucia, durante esse encontro, e conversou conosco sobre algumas das
questões relacionadas ao assunto.
Em suas falas posteriores, a professora Susana disse ter entendido que a regra
prática de acrescentar zeros à direita devia ser analisada melhor. Disse,
também, que percebeu que em números decimais acrescentar zeros não
significa mudar de valor, na verdade seria somente escrever a mesma coisa de
diferente forma. E que, principalmente, os números decimais precisam ser
tratados com mais cuidado, coisa que ela ainda não se tinha preocupado.
As professoras Lucia, Vânia e Sandra aprenderam que algumas regras simples
podem confundir quem não entende seu funcionamento, ou não presta atenção
às restrições da regra, ou ainda não percebem a relação existente entre a
199
matemática e a língua materna. Entenderam que acrescentar zeros possui

significados diferentes nos diferentes contextos. Além disso, nós concluímos
que algumas pessoas não possuem clareza do trabalho com números decimais
e que a forma como ensinamos determinados assuntos aos alunos podem
influenciar o entendimento deles em relação ao conteúdo. Até mesmo levar-nos
ao erro, caso realizamos afirmações, em particular de regras ditas „práticas‟,
sem o devido cuidado. A professora Vânia nos chamou atenção para a
necessidade de relacionarmos os significados matemáticos associados aos
significados da língua materna.
O episódio nos mostra como foram ricas as discussões no grupo de estudos de
situações que aconteciam em sala de aula. Aprendemos umas com as outras
que o processo de pensamento e desenvolvimento de determinadas operações
é muito mais complexo do que pensamos. Refletir sobre situações práticas, em
aulas de outros professores, proporcionou-nos ampla reflexão crítica sobre o
fato ocorrido e sobre nós mesmas enquanto professoras e aprendizes. Um fato
ocorrido no final de 2008 nos chamou a atenção a situação que relatamos. Em
um momento de reflexão sobre nossas aprendizagens ao longo desses dois
anos e quatro meses de participação no grupo de estudo, a professora Susana
lembrou-se dos 500 centavos. Começou a questionar outras situações e
confessou que não tinha compreendido, totalmente, a multiplicação com
números decimais. Susana afirmou que compreendeu que 500 centavos
representavam 5 reais, mas que ainda não tinha entendido, completamente,
sobre o assunto. Iniciamos uma discussão e fomos provocando a professora
Susana para que pudesse (re) construir e aproveitar as ideias estruturadas
sobre operações com números naturais, para construir ideias de operações
com números decimais. Concluímos que, numa formação continuada, é
importante dar voz ao professor e retomar questões discutidas anteriormente.
Portanto, acreditamos numa formação em que os professores se sintam
parceiros e „amigos críticos‟. Onde não é vergonha dentro do grupo profissional
fazer perguntas sobre alguns conhecimentos matemáticos, relações sobre
diferentes conhecimentos matemáticos e sobre conhecimento pedagógico
matemático. Somente, assim, é que terão liberdade para exporem suas
200
dúvidas da forma como aconteceu com nosso grupo. Mostramos que estamos

trabalhando na perspectiva de formação junto com as professoras (SANTOS-
WAGNER, 2003; LLINARES e KRAINER, 2006), conforme tínhamos proposto.
5.2.2 Geometria
A geometria esteve presente em muitas discussões e também organizamos
muitos estudos sobre o tema (BROITMAN; ITZCOVICH, 2007; CLEMENTS;
BATTISTA, 1992; FRAGA, 2004; NACARATO; PASSOS, 2003; PAVANELLO,
2004). As pesquisas demonstram que professores, por não terem aprendido
geometria enquanto estudantes, possuem, certa insegurança, ao lidar com o
assunto em sala de aula (PAVANELLO, 2004). As professoras Susana e
Beatriz não tinham estudado geometria enquanto aprendizes. A professora
Beatriz por ter feito ensino fundamental a distância, e Susana por ter visto
superficialmente, em sua formação básica, porém não lembra muita coisa.
Comentamos que Sandra e Lúcia influenciaram debates e estudos sobre
geometria. Exemplificaremos isso, colocando na primeira parte desta seção
algumas das discussões ocorridas no grupo de estudos. Depois,
descreveremos parte da repercussão nas aulas de matemática das professoras
Beatriz e Susana.
A geometria nos encontros do grupo de estudos
Desde o inicio dos encontros, entendemos que as professoras comentavam
muito sobre resolução de problemas e as quatro operações fundamentais, mas
falavam pouco em geometria. Isso fato confirma nossa afirmação acerca de
201
suas crenças iniciais sobre matemática, na qual a geometria estava ausente.

Como professora e pessoa que gosta muito de geometria me sentia
incomodada com essa ausência da geometria nos nossos debates. Em 2007,
no 6º encontro (19/mar/07), tivemos algumas discussões iniciais sobre a
geometria e por que ela não estava presente nas aulas de matemática de
alguns professores, inclusive nas aulas de Beatriz e Susana. O diálogo, a
seguir, foi realizado após discussão sobre „o que é matemática para você?‟ 42 .
Depois de algumas discussões, provocamos questionamentos sobre por que a
geometria não aparecia em algumas de nossas definições sobre a matemática,
foi o momento inicial de discussões aprofundadas sobre a ausência da
geometria nos debates do grupo de estudos.
Eu: [...] Mas a gente ou vocês sentiram falta de alguma coisa, quando vocês
colocaram aí?
Susana: Faltou a comparação com outras, como base...
Eu: Mais o que?... Uma coisa que nenhuma das duas colocou... Eu coloquei, mas
de forma aberta, e foi de certa forma até bom. O que ainda não está claro na
nossa definição de matemática... Você (Susana) falou em desafio, quebra cabeça,
básico, porcentagem, decimais, problemas... o que não apareceu ainda? A Beatriz
falou em quantias, quantidades, cálculo, mas o que não apareceu ainda?
Susana: Falei em raciocínio lógico, geometria...
Eu: Falou agora...
Susana: Falei em geometria, tanto que eu não dava tempo de ensinar.
(transcrição da gravação de áudio de 19/mar/07)
Realmente, a professora Susana tinha comentado que não ensinava
geometria, pois não dava tempo. A falta de tempo foi o motivo por „abandonar‟
a geometria em suas aulas, confirmando outra visão de senso comum entre
muitos professores, quando se referem à ausência de geometria das suas
salas de aulas (FRAGA, 2004; LORENZATO, 1995; PEREZ, 1995). Não
percebemos o comentário anterior dela sobre geometria, mas mesmo assim
não reconhecíamos que em nossas definições aparecia a geometria
explicitamente.
Eu: Falou quando estava antes, mas na definição ninguém falou das formas, que é
a ciência que nos ajuda a entender as formas. Eu apenas coloquei a questão da
42 Esse diálogo com as respostas a essa pergunta está na seção 5.1.1
202

eleza do mundo, eu coloquei assim: organizar e entender o mundo... Mas
porque não está claro isso? Porque não está clara a geometria na nossa
cabeça?
Beatriz: Chegou aonde eu queria. Eu nunca trabalho muito a geometria.
Susana: Num dá tempo,... Dá tempo Beatriz?
Beatriz: [...] É coisa para pensar. O máximo que eu trabalho é o perímetro e
área.
Susana: Acabou, é isso... Eu nem isso trabalhei.
(transcrição da gravação de áudio de 19/mar/07)
As professoras concordaram com a colocação sobre a ausência da geometria nos
nossos comentários. Beatriz iniciou uma abertura, pois demonstrou que estava
disposta a discutir sobre o assunto. Reconheceu que trabalhava o mínimo e citou
apenas os conteúdos de perímetro e área como aqueles que são trabalhados por ela,
em relação à geometria. Novamente, Susana falou sobre o tempo não permitir o
trabalho com a geometria e reconheceu que nem os conteúdos de perímetro e área
ela trabalhava em suas aulas de matemática. Continuando o diálogo, tivemos uma
discussão de como poderíamos abordar geometria, juntamente, com outros conteúdos
matemáticos.
Eu: Mas as vezes, a gente acha que não dá para trabalhar, lembra aquele
problema dos palitos, que é para fazer as continhas na seqüência e para ver
quantos palitos vai gastar? Querendo ou não a geometria está por trás. Se você
fizer de palito de fósforo.
Susana: Eu sei, você tem que remover alguns palitinhos para formar tantos...
Beatriz: Eu vi que estes dias a professora de artes ela estava trabalhando com
eles formas de figuras, eu quero ver o que ela abordou para aproveitar, eu
achei legal aquilo.
(transcrição da gravação de áudio de 19/mar/07)
Essa atitude de predisposição em buscar alternativas para o que estava sendo
discutido de forma a levar para a sala de aula da professora Beatriz foi bem
comum durante o nosso estudo. A partir da ideia proposta, ela já pensava em
caminhos para buscar alternativas de trabalhos. Isso pode ser visto na frase
dela anteriormente, quando lembra o trabalho da professora de artes sobre as
figuras, e como ela poderia aproveitar o início de abordagem da geometria. A
postura da professora Susana era diferente, precisava se convencer de que
estávamos propondo algo importante e que valia a pena ser trabalhado em sala
203
de aula. Ela tinha que assimilar a importância da geometria para ela,

primeiramente, para depois levar a seus alunos alguma atividade, abordando
esse conteúdo.
Na continuidade do diálogo, após uma interrupção de outras conversas que
apareceram, mostramos um pouco do porque escolhi estudar geometria no
mestrado e das minhas análises sobre nossas atitudes, enquanto professores
de matemática em relação à geometria.
[...]
Eu: A questão da geometria tem que... É uma coisa... Porque a gente diz que
não dá tempo de trabalhar?
Susana: dá sim...
Eu: É porque a gente quer trabalhar separada.
Susana: Exato, no contexto dá para trabalhar. É isso que eu ia falar.
Eu: Mas a gente não aproveita o contexto. Quantas vezes que a gente não
aproveita o contexto para trabalhar. Por exemplo: por que a gente não aproveita
para trabalhar quanto estamos trabalhando frações? Da para trabalhar com
tanta geometria... Por que não trabalhar outras coisas enquanto a gente trabalha
com problema que envolva perímetro, pois eles têm que saber a definição de
perímetro... E isso é uma coisa... Num é de vocês não. Pra mim também foi Mia
difícil enxergar a geometria. Para mim hoje é mais fácil, porque eu me apaixonei
por geometria. Tanto que minha dissertação é sobre geometria. Mas tem muita
coisa legal de geometria que dá para trabalhar com os meninos quando estamos
trabalhando com outras matérias. E quando a gente fala da definição de
matemática isso me incomoda de tal maneira que, por exemplo: Porque eu
estudei a geometria no meu mestrado? Um dos motivos é que meu aluno do
ensino médio perguntou quando íamos estudar matemática novamente quando
estávamos trabalhando geometria. Para ele geometria não era matemática. Mas
na nossa definição, a gente não inclui geometria na matemática. E se a gente
fala pro menino que matemática é só para fazer cálculo e contar, e não
coloca a questão das formas. Nós estamos excluindo a geometria da
matemática, continuamos a excluir.
Susana: É porque a gente não explora isso...
Beatriz: Bem lembrado, eu já tinha percebido no que eu faço. A gente não
prioriza a geometria.
Susana: Exatamente, falou bem, usou a palavra certa, a gente não prioriza. Ou
então não sabe aproveitar o que tem do aluno. Desenho por exemplo, esse
desenho aqui é o que: é um retângulo? É um quadrado? Por que é um quadrado?
(transcrição da gravação de áudio de 19/mar/07)
Na minha fala ficou esclarecido o quanto concepções e crenças de um
204
professor podem influenciar nas escolhas que faz sobre os conteúdos a serem

trabalhados, sobre o tempo gasto com cada atividade e como isso influencia
sua prática em sala de aula (PONTE; CHAPMAN, 2006). A provocação gera
diferentes reflexões por parte das professoras Susana e Beatriz. Por um lado, a
professora Beatriz comentou que já tinha iniciado uma reflexão sobre o
assunto, e chegou à conclusão que não priorizava a geometria em suas aulas
de matemática. Por outro, a professora Susana concordou e começou a dar
exemplos de como poderia aproveitar melhor o que já é trabalhado, para
abordar alguns conceitos geométricos.
Eu: Você quer ver, dá uma volta com ele pela escola para ele identificar a
geometria, mais lugares que tem as diferentes formas. Isso é bom para eles
perceberem. Isso aqui [codificação] é uma forma de olhar a geometria. Porque tem
que ter o raciocínio visual. Ele tem que ver as formas, isso é um trabalho que
envolve conceitos geométricos. É o que falo, a gente trabalha, mas nem sempre
tem a noção que está trabalhando. E a gente tem que ter essa noção para
poder chamar a atenção, porque [...] quando você trabalha estas formas com
seus alunos e pedir para eles identificarem as diferenças eles começam a ter a
percepção visual. A questão de desenhar o mapa é questão visual. Se eles
não têm essa percepção fica mais difícil a geometria. [...] é legal também pedir
para eles desenharem a casa deles, sai cada casa que a gente morre de rir... eu
gostava de fazer isso quando trabalhava com a 5ª série... Sai casa sem porta, sem
janela, aí eu brinco que ninguém pode entrar. Pode usar o papel quadriculado
que fica mais fácil.
Susana: (cantando) Era uma casa muito engraçada...
[...] (transcrição da gravação de áudio de 19/mar/07)
Colocamos alguns exemplos de como podemos desenvolver atividades simples
e trabalharmos a percepção visual. Pesquisas destacam que a visualização é
uma das primeiras habilidades geométricas que as pessoas adquirem. O
objetivo, no momento, era levar as professoras a refletir que elas podem
trabalhar geometria em suas aulas de matemática e em outros conteúdos,
como o caso da construção e interpretação de mapas em geografia. Indiquei
alguns materiais que poderiam colaborar no trabalho com a geometria como
papel quadriculado para a representação da casa de cada aluno. A professora
Susana, normalmente, fazia suas ligações com outras coisas e começou a
cantar uma música, que pode ser trabalhada, ao fazer a representação da casa
com os alunos. Na continuidade do diálogo, eu tentei colocar um dos motivos
por que muitos professores não trabalham com a geometria.
205

Eu: Mas eu queria puxar para essa questão da matemática, quando a gente vai
trabalhar a matemática. E é essa visão que a gente passa para os alunos, a visão
que a gente tem é a que passamos para eles, sem querer. Porque se eu não
chamo atenção deles para certas coisas, aquilo vai passar...
Beatriz: Aí depois quando ele chegar vai lá à frente ele vai precisar e vai ficar...
Eu: Aí ele aprende a geometria com somente fórmulas, aquela coisa chata, e
aí detesta geometria. Lógico, só aprendeu as fórmulas, não aprendeu fazer
nada... Quando a gente chegar mais na frente vamos ver como trabalhamos.
Beatriz: Da maneira como nós a gente foi trabalhado... os cálculos, resolução
de problemas nunca foi discutido [geometria]... Pois na roça, todo mundo
sabe matemática de montão, né. O papai cobrava muito da gente.
Eu: Mas eles também sabem muita geometria, mas eles não passam. Por
exemplo, para medir, para saber a distância, como fica melhor uma cerca,
geometria...
Beatriz: Meu pai sempre gostou disso, queria muito aprender como fazer cálculo
de madeira,..., mas até hoje ele não sabe.
Eu: Mas é tão fácil [para cálculo de volume],... Basta multiplicar mais uma vez...
(transcrição da gravação de áudio de 19/mar/07)
A professora Beatriz fez uma reflexão sobre como aprendeu matemática e
como não tinha sido discutida a geometria na sua aprendizagem com seu pai.
Referimo-nos ao conhecimento da geometria das pessoas que trabalham com
plantações, mas que nem sempre é transmitida como um conteúdo escolar,
mas sim como conhecimento prático que as pessoas precisam ter para realizar
plantações e outras atividades próprias desses meios. Temos evidências, uma
vez mais, de que a aritmética acabou sendo mais valorizada que a geometria.
Eu: Por exemplo, o diâmetro da circunferência, dá para trabalhar com eles.
Medindo com cordas...
Susana: Num tem um negócio de “pi” [π]?
Eu: Tem sim, é o comprimento da circunferência dividida pelo diâmetro. Dá para
trabalhar isso... Comprimento pelo diâmetro.
[...]
Eu: Vamos olhar nos encontros como a geometria está colocada no livro didático.
Susana: Olha, aí vou dizer que esse é um problema, se a gente for seguir o livro
didático fica ruim, pois no meu livro está no final [geometria]... Se for seguir o
livro não dá para trabalhar.
Eu: Mas vamos ver como está no livro didático e depois nós vemos o que vamos
fazer.
(transcrição da gravação de áudio de 19/mar/07)
206

Analisando o diálogo como um todo, constatamos que a geometria fica à parte
do planejamento das professoras Beatriz e Susana, Beatriz afirmou que
trabalha apenas com perímetro e área. Nos questionamos sobre os outros
conceitos geométricos abordados. E a construção desses conceitos pelas
crianças nas séries iniciais, como ficam? Isso vai ao encontro a minha pesquisa
de mestrado (FRAGA, 2004) onde pesquisei sobre geometria. Muitos
professores revelam que não ensinam geometria por falta de tempo e/ou por
estar no fim do livro. As falas de Susana não estão diferentes dessa
constatação e as de Beatriz mostraram que poucos conteúdos são trabalhados
em geometria. Em outros momentos vivenciados pelo grupo, verificamos que a
questão da geometria estava além de apenas não ser trabalhada, mas
consistia num obstáculo epistemológico para as professoras em certo sentido.
Elas tinham dificuldades com alguns conceitos e, por esse motivo, não
trabalhavam geometria com seus alunos de modo satisfatório.
Em encontros posteriores algumas atividades sobre geometria foram levadas
para o grupo. Trabalhamos a questão das vistas superior, lateral e frontal,
utilizando caixas de fósforos e alguns outros conceitos que serão
apresentados. Os trabalhos ajudaram nas discussões sobre conceitos que
envolvem a geometria e para compreensão do quanto precisamos realizar esse
tipo de discussão com outros professores, para que o ensino da geometria
aconteça de forma satisfatória em nossas salas de aula.
Num outro momento, durante o 10º encontro (07/05/07), a professora Beatriz já
tinha iniciado o trabalho com geometria. Ela se sentiu à vontade para afirmar
que estava com dúvidas e para nos perguntar. Isso gerou um debate
interessante que levou à discussão de várias ideias diferentes.
Beatriz: Agora eu comecei trabalhar geometria, pois às vezes a gente costuma
deixar para o final, mas nem sempre trabalhamos direito.
Vânia: E às vezes não dá tempo, né.
Beatriz: Desta vez, eu estou querendo fazer diferente. Só que eu percebi que a
gente não tem certos conceitos bem formados.
Vânia: Quais, por exemplo? Você acha que não temos bem formados.
Beatriz: O livro traz alguns conceitos.
207

Vânia: Mas só para dar alguns exemplos.
Beatriz: Por exemplo: essa atividade propõe para que os alunos identifiquem
figuras cujas linhas não se cruzam. Ai eu fiquei na dúvida.
Sandra: Tem alguns livros aqui, talvez ajudem...
Vânia: Vê se você acha alguma atividade parecida...
Susana: Eu sempre me esqueço de trazer meu livro.
(transcrição da gravação de áudio de 07/mai/07)
Percebemos que nossa conversa com as professoras, em encontros anteriores
estava surtindo efeitos, Beatriz fez uma reflexão sobre como abordava a
geometria em suas aulas e decidiu modificar o quadro. No momento, a
professora Beatriz levou uma situação em que foi trabalhar com atividades no
livro que geraram dúvidas para ela mesma. Ela afirmou que existe muitas
vezes uma construção incompleta dos conceitos geométricos por parte dos
professores. Talvez esse seja o primeiro passo para a mudança de
comportamento do professor. Analisar seus pontos fortes e fracos e buscar de
diferentes formas a superação dos pontos fracos. No caso da Beatriz, ela pode
e teve abertura e coragem de se mostrar perante o grupo e pedir ajuda.
Vânia: E você Susana, já começou a trabalhar com geometria?
Susana: Ainda não. Por quê? Eu vou trabalhar geometria quando eu introduzir
o meu projeto do Lixo. Pois eu vi num livro que a Sandra trouxe que
trabalhava com sucatas para reciclar. O rolo de papel, de alumínio,...
Eu: É o livro do Lorenzato 43 , de laboratório de matemática..
Susana: tem a questão das latas, das caixas. Mas uma embalagem que sobre o
quadrado [forma de cubo] eu num sei de onde tiraria não. Eu tenho uma lá que
vou guardar a sete chaves.
Vânia: Mas em algumas indústrias de cosméticos você pode encontrar.
[...] (transcrição da gravação de áudio de 07/mai/07)
A professora Susana também iniciou um processo de reflexão sobre o ensino
de geometria, mas tomou outra decisão. Ela decidiu que iria iniciar o trabalho
com geometria dentro de outro projeto, sobre o lixo, que foi elaborado por ela,
juntamente, com a escola que trabalha e nós demos a ideia de trabalhar algo
43 LORENZATO, Sergio (org.). O laboratório de ensino de matemática na formação de professores.
Campinas: Autores Associados, 2006.
208

sobre geometria. Pois, sabemos que quando falamos em materiais recicláveis,
podemos abranger uma gama grande de sólidos geométricos de vários tipos.
Foi uma atitude diferente, mas que também foi um passo diferenciado para o
trabalho com a geometria. Mostrou-nos outro nível de conhecimento, que
relaciona conceitos matemática com conceitos de outras disciplinas.
Enquanto a professora Susana comentava sobre seus planos para o trabalho
com a geometria, a professora Beatriz procurava em um livro didático um
exemplo semelhante ao que ela queria nos perguntar, e que gerou suas
dúvidas.
Beatriz: [voltando à questão das atividades e das dúvidas] Esse aqui eu acho que
é parecido com este aqui. Por exemplo, estes aqui são segmentos de retas.
[apontando para os lados da figura]
Vânia: Segmentos de retas, certo.
Beatriz: Que se cruzam. Não!?
Eu: Não eles se encontram... Para se cruzar tem que ultrapassar um pelo
outro.
Vânia: Eles têm um ponto de encontro.
Beatriz: Mas a reta não é infinita?
Sandra: A reta sim, mas aí é só um segmento.
Vânia: Mas é só um segmento.
Beatriz: Ah, a palavra segmento.
Vânia: O segmento foi até ali e ele parou. Eu posso imaginar que por aqui
passa uma reta toda, mas quando estou com ele aqui é um segmento, chega
aqui e ali, ele parou. Eu poderia pensar que se eu tivesse uma linha ou uma
estrada que estaria continuando. Mas para esta figura eu peguei somente esta
parte.
Eu: é delimitado.
(transcrição da gravação de áudio de 07/mai/07)
A professora Beatriz nos mostrou, por meio de um exemplo, qual era sua
dúvida. Ela afirmou que os segmentos de retas no polígono de cruzam, mas
com dúvida. Beatriz se baseou na definição da reta ser infinita para analisar o
segmento de reta. Se a reta é infinita, a atividade não teria respostas, já que
209
todas as figuras teriam linhas que se cruzavam. A definição de reta estava

correta, mas gerou uma dúvida na definição de segmento de reta, este seguia
as mesmas características das retas? Beatriz começou a fazer associações
com o que já sabia, e isso a levou a ter dúvidas. A atividade nem falava no
termo „segmento de reta‟, mas ela fez a associação para aproximar sua
identificação com o que já conhecia. Nossa discussão bastou para que a
professora conseguisse entender a diferença entre reta e segmento de reta e
compreendesse a atividade.
Vânia: Mas porque, por exemplo,... Susana,... Dá uma olhada aqui nesta figura.
Porque essas figuras assim... Estranhas também são boas. Porque a gente
trabalha normalmente com as crianças com figuras mais fáceis. Vou pensar,
por exemplo, neste lado da face da porta que eu vejo é uma face retangular.
Porque ela tem largura, espessura e tudo, e olhando como um todo é um
objeto tridimensional. Mas cada face dela é um retângulo. Para a criança é
mais fácil ver isso daqui [posição frontal da porta]. Mas se eu trabalhar
somente com isso daqui, quando eu colocar alguma figura estranha dessa
ou outra coisa, ela fica apavorada. Então também é bom a gente trabalhar
com figuras não regulares. Que aqui você vê...
Beatriz: Como a gente é „clínico‟ em coisas simples e não está acostumada a dar
valor e trabalhar com essas coisas em sala de aula.
Vânia: E a gente é assim, pensa bem. Como têm bijuterias, coisas de brincos,
anéis,... Como as pessoas gostam de bijuterias com coisas bem diferentes... A
gente começa a trabalhar com as crianças quase sempre... Ela até falou nas
caixas, caixa retangular, quer dizer com as faces retangulares, quadradas. Mas
tem coisas ali com cubo ou paralelepípedo que são coisas simples. Mas que têm
outras com coisas bem diferentes. Mas tem algumas sucatas que não são
simples e temos que parar para pensar, como vou ver daquele objeto e tentar
ver...
(transcrição da gravação de áudio de 07/mai/07)
A professora Vânia chamou a atenção para algumas diferenças em
trabalharmos sempre o que já é conhecido pelas crianças. Como o caso da
porta que possui faces retangulares em oposição ao que é, a princípio,
„estranho‟ para elas. É muito mais ameno trabalhar com coisas que já temos a
noção; coisas muito diferentes, nós ficamos apreensivos e podemos ter certo
receio. Na continuidade do diálogo observamos que alguns conceitos mal
construídos estão presentes nas ideias das professoras.
Sandra: Exemplo as garrafas...
Susana: Olha só a garrafa de água. Olha a forma geométrica da garrafa.
Vânia: Sim, é toda diferente do que você esperaria.
210

Susana: É um cilindro, mas não é um cilindro reto. É curvo.
Eu: Não é um cilindro.
Susana: Num é não? É o que?
Eu: Não tem uma forma definida... Não tem uma forma definida, mas não é
um cilindro.
[Vânia continuou a tentar mostrar as partes que compõem a garrafa]
Vânia: É como se fosse composta de várias formas, tem as entradas, aqui já
afunila. [...] agora eles fazem isso em relação ao nosso visual. Porque quanto mais
fora do padrão mais nos chama a atenção. Podemos olhar pedacinhos dela,
mas ela como um todo, ela lembra uma forma cilíndrica. Mas não é.
Susana: Engraçado, então ela é uma forma geométrica sem nome.
Eu: Sim, e que não são trabalhadas normalmente.
Vânia: Sim, e que são as formas que mais chamam a atenção no mundo hoje
em dia...
(transcrição da gravação de áudio de 07/mai/07)
Normalmente, associamos a figura do cilindro aos corpos arredondados
parecidos com as garrafas (estamos falando de garrafas de água com várias
reentrâncias). A professora Susana afirmou que a garrafa de água, que
tínhamos sobre a mesa, era um cilindro não reto, mas sim um cilindro curvo. E
ficou surpresa quando afirmei que não se tratava de um cilindro. Ela queria que
essa figura geométrica tivesse um nome específico. A professora Vânia
mostrou que poderíamos identificar figuras conhecidas em pedaços da garrafa,
mas não afirmar que a garrafa era um cilindro, apenas lembra uma forma
cilíndrica. Concluímos com esse episódio que os conceitos não estavam
completamente formados pela professora Susana. Ela conhecia algumas
propriedades do cilindro, mas não conseguia identificar outras que impedem
esse objeto de ser denominada uma figura cilíndrica. A professora estava
analisando o objeto muito mais pelo visual do que, comparativamente, pelas
propriedades da imagem conceitual de um cilindro.
Susana: Por exemplo, o copo é uma forma geométrica, é um cone. Só que é
um cone tipo assim fechado.
Vânia: É um tronco dele.
Beatriz: É um tronco de cone.
Susana: Isso, eu diria assim é uma fração de cone... Num deixa de ser, num é?
Eu: É!?
211

Susana: Ele num é uma parte do cone?
Vânia: Mas você teria que pensar nessas palavrinhas. Fração ou parte. Ele é
uma parte daquele cone. Mas para eu poder dizer que é uma fração eu tenho
que verificar se são partes iguais. E eu tenho que ver em relação a que
partes iguais nós estamos falando. É de uma figura do papel, ou é sobre a
quantidade de volume que tem aqui dentro. Por exemplo, se eu quiser dividir esse
refrigerante, e cada uma tomar um quarto, eu só posso falar isso se eu garantir
que a quantidade de líquido em cada um deu exatamente a mesma coisa, que é a
quantidade de líquido. Se não fosse igual, por exemplo, o meu eu coloco a
metade, o outro coloco só um dedinho, outro até aqui e esse coloco cheio, eu não
posso dizer que estamos bebendo um quarto do refrigerante. Mas nós estamos
dividindo a quantidade em quatro partes. Mas não estamos trabalhando com a
fração.
Susana: não, não é fração.
Vânia: Repara como nós podemos usar as palavras às vezes... Ele está
fracionado, está dividido em partes. Mas não é ainda uma fração. Mas pode
ser que conseguimos ter... Por exemplo, um escultor ele faz medidas para
organizar sua escultura e pode determinar a fração.
Eu: Para dividir em partes iguais, em frações, o copo deveria ter divisões
diferentes para ter partes iguais. [pensando no volume] Perto da borda deveria
ser mais estreito.
Susana: É, isso não é um bom exemplo. Vai mostrar isso para os alunos. É
melhor utilizar um rolo de papel toalha ou rolo de papel higiênico. Que é reto,
não muda...
(transcrição da gravação de áudio de 07/mai/07)
Outra aprendizagem complementar sobre o conhecimento matemático e o
conhecimento pedagógico matemático relacionado a identificação apenas
visual de objetos matemáticos foi quando a professora Susana buscou, no
copo, um exemplo para o cone. Mas ela tem conhecimento de que não atende
todas as características de um cone, pois fala em „cone fechado‟, em fração ou
parte do cone. O nome correto seria tronco de cone, que já não era conhecido
pela professora Susana. A professora Vânia trouxe uma discussão interessante
sobre o uso impensado de certas palavras como fração e parte. Consideramos
que, muitas vezes, utilizamos ambas as palavras como sinônimas e nem
sempre elas são. Devemos, portanto, tomar cuidado com nossos argumentos
ao definirmos algumas figuras para os alunos. Não afirmamos que não
podemos aceitar essas definições de crianças que estão iniciando o trabalho
com a geometria. Porém, chamamos atenção para o fato de que nós, enquanto
212
professores, precisamos refletir sobre o que falamos e como falamos e

definimos certos conceitos para nossos alunos. Essas situações mostram como
a professora Susana estava num nível inicial de conhecimento geométrico, pois
afirmou que não tinha estudado isso em sua formação inicial e nem na
educação básica. A formação inicial inadequada sobre a geometria a levou a
aprender como a maioria das pessoas, apenas com experiências práticas que,
normalmente, se restringem ao visual e não ao entendimento das propriedades
que envolvem os objetos geométricos.
Na continuidade do diálogo, houve um retorno à discussão inicial sobre a
dúvida da professora Beatriz. Isso mostra mais uma vez o caráter dinâmico de
um diálogo, no qual não damos conta de realizar sequências fechadas de
pensamento, já que uma ideia se encadeia com outra, e modificamos o rumo
da conversa. Contudo, percebemos que o grupo tem uma preocupação em
voltar ao início das discussões e retomá-las.
[...]
Susana: Mas quando você [Beatriz] falou, qual dificuldade que era?
Beatriz: Eu num lembro direito. Eu esqueci o nome qual era.
Eu: Não era quando eles começavam a falar de polígonos, não? Linhas
poligonais. Segmentos de retas...
Beatriz: É alguma coisa assim. Eles pedem para marcar os polígonos...
[...]
Susana: Então a dificuldade estava no livro, é isso?
Beatriz: Não, a minha dificuldade em entender alguns conceitos... Na palavra.
Vânia: Mas, por exemplo, agora que a gente começou a conversar sobre isso...
Mesmo que divagamos, mas deu...
Beatriz: Já começou a clarear algumas coisas...
Eu: Quando se cruzam eles chamam de linha poligonal... Deixa-me ver se tem
algum exemplo aqui. [procurei no livro didático que tinha em mãos um exemplo de
linha poligonal]
[...]
Vânia: Mas tem algumas figuras que é assim...
Vânia: E tem alguns que falam assim ó... Sandra, como é o nome disso?
Eu: Alguns autores chamam de polígonos, outros não.
213

Vânia: O que tem de diferente é que algumas são mais fáceis de olhar as
regularidades, como nos retângulos, quadrados, losangos,... Mas quando é
nestas figuras estranhas não é tão simples...
(transcrição da gravação de áudio de 07/mai/07)
Ademais, buscamos outros exemplos para mostrar como não é tão simples
identificar características de figuras geométricas. Sabíamos que precisaríamos
retomar esses assuntos, e que a conversa já estava contribuindo para que as
professoras percebessem a necessidade de uma maior formação dos
conceitos geométricos. Percebemos a necessidade de usarmos protótipos nas
construções de conceitos, precisamos identificar e trabalhar com exemplos e
contra-exemplos para obtermos as características necessárias para a formação
adequada do conceito geométrico ou outro conceito matemático.
Na sequência do diálogo, a professora Beatriz mostrava uma atividade que
selecionou para trabalhar com os seus alunos. Além disso, observamos como o
grupo contribuiu para que as professoras pensassem em outras possibilidades
a partir das atividades propostas e discutidas por elas.
Beatriz: Eu peguei outro livro para trabalhar algumas atividades para eles. Eu
gosto deste livro. Por exemplo, nesta atividade. Em cada grupo de figuras há
uma intrometida, eu achei legal isso daqui.
Vânia: Ah, é o que a gente falou hoje, a intrometida é a que não segue os
mesmos padrões de regularidade. Tem que descobrir quem é a intrometida.
[...]
Beatriz: Eu estava buscando atividades e aproveitei de um livro velho e achei essa
atividade.
Vânia: Está vendo que legal.
Beatriz: Ele dá o exemplo, e o aluno tem que identificar qual é a diferente e
explicar por que...
Vânia: Isso aqui é importante, pois todas as outras têm segmentos de retas e
esta não tem nenhum. Ela tem que identificar o que em cada uma delas, o
que foge do normal em cada uma delas.
Beatriz: Tem que ter bastante percepção... Por exemplo, aqui tem somente
quadrilátero e uma não é. Não é isso?
Vânia: Isso, porque aqui tem mais um lado... E você repara que isso cai em provas
de concursos e testes psicotécnicos, testes de raciocínio,... para ver se as
pessoas tem percepção visual.
Beatriz: Agora, se ele responder que isso aqui tem linhas curvas, ele terá
respondido corretamente?
214

Vânia: Está.
Eu: Se ele falar que esta linha está torta já está bom.
Vânia: E aqui já esta mostrando ideias matemáticas que demoraram séculos
para chegar [pensando na geometria não-euclidiana]. Esse triângulo aqui, que
dá ideia de outra geometria,... mas que demoraram séculos para descobrir.
Eu: Na nossa geometria não é triangulo. É triângulo numa outra geometria,
mas na euclidiana que usamos não é.
[...]
Vânia: O interessante aqui é pedir para que os alunos digam o que viram de
parecido nas outras. Porque aqui na atividade está pedindo para descobrir
quem é o intrometido e por que. Isso está ótimo, mas também tem a outra.
Explique o que as outras figuras semelhantes.
Eu: Algumas vezes podemos ter alunos que já nos respondam o que tem de
semelhante quando tentam explicar porque a figura escolhida é a intrometida.
Vânia: Sim, às vezes, mas não podemos garantir que todos os alunos busquem
estas semelhanças e se pedirmos...
(transcrição da gravação de áudio de 07/mai/07)
A atividade selecionada pela professora pedia que os alunos identificassem, a
princípio, visualmente qual figura era a intrometida, aquela que não atendia às
mesmas características das outras. Ao solicitar que as crianças justificassem
suas escolhas a atividade passou a exigir que as crianças prestassem atenção
em algumas características das figuras expostas. As características ou
propriedades poderiam ser em relação à forma do lado da figura (reto ou curvo)
ou à quantidade de lados. Esse tipo de atividade é importante, pois exige do
aluno a percepção visual e a identificação de propriedades das figuras
expostas.
É interessante observar como surgem propostas de alterações das atividades.
Vânia sugeriu que Beatriz pedisse que seus alunos identificassem diferenças
entre a figura intrusa e também as semelhanças entre as outras figuras.
Ampliando, dessa forma, a abrangência da atividade. A professora Beatriz
aceitava, de prontidão, as sugestões apontadas pelo grupo e tentava realizá-
las em suas aulas de matemática. Em relação à proposta da professora Vânia
de ampliar a atividade para que pudesse pedir aos alunos que buscassem mais
propriedades, ela realizou uma adaptação e aplicou em aula e na avaliação
215
escrita que realizou. Colocamos, a seguir, a atividade que fez parte dessa

avaliação na qual Beatriz utilizou a sugestão da professora Vânia. Ela
apresentou um grupo de figuras e pediu para que os alunos circulassem a
intrometida e, em seguida, apresentassem suas justificativas para a escolha da
figura intrometida, e as características das outras que são semelhantes.
Figura 11 – Parte da prova da professora Beatriz sobre figuras geométricas
Fonte: Prova escrita da professora Beatriz
No 12º encontro de 2007 (21/mai/07), dentre outras propostas, conversamos
sobre algumas definições de polígonos em geometria. Debatemos com as
professoras o conceito de triângulo, de quadrado e de ângulo. A atividade foi
realizada a partir de estudos, leituras e experiências anteriores com atividades
216
semelhantes (SANTOS, 1997; FRAGA, 2004; LINDQUIST; SHULTE, 1994). Ao

termos conhecimento de que as professoras Susana e Beatriz ainda não
estavam com alguns conceitos geométricos, totalmente, formados, fomos
motivando uma (des) construção do que seja um triângulo para provocarmos
uma (re)construção. Realçamos algumas sequências de argumentos 44 que
foram colocados durante o debate que aconteceram em relação à discussão.
Os argumentos eram escritos no quadro, enquanto a pesquisadora colocava
figuras que atendiam às definições dadas, mas que desconstruíam a ideia de
que apenas com os argumentos apresentados conseguiríamos obter apenas o
triângulo. Atividades como essa já foram abordadas por outras professoras e
pesquisadoras, podemos citar Santos (1997) e Lopes e Nasser (1996).
Discutimos, a seguir, a sequência apresentada pela professora e alguns
exemplos de nossos contra-argumentos, a partir de figuras e tentativas de
aproximação da definição, a mais coerente e aceita matematicamente.
Acrescentamos alguns comentários na sequência de cada definição dada pelas
professoras mostrando como argumentamos com elas sobre as „falhas‟ na
definição defendida. Iniciamos, perguntando para as professoras o que era um
triângulo e colocamos a pergunta no quadro.
O que é um triângulo?
Figura com três lados.
Desenhamos no quadro figuras com três lados, mas que não representavam
triângulos na geometria euclidiana, não abordamos as análises na geometria
não-euclidianas nesse momento. Exemplo: figuras com lados curvos e figuras
abertas.
Figura 12 – Desenhos de figuras com três lados que não são triângulos
Figura com três segmentos de reta
44 Não temos gravação desse encontro porque houve problema com o gravador. Os argumentos e figuras
apresentados representam os que foram anotados por mim no meu caderno de observação dos encontros.
217

Utilizamos segmentos de retas, mas mostramos que podemos obter figuras
com três segmentos de retas abertas e que não formam triângulos.
Três segmentos de reta que se encontram
Desenhamos um triângulo, mas também outra figura composta com três
segmentos de retas, porém que não se encontram nos vértices, ultrapassam os
lados. Formam triângulos em seu interior, entretanto, não são considerados
triângulos.
Figura 13 – Desenhos de figuras com três segmentos de retas sem ser triângulos
Três segmentos do mesmo tamanho que se encontram sem ultrapassar
Discutimos com as professoras a necessidade de termos os lados dos
triângulos com o mesmo tamanho. Será que se os lados não forem do mesmo
tamanho não teremos triângulos?
Figura 14 – Desenhos de triângulos e não triângulos
Figura 15 – Desenhos de triângulos que não possuem os segmentos do mesmo
tamanho.
Três segmentos de reta que se encontram sem ultrapassar o ponto de encontro.
Na definição não utilizamos mais os desenhos, as professoras apenas
buscavam uma forma coerente de definir triângulos, sem deixar margem para
que pudéssemos definir um não triângulo ou excluir triângulos.
218

“Triângulo é um polígono de três lados.”
Por fim, uma delas me perguntou como aparecia nos livros didáticos, e eu
afirmei que normalmente a definição de triângulos dependia da definição de
polígonos. Isso foi estudado por mim quando realizei minha pesquisa de
mestrado, o leitor poderá ter mais detalhes em Fraga (2004).
Da mesma forma, abordamos o que seria um quadrado. As professoras
utilizaram algumas informações que obtiveram do debate sobre o que era um
triângulo. Porém, como o quadrado possui outras particularidades, elas
precisaram buscar alternativas diferenciadas para chegar à definição de
quadrado. Mostramos a sequência de tentativas de definição, conforme
anotamos no nosso caderno, juntamente com suas representações por meio de
desenhos:
O que é um quadrado?
Polígono de quatro segmentos de reta.
Elas já iniciam com o uso da palavra polígono. E utilizam segmentos de retas,
comentamos que, por se tratar de polígonos, precisamos ter segmentos de
retas. Além disso, desenhamos uma figura que não é um quadrado, mas que
atende à definição dada inicialmente.
Polígono de quatro lados iguais.
Um polígono de quatro lados iguais pode ser um losango, sem
necessariamente, ser um quadrado. E mostramos com um desenho essa
hipótese.
Figura 16 – Desenho de polígono de quatro lados que não é quadrado.
Figura 17 – Desenho de polígono com quatro lados iguais e que não representa quadrado.
219

Polígono de quatro lados iguais que possui dois segmentos paralelos de mesmo
tamanho.
Figura 18 – Desenho de polígono com quatro lados iguais e segmentos opostos paralelos.
Prosseguimos com o losango e mostramos que continua com segmentos
paralelos e de mesmo tamanho. Faltava mais alguma coisa para ser um
quadrado.
Polígono de quatro lados, mesmo tamanho de lado, de cima paralelo com o de baixo e
de um lado paralelo com o outro lado.
Observamos na definição, apenas outra tentativa de relacionar os lados
paralelos, mas que atendesse ao exemplo do losango, embora não
pudéssemos garantir o que fosse „lado de cima ou de baixo‟.
Polígono de quatro lados de mesmo tamanho que possui quatro ângulos retos.
Figura 19 – Desenho de quadrados
A professora Beatriz se lembrou do ângulo reto e da necessidade de confirmar
a definição de um quadrado, partindo de seus ângulos. Entretanto, depois de
longo debate, conseguimos chegar a uma definição coerente para quadrado. A
professora Susana afirmou, a princípio, que não existe ângulo reto, discutimos
com ela sobre ângulos. Ela se ateve à palavra „reto‟, o que vinha a ser um
ângulo reto. Se era „reto‟ então não poderia formar ângulo, explorando o
significado a partir da diferenciação entre linguagem materna e linguagem
matemática. Ela chamou os ângulos de „fechado‟ e „aberto‟. Depois de algumas
conversas conseguimos mostrar a Susana que o ângulo com 90º era
denominado de ângulo reto. Questionamo-nos sobre nossas formações e as
deficiências que levam a conhecimentos frágeis ou incorretos. Sentimos a
220

necessidade das formações, iniciais e continuadas, estarem atentas as
possíveis incompreensões ou fragilidades dos conceitos matemáticos.
As situações apresentadas aqui refletem resultados semelhantes realizados
por outros pesquisadores (PAVANELLO, 2004), como professores que
possuem dificuldade em explicar conceitos geométricos, não conseguem
abordar esses conteúdos de maneira adequada. Pavanello (2004) aponta que
o problema vem da formação do professor e afirma que:
221
As dificuldades de professores no reconhecimento de figuras
geométricas planas, de seus elementos e propriedades, e, portanto,
em atividades de classificação, indica que o trabalho pedagógico
realizado com eles nas diferentes instâncias de sua formação não
lhes permitiu elaborar devidamente seus conceitos sobre as figuras
planas. (PAVANELLO, 2004, p. 135)
Acrescentamos que isso reflete, não apenas, no reconhecimento de figuras
planas, mas em suas definições, como foi o caso apresentado anteriormente.
Faz-se importante investigarmos as formações iniciais e sugerirmos que
formações continuadas abordem esses assuntos. Caso contrário,
continuaremos com professores e, consequentemente, alunos que não
constroem conceitos geométricos de maneira adequada.
Chamamos a atenção para o fato de que resolver a deficiência na formação de
professores não é tarefa simples. Podemos dar um exemplo do que estamos
afirmando com um episódio vivenciado pelo grupo. Tínhamos trabalhado
algumas construções de conceitos de polígonos em 2007, porém, em 2008, no
16º encontro (15/set/2008), enquanto trabalhávamos com o geoplano circular,
surgiu novamente o assunto de definições de figuras poligonais e a professora
Susana recomeçou a questionar algumas ideias em relação a esses conceitos.
O episódio exposto a seguir, demonstra algumas dificuldades encontradas em
formações continuadas e que nem sempre conseguem acompanhar o
professor no desenvolvimento das construções de seus próprios conceitos e
seu trabalho em sala de aula. Necessitamos acompanhar, mais de perto, o
trabalho do professor em sua formação e de trabalhar, em diferentes
momentos, o conteúdo que queremos discutir, para certificar que o participante
construiu seus próprios conceitos de maneira adequada.

