MATEMÁTICA & RACIOCÍNIO LÓGICO

MATEMÁTICA &
RACIOCÍNIO LÓGICO
MÓDULO NÍVEL BÁSICO

MATEMÁTICA &
RACIOCÍNIO LÓGICO
Salvador, 2009
2

GOVERNO DO ESTADO DA BAHIA
Jaques Wagner
SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
Osvaldo Barreto Filho
SUPERINTENDÊNCIA E AVALIAÇÃO E
INFORMAÇÕES EDUCACIONAIS
Eni Santana Barreto Basto
COORDENAÇÃO DE AVALIAÇÃO E
INFORMAÇÕES EDUCACIONAIS
Marcos Antônio Santos de Pinho
SUPERINTENDÊNCIA DE DESENVOLVIMENTO DA
EDUCAÇÃO BÁSICA – SUDEB
Nildon Carlos Santos Pitombo
DIRETORIA DE EDUCAÇÃO BÁSICA
Whashington Carlos Ferreira Oliveira
COORDENAÇÃO DE INFORMAÇÕES
EDUCACIONAIS
Ilza Patrícia de Carvalho Silva
EQUIPE TÉCNICA DO PBF
Maria Marise dos Santos
Nielson Santos Souza
Mamed Fatal
3

AUTORES
DILCLÉIA SANTANA OLIVEIRA SOARES
MÁRIO GRAÇA LOUZADO TOURINHO
RACHEL REGIS DE OLIVEIRA ARANHA
ROSANE RODRIGUES SANCHES
4

SUMÁRIO
PARTE I – MATEMÁTICA
1. Números inteiros e racionais............................................................................7
O conjunto dos números inteiros (Z).. .............................................................8
Operações com números inteiros... .................................................................10
O conjunto dos números racionais (Q)............................................................12
Operações com os números racionais............................................................13
2. Números e grandezas proporcionais... ...........................................................20
Razão e proporção... ..........................................................................................21
Divisão proporcional... ......................................................................................24
Regra de três simples... ....................................................................................26
3. Porcentagem.......................................................................................................33
Juros simples e compostos..............................................................................40
Descontos... .......................................................................................................52
4. Equações e Inequações de 1º 2º graus... ........................................................59
Equação do 1º grau... ........................................................................................60
Equação do 2º grau... ........................................................................................61
Inequações de 1º grau... ....................................................................................64
Conjunto dos números reais (R)... ..................................................................66
Intervalos numéricos... ......................................................................................67
Inequações de 2º grau... ....................................................................................68
5. Sistema Internacional de Medidas (SI)... .........................................................72
Medidas de comprimento..................................................................................73
Medidas de superfície... ....................................................................................77
Medidas de volume... ........................................................................................79
Medidas de capacidade... .................................................................................80
Medidas de tempo... ...........................................................................................81
PARTE II – RACIOCÍNIO LÓGIGO
1. Noções básicas de lógica... .............................................................................86
Conectivos... .......................................................................................................88
Negação... ..........................................................................................................92
Tautologia e contradições... .............................................................................93
2. Situações – problema envolvendo estrutura lógica... ...................................95
5

APRESENTAÇÃO
Caro (a) aluno (a),
Sejam bem vindos a mais um desafio!
O PROMINP (Programa de Mobilização da Indústria de Petróleo e Gás) em parceria com a
SEC (Secretaria de Educação do Estado da Bahia) objetivando qualificar gratuitamente mão de
obra especializada em diversas categorias profissionais oferece esse curso preparatório que
visa a seleção às vagas do nível básico II. Para tanto, o propósito deste módulo é a troca de
idéias e o estabelecimento de relações entre os conteúdos de matemática.
Nós, professores, nos preocupamos em seguir criteriosamente o conteúdo programático
estipulado pela coordenação do PROMINP. Nossa proposta metodológica é a resolução de
problemas, focados nos conteúdos do concurso.
Acreditamos que a matemática é importante porque nos ajuda a compreender o mundo em que
vivemos, além de elaborar estratégias pessoais para resolver problemas e persistir na busca
de resultados. Assim, sempre que possível, os conteúdos foram organizados e trabalhados
com situações do nosso dia a dia.
O importante é que você tenha sempre em mente que a matemática é uma ferramenta que o
ajudará a pensar com criatividade, viabilizando a sua inserção no mercado de trabalho.
Esperamos que você aproveite ao máximo nossos momentos de estudos!
Esse é o nosso lema!
CONTEM CONOSCO!
‘’NADA É PERMANENTE, A NÃO SER A MUDANÇA’’
Dilcléia Oliveira, Mario Tourinho, Rachel Aranha e Rosane Sanches
6
Heráclito

