Lista de exercícios.

exercícios
“A vida humana tem um aspecto cumulativo que é inerente à
própria noção de cultura e de tradição. ”
“. . . No progresso científico, percebe-se a cada passo que aquilo que
se constituia ontem em objeto de estudo per se, torna-se hoje uma
espécie de postulado, compreendido e merecedor de fé, conhecido
e familiar, uma ferramenta de pesquisas e de novas descobertas.”
1. Abrevie por s, r, t as propriedades simétrica, reflexiva, transitiva. Exemplos de relação
s mas não r nem t, idem para as demais (7 ou 8?) combinações (e.g., s+t mas não r).
2. Exemplo de homomorfismo de anéis ϕ : A −→ B com algum a ∈ A elemento não
invertível de A tal que ϕ(a) é invertível em B.
m
3. Seja K um corpo finito. Para cada m ∈ N, seja m · 1 := 1 + · · · + 1 , soma de m parcelas
iguais a 1 ∈ K. Mostre que o menor inteiro m > 0 tal que m · 1 = 0 é necessariamente um
número primo.
4. Seja A, B anéis com 1= 0. Seja C = A × B. Mostre que existe c ∈ C tal que 0 = c = 1
com c 2 = c. Um tal elemento é chamado de idempotente não trivial.
5. Seja C uma anel. Suponha que existe c ∈ C idempotente não trivial. Mostre que C é
do tipo relatado na questão anterior. Idempotentes em Z6?
6. Um elemento a de um anel A é dito nilpotente se a n = 0 para algum n ∈ N. Lista dos
nilpotentes em Z4; em ZN? Soma de nilpotentes é nilpotente. O conjunto dos nilpotentes
é um ideal. Se a é nilpotente então 1 + a é invertível. A soma de um nilpotente com
qualquer invertível continua invertível.
7. Sejam A ⊆ B domínios. Mostre que F r(A) é isomorfo a um subcorpo de F r(B).
8. Seja K um corpo. Seja A = K[x], o anel de polinômios na variável x. Mostre que os
invertíveis de A são as constantes não nulas. Mostre que todo elemento f ∈ F r(A), f = 0
se escreve, de maneira única na forma f = c · p q com c ∈ K e p, q ∈ K[x] mônicos coprimos.
Costuma-se denotar K(x) o corpo de frações de K[x]. Os elementos de K(x) são
chamados de funções racionais de uma variável a coeficientes em K.
9. Seja A um domínio. Seja B = A[x]. Seja K = F r(A). Mostre que F r(B) é isomorfo a
K(x).
10. Sejam I, J ⊆ A ideais. Mostre que se I ∪ J é um ideal então I ⊆ J ou J ⊆ I.
11. Sejam I, J ⊆ A ideais. Define-se o produto I · J como o ideal gerado pelos produtos
xy com x ∈ I, y ∈ J. Exemplo em que formando apenas o conjunto dos produtos não
resulta um ideal. Mostre que I · J ⊆ I ∩ J. Exemplo em que a inclusão é estrita. Define-se
I 2 = I · I e mais geralmente, I n = I n−1 · I. Exemplo com I n ⊂ I n−1 inclusão estrita para
todo n; exemplo com I = I 2 = I 3 .

12. Sejam I, J ⊆ A ideais. Dizemos que I, J são co-maximais se I +J = 〈1〉. Exemplos em
Z6? Mostre que vale I · J = I ∩ J para co-maximais. Se I, J são ideais maximais distintos,
mostre que I n , J m são sempre co-maximais.
13. Sejam I, J ⊆ A ideais. Considere o homomorfismo natural h : A → (A/I) × (A/J)
definido por x ↦→ (a+I, a+J). Mostre que o núcleo Nh = I ∩J. Mostre, imitando alguma
demonstração chinesa, que se I, J são co-maximais então h é sobrejetivo. Conclua que,
nesse caso, valem isomorfismos naturais A/(I · J) ∼ → A/(I ∩ J) ∼ → (A/I) × (A/J).
14. Seja K um corpo e seja p ∈ K[x] um polinômio de grau m. Seja A = K[x]/〈p〉 o
anel quociente. Mostre que A admite uma estrutura natural de K−espaço vetorial onde
a soma é a mesma do anel A e o produto por elementos de K provém da mesma operação
em K[x]. Mostre que as classes 1, x, . . . , x m−1 formam uma base. Quantos elementos
tem A = Z2[x]/〈x 2 + x + 1〉? Escreva as tabelas de soma e multiplicação para esse anelo.
Mostre que A é um corpo.
15. Seja K um corpo e seja p ∈ K[|x|] uma série formal de ordem m. Mostre que o anel
quociente A = K[|x|]/〈p〉 é um espaço vetorial de dimensão m sobre K.
16. Seja A um DFU. Defina “conteúdo” e “primitivo”para séries formais f ∈ A[|x|].
Continua valendo que produto de primitivos é primitivo? Conteúdo do produto é o produto
dos conteúdos?