Reiniciamos, nesse encontro, a discussão sobre algumas definições de figuras
como: de triângulos, de retângulo e também de ângulos. Apresentamos partes
da gravação das discussões para mostrar como precisamos retomar, em
alguns pontos, e desestabilizar a professora para que atribuísse significado aos
conceitos geométricos trabalhados.
A proposta inicial era analisar as atividades que tinham sido preparadas para o
trabalho com o geoplano circular nas salas de Beatriz e Susana. Após lermos
as atividades, decidimos que seria interessante realizá-las com o grupo. Por
esse motivo, a professora Susana pegou quatro elásticos com cores diferentes
e formou figuras geométricas no geoplano circular (figura 20).
Figura 20 – Geoplano com construções da professora Susana
Iniciamos um debate, com a professora, sobre as figuras que tinha construído
no geoplano. O diálogo mostra a necessidade que tivemos em levá-la a
repensar nos conceitos, definições e nomenclaturas das figuras geométricas.
[...]
Eu/Sandra: O que você fez aí?
Susana: Eu fiz uma bandeirinha... Um polígono, né?
Lucia: Um polígono côncavo ou convexo?
Susana: Não sei.
Lucia: A gente fala convexo ou não convexo?
Eu: Que figura é essa?
Susana: Pra mim é uma bandeirinha...
Eu: Tenta lembrar-se do ano passado.
222

Susana: Ele tem 5 lados...
Eu: E como é o nome de um polígono que tem 5 lados?...
Susana: É polígono...
Eu: Mas ele tem um nome específico... E qual o nome de um time que é campeão
por cinco vezes?
Susana: Pentacampeão. É isso?
Eu: E agora qual é o nome desse polígono?
Susana: Pentágono,... É isso?
(transcrição da gravação em áudio de 15/set/2008)
A professora Susana não se lembrava da nomenclatura dos polígonos. Porém,
notamos que a partir do momento que conduzimos o seu pensamento, agindo
como mediadoras (VYGOTSKY, 1988/1934), essa professora conseguiu
lembrar-se do pentágono. A professora Lucia, quis ir além, e pensou em
polígonos convexos e não convexos, mas essa discussão não teve
continuidade nesse encontro.
Com o elástico rosa, ela formou um trapézio, mas, quando questionada sobre
qual figura seria, afirmou se tratar de um retângulo. Começamos a questioná-la
sobre o que a levava a afirmar que aquela figura era um retângulo. Ela se
baseou apenas na visualização da figura formada. Vejamos o diálogo sobre
essa construção.
[...]
Eu: Mostra... Conta o que você fez.
Susana: Um pentágono [apontando para a figura feita com o elástico lilás], fiz um
retângulo, embora que não tenha ficado assim perfeitamente... Um retângulo.
Lucia: Será que existe retângulo perfeito?
Vânia: Será que existe o retângulo imperfeito ou ele tem outro nome?
Susana: Eu acho que ele tem outro nome... Mas os lados dele não ficaram
iguais não.
Eu: Mas isso aí é um retângulo?
Susana: Isso aí... Eu estou achando que pode ser um triângulo...
Eu: Como que é? [admirada]
Susana: Na minha experiência como aluna de geometria, isso pra mim é um
retângulo... Mas isso daqui... a base é maior... Mas eu não sei.
223

Vânia: Então olhe em volta aqui na sala, o que tem que te lembra formas
retangulares.
Susana: Bom,..., a mesa, capa do livro, a porta, o piso, o quadro,..., o mural, a
folha de chamex,...
Vânia: Mas, por exemplo, aqui, o que tem,... Vamos ver se você em todos esses
que você lembra uma forma retangular o que eles têm de parecido... Para até ver
se isso vai ser um retângulo ou não.
Susana: O que eles têm, assim... Dois dos lados são exatamente do mesmo
tamanho. Entendeu?
Vânia: E o que mais que eles têm também? Por exemplo, se você imaginar uma
linha passando por aqui por cima... Como se fosse uma estrada, uma rua,... Diz
pra mim Susana.
Susana: Ah tá, eles são paralelos... Só que elas são paralelas e jamais se
encontram.
Vânia: E você também falou o que? Repete o que você falou... Você falou que
esse lado é igual a esse, e esse é igual a esse [relacionando os lados opostos de
um retângulo] e são paralelos. Vê agora o que você fez [construção no geoplano]
Susana: Esse é paralelo a esse, mas não são do mesmo tamanho. Então não
vai poder ser um retângulo.
(transcrição da gravação em áudio de 15/set/2008)
A professora Susana lembrava algumas características dos retângulos, e
identificou, na sua construção (com elástico rosa da fig.18), a ausência dos
lados iguais. Porém, como ela não se lembrava da nomenclatura correta,
afirmou que a figura era um retângulo, o nome conhecido que mais se
aproximava da construção realizada. Após essa abordagem, essa professora,
concluiu que não se tratava de um retângulo. Vânia continuou a desestabilizá-
la e abordou sobre os ângulos, que chamou a princípio de „cantos‟ de um
retângulo. Essa discussão gerou amplo debate sobre ângulos agudos, retos e
obtusos, nos quais a professora Susana chamou de „fechado, igual e
arreganhado‟. Não abordamos todo debate em relação a essa discussão,
porém, afirmamos que Susana se baseou na visualização do ângulo,
analisando sua abertura. Depois desse debate, voltamos à construção
discutida inicialmente, com o diálogo a seguir.
[...]
Eu: Mas agora vamos pensar em outra coisa... Essa ideia do ângulo foi
interessante... Vamos olhar novamente aqui... Essa figura rosinha sua, ela é um
retângulo? Vamos voltar... É um retângulo ou não é um retângulo?
224

Susana: [pensando] Eu já estou começando a achar que não. Pois a ideia de
retângulo pra mim... as linhas aqui tem que ter o mesmo tamanho e não são.
Mas também não sei dizer que figura é essa.
[neste momento eu modifiquei o trapézio representado por ela para evidenciar o
lado menor]
Eu: E se eu fizesse isso aqui você saberia me falar qual figura é essa?
Susana: Deixa eu tentar lembrar... Trapézio, num é?
Eu: E essa daqui? [voltando para o desenho original]
Vânia: Porque esse fica mais fácil... Você reparou porque, esse daqui...
Susana: Seria um trapézio também...
Vânia: Porque aqui estava o ângulo muito... para disfarçar... Quando coloca aqui
vira quase um retângulo... Porque que algumas crianças na escola quando estuda
o trapézio... Elas têm dificuldade com esse que é quase um retângulo. Porque
o desvio do ângulo foi muito pequeno. E quando você trouxe para cá, o desvio
era maior e ela de cara já sabia o nome...
Eu: E aqui ela não sabia nem o nome...
Vânia: Mas você repara que... Por que a gente tem tão pouca paciência com
alunos nas 7ª ou 8ª séries... Isso daqui ela esqueceu o nome porque não é a praia
dela, mas quando você trouxe pra cá ela falou quase que imediatamente trapézio.
Eu: Mas eu sabia que ela ia falar...
Vânia: Sinal que você sabe isso, mas isso aqui é um erro visual que a gente
tem... pra quem não vê isso muito é normal, mas você viu como você conseguiu
agora...
(transcrição da gravação em áudio de 15/set/2008)
Se baseando na visualização, Susana conseguiu, facilmente, identificar a figura
construída quando o trapézio ficou visualmente mais nítido. Dessa maneira, ela
observou que sua construção inicial também era um trapézio, com ângulos
próximos de 90º, por esse motivo ela o nomeou de retângulo.
Continuamos a identificar as outras figuras construídas, no geoplano circular,
pela professora Susana. O triângulo (construído com o elástico amarelo, fig.
18), levou a discussões interessantes sobre sua definição, que não foram
discutidas neste estudo. A professora Susana definiu triângulo como um
polígono de três lados. Chegamos a perguntá-la sobre a definição de polígono,
que tinha sido discutida no encontro de 2007, porém, a professora não se
lembrava mais, um novo debate foi realizado. Ao final da transcrição do
diálogo, colocamos uma foto do quadro (fig. 21) após as discussões, para que
o leitor pudesse acompanhar os desenhos realizados e debatidos.
225

Eu: E se você fosse ensinar triângulo para seus alunos, como você definiria?
Como você iria colocar agora para eles?
Susana: Seria exatamente essa... Polígono com três ângulos e três lados.
Eu: Mas e se o menino fala assim: e o que é um polígono?
Susana: Eu pediria para ele olhar no dicionário. [risos] ou eu daria uma
resposta para eles...
Eu: E qual é a resposta?
Susana: Não lembro... A definição de um polígono...
[Lucia foi ao quadro desenhar algumas figuras para desequilibrar a professora
Susana e conduzir a discussão sobre polígonos]
Lucia: [mostrando uma linha fechada curva] Isso é polígono?
Susana: Não... Isso parece mais pra mim um círculo. Pra mim esse não é polígono
não.
Lucia: E esse segundo?
Susana: Esse é.
Lucia: E porque esse é polígono e esse não. Qual a diferença entre os dois...
Susana: Pra mim, polígono tem lados e ângulos.
Lucia: e esse outro? É polígono?
Susana: Também não é polígono.
Lucia: Por quê?
Susana: Porque é aberto. Não está fechado.
[...]
Lucia: Então agora fala pra mim o que é polígono... Polígono é o que?
Susana: Polígono é uma figura com ângulos... Com lados, que se fecham...
Que se completam, que se fecham...
[...]
Lucia: E esse daqui? [apontando para a construção de uma figura com dois lados
retos e um curvo] tem ângulos, é fechada, com lados... É polígono?
Susana: Pra mim é, mas não da forma convencional... Porque pra mim tem
que ser reto... Tem lado reto. [...]
Susana: Mas que pobreza, heim... Se eu soubesse que conversaríamos sobre
polígono hoje teria estudado... [risos]
(transcrição da gravação em áudio de 15/set/2008)
A partir das construções de exemplos e contra-exemplos, a professora Lucia foi
desestabilizando Susana e fazendo-a refletir sobre características que estava
pontuando para a definição de polígono. Acreditamos que o desenvolvimento
226
da definição seja importante e necessitamos analisar os exemplos e contra-

exemplos. Dessa forma, vamos de acordo com o que Rina Hershkowitz (1994,
p. 16) afirma quando diz que “a definição, portanto pode ser considerada como
um critério para instâncias de classificação entre exemplos conceituais
positivos e negativos [por nós denominados de contra-exemplos]”. A professora
Susana foi clareando e (re) construindo os conhecimentos geométricos.
Algo parecido já tinha sido realizado no encontro de 2007, mas Susana
precisava repensar e reformular suas definições de polígono. Foi interessante
perceber que precisamos estar atentos aos momentos de cada um, pois
aprendemos de maneira diferenciada e, muitas vezes, não levamos isso em
conta ao trabalharmos com alunos ou ao realizarmos formações iniciais e
continuadas. Esse relato confirma, mais uma vez, o que Nacarato e Passos
(2003) já afirmavam sobre a formação de geometria deficitária obtidas pelas
professoras das séries iniciais. Também sobre o pouco conhecimento
geométrico, inclusive em relação “ao reconhecimento de figuras geométricas,
sem, no entanto, chegar a distinguir nem mesmo os aspectos figurais dos
conceituais” (NACARATO; PASSOS, 2003, p. 69). Confirmamos a necessidade
de focalizar formações continuadas nesses tópicos deficitários de matemática.
Figura 21 – Quadro com desenhos e definição de polígono
Queremos destacar que a interação entre os componentes do grupo deu
abertura para essa professora afirmar, em diferentes momentos, que não sabia
ou não se lembrava dos conteúdos discutidos. Ela não se sentiu constrangida
ou menosprezada por não lembrar, mas participou, de maneira interativa, das
227
discussões e foi construindo seus próprios significados. A sua última fala

demonstrou seu bom humor e sua clareza de que para discutir alguns assuntos
precisaria estudar anteriormente. O trabalho com o geoplano circular produziu
bons frutos, apresentamos num evento de Educação Matemática parte do que
foi desenvolvido com alguns alunos e algumas de nossas aprendizagens
(HOFFMAN; SANTOS-WAGNER; SILVA, 2009).
A geometria nas aulas de Susana
Em diferentes momentos, a professora Susana mostrou sua admiração pelos
trabalhos com materiais concretos e lúdicos que o ensino da geometria pode
proporcionar. Susana estava preocupada em proporcionar aos seus alunos
uma matemática diferente, encantou-se com o trabalho com a geometria,
apesar de afirmar que possuía dificuldades. No grupo, ela mostrou que estava
disposta a aprender mais sobre geometria.
Colocamos, a seguir, uma sequência de aulas da professora Susana que
revela um pouco do que fizemos em 2007, com sua turma de 3ª série.
Escolhemos essas aulas para serem relatadas por causa do nosso
envolvimento com essa turma e o trabalho inicial que realizamos sobre
geometria com Susana. Destacamos, em linhas gerais, o que aconteceu
durante as aulas, identificando os pontos para os quais queremos chamar a
atenção, relacionando parte de aprendizagens das professoras ao trabalho
com geometria nas séries iniciais. Colhemos informações de nossas anotações
no caderno da pesquisadora, referentes às aulas de Susana. Colocamos
algumas fotos para darem ideia do que realizamos e das produções dos
alunos.
228

10ª aula: realizada dia 03/set/07
Professora Susana pensou em fazer uma oficina sobre sólidos geométricos
intitulada por “oficina de geometria” para trabalhar a questão da reciclagem.
Para isso, propôs aos seus alunos que fizessem uma lixeirinha individual com
metade da caixa de leite que tinham arrecadado para essa atividade. Eles
deveriam encapar as caixas de leite cortadas e enfeitá-las como quisessem
para que pudessem utilizar sobre a mesa e não jogar lixo no chão. Os alunos
estavam dispostos em grupos de, no máximo, quatro crianças. Alguns alunos já
tinham iniciado essa atividade e deram apenas continuidade e ajudavam os
demais colegas. Como a maioria havia realizado a tarefa eu me intrometi e
perguntei se não poderíamos trabalhar com as planificações dos sólidos
geométricos. Ela afirmou que não tinha pensado nisso, mas que seria
interessante. Pediu para que eu conduzisse essa parte da aula e que
desenvolvesse a atividade de planificação com seus alunos. Eu pensei que
seria uma boa oportunidade para orientá-la sobre como os alunos podem ir
além de nossas expectativas.
Iniciando a atividade, pedimos para que cada grupo de alunos pegasse uma
das caixas que tinha sido mostrada pela professora Susana e tentassem
desenhá-la aberta, somente utilizando, a princípio, a imaginação, não podendo
nesse primeiro momento desmontar ou cortar a caixa para realizar a
planificação. No início os alunos ficaram apreensivos e perguntavam como
poderiam fazer sem abrir a caixa, porém com o tempo e com o encorajamento
que lhes dávamos, começaram a desenhar, utilizando diferentes estratégias.
Uma delas foi a de contornar os lados das caixas, outros utilizavam réguas
para realizar as linhas retas, mas não realizavam medidas nas caixas que
tinham em mãos. Alguns ainda desenharam à mão livre, sem se preocuparem
com a utilização de materiais que poderiam representar as linhas retas dos
contornos das caixas.
229

Figura 22 – Alunos fazendo as planificações em 03/set/07
Um fato interessante foi que eles queriam mostrar seus desenhos e perguntar
se tinham realizado corretamente a atividade. Todos os alunos realizaram
essa atividade e não houve aluno que deixou de fazer como acontecia em
outras atividades. Alguns copiavam as planificações de outros colegas do
grupo. Eles nos entregaram as planificações e tivemos resultados bem
interessantes, com detalhes e com os significados iniciais dessas superfícies
em suas planificações. Para nós, professores, esses significados iniciais
representaram „erros‟ matemáticos que precisavam ser discutidos em outros
momentos.
Figura 23 – Planificações dos alunos da professora Susana de paralelepípedos
Verificamos que esses alunos não representaram todos os lados da caixa que
escolheram, mas já foram bem interessantes as planificações, por serem as
230

primeiras tentativas e a representação da visualização desses alunos. Um fato
que merece destaque foi a escrita da palavra retângulo feita por ambos os
alunos, identificando as figuras geométricas planas que representam os lados
desse sólido geométrico. Mesmo tendo realizado o desenho à mão livre, esses
alunos quiseram destacar que as caixas que escolheram eram compostas de
retângulos. Isso mostra certo conhecimento de algumas figuras planas, por
parte desses alunos, a partir da visualização. Esse fato está de acordo com o
que Hershkowitz (1994a, p. 20) afirma quando cita que “crianças nos estágios
iniciais criam suas Imagens Conceituais basicamente visualmente”.
Figura 24 - Planificações dos alunos da professora Susana de paralelepípedos e cubo
No primeiro desenho, o aluno teve outra imagem mental de como abriria a
caixa em forma de cubo, mesmo sem representar todas as faces. O segundo
desenho mostra que esse outro aluno não representou a planificação, mas
como ele visualizava a caixa. Esses tipos de desenhos são comuns em
crianças que ainda não amadureceram suas visualizações ou imagens
mentais. Na verdade, concordamos com Nacarato e Passos (2003) que,
nesses casos, os alunos não representaram a planificação, conforme foi
requisitado, mas o desenho da caixa.
231

Figura 25 - Planificação de aluno da professora Susana de um cilindro
A planificação do cilindro foi bem interessante, pois eles utilizaram o fundo da
lata de leite em pó para desenhar as bases do cilindro, mas não conseguiram
visualizar ou perceber como seria a representação planificada da superfície
lateral do cilindro. A aula estava encerrando e não tivemos a oportunidade de
complementar algumas discussões, com os alunos sobre suas planificações.
Porém, sabíamos que era necessário discutir, em outros momentos, as
planificações com os significados construídos pelos alunos, para a construção
adequada do conhecimento sobre esses objetos. Um caso parecido com esse
foi exposto por Nacarato e Passos (2003). Essas autoras explicam algumas
diferenças entre planificação e desenho do objeto afirmando que
232
essa atividade possibilitaria integrar quatro elementos fundamentais:
o objeto (lata de refrigerante), o desenho, a planificação e o conceito.
[...] o desenho, no nosso entender, é mais fácil que a planificação,
uma vez que esta exige uma compreensão e visualização das
transformações ocorridas do objeto tridimensional para o
bidimensional e vice-versa [...]
Para realizar uma planificação com sucesso, o sujeito deve ser capaz
de pensar nos dois tipos de transformação, ou seja, exige uma
manipulação mental (NACARATO; PASSOS, 2003, p. 73).
A professora Susana não tinha pensado em termos dessa aula. Assim eu
ministrei as atividades até para mostrá-la que não é tão difícil trabalhar essa
parte inicial da geometria com os alunos desse nível de ensino. Contudo, não
tivemos tempo hábil para ampliar, nesse dia, algumas discussões sobre os
„erros‟ dos alunos em suas representações. No encontro do grupo que ocorreu
no mesmo dia (03/set/07), Susana comentou que ela teve a iniciativa de
trabalhar com geometria (produção das lixeirinhas), após sua inserção no
grupo, mesmo sem ter, completamente, o domínio do conteúdo ou da forma de
abordagem. Isso demonstra uma volitude da professora em ir além de seus
limites e agir diferentemente em suas aulas. Por essas razões, a geometria foi

considerada por nós como uma janela descoberta. O diálogo, a seguir, mostra
o comentário da professora sobre a geometria e a influência do grupo.
Susana: Uma coisa que a Sandra me colocou e ela foi muito bondosa, é que
cheguei aqui com certo pavor de matemática... eu cheguei aqui apavorada...
Sandra: E hoje fica inventando moda lá nas aulas.
Susana: Hoje eu invento mesmo. Eu me soltei assim, de certo modo. A gente
inventa moda. Aonde, que eu teria coragem de fazer oficina com as formas
geométricas? Nunca!
(transcrição da gravação em áudio do encontro de 03/set/07)
Ao final, combinamos continuar as atividades em geometria na semana
seguinte, mas a professora não sabia como continuar. Por esse motivo, me
comprometi em dar continuidade a esse trabalho até para incentivá-la com
algumas possíveis atividades. Uma das atividades levantadas pelo grupo foi a
de abordar alguns conceitos básicos dos sólidos geométricos como o “rolar” ou
“não - rolar”, que discutimos posteriormente nesse trabalho, quando relatamos
essa atividade. Aprendemos sobre o conhecimento de nossos alunos e em
especial, sobre conhecimentos matemáticos de geometria.
11ª aula de 2007 – realizada dia 11/set/07
A proposta dessa aula era de continuar com a “oficina de geometria”. Os
alunos estavam dispostos na sala em grupos de quatro alunos e alguns sólidos
geométricos já estavam colocados sobre algumas mesas no fundo da sala. A
professora Susana propôs um desafio em forma de pergunta: „Rola ou não
rola?‟ Propomos aos alunos para tentarem empurrar alguns sólidos, para
verificarem se rolavam. Susana começou pedindo que tentassem rolar a
lixeirinha que eles construíram e que estava sobre a mesa. Alguns
questionamentos sobre o que é rolar surgiram. Alguns alunos acreditavam que
como as lixeirinhas viravam, isso seria „rolar‟, conversamos sobre esse verbo e
entramos num acordo que „rolar‟ é diferente de capotar ou virar sobre os lados.
Dessa forma, „rolar‟ significava deslizar sobre o chão ou mesa e não virar
algumas vezes. Os alunos chegaram à conclusão de que a lixeirinha não
rolava, nem a caixa de creme dental. Já o rolo de papel alumínio rolava sim,
pois deslizava no chão sem muito esforço.
233

Destacamos nossa aprendizagem sobre a importância de definir o que estamos
adotando com cada palavra que trabalhamos com nossos alunos. Um exemplo
disso foi a questão do solido geométrico “rolar” ou “não rolar”. Precisamos
definir o que significa rolar quando falamos em sólidos geométricos. Se
buscarmos em dicionários, vamos encontrar várias definições tais como:
mover-se sobre si mesmo; ir rodando; revoluteando; deslocar-se (um objeto)
girando ou movendo sobre si mesmo; rodar sobre uma superfície; fazer
avançar (uma coisa) obrigando-a a dar voltas sobre si mesmo. Analisando
algumas definições dos corpos redondos percebemos que usam dessa
característica para identificá-los. Percebemos que é importante fazer a
diferenciação entre as superfícies planas e não planas que compõem os
sólidos geométricos. Dessa forma, notamos que não podemos trabalhar com
um conceito de maneira isolada, precisamos identificar as diferentes variáveis
que estão inter-relacionadas no que estamos desenvolvendo para que
possamos estar preparados para desenvolver um trabalho adequado. Na
matemática e também na física existe uma diferença entre deslizar e rolar,
sólidos geométricos são colocados numa superfície inclinada e os corpos
redondos realizam o movimento de rolamento e os poliedros não rolam, mas
deslizam dependendo da inclinação. É interessante colocar a diferenciação
entre rolar em qualquer direção ou sobre todas as suas superfícies e rolar
apenas em algumas de suas superfícies.
Outros sólidos foram utilizados e testados pelos alunos para verificarem quais
rolavam e quais não rolavam. Nessa atividade percebi que alguns alunos
confundiam e trocavam a nomenclatura dos sólidos geométricos com algumas
figuras planas. Podemos citar o exemplo do cubo sendo denominado de
quadrado. Nesse momento, notei que precisávamos trabalhar de forma mais
sistemática a fim de contribuir para a compreensão dos alunos quanto a
algumas diferenças e dos nomes dos sólidos que estávamos trabalhando.
Os alunos dessa turma eram bem agitados e, nesse dia, estavam ainda mais
agitados por causa da aula diferenciada em grupo. Para controlar um pouco a
234
agitação, resolvemos realizar uma brincadeira, no estilo de gincana, com

algumas regras para ver se conseguíamos trabalhar melhor. Eu propus que a
cada resposta correta o grupo ganhasse um ponto e se conversassem ou
atrapalhassem o colega ou outro grupo, perdia um ponto. Precisamos de
paciência para que os alunos entendessem e respeitassem as regras, mas
acreditamos que tenha sido bom para eles começarem a realizar tarefas com
regras impostas para sua realização. Esses alunos tinham muita dificuldade em
seguir regras, mas sabíamos que esses tipos de atividades levam um tempo
para os alunos acostumarem. Comentamos aqui sobre normas sociais e sobre
contrato didático, que deve ser trabalhado a cada dia nas aulas. Poderíamos
apontar vários autores que debatem sobre esses limites e sobre o contrato
didático em sala de aula, mas não faremos nesse momento porque
mudaríamos nosso foco da pesquisa. Um fato interessante que merece
destaque foi o fato de que em várias aulas presenciamos um acordo da
professora com seus alunos que funcionava como garantia de organização e
silenciamentos dos alunos. A professora apagava a luz sempre que seus
alunos estavam muito agitados, falando alto, andando pela sala, brincando,
dentre outras travessuras. Ela somente acendia a luz após os alunos se
organizarem e ficarem em silêncio. Acreditamos que isso seria um tópico
importante para ser detalhado em outro momento.
Começamos a atividade, pedindo para que eles relacionassem cada sólido
geométrico representado por uma embalagem com alguma coisa de que eles
se lembrassem. Na medida em que apresentávamos os sólidos trabalhávamos
a nomenclatura matemática. Colocamos, a seguir, algumas das respostas
desses alunos, em relação a comparações de cada sólido correspondente com
formas ou objetos conhecidos por eles.
Cone: parece com a forma da casquinha de sorvete, chapéu de bruxa,
ponta da lona do circo, ponta do lápis e o cone de trânsito.
Cilindro: parece com a forma de um cano, poste, lápis, rolo de papel
higiênico e com rolo de macarrão.
Paralelepípedo: caixa de leite, caixa de remédio e caixa de sapato.
Cubo: parece com um dado.
235

Esfera: parece com a forma da bola futebol, bola de gude, sol, lua e com
o globo ocular.
Pirâmide: pirâmides do Egito.
Temos consciência de que alguns dos exemplos do nosso mundo físico não
representam perfeitamente os sólidos geométricos trabalhados. Estávamos
trabalhando naquele momento com a visualização e a representação mental
que cada criança realizava em suas comparações. Sabíamos que se tratava de
um estágio inicial de identificação dos objetos geométricos, mas acreditamos,
assim como Hershkowitz (1994a, p. 58), que essa “visualização é um
instrumento necessário na formação dos conceitos geométricos”.
Posteriormente, voltamos à discussão dos sólidos geométricos que rolavam e
os que não rolavam. Cada grupo deveria falar um objeto e sua relação com o
„rolar‟. Na sequência, colocamos alguns exemplos dados por esses alunos:
Rolou: lápis, caneta, lata, rolo de papel alumínio, cone e esfera.
Não rolou: caixas de creme dental e de leite, cubo, pirâmide e prisma
ortogonal (caixa de presente que estava sobre a mesa).
Após perceber que alguns alunos faziam confusões com nomenclaturas de
figuras planas e espaciais decidi comentar algumas diferenças entre esses dois
tipos de entes geométricos. Quando iniciei a atividade, a professora Susana
perguntou se poderíamos falar como „planos geométricos‟ ao invés de figuras
planas, fazendo a comparação com os „sólidos geométricos‟. Afirmei que
poderíamos falar em figuras geométricas planas, porque planos geométricos
poderiam ser confundidos com outros entes geométricos, diferentes das figuras
planas que desejávamos identificar. Nesse exemplo podemos perceber que a
professora Susana também estava, nesse momento, construindo seus próprios
conhecimentos geométricos e fazendo correlações.
Após o recreio, pedimos que as crianças realizassem a planificação de uma
das embalagens que parecia com um paralelepípedo para darmos continuidade
236
à aula anterior, na qual eles já tinham planificado. Porém, dessa vez, eles

poderiam abrir, cortando em uma das dobras da caixa. Os alunos não tiveram
dificuldades nessa atividade. A maioria contornou a embalagem depois de
aberta, e pedi para eles representarem as dobras nas suas planificações.
Alguns alunos desenharam as dobras pontilhadas e outros com linhas cheias.
Chamei a atenção deles para o fato de que nas embalagens existiam algumas
partes que serviam para o seu fechamento (abas das caixas), mas que não
eram necessárias para a planificação do paralelepípedo. Contudo, não pedi
que eles retirassem as mesmas de seus desenhos, pois estávamos
representando as embalagens abertas.
Conversamos um pouco sobre a esfera e como seria difícil sua planificação.
Nessa ocasião, aproveitei para perguntar se eles sabiam o porquê do nome
„caneta esferográfica‟. Para realizar uma associação com algo conhecido pelos
alunos perguntei-lhes o que acontecia, quando alguém rolava uma bola
molhada no chão. Eles prontamente responderam que ficava uma marca
molhada no chão. Fiz, então, a comparação com a caneta, disse que a caneta
esferográfica tinha uma pequena esfera na ponta e que girava enquanto
escrevíamos, deixando uma marca de tinta no papel. Os alunos acharam
interessantes, e uma aluna comentou: “a bolinha vai pegando a tinta de cima e
levando para baixo girando”. A professora Susana também desconhecia esse
fato.
Comentei também sobre a planificação do cilindro, que alguns tinham realizado
de maneira imprópria, na aula anterior de geometria. Aproveitei para abrir uma
parte interna de proteção de um perfume mostrando a planificação do cilindro.
Eles acharam diferente e interessante, pois tinham uma imagem visual
imprópria dessa planificação (fig. 5).
Para finalizar esse momento, pedimos que os alunos escrevessem em seus
cadernos algumas coisas que conversamos. Eles deveriam registrar de
maneira escrita, alguns exemplos de coisas que vemos e utilizamos que se
perecessem com as formas dos sólidos geométricos que estudamos. Para isso,
coloquei os nomes dos sólidos no quadro e pedi que copiassem. A maioria dos
237
alunos conseguiu realizar as comparações e elencar os exemplos. Acreditamos

que esses alunos precisavam entender que a escrita ou o registro é uma
importante forma para reforçar o raciocínio e a construção dos conceitos
(SANTOS, 1997; VYGOSTSKY, 1988/1934).
Ao final, a professora Susana comentou que gostou muito da aula, apesar da
agitação das crianças. Conversamos sobre a possibilidade e necessidade de
realizar outras atividades escritas, para que os alunos continuassem a trabalhar
com esses conceitos. Comentei que estávamos realizando apenas algumas
atividades iniciais, mas que precisávamos reforçar o assunto em outros
momentos. Percebi que a professora aprendeu a realizar essa atividade com
seus alunos e continuou a construção de alguns conceitos geométricos que
não estavam, completamente, organizados em sua mente.
12ª aula de 2007 –– realizada dia 18/set/07
Nesse dia, quando cheguei, a professora estava conversando com a
pedagoga. Ao iniciar a aula de matemática, ela trabalhou três contas utilizando
a multiplicação por um número de dois algarismos. Ao final dessa atividade, os
alunos foram para o recreio e indaguei à professora qual seria o planejamento.
Questionei se ela continuaria as atividades de geometria, e ela me disse que
trabalharia com o livro. Nessa semana, a professora Susana não pode
comparecer ao encontro do grupo, por esse motivo, não planejamos juntas as
atividades para a semana a que estamos nos referindo. Propus, então, que
desenvolvêssemos a atividade comentada anteriormente no grupo, de fazer
construções geométricas com canudinhos. Dessa forma, após o recreio,
iniciamos a construção das estruturas de alguns sólidos geométricos com os
alunos. O material foi distribuído por alguns alunos e, no primeiro momento,
construímos um tetraedro ou pirâmide de base triangular. Um fato interessante
foi que as duas alunas portadoras de necessidades especiais, que eram
acompanhadas pela estagiária, participaram, juntamente com os outros alunos,
dessa atividade de geometria. Aliás, diferentemente de outras situações, elas
participaram de todas as atividades de geometria que desenvolvemos e não
tiveram problemas na execução.
238

Na construção da pirâmide, alguns alunos se mostraram impacientes,
demonstrando mais uma vez que possuíam dificuldades em trabalhar com
regras, com sequência de tarefas. Outras reações também foram detectadas
por nós: alguns queriam que nós, professoras, fizéssemos para eles, outros
ficavam sem paciência e deixavam de continuar a construção, alguns tinham
dificuldade em amarrar o nylon, dentre outras. Mas em grande parte os alunos
se sentiram motivados e envolvidos com a realização da atividade. A
professora Susana escreveu todos os passos que seguimos na construção, ou
seja, ela escreveu passo a passo tudo o que fizemos. Porém, não consegui
anotar o que ela colocou no quadro e não há registro disso em meu caderno de
pesquisadora.
Figura 26 – Construções de pirâmides com canudinhos
Ao acabar a construção da pirâmide de base triangular aproveitei a estrutura
feita por canudinhos e comentei com os alunos sobre os nomes relacionados
aos sólidos geométricos, utilizando a pirâmide. Falei das arestas, dos lados e
da base. Identificando dessa forma os lados triangulares, justificando o porquê
do nome pirâmide. Aproveitei a situação e comentei sobre os prismas,
mostrando os elementos desse sólido.
Nessa aula, construímos também uma pirâmide de base quadrada ou
retangular, dependendo dos canudinhos recebidos por cada criança. Os alunos
gostaram da atividade e mesmo com algumas limitações e agitações todos
participaram. Isso foi considerado como um ponto positivo. Outro ponto positivo
foi o fato de a professora Susana ter visto que seus alunos estavam produzindo
além do que ela esperava. Ela estava aprendendo como poderia trabalhar com
239
„oficinas‟ sobre geometria com seus alunos. Ao final, a professora comentou

que tinha certeza que eles aprenderam mais sobre geometria e que não se
importava com a agitação dos alunos, desde que eles estivessem aprendendo.
Queremos chamar a atenção para o fato de a professora ter comentado que foi
bom ter aprendido essas coisas sobre geometria, mas que gostaria de ter
aprendido há 20 anos, pois dessa forma teria utilizado essa atividade em outras
turmas, com as quais já trabalhou nesses anos. Percebemos com essa fala
que Susana afirma não ter o costume de abordar geometria por não conhecer e
não ter aprendido em sua formação inicial. Essa fala demonstra que essa
professora já está desenvolvendo a consciência metacognitiva, importante
passo da tomada de consciência dela sobre o que sabe e o que ainda precisa
aprender. A situação vivida motivou-a a refletir sobre sua aprendizagem,
influenciando a metacognição (SANTOS, 1993, 1993a, 1994, 1997).
Confirmamos, a partir da fala de Susana, a situação apresentada por nós, o
estudo de geometria na educação básica, na pedagogia e nas licenciaturas foi
de certa forma abandonado ou deixado de lado nos últimos 30 anos nos
currículos brasileiros (LORENZATO, 1995).
Como ponto negativo, indiquei a pouca paciência por parte de alguns alunos
com esse tipo de atividade, que exige concentração e habilidade manual.
Alguns ficavam irritados e acabavam estragando seus materiais e os dos
outros. Outros queriam que as coisas acontecessem do jeito deles, e não,
conforme planejamos a atividade. A forma de trabalhar, com os alunos, vai ao
encontro com o conhecimento que temos deles. Precisamos construir normas
sociais com os alunos nas aulas e inserir regras claras no contrato didático
estabelecido e que precisa ser renegociado a cada aula. O conhecimento dos
alunos nos leva a refletir sobre problemas com os limites, de cada aluno, e da
turma como um todo.
Na aula do dia 24/set/07, eu entreguei à professora Susana uma folha com
atividade, envolvendo alguns conceitos trabalhados por nós sobre geometria.
Essa folha de atividade foi planejada para ser realizada de forma escrita e pode
ser vista no anexo B. Ela gostou e disse que utilizaria com seus alunos num
outro momento.
240