Conjunto dos números inteiros (Z)
Definimos o conjunto dos números inteiros como a reunião do conjunto dos
números naturais, o conjunto dos números não positivos e o zero. Este
conjunto é denotado pela letra Z. Este conjunto pode ser escrito por:
Z = {... -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10...}
Podemos considerar os números inteiros ordenados sobre uma reta
numérica, conforme mostra o gráfico abaixo:
- 3 < - 2, (lê-se: menos três
é menor que menos dois);
- 1 > - 2, (lê-se: menos um
é maior que menos dois);
O oposto de – 2 é 2 e vice
versa;
O oposto de +5 é 5 e vice
versa.
Todo número natural é inteiro, dizemos que
o conjunto IN é subconjunto de Z.
Temos também outros subconjuntos de Z:
Z* = Z-{0}
Z+ = conjunto dos inteiros não negativos = {0,1,2,3,4,5,...}
Z_ = conjunto dos inteiros não positivos = {0,-1,-2,-3,-4,-5,...}
Observe que Z+=IN.
Igual maior ou menor?
Por convenção na reta numérica os números são associados em ordem
crescente, da esquerda para direita.
• Um número é menor que qualquer outro representado à sua
direita.
• Um número é maior que qualquer outro representada à sua
esquerda.
Módulo de um número inteiro é a distancia da representação do número
na reta até o zero. Indica-se o módulo de um número pelo símbolo .
− 2 = 2 , (lê-se: módulo de – 2 é 2 ), 2 = 2 , (lê-se: módulo de 2 é 2 ).
– 2 é 2 são números diferentes, mas possuem o mesmo módulo, porque
estão à mesma distância do zero. Eles são chamados simétricos ou
opostos.
8

Exemplos:
1. O gráfico mostra o resultado de uma partida de um jogo com 4
participantes. Escreva os nomes dos participantes em ordem crescente
de pontos.
Números acima de zero são positivos (maiores que zero);
Números abaixo de zero são negativos (menores que zero);
Zeca, Clara, Marta e João estão na ordem crescente de pontos
2. Desenhe um termômetro e marque ao lado as temperaturas registradas
nas seguintes cidades:
Paris - 2 °C
São Paulo 27 °C
Rio de Janeiro 34 °C
Nova York - 5 °C
Campos do Jordão 11 °C
Sugestão para a resposta: Faça uma linha vertical e
coloque os números em ordem crescente
de baixo para cima
3. Associe V para as afirmações verdadeiras, F para as afirmações falsas:
a) – 4 é maior que seu oposto ( F ), o oposto de – 4 é 4, logo – 4 < 4;
b) – 9 é maior que o seu módulo ( F ), − 9 = 9 , logo – 9 < 9;
c) 5 é menor que o oposto de – 8 ( V ), o oposto de – 8 é 8, logo 5 < 8;
d) – 1500 é maior que o oposto de 2000 ( V ), o oposto de 2000 é – 2000,
logo – 1500 > 2000.
4. Represente com um número inteiro as seguintes situações:
a) Ganhar 9 reais; +9
b) Perder 20 pontos; - 20
c) Subir 5 degraus; + 5
d) Nascer em 600 anos antes de Cristo; - 600
e) Atrasar 25 minutos. – 25
9
34 °C
27
11
0
- 2
- 5

Operações com números inteiros (Z)
Soma de números inteiros
Regra dos sinais na soma:
• Sinais Iguais: Somam-se os números prevalecendo o sinal.
• Sinais Diferentes: Subtraem-se os números prevalecendo o sinal do
maior número em módulo.
(+3) + (+4) = (+7)
(-3) + (-4) = (-7)
(+8) + (-5) = (+3)
(-8) + (+5) = (-3)
Exemplo: Clara tem 600 reais em sua conta bancária e faz, sucessivamente,
as seguintes movimentações:
• Retira R$ 73
• Deposita R$ 19
• Retira R$ 467
• Retira R$ 125
Atenção: O sinal (+) antes do número positivo pode ser
dispensado, mas o sinal (-) antes do número negativo nunca
pode ser dispensado. Exemplos:
(a) - 3 + 3 = 0
(b) + 6 + 3 = 9
(c) + 5 - 1 = 4
O saldo de Clara fica positivo ou negativo depois dessas movimentações? Em
quanto?
Resposta: as retiradas são representadas por números negativos e os
depósitos por números positivos.
600 – 73 +19 – 467 – 125 =
= 600 + 19 – 73 – 467 – 125 =
= 619 – 665 =
= – 46
O saldo de Clara fica negativo em R$ 46.
10

