Lista de exercícios.

12. Sejam I, J ⊆ A ideais. Dizemos que I, J são co-maximais se I +J = 〈1〉. Exemplos em
Z6? Mostre que vale I · J = I ∩ J para co-maximais. Se I, J são ideais maximais distintos,
mostre que I n , J m são sempre co-maximais.
13. Sejam I, J ⊆ A ideais. Considere o homomorfismo natural h : A → (A/I) × (A/J)
definido por x ↦→ (a+I, a+J). Mostre que o núcleo Nh = I ∩J. Mostre, imitando alguma
demonstração chinesa, que se I, J são co-maximais então h é sobrejetivo. Conclua que,
nesse caso, valem isomorfismos naturais A/(I · J) ∼ → A/(I ∩ J) ∼ → (A/I) × (A/J).
14. Seja K um corpo e seja p ∈ K[x] um polinômio de grau m. Seja A = K[x]/〈p〉 o
anel quociente. Mostre que A admite uma estrutura natural de K−espaço vetorial onde
a soma é a mesma do anel A e o produto por elementos de K provém da mesma operação
em K[x]. Mostre que as classes 1, x, . . . , x m−1 formam uma base. Quantos elementos
tem A = Z2[x]/〈x 2 + x + 1〉? Escreva as tabelas de soma e multiplicação para esse anelo.
Mostre que A é um corpo.
15. Seja K um corpo e seja p ∈ K[|x|] uma série formal de ordem m. Mostre que o anel
quociente A = K[|x|]/〈p〉 é um espaço vetorial de dimensão m sobre K.
16. Seja A um DFU. Defina “conteúdo” e “primitivo”para séries formais f ∈ A[|x|].
Continua valendo que produto de primitivos é primitivo? Conteúdo do produto é o produto
dos conteúdos?
17. Seja K um corpo e sejam p, q ∈ K[x]. Exemplo em que K[x]/〈pq〉 e (K[x]/〈p〉) ×
(K[x]/〈q〉) não são anéis isomorfos, embora sejam espaços vetoriais isomorfos.
18. Inteiros gaussianos. Seja A = Z[x]/〈x 2 + 1〉. Mostre que Z se identifica a um sub-anel
de A. Mostre que A é um domínio. Denotemos por i a classe de x em A. Mostre que
i 2 = −1. Mostre que todo elemento de A se escreve, de maneira única, na forma z = a+bi,
com a, b ∈ Z. (Trata-se do anel dos chamados inteiros gaussianos; costuma-se escrever
A = Z[i].) Denotamos por z = a − bi o conjugado de um tal z. A norma de z = a + bi é
definida por ν(z) = zz = a 2 + b 2 . Mostre que ν(zz ′ ) = ν(z)ν(z ′ ) ∀ z, z ′ ∈ A. Mostre que z
é invertível em A se e só se tiver norma 1. Lista completa dos invertíveis em A. Mostre que
o corpo de frações F r(A) é isomorfo a Q[x]/〈x 2 + 1〉. Todo elemento de F r(A) se escreve,
de maneira única, na forma α + βi com α, β ∈ Q. Dados z = m + ni = 0, Z = M + Ni
com m, n, M, N ∈ Z, escreva
Z
z
Zz
= = α + βi
ν(z)
com α,β racionais; sejam a, b ∈ Z tais que |α − a| ≤ 1
1
2 , |β − b| ≤ 2 (por que existem?)
e defina w = a + bi. Mostre que ν(Z − wz) < ν(z). Faça as contas explícitas com
Z = 11 + 8i, z = 3 + 4i. Enuncie e demonstre um análogo do algoritmo da divisão para
Z[i], usando ν(z) para controlar “tamanho” do resto.
19. Verifique se Z[ √ 10] é um DFU.
2