14ª aula de 2007 – realizada em 01/out/07
A professora Vânia me acompanhou nessa aula. Quando chegamos a
professora Susana comentou que tinha iniciado o trabalho com a folha de
atividades de geometria que eu levara para seus alunos. Seu planejamento
para a aula desse dia seria terminar a folha e que poderíamos realizar outra
atividade como brincadeira sugerida por Vânia. Novamente, os alunos foram
divididos em grupos de, no máximo, quatro crianças. Susana iniciou
comentando sobre o filme „Harry Potter‟ para trabalhar questões de regras a
serem seguidas. A professora Susana sempre esteve perspicaz para aproveitar
as oportunidades e relacionar o que estava sendo construindo com seus alunos
em aulas com a realidade do mundo atual ou com outras situações que eles
pudessem entender e correlacionar.
Após terminarem de responder a folha sobre sólidos geométricos, iniciamos
outra atividade de perguntas e respostas em forma de jogo. A primeira coisa
que trabalhamos com os alunos foi sobre as „regras do jogo‟, na tentativa de
ajudá-los a compreender que precisamos seguir regras e não podemos fazer
as coisas como queremos. Eles deveriam fazer silêncio, responder às
perguntas por escrito, e não, em voz alta, não atrapalhar os outros grupos, com
isso ganhariam pontos positivos e se atrapalhassem perderiam pontos. Após
esclarecermos as regras, entregamos uma folha A4 em branco para cada
grupo, na qual os alunos deveriam escrever suas respostas. Decidimos que eu,
professora Sandra, faria as perguntas e a professora Vânia anotaria no quadro
a pontuação de cada grupo. Susana ajudar-nos-ia circulando pelos grupos já
que conhecia todos os alunos melhor do que nós.
Ao iniciar o „jogo‟, alguns alunos começaram a responder em voz alta.
Demorou um pouco para perceberem que deveriam conversar apenas com os
membros do seu grupo, e que falando alto poderiam dar a resposta para outro
grupo. Algumas perguntas que fizemos foram: Que forma é essa [mostrando
um cilindro]? O cone rola ou não rola? Qual o nome do sólido geométrico que
tem este formato [paralelepípedo]? O que tem na sala que se parece com a
241
forma de um cilindro? Quantas faces tem um cubo? Esse número de faces é

par ou ímpar? Cabe notar que os alunos se confundiram mais com o que seria
um número par ou ímpar do que com o número de faces que possui um cubo.
Figura 27 – Atividade em grupo em forma de jogo sobre geometria
Após o recreio, as professoras Vânia e Susana iniciaram outra atividade com
os doces que Vânia havia levado para os alunos. Elas esconderam uma caixa
de pirulitos dentro de uma sacola escura e as crianças deveriam apalpar, sentir
o peso e a forma para tentarem descobrir o que estava escondido. A
professora Susana brincou de forca com eles, para descobrirem que tinha
pirulito dentro da sacola, eles ficaram felizes e, como sempre, agitados. Antes
de mostrar o que tinha dentro da sacola a professora Vânia e, principalmente,
Susana trabalharam outros conteúdos como peso total, peso individual, e
quantidade. Susana gosta de aproveitar diferentes oportunidades que surgem
em suas aulas para abordar, de maneira rápida, outros tópicos que podem
relacionar com o que estava sendo visto. Susana mostrou-nos em diferentes
momentos que tenta articular e integrar outros conhecimentos que possui em
suas aulas. A princípio, ela relacionava muito com questões sociais e de outras
disciplinas. Depois da participação no grupo, ela começou a relacionar com
outros conteúdos matemáticos também. A tomada de consciência de Susana,
percebendo que conseguiria relacionar e articular bem os conhecimentos de
matemática, com outros assuntos e com o conhecimento geral de currículo foi
algo observado por nós. Aos poucos, com o desenvolvimento dessa atividade
foi ficando mais e claro para os alunos as normas sociais de aula e o contrato
242
didático estabelecido e negociado por nós. Os alunos foram aprendendo a

aceitar e respeitar seus próprios limites, os dos colegas e os de outras
pessoas.
Figura 28 – Alunos tentando utilizar diferentes sentidos para descobrir forma geométrica
Em aulas posteriores trabalhamos outras atividades que envolviam geometria
como foi o caso do trabalho com as folhas da série „A‟, a mais conhecida por
nós é a folha de papel „A4‟. E atividades com origami, com a participação da
professora Lucia, que esteve presente em uma aula, trabalhando com as
crianças alguns origamis. Muitas dessas atividades que foram desenvolvidas
em geometria foram utilizadas na apresentação dos trabalhos realizados, em
2007 por essa turma na Mostra Cultural da escola que ocorreu em 30 de
novembro de 2007.
No ano de 2008, a professora Susana continuou o trabalho com a geometria,
algumas atividades ela conseguiu realizar sozinha com sua outra turma de 3ª
série. Ela adquiriu autoconfiança para iniciar o trabalho com seus alunos na
construção de conceitos geométricos. Em alguns momentos, participamos com
ela e contribuímos nas aulas de geometria, mas não abordamos neste trabalho,
pois tiveram interseções com as aulas ministradas em 2007. A seguir,
aparecem algumas fotos de alunos e 2008 trabalhando a geometria das
embalagens, numa oficina de sólidos geométricos, organizada pela professora
Susana. Notamos que, mesmo estando ainda construindo seus próprios
243
conceitos geométricos, essa professora modificou suas aulas e acrescentou a

abordagem de geometria. Isso reflete bem o que Nacarato e Passos (2003, p.
136) comentam, quando afirmam que “o professor aprende e incorpora novas
práticas tendo como ponto de partida os saberes experienciais partilhados”.
Nesse caso, o que ela pôde vivenciar conosco em aulas de geometria no ano
de 2007.
Figura 29 – Oficina sobre sólidos geométricos – turma da professora Susana 2008
A geometria nas aulas de Beatriz
A professora Beatriz começou a realizar o trabalho com os conteúdos
geométricos em suas aulas de maneira independente, sem a nossa
participação nesses momentos iniciais, somente a partir das propostas do
grupo, conforme indicamos. Ela havia afirmado que, por insegurança,
trabalhava apenas questões referentes às medidas, à área e ao perímetro. No
entanto, a partir de nossas discussões e leituras, no grupo de estudos, ela se
sentiu motivada a trabalhar outros conceitos de geometria, com seus alunos na
3ª série, em 2007, e na 4ª em 2008.
Relatamos, a seguir, uma sequência de aulas da professora Beatriz em 2008,
com sua turma de 4ª série, na qual trabalhamos a construção de alguns
conceitos geométricos. Escolhemos essas aulas porque delas participamos de
forma ativa, juntamente, com a professora.
244

4ª aula de 2008 – realizada dia 11/abr/08
A professora já estava trabalhando com sólidos geométricos quando chegamos
para observar e participar de sua aula. Os alunos estavam sentados em duplas
e no quadro, havia um programa, a ser cumprido durante a aula. Queremos
destacar que escrever o programa do dia, no quadro, consistia numa ação
realizada pela professora, para que seus alunos pudessem ter um panorama
do trabalho desenvolvido nas aulas. A sequência, referente à geometria dessa
aula consistia em: sólidos geométricos, planificação, confecção de caixinhas e
trabalhos com canudinhos.
A professora já havia trabalhado uma pergunta que estava no quadro: “Onde a
geometria está presente no nosso dia a dia?” As respostas também foram la
registradas e cada aluno as copiou em seu caderno. Beatriz valoriza muito o
registro escrito e sempre pede que seus alunos copiem ou anotem o que
trabalharam nas aulas.
Os alunos foram instigados a desenhar a planificação de uma caixa (um
paralelepípedo), utilizando a imaginação, uma folha de papel A4 e outros
materiais como a régua. A princípio, eles não poderiam abrir uma caixa para
ver como seria, deveriam usar apenas a imagem mental que tinham da caixa
aberta e, assim, desenhariam sua planificação. A maioria dos alunos fez por
tentativa e desenharam de diferentes formas a planificação do paralelepípedo.
Houve alunos que perguntaram se seus desenhos estavam corretos ou como
poderiam concretizar a tarefa, apenas imaginando, alguns tentavam dobrar a
folha inteira para entender como deveriam cortar; e outros, ainda, cortavam a
folha e depois desenhavam em outra folha, identificando seus próprios erros.
Ressaltamos a importância de deixar os alunos experimentarem, testarem suas
hipóteses e tirarem suas conclusões. Para a aquisição de conhecimentos
geométricos, consideramos fundamental o uso de diferentes formas para
construir esses conceitos (HERSHKOWITZ, 1994a,1994b; NASSER; TINOCO,
2004).
245

Depois dessa atividade, foi proposto aos alunos que realizassem um desenho
sobre a visualização de um objeto, fazendo uma junção de suas vistas: lateral,
frontal ou superior. Para isso, foi colocada uma caixa de sapato (amarela) num
lugar visível por todos, e cada um teria que desenhar a parte da caixa que
conseguia ver de onde estivesse sentado. Não podendo levantar ou sair do
lugar. Os alunos desenharam conforme suas imagens mentais e o ângulo de
onde tinham visto a caixa e, posteriormente, a pedido da professora Vânia,
alguns deles apresentaram, seus desenhos para a turma explicando e
mostrando as partes que conseguiam ver de seus lugares (conforme figura, a
seguir).
Figura 30 – Caixa para representar a vista e alunos desenhando
Alguns alunos precisaram de orientações sobre o que desenhar. Dessa forma,
nós percorríamos as carteiras e conversávamos com os alunos, mostrando e
questionando-os sobre suas visualizações. Acredito que foi uma atividade bem
interessante, pois eles perceberam que observamos os objetos, de maneira
diferenciada dependendo do campo de visão de cada um e da posição na qual
observamos o objeto.
Para que crianças trabalhem com desenhos em perspectiva é necessário que
elas aprendam a ver, interpretar e produzir significado daquilo que está a sua
frente. Nacarato e Passos (2003) citam as pesquisas de Freudenthal (1983) 45
sobre esse assunto e afirmam o que acabamos de registrar. É uma questão de
45 FREUDENTHAL, Hans. Didactical Phenomenology of Mathematical structures. D. Reidel:
Dordrecht, 1983.
246

aprendizagem, o trabalho e desenvolvimento de perspectiva. Essas autoras
ainda apontam a intervenção pedagógica como importante para que os alunos
possam ler, interpretar e realizar representações planas de objetos
tridimensionais. Foi o que presenciamos nessa aula de Beatriz, pois, com
nossas conversas, dicas, e questionamentos, os alunos foram capazes de
realizar suas representações.
Figura 31 – Professora Vânia conversando com o aluno sobre seu campo de visão.
Figura 32 – Alunos explicando o que desenharam a partir da visualização da caixa.
A professora Beatriz retomou a planificação e deu continuidade à atividade. Ela
abriu, cuidadosamente, uma caixa de remédios por uma de suas dobras e foi
exibindo aos alunos como seria a caixa aberta. Percorrendo a sala, ela pedia
aos alunos que comparassem com o que tinham desenhado em suas
planificações. Beatriz sugeriu que os alunos cortassem suas planificações e
tentassem montar uma caixa. Com essa atividade, alguns reconheceram
247
“erros” que tinham cometido, ao identificarem que faltavam ou sobravam faces

(partes) do paralelepípedo e não conseguiam montar de maneira completa o
sólido. Perceberam, enquanto montavam que, era necessário corrigir algumas
planificações para que pudessem obter uma caixa quando a montavam.
Nacarato e Passos (2003) abordam esse tipo de atividade e o trabalho com os
alunos, afirmando que:
248
Quando se imagina a construção de algum objeto específico, como
uma caixa, não se pode iniciar tal construção sem antes “ver”, na
mente, o que ainda não pode ser visto com os próprios olhos. Tal
destreza exige aprendizagem e deve ser sistematicamente construída
em diferentes momentos, tanto na escola como fora dela. Entretanto,
na escola, essa capacidade poderá ser explorada com a análise de
aspectos visuais de uma figura geométrica, de modo que se torne
possível desenhá-la. Para desenhar um objeto geométrico, é preciso
que o indivíduo seja capaz de imaginar o resultado final, antecipar
mentalmente e inferir corretamente a forma plana (bidimensional) e
as transformações necessárias para apresentá-la na forma espacial
(tridimensional) (NACARATO; PASSOS, 2003, p. 83).
Concluímos que essa atividade contribuiu, como as autoras comentam na
citação acima, para iniciar a formação da habilidade de relacionar as
representações planas, tendo em vista à construção do objeto tridimensional
pelas crianças. Atividades desse tipo contribuem para a formação da imagem
conceitual, quando as pessoas utilizam tentativa, análise e reformulação da
construção do sólido geométrico está desenvolvendo a imagem conceitual do
objeto. A atividade apresentada, a seguir, também trabalha com a construção
final do objeto a partir da construção de suas partes.
Após encerrarmos a atividade, iniciamos a construção de uma estrutura de
pirâmide com canudinhos e fios de nylon. Cada aluno recebeu seis pedaços de
canudinhos e um pedaço de fio de nylon. Realizamos com eles a construção,
sendo, primeiramente, a composição de um triângulo, utilizando três
canudinhos. Posteriormente, adicionamos, ao fio de nylon, mais dois
canudinhos, formando assim o segundo lado de nossa pirâmide 46 ; e para
finalizar, acrescentamos o último pedaço de canudo para compor o terceiro
lado de nossa pirâmide. Completando, amarramos o fio de nylon. Questionei,
aos poucos, alguns detalhes que poderiam ser abordados, a partir da
46 Apesar de ser uma estrutura composta apenas de arestas e vértices, utilizamos a nomenclatura pirâmide,
ao nos referimos a essa construção.

construção que fizemos. Enquanto eu comentava, ou quando os alunos
respondiam aos meus questionamentos, a professora Beatriz anotava, no
quadro, algumas palavras-chave. Comentei que construímos pirâmide de base
triangular, e quando todos os canudinhos (representando nossas arestas)
fossem iguais, teríamos um tetraedro. Chamei a atenção dos alunos para as
faces da pirâmide que são triangulares, diferentes das faces que eles
desenharam ao realizarem a planificação. Mostrei que tínhamos formamos uma
estrutura sem as faces, apenas com as arestas e os vértices, e fizemos a
contagem do número desses componentes. Depois, pedi emprestadas algumas
pirâmides dos alunos, fui mostrando que, se juntássemos, poderíamos obter
outros poliedros diferentes (conforme figura a seguir) e expliquei que eles
poderiam construir, com canudinhos e fio de nylon, outras estruturas de sólidos
geométricos. Essa atividade ficou como proposta da professora Vânia a fim de
que eles fizessem em casa.
Figura 33 – Pirâmides construídas pelos alunos e delimitação de outros sólidos com pirâmides.
Esse tipo de atividade contribuiu para a construção do conceito por parte do
aluno, pois eles tiveram a possibilidade de manusearem, de realizarem a
construção e não apenas de observarem um professor fazer. Clements e
Battista (1992) afirmam ser importante a utilização de materiais manipuláveis,
porém, como incentivo para o início da construção de conceitos geométricos.
Concordamos com Nacarato e Passos (2003, p. 44) ao afirmarem que:
249
O processo de observação passiva não garante a apreensão das
propriedades do objeto. Porém, quando o professor permite a
manipulação ou, inclusive, a construção do objeto, a compreensão da
estrutura, sua percepção espacial pode ser mais completa.

A professora Beatriz pediu que eles escrevessem em seus cadernos o que
fizeram na aula desse dia, e que não se esquecessem dos termos matemáticos
aprendidos durante a atividade e de informações que poderiam ser
visualizadas nas anotadas no quadro. Ainda levantou algumas perguntas para
ajudá-los a pensar no que escrever, tais como: “Por que fizemos essa
atividade? O que aprendemos? Como realizamos a atividade?” O texto deveria
ser realizado nas duplas, mas alguns alunos fizeram seus registros sozinhos.
Essa professora agiu, conforme Santos (1997) indica em seu livro sobre
avaliação, que o professor precisa formular perguntas para ajudar seus alunos
a alargar o raciocínio crítico e a apresentar argumentos e justificativas ao
resolverem atividades propostas.
Figura 34 – Alunos realizando registros escritos sobre o que trabalharam na aula do dia 11/04/08.
A questão do registro escrito foi uma forma encontrada pela professora, a partir
de discussões no grupo de estudos, para se aproximar do que seus alunos
entenderam sobre o que estava trabalhando. Novamente, Beatriz encerra a
atividade fazendo uso da linguagem escrita em aulas de matemática,
reconhecendo como um procedimento que auxilia o aluno na construção de
conceitos e clarear seus pensamentos e compreensões sobre os conceitos
matemáticos explorados em aula. Além disso, a linguagem escrita permitiu a
essa professora apreciar, ao longo do trabalho, o que seus alunos foram
compreendendo da aula e o que julgaram importante (Santos, 1993,1997)
Ressaltamos que cada aluno, ou dupla de alunos, se concentrou no que mais
lhe chamou a atenção, mostrando a riqueza desse tipo de atividade.
Exporemos alguns exemplos, para mostrarmos como percepções ocorrem de
diferentes formas e como alguns alunos são mais detalhistas do que outros.
250

Alguns alunos escreveram apenas sobre a construção da pirâmide, conforme
abordado anteriormente. Outros, foram mais detalhistas e colocaram, passo a
passo, a construção, e houve os que escreveram de uma maneira geral.
Confirmamos essas afirmações através das fotos e de suas respectivas
transcrições.
Figura 35 – Registro escrito do grupo A de alunos sobre a aula de 11/04/08
Figura 36 - Registro escrito do grupo B de alunos sobre a aula de 11/04/08
251
Texto em grupo
Geometria
Hoje, dia 11 de abril de 2008, tia
Sandra nos ensinou a fazer formas
geométricas com canudinhos e
nylon, nós fizemos uma pirâmide.
Primeiro nós fizemos um triângulo,
depois pegamos mais 2 canudos e
formou mais um triângulo, enfim
pegamos o último canudo e
formamos uma pirâmide. No final de
tudo, tia Sandra mostrou que dá
para fazer outras formas com mais
pirâmides.
Fazendo pirâmides
Hoje dia 11 de abril nós criamos
pirâmides com canudos cortados em três
pedaços a pirâmide.
A pirâmide é feita toda de canudos,
agora vou mostrar como se faz:
1º. Pegamos seis canudos e 1 pedaço
de nylon.
2º. Juntamos três e fazemos um
triângulo.
3º. Juntamos mais dois, formou 2
triângulos.
4º E juntamos mais 1 e formamos uma
pirâmide.
5º. Pulamos algumas mais difíceis de
explicar, porque não falamos onde
colocar o fio de nylon é muito difícil.
Fim.

Figura 37 - Registro escrito do grupo C de alunos sobre a aula de 11/04/08
Outros grupos abordaram, em suas escritas, outras atividades efetivadas na
aula. Esses alunos também pontuaram, de forma mais geral, o que realizamos,
sem destacar detalhes do procedimento das construções e atividades.
Figura 38 - Registro escrito do grupo D de alunos sobre a aula de 11/04/08
É interessante destacar que o grupo deixou explícito, estar a diversão presente,
nesse tipo de atividade, como também houve quem demonstrasse ou falasse
isso em aula, durante a realização das atividades. Concordamos com Dana
(1994/1987), ao afirmar que atividades com geometria são diversões, tanto
para crianças como para professores, e que esse talvez seja o beneficio
implícito mais importante do trabalho com a geometria.
252
Hoje, dia 11 de abril de 2008, tia
Sandra e tia Vânia nos ensinaram a
fazer uma pirâmide com canudinhos e
fio de nylon.
Vamos mostrar como se faz:
Primeiro pegamos dois canudos e
passamos o fio.
Depois por outra ponta do fio (a
maior) passamos mais um canudo,
damos um nozinho e formou um
triângulo.
Passamos mais dois canudos pela
maior ponta.
Pela ponta menor passamos o último
canudo, passamos por outro canudo
e damos um nó.
Pronto! Está feito quer ver!?
Hoje, eu e minha amiga fizemos muitas
coisas diferentes, começamos com um
desenho que nós tivemos que imaginar
como seria uma caixa aberta.
E depois, nós tivemos que desenhar o
que nós estávamos vendo da caixa.
E também, fizemos uma pirâmide de
canudos, foi divertido, mas é meio
complicado, é um nó dali, um nó daqui e
pronto, aqui está nossa pirâmide. Foi um
dia muito legal.

Figura 39 - Registro escrito do grupo E de alunos sobre a aula de 11/04/08
Após a realização da atividade com canudos, professora Vânia e eu
(professora Sandra), precisamos sair e não pudemos acompanhar o restante
da aula desse dia. Porém, analisando o caderno de alunos, posteriormente, a
essa aula, constatamos que Beatriz tinha produzido com seus alunos um „texto
coletivo‟ 47 sobre a construção da pirâmide. Decidimos registrar esse texto
coletivo para mostrar a sintetização dos registros da sequência de trabalho
desenvolvido nessa aula.
Quadro 17 – Texto coletivo escrito pelos alunos de Beatriz sobre pirâmides
Texto coletivo: Fazendo pirâmide
Hoje nós aprendemos com nossas professoras visitantes a fazer sólidos geométricos usando canudinhos
e fio de nylon.
Todos receberam 6 canudos e um fio de nylon. Com 3 deles fizemos 1 triângulo depois com mais 2
conseguimos fazer mais outro triângulo e com o último canudo, unindo-o aos triângulos num mesmo
ponto obtivemos uma pirâmide de base triangular.
A pirâmide de base triangular é um tetraedro porque possui 4 faces [iguais a triângulos eqüiláteros].
Este tetraedro possui 6 arestas e 4 vértices.
Observamos que a pirâmide de base triangular possui 12 ângulos internos [ângulos das faces].
47 Vamos aprofundar a questão da produção de textos coletivos realizados por essa professora, quando
relatarmos a aula do dia 06/05/08.
253
Hoje, dia 11/04/09 fizemos geometria
imaginando a caixa aberta e também
fizemos uma pirâmide de canudos e
linha de nylon e também tivemos que
observar a caixa da mesa que a gente
estava e desenhar.
Explicação
1. [desenho da planificação] caixa
Bom a professora deu folha chamex
para a gente desenhar a caixinha e
depois ela abriu a caixinha, cortava e
montava a caixa.
2. [desenho de seis canudos] canudos
Bom, a gente também fez uma
pirâmide de canudos que a tia...
[Sandra ensinou...]

Ao analisar essa sequência de atividades, envolvendo a escrita, podemos
afirmar que a formação dos conceitos geométricos foi enriquecida, pois os
alunos precisavam rever o que entenderam, como aprenderam, utilizar termos
corretos e organizar seus pensamentos para que outras pessoas pudessem
entender o que escreviam. Acreditamos, assim como Sandra Santos (2005, p.
128) que
254
a linguagem escrita pode ser vista tanto como um instrumento para
atribuir significados e permitir a apropriação de conceitos quanto
como ferramenta alternativa de diálogo, na qual o processo de
avaliação e reflexão sobre a aprendizagem é continuamente
mobilizado (p. 128).
A professora Beatriz inseriu a utilização da escrita em suas aulas e percebeu
que, realmente, poderia manter um diálogo com seus alunos, com base nos
textos produzidos por eles, fosse individualmente, fosse coletivamente.
Notamos que os alunos conseguiam expressar suas ideias, cada vez mais de
forma coerente, a partir da realização desse tipo de atividade em diferentes
momentos (SANTOS, 1997; POWELL; BAIRRAL, 2006; LOPES; NACARATO,
2005). Além disso, a construção dos conceitos ficava mais clara, e eles podiam
atribuir significados ao que estavam trabalhando.
5ª aula de 2008 – realizada dia 18/abr/08
Quando a profª Vânia e eu chegamos, a professora Beatriz já estava
distribuindo embalagens aos alunos que não tinham levado de casa. Depois,
solicitou-lhes que as observassem e as analisassem, durante um determinado
tempo, para depois mostrarem aos colegas e conversarem com eles. Após
alguns minutos, Beatriz começou a questioná-los sobre as embalagens e as
características das mesmas. A maioria tinha, em mãos, caixas de remédios e
deduziam que eram paralelepípedos. A professora fazia perguntas para ajudar
seus alunos a comentar, de uma forma mais completa, as características das
embalagens. Algumas das perguntas feitas por ela foram: “Que forma você
acha que tem esse objeto? Dos poliedros, qual seria? Quantas faces ela tem?
Essa caixa lembra o que? Como são as faces? Quantos vértices têm? E
quantas arestas?” Ela também trabalhou com a questão do rolar ou não rolar.

Abordou assim vários conceitos trabalhados em aulas anteriores. É
interessante observar como os alunos vão adquirindo o vocabulário matemático
adequado, após o início do trabalho. Percebemos que a professora teve
influência sobre isso, pois fazia questão de utilizar o vocabulário matemático
adequado nas suas falas. Alguns alunos tinham embalagens que não
possuíam faces com formas regulares, também apareceram cilindros, e isso foi
aproveitado pela professora para abordar sobre algumas características
apresentadas nas embalagens que utilizamos. Essa atividade foi interrompida
por alguns minutos para que os alunos fossem cantar o hino nacional os outros
alunos da escola.
Quando retornamos à sala de aula, um aluno mostrou uma embalagem e a
identificou como um poliedro de 10 faces, o que chamou a atenção por ter sua
base ortogonal (com oito lados). Após constatação do aluno, iniciei uma
abordagem sobre a nomenclatura desses tipos de sólidos. Falei então, sobre
os prismas, sobre suas duas bases iguais e suas faces laterais em forma de
retângulos. Depois, continuei com alguns questionamentos, tais como: “Para
ser um prisma precisa ter apenas faces quadradas ou retangulares? Um
paralelepípedo é um prisma ou não?” Partindo desses questionamentos
iniciais, desenhei alguns prismas no quadro e escrevi uma definição, conforme
pode ser visto na figura a seguir. Expliquei que os nomes dos prismas são
diferenciados pelas bases que, por sua vez, são formadas por polígonos.
Figura 40 – Quadro com desenhos e definição de prismas
255

Eu comentara, anteriormente, que as faces laterais dos prismas eram
retangulares, mas lembrei de que as faces laterais devem ser identificadas
como paralelogramos, abrangendo, de forma mais geral, os diferentes prismas.
Destaquei que, quando as faces laterais são formadas por retângulos, esse
sólido é chamado de „prisma reto‟, e quando as faces laterais são formadas por
um paralelogramo oblíquo esse sólido geométrico recebe o nome de „prisma
oblíquo‟.
Figura 41 – Alunos realizando registros em seus cadernos
Após essa abordagem, a professora Beatriz pediu aos alunos que abrissem
suas embalagens, o quanto possível, pois algumas eram de plástico ou de
outro material que não permitia o recorte. Eles deveriam fazer isso para
desenharem a planificação das embalagens em seus cadernos.
Comentei, em continuação, sobre a rigidez dos triângulos, para exemplificar a
situação, montei um prisma com canudinhos e fio de nylon. Essa construção
permitiu que o prisma ficasse móvel, podendo ficar reto ou oblíquo, de acordo
com o modo como o seguramos. Em sequência, coloquei canudinhos nos
lugares das diagonais das faces, e assim nas faces foram aparecendo
triângulos, a estrutura foi ficando rígida e se transformando em um
paralelepípedo. Passei entre as carteiras para que os alunos observarem como
a estrutura ficava rígida, após inserir as diagonais e formar os triângulos. Ao
descobrirem a rigidez do triângulo, eles deduziram em quais lugares poderiam
256
identificar triângulos para dar rigidez à estrutura. Os alunos demonstraram ter

compreendido com exemplos do armário de aço, no telhado e lembraram-se
outras situações como nos portões e portas.
Ainda durante essa atividade, expliquei que estava colocando as „diagonais‟ de
cada lado, e a professora Vânia passou a conversar com eles sobre esse ente
matemático. Após alguns desenhos, os alunos foram convidados a expor, com
suas próprias palavras, o que entenderam ser uma diagonal. Algumas
respostas dos alunos foram: “É uma linha que vai ligar dois pontos. É uma linha
que vai servir como suporte. Eu entendi que diagonal é um segmento de reta
que une dois vértices. Segmento de reta interno que liga dois vértices”. Um dos
alunos sugeriu que procurássemos em um dicionário, a definição de diagonal.
Em um dos dicionários estava escrito: diagonal – “segmento de reta que une
vértices não adjacentes de um polígono, segmento de reta que une vértices em
faces não adjacentes de um poliedro”. Outra definição falava de diagonal
principal, relacionando ao assunto de matrizes. A professora Beatriz pediu que
eles escrevessem a definição de diagonal de acordo com o entendimento de
cada um.
Figura 42 – Trabalho sobre diagonais: abordagem profª Vânia e caderno com anotações
7ª aula de 2008 – realizada dia 09/mai/08
Quando cheguei, a professora Beatriz estava trabalhando história com seus
257
alunos. Após terminar essa parte da aula, ela pediu que os alunos pegassem o

caderno de matemática para que dessem continuidade ao texto coletivo sobre
as aulas de geometria, que havia sido apresentado no dia anterior.
Conforme já comentamos, essa professora trabalhou muito com a escrita nas
aulas de matemática. Uma das formas encontradas por ela foi a produção de
textos coletivos, na qual ela sugeria um tema e todos poderiam dar palpites do
que seriam capazes de registrar sobre o assunto. Isso levava os alunos a
refletir e a buscar na memória o que tinham aprendido ou visto sobre o tema
tratado. A professora, algumas vezes, instigava os alunos a falar sobre uma
parte da aula ou da forma como tinham realizado determinada atividade. A
escrita de texto coletivo era um momento de revisão de conteúdos e do que,
realmente, ficou marcado para os alunos de uma maneira geral. Vamos
transcrever como foi feita a abordagem realizada pela professora para a
construção do texto coletivo e, no anexo C, colocamos o texto completo.
Para reiniciar a escrita do texto coletivo, a professora pediu para uma aluna ler
o que já tinham produzido anteriormente. Transcrevemos o texto inicial, lido
pela aluna, escrito pelos alunos na aula anterior.
Texto coletivo
Nós aprendemos que sólidos geométricos são sólidos que ocupam
lugar no espaço e têm lados com formas geométricas. Conhecemos os poliedros
(sólidos que possuem muitas faces).
Ao desmontar caixinhas em formas de paralelepípedos, prismas de
base triangular e ortogonal, observamos que obtivemos regiões planas.
Depois de relembrarem o que já tinham escrito, os alunos continuaram a dar
suas opiniões. Em algumas circunstâncias a professora pedia a ajuda deles
para modificarem ou para clarearem as ideias de colegas. Eles começaram
completando sobre o trabalho com as embalagens.
Quando contornamos um dos lados da caixinha obtivemos uma figura
geométrica plana de lados formados por linhas retas, são os polígonos.
A professora questionou durante a escrita sobre o nome das figuras planas que
têm linhas retas e que delimitam uma região do plano. Como alguns alunos
258
responderam poliedros, a professora chamou-lhes a atenção, pois já tinham

estudado isso durante algum tempo, desde a 3ª série, e ainda confundiam a
figura plana da espacial. Uma aluna lembrou que eram os polígonos e
completou a frase anterior. Percebemos como é importante trabalhar, em
diferentes momentos, as nomenclaturas dos sólidos geométricos e das figuras
planas para que os alunos não confundam. Beatriz continuou fazendo uma
provocação: “Que tal a gente colocar os nomes de alguns polígonos que nós
aprendemos?” Ela sugeriu que eles elaborassem um quadro com o nome de
alguns polígonos, de acordo com o número de lados (conforme quadro, a
seguir). Durante a organização do quadro, algumas colocações importantes
foram realizadas. Alguns alunos comentaram que o polígono de quatro lados
era o quadrado, no que a professora explicou que é quadrado somente quando
tiver algumas características especiais, como o fato de terem lados iguais.
Outro aluno lembrou que o nome mais apropriado seria quadrilátero e não
quadrado. Eles continuaram o texto coletivo, até construir o quadro, conforme
visualizamos a seguir.
Aprendemos que há polígonos que recebem nomes diferentes de acordo com o
número de lados.
Nome do polígono Número de lados
Triângulo 3
Quadrilátero 4
Pentágono 5
Hexágono 6
Heptágono 7
Octógono 8
Eneágono 9
Decágono 10
Undecágono 11
Dodecágono 12
Pentadecágono 15
Icoságono 20
Durante a construção desse quadro, a professora Beatriz foi realizando
ligações sobre os nomes dos polígonos para que os alunos revisassem e se
aprofundassem no assunto. Um exemplo disso foi a nomenclatura do polígono
de quinze lados. Ela relacionou ao fato de o Brasil ganhar um campeonato por
cinco vezes, eles comentaram que seria pentacampeão. Depois
complementou, pedindo para que tentassem dizer o nome do polígono de 15
259
lados, utilizando a informação do referente ao polígono de 5 e de 10 lados. Os

alunos fizeram tentativas até que um deles sugeriu o pentadecágono, nome
correto desse polígono.
Uma fala importante da professora nesse momento e que representou um
pouco de sua crença em relação à aprendizagem e ao trabalho de escrita em
matemática, embora com certo grau de radicalismo, foi: “aquilo que a gente
não escreve, a gente esquece.” Essa professora acreditava na importância do
registro, mas não tinha o costume colocá-lo em prática nas aulas de
matemática. Após sua inserção no grupo, ela percebeu que seria possível e
viável realizar esse tipo de atividade, também, nas aulas de matemática e
começou a fazê-lo de forma interessante e com bons resultados.
Ela instigou os alunos a lembrar outros assuntos trabalhados nas aulas de
geometria. Um dos alunos lembrou que tinham realizado a vista da caixa sobre
a mesa e começaram a pensar em como registrar isso. A escrita ficou da
seguinte forma:
Fizemos uma experiência onde observamos uma caixa sentados em
posições diferentes, com ângulos de visão também diferentes. Assim alguns
alunos apenas viram dois lados da caixa, outros viram três lados e também
teve quem viu somente um lado. Isso prova que os objetos adquirem formas
diferentes de acordo com nosso campo de visão.
Também aprendemos que diagonal é o que une dois vértices opostos na
região interior do polígono.
Nesse texto coletivo, os alunos também pontuaram o trabalho realizado sobre
as diagonais dos polígonos. Eles fizeram algumas atividades envolvendo
diagonais e tiveram que definir diagonal com suas próprias palavras. Eles
resumiram esse estudo com a última frase do texto acima.
Após a conclusão dessa parte, a professora Beatriz pediu que seus alunos
olhassem nos cadernos, em seus registros para se lembrarem do que tinham
estudado sobre geometria. Alguns alunos comentaram sobre outros conteúdos
que não faziam parte do conteúdo de geometria que tinham estudado. Beatriz
pediu para eles olharem com cuidado e analisarem antes de comentarem.
260
Depois disso, alguns alunos lembraram que trabalharam com perímetro de

polígonos e fizeram diferentes atividades. E continuaram a escrita do texto
coletivo comentando sobre perímetro.
Estudamos o perímetro que é a soma das medidas dos lados de
um polígono.
Com canudinhos, confeccionamos pirâmides de base triangular.
Quando a professora Sandra confeccionou um cubo, teve
dificuldades porque ele ficou deformado. É que os quadrados não tinham
firmeza como os triângulos da pirâmide, então, a professora Sandra colocou
suportes em diagonais que dividiram as faces quadradas em triângulos.
Colocou, também, mais uma diagonal interna no poliedro.
É interessante lembrar que o triângulo é a única figura geométrica
rígida, firme, por isso vemos a utilização de suportes em diagonal em várias
construções.
Quando planificamos as caixinhas, tentamos, antes disso,
desenhar como imaginávamos que seriam. Poucos de nós acertamos, pois
esquecemos que as caixas precisam ter as bordas (mais uns ladinhos) para
colar os lados da caixa.
Alguns alunos se lembraram de outros fatos, como o fato de juntar algumas
pirâmides para formar outros poliedros, mas que não foram inseridos no texto
coletivo. Ao final dessa atividade, a professora comentou sobre alguns alunos
que possuem problemas com a escrita e acrescentou: “Só escreve bem, quem
escreve muito.” Isso realça, mais uma vez, a importância que a professora
Beatriz dá a questão do registro escrito. Ela terminou essa aula, comentando
que existe uma relação entre português e matemática, e que o texto coletivo
que tinham escrito era narrativo e informativo.
A professora Beatriz abordou esses tópicos sobre geometria em atividades
realizadas em aulas posteriores e em avaliações, dando continuidade ao
trabalho desenvolvido. A parte referente à geometria do livro didático também
foi utilizada para reforçar e complementar o trabalho com esse conteúdo.
Diferentes atividades envolvendo geometria, foram desenvolvidas pela
professora Beatriz, em 2007 e 2008. Mas, não relatamos e analisamos neste
trabalho. Colocamos apenas uma parte para que o leitor possa entender o que
ocorreu. As outras atividades perpassam por caminhos parecidos de
desenvolvimento do que foi exposto. Podemos citar o trabalho em 2007 com as
261
medidas das folhas tipo “A”, que mesclou com uma produção artística e com

poesias que foram escritas pelos alunos, para a Mostra Cultural realizada pela
escola em novembro de 2007. Ainda podemos evidenciar a poesia sobre
geometria escrita no coletivo da turma, também para esse evento. Colocamos
a seguir a poesia sobre geometria e algumas fotos que identificam esse evento.
Quadro 18 – Poesia sobre geometria escrita pelos alunos de Beatriz na 3ª série em 2007.
Natureza geométrica
Vida e matemática
Matemática colorida
Da simetria das folhas
Verdes ou amarelas
E as pétalas das flores?
Com suas cores
Unindo seus pontos
Podemos traçar
Os triângulos das orquídeas
Os quadriláteros das papoulas
Os pentágonos dos hibiscos, mimos-de-vênus
Ou graxas dos incultos
Os hexágonos dos lírios
Os múltiplos polígonos das rosas
E as abelhas?
Com seus hexágonos perfeitos
Que armazenam o mel dourado
Com o néctar da flor
Triangular
Quadrangular
Pentagonal
Hexagonal
Oh, geometria!
E as aranhas?
Oito pernas, uma aranha
Dezesseis pernas, duas aranhas
Vinte e quatro pernas, três aranhas
Cada uma com sua teia
Branca, transparente
Um fio, dois fios, três fios,...
Descrevendo formas
Triangulares,
Quadriláteras
Pentagonais
Eneagonais
Decagonais...
Um de seus lados?
Várias diagonais...
Oh, matemática,
Onde eu olho,
Eu te vejo
Com suas cores e suas formas.
A geometria começou a estar presente com mais frequência nas aulas da
professora Beatriz após sua inserção no grupo de estudos. Colocamos
anteriormente (seção 5.2.1), afirmações dela sobre o pouco trabalho de
geometria e como o grupo a levou a valorizar esse conteúdo matemático. Pelo
que apresentamos, percebemos que ela utilizou de diferentes recursos para
iniciar a construção dos conhecimentos geométricos com seus alunos.
262

5.3 Flores de aprendizagens em grupo de estudos
Aprender em grupo ou a partir de discussões realizadas em grupo acontece de
forma diferente com cada integrante. Utilizamos a metáfora das flores, pois
acreditamos que durante esse longo processo de pesquisa, tivemos a
oportunidade de vivenciar e vislumbrar a beleza e delicadeza do que
conseguimos aprender. Essa atitude de admiração e encantamento perante
„flores‟ representa um pouco dos nossos sentimentos enquanto pertença ao
grupo que nos proporcionou momentos de troca e crescimento tanto pessoal
quanto profissional. Quando contemplamos flores, sentimos a delicadeza de
cada uma, as diferenças físicas e aromas que possuem. Quando analisamos
nossa aprendizagem em grupo, também podemos perceber sutilezas pessoais,
diferenças de atitudes, emoções e envolvimento de cada participante. Quando
analisamos flores, apreciamos algumas que ainda estão em fase de botões,
começando a desabrochar, e outras estão, completamente, abertas e
mostrando toda sua beleza. Descobrimos também que algumas se escondem
ou superam obstáculos, como os espinhos. Na aprendizagem em grupo
também nos deparamos com espinhos, dificuldades que vivenciamos durante o
caminhar. Porém, devemos contemplar a beleza do que conseguimos superar
nessas dificuldades. Essa multiplicidade de aprendizagens com suas sutilezas,
dificuldades e encantamentos é o que pretendemos apresentar nessa seção.
Desejávamos que as professoras sentissem que faziam parte de um grupo,
que gerasse um sentimento de pertença. Isso teria como consequência o fato
de que cada uma de nós influenciava e estava sendo influenciada pelas demais
participantes. Sabíamos que cada professora se encontrava em um momento
diferenciado de desenvolvimento profissional, portanto viveríamos o grupo de
maneira diferenciada. O respeito para com o trabalho individual foi algo
escolhido e realizado por nós. Tínhamos como objetivo que as professoras
percebessem e encarassem os encontros como espaços de trocas, de
263
respeito, de lugar seguro, onde não precisássemos fingir que sabíamos.