Multiplicação de números inteiros
Regra dos sinais para a multiplicação:
• O produto de dois números de mesmo sinal é um número positivo.
• O produto de dois números de
sinais diferentes é um número
negativo.
• Para realizar a multiplicação de números inteiros, devemos obedecer à
seguinte regra de Sinais
(+1) × (+1) = (+1)
(+1) × (-1) = (-1)
(-1) × (+1) = (-1)
(-1) × (-1) = (+1)
Divisão de números inteiros
Regra dos sinais para a divisão:
A divisão de números inteiros, no que concerne à regra de sinais, obedece às
mesmas regras vistas para a multiplicação.
Potenciação de números inteiros
A potência a n do número inteiro a, é definida como um produto de n fatores
iguais. O número a é denominado a base e o número n é o expoente.
a n = a × a × a × a × ... × a, a é multiplicado por a n vezes
Exemplos: (-2)³ = (-2) x (-2) x (-2) = -8, (-5)² = (-5) x (-5) = 25
11
Você sabe por que (+). ( - ) = ( - ) ?

Conjunto dos números racionais
Por definição, número racional é todo número que pode ser expresso como
quociente de dois inteiros, isto é,
⎧ a
⎫
Q = ⎨x; x = , a ∈Z , b ≠ 0⎬
⎩ b
⎭
2 3
Os números 4; -3; ; − ; 0.16; 1,2333... são racionais. Note que todo número
3 5
inteiro é racional, isto é, Z ⊂ Q.
12
O conjunto Z é subconjunto do conjunto Q
Outros subconjuntos de Q:
• Q * é o conjunto dos números racionais
diferentes de zero;
• Q+ é o conjunto dos números racionais
positivos e o zero;
• Q- é o conjunto dos números racionais,
negativos e o zero;
• Q+ * é o conjunto dos números racionais e
positivos;
• Q- * é o conjunto dos números racionais
negativos.
O número 0 é racional. De fato, zero pode ser escrito como o
quociente inteiro zero por um inteiro diferente de zero.

Operações com números racionais
Adição e Subtração
Para simplificar a escrita,
transformamos a adição e subtração
em somas algébricas. Eliminamos os
parênteses e escrevemos os números
um ao lado do outro, da mesma forma
como fazemos com os números
inteiros.
Exemplo 1: Qual é a soma:
⎛ 17 ⎞ ⎛ 5 ⎞
⎜ ⎟ + ⎜ − ⎟
⎝ 24 ⎠ ⎝ 6 ⎠
⎛ 17 ⎞ ⎛ 5 ⎞ 17 5 17 20 3 1
⎜ ⎟ + ⎜ − ⎟ = − = − = − =
⎝ 24 ⎠ ⎝ 6 ⎠ 24 6 24 24 24 8
Multiplicação e divisão
Na multiplicação de números racionais, devemos multiplicar numerador por
numerador, e denominador por denominador.
7 ⎛ 4 ⎞ 28
⋅⎜ − ⎟ = −
9 ⎝ 5 ⎠ 45
Na divisão de números racionais, devemos multiplicar a primeira fração pelo
inverso da segunda, como é mostrado no exemplo abaixo:
3 5 3 6 18 9
÷ = ⋅ = =
8 6 8 5 40 20
13
Quando o produto de duas frações é igual a 1,
essas frações são inversas uma da outra.
1
é a inversa de 5
5
8
3
é a inversa de
3 8