17. Seja K um corpo e sejam p, q ∈ K[x]. Exemplo em que K[x]/〈pq〉 e (K[x]/〈p〉) ×
(K[x]/〈q〉) não são anéis isomorfos, embora sejam espaços vetoriais isomorfos.
18. Inteiros gaussianos. Seja A = Z[x]/〈x 2 + 1〉. Mostre que Z se identifica a um sub-anel
de A. Mostre que A é um domínio. Denotemos por i a classe de x em A. Mostre que
i 2 = −1. Mostre que todo elemento de A se escreve, de maneira única, na forma z = a+bi,
com a, b ∈ Z. (Trata-se do anel dos chamados inteiros gaussianos; costuma-se escrever
A = Z[i].) Denotamos por z = a − bi o conjugado de um tal z. A norma de z = a + bi é
definida por ν(z) = zz = a 2 + b 2 . Mostre que ν(zz ′ ) = ν(z)ν(z ′ ) ∀ z, z ′ ∈ A. Mostre que z
é invertível em A se e só se tiver norma 1. Lista completa dos invertíveis em A. Mostre que
o corpo de frações F r(A) é isomorfo a Q[x]/〈x 2 + 1〉. Todo elemento de F r(A) se escreve,
de maneira única, na forma α + βi com α, β ∈ Q. Dados z = m + ni = 0, Z = M + Ni
com m, n, M, N ∈ Z, escreva
Z
z
Zz
= = α + βi
ν(z)
com α,β racionais; sejam a, b ∈ Z tais que |α − a| ≤ 1
1
2 , |β − b| ≤ 2 (por que existem?)
e defina w = a + bi. Mostre que ν(Z − wz) < ν(z). Faça as contas explícitas com
Z = 11 + 8i, z = 3 + 4i. Enuncie e demonstre um análogo do algoritmo da divisão para
Z[i], usando ν(z) para controlar “tamanho” do resto.
19. Verifique se Z[ √ 10] é um DFU.
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20. Calcule o resto na divisão de x 80 por x 2 + x + 1 ∈ Z2[x].
21. Calcule o resto na divisão de x 80 por x 2 + 1 ∈ R[x].
22. Prove que todo número complexo satisfaz uma equação polinomial de grau ≤ 2 a
coeficientes reais. Sabendo que todo polinômio complexo (de grau > 0) admite uma raiz
complexa, mostre que todo polinômio real irredutível tem grau < 3.
23. A derivada de f(x) = aix i ∈ A[x] é, por definição f ′ (x) = iaix i−1 . Seja
f(x) = x 6 + x 4 + x 2 ∈ Z2[x]. Mostre que f ′ = 0. Seja p ≥ 2 primo. Mostre que se
f ∈ Zp[x] tem derivada nula então f é da forma ai(x p ) i . Mostre que a função Zp → Zp
dada por a ↦→ a p é bijetiva. Conclua que
f ∈ Zp[x], f ′ = 0 ⇒ ∃g ∈ Zp[x] tal que f = g p .
24. Sejam f = adx d + · · · + a1x + a0, g = x − a ∈ A[x]. Mostre que a resultante Rfg é
igual a f(a), a menos de sinal.
25. Calcule as interseções de y = t(x+1) com x 2 +y 2 = 1 em função de t. Esboce. Deduza
uma expressão geral para os pontos desse círculo com coordenadas racionais.
26. Calcule as interseções de y = tx com y 2 = x 2 + x 3 em função de t. Esboce.
27. Calcule a resultante de f = y − x 2 , g = (x 2 + y 2 ) 2 + y 2 − x 2 . O grau é o esperado?
Esboce as curvas. A multiplicidade da raiz 0? Mostre que a equação geral de um círculo
tangente à reta y = x na origem é da forma ft(x, y) := t(x 2 + y 2 ) + y − x. Calcule as
interseções de ft, g em função de t.
28. Seja m ≥ 1 e sejam fm, fm+1 ∈ K[x, y] polinômios homogêneos sem fator comum e
com os graus indicados. Mostre que f = fm + fm+1 é irredutível. Estude as interseções de
f com a reta variável y = tx. Mostre que existem funções racionais α(t), β(t) não ambas
constantes tais que f(α(t), β(t)) = 0.
“. . . a Ciência é cumulativa em um sentido muito especial. Não se
pode conhecer verdadeiramente o significado de uma experiência
contemporânea sem que se compreenda quais são os instrumentos
e os conhecimentos que intervêm na sua concepção. É em parte
por isso que os avanços da Ciência de hoje parecem tão inacessíveis
às pessoas comuns. As novas descobertas são definidas a partir de
objetos, de leis e de idéias que constituiam a Ciência de outrora.
Por isso o estudante passa longos anos a aprender os fatos e as
técnicas que ele utilizará, sem hesitar, em seus trabalhos científicos
e é precisamente isso que desencoraja o “profano”, seja ele artista,
erudito ou homem de negócios, a se engajar nesse longo túnel ao
fim do qual cintila a luz da descoberta.” a
a J. R. Oppenheimer,“A Ciência e o bom senso”
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