Espaços onde pudéssemos expor anseios, vitórias e derrotas, tendo o apoio
que necessitássemos. E foi nesse espaço que convivemos e aprendemos em
grupo.
O interesse e entrosamento entre os participantes do grupo é algo que merece
destaque. Depois de mais de dois anos de encontros, conseguíamos conhecer
umas as outras e nos comunicávamos apenas com um olhar. Já nos
entendíamos, quando havia acontecido algo com alguma das professoras ou
quando uma de nós não estava se sentindo bem. Acreditamos que isso era
devido ao nosso entrosamento e as afinidades que se desenvolveram ao longo
do estudo. Até mesmo quando a professora Vânia estava na Alemanha,
conseguíamos, por meio de telefonemas e e-mails, realizar a todo tempo uma
interação entre o grupo.
Assim sendo, destacamos vários momentos do caminhar do grupo, embora
não possamos definir bem ou separar integralmente o que foi o caminhar do
grupo do o caminhar individual. Essas coisas estão imbricadas, afinal o grupo
de estudos foi constituído pelas professoras e o que cada participante fez dele.
5.3.1 Aprendizagem coletiva
Destacamos nesta parte nossa interação enquanto grupo, ressaltando algumas
aprendizagens que foram evidenciadas pelas professoras participantes, em
alguns encontros. Como as professoras utilizaram metáforas para compararem
a relação delas com a matemática e também em relação às aulas de
matemática, decidimos nos apropriar dessas metáforas para questioná-las.
No 20º encontro, realizado no dia 30/jul/07, no qual a professora Lucia
começou a participar conosco, pedimos a Susana e a Beatriz para comentarem
264
sobre suas aulas de matemática, após a participação delas nos encontros do

grupo. Essa abordagem foi sugerida, por telefone, pela professora Vânia para
que Lucia entendesse um pouco do que já estava sendo discutido e para que
tivéssemos um retorno das próprias professoras sobre a participação no grupo.
O diálogo seguinte mostra um pouco desse momento. Foi importante como
situação provocadora de reflexão e pudemos observar qual era a visão das
professoras sobre os encontros do grupo no momento em que ocorreu este
diálogo:
Eu/Sandra: Eu queria rapidinho, que vocês pensassem e falassem olhando para a
realidade de vocês. Isso é ideia de Vânia. Cada uma pensasse,... A Susana falou
para a gente ano passado que a matemática na sala dela era como... Como o que
Susana?
Susana: Como arroz e feijão.
Eu: Então nós já vamos fazer um ano agora no final de agosto. O que você avalia
nas suas aulas que você já conseguiu colocar alguns ingredientes, o que
você já conseguiu modificar. A sua avaliação,..., de você, a partir da
participação neste grupo... E vai pensando... E a Beatriz, na questão de
lançar coisas diferentes, como a divisão,...
Beatriz: A multiplicação,...
Eu: ... Do „cavalo dar menos coices‟. Cavalo mostrar mais a beleza e a
fascinação dele,...
Beatriz: Já está dando para ver que está dando menos coices.
(transcrição de gravação em áudio de 30/jul/07)
Na minha fala, fiz menção às metáforas utilizadas por elas ao se referirem à
matemática e às suas práticas em sala de aula. As professoras entenderam o
que estava sendo proposto e continuamos o diálogo, dando respostas às
minhas colocações.
Eu: Fazer uma avaliação desses meses, quase um ano, principalmente desse
semestre do ano [2007]. Pois, ano passado a gente estava mais se conhecendo,...
Como está sendo este primeiro semestre em relação a vocês e em relação a
mudanças que vocês observam,... se já observam, que começou a acontecer na
prática de vocês. Vamos lá, quem quer começar? Depois eu vou falar também.
Beatriz: Pra mim eu acho que sim. As minhas aulas de matemática, eu acho
que são melhores. São mais criativas, são mais interessantes, eu tenho mais
prazer nas minhas aulas de matemática. Tanto que os cadernos dos meus
alunos começaram a encher, eu tive que dar uma paradinha esta semana,
porque português estava ficando,..., tenho que me policiar. Porque eu gosto
da matemática e adoro quando surgem assim,... Como ensinar de maneiras
265

diferentes. Igual a divisão, essa multiplicação que a gente ensinou com as
linhas.
(transcrição de gravação em áudio de 30/jul/07)
A professora Beatriz afirmou, mais de uma vez, seu encantamento pela
matemática e observou que alguma coisa tinha modificado em suas aulas. Ela
cita a questão da criatividade, das aulas estarem mais interessantes e
diferentes. Beatriz fez uma reflexão até mesmo sobre o tempo que estava
dedicando à matemática, observou que precisava se controlar para que as
outras disciplinas não ficassem prejudicadas, por causa da sua empolgação
com a matemática. Isso mostrou certa maturidade por parte dessa professora.
Ela estava gostando mais de suas aulas de matemática, porque já atingia
alguns de seus objetivos iniciais, desde que começou no grupo: descobrir
maneiras diferentes de trabalhar a matemática com seus alunos. Mas, ao
mesmo tempo, sabia que deveria refletir sobre como estava desenvolvendo
esse trabalho, para não dar maior importância a isso e deixar outros conteúdos
sem serem trabalhados. Na sequência do diálogo, Beatriz explica sua
colocação sobre a metáfora do cavalo.
Eu: E você acha que seus alunos estão percebendo isso também?... Do início do
ano para cá. Eles também estão encantados com essa matemática?
Beatriz: Eu acho que sim. Eu não vejo eles falando: “Ah não, hoje é aula de
matemática”. Que bom, todo mundo gosta. Eu não vejo isso.
Eu: Alguma coisa que você quer mais destacar?
Beatriz: Quanto aos „coices do cavalo‟, eu coloquei isso mais para mim.
Porque sempre vão surgir desafios para mim, eu não domino a matemática
como vocês...
Eu: Do que vocês. Mas a gente, às vezes...
Beatriz: O cavalo está cada vez mais bonito, porque estou aprendendo,...
Lucia: Sabe quanto tempo eu fiquei para entender... eu fiquei sexta, sábado e
domingo para conseguir entender, que comecei a cair a ficha...
[...]
Beatriz: Isso que eu chamo de coice, quando eu fico tentando entender uma
coisa e não...
(transcrição de gravação em áudio de 30/jul/07)
Beatriz acreditava que seus alunos olhavam para as aulas de matemática com
266
outros olhos. A professora tentou explicar a metáfora do cavalo e dos coices,

comentando que ela não domina a matemática como acredita que nós
dominamos (nós: eu, Lucia e Vânia, professoras formadas em Licenciatura em
Matemática). O fato de não dominar a matemática de um modo mais amplo a
leva a ter desafios, dificuldades, e isso ela comparou com os coices que pode
levar dos cavalos. Ela também acreditava que, como estava aprendendo, já
não levava tantos „coices‟, e o cavalo se transformava em outro mais bonito,
mais domesticado. Lucia comentou que nós, professoras, formadas em
matemática, também enfrentamos dificuldades com alguns conteúdos. Isso
mostrou que não sabemos várias coisas de matemática e que, mesmo assim,
nos encantamos com ela. Susana aproveitou essa fala para destacar um
episódio que tinha passado em relação à matemática.
Susana: E a gente não sabe. Isso aconteceu comigo. Tinha que ser o aluno M, ele
me pegou no flagrante horroroso. Mas também não me deixei por rogado, eu
peguei o livro e falei assim: „tá e daí, é melhor eu olhar no livro do que ensinar
errado para vocês,... Agora faz favor de prestar atenção [falando para o aluno
M]‟. sabe qual foi, eu também exagerei com eles. Mas agora eu estou
aproveitando cada oportunidade para introduzir um novo conceito. Por
exemplo, surgiu uma conta lá que a menina foi no supermercado fazer compra. Eu
aproveitei aqueles numerais lá depois da vírgula, para falar de décimo e
centésimo. Porque se eu deixar para depois eles nunca vão aprender esse
conceito. Então eu peguei o QVL, fui lá no quadro, fiz o QVL com eles fiz a
unidade, a dezena e continuei o quadro depois da unidade. Porque isso está
trabalhando no livro lá no final. Mas surgiu a oportunidade e eu já trouxe
para eles na sala. Então meu cardápio aos poucos, Sandra, está variando.
Essa abordagem aqui foi produtiva, eu ampliei número, não dei nada difícil,
procurei dar dentro do alcance deles. Às vezes, é fácil até demais, posso até
dar mais difícil se eu quiser. Mas já sei, sem que eles tomem um susto muito
grande, então eles foram um pouco mais... E a grande novidade que eu estou
botando e que estou gostando de trabalhar com eles toda semana
religiosamente, é a questão de desenvolver o raciocínio lógico matemático. É
uma coisa que eu não tinha trabalhado, que eu estou introduzindo e está muito
bom. Então meu cardápio aos poucos ele está ficando mais temperado, está
mais gostoso. Ainda não está uma ceia, mas...
(transcrição de gravação em áudio de 30/jul/07)
A professora Susana fez uma reflexão sobre suas atitudes em sala de aula. Já
percebe que está aproveitando as situações para introduzir, a partir da
necessidade ou oportunidade, alguns conceitos que seriam trabalhados
posteriormente. Afirma que, com essa atitude, tenta „variar o cardápio‟
267
retomando a metáfora utilizada por ela, desde o inicio dos encontros,

conscientizando-se de que ainda deve continuar a modificar algumas de suas
atitudes e aponta-nos situações concretas de mudanças, de aprendizagens.
Ela começou sua reflexão crítica, comentando sobre um acontecimento na aula
de matemática que a levou a buscar ajuda no livro didático. Ressaltou que,
algumas vezes, ocorrem situações para as quais não nos preparamos,
antecipadamente, mas que podemos buscar soluções possíveis para aquele
momento. Foi interessante notar que essa professora esteve sempre aberta a
afirmar que precisava de ajuda, assumia suas interrogações e procurava
solução para suas dúvidas. Quando a professora comenta sobre raciocínio
lógico matemático, ela está considerando o uso de problemas ou desafios nos
quais os alunos se deparam com situações em que precisam utilizar a lógica.
Susana aplicou diversas atividades extras baseadas em problemas dessa
natureza.
Beatriz: Experimenta colocar uns problemas desafiantes de vez em quando.
Susana: Isso é o que eu quero fazer. Quero que você traga para mim, para eu
jogar para eles. Mas agora eu já vou mudar, Sandra, eu vou começar a botar
aqueles meninos para trabalhar mais assim, em grupo, para eles virem ao
quadro, eu não quero mais ficar me estressando.
Eu: Mas isso eles não faziam antes?
Susana: Não, mas estão doidos para fazer. E eu estou achando que está na
hora de eu soltar esses meninos [alunos], está na hora de eu largar de mão
um pouco esta questão de ficar chamando muito a atenção. É porque eles
não estão gostando da forma que estou trabalhando direto com eles no
quadro. Eles querem participar mais. Eles ficam num tititi, aquele bate papo,
aqueles olhares atravessados, eles mostram que querem participar de forma
diferente. Estou fazendo...
Beatriz: De repente eles fazendo probleminhas, trabalhar em duplas para que um
ajude o outro.
Susana: A gente já fez isso, né Sandra? Já fizemos,... uma vez só, tem que fazer
mais,...
(transcrição de gravação em áudio de 30/jul/07)
Mais uma vez a professora Susana se mostra com vontade de modificar
algumas de suas práticas. Ela não tinha paciência de colocar os alunos para
corrigirem os exercícios no quadro. A correção era realizada por ela para
ganhar tempo, os alunos, normalmente, só copiavam as soluções,
empobrecendo as discussões que essa correção poderia gerar.
268

Eu: E a Susana em relação à matemática?
Susana: Ihhhh,... bom, eu aprendi um pouco mais, se eu fosse hoje encarar
um concurso eu não faria não. Eu ...
Eu: Mas a matemática que você ensina. Esquece o concurso. Como está você
com essa matemática que você ensina?
[...]
Susana: Veja bem, a gente vai dominando aos poucos. A matemática para eu
ensinar, não tenho grandes dificuldades não. A não ser quando muda o
assunto assim, porcentagem é um pouco mais complicado. Eu sei o básico.
10% por exemplo. Números inteiros,... Se você der, por exemplo, a porcentagem
de 30000 tirar 24% eu não sei, eu sei arredondar alguma coisa aí. 24% de 30
alunos, com nota baixa. É uma coisa que eu não sei fazer. eu não sei ainda de
cabeça. Vai chegar próximo do 7, mas...
Eu: E como você sabe que vai chegar próximo do 7? Qual foi a conta que você fez
de cabeça?
Susana: O dez com dez dá 20, o caso vamos colocar que 10% de 30 são 3, 3 e 3
são 6, dá mais ou menos 7. 24% daria um número quebrado 6,8 não? Mas é uma
coisa que eu não domino.
Lucia: Olha que legal, ela tem tanta naturalidade de falar.
Susana: Não domino. Um número redondo eu sei calcular. 20% de 30 alunos, são
6. Mas não me bota para transformar isso em fração, pois é um conceito que
eu não aprendi. Você já me ensinou, porque se for por 100, então seria 20
sobre 100.
Lucia: Eu acho muito legal porque você coloca isso numa boa, assim, as
pessoas tendem a esconder, as coisas, às vezes ficam com vergonha,...
Eu: Mas o nosso grupo está assim,... Quantas vezes eu falo assim, eu não sei
como se ensina isso lá na 1ª série, 2ª ou 3ª série...
Lucia: Eu fui dar uma oficina para o pessoal de 1ª a 4ª série, mas como o pessoal
tem dificuldade em dizer assim, eu não sei... Tem quantas coisas que a
gente,..., resolve agora,...
Susana: Eu dei hoje,..., Sandra viu, os problemas que eu trabalhei hoje, foi
„mamão com açúcar‟. Só para somar,... A única coisa mais difícil, que eu fiquei
com raiva de mim depois, foi que se eu tivesse planejado com vontade
mesmo, eu teria trabalhado o último problema primeiro. Porque ele foi mais
trabalhoso, os meninos já estavam mais agitados, mais dispersos. Eu querer
trabalhar aquele conteúdo todo 9 horas da manhã e eles já querendo ir ao
banheiro fica difícil. São esses mínimos detalhes que a gente que às vezes eu
me pego pecando. Cada coisa tem que estar milimetricamente planejado.
Eu: A Susana vai provocando eles, por exemplo, ela foi somar 155 com 24 e ela
colocou o 2 debaixo da centena. Imediatamente eles gritaram: „professora está
errado, você não sabe não professora‟.
Susana: Eu gosto de provocar eles,... [...]
(transcrição de gravação em áudio de 30/jul/07)
269

Essa fala de Susana mostra, mais uma vez, a naturalidade que ela tem em
afirmar que possui dificuldades, que não domina a matemática de maneira
mais ampla, que só sabe o básico. Isso impressiona a professora Lucia, pois
muitas vezes convivemos com profissionais que tendem a esconder suas
fraquezas. Nesse grupo, Susana se sentia à vontade para se expor, sabia que
não seria ridicularizada. Podemos afirmar que Susana estava construindo
determinada aprendizagem sobre o conteúdo de porcentagem, pois, em
diferentes momentos tivemos discussões sobre esse conteúdo nos encontros.
Utilizamos diferentes atividades, para trabalhar porcentagens, e aproveitamos
algumas situações para aprofundar os debates sobre esse assunto, como
quando a professora Beatriz estava trabalhando esse conteúdo em suas aulas
e discutimos algumas atividades. Notamos que, Susana reflete, criticamente,
sobre sua postura em sala de aula, realizando uma reflexão sobre a ação
(SCHÖN, 2000/1998). Ela percebeu que deveria ter modificado a ordem de
trabalho por conhecer a turma e afirmou que faltou planejamento, mesmo
sendo essa professora muito organizada em relação ao seu planejamento
diário. A professora demonstra que reflete a partir de seu conhecimento dos
alunos. Acreditamos que essa abertura, essa confiança e pré-disposição em se
expor devem-se ao fato do tipo de grupo formado. Na interação entre os
membros do grupo, no respeito ao outro, na tentativa de mostrar novos
caminhos, o diálogo foi sendo construído e fortalecido a cada encontro.
Participávamos, no propósito de nos ajudar mutuamente, não apenas criticar
ou apontar defeitos. Levantávamos questionamentos sobre os conteúdos e
trocávamos informações que serviam para a construção dos conceitos
matemáticos. Aprendemos, portanto, a agir como grupo que realizava um
trabalho colaborativo, onde cada um tinha suas fortalezas e fraquezas que
eram colocadas à disposição do grupo e do caminhar juntos.
Com a interação, o conhecimento do outro e a influência pelo grupo pode ser
notada com o que aconteceu no 5º encontro de 2008 (07/abr/08). Nessa
ocasião, pedimos as professoras presentes (Susana, Beatriz, Sandra e Vânia)
um relato sobre uma aula das professoras Susana e Beatriz que tivesse
270
marcado ou chamado a atenção, no ano de 2007 ou de 2008. A proposta era

que cada uma tentasse relatar uma aula, destacando os pontos pelos quais
selecionou a mesma. As professoras Sandra e Vânia preferiram relatar uma
aula de Susana e outra de Beatriz que tinham observado. Nessa oportunidade,
notamos como algumas coisas marcaram a todas nós, do grupo, e como isso
nos envolveu. As professoras Sandra, Beatriz e Vânia relataram uma mesma
aula de resolução de problemas de divisão não exata que a professora Beatriz
tinha aplicado em algumas semanas anteriores, após uma avaliação, e que
tínhamos participado. Essa aula foi comentada e analisada por nós na seção
5.2.1.2 deste trabalho. Acreditamos que o envolvimento da professora Beatriz
com a turma e a participação dos alunos foram um dos motivos que levaram
essas professoras a escrever sobre uma mesma aula sem fazerem nenhum
comentário anterior entre elas. A seguir, colocamos o que cada professora
escreveu sobre essa mesma aula, pois queremos dar visibilidade ao que
estamos pontuando sobre a aprendizagem coletiva e sobre os incidentes
críticos ou significativos que nos motivaram a fazer nossas escolhas.
Relato escrito de Beatriz sobre uma de suas aulas em 2008:
Resolução de problemas
Uma das minhas aulas de que gostei e da qual agora me lembro é a última que
dei sobre resolução de problemas.
Percebi que vários alunos sentiram dificuldade na avaliação numa questão
muito simples: tratava-se de calcular quantas viagens um ônibus teria que fazer
para transportar 115 crianças tendo capacidade para levar 8 crianças de cada vez.
A pergunta do problema era: como seria feito o transporte? A dificuldade estava
na resposta, uma vez que a divisão não era exata. Levantei algumas
perguntas tais como: todas as crianças irão? (era um passeio) não ficou nenhuma
criança para trás? Se você fosse o motorista o que você faria? Depois de levados
a pensar, muitos acertaram:
115 |__8____
35 14
3
Faria 15 viagens ou nas três últimas levaria uma criança a mais.
Houve também algumas respostas tais como: “um pai foi levar as crianças que
sobraram.”; “tiveram que voltar para casa”; e outras parecidas, mas grande
número de alunos não deu importância ao resto.
No dia seguinte, elaborei outros problemas com a mesma pergunta e
dificultei os números. Eram 467 crianças de uma escola que iriam a uma
excursão. A escola contratou apenas dois ônibus que poderia levar 40 crianças de
cada vez. Se forçasse daria para levar apenas uma criança a mais. Quantas
viagens fariam? Houve várias soluções, ou seja, caminhos para chegar a resposta.
Primeiro o aluno foi levado a ler silenciosamente, depois fiz algumas
perguntas simples: do que está falando o texto do problema? Viagens?
Excursão? Como serão feitas as viagens? Quantas viagens serão necessárias?
271

A professora Beatriz mostrou, com suas afirmações, como analisou questões
dadas nessa prova e como a reflexão a levou a preparar uma aula sobre o
mesmo assunto. Percebemos que a reflexão levou-a a modificar seu
planejamento, provocando mudança de ação (LLINARES; KRAINER, 2006).
Ela, inicialmente, analisou as soluções dos alunos e notou que alguns sentiram
dificuldades numa resposta considerada simples por ela – um problema de
divisão com resto não nulo. Beatriz identificou que a dificuldade de seus alunos
consistia em analisar o resto, não nulo, quando formularam suas respostas.
Tentou ajudá-los, levantando algumas questões, mas mesmo assim, alguns
alunos não pensaram no resto ao responderem a questão.
Relato escrito de Vânia sobre uma aula da professora Beatriz em 2008:
Eu me lembro de algumas aulas delas com os alunos resolvendo problemas. Ficou
bem marcada a aula da semana retrasada. Chegamos à escola 7:15 h e toda a
escola estava no pátio e os alunos estavam cantando o hino. Fomos com os
alunos da 4ª série e a professora Beatriz para a sala. Ela colocou no quadro
brevemente a agenda do que tinha planejado para aquele dia e me lembro que
colocou: problemas, desafios e multiplicação russa. Ela disse que parece que
alguns alunos não pensaram muito ou estavam distraídos na prova de matemática
que ela tinha dado. Ela disse que já tinha olhado as provas e que observou que
existiam dificuldades em alguns problemas. Ela colocou no quadro algumas
situações-problema de divisão que envolvia uma escola com 497 ou 467 crianças
para levar para uma excursão, que o ônibus podia levar 40 ou 41 crianças e
quantas viagens o ônibus precisava fazer. Disse que poderia levar até mais 1
criança. Disse para eles lerem e pensarem em como resolver. Depois de uns 5 ou
10 minutos, pediu para eles lerem silenciosamente com os olhos e ela foi
apontando para cada palavra no enunciado. Depois foi circulando pela sala indo
ver os cadernos dos alunos o que tinham feito e fazia alguns comentários e
conversava com eles. Após outros 5 ou 10 minutos ela foi solicitando que os que
tivessem terminado levantassem o braço e foi o aluno H no quadro colocar o
raciocínio dele.
Relato escrito de Sandra sobre uma aula da professora Beatriz em 2008:
Aula sobre resolução de problemas – divisão com resto
Após uma análise inicial a professora passou no quadro dois problemas
semelhantes aos que os alunos “erraram” ou se confundiram na prova para ver se
eles percebiam os erros e ver se conseguiam retomar o que queria trabalhar.
Um problema era o do ônibus para o passeio da escola, este poderia levar 40 ou
41 crianças.
Os alunos faziam a divisão, mas alguns se esqueciam de olhar novamente o
problema e o que ele queria. Não poderia levar somente algumas crianças, logo
deveriam analisar o que fazer com o resto.
272

Quando a professora pediu para eles pensarem na situação e imaginarem ficou
mais fácil para eles. Alguns falaram que seria o motorista e como fariam...
A questão da escrita do pensamento, colocando-o explícito também foi rica, pois
os alunos perceberam que os ajudariam interpretar o problema.
A valorização das diferentes respostas também é interessante, pois mostra que
podemos chegar a uma solução por vários caminhos, isso tem ligação com o
emocional das crianças.
Notamos que as professoras, Vânia e Sandra, identificaram algumas atitudes
da professora Beatriz de forma semelhante. A verificação de que uma mesma
aula marcou as três professoras nos mostra como influenciamos e somos
influenciados pelo grupo, no qual fazemos parte.
Nessa mesma ocasião, em relação às aulas da professora Susana, as
professoras Sandra e Vânia também escolheram relatar sobre a mesma aula
de 2007, onde foi desenvolvido um trabalho de grupo com revisão de alguns
conteúdos que tinham sido trabalhados em sala de aula referentes à geometria
espacial, operações e resolução de problemas. Já a professora Susana, relatou
outra aula, também sobre geometria, mas que possui intersecção com a citada
acima. Os relatos são apresentados, a seguir.
Relato de Susana sobre uma de suas aulas em 2007:
Atividade: oficina de sólidos geométricos
Era mais umas das muitas oficinas que tivemos no ano de 2007.
Já fizeram dobraduras, produziram folhas dos mais variados tamanhos a partir da
folha A4, pintaram, compraram, venderam,...
Mas a oficina com sólidos geométricos, foi sem dúvida, uma das mais divertidas e
interativas que tiveram e sem nenhuma reclamação...
A sala foi arrumada com as cadeiras dispostas em círculo e algumas mesas no
centro. Por cima delas, embalagens de todo tipo: caixas de sapato, remédios,
pizzas, perfume, latas de leite, Neston e tudo mais que foi arrecadado.
A pergunta era: o que rola e o que não rola? Por quê? Todos querendo fazer caixa
quadrada rolar, o outro mais esperto descobria que era com a lata, o cone, o rolo
de papel alumínio ou plástico...
E a hora que todos queriam fazer: rolar os mesmos [alunos] no chão...
Chato foi depois, tentar escrever no papel em forma de atividade, mas a
experiência anterior, havia sido inebriante...
273

No relato feito por Susana, percebemos que ela destacou as diferentes
atividades realizadas que envolviam geometria, no ano de 2007. Essa
professora gostava de realizar aulas diferentes, que denominava de „oficinas‟.
Para ela, as aulas precisavam ser interativas e divertidas para atrair os alunos
para a matemática. Ela detalhou a forma como a sala foi organizada e
apresentou algumas questões que chamaram sua atenção. Inclusive o fato dos
alunos quererem rolar no chão, como alguns sólidos geométricos. É
interessante notar a afirmação de Susana sobre a parte chata da oficina, o
trabalho com a escrita. Ela não estava acostumada a encerrar suas atividades
pedindo aos alunos que escrevessem ou sintetizassem suas ideias. A escrita
nas aulas de matemática não era tão valorizada por essa professora, nesse
momento da pesquisa.
Relato de Vânia sobre uma aula da professora Susana em 2007:
Uma aula da professora Susana em 2007 –
Lembro-me com alegria do dia em que chegamos à sala de Susana e que os
alunos, trabalhando em grupo, foram resolvendo os problemas e atividades e que
íamos dando fichas coloridas valendo pontos para eles. Foi muito rico observar os
alunos ajudarem uns aos outros e a emoção deles quando Sandra ia corrigindo as
atividades de cada grupo e dizia a cada etapa quantas fichas cada grupo ganhava
a partir do que tinham acertado em suas atividades individuais. Lembro-me que
Sandra conseguiu dosar a dificuldade das atividades melhor neste momento do
que aconteceu na turma de Beatriz. Foi muito bom ver o olhar de felicidade dos
alunos quando acertavam as contas, os problemas, o reconhecimento dos sólidos
geométricos e ver que grupo ganhou. A professora Susana mostrou estar surpresa
com o empenho que muitos alunos tiveram e de ver que eles resolveram
atividades bem variadas e com diferentes níveis de dificuldades.
Outra aula que me lembro foi a aula que Susana foi trabalhando com folha de
papel A4 e foi registrando no quadro as relações entre os diferentes papéis que
foram aparecendo.
Relato de Sandra sobre uma aula da professora Susana em 2007:
Aula do trabalho em grupo: revisão e ampliação das operações, geometria,...
Os alunos precisam se acostumar a trabalhar em grupo. Eles não conseguiam por
causa da agitação, importância em colocar regras bem claras no início e cumprilas.
Cada grupo recebia apenas um papel com as questões, cada componente do
grupo deveria ajudar os demais colegas. O grupo era composto de 4 alunos e os
papeis que recebiam tinha 4 questões, uma para cada um, todos deveriam
participar.
Os alunos se envolviam esperando ansiosos o relato do que acertaram. Interagiam
e conversavam entre si e discutiam as soluções encontradas.
274

Tivemos a preocupação em colocar níveis semelhantes de dificuldade[para cada
grupo]. Percebemos como ele se concentraram e como se envolvem com
atividades deste tipo. A parte de geometria que tínhamos trabalhado de forma
lúdica ficou bem clara para eles e eles conseguiram atingir os objetivos propostos
nesta atividade.
Em relação ao grupo como um todo, eles perceberam que todos devem e podem
participar, pois, as diferenças entre eles, do grupo que ganhou para o grupo que
ficou em último lugar foi pequena.
Os relatos, das professoras Sandra e Vânia, mostraram que foi possível e
importante a realização dessa atividade em grupo na turma da professora
Susana. Vânia destacou a surpresa da professora Susana com a reação e
participação de seus alunos. Sandra apontou a interação e aprendizagem
dessas crianças com atividades em grupo.
Intuímos, com esse exemplo, que o entrosamento, o conhecimento das outras
professoras e nossa interação, após um longo trabalho no grupo, nos
proporcionou algumas aprendizagens. Aprendemos que a professora Beatriz
gosta de trabalhar com resolução de problemas, já a professora Susana se
encantou mais por trabalhos envolvendo geometria. Isso influenciou nosso
olhar e nossa escolha para o relato de uma aula. Afinal, essas aulas foram
vivenciadas de maneira integral pelas professoras e por todos do grupo. De
diferentes maneiras, oportunizamos discussões sobre alguns eventos críticos
de sala de aula que conduziram nosso olhar. Isso indica que o olhar não é
neutro, está repleto de nossas convicções e de outras que são colocadas, a
partir das pessoas que convivem conosco, como é o caso dos participantes do
grupo de estudos. Esse envolvimento e influência devem ser considerados
como fatores importantes ao se tratar de trabalhos em grupos, durante um
tempo considerável.
Aprendemos, coletivamente, a importância do respeito para com o trabalho de
cada profissional. Compreendemos a necessidade de escutar, umas às outras,
e deixar espaço para as trocas de experiências. Foi necessário, até mesmo,
respeitarmos momentos de desabafos, mas não nos restringíamos a eles, mas
aproveitamos para conduzir discussões interessantes. Situações que
275
envolviam questões sobre o ambiente escolar: caso de violência na escola,

interesse e desinteresse dos alunos; questões sociais; questões políticas e
educacionais; e situações de ordem religiosa.
A influência do grupo estava presente nas falas e atitudes das professoras
envolvidas, e notamos isso nas respostas ao questionário, em agosto de 2008,
sobre o grupo de estudos e a influência nas práticas, em aulas de matemática.
Mesmo a professora Lucia, que não pode estar em todos os encontros, afirma
que sua prática sofreu influências e mudanças, a partir dos momentos com o
grupo, como podemos ver na sua fala.
“Percebo que o meu olhar para com os alunos da 5ª série é bem diferente
dos anos anteriores, conversando e ouvindo as professoras do grupo, noto
o motivo das dificuldades e/ou obstáculos enfrentados pelos alunos [...].
Ouvir as professoras de 1ª a 4ª séries tem auxiliado a mim e principalmente,
os meus alunos a fazer de forma mais suave, a transição da 4ª série para a 5ª
série. Sabemos que essa ruptura, como qualquer outra é dolorida. Reconheço
que o grupo tem sido de fundamental importância nesse processo.” (Lucia,
ago/08)
Entendemos que as professoras passaram por algumas mudanças, que elas
mesmas retratam em suas falas. Concordamos com Conlinvaux (2007), ao
afirmar que a aprendizagem deve ser analisada a partir das mudanças e
transformações que ela promove. Nas professoras que participaram dessa
pesquisa, notamos que elas tiveram algumas „novas‟ formas de ver, conceber,
pensar e fazer a matemática, seu ensino, aprendizagem e avaliação, em suas
salas de aula. Conlinvaux (2007) pontua todas essas afirmações quando
comenta sobre a aprendizagem e a emergência de novidades.
276
Pensar a aprendizagem como processo e como movimento implica
necessariamente concebê-la como transformações e mudanças
associadas a constâncias e permanências. Mas a característica
definidora da aprendizagem, em nosso entender, reside nas
mudanças e transformações que ela pode promover. No entanto, não
são quaisquer mudanças ou diferenças que podem ser qualificadas
como aprendizagem: interessam mais particularmente os processos
de mudança caracterizados como emergência de novidades, isto é,
aqueles processos em que aparecem condutas que indicam novas
formas de ver, pensar, fazer ou falar (CONLINVAUX, 2007, p. 35 -
36).
A emergência de novidades implica transpor os limites do já vivido,
conhecido e interpretado, por si mesmo ou por outrem, criando novas
formas de ser, novas formas de pensar, falar e agir que rompem com
a repetição e as amarras da tradição (CONLINVAUX, 2007, p. 36).