Potenciação e radiciação
Na potenciação, quando elevamos um número racional a um determinado
expoente, estamos elevando o numerador e o denominador a esse expoente,
conforme os exemplos abaixo:
2 2
⎛ 3 ⎞ 3 9
⎜ ⎟ = =
⎝ ⎠
2
5 5 25
4
⎛ 1 ⎞ 1
⎜ − ⎟ =
⎝ 2 ⎠ 16
−2
2
⎛ 2 ⎞ ⎛ 3 ⎞ 9
⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ =
⎝ 3 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 4
81 81 9
= =
4 4 2
Na radiciação, quando aplicamos a raiz quadrada a um número racional,
estamos aplicando essa raiz ao numerador e ao denominador.
Para resolvermos uma expressão numérica, efetuamos as operações
obedecendo à seguinte ordem:
Expressões sem parênteses
1º Potenciação e radiciação, na ordem em que aparecem;
2º Multiplicação e divisão na ordem em que aparecem;
3º Adição e subtração, na ordem em que aparecem;
Expressões com parênteses, colchetes ou chaves.
1º Calculamos o que estiver em parênteses;
2º Calculamos o que estiver em colchetes;
3º Calculamos o que estiver entre chaves
Atenção:
Que a potência de todo número inteiro elevado a um expoente par
é um número positivo e a potência de todo número inteiro elevado
a um expoente ímpar é um número que conserva o seu sinal.
Quando o expoente é n=2, a potência a² pode ser lida como: "a
elevado ao quadrado" e quando o expoente é n=3, a potência a³
pode ser lida como: "a elevado ao cubo".
Raiz quadrada de um número inteiro a = b porque
2
b = a , a ∈ Z . Todo número ao quadrado é positivo. Logo, não
existem raízes quadradas de números negativos pertencentes a Z.
2
25 = 5 porque 5 = 25
14

Exercícios de expressões numéricas
1. Calcule o valor das seguintes
expressões:
a) 14 – (7 – 6) + (8 – 5) R: 16
b) – 10 – (- 7 + 4 – 6) R: – 1
c) 18 – (- 12 + 3 – 7 – 4) – 1R:37
2. Calcule o valor das seguintes
expressões:
a) 20 – {- 2 + [1 + (+ 9 – 5) – 2] + 15 – 9}
R:13
b) – 30 – {- 4 – [- 8 + (- 6 + 12 – 2) + 2]}
R: - 28
3. Calcule:
a) 1,6 + 3,15 R: 4,75
b) 1,6 – 3,15 R: - 1,55
c) – 1,6 – 3,15R: - 4,75
4. (ESC.TEC.FED-SP) Simplificando a
expressão
⎧⎡
⎛ 1 ⎞ ⎤ ⎛ 2 ⎞⎫
⎨⎢1
+ ⎜ − 2⎟
: 3⎥
: ⎜ −1⎟⎬
,
⎩⎣
⎝ 5 ⎠ ⎦ ⎝ 3 ⎠⎭
temos:R: letra c
5
a)
12
6
c) −
5
20
b)
21
13
d) −
15
−3
−5
⎛ 1 ⎞
5. (FGV-SP) A expressão ⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠ +
⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠ é
igual a:R: letra a
a) 40
1
b)
40
c) -40
15
d)
⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
−8
6. (MACK-SP) A expressão
( − 5)
3
²
−2
0
2 ⎛ 2 ⎞
− 3 + ⎜ ⎟
⎝ 3 ⎠
1 1
+ +
5 2
é igual a:
R: letra d
3150
a)
17
c) – 90
17
b)
3150
1530
d)
73
7. (Cesgranrio) Calcule o valor da
7 ⎛ 2 ⎞
expressão 0,333... + − ⎜ + 2⎟
2 ⎝ 3 ⎠
R: 7
6
8. O valor da expressão
3 ⎛ 1 1 ⎞
⋅⎜
+ ⎟ é:
7 ⎝ 3 4 ⎠
1
a)
2
1 1
b) c)
8 4
d)
10
19
R: letra a
9. (PUC-SP) O valor da expressão
⎡
⎢
⎢⎣
( −10)
+ 5 − ( −4)
⎤
⎥ é:
9 + ( −2)
⎥⎦
a) -1 b) -2 c) 1 d) 2
R: - 1
3

