Fórmulas relativas a sistemas de coordenadas - Nautilus

Deslocamento infinitesimal dr = dxî + dy ˆj + dz ˆ k
Volume infinitesimal dV = dxdy dz
Coordenadas cartesianas
Gradiente ∇Φ = ∂Φ ∂Φ ∂Φ
î + ˆj +
∂x ∂y ∂z ˆ k
Divergência ∇. A = ∂Ax
∂x
Rotacional ∇ ∧
∂Az
A =
∂y
+ ∂Ay
∂y
∂Az
+
∂z
∂Ax
î +
∂z
− ∂Ay
∂z
Laplaciano ∇ 2 Φ = ∂2Φ ∂x2 + ∂2Φ ∂y2 + ∂2Φ ∂z2 Coordenadas cilíndricas
Deslocamento infinitesimal dr = dr êr + r dφêφ + dz êz
Volume infinitesimal dV = r dr dφdz
Gradiente ∇Φ = ∂Φ
∂r êr + 1
r
∂Φ
∂φ êφ + ∂Φ
∂z êz
Divergência ∇. A = 1 ∂
r ∂r (rAr) + 1 ∂Aφ ∂Az
+
r ∂φ ∂z
Rotacional ∇ ∧
1 ∂Az ∂Aφ ∂Ar
A = − êr +
r ∂φ ∂z ∂z
Laplaciano ∇ 2 Φ = 1
∂
r
r ∂r
∂Φ
∂r
+ 1
r2 ∂2Φ ∂φ2 + ∂2Φ ∂z2 Coordenadas esféricas
Deslocamento infinitesimal dr = dr êr + r dθ êθ + r sin θ dφêφ
Volume infinitesimal dV = r 2 sin θ dr dθ dφ
Gradiente ∇Φ = ∂Φ
∂r êr + 1
r
Divergência ∇. A = 1
r2 ∂
∂r (r2Ar) + 1
∂Φ
∂θ êθ + 1 ∂Φ
r sin θ ∂φ êφ
∂Az ∂Ay ∂Ax
− ˆj + − ˆk
∂x ∂x ∂y
∂Az
− êφ +
∂r
1
∂
r ∂r (rAφ) − ∂Ar
êz
∂φ
∂
∂θ (sin θAθ) + 1
r sin θ
r sin θ
Rotacional ∇ ∧ A = 1
∂
r sin θ ∂θ (sin θAφ) − ∂Aθ
êr +
∂φ
1
1 ∂Ar ∂
−
r sin θ ∂φ ∂r (rAφ)
êθ+
+ 1
∂
r ∂r (rAθ) − ∂Ar
êφ
∂θ
Laplaciano ∇ 2 Φ = 1
r2
∂ 2 ∂Φ 1
r +
∂r ∂r r2
∂
sin θ
sin θ ∂θ
∂Φ
+
∂θ
∂Aφ
∂φ
1
r2 sin 2 ∂
θ
2Φ ∂φ2

N
N
Coordenadas cilíndricas
êr ∧ êφ = êz êφ ∧ êz = êr êz ∧ êr = êφ
x = r cosφ r = x 2 + y 2
y = r sin φ φ = arctan y
x
z = z
êr = cosφî + sin φ ˆj î =
êφ = − sinφî + cosφ ˆj ˆj =
∂êr
∂φ
∂êφ
∂r
= êφ
= −êr
B
H
A
A H
A B
x
x2 + y2 êr
y
−
x2 + y2 êφ
y
x2 + y2 êr
x
+
x2 + y2 êφ
A = Ax î + Ay ˆj + Az ˆ k = Ar êr + Aφ êφ + Az êz
Ar =
Aφ =
1
x 2 + y 2 (xAx + yAy)
1
x 2 + y 2 (−yAx + xAy)
Vector posição r = r êr + z êz
O
O
O
O
H
B
A B
N
A H
N

N
O
Coordenadas esféricas
êr ∧ êθ = êφ êθ ∧ êφ = êr êφ ∧ êr = êθ
x = r sin θ cosφ r = x 2 + y 2 + z 2
y = r sin θ sin φ θ = arccos
z = r cosθ φ = arctan y
x
êr = r
r = sin θ cosφî + sin θ sin φ ˆj + cosθ ˆ k î =
êθ = cosθ cosφî + cosθ sin φ ˆj − sin θ ˆ k ˆj =
êφ = − sinφî + cosφ ˆj
∂êr
∂θ
∂êθ
∂θ
= êθ
= −êr
∂êφ
∂r = − sin θ êr − cosθ êθ
A = Ax î + Ay ˆj + Az ˆ k = Ar êr + Aθ êθ + Aφ êφ
Ar =
Aθ =
Aφ =
1
x 2 + y 2 + z 2 (xAx + yAy + zAz)
B
G
H
A H
A B
A G
ˆ k =
∂êr
∂φ
∂êθ
∂φ
N
O
O
O
H I E G
z
x 2 + y 2 + z 2
x
x 2 + y 2 + z 2 êr +
y
x 2 + y 2 + z 2 êr +
B
N
A B
z
x 2 + y 2 + z 2
z
x 2 + y 2 + z 2
z
x2 + y2 + z2 êr
x2 + y2 −
x2 + y2 + z2 êθ
= sinθ êφ
= cosθ êφ
1
x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 (xzAx + yzAy − (x 2 + y 2 )Az)
1
x 2 + y 2 (−yAx + xAy)
Vector posição r = r êr
N
x
x 2 + y 2 êθ −
y
x 2 + y 2 êθ +
y
x 2 + y 2 êφ
x
x 2 + y 2 êφ