Nos exemplos apresentados anteriormente, notamos que existiu ao longo do
desenvolvimento desta pesquisa a emergência de novidades. Cada professora
vivenciou isso de maneira diferenciada, mas a partir da pertença e
entrosamento com o grupo. O que destacamos neste texto, foram alguns
pontos referentes à essas aprendizagens que nos chamaram a atenção.
Acreditamos que muitos foram os momentos que poderíamos destacar a partir
das emergências de novidades.
Em alguns momentos, perguntamos, de maneira mais direta, a opinião das
professoras sobre os encontros, suas participações no grupo e as influências
dessa interação em suas aulas de matemática. No encontro do dia 06/out/08,
fizemos alguns questionamentos às professoras para realizarem uma avaliação
e retrospectiva, em relação aos encontros anteriores, pois desejávamos obter
mais dados para compreender como as professoras percebiam a influência dos
encontros em suas práticas e em suas aprendizagens. Transcrevemos o
diálogo ocorrido, nesse dia, comentando alguns itens pertinentes.
Eu/Sandra: Quais foram os momentos assim, que vocês percebem, por exemplo,
daqueles encontros iniciais em 2006 quando a gente começou os encontros...
Pode só falar que está gravando... o que você lembra do comecinho dos
encontros o que mais chamou a atenção?
Susana: Sei lá... O que mais chamava mais a atenção foi a maneira, eu ver
como estava trabalhando a matemática em sala de aula, como que isso abriu
uma nova perspectiva. Ano passado (2007) então foi mais produtivo, entendeu?
Em relação a isso... Você vê que... O primeiro encontro que a gente teve eu vim
assim, com uma prova na mão, você lembra? Você me deu dica, os meninos
fizeram numa boa, foi ótimo aquilo, já comecei inovando, né... Como assim dizer,
já comecei montando isso aí...Não deu para aproveitar muito, naquele ano (2006),
pois já estávamos finalizando, muitas coisas já estavam encaminhadas... Mas, o
que mais me chamou a atenção aqui foi exatamente os debates, quanta coisa
que a gente aprendeu aqui, fazendo... Trabalhos... Você vê que os conteúdos
eram as mesmas coisas, mas as práticas diferenciadas, a maneira como foi
aplicado... Eu sei que o que mais chamou a atenção foi isso, foi essa
mudança, na... de você passar...
(transcrição da gravação em áudio de 06/out/08)
A professora Susana mostrou que, a participação no grupo, a levou a uma
reflexão crítica sobre a forma na qual trabalhava com seus alunos, nas aulas
de matemática. Ela falou que „abriu uma nova perspectiva‟, isso foi possível
277
pela coragem e desprendimento que a professora teve, desde o primeiro

encontro. Susana afirmou que práticas diferenciadas foi o que mais marcou
enquanto mudanças e aprendizagens. Na continuidade do diálogo vemos a
posição da professora Beatriz.
Sandra: Na didática...
Susana: Exatamente, na didática. Essa mudança... A gente sabia de tudo aquilo,
mas as abordagens...
Eu: E para você Beatriz?
Beatriz: Isso que a Susana falou... Das abordagens diferentes. Aquela parte de
explorar a escrita na matemática, que foi uma coisa que... Até me levou a
pensar no projeto... E a reflexão que a gente passou a fazer em cima do que
a gente está fazendo, se antes eu já tinha uma preocupação com isso, agora
eu tenho muito mais... pensar... na relevância dos conteúdos,se aquilo ali é
necessário, se pode abrir caminhos ou não... Aprofundar coisas, às vezes a
gente ficava em dúvida se deveria ou não ensinar.
(transcrição da gravação em áudio de 06/out/08)
A professora Beatriz concorda com Susana e afirma que, as abordagens
diferenciadas, foram aprendizagens dela com a pertença ao grupo. Citou como
exemplo a exploração da escrita nas aulas de matemática. Acrescentou um
dado importante, Beatriz afirmou que a reflexão provocada a partir do que
faziam em sala de aula foi importante para que pensássemos na relevância de
conteúdos matemáticos. Ela afirmou que possuía certa preocupação com essa
relevância e o aprofundamento de conteúdos matemáticos, mas que ficou mais
significativo, após nossas discussões em grupo. Percebemos que a professora
Beatriz está num nível de consciência diferente da professora Susana. Ela
consegue colocar alguns exemplos, de maneira mais clara, e afirma que tinha
iniciado um processo de reflexão sobre essas questões. Temos, a partir dessas
falas, evidências concretas de um início de desenvolvimento metacognitivo das
professoras. Pois, elas estão tomando consciência delas mesmas sobre o que
sabem, sobre o que mudaram, o que melhorou e o que ainda precisa melhorar
(SANTOS, 1993). Outros exemplos foram colocados, pela professora,
conforme podemos ver a seguir.
Eu: Como, por exemplo?
Beatriz: Como, por exemplo, geometria... Como por exemplo, porcentagem
mesmo.
278

Eu: Susana, tem alguma coisa que você acha sobre essa questão de aprofundar
[conteúdos]?
Susana: Há sim, eu tava aqui olhando [caderno de anotações dela] como a gente
foi trabalhando esta questão de fração, por meio do tangran, por meio do... quer
ver? Até mesmo com as formas geométricas. Lembra que você me sugeriu,
aquilo não me sai da cabeça, eu não usei aquilo, mas ainda vou ter a
oportunidade de usar. Usar o pente de ovos, as metades das frutas... a fração com
o bolo, é...
Eu: Beatriz, você já trabalhava com frutas para iniciar frações?
Beatriz:. Ahhh, sim...
Eu: Você sempre começava com frutas?
Beatriz: Sim... Começava com frutas, maça, laranja,...
(transcrição da gravação em áudio de 06/out/08)
A professora Beatriz comentou sobre a geometria e Susana procurou em suas
anotações do caderno, o que poderia colocar como exemplo. Susana lembrou
uma aula que Beatriz fez com seus alunos, ao iniciar a abordagem de frações,
envolvendo frutas. Aproveitei para perguntar se isso era uma prática para essa
professora e tive a confirmação, afirmando gostar de trabalhar dessa forma. Eu
também me posicionei em relação à nossa aprendizagem.
Eu: Pra mim, eu acho que... Pra mim Sandra. Cresceu muito esta questão dessa
troca. De eu enxergar a... a matemática da 1ª a 4ª séries com outros olhos. Eu
já tinha começado, mas eu acho que aqui deu para clarear bem, como que a
gente estar... Ajudando até, como Lucia fala... Nossos alunos de 5ª a 8ª série
a partir do nosso conhecimento da matemática da 1ª a 4ª séries. Acho que...
Essa visão foi fantástica para mim. Ter a possibilidade de ver este outro
lado. Fala Susana.
(transcrição da gravação em áudio de 06/out/08)
Eu comento sobre a troca e o meu olhar diferenciado sobre a matemática
ensinada nas séries iniciais do ensino fundamental. Afirmo que isso nos ajuda
a entender e colaborar com nossos alunos de outras séries de ensino. Eu aqui
não comentei, mas essa influência ocorreu também com minha prática em
turmas de nível superior em relação às suas dificuldades na base da estrutura
do edifício matemático.
Susana: É o que eu penso... Aqui eu aprendi a dar valor a questões pequenas,
como por exemplo, a questão dos desafios... eu botei lá e faço. Conforme dei
para a aluna La. Foi um desafio a altura para ela, toda hora ela ia à minha mesa,
mas eu não, ela precisava olhar... Eu vi que ela estava cansada e que nem junto
279

com um coleguinha ela não conseguiu fazer... [...] Agora ano passado,... que foi,
assim, o „pulo do gato‟...sabe, eu tô assim, ainda vai acontecer, né. Acho que
estou assim, muito devagar, mas... já trabalhamos o geoplano, já a próxima
oficina... ah, esta oficina dos carros, nossa, como os meninos gostaram.
(transcrição da gravação em áudio de 06/out/08)
Susana comenta sobre a sua aprendizagem de utilizar desafios. Ela comenta
como está devagar, isso mostra o que tínhamos percebido, ela está num nível
de desenvolvimento profissional e metacognitivo diferente das outras
professoras do grupo. Precisa de mais tempo para incorporar as ideias que
indicamos de trabalho em sala de aula e as construções dos conteúdos
matemáticos. Mas, já está ousando em suas aulas de matemática naquilo que
se sente segura ao fazer.
Eu: E você trabalhou mais?
Susana: Ainda não. Não fechei, vou trabalhar mais coisas... Você tem que dar um
tempo para fechar as oficinas.
Eu: E a tabuada de 4? Eles fizeram? Utilizaram as rodas dos carros?
Susana: Fizeram, mas não usaram os carros.
Eu: Na verdade, o primeiro ano, foi muito... Acredito eu... Aqueles 5 meses, né, de
2006, não, 4 meses... do dia 30 de agosto a dezembro... acho que é isso, 3 meses
e meio. Aqueles 3 meses e meio em 2006, foi para a gente se conhecer e ver
qual seria a proposta real do grupo. Acho que é bem... foi o início assim, pra
gente poder ver como a gente iria tentando caminhar em 2007 e 2008. Que foi o
começo de tudo, né. Que aí a gente pode ver que em 2007 as coisas fluíram
mais, a gente conseguiu que as coisas acontecessem mais fácil. Agora
também (2008), continuou fluindo.
(transcrição da gravação em áudio de 06/out/08)
Com o meu comentário, notamos um pouco daquilo que vivenciamos, nos dois
anos e quatro meses. Eu acabei fazendo uma reflexão sobre o primeiro
momento que mencionei no início desta seção, de que os encontros de 2006
ajudaram na constituição e consolidação do grupo.
Susana: Eu acho que ano passado, a greve sempre atrapalha muito. Este ano
[greve]... Ano passado acho que foi muito mais produtivo, por incrível que
pareça. Agora que os meus meninos estão começando a experimentar uma
matemática assim, mais... „gostosa‟... ainda tem essa coisa aí,... eu vou ter que
parar e analisar, ai que eu vou poder trabalhar,... Um problema que eu gosto de
parar e analisar com eles, ai que eu vou começar a deixar soltar,... Vou dar
para os pais a tarefa para eles fazerem em casa e ajudarem os filhos, não
vou mais ficar assim, ocupando todas as minhas aulas só para dedicar para
280

corrigir e mandar copiar exercícios. Porque senão qual o tempo que eu vou ter,
é muito ruim, não tem condições,... Ainda tenho que trabalhar a geometria, os
polígonos, os sólidos geométricos, vou trabalhar sobre tamanho de folhas
com eles [folhas medidas padrão A – A4]... Vou trabalhar também a questão de
frações, que eu vou querer entrar, quero entrar neste sentido aí, porque vai é uma
coisa que vai fazer falta para eles. Eu quero que a eles tenham uma base, eu
quero que eles tenham essa base...[...] e quando a gente trabalha estes desafios.
(transcrição da gravação em áudio de 06/out/08)
Susana mostrou seus planejamentos e o que estava fazendo diferente com
seus alunos. No momento da pesquisa, a professora fez reflexões críticas de
maneira mais autônoma e pontuou algumas circunstâncias que pretendia
mudar de atitude. Percebemos certo amadurecimento, por parte dessa
professora, sobre ela mesma enquanto profissional e professora que ensina
matemática.
Beatriz: Eu estava lendo aqueles artigos da Vânia, como devemos trabalhar com
problemas...
Eu: Se vocês fossem falar de vocês, da aprendizagem de vocês, em relação
ao nosso grupo. O que vocês podem falar que vocês aprenderam não só
aqui, mas a partir de discussões daqui. A partir do que levamos para a sala
de aula... Algumas coisas vocês já falaram. Mas se eu falasse assim, se eu for
olhar para a Sandra, o que a Sandra aprendeu? O que a Susana aprendeu?
Susana: nossa gente, eu aprendi tanta coisa gente. Por exemplo, essa maneira
aqui de trabalhar a multiplicação, como é que é? O modo... é... o chinês. Essa
questão dos polígonos, assim... Como é que você chega lá pra poder... é...
Trabalhar essas coisas... Essa conta aqui que você faz para arredondar, né. Você
inverter os numerais para chegar ao mesmo resultado... Isso é muito interessante.
A gente sabe que as ordens dos fatores não alteram o produto, até outro dia
eu expliquei isso para os meninos. Quando eu fui fazer a tabela multiplicação
de cinco, Sandra, eu inverti, eu num coloquei de um até dez primeiro, eu coloquei
o cinco de cima em baixo, para eles fazerem esta comparação. Agora quando
você inverte a dezena e a centena das duas posições e dá o mesmo resultado...
Pra mim foi uma coisa surpreendente, eu não sabia. Pra mim, 36 é número e 63 é
outro.
Eu: Mas é... Eles são mesmo diferentes.
Susana: Exatamente,... Mas mesmo assim, dá resultado.
Eu: A multiplicação de 24 por 63 e de 42 por 36 dá o mesmo resultados, mas 36 é
diferente de 63.
Susana: mas eu achava que os resultados deveriam dar diferentes. Eu não achei
que essa inversão dezena com cente... dezena com unidade pudesse produzir o
mesmo resultado. É uma coisa inédita para mim. Aqui como, por exemplo, 276 e
672, os algarismos foram os mesmos, quer dizer, você encontra esta correlação
entre os numerais... eu aprendi muito, essa questão dos desafios. Isso aqui
281

que trabalhou a questão dos códigos, isso eu achei meio complicado, num
trabalhei não. Porque dá muito trabalho... entendeu? Tem muita coisa,... tem
muita coisa também que não deu para fazer, não dá. Olha que são 5 aulas que
dou por semana, mas eu vejo que não deu pra explorar tudo.
(transcrição da gravação em áudio de 06/out/08)
A professora Susana folheava o seu caderno e comentava outros exemplos. É
interessante destacar que ela comentou que aprendeu determinado assunto
trabalhado por nós, mas ao mesmo tempo, pergunta como resolve esse
assunto. Isso mostra que, muitas coisas que fizemos no grupo, ficaram apenas
como informação e não como aprendizagem. Concluímos que, algumas vezes,
existe uma confusão conceitual ou generalizações indevidas, por terem
acontecido apenas informação ou apresentação, como novidade. Se elas não
levaram para sala de aula e nem discutimos em outros encontros, certamente,
não houve muita chance das professoras transformarem as informações em
aprendizagens.
Eu: Mas sem ser com a questão das atividades, pra você [Beatriz]...
Beatriz: Conceitos de geometria,... Ficaram mais claros, por exemplo, a letra
PI. Conceito de PI, não sabia o que significava.
Susana: Tem relação com o tamanho da circunferência. Não é isso?
Eu: Quase, mas tem a ver.
Susana: Tem a ver. É uma multiplicação que foi feita. É o comprimento mais
o diâmetro.
Eu: Mais o diâmetro?
Susana: Não é, é o comprimento dividido pelo diâmetro.
Beatriz: Eu já esqueci, tava claro.
(transcrição da gravação em áudio de 06/out/08)
Discutimos, num encontro de novembro de 2007, a questão do número π. A
professora Susana lembra algumas coisas e quando levada a repensar
conseguiu chegar ao significado correspondente.
Em alguns momentos, os debates ocorridos no grupo levaram as professoras a
repensarem suas práticas, ou a confirmar a importância de utilização de
282
materiais ou abordagem de forma diferenciada no desenvolvimento de

conteúdos matemáticos. Exemplificamos isso, com os comentários das
professoras sobre livro didático, a seguir.
Beatriz: Às vezes afirmar alguma coisa também, que às vezes não estávamos
muito seguras. Como por exemplo, eu sempre trabalhei muito com o livro, eu
vi que é por aí mesmo, tenho que utilizar o livro didático sim, aproveitá-lo
para trabalhar.
Susana: Agora que eu estou sentindo que eu vou utilizar o livro didático da
maneira melhor. É bom você pegar o livro,... Eu não me arrependo como fiz
até hoje, pois é conhecimento. Mas eu vou trabalhar de outra maneira, não
vou mais pegar para...
(transcrição da gravação em áudio de 06/out/08)
Essa questão do livro didático foi um ponto que já discutimos e que
percebemos como foi demorado, para a professora Susana, entender que
deveria agir diferente em relação ao uso do livro didático. Mas, notamos nessa
fala que ela estava tentando agir, diferentemente, e aproveitar o que o livro
didático podia contribuir para sua abordagem em sala de aula.
Outro fato interessante que podemos destacar, em relação ao entrosamento do
grupo, foi nossa surpresa com os cartazes de „boas vindas‟ que foram
escolhidos, pelas professoras Beatriz e Susana, para serem colocados nas
portas de suas salas em 2008. As fotos a seguir mostram esses cartazes.
Figura 43 – Cartazes de boas vindas, respectivamente, das salas de Beatriz e Susana
283

Elas não combinaram anteriormente a escolha do mesmo cartaz, foi
surpreendente para nós quando deparamos com a mesma mensagem de boas
vindas. Acreditamos que seja mais do que coincidência, estávamos envolvidas
e refletindo sobre as mesmas coisas e isso as levou a escolherem o mesmo
cartaz para colocar em suas portas de salas de aula. Conversamos com as
professoras e elas afirmaram que a mensagem refletia o momento que
estavam vivendo e como gostariam de acolher as pessoas que chegassem até
suas salas.
Evidenciamos, nesse aspecto, que a participação em grupo com as
características construídas, por nós, durante esse estudo, integra a pessoa do
professor como um todo. Conforme Nacarato e Passos (2003, p. 136) afirmam,
“a situação de grupo é fundamental para a mudança da cultura profissional”.
Acreditamos que ocorreram mudanças em todas nós, enquanto pessoas e
profissionais da educação, a partir da pertença ao grupo. A aprendizagem de
cada uma sofreu influência do grupo que também foi influenciado por cada uma
das componentes.
5.3.2 Aprendizagens evidenciadas por participantes a partir da
experiência coletiva no grupo
Após evidenciar aprendizagens ocorridas no grupo, explicitaremos algumas
aprendizagens pessoais. Nesta seção, pontuamos, de forma mais direta,
algumas aprendizagens das professoras Susana, Beatriz e Sandra.
Remeteremos a alguns comentários anteriores para fortalecer nossas
afirmações, quando for pertinente.
Susana e a aprendizagem em grupo
284

Susana fez uma comparação bem interessante, em relação a suas aulas de
matemática, utilizando uma metáfora. Em diferentes momentos, ela voltava à
metáfora inicial para fazer uma reflexão sobre sua prática em aula de
matemática e as influências do grupo. Ela afirmou, no último encontro de 2006
(18/dez/06), que suas aulas eram um cardápio limitado, como „feijão com
arroz‟, somente o básico, o conhecimento simples e mais sucinto que o aluno
precisava saber. Porém, garantiu que não estava satisfeita em trabalhar na
matemática somente com o básico, que para ela significa as quatro operações:
adição, subtração, multiplicação e divisão. Afirmou algumas vezes que
pretendia modificar essa situação e disse que gostaria de ter a oportunidade de
oferecer um „cardápio‟ mais variado a seus alunos, onde eles pudessem
escolher entre diversas opções, além do básico. Descobrimos que, quando a
professora falava de diversas opções queria dizer, por exemplo, trabalho com
geometria, atividades com resolução de problema e com materiais
manipuláveis. Por causa das suas dificuldades e certa „aversão‟ à matemática
ela precisava de mais apoio para transformar o „cardápio de feijão com arroz‟
em outro mais variado e nutritivo. No ano de 2007, notamos algumas
alterações tanto na visão de matemática, como sobre concepções e sobre
algumas afirmações dessa professora. Aproveitamos a lógica da professora e
utilizamos a sua própria metáfora para questioná-la sobre seu „cardápio‟, em
outros momentos. Ela iniciou comentando que sua „dieta‟ ainda estava
desequilibrada, mas que já estava tentando acrescentar aos poucos algumas
outras opções. A professora Susana afirmou que estava tentando realizar em
suas aulas práticas pedagógicas e atividades diferentes das quais realizava
anteriormente, como é o caso de levar problemas lógicos, os desafios, e
trabalhar matemática com seus alunos de uma maneira mais ampla. Durante
alguns encontros em 2007 e em 2008, Susana comentou que conseguiu
modificar algumas formas de trabalhar a matemática, ampliando, assim, seu
„cardápio‟, mesmo que ainda faltassem algumas outras iniciativas. Susana
apontou a importância do grupo nessa mudança de atitude, e afirmou, em
diferentes momentos, que o grupo foi um „divisor de águas‟ na sua vida. A
285
seguir, está parte de um diálogo do encontro do dia 06/out/08, no qual ela

etoma a metáfora anterior e explica a questão do grupo ser um “divisor de
águas”.
Susana: olha só... o que eu posso falar que eu aprendi aqui...
Eu: Ou a partir de (da participação do grupo)...
Susana: Sabe o que acontece... eu aprendi praticamente tudo o que foi
passado aqui porque eu não sabia nem a metade e não fazia parte da minha
prática. Por exemplo, nem pense que eu me prendia trabalhar frações, que eu
achava que era uma coisa que eu não precisava trabalhar. Porque, uma colega
que é professora de matemática, muito respeitada, muito boa até, quando eu
trabalhava com a 4ª séries perguntei o que eu precisava ensinar para eles
para que eles fizessem uma boa 4ª série. Ela me disse: Susana, eles só
precisam das quatro operações, só isso. Porque se esses meninos
chegarem lá sabendo as quatro operações, você já fez um bom trabalho.
Então nunca mais eu me preocupei em ficar dando qualquer outro tipo de
conteúdo, a não ser as quatro operações. Então tudo chegou para inovar,
então no final das contas tudo o que eu trabalhei envolvia realmente
indiretamente ou diretamente as quatro operações, mas que de várias
maneiras. E eu perdi muita coisa de ensinar para os meninos por causa
disso,... no que eles mediam, no que tinham desafios, o que eles tinham que fazer
vários tipos de cálculos, quer dizer, tudo envolviam as quatro operações, de uma
maneira bem ampla. Eu ficava só ficava nas continhas e problemas. Eu só
ensinava o QVL e problemas, só. Quer dizer, isso foi muito pobre, lembra que eu
falei naquele ano lá o cardápio, que Vânia lembrou depois. O cardápio que eu
achava que era muito „arroz com feijão‟ e precisava aumentar,... a oferta ali na
matemática. Então tudo o que veio aqui, Sandra, veio acrescentando. Por isso
que eu falei que depois destes encontros foi um divisor de águas. A minha
prática antes e depois, entendeu. Foi muito diferente, entendeu?
(transcrição da gravação em áudio de 06/out/08)
A professora Susana demonstrou estar mais consciente e fez uma reflexão
crítica sobre o porquê trabalhava apenas com as quatro operações. Isso
aponta para o problema que comentamos, para outros professores, em relação
aos conteúdos matemáticos abordados nas séries iniciais. A professora de
matemática, citada por Susana, que era considerada uma boa professora, fez a
afirmação que os alunos das séries iniciais precisam, apenas, saber as quatro
operações. A professora Susana, mostra nessa fala, que passou a agir
conforme essa orientação. Pela nossa prática, notamos que essa fala é comum
entre alguns professores de matemática. Contudo, a professora Susana
percebeu que poderia continuar trabalhando com as quatro operações de
outras maneiras, abordando-as em outros conteúdos. A partir da pertença ao
286
grupo, ela foi refletindo sobre o que fazia e experimentando outras propostas

de atividades e abordagens de conteúdos matemáticos. Afirmou que sua
prática se modificou, ao longo da participação dos encontros, e por isso afirmou
que esse grupo foi um „divisor de águas‟, na sua prática profissional.
Na continuidade do diálogo, verificamos que, por falta de alguns encontros em
2008, por problemas de saúde da pesquisadora, Susana realizou atividades
que representaram uma tentativa de retorno ao que fazia anteriormente, porém,
percebeu, sozinha, que não obtinha os resultados esperados.
Eu: E o que você fez este ano que você percebeu esta diferença, que não fazia da
mesma forma? ... O que aconteceu este ano que você viu que realmente você
estava diferente?
Susana: Quando eu quis durante um período [junho e julho de 2008, quando
não conseguimos nos reunir por motivos de doença da pesquisadora] fazer
como... com eles usando só o QVL e dei uma prova para eles fazerem sem
base nenhuma. Só dei a conta, e aí? A turma toda lá embaixo, o resultado foi
zero. Pra mim foi zero. Foi muito negativo, pra mim as notas despencaram.
Quer dizer, todo o trabalho que havia sido feito antes... Quer dizer, eu acreditei
que aquilo fosse uma coisa passageira, que eu não fosse perder, digamos
assim... o meu tempo com aquilo, foi só uma passagem rápida. Mas que eu vi
que não valeu à pena, marcou muito. E vi que não dava mais para eu fazer
aquilo como antes. Por isso que era muito problema. Que eu tinha problemas
de aprendizagem e vi que não dava mais certo, num é mais por aí. Entendeu?
Num dava. Num dá mais só pra trabalhar a matemática com armar e efetuar e
resolver problemas, num dá... Pior mesmo foi saber que os alunos iam para a 4ª
série sem saber dividir...
(transcrição da gravação em áudio de 06/out/08)
A professora Susana verificou que seu trabalho havia modificado e não agia
como antes de pertencer ao grupo de estudos. Mas, no momento em que
precisei ficar afastada por um período de aproximadamente dois meses e meio
ela tentou agir como fazia antes do grupo. Com os resultados obtidos, durante
essa experiência, ela notou que não sabia agir como anteriormente. O grupo já
havia influenciado! Pensava que poderia realizar as atividades da mesma
maneira, porém, não era mais possível. No final da sua fala, afirmou que não
conseguia trabalhar em matemática somente com atividades de: armar, efetuar
e resolver problemas. Acreditamos que ela percebeu, mesmo estando, ainda,
em processo de compreensão e de interiorização, que quando influenciamos e
somos influenciados pelo grupo, na qual participamos, entramos num processo
287
de mudança. Cada professora modificou suas crenças e atitudes em relação à

matemática, de maneira diferenciada, mas observamos que não podemos ter
as mesmas atitudes que tínhamos antes de pertencer ao grupo de estudos.
Eu: Então você acabou de falar que a matemática não é mais... somar...
Susana: Armar e efetuar e resolver problemas.
Eu: E agora ela é o que?
Susana: Agora ela é muito mais que isso. Entendeu? Engloba muito mais.
Envolve resolução de problemas do dia a dia, envolve desafios, envolve até
oficinas. Entendeu? Que foi marcante ano passado. Se não fosse aquele
trabalho, eu enlouquecia com aquela turma. Rsrsrs... Ainda bem houve esse
trabalho. E esse ano os meus alunos, agora eles começaram a sentir o gostinho...
(transcrição da gravação em áudio de 06/out/08)
Podemos notar, nesse diálogo, um crescimento do processo de reflexão da
professora, como consegue exibir um desenvolvimento de sua metacognição e
como já possui consciência de suas atitudes (SANTOS, 1993; RIBEIRO, 2003).
Além disso, notamos também, como cada professor é formado e se forma na
instituição de trabalho, no meio em que está inserido e a partir das pessoas
com as quais convive. E que seu desenvolvimento profissional se dá em meio a
todas essas características que permeiam seu contexto social, emocional e
profissional (LLINARES e KRAINER, 2006). O fato do professor de matemática
que comenta que, alunos das séries iniciais, precisam saber apenas as quatro
operações e como isso influenciou o trabalho de Susana e como influencia a
atividade de outros professores desse nível de ensino, o mais importante foi a
professora ter feito uma reflexão crítica de sua própria prática individual. A
definição de matemática também foi modificada, ela afirmou, nesse encontro,
que matemática representava mais do que „armar, efetuar e resolver problema‟,
já envolvia alguns desafios, oficinas (geometria) e problemas do dia a dia.
Nesse mesmo encontro (06/out/08), a professora Susana comentou sobre ela
em relação à matemática e percebemos que ela se encontrava num processo.
Em diferentes momentos, notamos a necessidade de retomar certos conceitos
ou conteúdos matemáticos com essa professora, para que ela compreendesse
e aprofundar suas construções de significados. Ela estava num processo
diferenciado e com consciência disso, conforme podemos verificar na sua fala,
a seguir.
288

Susana: Tudo valeu à pena, tudo valeu a pena mesmo. Mas eu ainda estou
assim... Eu vou assumir, que estou como se fosse uma criança, no meio de um
monte de novidades, ainda preciso explorar mais, tomar muito
conhecimento... Aquele material que você preparou para trabalhar com as
unidades, dezenas e centenas, eu ainda não trabalhei com aquilo.
(transcrição da gravação em áudio de 06/out/08)
Essa fala da professora Susana mostra, claramente, o que comentamos, ou
seja, o fato de estar num estágio de desenvolvimento profissional diferente da
professora Beatriz. Ela afirmou que, estava como uma criança, no meio de
várias novidades e que precisa de um período maior para explorar, aprofundar
e tomar conhecimento. Tem consciência de sua condição de estar construindo
significados e precisar ir além.
No anexo A, mostramos, na íntegra, as respostas das professoras ao
questionário proposto para analisar a influência do grupo em suas aulas de
matemática. Nessa ocasião, perguntamos sobre suas aprendizagens e
obtivemos como resposta da professora Susana o seguinte:
O que posso afirmar que aprendi como professora neste período de participação
no grupo?
Susana: Muitas coisas, diferença entre ouvir de outros sobre suas aulas e
o seu agir na sala.
O que aprendi de matemática neste período que me marcou?
Susana: Muita coisa, todos os conteúdos além das 4 operações.
(transcrição da gravação em áudio de 06/out/08)
Essa professora destaca a diferença entre ouvir alguém comentar sobre suas
aulas e seu agir. Acreditamos que, muitas vezes, Susana não refletia de
maneira crítica e aprofundada algumas de suas atitudes, em sala de aula.
Quando passamos a mostrá-la algumas situações, como o exemplo colocado
por nós sobre sua dificuldade com a divisão e como levava isso para seus
alunos, ela parou para pensar sobre o assunto. Novamente, afirmamos que a
reflexão crítica não acontece de maneira natural por todas as pessoas, precisa
muitas vezes, ser provocada.
Em relação aos conteúdos matemáticos, Susana afirmou que aprendeu todos
289
os conteúdos que foram além das quatro operações. Comentamos,

anteriormente, como ela ampliou seus conhecimentos matemáticos, a partir de
discussões. Acreditamos que, mesmo em relação às quatro operações, todas
nós ampliamos nossos conceitos após os debates e os estudos realizados.
Explicitamos, anteriormente, várias falas dessa professora afirmando sobre
suas aprendizagens, destacamos nessa parte apenas algumas outras que não
tinham sido contempladas.
Beatriz e a aprendizagem em grupo
A professora Beatriz chegou ao grupo com uma visão positiva da matemática.
Ela não possuía aversão a matemática, sua proposta de inserção ao grupo era
de aprofundar seus conteúdos e buscar formas diferenciadas de trabalhar a
matemática com seus alunos. Detalhamos, anteriormente, algumas afirmações
de que sua ideia inicial teria sido atendida e ampliada. Colocamos, a seguir,
alguns pontos que consideramos importantes para complementar essas falas
anteriores e aprofundar suas colocações em relação às suas aprendizagens.
No encontro do dia 06/out/08, a professora Beatriz explicitou algumas de suas
considerações sobre as aprendizagens que acreditava ter alcançado com a
participação no grupo de estudos.
Eu: Mas sem olhar aqui (caderno), sem ser estas coisas pontuais.
Beatriz: O que a gente aprendeu...
Eu: A Beatriz começou a falar, que os conceitos geométricos que ficaram mais
claros...
Beatriz: Como poderíamos dizer...acho que eu aprendi a aprender.
Eu: Aprendeu a aprender de novo?
Beatriz: A pesquisar mais, a gente esquece muita coisa então tem que estar
sempre relembrando. O professor tem que estudar sempre. Isso foi o que eu
aprendi de mais importante neste grupo todo.
Susana: Que a gente nunca sabe nada, aproveitar o tempo agora.
290

Beatriz: O tempo passa e a gente esquece, então a gente tem que reaprender,
aprender coisas novas. Aliar aquilo que já sabe, usar a criatividade e
melhorar. Enfim, refletir sobre o que se está fazendo. Que a gente muitas
vezes não pode, se não tivesse esse grupo, nem estaria fazendo até hoje
porque na escola você não tem espaço para isso. Então aqui que a gente fez,
fez uma reflexão sobre a matemática, levou para outras áreas, não ficamos
só na matemática...
(transcrição da gravação em áudio de 06/out/08)
A professora Beatriz realizou, nesse momento, uma reflexão importante. Ela
afirmou que aprendeu a aprender, mas percebemos que é de uma nova forma.
Beatriz afirma que, um professor, tem que estudar sempre, isso mostra a visão
dela com a questão da aprendizagem. Ela falou em reaprender, aprender
coisas novas, não pode ser do mesmo jeito que antes. Ela comenta que
devemos aliar o que já sabemos, precisamos usar a criatividade e melhorar.
Com base na reflexão, que ocorreu no grupo, faz um comentário sobre os
espaços que são oportunizados na escola. Ela afirma que trabalha num lugar
que não possui a possibilidade de proporcionar a reflexão da forma que
trabalhamos no grupo durante os encontros. Implicitamente notamos uma
crítica ao tipo de formação realizado pela escola que Beatriz trabalha. Esse
ambiente escolar não proporciona espaço para tomada de consciência, para
reflexão crítica e para crescimento profissional. Sua fala mostra que, esse tipo
de formação permanente do professor, foi vivenciado por nós no grupo de
estudos.
Em sua fala, Beatriz cita que fomos além, ampliamos a discussão para outras
áreas. Ela conseguiu visualizar essa interseção em sua prática e pontua alguns
detalhamentos importantes, como podemos ver no diálogo a seguir.
Eu: Como por exemplo?
Beatriz: Como por exemplo, língua portuguesa.
Susana: Até aqui em outras coisas... Você lembra que teve um passeio que
você levou os meninos na aldeia de índios. Você explorou as formas
geométricas lá na aldeia, está aqui.
[Conversamos sobre os cadernos e as anotações]
Eu: Quando você fala na língua portuguesa, você está falando o que?
Beatriz: Na língua portuguesa, por exemplo, quando a gente está criando um
problema, está explorando a língua, a leitura deste problema está
291

interpretando. Quando a gente troca as palavras, vê as incoerências, resolve
os problemas, vai olhar, rever,... Estruturas frasais. [...] sempre a gente
debateu sobre comportamentos, entender determinados comportamentos, às
vezes eu chegava angustiada e trocávamos ideias e eu saia daqui diferente,
com outra visão. Eu acho que tudo foi muito bom.
(transcrição da gravação em áudio de 06/out/08)
A professora Beatriz comenta a interseção da matemática com a língua
portuguesa. Coloca exemplos de como essa disciplina se relaciona com a
resolução de problemas. E no que apresentamos, anteriormente, notamos
como ela incorporou essa relação entre as duas disciplinas em suas aulas.
Quando analisamos as falas da professora Beatriz, afirmamos que ela se
pronuncia menos que Susana. Porém, quando averiguamos sua escrita,
percebemos que ela consegue se expor e deixar transparecer mais. Na
avaliação escrita sobre a influência do grupo e das aprendizagens, ela foi
detalhista e pontuou questões relevantes. Colocamos a seguir o que ela
respondeu sobre sua aprendizagem (11/ago/08).
O que posso afirmar que aprendi como professora neste período de participação
no grupo?
Beatriz: Acho que reaprendi que é preciso estar sempre procurando
superação, é preciso “aprender a aprender” como diz Saviani.
O que aprendi de matemática neste período que me marcou?
Beatriz: Aprendi noções básicas de geometria, aprendi a repensar
conceitos, outras formas de fazer operações matemáticas, outras formas
de propor atividades.
(transcrição da gravação em áudio de 06/out/08)
Novamente, a professora Beatriz coloca o „aprender a aprender‟, ela apresenta
isso como uma reaprendizagem. Isso nos mostra que, muitas vezes, sabemos
que enquanto professoras, precisamos estar em constante aprendizado, mas
as situações que vivenciamos e a necessidade de nos adaptarmos a essa
sociedade que exige o rápido, o imediato, nos faz esquecer isso.
Em relação à matemática, essa professora afirma que aprendeu noções
básicas de geometria. Ela não tinha estudado isso em sua formação e
292
realizava o básico que tinha aprendido ou que estava no livro. Com o que foi

apresentado na seção 5.2.2.3, percebemos que essa professora utilizou muitas
atividades envolvendo geometria em suas aulas.
Ela também pontuou sobre a questão de repensar certos conceitos
matemáticos e exemplificou com a questão das operações fundamentais.
Conforme citamos, a ampliação dos conceitos, envolvendo as quatro
operações, foi uma aprendizagem para todas nós. Algo bem explicitado por
Beatriz sobre suas aprendizagens, após inserção no grupo, foi a metodologia, a
abordagem dos conteúdos em aulas de matemática. Essa afirmação da
professora vai ao encontro com sua proposta de inserção no grupo.
Sandra e a aprendizagem em grupo
Eu, professora Sandra, pesquisadora deste trabalho, sou professora de
matemática e pesquisadora iniciante e estou aprendendo como fazer pesquisa
e como ser professora pesquisadora. Esta pesquisa ajudou-me a entender
como ocorrem alguns processos de ensino e aprendizagem de matemática em
professores e alunos. Aprendi a me conhecer, enquanto professora e aprendiz,
de matemática. Deixei isso explícito na minha resposta ao questionário
avaliativo da influência do grupo no encontro de 11/ago/08.
O que posso afirmar que aprendi como professora neste período de participação
no grupo?
Sandra: Aprendi a me conhecer, a entender porque faço determinadas
coisas de determinada forma, a prestar mais atenção nos meus alunos e no
que falam, a entender melhor que os alunos fazem algumas coisas e não
percebemos, a perceber que falamos algumas coisas e que muitas vezes
as pessoas entendem outras.
Inicialmente, eu tinha um olhar superficial em relação ao ensino de matemática
nas séries iniciais do ensino fundamental. Tinha consciência da importância em
conhecer mais sobre esse espaço de aprendizagens, suas dificuldades e
293
vantagens. Mas não tinha tido a oportunidade de estudar mais profundamente

os processos de ensino, aprendizagem e avaliação, nesse nível de ensino.
Dessa forma, afirmo que, ao longo dos encontros, meu olhar foi se modificando
em relação ao ensino e aprendizagem de matemática, nas séries iniciais. Estou
mais atenta às dificuldades dos alunos, a necessidade de se utilizar várias
estratégias para atingir os diferentes alunos e suas maneiras de aprendizagem.
Acredito que o ensino de matemática, nas séries iniciais, é complexo e que o
professor das séries finais deveria, pelo menos, entender os processos de
construção do conhecimento, nesse nível de ensino. Afirmei isso, algumas
vezes nos encontros, como podemos verificar na minha afirmação no encontro
de 06/out/08, quando falávamos sobre as aprendizagens que o grupo nos
permitiu.
Eu: Pra mim, eu acho que... Pra mim Sandra. Cresceu muito esta questão dessa
troca. De eu enxergar a... a matemática da 1ª a 4ª séries com outros olhos. Eu
já tinha começado, mas eu acho que aqui deu para clarear bem, como que a
gente estar... Ajudando até, como Lucia fala... Nossos alunos de 5ª a 8ª série
a partir do nosso conhecimento da matemática da 1ª a 4ª séries. Acho que...
Essa visão foi fantástica para mim. Ter a possibilidade de ver este outro
lado. Fala Susana.
Posso afirmar ainda que estou aplicando algumas coisas aprendidas no grupo
em minhas aulas, inclusive nas do ensino superior. Estou mais atenta aos
alunos que precisam de ajuda na construção do conhecimento matemático.
Tento retomar alguns conceitos matemáticos, com diferentes estratégias, para
que eles possam entender ou buscar as informações importantes, que não
estão presentes mais em suas mentes e que precisam para desenvolver as
atividades propostas. Isso pode ser exemplificado com casos de alunos que
possuem dificuldade com funções.
Fiz uma interação diferenciada, pela participação em dois grupos de estudos.
Um deles, foi o relatado nesse trabalho com professoras das séries iniciais e
com foco de discussão nos processos de ensino, aprendizagem e avaliação de
matemática, nesse nível de ensino. Outro foi, desde 2006, a participação no
projeto coordenado pela professora Vânia Maria Santos-Wagner com
professores de diferentes níveis de ensino e com discussões relacionadas a
294
diferentes áreas da matemática numa visão mais geral. Assim, pude fazer uma

interface dos dois trabalhos e contribuir, para ambos, no sentido de enriquecer
as discussões de um grupo com acontecimentos ou trocas realizadas no outro
grupo de estudo. Também oportunizei um trabalho, no qual consegui fazer uma
intercessão dos dois grupos em relação ao geoplano circular.
No ano de 2007, durante o período de investigação, fui convidada a participar e
desenvolver algumas atividades junto a um grupo de educação infantil num
Centro Municipal de Educação Infantil – CEMEI. Esse trabalho foi
desenvolvido, juntamente, com a professora Vânia Maria Santos-Wagner, que
em alguns momentos pode participar dos encontros propostos pelo CEMEI.
Nessa oportunidade, pude ter outro olhar relacionado à educação infantil, às
propostas de atividades iniciais voltadas para o desenvolvimento de alguns
conceitos de matemática que são estudados, posteriormente, em níveis
subsequentes.
Nas discussões dos grupos de estudos, tive um papel de provocadora,
levantando questionamentos sobre acontecimentos das aulas, pois tinha
observado e participado das mesmas. Conhecia algumas situações ocorridas
durante o processo que mereciam ser debatidas ou evidenciadas. Situações
que pudessem provocar a discussão sobre os conteúdos matemáticos e de
processos de ensino e aprendizagem de matemática, como foi o caso citado
anteriormente das definições de triângulo e quadrado, na geometria euclidiana
plana. Essas provocações resultavam em reflexões críticas, reflexões sobre a
ação (SCHÖN, 2000/1998) por todas as participantes, ao olhar para uma
situação de sala de aula, sejam de suas aulas ou das outras professoras, as
participantes se reconheciam em situações parecidas.
Bolzan e Izaia (2006) comentam sobre a aprendizagem para a docência na
educação superior e afirmam que:
295
As noções de aprendizagem como processo de apropriação e
compartilhamento, bem como de professor reflexivo, podem balizar
caminhos para que o docente do ensino superior construa,
paulatinamente, uma compreensão genuína de sua função como
formador (BOLZAN, ISAIA, 2006, p. 497).