Espaço reservado para seus registros

Resolução de problemas
1. Um submarino encontra-se a –228
m de profundidade. Depois de
algum tempo está a –184 m. O
submarino subiu ou desceu?
Escreva uma adição algébrica que
resulte na posição atual do
submarino.
2. (TRT 4ª REGIÃO 2006) Um
armário tem 4 prateleiras. Do total
de processos que um auxiliar
judiciário deveria arquivar nesse
armário, sabe-se que: 1/5 foi
colocado na primeira prateleira, 1/6
na segunda, 3/8 na terceira e os 62
processos restantes na quarta.
Assim sendo, o total de processos
arquivados era.
A. 240
B. 210
C. 204
D. 120
E. 105
3. Uma secretária deveria telefonar
para todos os clientes de sua
empresa. Pela manhã, ela fez 1/3
dos telefonemas; à tarde,
conseguiu fazer 3/5 dos restantes.
Que fração do serviço ainda
precisa ser feita?
4. Um reservatório é alimentado por
duas torneiras A e B: a primeira
possui uma vazão de 38 litros por
minuto e a segunda 47 litros por
minuto. A saída da água dá-se
através de um orifício que deixa
passar 21 litros por minuto.
Deixando abertas as duas torneiras
e a saída da água, o reservatório
se enche em 680 minutos. Qual o
volume do reservatório?
17
Cálculos

5. Pedro saiu de casa e fez compras
em quatro lojas, cada uma num
bairro diferente. Em cada uma
gastou a metade do que possuía e
a seguir, ainda pagou R$ 2,00 de
estacionamento. Se no final ainda
tinha R$ 8,00, que quantia tinha
Pedro ao sair de casa?
6. O preço de uma corrida de táxi é
igual a R$2,50 ("bandeirada"), mais
R$0,10 por cada 100 metros
rodados. Tenho apenas R$10,00
no bolso. Logo tenho dinheiro para
uma corrida de até:
A) 2,5 k B) 5,0 km
C) 7,5 km
D) 10,0 km E) 12,5 km
7. Uma empresa de telefonia celular
oferece planos mensais de 60
minutos a um custo mensal de R$
52,00, ou seja, você pode falar
durante 60 minutos no seu telefone
celular e paga por isso exatamente
R$ 52,00. Para o excedente, é
cobrada uma tarifa de R$ 1,20
cada minuto. A mesma tarifa por
minuto excedente é cobrada no
plano de 100 minutos, oferecido a
um custo mensal de R$ 87,00. Um
usuário optou pelo plano de 60
minutos e no primeiro mês ele falou
durante 140 minutos. Se ele tivesse
optado pelo plano de 100 minutos,
quantos reais ele teria
economizado
18
Cálculos

8. O gráfico a seguir apresenta
informações sobre o impacto
causado por 4 tipos de monocultura
ao solo. Para cada tipo de
monocultura, o gráfico mostra a
quantidade de água, em litros, e a
de nutrientes (nitrogênio, fósforo e
potássio), em quilogramas,
consumidos por hectare para a
produção de 1kg de grãos de soja
ou 1kg de milho ou 1kg de açúcar
ou 1kg de madeira de eucalipto.
Sobre essas monoculturas, podese
afirmar que:
2000
1500
1000
500
0
cana-deaçucar
soja milho eucalipto
água nutrientes
Espaço reservado para seus registros
19
A) O eucalipto precisa de cerca de
1/3 da massa de nutrientes
necessários de que a cana-deaçúcar
precisa para se
desenvolver.
B) O eucalipto é a que mais seca e
empobrece o solo, causando
desequilíbrio ambiental.
C) O milho precisa do dobro do
volume de água de que precisa a
soja.
Gabarito
1 Subiu 44m
2 A
3 1/ 15
4 680x64 = 43520 litros
5 R$ 160,00
6 C
7 R$ 13,00
8 A

Grandeza
Razão e proporção
È todo valor que, ao ser relacionado a um outro de tal forma, quando há a
variação de um, como conseqüência o outro varia também.
Em nosso dia-a-dia quase tudo se associa a duas ou mais grandezas. Por
exemplo: quando falamos em: velocidade, tempo, peso, espaço, etc., estamos
lidando diretamente com grandezas que estão relacionadas entre si.
Exemplo: Uma moto percorre um determinado espaço físico em um tempo
maior ou menor dependendo da velocidade que ela poder chegar ou imprimir
em seu percurso realizado.
Assim também a quantidade de trabalho a ser realizado em um
determinado tempo depende do número de operários empregados e
trabalhando diretamente na obra a ser concluída o que se deseja concluir.
Razão
Desta forma, considere um carro qualquer com 3m de comprimento e um
carro de kart com 2 m de comprimento. Para se fazer a comparação entre as
medidas dos carros, basta dividir o comprimento de um deles pelo outro. Logo:
3
= 1,5 (Nota-se que o carro de corrida é 1,5 x maior que o tamanho do carro
2
de kart).
Uma razão pode ser representada
a
também da seguinte forma , b ≠ 0 .
b
Na definição acima os termos são:
a = chamado de antecedente
b = chamado de conseqüente
Exemplo: a razão de 9 para 12 é
A palavra razão tem origem latina
“latim” e tem como significado
“dividir, divisão”.
21
Importante!
1. Lê-se: nove está para doze
sendo que o 1 º número é
antecedente e 2º número é
conseqüente.
2. Quando o antecedente de uma
razão for igual ao conseqüente de
outra, ou vice-versa, dizemos que
formam duas razões inversas. Ex:
c/d e d/c