Eu acredito que, mesmo em formações como a que realizamos, nós
pesquisadores, construímos essa compreensão da nossa função como
formadora. Por esse motivo, precisamos estar junto com professores e
entendermos que também aprendemos quando participamos desse tipo de
formação.
Relatamos com detalhes vários caminhos trilhados, por nós, nesta pesquisa. O
leitor pôde ter uma ideia da riqueza deste trabalho, lembrando que não
utilizamos todos os dados coletados. Para organizar nossa investigação,
pontuamos na próxima seção as respostas às nossas perguntas e os
resultados que conseguimos atingir do nosso objetivo geral.
296

297
CAPÍTULO VI:
6 FAZENDO UM BALANÇO DO CAMINHO PERCORRIDO:
CONSIDERAÇÕES E IMPLICAÇÕES PEDAGÓGICAS
estacamos, neste capítulo, algumas de nossas considerações,
implicações pedagógicas e, consequentemente, nossas
conclusões deste estudo longitudinal. Encerrando o trabalho,
fizemos um balanço do caminho percorrido, analisando os frutos
colhidos, o que conseguimos ver e perceber e o que identificamos para outro
caminho ou escolha.
Separamos esta seção em três partes. A primeira é um fechamento das
aprendizagens que ocorreram nesse caminhar. Retornamos às perguntas e
aos nossos objetivos, tentando apontar o que conseguimos identificar ou
alcançar, a partir da pesquisa. Na segunda parte, colocamos algumas reflexões
sobre esse caminhar, realçamos o que verificamos, a partir do desenvolvimento
da investigação, e o que pode ser utilizado por nós, futuramente, e por outros
pesquisadores que fizerem pesquisas deste tipo. Por fim, pontuamos algumas
implicações do estudo que consideramos relevantes de serem comentadas.
6.1 Algumas aprendizagens decorrentes do caminhar
Organizarmos uma formação continuada em contexto, por meio de um grupo
de estudos, com professoras das séries iniciais conforme nossa proposta para
este trabalho. Focalizamos numa dinâmica em que foi possível agir nesse
grupo discutindo, interagindo, vivenciando a matemática desse nível de ensino

e agindo entre nós como „amigos críticos‟. De agosto de 2006 a dezembro de
2008, buscamos compreender algumas aprendizagens das professoras, em
especial de Susana e de Beatriz, decorrentes da participação no grupo.
A partir do entrosamento e da efetivação do grupo, atuamos junto com as
professoras, aproximamo-nos cada vez mais delas e de suas práticas em aulas
de matemática. No processo que se desenvolveu, ouvíamos e éramos ouvidas,
valorizamos os saberes e fazeres das participantes, de maneira que, com a
metodologia utilizada, cada uma tinha a sensação de ser, realmente,
integrante, podendo opinar, lançar propostas e dar sua contribuição ao grupo.
Essa atuação estava de acordo com nossa escolha metodológica de realizar
uma pesquisa com perspectiva humanística, na qual “os professores são
tratados como pessoas que têm algo de valor para contribuir e não como
objetos de estudo. Suas ações são vistas como tendo significados em suas
situações ou contextos” 48 (CHAPMAN, 2006, p. 111).
Para compreendermos algumas aprendizagens das professoras participantes,
iniciamos um processo de provocação e aprofundamento da reflexão crítica
sobre a prática. Não temos a pretensão de apontar ações/reações das
professoras mediante participação no grupo, mas mostrar que essa
processualidade de ações proporcionou uma tomada de consciência por parte
das envolvidas, levando a aprendizagens a partir de uma construção de
conhecimentos, cada qual dentro do que era possível, em seu desenvolvimento
profissional (MIZUKAMI et. al., 2002). Percebemos a importância do convívio
coletivo e da interação entre as participantes, pois nesse tipo de envolvimento
cada um oferece o que sabe e, estando aberto para ouvir e analisar posições
diferentes das suas, adquire outras formas de ver o mundo, de se ver nele e de
compreender seu papel no exercício profissional (MIZUKAMI et al., 2002, p.
43).
48 Teachers are treated as persons who have something of value to contribute and not as objects of study.
Their actions are seen to have meaning in their situations or contexts (CHAPMAN, 2006, p. 111).
298

Afastando-nos do contexto dos encontros e das aulas das professoras Susana
e Beatriz, procuramos analisar os dados coletados e compreender algumas
aprendizagens, não nos esquecendo do complexo e amplo contexto em que as
aprendizagens ocorreram. Foi necessário ficarmos atentas às emoções e às
atitudes das professoras, no que diz respeito à matemática, em especial a
algumas de suas concepções e crenças e de seus processos de mudanças ao
longo do desenvolvimento da pesquisa.
Tendo como base nosso objetivo geral, analisar aprendizagens das
professoras em uma formação continuada ocorrida num grupo de estudos
sobre matemática nas séries iniciais e em suas práticas pedagógicas,
desenvolvemos o que segue. Destacamos, separadamente, as perguntas de
investigação e apresentamos o que ficou mais forte em cada uma delas.
Tentamos apresentá-las dessa forma, porém, sempre que necessário
apontamos algumas inter-relações com outras perguntas e com as
aprendizagens relacionadas.
I. Que aprendizagens das professoras participantes se destacam num
grupo de estudos e em suas práticas pedagógicas?
Podemos afirmar que não prevíamos algumas aprendizagens observadas no
decorrer deste estudo longitudinal. Sabemos que as aprendizagens ocorreram
de forma diferenciada, e cada professora teve um tipo de aprendizagem
decorrente de onde se encontrava em seu desenvolvimento profissional, no
momento da pesquisa. Afirmamos também que, durante essa caminhada,
algumas resistências e algumas dúvidas foram sendo quebradas ou
modificadas.
Conseguimos identificar algumas aprendizagens das professoras ao
analisarmos as construções dos diferentes conhecimentos que se deram ao
longo do processo. A partir desta pesquisa, confirmamos que as aprendizagens
299
se deram na produção de significados e na apropriação de conceitos e que

estão, diretamente, ligadas à construção dos diferentes conhecimentos, da
mesma forma apontada por Llinares e Krainer (2006). No capítulo 5,
destacamos algumas das evidências da construção de diferentes
conhecimentos dos conteúdos matemáticos, conhecimento pedagógico
matemático, conhecimento de currículo de matemática das séries iniciais e
conhecimento dos alunos, construídos pelas professoras participantes.
Apresentamos, a seguir, uma síntese dessas aprendizagens que foram
evidenciadas e/ou percebidas por nós, durante a investigação e que merecem
registro.
Algumas aprendizagens de conteúdos matemáticos que ficaram mais evidentes
e significativas foram aquelas relacionadas à resolução de problemas,
envolvendo as quatro operações e a geometria. De acordo com as próprias
professoras, as quatro operações representam o foco central de trabalho nas
séries iniciais do ensino fundamental – Susana afirmou isso em diferentes
momentos. Ao aprofundarmos nossos olhares para atividades, envolvendo
resolução de problemas levados pelas professoras ao grupo, constatamos que
aprenderíamos mais sobre o assunto. Identificamos que dominamos o
algoritmo das operações e nem sempre analisamos as sutilezas que abraçam
cada problema e nem as diferentes formas de pensar dos alunos.
Nossos estudos foram intensificados sobre a construção dos conceitos que
compreendem as quatro operações fundamentais e sobre as particularidades,
na forma de pensar, relacionada aos diferentes processos de estrutura que
podem ser formados por uma pessoa ao resolver problemas que envolvam tais
operações. Muitas vezes, nós, professores, não damos importância às nuances
das operações e, por esse motivo, deixamos de realizar um trabalho adequado
com os alunos para que esses compreendam as sutilezas e diferenças de
significados dentro de uma mesma operação. Isso foi percebido intensamente
no trabalho realizado com a professora Beatriz sobre divisão com resto não
nulo. No qual aprendemos que precisamos estar mais atentas para como os
alunos resolvem esses tipos de problemas, mas se confundem ao
300
apresentarem os resultados. Notamos também que devemos abordar, em

diferentes momentos, durante o processo de ensino e aprendizagem, um
mesmo conceito para que este seja construído por professores e alunos de
forma significativa e adequada. Aprendemos que se faz necessário um trabalho
de avaliação contínua, para identificação de dificuldades na construção dos
conceitos. Ressaltamos que trabalhos como a escrita da forma de pensar um
problema e sua solução, a invenção de problemas pelos alunos e ainda a
explicação para outros colegas de como o processo de solução contribui para a
construção dos conceitos e superação de obstáculos de aprendizagem que
porventura surjam (SANTOS, 1993, 1997; SANTOS-WAGNER, 2003). Após a
execução dessas atividades, não garantimos que todos os alunos se
apropriaram do conceito e conseguiram construir, de maneira adequada, o
significado da divisão com resto não nulo. Porém, afirmamos que um trabalho
realizado dessa natureza concorreu para que um maior número de alunos
conseguisse atingir níveis mais significativos de compreensão. Consideramos
que essas formas de abordagens foram aprendizagens do conhecimento
pedagógico matemático por todas nós e, em especial, por Beatriz.
O trabalho abrangendo as quatro operações, possibilitou-nos outras
aprendizagens. Em relação ao conhecimento pedagógico matemático, notamos
que algumas crenças e concepções das professoras induzem suas práticas,
como foi o caso de Susana. Ela acreditava que o trabalho com continhas
(conforme denominava), com o quadro valor de lugar (QVL) e com problemas
isolados, envolvendo as operações fosse suficiente para o desenvolvimento
das crianças na construção desses conceitos. Durante os encontros, ela
concluiu quanto a importância de se realizar outros tipos de abordagens e de
aproveitarem as oportunidades em sala de aula para aprofundarmos diferentes
conteúdos matemáticos. Verificamos, porém, que essa professora conseguia
fazer inter-relações de várias disciplinas de maneira surpreendente, inclusive
valorizando questões sociais – aprendemos essa forma de atuação com ela.
No entanto, ela não tinha percebido que poderia fazer a mesma coisa com os
conteúdos matemáticos. Aos poucos, ela mesma verificou que essa conexão
era possível e que trazia benefícios para a aprendizagem de seus alunos e
301
também para a própria Susana, uma visão mais ampla da integração dos

conteúdos matemáticos. Questionamo-nos sobre as formações, tanto inicial
como continuada, dessa professora e refletimos sobre algumas possíveis
lacunas com relação às formações de um modo geral. Percebemos que o
currículo de matemática foi visto como conteúdos isolados e que deveriam ser
trabalhados separadamente; essa visão prejudica um trabalho adequado para
a estruturação da base do edifício matemático pelos alunos (PCN – BRASIL,
1997). Ressaltamos a importância de formações continuadas em contexto,
conforme nosso grupo de estudos, que pôde ouvir a professora, compreender
qual sua visão, discutir e analisar outras possibilidades, além de verificar na
prática como outros modos de atuação seriam possíveis. Supomos que foram
situações desse tipo que levaram Susana a afirmar que o grupo foi um divisor
de águas em sua profissionalização e em sua prática. A forma de visualizar e
de realizar outras possibilidades para sua atuação em aulas de matemática,
percebendo o currículo de matemática como um sistema amplo e com várias
conexões entre seus conteúdos, contribuiu para essa visão diferenciada.
Importa realçarmos que formações iniciais e continuadas precisam estar
atentas para quais visões de matemática e de seu currículo, eles já possuem e
quais estão ajudando a construir. É imprescindível que se mostrem cada vez
mais, aos futuros professores e aos que já atuam, as inter-relações entre os
conteúdos matemáticos e entre estes com os de outras disciplinas.
Desmistificando e modificando, dessa forma, algumas crenças e concepções
de matemática que existem, em especial com os profissionais que atuam nas
séries iniciais.
A aprendizagem de conteúdos matemáticos relacionados à geometria pôde ser
percebida e/ou evidenciada pelas professoras de diferentes maneiras. A
princípio, identificamos que as professoras não tiveram formação adequada
sobre os conceitos geométricos e, por isso, tinham dificuldades nas
formulações dos próprios conceitos e também em trabalhá-los em suas aulas.
Essa constatação vai ao encontro de resultados de várias pesquisas sobre o
tema, como a de Nacarato e Passos (2003) e a de Dana (1994/1987). Nossa
pesquisa também confirmou uma situação percebida por Dana (1994/1987): a
302
inadequada formação em geometria influencia diretamente na abordagem

desse conteúdo nas aulas de matemática. Susana não abordava nenhum
conteúdo geométrico em suas aulas e Beatriz afirmou que trabalhava apenas
com questões referentes a medidas, área e perímetro. Essas escolhas
representavam frutos da insegurança e do desconhecimento das professoras
quanto aos conceitos geométricos e quanto às forma de abordagem com os
alunos. Ressaltamos, novamente, a importância da atuação do grupo. Ao se
sentirem respeitadas e pertencentes a um grupo que tinha um desejo diferente
de apontar „erros‟ ou „problemas‟ em suas práticas, Susana e Beatriz sentiram-
se seguras ao afirmar que não trabalhavam a geometria de maneira adequada
e que possuíam consciência sobre o que as levou a tomar tal atitude.
Sob influência de Lucia e minha, iniciamos abordagens de alguns conceitos e
conteúdos geométricos que cativaram as professoras Susana e Beatriz.
Identificamos que, além de realizarmos atividades para que as professoras
pudessem (re) construir alguns conceitos geométricos, precisávamos
desenvolver atividades que mostrassem como abordar esses conteúdos em
aulas de matemática. Essa aprendizagem de conhecimento pedagógico
matemático proporcionou uma participação ativa de minha parte e da de Vânia
nas aulas de Susana e Beatriz. A insegurança das professoras com a
geometria nos levou a assumir algumas de suas aulas e a conduzir as
atividades, mostrando alguns possíveis caminhos para abordagem desse
conteúdo. Foi um importante aprendizado, já que desejávamos trabalhar junto
com elas, e ao mesmo tempo, organizar nossas propostas para ajudá-las a
vislumbrar caminhos possíveis. Susana se identificou com algumas dessas
atividades, envolvendo geometria as quais poderiam ser abordadas como
oficinas de matemática e passou a utilizá-las em suas aulas, ampliando assim
seu „cardápio‟. E melhor, percebemos que os alunos reagiam entusiasmados
às atividades e interagiam, intensamente, entre si, inclusive aqueles
considerados especiais (portadores de necessidades especiais).
A maneira pela qual desenvolvemos os trabalhos no grupo de estudos, dando
voz às professoras e ouvindo as mesmas, ajudou-nos a compreender a
303
necessidade de trabalhar, em diferentes momentos, as construções de alguns

conceitos matemáticos, como foi o caso de Susana com a (re) construção dos
conceitos ligados aos polígonos. Isso nos mostra que não podemos garantir
que, em uma única apresentação ou formação, as professoras se apropriem
dos conceitos ou conteúdos trabalhados. E mais ainda, ao final da pesquisa
ainda não podemos garantir que todos os conceitos geométricos, incluindo
polígonos foram construídos por Susana, por exemplo. Mas, acreditamos que
já desestabilizamos suas construções conceituais e avançamos em algumas
abordagens, realizando assim, um desequilíbrio cognitivo nessa professora,
assim como aconteceu com Beatriz. Em nossa pesquisa, houve oportunidade
de termos mudanças interpessoais e intrapessoais, ocorrendo em nossos
diálogos e em nossas atividades (VYGOTSKY, 1988). Confirmamos o que
alguns autores (DAVIS; NUNES; NUNES, 2005; FERREIRA, 2003, 2003a;
SANTOS, 1993, 1995) comentam, sobre a necessidade de agirmos, tanto em
formações iniciais ou continuadas, para provocarmos desequilíbrios cognitivos
em conceitos construídos e aceitos como verdadeiros, como também
desequilíbrios emocionais em relação às crenças e às concepções a respeito
de matemática e de seu ensino.
Uma aprendizagem para nós, enquanto formadoras de professores, foi
registrarmos diferenças entre as formas de agir no grupo e de desenvolver as
diferentes abordagens efetuadas em sala de aula. Além disso, termos
consciência do objetivo de cada integrante do grupo, no intuito de
desenvolvermos atividades que pudessem levá-las a atingir seus objetivos. Um
exemplo disso foi o caso de Beatriz que desejava ampliar seus conhecimentos
matemáticos e buscar novas metodologias de trabalho para suas aulas.
Quando começamos a discutir questões referentes a conhecimentos
geométricos, ela pôde tirar suas dúvidas, se motivou e se encorajou a abordar
esse conteúdo. Ampliando, inclusive, a nossa proposta de estudo para tais
conceitos matemáticos.
Destacamos ainda, como aprendizagem de conhecimento pedagógico
matemático, a utilização de diferentes metodologias e ações diferenciadas em
304
aulas de matemática. O uso de diferentes linguagens (oral, escrita, pictórica,

dentre outras), em aulas de matemática, de acordo com as propostas
apresentadas em Santos (1997), contribuiu para nos aproximar dos modos de
pensar dos alunos. A professora Beatriz abordou a linguagem escrita de forma
que os alunos descrevessem os passos para o desenvolvimento das questões
apresentadas, a fim de produzir textos individuais e coletivos, poesias e cartas.
Como teve sua formação em língua portuguesa, associou a isso a proposta da
professora Vânia e de outros pesquisadores sobre a utilização da linguagem
nas aulas de matemática (SANTOS, 1997; POWELL; BAIRRAL, 2006).
Confirmamos, a partir da prática das professoras e de nossas participações nas
aulas, que o aluno precisa experimentar e vivenciar muitas situações em que
tenha que verbalizar e expressar suas ideias sobre as soluções de atividades
em matemática (SANTOS, 1997, p. 24).
Aprendemos também a diferenciar formas de ensinar e de interagir com os
alunos, nos diferentes níveis de ensino que atuamos. Mostramos neste
trabalho algumas situações específicas das professoras Susana e Beatriz, mas
também colocamos afirmações das outras professoras. A professora Lucia
afirmou que modificou seu olhar para o aluno da 5ª série (6º ano), ao conhecer
algumas práticas realizadas e conteúdos trabalhados nas séries iniciais. Eu
mesma afirmei que modifiquei minha forma de agir com alunos do nível
superior, através do conhecimento de outras práticas das professoras
participantes do grupo de estudos. Professora Vânia comentou sobre o quanto
pôde aprender, em particular, com as professoras Beatriz e Susana sobre
outras formas de dialogar e de interagir com os alunos das séries/anos iniciais
e como o grupo de estudos permitiu que todas nós tivéssemos momentos de
desequilíbrios cognitivos e de aprendizagens de conhecimentos pedagógico
matemático e outros. Ao partilharmos nossas experiências e nossos anseios,
discutindo e buscando alternativas para as situações apresentadas,
aprendíamos diferentes formas de lidar com nossos alunos.
Em comentários durante os encontros e nas observações/participações em
aulas, percebemos que Beatriz tentava sempre prender a atenção de seus
305
alunos e motivar a participação dos mesmos nas atividades e debates de suas

esoluções. Aprendemos com ela a dar tempo aos alunos para apresentarem
suas soluções e debaterem com os colegas as dúvidas. Diagnosticamos
também a necessidade de trabalhar as diferenças em sala de aula e valorizar
cada aluno, mesmo com suas limitações. Discutimos em diferentes momentos,
a realização de trabalhos em grupos com os alunos, o que nos levou a
explorar, em sala de aula, algumas possibilidades de atividades em grupo.
Com isso, aprendemos a superar nossas restrições e dúvidas quanto a esse
tipo de atividade. Segundo Beatriz, a maior dificuldade em realizar trabalhos
em grupo, era acreditar que a agitação dos alunos prejudicaria a
aprendizagem. Aos poucos, ela foi superando esse obstáculo em sua forma de
agir e percebeu que poderia obter bons frutos no trabalho em grupo com seus
alunos. Susana não teve tanta resistência e conseguiu incorporar, em sua
prática, o uso de trabalho em grupos, abordando diferentes conteúdos. Durante
a pesquisa, essa professora teve turmas agitadas, mas afirmou, em diferentes
momentos, que não se importava em trabalhar em grupo, mesmo que seus
alunos ficassem agitados, desde que eles pudessem estar aprendendo
matemática de maneira agradável.
Em diferentes momentos, discutíamos questões referentes à avaliação dos
conteúdos abordados. Enquanto debatíamos sobre as avaliações realizadas
pelas professoras, intensificávamos nossa reflexão crítica sobre avaliações de
aprendizagem. A professora Beatriz asseverou que aprendeu a dosar o nível
de dificuldade das questões formuladas, possibilitando assim uma maior
satisfação de todos os alunos e dela própria. Também lançava na prova alguns
desafios, como questão extra, para incentivar os alunos situados além da
média da turma. Ademais, aprendemos a importância de analisar os erros
cometidos pelos alunos e de encarar os mesmos como formas de nos
questionarmos sobre os procedimentos de ensino e de procurar modos de
incentivar os alunos a corrigir alguns desses erros e a reconstruir alguns
conceitos. As discussões do grupo sobre as avaliações e os resultados das
mesmas foram importantes para a construção desses conhecimentos e
consequentes aprendizagens.
306

Em 2006, Susana nos motivou a abordarmos sobre avaliações, quando levou
uma de suas provas, que continha apenas atividades do tipo „arme e efetue‟,
sem nenhum contexto ou problemática. Em todo o processo, percebemos que,
com a influência do grupo, ela iniciou uma busca de abordagem diferenciada
na forma de realizar suas avaliações. Em alguns momentos, a professora
poderia ter sido mais ousada, mas sabemos que ela se encontra num momento
diferenciado de desenvolvimento profissional, em um estado inicial de
consciência sobre suas crenças, suas concepções, seus conhecimentos e suas
estratégias de abordagem e de avaliação de conceitos matemáticos. Ela estava
perdendo o medo da matemática e da forma de tratar os conteúdos em suas
aulas. Susana define, claramente, o momento vivido por ela ao afirmar que
estava como criança descobrindo várias coisas diferentes e que precisa de um
tempo maior para entender e se apropriar de todas as novidades. Mostrando
assim, como a dinâmica vivenciada pelo grupo, na qual agimos como „amigos
críticos‟, foi determinante para o início de mudança de atitude dessa
professora. Eram olhares externos que compreendiam e vislumbravam outras
possibilidades, sem destacar falhas, erros ou intimidar a professora,
intermediadores que proporcionavam outros caminhos, confrontando e
desequilibrando. Enfatizamos ainda, como um processo de formação se dá de
maneira lenta e contínua, qual uma formação permanente e que depende do
modo que é vivenciado para provocar mudanças em práticas.
Algumas evidências de aprendizagem de conhecimento pedagógico
matemático da professora Susana foram sua organização dos conteúdos,
inserindo desafios e trabalhos com diferentes metodologias. Quando
comentamos sobre a organização dos conteúdos, queremos nos referir à
ampliação dos conteúdos matemáticos trabalhados por essa professora. Ela
buscou, independentemente, problemas do tipo „desafios‟, que implicavam
raciocínio lógico matemático, para tratar em suas aulas. Um fato interessante,
merecedor de destaque, é que apesar de Susana ter afirmado que possuía
medo da matemática, gostava de trabalhar com esse tipo de raciocínio.
Pensamos que a professora Susana teve uma formação inadequada, mas nos
307
encontros observamos que ela realizava articulações da matemática, de forma

plausível, com o que sabia. Essa diferenciação da forma de aprender é
característica de aprendizagem do adulto, que deve ser analisada de maneira
diferenciada. Precisamos estar atentos às possíveis conexões que alunos e
professores fazem ao construírem conceitos matemáticos.
Considerávamos não adequada a maneira pela qual a professora Susana
trabalhava com o livro didático. No desenvolver deste estudo, conseguimos
mostrar-lhe outras formas de trabalhar com o livro didático que pudessem
atingir, de maneira mais satisfatória, seus objetivos em relação às abordagens
dos conteúdos matemáticos. Isso representa um exemplo de outras
aprendizagens que aconteceram e que não selecionamos para apresentação
detalhada neste trabalho.
Tendo uma postura de amigos críticos e tentando compreender a realidade das
professoras, fomentávamos possíveis transformações para algumas
mudanças. Um exemplo foi a contribuição que o grupo deu para a visão da
professora Susana sobre o potencial de seus alunos, pois verificamos que, em
alguns momentos, ela não trabalhou nossas propostas por acreditar que estava
longe do alcance de seus alunos. Tinha uma visão focalizada nas dificuldades
que seus alunos possuíam em relação à defasagem de conteúdos.
Propusemos que realizasse atividades diferenciadas, com uso de materiais
concretos, já que gostava desse tipo de atividade, mas não a tratava de
maneira ampla. Susana denominou esses momentos de uso com materiais
concretos e aulas diferenciadas de „oficinas‟. Em suas oficinas, ela conseguiu
abordar conceitos geométricos, a linguagem escrita de seus alunos e
problemas, envolvendo as quatro operações. Com isso, as integrantes do
grupo conseguiram mostrar a Susana que seus alunos poderiam ir além do que
ela esperava e que nisso acreditasse que fossem capazes. Com nossa
participação em suas aulas, mostramos que determinadas atividades poderiam
ser realizadas por seus alunos, apesar das limitações deles. Um fato
interessante que deve ser destacado foi dar tempo para que ela aceitasse,
compreendesse e acreditasse que nossas propostas valiam a pena ser
308
colocadas em prática. Isso serve de indicação para outras formações

continuadas, o professor precisa ter tempo, estar ciente e disposto a realizar as
propostas, se assim não for, não obterão os resultados esperados. Também
estávamos à disposição da professora e atuando junto com ela em sua sala de
aula. O que passou uma segurança maior para ela, ao aceitar ousar e modificar
algumas de suas práticas. Formadores de professores precisam estar
conscientes de que mudanças serão possíveis enquanto professores sintam
necessidade e vontade de arriscar ou de experimentar novas propostas
metodológicas.
Formas de estabelecer e implementar o contrato didático, juntamente com os
alunos, foi algo debatido por nós em diversos encontros e que representam
aprendizagens de todas nós sobre o conhecimento pedagógico. As professoras
Susana e Beatriz construíam, no início do ano, juntamente com seus alunos,
algumas normas de convivência que estavam relacionadas com o contrato
didático. Essas normas com deveres e direitos ficavam afixadas em suas salas
e eram retomadas durante o ano. Quando retornei para as minhas turmas de
ensino fundamental, no ano de 2009, percebi que precisava trabalhar um
pouco desse contrato didático com meus alunos de 7ª e 8ª séries. A atuação no
grupo ocorreu de maneira tão intensa que, muitas vezes, realizamos algumas
práticas que incorporaram detalhes do que foi debatido pelo grupo, sem que
percebêssemos, conscientemente, tal ato.
A aprendizagem que ocorreu em todas as integrantes sobre o conhecimento
dos alunos se deu após discussões e questionamentos. A partir das trocas de
experiências, compreendemos que necessitávamos ter um olhar diferenciado
dos nossos alunos, assim como fazíamos no grupo com as outras participantes
e suas experiências diversificadas. Muitas vezes dividíamos anseios e
frustrações de situações vivenciadas por alunos e após ouvirmos opiniões de
nossos „amigos críticos‟, conseguíamos vislumbrar opções para a situação
apresentada. Um fato que demonstra isso ocorreu nas aulas de Beatriz, ao
iniciar um trabalho diferenciado com um grupo de alunos com dificuldades em
matemática. Ela denominou esse grupo de alunos de „grupinho‟ e nos
309
encontros do grupo a questionamos quanto a adequação. Após refletirmos

sobre as denominações, que a sociedade e nós mesmos colocamos, ela
decidiu chamá-los de „colaboradores‟, já que queria inserí-los e colocá-los para
realizar as tarefas propostas de maneira mais intensa. Esse trabalho teve
resultados positivos para a maioria dos alunos. Outro fato aconteceu ao
trabalharmos com os problemas de divisão com resto não nulo, ao falarmos
das pessoas que sobravam. Susana, que sempre estava preocupada com
questões sociais referentes aos alunos, chamou-nos a atenção, pois ninguém
gosta de pertencer às sobras. Em outras ocasiões, chegávamos ao encontro
com alguns problemas ocorridos com alunos ou trabalhos e partilhávamos,
buscando outros olhares e possibilidades de tratarmos a situação. Com esses
exemplos, queremos destacar que nossas discussões foram além dos
conteúdos matemáticos, assim como nossas aprendizagens, possibilitadas
pela dinâmica realizada pelo grupo, conforme apresentamos nas respostas ao
questionamento da pergunta III.
Uma aprendizagem importante para todas nós foi a de identificar que,
momentos em salas de aula de matemática e de troca de experiências, entre
professores, podem tornar-se fonte de conhecimento local e em contexto. Esse
conhecimento permite olhar de maneira diferenciada para nossas próprias
práticas e para outras, identificando o que somente um olhar mais atento e que
não está acostumado com a situação pode revelar – esse foi um dos papéis do
amigo crítico. Muitas vezes, a professora Beatriz comentou que nós, enquanto
grupo, conseguíamos enxergar situações e perspectivas que ela não havia
percebido em suas aulas. Acreditamos que esse fato vai ao encontro do que
Mizukami et al. (2002, p. 49) afirmam: “quando os professores descrevem,
analisam e fazem inferência sobre eventos de sala de aula, eles estabelecem
seus próprios princípios pedagógicos”. Portanto, essa afirmação corrobora que
a reflexão pode oferecer oportunidades de objetivar suas teorias
práticas/implícitas (SANTOS, 1993). Em nossa pesquisa, conseguimos reforçar
o que Llinares e Krainer (2006, p. 442) destacam sobre a importância da
reflexão crítica, colocando-a como “elemento chave nos processos do
310
desenvolvimento e requer para além da aprendizagem desde que assuma que

eflexão é um modo pelo qual os professores continuem aprendendo sobre
ensino e sobre eles próprios enquanto professores”.
Queremos destacar que talvez, uma das aprendizagens mais importante e
significante que concretizamos nesse grupo aconteceu nas práticas:
realizávamos uma investigação da própria prática. Dessa forma, precisávamos
olhar para nós mesmas e identificar nossas fortalezas, fraquezas, sucessos e
insucessos em relação à matemática. Ou seja, fomos aprendendo a
desenvolver nossa consciência metacognitiva (SANTOS, 1993, 1997), sobre
nós próprias, enquanto professoras. E fomos praticando em diversas situações
do estudo a consciência metacognitiva, ao pararmos em conjunto e sozinhas,
para rever e refletir sobre momentos e situações de sala de aula. Havíamos de
estar em constante formação e reflexão crítica, e cremos que seja o que
Beatriz afirmou, ao comentar que o mais importante acontecimento foi a visão
de que precisamos „aprender a aprender‟. Formadores que atuam em
formações iniciais e continuadas precisam estar atentos para essa questão. Em
nossa pesquisa, avançamos o que Santos (1993) pontuou sobre a consciência
metacognitiva de futuros professores, mostramos que isso deve ocorrer ao
longo do desenvolvimento profissional em uma formação permanente. A
questão da metacognição está relacionada aos aspectos cognitivos e afetivos,
abordamos. Focalizamos a seguir, alguns pontos importantes que ocorreram
no grupo vinculados a esse assunto.
II. Que relações entre aprendizagens de professoras e alguns
311
aspectos afetivos podem ser evidenciadas num grupo de estudos
de matemática?
Comentamos, anteriormente, que utilizamos algumas metáforas para nos
aproximarmos do pensamento do professor e desvelarmos algumas crenças,
concepções e emoções. Apresentamos, na seção 5.1.1, algumas crenças e
concepções das professoras em relação à matemática. Analisando as suas
respostas, em diferentes momentos da pesquisa, realizamos uma comparação

e chegamos a algumas mudanças em relação às crenças e concepções sobre
matemática das professoras participantes.
A professora Beatriz possuía uma visão positiva da matemática, tinha
consciência de suas limitações, mas acreditava que poderia superá-las e
aprender o que não sabia. A questão do domínio da matemática foi algo
apresentado por ela. Constatamos que essa professora possuía uma visão da
matemática como algo útil e indispensável, mas que havia certas sutilezas, que
ela desconhecia ou que podia surpreendê-la. Tendo consciência da formação
deficitária em matemática, buscou, algumas vezes, por iniciativa própria,
aprender o que não foi possível em sua formação. Em diferentes momentos, a
professora criou uma metáfora comparando a matemática a um cavalo, mas,
nos encontros finais, ela afirmou que conseguia dominá-lo melhor, pois já tinha
aprendido alguns conceitos matemáticos dos quais possuía dúvidas, e o
„cavalo‟ estava dando menos coices. Devido essa visão positiva da
matemática, apenas tendo algumas restrições relacionadas com assuntos que
não sabia, Beatriz conseguiu aprofundar sua aprendizagem de conceitos
matemáticos e desenvolver muitas das propostas debatidas nos encontros em
suas aulas. Gostava de aprender sobre outros conteúdos que não dominava ou
mesmo desconhecia. Ela buscava superar as dificuldades e tentava levar para
suas aulas diferentes atividades, ampliando assim suas aprendizagens. A
relação com o grupo foi importante, a fim de que ela pudesse levantar suas
dúvidas e dificuldades e conseguisse algumas respostas ou caminhos para
superá-los. O seu fascínio pela matemática e algumas iniciativas do grupo a
levaram a buscar caminhos diferenciados para estudar esta disciplina.
Quando olhamos as respostas da professora Susana, visualizamos uma
mudança real de suas crenças em relação à matemática. Desde o início, ela
afirmou a utilidade da matemática, considerando-a essencial para a vida
humana. Em diferentes metáforas, ela buscou associar a matemática a algo útil
e presente em todos os lugares, caracterizou a matemática numa visão
instrumentalista (ERNEST, 1989). Também mostrou que possuía medo da
312
matemática e que pensava estar muito longe desse conhecimento, mesmo

sabendo que a matemática estava em todos os lugares. O interessante foi o
caso da comparação com a barata, conforme citado anteriormente. Ela mudou
radicalmente sua resposta, compreendemos que a matemática se transformou
em algo que não lhe causava nojo ou repulsa. Ela descobriu uma matemática
que não tinha sido visualizada antes por ela, as outras integrantes do grupo,
por serem apaixonadas por matemática, conseguiram mostrar-lhe outras
possibilidades. Afastou-se da matemática por suas experiências anteriores e
acreditava não ser possível aprender mais do que o „básico‟. À medida que ela
começou a se abrir para a matemática e aceitar outras possibilidades, deixou-
se contagiar pela paixão das outras integrantes e começou a modificar sua
crença. Constatamos que a construção de conceitos e conteúdos matemáticos,
começou a fluir, e a matemática deixou de ser um bicho de sete cabeças. A
influência do grupo foi fundamental, ela não era excluída por ter „medo‟ da
matemática, ao contrário, tentávamos mostrar-lhe outros caminhos, outras
escolhas e por consequência outras atitudes frente a matemática. Sua inserção
no grupo permitiu-lhe olhar a matemática de maneira diferente, conforme já
citado, passando a identificar alguns conteúdos com os quais poderia trabalhar
em sala de aula. Ao final da pesquisa, Susana estava como criança, conforme
ela mesma disse, necessitando descobrir mais sobre a matemática que
começou a encantá-la.
As professoras Vânia e Sandra visualizavam a matemática como algo bonito,
que está em muitos lugares e possui interseções entre os diferentes conceitos.
Consideram que o interesse pela matemática pode ser descoberto por qualquer
pessoa, mesmo por aquelas que possuem crenças negativas sobre a
matemática. Acreditam que os conhecimentos podem ser (re) construídos e
que podemos criar diferentes espaços para que a matemática seja trabalhada.
Vânia acredita que a matemática pode abrir novas possibilidades. A crença
dessas professoras reflete-se em suas atitudes de encarar a matemática como
uma busca de novos horizontes e novas aprendizagens.
A partir dos resultados de nossa pesquisa, confirmamos a importância em
313
analisar crenças, concepções e emoções em relação à matemática para

compreendermos algumas das atitudes e conhecimentos das professoras.
Reforçamos, assim, o que Ponte e Chapman (2006) apontam ao afirmarem
sobre a importância de serem estudadas crenças e concepções dos
professores em investigações que se analisam conhecimentos e práticas de
professores, objetivando a compreensão do fazem e porque fazem de
determinada maneira.
Nos encontros do grupo, as professoras comentavam sobre suas experiências
enquanto alunas e professoras de matemática. Sabemos que, enquanto elas
buscavam em suas memórias essas experiências, o afeto relacionado a essas
situações ficava aflorado. As vivências e experiências que aconteceram ao
longo do estudo permitiram que o afeto e as crenças relativas à matemática
foram se tornando conscientes. Isso realça a importância de levarmos os
professores a refletir sobre suas próprias crenças e concepções para que
entendam algumas de suas atitudes em relação à matemática (ERNEST, 1989;
GÓMEZ CHACÓN, 2003). Quando Bruner (1997) aborda a questão da
memória na construção e constituição das narrativas retoma o papel do afeto,
ressaltando que, ao tentarmos lembrar algo estamos mais propensos a
recordar algum afeto que esteja relacionado ao que deve ser buscado na
memória. Essa situação foi vivenciada pelas integrantes do grupo quando
relatavam suas memórias positivas e negativas. Esse afeto pode ser positivo,
algo que foi bom; ou negativo, quando algo foi desagradável.
O que Bruner (1997) acrescenta à forma de analisar as narrativas envolvidas
pelo afeto é que essas estão diretamente relacionadas à dimensão
interpessoal. Ele afirma que recordar o passado também serve a uma função
dialógica (BRUNER, 1997, p. 56). Assim, quando nós, professores, contamos
histórias do passado, estamos relatando algo que tem uma dimensão afetiva e
uma dimensão dialógica com as outras pessoas que estão ouvindo, como visto
em diferentes momentos do grupo. Percebemos o afeto envolvido, como o
caso de Susana e seus medos em relação à matemática e a Beatriz com seus
encantamentos, principalmente em relação à resolução de problemas. As
314
relações identificadas nesses casos são aquelas referentes às vivências

anteriores de cada professora. Cada participante trouxe para o grupo suas
memórias positivas e negativas em relação à matemática, e suas colocações e
aprendizagens estavam diretamente relacionadas a essas memórias. Ou seja,
foi possível percebermos a ressonância que nossas histórias tinham com as
histórias, experiências, afetos e crenças das outras (CHAPMAN, 2005;
SANTOS-WAGNER, 1999, 2003, 2006).
Sabendo que algumas aprendizagens ocorreram pela dinâmica que
conduzimos o grupo, concluímos que, ao conhecermos umas as outras,
cultivamos o respeito e a confiança. Atuar junto com as professoras agindo
como „amigos críticos‟ foi fundamental para os resultados desta pesquisa. Essa
atuação contribuiu para que interagíssemos de forma ampla nas aulas das
professoras, entendendo e compreendendo as diferentes situações ocorridas.
Concordamos com Mizukami et al. (2002) ao destacarem a confiança como
importante para a convivência em grupo com ações colaborativas, como foi o
nosso caso. Estes autores ressaltam que, em alguns momentos, essa
confiança é necessária até mesmo para aceitarmos outros pontos de vista. Isso
ocorreu no grupo e acreditamos que o respeito tenha sido o ponto forte para
superar esses momentos. Eles afirmam que
315
a confiança é uma necessidade nos projetos colaborativos. Trata-se,
no entanto, de noção complexa e multifacetada. Os membros
depositam plena confiança em seus pares, de forma a partilharem
confidências e a falarem aberta e criticamente. Essa forma de
confiança vai além da mera escuta e da tolerância e inclui o sentido
de que quem fala será levado a sério e suas ideias serão escutadas
com interesse, servindo de base para reformulações. Inclui também a
confiança – alimentada pela inquirição dialógica – que os membros
devem ter em relação ao grupo, de forma a tolerar ambigüidade,
momentos continuados de desentendimentos, não partilha dos
mesmos pontos de vista e discussão continuada, mesmo quando for
desconfortável se colocar no lugar do outro (MIZUKAMI et al., 2002,
p. 145).
Confirmamos em nossa pesquisa a importância da confiança e do respeito
apresentada por esses autores. Corroboramos da necessidade desses
aspectos para a realização de práticas colaborativas, apesar das diferentes
visões entre as participantes. Realizamos um trabalho junto com as
professoras, e não um trabalho sobre elas e suas práticas. Incentivamos de

maneira positiva as suas ações e buscas por formas diferenciadas de trabalhar
a matemática. Isso também colaborou para a valorização do que cada uma
fazia, identificando, principalmente, aquilo que realizavam e que funcionava em
suas práticas e não apenas as falhas.
III. Como percebemos a influência do grupo de estudos de matemática
nas aprendizagens das professoras participantes?
A influência do grupo nas aprendizagens das professoras pôde ser percebida
pela dinâmica que constituiu o trabalho grupal. Acreditamos que um primeiro
motivo para que este trabalho tenha repercutido nas práticas das professoras
teve início na constituição do grupo. As professoras aceitaram nosso convite,
não foram obrigadas a participar dessa formação continuada, nem estavam
presentes por causa de um certificado, ou de recebimento monetário ou retorno
imediato; desejavam participar do grupo – ponto positivo, pois estavam abertas
ao debate, buscaram isso. Ao atuarem como integrantes, as professoras
puderam opinar sobre os objetivos e metas desenvolvidas no grupo. Durante
todo o processo, as pesquisadoras comportaram-se como integrantes,
aprenderam juntas, e com a forma com que conduziram o grupo, partilhando e
discutindo as metas, tiveram a possibilidades de analisar aprendizagens das
professoras juntamente com elas e por elas. As participantes agiam como
„amigos críticos‟, tendo olhares e agindo como mediadoras, como
observadoras, como profissionais ou como participantes. Esse modo de agir foi
a principal influência do grupo de estudos nas aprendizagens das professoras,
pois possibilitou toda interação e ações realizadas, levando-as às
aprendizagens.
A percepção por parte das professoras participantes se deu muitas vezes pela
provocação da reflexão crítica, de modo a instigá-las, devido ao que nos
apresentavam e ao que partilhavam conosco em situações de troca. Isso vai ao
encontro do que Mizukami et al. (2002) comentaram sobre a abertura das salas
316
de aulas em locais de pesquisa, gerando conhecimento local. Ampliamos a

ideia de que “os professores aprendem a partir da inquirição de sua vida
profissional e dentro de contextos bastante variados entre si” (MIZUKAMI et al.,
2002, p. 152), pois compreendemos que eles precisam ter consciência de suas
crenças e concepções e como estas influenciam suas práticas.
As aprendizagens aconteceram de forma significativa por termos envolvido as
professoras em todas as fases do trabalho. Elas se inseriram no grupo por
vontade própria através do nosso convite e ali permaneceram, sendo como
peças fundamentais em sua constituição e efetivação. Criamos condições de
confiança a fim de que as professoras se sentissem seguras para expor suas
ideias, apresentar suas dúvidas, propor soluções e discutir abertamente sobre
o que e como pensavam cada consideração apresentada. Nossa investigação
vem ao encontro das conclusões de Mizukami et al. (2002) afirmando que
317
Envolvidas em situações de partilha e de trocas significativas, as
professoras mostraram estar mais propensas a assumir o controle de
sua própria aprendizagem a partir de desenvolvimento metacognitivo
baseado em inquirição orientada (reflexão e ação sistemáticas). Cabe
destacar que a qualidade dos relacionamentos é central para o
sucesso desse desenvolvimento. O sucesso só é possível se os
membros da organização desenvolverem confiança e compaixão,
considerando as diferenças, já que a diversidade é construída sobre
elas. (MIZUKAMI et al., 2002, p. 181).
Aprender a conviver, aceitando as diferenças, sabendo ouvir, buscar
compreender pontos de vistas dicotômicos e valorizar o saber/fazer das outras
participantes foi algo construído durante nosso percurso. Havemos de nos
conhecer enquanto pessoas diferentes e profissionais que tiveram experiências
e formações diferenciadas. Aprender a respeitar a opinião da outra e pensar
nas ideias, nas propostas e nos argumentos não foi tarefa fácil, principalmente
para pessoas diferentes, mas que tinham um propósito em comum, estudar
matemática das séries iniciais.
Dos desafios vivenciados, citamos o exemplo da professora Susana que, em
muitos momentos, precisava estar convicta de que o que propúnhamos iria
trazer benefícios para ela e para seus alunos. O processo de aprendizagem
dessa professora foi bem diferenciado, pois primeiramente, ela precisava suprir
seu medo em relação à matemática, a fim de, posteriormente, vivenciar outras

ealidades. Já a professora Beatriz se mostrou mais aberta a aceitar algumas
aprendizagens, porquanto gostava de matemática e queria aprender e utilizar
novas formas de abordar alguns conteúdos matemáticos com seus alunos.
Desenvolvemos um tipo de formação na qual aprendemos a trabalhar em
grupo, destacando o que Krainer (1998, 1994) chama a atenção para o que é
ação, autonomia, reflexão, rede de suporte e troca de ideias. Esse tipo de
formação continuada, na qual trabalhamos junto com os professores, agindo
como „amigos críticos‟ e respeitando outros pontos de vista foi considerado por
nós como um tipo de formação que promoveu mudanças. Confirmando, assim,
o que Llinares e Krainer (2006) apontam sobre a necessidade de entendermos
melhor os professores e as mudanças em suas práticas para considerarmos
quais fatores influenciam no desenvolvimento profissional desses. Nosso
trabalho confirma que a colaboração entre professores pode influenciar esse
desenvolvimento profissional.
As aprendizagens docentes em nosso grupo de estudos foram ocasionadas por
uma construção coletiva onde “implica o estabelecimento de um processo de
interação e de mediação entre regulação interpsicológica e regulação
intrapsicológica, de maneira que as interações e as mediações favoreçam as
trocas cognitivas e os docentes avancem em seus processos formativos”
(BOLZAN; ISAIA, 2005, p. 496). As regulações apresentadas sugerem que as
professoras tenham aprendido a regular os seus processos cognitivos,
metacognição. Isso considerando os diferentes pontos de vista das demais
participantes do grupo, dos seus alunos, o que proporcionou um processo de
interiorização a partir da mediação (VYGOTSKY, 1988).
Esta pesquisa não tinha o objetivo de constituir um grupo colaborativo, por
acreditarmos que seria arriscado, de início, admitir que as ações e
direcionamentos que são próprios desse tipo de grupo aconteceriam. Porém,
mesmo não tendo como meta esse tipo de grupo, podemos afirmar que
conseguimos estruturar, constituir e vivenciar um grupo colaborativo, no qual a
estruturação, as metas, as dinâmicas realizadas, a integração entre as
318
participantes e as experiências partilhadas conduziram a novos conhecimentos

num grupo que teve práticas colaborativas (PETER-KOOP; SANTOS-
WAGNER; BREEN; BEGG, 2003). Na processualidade vivenciada pelo grupo,
conduzimos uma formação continuada em contexto – considerando as
professoras como sujeitos aprendentes –, a qual resultou em aprendizagens de
diferentes conhecimentos que puderam ser notadas nas mudanças em suas
práticas.
6.2 Refletindo sobre o caminho percorrido
Colocamos algumas reflexões, como pesquisadoras que aprenderam a
desenvolver pesquisas, a cada passo dado, neste trabalho. Destacamos,
positivamente, que estudos longitudinais como este por nós desenvolvido,
requerem muita dedicação, comprometimento, responsabilidade, persistência e
volitude, tanto por parte dos pesquisadores como das participantes. Pontuamos
como ponto positivo o desenvolvimento dessas características a cada uma de
nós, integrantes do grupo. Cremos que os resultados obtidos somente foram
possíveis pelo envolvimento que um trabalho longitudinal pudesse garantir.
Pudemos nos conhecer e respeitar os tempos-espaços de cada profissional,
interagindo de forma ampla e sensata a cada encontro. Desde o conhecimento
do outro, do trabalho junto com, conseguimos fazer com que cada uma
pudesse percorrer seu caminho, aflorar para novas visões e, a seu tempo,
colher os frutos lançados que caíram em solo bom. Esse trabalho possibilitou,
pelo seu tempo e desenvolvimento, a interação entre as participantes,
colocando-as como „amigos críticos‟, parceiras e envolvidas, de tal forma a se
sentirem parte do trabalho, tendo voz ativa nas discussões e decisões de um
grupo de estudos.
Entretanto, precisamos reformular alguns objetivos, atitudes e modos de
319
pensar e agir para que pudéssemos seguir adiante durante a pesquisa.

Algumas vezes, por ansiedade ou inexperiência deixamos de dar a devida
importância a momentos ou situações que poderiam gerar bons debates.
Também não deixamos claro que precisávamos das escritas das professoras
para confrontar com nossas próprias anotações, o que ocasionou algumas
dificuldades ao pedimos que elas voltassem ou revisassem algum tópico
trabalhado por nós nos encontros. Gostaríamos de ter realizado uma devolutiva
mais sistematizada, aos pais e alunos das turmas das professoras Beatriz e
Susana do que conseguimos coletar e desenvolver nesses dois anos de
acompanhamento em aulas de matemática. Isso não foi possível no período
trabalhado, mas não descartamos a hipótese de desenvolver algum trabalho
com este intuito.
Fundamentados nos trabalhos desenvolvidos, não podemos garantir que todas
as professoras construíram da mesma forma todos os conhecimentos.
Certamente, cada professora realizou suas próprias construções, de acordo
com seus próprios interesses e momento de desenvolvimento profissional.
Mas, cremos que aguçamos a curiosidade referente à matemática em cada
uma de nós.
As avaliações contínuas que realizamos ao longo deste estudo, sobre o que
fizemos, como fizemos, o que gostamos, o que não gostamos, quais foram
nossas aprendizagens, em quais momentos sentimos dificuldades, como
aprendemos a nos conhecer, a analisar e a refletir sobre as esferas do
emocional e cognitivo, contribuíram para gerar em nós uma consciência
metacognitiva. Pois, olhávamos para nossa própria cognição, como estávamos
desenvolvendo e caminhando nesta pesquisa.
Evidenciamos alguns benefícios que a participação no grupo trouxe para cada
componente, em relação às aprendizagens das professoras e para o grupo
como um todo. Inicialmente, não tínhamos clareza sobre o que faríamos e
quais resultados conseguiríamos, porém, ao iniciarmos nossa caminhada,
reconhecemos que estávamos trabalhando como „amigos críticos‟, respeitando
as diferenças e levantando possibilidades de trabalhos, mudanças e
320
crescimento profissional. Ajudamo-nos mutuamente, influenciamos e fomos

influenciadas pelas demais componentes. Ao passar do tempo, notávamos, em
nós mesmos, algumas características das outras professoras, porém,
estávamos envolvidas de tal forma que, algumas vezes, não percebíamos o
quanto aplicávamos o que havíamos aprendido com o grupo.
Outra reflexão realizada por nós, em diferentes situações, foi a preocupação
com a continuidade do grupo. Estávamos submergidas por diferentes
sentimentos como medos, anseios e emoções particulares de cada uma,
porque não sabíamos como o grupo continuaria o caminhar. Enquanto
pesquisadoras, tínhamos a preocupação de como o trabalho desenvolveria ao
longo dos anos, mas desde a interação entre as componentes essa
preocupação foi ficando menor e percebi o quanto estávamos envolvidas e
como a realidade do grupo fazia parte de cada uma de nós.
Na qualidade de professora de matemática e também como formadora, percebi
a necessidade de buscar teorias apropriadas para um estudo aprofundado dos
conteúdos matemáticos, inclusive daqueles que consideramos fáceis, como foi
o caso das operações fundamentais. Entendemos que poderíamos iniciar essa
busca pela prática de sala de aula, pois, dessa forma, conseguiríamos partir da
necessidade dos professores.
Chamamos atenção para a importância de diferenciarmos as ações utilizadas
num estudo longitudinal, como o que realizamos, para termos a oportunidade
de abrir caminhos, por meio da vivência do grupo. Precisamos de ações que
não fossem fechadas, que possibilitassem adaptações de acordo com o
caminhar do grupo ao longo do estudo, principalmente, em pesquisas sobre
formação de professor.
Em relação à metodologia utilizada para a análise de dados, queremos
ressaltar que a construção de diferentes níveis de análises, começando da
organização dos dados até a profundidade de relacioná-los com as bases
teóricas, ajudou-nos a „cozinhar os dados‟, criar uma inter-relação com os
321
mesmos. No decorrer dos níveis de análise, conseguimos reformular algumas

ações no grupo e organizar nossas categorias com base nas evidências
apresentadas pelos próprios dados da pesquisa.
Também tivemos momentos de dificuldades e algumas limitações. Uma delas
foi o fato de trabalharmos com um grupo particular, num contexto específico, o
que nos impossibilitou afirmar que as evidências e conclusões a que chegamos
aconteceriam com outros grupos, mesmo em situações semelhantes.
A seleção dos dados ocorreu, analisando os incidentes que consideramos
críticos ou significativos, nesses dois anos e quatro meses. O que
apresentamos neste texto foi o que selecionamos e são resultados de nossas
escolhas e do nosso olhar. E ainda, se os mesmos dados fossem analisados
por outro pesquisador, poderiam revelar outros focos não percebidos ou não
evidenciados por nós.
Fazendo um panorama do caminho percorrido neste doutorado, pontuamos
que muitas possibilidades surgiram ao longo do caminhar. Tivemos que
escolher por quais estradas percorrer, encarar os obstáculos encontrados e por
decidir quais iríamos ultrapassar e qual a forma como deveríamos ultrapassá-
los. Alguns foram fáceis de serem superados, outros foram colocados de lado e
buscamos outros caminhos. Se tivéssemos que trilhar, novamente, esse
caminho sabemos que continuaríamos apostando nas professoras e em suas
capacidades. Valorizaríamos, mais uma vez, as experiências de cada um e
seus saberes, pois acreditamos que cada pessoa possui muito a contribuir,
partilhar, ensinar e aprender. Não nos preocuparíamos tanto em formar um
grupo com um número grande de participantes, porém faríamos de tudo para
que cada professor (a) se sentisse integrante ao grupo e parceiro no caminhar.
Cometemos alguns „erros‟, não aproveitamos algumas oportunidades,
deixamos de nos aprofundar em alguns estudos, perdemos algumas
informações, aplicamos alguns instrumentos indevidamente, tivemos que
reformular outros instrumentos, adaptando-os às nossas realidades e
demoramos muito para retomar alguns assuntos. Continuaria anotando muitas
informações em meus cadernos, aliás, quero destacar que as anotações nos
322
cadernos me ajudaram a viver novamente alguns encontros, ler minhas

anotações revelou sentimentos em mim sobre as fases desse caminhar que me
fizeram refletir, olhar para o caminho percorrido e reconhecer detalhes de cada
participante ao longo do caminho.
6.3 Novas janelas, novos caminhos: desdobramentos da
pesquisa
Queremos destacar algumas consequências e novos direcionamentos de
pesquisa que podem ser retirados no nosso trabalho. São novas
possibilidades, novas janelas e portas que se abrem, novos caminhos que
foram ou que podem ser trilhados, um novo olhar...
Indicamos que, para a professora Susana, um desdobramento que se destacou
foi nossa inserção na formação continuada, em 2008, na escola em que
trabalha. verificamos que Susana encarou as formações ocorridas na escola
como outro momento de aprendizagem. Ela quis, muitas vezes, nesses
momentos de formação, partilhar com as demais professoras da escola o que
havia compartilhado conosco no grupo de estudos. A participação dessa
professora e de seus alunos na Mostra Cultural da escola, na qual atua,
também foi relevante, ela mostrou muitas das atividades de matemática
produzidas por nós com seus alunos. Susana tem consciência de que precisa
estudar mais matemática, mas estamos certas de que fizemos diferença no seu
modo de encarar a disciplina.
Para a professora Beatriz, o desdobramento foi maior em relação aos alunos e
o que fizeram em relação à matemática. Eles iniciaram a escrita de um livro de
resolução de problemas com os próprios problemas, inventados por eles,
baseados nos conteúdos trabalhados. Além disso, queremos ressaltar que a
323
vontade de estudar, além do que já sabia, aflorou na professora Beatriz. Ela

continuou a participar no encontro do grupo maior, organizado pela professora
Vânia, em 2009, e está buscando superar suas limitações em relação aos
conteúdos matemáticos que não domina. Acreditamos que ela continuará seus
estudos, aprofundando-se na matemática e na sua interseção com outras
áreas, como a língua portuguesa.
Damos alguns indicativos para alguns órgãos governamentais que trabalham
com formação de professores, no nosso caso, a prefeitura de Vitória, para que
tentem acompanhar professores que estão em formações continuadas,
promovam ações futuras para que essas professoras e outras que possuam
diferentes modos de trabalho, possam partilhar suas experiências. Podem ser
encontros na forma de oficinas, relatos de experiência, alguma maneira de
colocarem as professoras para mostrar o que realizam e contribuem para a
aprendizagem dos seus alunos.
Explicitamos que, para essas professoras, uma valorização profissional que
aconteceu durante os encontros do grupo foi o fato de termos apresentado
parte de trabalhos realizados em suas salas de aulas de matemática em
congressos, como o Seminário de Matemática – SEMAT que aconteceu no
CEFETES-Vitória, em novembro de 2008 e o Simpósio Internacional de
Pesquisas em educação Matemática – SIPEMAT, ocorrido em Recife, em
agosto de 2008. No caso do II Semat, a professora Beatriz participou da
apresentação do relato de experiência – o que foi muito produtivo. Ela também
apresentou um trabalho no Congresso Regional na Bahia, no ano de 2009,
como parte do que desenvolveu com seus alunos em relação ao geoplano
circular.
Temos muitos materiais que ainda não foram analisados. Como
desdobramento desta pesquisa, desejamos analisar alguns desses dados não
escolhidos e apresentá-los em forma de artigos em revistas. Almejamos
escrever esses artigos juntamente com as professoras que participaram da
investigação, pois consideramos que as descobertas e conclusões às quais
chegamos pertencem ao grupo e não somente à autora deste trabalho.
324

Esperamos que, este trabalho possa contribuir para outras investigações e que
os acertos e erros que cometemos possam servir de panorama para quem
quiser trabalhar com formação continuada, inclusive nós mesmas.
Ao longo do percurso deste caminhar, analisando as anotações nos nossos
cadernos, deparamo-nos com muitas interrogações, alguns erros, muita
história, vidas que se interligavam e escreviam os passos de um caminhar. Em
meio a essas idas e vindas, acertos e erros, escutamos uma música, intitulada
“O caderno”, que nos ajudou a superar os momentos difíceis, os „erros‟, e a
caminhar em frente. Ela representa uma metáfora, e nós a analisamos com
outro olhar. Colocamos sua letra a seguir:
O caderno
Cantor: Padre Fábio de Mello Compositor: Toquinho
Sou eu quem vou seguir você
do primeiro rabisco até o bê-a-bá
em todos os desenhos coloridos vou estar
a casa, a montanha, duas nuvens no céu
e um sol a sorrir no papel
Sou eu que vou ser seu colega,
seus problemas ajudar a resolver
lhe acompanhar nas provas bimestrais, você vai ver
Serei de você confidente fiel,
se seu pranto molhar meu papel
Sou eu que vou ser seu amigo,
Vou lhe dar abrigo, se você quiser
Quando surgirem seus primeiros raios de mulher
A vida se abrirá num feroz carrossel
E você vai rasgar meu papel
O que está escrito em mim comigo
Ficará guardado, se lhe dá prazer
A vida segue sempre em frente, o que se há de fazer
Só peço a você um favor, se puder
Não me esqueça num canto qualquer
[MENSAGEM]
Eu não sei se você se recorda do seu primeiro caderno, eu me recordo do meu.
Com ele eu aprendi muita coisa, foi nele que eu descobri que a experiência dos erros
Ela é tão importante quanto às experiências dos acertos
Porque vistos de um jeito certo, os erros,
Eles nos preparam para nossas vitórias e conquistas futuras
Porque não há aprendizado na vida que não passe pelas experiências dos erros
O caderno é uma metáfora da vida,
Quando os erros cometidos era demais, eu me recordo,
Que a nossa professora nos sugeria que a gente virasse a página.
325

Era um jeito interessante de descobrir a graça que há nos recomeços.
Ao virar a página, os erros cometidos deixavam de nos incomodar e a partir deles,
A gente seguia um pouco mais crescido.
O caderno nos ensina que erros não precisam ser fontes de castigos.
Erros podem ser fontes de virtudes!
Na vida é a mesma coisa, o erro tem que estar a serviço do aprendizado;
Ele não tem que ser fonte de culpas e vergonhas.
Nenhum ser humano pode ser verdadeiramente grande
sem que seja capaz de reconhecer os erros que cometeu na vida.
Uma coisa é a gente se arrepender do que fez! Outra coisa é a gente se sentir culpado.
Culpas nos paralisam. Arrependimentos não!
Eles nos lançam pra frente, nos ajudam a corrigir os erros cometidos.
Deus é semelhante ao caderno.
Ele nos permite os erros pra que a gente aprenda a fazer do jeito certo.
Você tem errado muito?
Não importa, aceite de Deus essa nova página de vida que tem nome de hoje!
Recorde-se das lições do seu primeiro caderno.
Quando os erros são demais, vire a página!
[FINAL]
O que está escrito em mim comigo
Ficará guardado, se lhe dá prazer
A vida segue sempre em frente, o que se há de fazer
Só peço a você um favor, se puder
Não me esqueça num canto qualquer
Novos caminhos, novos rumos, a vida segue em frente, o que se há de fazer?
Só peço a você, um favor se puder...
Não se esqueça dos professores, da formação permanente, desse caminhar,
num canto qualquer...
326

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341

Anexos
Anexo A - Questionário sobre a influência do grupo nas aulas de
matemática e em práticas das professoras.
1 Questionário respondido por Susana em 11/08/08
342
O grupo de estudos e a minha prática em aulas de matemática:
1. Percebo mudanças na minha prática de aulas de matemática? Se sim, em que?
Mudou muita do tradicional passei ao construtivismo, com sentido, sem perder de vista
os conteúdos que precisam ser trabalhados.
2. O que você acredita que faz, em relação às aulas de matemática, da mesma forma que
antes da participação do grupo?
Mais dinamismo, desafiar o raciocínio.
3. Modificou alguma coisa em minhas aulas a presença de Sandra, Vânia e/ou Lucia
(aulas Susana)? Se sim, o que?
Tudo, as tarefas em grupo, os desafios, a oficina de origami...
4. Houve contribuição do grupo para minhas aulas de matemática? Justifique.
No grupo nós discutimos o que trabalhamos e há troca de ideias
5. Se houve, qual foi (é) a contribuição do grupo para minhas aulas de matemática?
o No sentido de planejamento:
Mais segurança em inovar com trabalhos diferenciados (inclusive em outras disciplinas)
o Em relação aos conteúdos selecionados:
Mais variedades. “Variedade de cardápio”
o Em relação às metodologias desenvolvidas:
Também mais variado
o Outra contribuição que gostaria de destacar:
As ideias fluem também em relação a outras disciplinas.
6. O grupo influenciou suas decisões em sala de aula? Se sim, dê exemplos ou comente
cada um dos itens que sofreu influências em relação a decisões tomadas em sala de
aula:
o Com os alunos
Pensando melhor no que cada um desenvolve melhor
o Com os conteúdos
Preocupação em aumentar os assuntos, sem perder de vista o básico.
o Com as avaliações
Valorizando todo trabalho feito e não só as provas
o Com as tarefas propostas
o Com os planejamentos
Mais coerências e seguimento das ações.
7. O que posso afirmar que aprendi como professora neste período de participação no
grupo?
Muitas coisas, diferença entre ouvir de outros sobre suas aulas e o seu agir na sala.
8. O que aprendi de matemática neste período que me marcou?
Muita coisa, todos os conteúdos além das 4 operações.
2 Questionário respondido por Beatriz em 06/10/08
O grupo de estudos e a minha prática em aulas de matemática:
1. Percebo mudanças na minha prática de aulas de matemática? Se sim, em que?
Sim. Desde que começamos o nosso grupo de estudos analiso minhas práticas, e penso
criticamente em cada conteúdo ou estratégia para desenvolvê-lo.
2. O que você acredita que faz, em relação às aulas de matemática, da mesma forma que
antes da participação do grupo?

343
Oferecer muito conteúdo, tenho ainda uma grande preocupação em “dar conta do
programa” e se possível, ir além.
3. Modificou alguma coisa em minhas aulas a presença de Sandra, Vânia e/ou Lucia
(aulas Susana)? Se sim, o que?
O que mudou foi a reflexão sobre a prática, não consigo mais dar aulas de matemática
sem planejamento (quando faço me sinto culpada).
4. Houve contribuição do grupo para minhas aulas de matemática? Justifique.
Muitas. Tivemos várias sugestões de práticas diferentes que deram muito certo. Uma
delas foi a utilização da escrita nas aulas de matemática.
5. Se houve, qual foi (é) a contribuição do grupo para minhas aulas de matemática?
o No sentido de planejamento:
Sempre que posso planejo minhas aulas de matemática com critério, os encontros já
adiantavam este trabalho.
o Em relação aos conteúdos selecionados:
Em relação aos conteúdos deu-me a oportunidade de esclarecer dúvidas que eram
minhas.
o Em relação às metodologias desenvolvidas:
Muitas estratégias diferentes foram sugeridas e desenvolvidas em sala de aula com
sucesso.
o Outra contribuição que gostaria de destacar:
A oportunidade de estudo que trouxe de volta a minha velha sede de saber, o meu
inconformismo diante de situações difíceis.
6. O grupo influenciou suas decisões em sala de aula? Se sim, dê exemplos ou comente
cada um dos itens que sofreu influências em relação a decisões tomadas em sala de
aula:
o Com os alunos
Acho que até a maneira de me relacionar com os alunos hoje, é mais tranqüila, já me
atrevo a fazer grupos, duplas,... Eu era tradicional demais!
o Com os conteúdos
Acho que hoje dou mais valor à geometria e à escrita na matemática.
o Com as avaliações
Avaliações com oportunidades para todos, questões desafiantes, médias e simples para
que todos tenham oportunidade de mostrar o que sabem.
o Com as tarefas propostas
Da mesma forma que as avaliações estou sempre propondo atividades mais
interessantes, muito material foi fornecido nos encontros, materiais riquíssimos.
o Com os planejamentos
Confesso que não tive tempo de aproveitar 100% do material. Mas sempre ao planejar
penso “o que Sandra ou Vânia pensariam disso?”
7. O que posso afirmar que aprendi como professora neste período de participação no
grupo?
Acho que reaprendi que é preciso estar sempre procurando superação, é preciso
“aprender a aprender” como diz Saviani.
8. O que aprendi de matemática neste período que me marcou?
Aprendi noções básicas de geometria, aprendi a repensar conceitos, outras formas de
fazer operações matemáticas, outras formas de propor atividades.
3 Questionário respondido por Sandra em 11/08/08
O grupo de estudos e a minha prática em aulas de matemática:
1. Percebo mudanças na minha prática de aulas de matemática? Se sim, em que?
Sim. Hoje procuro pensar mais no que proponho aos alunos: atividades, avaliações,
discussões. ( nas aulas do ensino superior)
2. O que você acredita que faz, em relação às aulas de matemática, da mesma forma que
antes da participação do grupo?
Repetir várias vezes e de maneiras diferentes as abordagens do conteúdo.

344
3. Modificou alguma coisa em minhas aulas a presença de Sandra, Vânia e/ou Lucia
(aulas Susana)? Se sim, o que?
4. Houve contribuição do grupo para minhas aulas de matemática? Justifique.
Sim, com certeza. Cada pessoa do grupo mostra algumas coisas importantes, como por
exemplo: paciência (Beatriz), organização (Lucia), interação com outros focos (Susana) e
responsabilidade com os outros (Vânia).
5. Se houve, qual foi (é) a contribuição do grupo para minhas aulas de matemática?
o No sentido de planejamento:
Vendo as professoras e seus planejamentos, estou mais organizada e me preocupando
com um planejamento que seja bom para cada aula, pensando inclusive nas
organizações do tempo.
o Em relação aos conteúdos selecionados:
o Em relação às metodologias desenvolvidas:
Penso sempre em abordar algumas atividades de diferentes maneiras, utilizar bastante a
resolução de problemas, os trabalhos em grupos,...
o Outra contribuição que gostaria de destacar:
Gostaria de destacar que quando penso no grupo penso em aprendizagem, como
aprendemos a cada dia, como podemos perceber certas coisas de outras formas, as
relações que devem existir entre a vida real e a escolar, a organização dos conteúdos e
das metodologias,..., um novo olhar para a matemática trabalhada nas séries iniciais,...
6. O grupo influenciou suas decisões em sala de aula? Se sim, dê exemplos ou comente
cada um dos itens que sofreu influências em relação a decisões tomadas em sala de
aula:
o Com os alunos
Estou ainda mais paciente e tentando colocar aqueles que têm mais dificuldades para
pensarem com minha ajuda nas aulas.
o Com os conteúdos
o Com as avaliações
Estou pensando mais sobre como colocar cada questão na avaliação, como fazer
avaliação onde o aluno pode colocar como pensou e como resolveu a atividade
proposta, colocar sempre uma questão fácil e uma que exija mais raciocínio...
o Com as tarefas propostas
Tento diversificar as atividades propostas para que diferentes alunos possam participar.
o Com os planejamentos
Penso muito nos tempos, nas aprendizagens coletivas,...
7. O que posso afirmar que aprendi como professora neste período de participação no
grupo?
Aprendi a me conhecer, a entender porque faço determinadas coisas de determinada
forma, a prestar mais atenção nos meus alunos e no que falam, a entender melhor que
os alunos fazem algumas coisas e na percebemos, a perceber que falamos algumas
coisas e que muitas vezes as pessoas entendem outras.
8. O que aprendi de matemática neste período que me marcou?
Relação entre frações e decimais com uso do material dourado;
4 Questionário respondido por Lucia em 11/08/08
O grupo de estudos e a minha prática em aulas de matemática:
1. Percebo mudanças na minha prática de aulas de matemática? Se sim, em que?
Sim, percebo que o meu olhar para com os alunos da 5º serie é bem diferente dos anos
anteriores, conversando e ouvindo as professoras do grupo, noto o motivo das
dificuldades e/ou obstáculos enfrentados pelos alunos.
2. O que você acredita que faz, em relação às aulas de matemática, da mesma forma que
antes da participação do grupo?
Organização, planejamento, contrato didático.
3. Modificou alguma coisa em minhas aulas a presença de Sandra, Vânia e/ou Lucia
(aulas Susana)? Se sim, o que?
4. Houve contribuição do grupo para minhas aulas de matemática? Justifique.
Sim, ouvir as professoras de 1º a 4º serie tem auxiliado a mim e principalmente, os meus
alunos a fazer de forma mais suave, a transição da 4ª série para a 5ª série. Sabemos que

345
essa ruptura, como qualquer outra é dolorida. Reconheço que o grupo tem sido de
fundamental importância nesse processo
5. Se houve, qual foi (é) a contribuição do grupo para minhas aulas de matemática?
o No sentido de planejamento:
o Em relação aos conteúdos selecionados:
o Em relação às metodologias desenvolvidas:
o Outra contribuição que gostaria de destacar:
6. O grupo influenciou suas decisões em sala de aula? Se sim, dê exemplos ou comente
cada um dos itens que sofreu influências em relação a decisões tomadas em sala de
aula:
o Com os alunos
Ser mais tolerante e compreensiva com os erros cometidos pelos alunos da 5º série.
o Com os conteúdos
Sim. Aprendi o “QVL” e outras formas de cálculo ensinadas pelas professoras da 3º e 4º
séries.
o Com as avaliações
o Com as tarefas propostas
o Com os planejamentos
7. O que posso afirmar que aprendi como professora neste período de participação no
grupo?
A fazer um planejamento, discutir estratégias de ensino, olhar provas feitas por alunos,
sugerir mudanças na forma de avaliação. Ainda que isso possa ser paradoxal, o que eu
faço aqui no grupo, não faço e não vejo acontecer nas escolas. Logo, aqui eu me sinto
num lugar rico e estimulante para repensar minhas práticas pedagógicas.
8. O que aprendi de matemática neste período que me marcou?
Entender e compreender a matemática ensinada nas séries iniciais.

Anexo B - Atividade sobre geometria trabalhada na turma da professora
Susana em setembro de 2007:
Atividades de geometria: Sólidos geométricos
4. Escreva os nomes dos objetos da cena abaixo que lembra os seguintes sólidos
geométricos:
a. Paralelepípedo _________________________________________________
b. Cilindro _______________________________________________________
c. Cone _________________________________________________________
d. Cubo _________________________________________________________
5. Relembrando os nomes dos sólidos geométricos que conversamos e fizemos em sala
de aula quando estudamos:
a. Quais destes sólidos rolam em alguma posição?
____________________________________________________________________
b. Quais destes sólidos não rolam em nenhuma posição?
____________________________________________________________________
6. Escreva os nomes dos objetos da cena a seguir que lembram os sólidos geométricos
que vimos anteriormente:
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
______________________________________________________________
346
Pirâmide

7. Troque ideias com seus colegas e com outras pessoas e responda:
a. Por que na ilustração aparecem quatro latas de lixo?_____________________
__________________________________________________________________
b. Qual a importância da coleta seletiva de lixo? __________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
c. O que podemos fazer em nosso dia-a-dia para diminuir a quantidade de lixo
produzida em nossas casas? _______________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
d. O que você gostou de aprender com estas atividades anteriores? __________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
347
8. Invente uma história sobre uma das cenas anteriores e escreva nas linhas a seguir:
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________

Anexo C - Texto coletivo desenvolvido na aula de Beatriz do dia 09/mai/08
348
Nós aprendemos que sólidos geométricos são sólidos que ocupam lugar no espaço e
tem lados com formas geométricas. Conhecemos os poliedros (sólidos que possuem muitas
faces).
Ao desmontar caixinhas em formas de paralelepípedos, prismas de base triangular e
ortogonal, observamos que obtivemos regiões planas.
Quando contornamos um dos lados da caixinha obtivemos uma figura geométrica plana
de lados formados por linhas retas, são os polígonos.
Aprendemos que há polígonos que recebem nomes diferentes de acordo com o
número de lados.
Nome do polígono Número de lados
Triângulo 3
Quadrilátero 4
Pentágono 5
Hexágono 6
Heptágono 7
Octógono 8
Eneágono 9
Decágono 10
Undecágono 11
Dodecágono 12
Pentadecágono 15
Icoságono 20
Fizemos uma experiência onde observamos uma caixa sentados em posições
diferentes, com ângulos de visão também diferentes. Assim alguns alunos apenas viram dois
lados da caixa, outros viram três lados e também teve quem viu somente um lado. Isso prova
que os objetos adquirem formas diferentes de acordo com nosso campo de visão.
Também aprendemos que diagonal é o que une dois vértices opostos na região interior
do polígono.
Estudamos o perímetro que é a soma das medidas dos lados de um polígono.
Com canudinhos confeccionamos pirâmides de base triangular.
Quando a professora Sandra confeccionou um cubo, teve dificuldades porque ele
ficou deformado. É que os quadrados não tinham firmeza como os triângulos da pirâmide,
então, a professora Sandra colocou suportes em diagonais que dividiram as faces quadradas
em triângulos. Colocou, também, mais uma diagonal interna no poliedro.
É interessante lembrar que o triângulo é a única figura geométrica rígida, firme, por
isso vemos a utilização de suportes em diagonal em várias construções.
Quando planificamos as caixinhas, tentamos, antes disso, desenhar como
imaginávamos que seriam. Poucos de nós acertamos, pois esquecemos que as caixas
precisam ter as bordas (mais uns ladinhos) para colar os lados da caixa.

Anexo D – Quadro de encontros do grupo de estudos
Quadro 19 – Detalhamento dos encontros do grupo
Data
Encontros
1º.
2º.
3º.
4º.
5º.
6º.
18/09 G 49
30/08
25/09
02/10 G
09/10
16/10 G
Profª s .
presentes
Susana
(S),
Beatriz
(B) e
Sandra
Susana,
Beatriz e
Sandra
Susana,
Beatriz e
Sandra
Susana e
Sandra
Beatriz e
Sandra
Susana,
Beatriz e
Sandra
Principais propostas ou
assuntos discutidos
Conhecendo os participantes.
Apresentação da proposta e
escolha dos dias e horários de
trabalho.
Identificação da memória
positiva enquanto professoras
de matemática.
Uso de metáforas em relação
à matemática.
Identificação de memórias
enquanto alunas nas aulas de
matemática.
Troca de experiências sobre
resolução de problemas,
envolvendo expressões
numéricas inventadas pelos
alunos e respondidos da
maneira que eles
conseguissem.
Trabalho com material de
encarte de supermercado.
Cálculo mental.
Problemas de lógica.
Conteúdos que deveríamos
estudar mais.
Conteúdos que pretendemos
estudar mais.
Fração e proporção.
Avaliação –
Metáfora do ensino da
matemática.
Livros didáticos.
2006
Pontos importantes que
merecem destaque
As professoras chegaram com
vontade de partilhar suas
experiências, foi bem
interessante.
Já pude perceber que as
professoras poderão ajudar
muito, e que as discussões serão
interessantes.
Já pude perceber que a prof.
Beatriz gosta de desafiar seus
alunos e foi isso que a trouxe ao
grupo. Já a prof. Susana, não
gosta muito de matemática e
apenas usa o necessário, ela quer
perder esse “medo” de
matemática.
A profª S. mostrou que tentou
fazer diferente com os encartes
de jornais.
Profª B. conseguiu nos mostrar
como trabalha resolução de
problemas, com novos
conteúdos, em sala de aula.
Professora querendo mostrar que
está tentando trabalhar com a
interdisciplinaridade e com as
propostas que estamos dando nos
encontro.
Conversas sobre as diferentes
bases: sistema decimal e
medidas de horas, minutos e
segundos.
A professora Susana está
tentando colocar em suas
avaliações algumas das
propostas do grupo.
49 Os encontros que possuem a letra “G” são os que temos gravações em áudio.
349
Pontos que precisam
ser analisados
Questões referentes à
avaliação.
Os motivos que
realmente trouxe cada
uma ao grupo. Questões
referentes ao jogo nas
aulas de matemática.
Questões referentes ao
jogo.
Voltar a conversar sobre
os conteúdos que
precisamos discutir mais
e em outros momentos.
Voltar em discussões
sobre proporções.
Precisamos retomar a
discussão sobre os livros
didáticos.

Data
Encontros
7º.
8º.
9º.
10º.
11º.
12º.
23/10 G
30/10
06/11
20/11
27/11
11/12 G
Profª s .
presentes
Susana,
Beatriz e
Sandra
Susana e
Sandra
Susana,
Beatriz e
Sandra
Susana,
Beatriz e
Sandra
Susana,
Beatriz,
Vânia e
Sandra
Susana,
Beatriz,
Vânia e
Sandra
Principais propostas ou
assuntos discutidos
Sistema de medidas e
atividades.
Fração.
Conversa sobre atividades
para a introdução de frações.
Divisão de um número por
uma fração.
Discussões sobre o trabalho
de frações inter-relacionado
com proporção e
porcentagem.
Conversas sobre
interdisciplinaridade, divisão
do tempo das disciplinas e
livro didático.
Discussão das realizações das
propostas do grupo
Conversa sobre o livro
didático apresentado pela
professora Beatriz.
Conversa sobre o ensino e
aprendizagem de medidas de
comprimento e peso.
Discussão sobre divisão.
Questões de relacionamentos
e comportamentos em sala de
aula.
Relato para Vânia das
professoras sobre os
encontros do grupo e porque
quiseram participar.
Apresentação do livro
didático da profª Susana.
Conversas sobre resolução de
problemas.
Conversa sobre o número π.
Conversa sobre materiais
levados pelas professoras.
Tabuadas com nº maior que
dez.
Relato sobre o projeto de
Natal pela profª Susana e
sobre o projeto com idosos
pela profª Beatriz.
Conversas sobre o trabalho
das quatro operações .
Pontos importantes que
merecem destaque
Trabalho diferenciado sobre
medidas realizado pela
professora Beatriz.
Abertura da professora e
confiança para mostrar que
possui dificuldades com o
trabalho de frações.
A troca de experiências e os
relatos do que está sendo
discutido no grupo está ficando
mais intenso.
Discussão sobre a abordagem
simultânea de frações,
porcentagens e proporção, para
iniciar a ideia de regra de três.
Reflexão da professora Beatriz
sobre como utiliza o livro
didático.
Relatos e reflexões sobre os
trabalhos em sala de aula.
Dificuldades encontradas pela
professora Susana em efetuar e
ensinar divisão por número com
dois algarismos e números
decimais.
A primeira vez que a professora
Vânia participa do encontro
presencialmente.
Uso do livro didático e divisão
do trabalho em sala de aula.
Indicações da professora Susana
dos projetos que gosta de
realizar: projeto Natal
Reflexão de cada professora
sobre a participação no grupo.
O envolvimento das professoras
com seus projetos.
Reflexões sobre o trabalho com
as quatro operações.
Discussões sobre desafios
matemáticos.
350
Pontos que precisam
ser analisados
Decimais e frações.
Conversar mais sobre
este conteúdo “frações”.
Questão do uso do livro
didático, em especial
pela professora Susana.
Dificuldades com a
divisão.
Questionamentos sobre
os sistemas de medidas e
a resolução de
problemas.
Dúvidas sobre o trabalho
com geometria que foi
comentado rapidamente.
Uso do livro didático
Escolha e divisão dos
conteúdos ao longo do
ano.
Discussão sobre
resolução de problemas.
Ampliar as reflexões
sobre o trabalho com as
quatro operações.