9 3
=
12 4
Proporção – É a sentença matemática que exprime igualdade entre duas
razões.
3 6
=
2 4
Obs.: Cada elemento de uma proporção é denominado termo da
proporção sendo que os 1º e 3º termos são chamados de termos antecedentes
e os 2º e 4º são chamados termos conseqüentes e que os 1º e 3º termos de
uma proporção formam os meios e os 2º e 4º termos, formam os extremos.
Propriedade Fundamental da proporção
Em toda proporção o produto dos meios é sempre igual ao produto dos
extremos.
3 6
= , 3 ⋅ 4=6 ⋅ 2 , lê-se: 3 está para 2 assim como 6 está para 4.
2 4
Exemplos:
1. A razão entre 0,20 e 2 é :
0, 20 10 1
= 0,10 = = (1 está para 10)
2 100 10
2. A razão entre 1 4
e
3 7 é:
1
3 1 7 7
= ⋅ =
4 3 4 12
7
3. A razão entre 6 e 1
4 é:
6 4 24
= 6⋅
=
1 1 1
4
22

4. Se
8⋅ x = 7.40
8x = 280
x =
x =
280
8
35
7 x
= , calcule o valor de x.
8 40
5. A área de um retângulo é de 150m² e a razão da largura para o
comprimento é de 2/3. Encontrar essas medidas.
Resolução
a = largura, b = comprimento
A = a.b (fórmula da área do retângulo)
A = a ⋅ b = 150,
a 2 2b
= ,3a = 2 b, a =
b 3 3
ab = 150
2b
⋅ b = 150
3
b
2
2 = 150⋅ 3
2
2 = 450
b
b
2
=
b =
b = 15
450
2
225
ab = 150
15a = 150
150
a =
15
a = 10
As medidas do retângulo são: base igual a 10 e altura igual a 15.
Divisão proporcional
23

Grandeza Diretamente Proporcional
È definido como Grandeza Diretamente Proporcional as grandezas que
são diretamente proporcionais quando a variação de uma implica na variação
ou mudança da outra, na mesma proporção, mesma direção e sentido.
Exemplos:
1. 01 Kg de carne custa “Y”, se a pessoa comprar 02 Kgs de carne então
ela pagará “02 y”.
2. Se uma pessoa compra 10 borrachas ao custo de R$ 1,00, então se
ela comprar 20 borrachas o custo total será de R$ 2,00, calculando o
preço unitário de R$ 0,10.
Grandeza Inversamente Proporcional
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando a variação de
uma implica necessariamente na variação da outra, na mesma proporção,
porém, em sentido e direção contrários.
Exemplo: Velocidade e tempo.
Um carro percorre a uma velocidade de 100 Km/h, o total de 10 metros
em 10 segundos. Se este mesmo carro aumentar para 200 km/h gastará
apenas 05 segundos para percorrer os mesmos 10 metros.
Aplicações de Grandezas Proporcionais
1. Um prêmio de R$ 600.000,00 vai ser dividido entre os acertadores de
um bingo. Observe a tabela e responda:
Número de acertadores Prêmio
3 R$ 200.000,00
4 R$ 150.000,00
a. Qual a razão entre o número de acertadores do prêmio de R$200.000,00
para o prêmio de R$150.000,00?
Resposta: 3
4
b. Qual a razão entre os prêmios da tabela acima, considerando 3
acertadores e 4 acertadores?
24