Data
Encontros
13º.
1º.
2º.
3º.
4º.
5º.
18/12
05/02 G
12/02 G
26/02 G
05/03
13/03
Profª s .
presentes
Susana,
Beatriz,
Vânia e
Sandra
Susana,
Beatriz e
Sandra
Susana,
Beatriz,
Vânia
(tel) e
Sandra
Susana,
Beatriz e
Sandra
Susana,
Beatriz e
Sandra
Susana,
Beatriz e
Sandra
Principais propostas ou
assuntos discutidos
Encerramento das atividades
de 2006.
Reflexões e avaliações sobre
este trabalho inicial no grupo.
Uso de metáforas sobre
matemática.
Uso de folha com avaliação
sobre os encontros.
Conversas gerais e sobre o
primeiro dia de aula.
Contrato didático em sala de
aula.
Organização e planejamento
das atividades do grupo.
Conversa sobre a sondagem
realizada no início do ano
com os alunos.
Conversa com Vânia por
telefone e propostas de
trabalhos iniciais envolvendo
resolução de problemas.
Propostas de atividades
matemáticas.
Relatos e análises das
metáforas (somente Beatriz) e
do mapa conceitual de
matemática feitos pelos
alunos.
Uso de perguntas: “o que é
avaliação para você?”
Discussões sobre o trabalho
com as quatro operações.
Conversa rápida sobre as
metáforas sobre matemática
dos alunos da professora
Susana.
Conversas sobre operações
interessantes.
Relatos das atividades
realizadas em sala de aula.
Conversas e análise sobre
atividades do livro de
Avaliação da profª Vânia.
Conversas sobre reportagem
da revista Nova Escola.
Pontos importantes que
merecem destaque
Reflexões das próprias
professoras sobre estes encontros
em 2006.
Reflexões das profª sobre o
trabalho delas em sala de aula e
uso de metáforas pela profª
Susana sobre suas aulas.
2007
Organização das professoras
com as aulas iniciais do ano
letivo.
Troca de atividades para
organizar o contrato didático em
sala de aula.
Abertura das professoras em
planejarmos juntas atividades
para serem trabalhadas em sala
de aula.
Sondagem em matemática
realizada pelas professoras, com
comentários.
Uso da questão: “o que é
matemática para você?”
Reflexão das professoras sobre
as respostas dos alunos nas
metáforas e nos mapas
conceituais.
Início da conversa sobre
avaliação e Beatriz comentou
como faz uso do quadro de
merecimento.
Reflexões sobre realização de
planejamento conjunto e sua
inviabilidade.
Mesmo sem local adequado as
professoras quiseram mostrar o
que estavam realizando.
Abertura maior para discussão
de conteúdos e atividades que
podem ser trabalhadas.
351
Pontos que precisam
ser analisados
Comparação e análise
das metáforas.
Contrato didático como
fica ao longo do ano.
Responder para o
próximo encontro: “o
que é matemática para
você?”
Atividades diferenciadas
propostas pelo grupo.
Sondagem realizada
somente no início do ano
ou durante o mesmo.
Como fazem isso
posteriormente?
Conversar sobre os
planejamentos para o
ano.
Avaliação.
Atividades envolvendo
as quatro operações.
Planejamento conjunto.
Não conseguimos
realizar totalmente o
encontro por falta de
espaço físico.
Trabalhar as diferentes
ideias envolvendo cada
operação.
Continuar questões
sobre avaliação.

Data
Encontros
6º.
7º.
8º.
9º.
10º.
11º.
12º.
13º.
19/03 G
02/04
23/04
30/04
07/05
14/05
21/05
28/05
Profª s .
presentes
Susana,
Beatriz e
Sandra
Susana,
Beatriz e
Sandra
Susana,
Beatriz e
Sandra
Beatriz e
Sandra
Susana,
Beatriz,
Vânia e
Sandra
Susana e
Sandra
Susana,
Beatriz,
Vânia e
Sandra
Beatriz,
Vânia e
Sandra
Principais propostas ou
assuntos discutidos
Conversas sobre códigos
utilizados por diferentes
povos (proposta do outro
grupo de estudos).
Discussão sobre: “o que é
matemática para você?”
Conversas sobre atividades
diferenciadas.
Discussão sobre quatro
operações.
Conversas sobre avaliações
aplicadas pelas professoras e
sobre como montam as
provas.
Conversas sobre atividades de
frações, comparações de
números, problemas e
geometria.
Relatos sobre as provas
aplicadas.
Conversa sobre realizar o
projeto sobre os idosos com
esta nova turma.
Discussões sobre atividades
para trabalhar geometria
espacial.
Reflexões sobre as atividades
realizadas pelo grupo em
2007.
Conversas sobre atividades
envolvendo geometria.
Susana apresentou folha com
atividade interdisciplinar
sobre água envolvendo fração
e porcentagem.
Conversa sobre o caderno de
planejamento de Susana.
Resolução de problemas.
Porcentagem trabalhada com
malha quadriculada.
Interdisciplinaridade.
Discussão das definições de
diferentes polígonos.
Retorno da parte escrita no
meu projeto sobre as
professoras.
Discussão sobre diferentes
formas de trabalhar a divisão.
Reflexões sobre nossas
formações iniciais.
Pontos importantes que
merecem destaque
Discussão sobre as ideias
envolvidas com cada operação:
adição, subtração, multiplicação
e divisão.
Conversa sobre o que cada uma
entende por matemática que já
tinha sido iniciado e não
concluído.
Discussões sobre questões
relacionadas a avaliações.
Discussões sobre alguns
referenciais utilizados por nós
professores para ensinar
determinados conteúdos,
exemplo da comparação de
números com os sinais se maior
e menor, por Susana.
Discussão sobre alguns sólidos
geométricos: prismas.
Reflexões sobre as diferenças
entre as turmas e a falta de
possibilidade de realizar um
planejamento único.
Enriquecimento de discussões
após a reflexão do que já
fizemos em 2007.
Conversas sobre como podemos
trabalhar de diferentes formas as
atividades envolvendo frações e
porcentagem.
A professora Beatriz mostrou
que está conseguindo trabalhar
matemática de maneira
interdisciplinar, exemplo prova
de geografia.
Discussões sobre as definições
de alguns polígonos, construção
e desconstrução de ideias.
Reflexão da professora Beatriz
sobre sua participação no grupo
a partir da leitura do texto do
projeto.
Decisão de observarmos uma
aula das professoras.
352
Pontos que precisam
ser analisados
Ideias relacionadas com
as operações.
Conversa sobre
avaliação e como
devemos realizar nossas
reflexões sobre a
mesma, antes, durante e
após a aplicação.
Continuar discussão
sobre avaliações.
Voltar nas discussões
sobre atividades e sobre
falas nossas em sala de
aula.
Continuar discussões
sobre geometria e
frações.
Retomar as discussões
sobre avaliações.
Retomar discussões
sobre frações,
porcentagem e
proporcionalidade.
Retomar discussões
sobre as definições em
geometria.
Procurar conversar sobre
“prova dos nove”.
Proposta de observação
de aulas.
Retomar a parte da
formação inicial de cada
professora.
Continuar com o retorno
para as professoras sobre
nosso estudo.

Data
Encontros
14º.
15º.
16º.
17º.
18º.
19º.
20º.
21º.
04/06
11/06
18/06
27/06
02/07
09/07
30/07
06/08
Profª s .
presentes
Susana,
Beatriz e
Sandra
Susana,
Beatriz e
Sandra
Susana,
Beatriz e
Sandra
Susana,
Beatriz e
Sandra
Susana,
Beatriz e
Sandra
Susana,
Beatriz e
Sandra
Susana,
Lúcia,
Beatriz e
Sandra
Susana,
Beatriz e
Sandra
Principais propostas ou
assuntos discutidos
Conversa sobre as visitas as
escolas e observações das
aulas.
Discussão sobre resolução de
problemas envolvendo
divisão utilizando
representações diferentes.
Trabalho com textos sobre
resolução de problemas.
Uso de malha quadriculada.
Retorno da parte escrita no
meu projeto sobre as
professoras.
Conversa sobre o artigo
referente a campo
multiplicativo da revista Nova
Escola.
Realização de avaliação
encontros maio e junho 2007.
Atividade de investigação
numérica.
Reflexões das professoras
sobre a realização da
atividade investigativa em
suas aulas.
Conversas sobre outras
atividades matemáticas.
Questionamentos sobre o
trabalho de divisão no QVL.
Relatos sobre atividades
realizadas em sala de aula
com a presença da profª
Sandra.
Atividades sobre perímetro e
área usando malha
quadriculada.
Relato das atividades
desenvolvidas em aula de
matemática.
Multiplicação chinesa.
Apresentação da profª Lucia.
Relatos sobre as atividades
trabalhadas no mês de julho.
Reflexões sobre as aulas de
matemática e as influências
do grupo de estudos.
Atividades para trabalhar
leitura dos números.
Pontos importantes que
merecem destaque
Apresentação feita pela
professora Beatriz sobre o que
discutimos na semana anterior
sobre a resolução de problemas
envolvendo divisão utilizando
representações diferentes e como
trabalhou isso em sala de aula.
Discussões sobre avaliações.
Conversas sobre os trabalhos
interdisciplinares e o uso do
livro didático.
Discussão sobre a atividade
investigativa.
Apresentação pela profª Susana
sobre uma adivinhação
matemática.
Reflexões das professoras que
mostrou como estão
acostumadas a trabalhar em sala
e sobre o próprio trabalho com a
matemática.
Comentários da profª Susana
sobre como seus alunos
participaram e resolveram os
problemas envolvendo divisão.
Comentários gerais das
professoras sobre as aulas.
Reflexões das professoras sobre
suas aulas de matemática após a
participação no grupo de
estudos.
Reflexão da professora Susana
sobre como tem ampliado o
conteúdo trabalhado com os
alunos.
Profª Beatriz colocou a
dificuldade dos alunos com a
proporcionalidade.
353
Pontos que precisam
ser analisados
Retorno a discussões
sobre os textos
referentes à resolução de
problemas.
Retomar discussão sobre
uso de malha
quadriculada para
trabalho com
porcentagens.
Discussão sobre campo
multiplicativo.
Uso do livro didático.
Discussão sobre
atividades. investigativas
e possível aplicação em
suas sala de aulas.
Ampliação destas
reflexões.
Retorno a atividades
sobre perímetro e área.
Novas reflexões sobre
atividades aplicadas em
sala de aula e sobre a
atuação dos alunos.
Reflexões mais
aprofundadas, não
conseguimos realizar,
pois estávamos em local
inadequado.
Ampliar estas reflexões.
Retomar questões
referentes a
proporcionalidade.

Data
Encontros
22º.
23º.
24º.
25º.
26º.
27º.
28º.
29º.
13/08
20/08
03/09
10/09
17/09
24/09
01/10
08/10
Profª s .
presentes
Susana,
Lúcia,
Beatriz e
Sandra
Susana,
Beatriz,
Lúcia e
Sandra
Susana,
Lúcia,
Beatriz,
Elisa e
Sandra
Susana,
Beatriz e
Sandra
Beatriz,
Elisa e
Sandra
Susana,
Lúcia,
Beatriz e
Sandra
Susana,
Lúcia,
Vânia,
Beatriz e
Sandra
Susana,
Lúcia,
Vânia,
Beatriz e
Sandra
Principais propostas ou
assuntos discutidos
Relato sobre o que estamos
realizando em sala de aula.
Conversa sobre o QVL
Trabalho com a revista Nova
Escola – especial matemática.
Conversas sobre os cotidianos
das salas de aula.
Atividades variadas para
trabalhar as operações.
Análise da prova aplicada
pela professora Beatriz.
Troca de materiais e
atividades.
Relato sobre tempo de serviço
com algumas colocações.
Conversas gerais sobre sala
de aula.
Discussões sobre objetivos de
cada atividade que aplicamos
em aula.
Uso de metáfora para
comparar com a
aprendizagem matemática.
Relatos sobre as atividades de
sala de aula e sobre a relação
dos alunos com a matemática.
Conversas sobre atividades de
geometria.
Atividade relacionada com a
folha A4 e outras sobre
raciocínio lógico.
Leitura e discussão de folha
cedida por Lucia sobre
resolução de problemas.
Discussões sobre trabalho
tradicional e construtivista.
Relatos sobre atividades
desenvolvidas em aulas.
Discussão sobre a reflexão e
como devemos trabalhar isso
em nossa prática.
Relato das atividades das
aulas de matemática.
Pontos importantes que
merecem destaque
A professora Susana ficou
admirada com o fato da
professora Lucia não conhecer o
QVL.
Relato sobre da professora
Beatriz sobre a aula que
introduziu o conteúdo de
frações.
A professora Lucia está
começando a entender a
dinâmica do grupo de estudos.
A participação da profª Elisa foi
boa.
Reflexão da profª Susana sobre o
que o grupo está contribuindo
em sua prática, inclusive com a
superação de alguns „medos‟,
exemplo a geometria.
Algumas discussões provocam
reflexões, muitas vezes não
refletimos sobre nossos objetivos
ao desenvolvermos determinada
atividade.
Participação da professora Elisa
mostrou que em algumas escolas
a atenção central é dada ao
português.
Interação entre as professoras.
Discussão sobre as atividades de
raciocínio lógico e as
generalizações que elas podem
desenvolver.
Discussão sobre nossos olhares
sobre o que estamos
desenvolvendo com os alunos.
Planejamentos para o 4º
bimestre.
Organização da mostra científica
com as atividades matemáticas
selecionadas.
354
Pontos que precisam
ser analisados
Analisar a revisa Nova
Escola.
Ampliar as discussões
sobre multiplicação e
divisão.
Continuar com reflexões
sobre nossa vida
profissional.
Retomar a discussão dos
objetivos das atividades
propostas.
Verificar se as outras
professoras do grupo
concordam com estas
discussões.
Retomar questões
referentes a
generalizações.
Retomar discussões
sobre o planejamento e
nossos olhares sobre
nossas práticas.
Retomar discussão sobre
nossas reflexões.

Data
Encontros
30º.
31º.
32º.
33º.
34º.
35º.
36º.
1º.
19/10
29/10
05/11
12/11
19/11
26/11
17/12
18/02
Profª s .
presentes
Susana,
Vânia e
Sandra
Susana,
Beatriz e
Sandra
Susana,
Beatriz e
Sandra
Susana,
Beatriz e
Sandra
Susana,
Beatriz,
Vânia e
Sandra
Susana,
Lúcia,
Vânia,
Beatriz e
Sandra
Susana,
Lúcia,
Beatriz e
Sandra
Susana,
Beatriz e
Sandra
Principais propostas ou
assuntos discutidos
Relato das atividades das
aulas de matemática.
Relato das atividades das
aulas de matemática.
Discussão sobre frações de
unidades e de quantidades.
Uso de questionamentos
sobre avaliação.
Dobradura de caixas com
prisma triangular.
Relato das atividades das
aulas de matemática.
Atividade de combinação.
Relato das atividades das
aulas de matemática.
Atividades de dobraduras.
Discussões sobre trabalhos
em grupo.
Discussão sobre nossa
reflexão sobre a própria
prática.
Confraternização.
Avaliação oral sobre nossos
encontros.
Apresentação das provas
aplicadas pelas professoras.
Avaliação escrita relacionada
às atividades desenvolvidas
no ano de 2007.
Análise da avaliação realizada
pelos alunos a pedido da
pesquisadora.
Conversas gerais sobre os
primeiros dias de aulas.
Planejamento para o início
das atividades.
Pontos importantes que
merecem destaque
Comentários e reflexões da profª
Susana referentes à atividade
realizada em grupo sobre
geometria.
Organização de atividades para
trabalho com frações.
Participação das professoras na
realização das dobraduras.
Organização das apresentações
da mostra cultural.
Reflexões sobre as atividades
desenvolvidas e sobre os
relacionamentos em sala de aula.
Discussões sobre as reflexões
vivenciadas e as influências do
grupo de estudos.
Discussão dos planejamentos
para o próximo ano.
Discussão sobre as análises das
professoras sobre as respostas
dos alunos.
2008
Perceber como as professoras
estão implementando atividades
e propostas sugeridas no ano
passado.
Discussão sobre os objetivos das
atividades.
355
Pontos que precisam
ser analisados
Organização de
atividades de revisão.
Retomar questões
respondidas sobre
avaliação.
Discussões sobre
geometria espacial.
Combinação
matemática.
Continuar estas
discussões.
Discussão sobre
avaliações destes tipos.
Conversar sobre o
planejamento
novamente.

Data
Encontros
2º.
3º.
4º.
5º.
6º.
7º.
8º.
9º.
25/02
03/03 G
10/03 G
24/03
07/04 G
14/04
28/04
05/05
19/05
Profª s .
presentes
Susana,
Beatriz e
Sandra
Susana,
Lúcia,
Beatriz,
Vânia
(tel) e
Sandra
Beatriz e
Sandra
Susana,
Beatriz e
Sandra
Susana,
Beatriz,
Vânia e
Sandra
Susana,
Lúcia,
Vânia,
Beatriz e
Sandra
Susana,
Lúcia,
Beatriz e
Sandra
Lúcia,
Beatriz e
Sandra
Susana,
Lúcia,
Beatriz e
Sandra
Principais propostas ou
assuntos discutidos
Relato das atividades das
aulas de matemática.
Discussão e reflexão sobre
nossa própria prática em
matemática e a influência do
grupo.
Relato das atividades das
aulas de matemática.
Discussão sobre situação
vivenciada na sala de aula
sobre números decimais.
Relato das atividades das
aulas de matemática.
Atividades diferenciadas para
trabalhar o raciocínio lógico.
Apagão UFES.
Relato das atividades das
aulas de matemática.
Discussões sobre fatos
fundamentais na matemática.
Reflexões sobre nossa
participação no grupo e os
desdobramentos nas aulas de
matemática.
Discussões sobre o resto nas
divisões.
Relato das atividades das
aulas de matemática.
Relações entre as atividades
de aulas com as religiosas.
Relato das atividades das
aulas de matemática.
Discussão sobre a resolução
de problemas com resto não
nulo.
Discussão sobre a definição
de divisão.
Trabalho com texto sobre
divisão.
Relato das atividades das
aulas de matemática.
Discussão sobre resolução de
problemas.
Pontos importantes que
merecem destaque
Maior reflexão por parte das
professoras na aplicação das
atividades.
Discussão sobre a palavra
„desafios‟.
Discussão sobre os 500 centavos
e sobre multiplicação por 10
com números decimais.
A professora Beatriz explicou
melhor como trabalha a questão
dos números decimais e o
sistema monetário.
Reflexões das professoras sobre
o caminhar de cada uma no
grupo de estudos.
Reflexões das professoras sobre
atividades realizadas em sala de
aula.
Conversas sobre avaliação
Discussões sobre a importância
de analisar o resto em divisões.
Reflexão sobre nossas próprias
definições sobre divisão.
Reescrita do problema do
telefone.
Reflexão sobre uma atividade
em grupo.
356
Pontos que precisam
ser analisados
Discussão sobre o que
consideramos como
problemas, desafios e
exercícios.
Retomar multiplicação
por decimais.
Discussão sobre estas
reflexões.
Ampliar estas
discussões.
Discussão sobre
avaliação.
Retomar estas
discussões.
Definição sobre divisão.
Discussão sobre a
resolução de problemas.

Data
Encontros
10º.
11º.
12º.
13º.
14º.
15º.
16º.
17º.
26/05 G
02/06
09/06
30/06 G
11/08 G
25/08
15/09 G
22/09
Profª s .
presentes
Susana,
Beatriz e
Sandra
Susana,
Lúcia,
Beatriz e
Sandra
Susana,
Beatriz e
Sandra
Susana,
Beatriz e
Sandra
Susana,
Lúcia,
Beatriz e
Sandra
Susana,
Beatriz e
Sandra
Susana,
Lúcia,
Vânia e
Sandra
Susana,
Lúcia,
Vânia,
Beatriz e
Sandra
Principais propostas ou
assuntos discutidos
Relato das atividades das
aulas de matemática.
Conversas sobre as oficinas
da professora Susana e da
prova aplicada por Beatriz.
Relato das atividades das
aulas de matemática.
Discussão sobre as ideias
relacionadas com a divisão.
Relato das atividades das
aulas de matemática.
Discussão sobre resolução de
problemas.
Reflexões sobre as atividades
realizadas em aulas.
Relato das atividades das
aulas de matemática.
Relato das atividades das
aulas de matemática.
Reflexões sobre a falta de
encontros no mês de julho.
Questionário sobre influência
do grupo – anexo B.
Relato das atividades das
aulas de matemática.
Multiplicação chinesa
Tangran.
Discussões sobre o trabalho
com o livro didático.
Trabalho com o geoplano
circular.
Ângulos.
Definições de diferentes
polígonos e da circunferência.
Discussões sobre definições
de alguns polígonos a partir
das discussões sobre o
geoplano circular.
Relato das atividades das
aulas de matemática.
Questionamentos sobre os
fatos marcantes da vida
profissional.
Pontos importantes que
merecem destaque
Discussão sobre atividades em
grupo e sobre avaliações.
Discussão sobre as ideias
relacionadas com a divisão:
partição e quotição.
Elaboração de problemas com as
duas ideias da divisão.
Organização com a professora
Susana dos problemas resolvidos
por seus alunos.
Reflexões sobre as atividades
realizadas em aulas.
Reflexões sobre a falta de
encontros no mês de julho.
Mudança na ação da profª
Susana com a ausência do grupo
e sua reflexão.
Discussões sobre o trabalho com
o livro didático, principalmente a
professora Susana.
Questionamentos e reflexões
sobre os horários das aulas e as
dificuldades de trabalhar com os
alunos.
Discussões sobre as relações
entre as definições e as palavras
feitas pela professora Susana.
Discussão e conflito cognitivo
sobre definições.
Discussões sobre definições de
alguns polígonos a partir das
discussões sobre o geoplano
circular.
357
Pontos que precisam
ser analisados
Discussão sobre
atividades em grupo e
sobre avaliações.
Discussão sobre as
ideias relacionadas com
a divisão: partição e
quotição.
Discussão sobre
resolução de problemas.
Reflexões sobre
resolução de problemas.
Decisão de fazer
encontros a partir desta
data de 15 em 15 dias.
Discussão sobre o uso
do livro didático.
Proposta de trabalho
diferenciado com o livro
nas aulas de Susana.
Proposta de realização
de atividades com o
geoplano circular em
sala de aula.
Questionamentos sobre
os fatos marcantes da
vida profissional.

Data
Encontros
18º.
19º.
20º.
21º.
22º.
23º.
24º.
06/10
20/10
27/10
10/11
01/12
08/12
15/12
Profª s .
presentes
Susana,
Beatriz e
Sandra
Susana e
Sandra
Susana,
Beatriz e
Sandra
Beatriz e
Sandra
Susana,
Vânia,
Beatriz e
Sandra
Susana,
Vânia,
Beatriz e
Sandra
Susana,
Lúcia,
Vânia,
Beatriz e
Sandra
Principais propostas ou
assuntos discutidos
Questionamentos sobre os
fatos marcantes da vida
profissional.
Discussões sobre o trabalho
com o livro didático.
Reflexão sobre o olhar de
cada professora para os
encontros anteriores do
grupo.
Questionamentos sobre as
aprendizagens das professoras
no grupo.
Relato das atividades das
aulas de matemática e sobre
as situações vividas nas
escolas.
Organização das
apresentações dos trabalhos
das profª para o II Semat.
Relato das atividades das
aulas de matemática.
Identificação dos objetivos
com as atividades que serão
apresentadas no II Semat.
Relato das atividades das
aulas de matemática.
Organização das atividades de
apresentações dos trabalhos
realizados.
Relato das atividades das
aulas de matemática.
Discussão sobre cálculo de
áreas de polígonos.
Discussão de definições de
retângulo e triângulo
retângulo.
Discussões sobre números
decimais: comparações,
multiplicação e outras
operações.
Planejamento para 2009.
Uso de metáforas
comparando com a
matemática.
Pedido de colocação de três
ou quatro objetivos para cada
uma das participantes do
grupo.
Encerramento do ano com
confraternização.
Pontos importantes que
merecem destaque
Discussões sobre o trabalho com
o livro didático, modificada pela
professora Susana em sua
prática.
Trabalho com porcentagem e
regra de três.
Reflexões sobre as
aprendizagens das professoras
no grupo.
Organização das atividades para
sala de aula – geometria.
Participação das professoras na
organização das apresentações
dos trabalhos das profª para o II
Semat.
Participação das professoras na
organização das apresentações
dos trabalhos das profª para o II
Semat.
Organização das atividades de
apresentações dos trabalhos
realizados: idosos e resolução de
problemas.
Discussão sobre cálculo de áreas
de polígonos.
Discussão de definições de
retângulo e triângulo retângulo.
Reflexões sobre a geometria e
sua abordagem em aulas de
matemática: o que faziam e
como fazem após participarem
do grupo.
Reflexão da professora Susana
sobre suas aprendizagens em
relação aos números decimais,
retorno ao que já tinha sido
discutido.
Discussão sobre como estamos
nos conhecendo enquanto grupo.
Discussão sobre as modificações
dos planejamentos dos anos
anteriores.
Reflexões sobre o grupo e
propostas de continuidade.
Avaliação oral sobre a
participação no grupo.
358
Pontos que precisam
ser analisados
Trabalho com
porcentagem e regra de
três.
Reflexões sobre as
aprendizagens das
professoras no grupo.
Organização das
apresentações dos
trabalhos das profª para
o II Semat.
Organização das
apresentações dos
trabalhos das profª para
o II Semat.
Organização das
atividades.
Ampliar estas reflexões.
Planejamento para 2009.
Planejamento para 2009.

Anexo E – Quadros das aulas observadas de Beatriz e Susana
Aulas da professora Beatriz
Quadro 20: Apresentação das aulas vivenciadas com a professora Beatriz
Aula
1ª.
2ª.
3ª.
4ª.
5ª.
6ª.
7ª.
8ª.
9ª.
Dia
30/05
22/06
05/07
11/07
01/08
09/08
16/08
06/09
13/09
Assuntos trabalhados Comentários importantes
Problemas divisão.
p. 1 - 6
Problemas divisão inventados
pelos alunos.
Atividade investigativa
“explorando números”.
p. 7-10
Medidas comprimento.
Problemas.
Subtração diferente explicada
pelo filho da pesquisadora.
p. 11-20
Formulação e resolução de
problemas.
Multiplicação com linhas.
p. 21 - 26
Continuação da discussão da
multiplicação com linhas.
Problemas retirados do livro de
avaliação da Profª Vânia.
p. 27 - 30
Problemas divisão,
proporcionalidade.
Divisão por 10.
p. 31 - 35
Frações – ideias iniciais.
p. 37 - 42
Frações: revisão e ampliação dos
conceitos.
Formas geométricas e divisão em
partes iguais.
Frações no relógio.
p. 43 - 50
Frações mistas e impróprias.
p. 51 - 58
Ano letivo de 2007
Variedade de representações e importância
que cada aluno dá a resolução do colega.
Os alunos possuem pré-conceitos em relação
aos que sabem e aos que não sabem
matemática.
Como a professora aborda os conteúdos com
os alunos.
Comentários dos alunos sobre as atitudes da
professora e dos colegas.
A professora consegue envolver os alunos
em atividades coletivas.
A professora valoriza seus alunos e desta
forma incentiva-os.
Dificuldades com atividade de proporção.
Alunos com dificuldades em trabalhar com
números escritos de forma diferente.
Comecei a tirar fotos dos cadernos.
Foi muito interessante como a professora
abordou este tema com os alunos e como
relacionou isso com a representação e a
notação.
A professora explorou as frações de
diferentes formas.
A professora trabalhou com exemplos e
depois com exercícios.
359
Metodologias utilizadas
ou formas de trabalho
Encaminhamento de alunos
no quadro para resolver
exercícios.
Realização de leitura com
os alunos para entenderem
os problemas.
Realização de atividades
em grupos.
Resolução de problemas
individualmente.
Apresentação de um aluno
sobre o que viu na
televisão: a respeito de
uma subtração diferente.
Realização de invenção de
problemas com toda a
turma analisando.
Trabalho em duplas.
Resolução individual de
problemas.
Utilização de frutas para
dar ideia de frações.
Utilização de barbantes,
palmos e outros
instrumentos para ideias de
fração.
Trabalho com figuras
geométricas cortadas em
folhas de A4.
Abordagem no quadro e
realização de atividades em
folhas xerocadas.

Aula
10ª.
11ª.
12ª.
13ª.
14ª.
15ª.
16ª.
17ª.
18ª.
1ª.
2ª.
Dia
20/09
03/10
11/10
25/10
01/11
07/11
08/11
Entrevista com filho de fundador
21/1
1
06/1
2
29/02
07/03
Assuntos trabalhados Comentários importantes
Problemas envolvendo frações.
Introdução a décimos e
centésimos.
p. 59 - 66
Correção dos exercícios de
medidas de comprimento e
frações. barra de chocolate.
Frações equivalentes.
p. 67-75
Tabuada.
Jogo como revisão.
p. 76 - 78
Correção dos erros na prova
pelos alunos.
Propriedade associativa da
adição.
p. 79 - 83
Folhas tamanhos “A”.
Trabalho com frações em relação
as comparações dos tamanhos A.
p. 84 - 89
Preparação dos materiais para a
mostra cultural: poesia
matemática, plantas em garrafas,
caixas de presentes, artes com
folhas tamanhos A.
p. 90 - 91
Artes com folhas tamanhos A.
Poesias; problemas sobre
reciclagem.
p. 92 -93
do bairro.
p. 94 - 95
Frações e Decimais.
p. 96 - 101
Texto “Carnaval em família” e
problemas.
p. 104 - 106
Classes e ordens de números,
escrita de numerais.
Problemas de divisão.
p. 107 - 113
A professora dá atenção aos alunos com
dificuldade, mas chamava-os de “grupinho”,
agora passou a considerá-los como
colaboradores.
A profª Vânia estava presente.
A profª Vânia estava presente.
Os alunos participaram dessa atividade de
forma intensa.
Alguns alunos não conseguem trabalhar com
os colegas dos grupos e precisam da nossa
intervenção.
Os alunos gostaram muito da atividade e
interagiram bem.
Fizemos investigações com estas folhas.
Os alunos foram separados em grupos de
acordo com o que faziam melhor e
preparavam os materiais para serem
apresentados.
A professora organizou um momento para
que discutissem sobre uma entrevista que
fariam com um estrangeiro de visita no
Brasil.
Os alunos questionaram sobre as atividades
de matemática já que estávamos presente.
Aprendi muito nesta aula.
Ano letivo de 2008
Os alunos gostaram de ler o texto e depois
resolver as atividades propostas. Apesar de
compararem com as aulas de português.
Metodologia da professora em manter a
atenção dos alunos. Destaque para o estilo de
linguagem utilizado em jornais e revistas.
360
Metodologias utilizadas
ou formas de trabalho
Apresentação de problemas
no quadro para serem
resolvidos
individualmente.
Realização de atividades
no quadro.
Utilização do metro para
mostrar suas subdivisões.
Realização de atividades
com folha xerocada.
Realização de atividades
em grupos de 4 alunos
cada.
Utilização de fichas com
questões para cada grupo.
Trabalho em duplas sobre a
prova que tinha realizado.
Utilização da folhas de
papel tamanho “A4” para
os alunos fazerem
dobraduras e recortes.
Trabalhos em grupos com
propósitos diferentes.
Realização de atividades
em grupos e individuais.
Conversa com a turma e
realização de anotações
coletivas no quadro.
Utilização de material
dourado.
Leitura e realização das
atividades contidas no
texto discutido no grupo de
estudos.
Correção no quadro com os
alunos e resolução de
problemas.

Aula
3ª.
4ª.
5ª.
6ª.
7ª.
8ª.
9ª.
10ª.
11ª.
12ª.
13ª.
14ª.
Dia
28/03
11/04
18/04
25/04
09/05
16/05
30/05
06/06
25/09
10/10
Assuntos trabalhados Comentários importantes
Revisão de atividades realizadas
numa prova.
Problema no quadro para retomar
alguns pontos conflitantes na
prova realizada no dia anterior.
p. 114 - 123
Sólidos geométricos e
planificações.
p. 124 - 125
Exploração dos sólidos
geométricos: rola e não-rola,
planificação, arestas, faces e
vértices, nomenclatura e
diagonais. P. 126 - 127
Quatro operações.
Perímetro.
p. 128 - 132
Construção de texto coletivo
sobre as aulas de geometria.
p. 133 - 137
Resolução de problemas e
elaboração de problemas de
divisão com resto não nulo.
p. 138 - 141
Revisão de frações.
p. 142 - 145
Resolução de problemas.
p. 146 - 150
Resolução e criação de
problemas em duplas.
p. 151 – 152
Criação e resolução de
problemas.
p. 153 - 154
Atividade geoplano circular –
parte inicial.
Atividade geoplano circular –
parte final.
Vânia participou deste dia. Importante o
retorno que a professora deu aos alunos e
como organizou sua aula em relação a isso.
A professora pediu que eu participasse da
aula trabalhando os sólidos construídos com
canudinhos.
Os alunos interagiram bastante.
Também participei bastante da aula.
Os alunos mediram alguns objetos da classe.
É bem interessante esta dinâmica de fazer
textos coletivos com os alunos.
A professora pede aos alunos que tenham
paciência, pois cada um tem seu tempo de
pensar e conseguir fazer a atividade.
Correção dos exercícios e da prova, pois
alguns alunos tiveram dificuldades em
algumas questões. O aluno M estava fazendo
outra atividade.
A professora percebeu enquanto os alunos
faziam que uma das atividades tinha um grau
de dificuldade maior do que ela imaginava.
Professora Vânia estava presente. A
professora passou um problema das
olimpíadas de matemática para eles
resolverem e depois eles inventaram
problemas parecidos.
Os alunos estão resolvendo problemas
inventados pelos colegas, e inventando
outros parecidos. Os alunos já estão
colocando no computador os problemas
inventados. Sentei com alguns alunos e
perguntei como eles tinham pensado para
inventar os problemas.
O grupo de estudos mais amplo participou
deste encontro.
O grupo de estudos mais amplo participou
deste encontro.
361
Metodologias utilizadas
ou formas de trabalho
Diálogo conjunto a partir
de problema apresentado
no quadro.
Uso de materiais
manipuláveis e construção
de sólidos geométricos
com canudinhos e fio de
nylon.
Uso de materiais
manipuláveis que os
próprios alunos trouxeram
de casa: embalagens.
Realização de atividades
com fita métrica e
materiais diversos que
estavam em sala de aula.
Utilização do quadro e
pincel para construção
coletiva do texto.
Resolução de problemas a
partir de folha xerocada.
Realização de revisão da
prova.
Resolução de problemas a
partir de folha xerocada.
Resolução e criação de
problemas semelhantes.
Resolução e criação de
problemas.
Utilização de geoplano
circular e de folhas
xerocadas.
Utilização de geoplano
circular e de folhas
xerocadas.

Aulas da professora Susana
Quadro 21: Apresentação das aulas vivenciadas com a professora Susana
Dia
Aula Assuntos trabalhados Comentários importantes
1ª.
2ª.
3ª.
4ª.
5ª.
6ª.
7ª.
8ª.
9ª.
10ª.
11ª.
12ª.
30/05
25/06
02/07
09/07
30/07
06/08
13/08
20/0
8
27/08
03/09
11/09
18/09
Comparação entre números. Sinais
de maior (>) e menor (

Dia
Aula Assuntos trabalhados Comentários importantes
13ª.
14ª.
15ª.
16ª.
17ª.
18ª.
19ª.
20ª.
21ª.
1ª.
2ª.
3ª.
4ª.
5ª.
24/09
01/10
08/10
29/10
06/11
13/11
21/11
30/11
03/12
28/02
03/03
10/03
17/03
24/03
14/0
4
Números ordinais.
Numeração romana.
Atividade de lógica.
p. 270 - 276
Revisão geometria em grupo.
p. 277 - 281
Atividade em grupo com revisão do
que tinha sido trabalhado:
antecessor e sucessor, escrita dos
números, comparação entre os
números e nomenclatura dos sólidos
geométricos.
p. 281 - 285
Filme pequeno príncipe.
p. 289 - 291
Atividade com a folha tipo A.
p. 292 - 293
Origami.
p. 294 - 295
Origami e início da investigação da
matemática da Folha A4.
p. 296 - 297
Mostra cultural.
p. 298 - 299
Avaliação do trabalho do ano
(carinhas).
p. 300
Um pouco de história dos números
egípcios
p. 301 – 303
Problema referente à oficina de
compra e venda.
p. 304 – 308
Atividade envolvendo texto e
perguntas de matemática
p. 309 – 312
Comparação de números; quatro
operações.
p. 313 – 317
Fatos fundamentais da adição
p. 318 – 322
Escola em greve
p. 323 - 326
A professora trabalha perguntando aos
alunos o que eles entenderam.
363
Metodologias utilizadas
ou formas de trabalho
Aplicação de exercícios
no quadro e uso de folha
com problemas de lógica.
Conseguimos fazer com que os alunos se Uso de materiais
interessassem e participassem da atividade. manipuláveis para
Participação da professora Vânia. geometria.
Os alunos interagiram bastante nesta aula.
A professora ficou surpresa com a atuação
dos alunos.
Formação de grupos de 4
alunos.
Uso de tirinhas de papel
com questões.
Não teve aula de matemática neste dia, pois Realização da aula na
era o dia do livro e a escola preparou uma biblioteca da escola com
programação especial.
uso de vídeo.
Os alunos investigaram e relacionaram as
folhas tipo A e fizeram muitas tarefas.
Uso de folhas “A4”
coloridas para dobraduras
e comparações.
Participação de Lucia nesta aula com as Uso de folhas coloridas
dobraduras. A professora e os alunos para que os alunos
gostaram da novidade.
fizessem origami.
Relacionamos a folha A4 com outras folhas
tipo A.
Uso de folhas para
origami.
Realização de atividade
quadro.
O Felipe estava presente e ajudou com a Uso de papéis coloridos
construção de alguns origami numa oficina. para origami.
Aplicação de folha de
Fui a escola apenas para fazer uma
avaliação levada pela
avaliação com as crianças sobre a
pesquisadora.
matemática que tínhamos estudado.
Ano letivo de 2008
Novos alunos pois a turma é nova, eles
ainda não me conhecem.
Uso de livro didático
A professora trabalhou de forma
Realização de atividade
interessante a questão de como se escreve
no quadro.
50 centavos.
A professora questionou sobre o erro e
Aplicação de folha com
sobre algumas dificuldades em relação ao
atividades
texto.
Dificuldade em entender os problemas dos
alunos em relação a esta matéria
A professora trabalhou os fatos
fundamentais de diferentes maneiras.
Conversa informal entre Susana, Sandra e
Vânia sobre o trabalho dela.
Realização de atividade
no quadro
Uso de materiais
manipuláveis

Dia
Aula Assuntos trabalhados Comentários importantes
6ª.
7ª.
8ª.
9ª.
10ª.
11ª.
12ª.
13ª.
14ª.
15ª.
19/05
26/05
05/06
03/07
29/08
19/09
02/10
07/10
14/10
22/10
Trabalho com material dourado –
adição
p. 327 - 330
Oficina supermercado
p. 331 - 334
Problemas envolvendo as quatro
operações
p. 335 - 336
Problemas sobre a oficina de
supermercado
p. 337 - 340
Atividade com o QVL
p. 341 - 344
Correção de exercícios de resolução
de problemas;
Atividade proporção com os
carrinhos
p. 345 - 351
Resolução de problemas envolvendo
expressões numéricas.
p. 352 – 358
Atividade 1 geoplano com grupo
Vânia
Atividade 2 geoplano grupo Vânia
Oficina de sólidos geométricos: rola
ou não rola e planificação.
p. 359 - 361
Os alunos já tinham conhecimento do
material dourado
Os alunos participaram e a professora
pediu para listagem e preços
364
Metodologias utilizadas
ou formas de trabalho
Uso de material dourado
Uso de materiais
manipuláveis:
embalagens
A professora distribuiu fichas, mas os
alunos tiveram dificuldades, mudamos de Uso de fichas com
estratégia após não conseguir os resultados problemas
esperados.
Os alunos ficaram com preguiça de fazer, e
depois a professora corrigiu com eles.
A professora trabalhou um problema para
que os alunos fizessem uso do QVL.
Resolução de problemas
Uso de QVL para cada
aluno
Realização de atividades
Surgiram coisas interessantes durante a
no quadro e giz
correção; os alunos participaram muito na
Caso de carrinhos em
atividade com os carrinhos;
miniatura
A condução das discussões pela professora
foram interessantes
Resolução de problemas
no quadro
W. e J. estavam na sala e trabalhamos Utilização de geoplano
atividades livres envolvendo geoplano circular e de folhas
circular.
xerocadas
W. e J. estavam na sala e trabalhamos Utilização de geoplano
atividades dirigidas envolvendo geoplano circular e de folhas
circular.
xerocadas
A professora fez uma dinâmica
Uso de embalagens
diferenciada para trabalhar alguns
diversificadas e folhas
conceitos envolvidos com os sólidos
para desenhos
geométricos.