Resposta: 4
3
c. O número de acertadores e os prêmios são grandezas diretamente ou
inversamente proporcionais?
Resposta: Inversamente proporcionais
2. Os números x, y e 32 são diretamente proporcionais aos números 40,
72, 128. Determine os números x e y.
Resposta
x y 32
= =
40 72 128
x 32
=
40 128
128x = 32⋅ 40
128x = 1280
1280
x = = 10
128
y =
18
25

Regra de Três Simples
Regra de três simples
Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que
envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto,
determinar um valor a partir dos três já conhecidos.
Passos utilizados numa regra de três simples
· Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em
colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em
correspondência.
· Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente
proporcionais.
· Montar a proporção e resolver a equação.
Exemplos:
1. Se 8m de tecido custam 156 reais, qual o preço de 12 m do mesmo
tecido?
Observe que as grandezas são diretamente proporcionais, aumentando o
metro do tecido aumenta na mesma proporção o preço a ser pago.
8 156
=
12 x
Observe que o exercício foi montado respeitando o sentido das setas.
A quantia a ser paga é de R$234,00.
REGRA DE TRÊS
Consta na história da matemática que os
gregos e os romanos conhecessem as
proporções, porém não chegaram a aplicá-las
na resolução de problemas.
Na idade média, os árabes revelaram ao
mundo a regra de três. Nos século XIII, o
italiano Leonardo de Pisa difundiu os princípios
dessa regra em seu livro Líber Abaci, com o
nome de Regra de Três Números Conhecidos.
26

2. Um carro, à velocidade de 60km/h, faz certo percurso em 4 horas. Se a
velocidade do carro fosse de 80km/h, em quantas horas seria feito o
mesmo percurso?
Observe que as grandezas são inversamente proporcionais, aumentando a
velocidade o tempo diminui na razão inversa. Resolução:
60 x
=
80 4
O tempo a ser gasto é 3 horas.
Resolução de problemas
1. (ESAF) Um homem dá um salto
de 0,4m para cima, ao mesmo
tempo em que uma pulga dá um
pulo de 400mm. A razão entre os
saltos é:
a) 2
b) 1
c) 3
d) ½
e) 4
2. (B.B) Uma empresa possui
atualmente 2.100 funcionários. Se
a relação entre o número de
efetivos e contratados é de 5 por
2, quantos são os efetivos?
a) 600
b) 1.000
c) 1.500
d) 1.600
e) 1.800
3. (FURNAS) A razão entre as idades
de um pai e seu filho é de 5/2. Se
27
o pai tinha 21 anos quando o filho
nasceu, qual é a idade do filho?
a) 14
b) 16
c) 24
d) 28
e) 35
4. (ESAF) A soma das idades de um
pai, de um filho e de um neto é de
105 anos. Sabendo-se que a idade
do pai está para 8, assim como a o
filho está para 5 e do neto está
para 2, a idade, em anos, de cada
um é, respectivamente:
a) 66, 29 e 10
b) 62, 31 e 12
c) 56, 37 e 12
d) 56, 35 e 14
e) 58, 38 e 9
5. 10. (B.B) Se dois capitais estão
entre si na razão de 8 para 3 e o

maior deles excede o menor em $
25.000,00, então a soma desses
capitais é de:
a) $ 75.000,00
b) $ 65.000,00
c) $ 40.000,00
d) $ 60.000,00
e) $ 55.000,00
6. (T.R.F) Em duas caixas d’água há
6.600 litros de água. Determine as
capacidades das caixas em litros,
sabendo que as suas capacidades
estão , entre si, como três está
para cinco.
a) 3.125 e 3.475
b) 4.200 e 2.400
c) 4.225 e 2.375
d) 4.125 e 2.475
7. (CPTeorema) Determine a quarta
proporcional entre os números 4, 7
e 12.
8. (CPTeorema) Com a definição de
razão, fração e divisão, pode-se
afirmar que:
a) razão = fração = divisão
b) razão = fração divisão
c) razão fração = divisão
d) razão fração divisão
9. (T.F.R.) Uma estrada está
representada por 15 cm em um
mapa de escala 1/20.000. O
comprimento real dessa estrada é:
a) 3 km
b) 30 km
c) 300 m
d) 3.000 cm
e) 30.000 dam
10. (UNICAMP) Na planta de um
edifício em construção, cuja escala
é 1:50, as dimensões de uma sala
retangular são 10cm e 8cm.
Calcular a área real da sala
projetada.
a) 40cm 2
b) 20m 2
28
c) 8m 2
d) 4m 2
11. Determine os antecedentes de
uma proporção cujos
conseqüentes são 6 e 8, sabendo
que a soma dos quatro termos é
84.
12. A miniatura de um automóvel foi
construída na escala de 1 :40. Se
a roda do automóvel tem raio de
48 cm, qual o diâmetro de cada
roda da miniatura?
13. (CFS) Um segmento de 17,1 m é
representado num desenho em
escala 1:90. O tamanho do
segmento desenhado é:
a) 9 m
b) 9 cm
c) 19 m
d) 19 cm
e) 19 dm
14. (UFRJ) Um automóvel de 4,5 m
de comprimento é representado,
em escala por um modelo de 3 cm
de comprimento. Determine a
altura do modelo que representa,
na mesma escala uma casa de
3,75 m de altura.
15. Em uma maquete de um estádio
de futebol, uma torre de
iluminação de altura 18 metros é
representada por um palito de 3,6
centímetros de comprimento. Qual
foi a escala utilizada?
16. Um mapa foi construído na escala
de 1: 250.000. Observando a
posição de duas cidades que, no
mapa, distam 8 cm, podemos dizer
que na realidade a distância entre
as duas cidades, em quilômetros,
é aproximadamente igual a:
a) 8
b) 10
c) 12

d) 16
e) 20
17. Um mapa rodoviário foi feito
utilizando uma escala de 1 : 1
00000. Se neste mapa uma cidade
A dista 40 cm de uma outra cidade
B, qual a distância real entre essas
cidades?
18. Qual a escala em que foi
construída a planta de uma casa,
sabendo-se que uma porta de
altura de 2,4 m é representada por
uma de 0,6 cm de altura?
19. (CFS) Na proporção (x – 1) : (4x -
1) :: 5 : 2 ,o valor de x é um
número:
a) maior que dois
b) inteiro menor que dois
c) fracionário, não inteiro e maior
que dois
d) dois
e) fracionário, não inteiro e menor
que dois
20. (CFS) A idade de um pai, somada
com a de seu filho, dá 45 anos.
Sabendo-se que a idade do filho
está para a idade do pai assim
como 1 está para 4, podemos
dizer que as idades são:
a) 9 anos e 36 anos
b) 8 anos e 32 anos
c) 8 anos e 37 anos
d) 6 anos e 39 anos
21. (CFS) Os preços de duas peças
de fazenda estão entre si como 7
para 8. Sabendo-se que o triplo do
preço de uma delas menos o
dobro do preço da outra vale $
50,00, os preços dessas peças
são:
a) $ 60,00 e $ 70,00
b) $ 80,00 e $ 90,00
c) $ 70,00 e $ 80,00
d) $ 30,00 e $ 40,00
e) $ 50,00 e $ 60,00
29
22. (CFC-2007) Para fazer um
desenho animado, uma equipe de
desenhistas usou
aproximadamente 500 km de folha
de papel. Sabendo que cada folha
era quadrada e tinha 32 cm de
comprimento, o número de folhas
utilizadas, aproximadamente, em
milhão, foi:
a) 1,8.
b) 1,6.
c) 1,2.
d) 0,9.
23. (CFC-2008) A razão entre os lados
homólogos de dois triângulos é
5/2. Se os lados do menor medem
3 cm, 5 cm e 6 cm, os do maior
triângulo, em cm, medem :
a) 7,5; 12,5 e 15.
b) 7,5; 10 e 12.
c) 7; 12 e 15,5.
d) 7; 12,5 e 15.
24. (CFC-2008) Para que os números
racionais 2y; 7; 4,2 e 3,5 formem
nessa ordem uma proporção, o
valor de y deve ser
a) 4,2.
b) 3,8.
c) 3,2
d) 2,8
25. (CFC-2008) A razão entre o
complemento e o suplemento de
um ângulo é 2/7. Esse ângulo
mede
a) 28°.
b) 32°.
c) 43°.
d) 54°.
26. (CPTeorema) A razão entre o
número de vagas para Cabo da
Aeronáutica 2009 e o número de
candidatos inscritos na
especialidade de administração é
de 2/29 . Sabendo-se que o total

de inscritos foi de 493, quantas
vagas há para o cargo:
a) 30
b) 31
c) 32
d) 33
e) 34
27. (CFS) Os números 4, 8, 6 e 11
formarão, nesta ordem, uma
proporção, se forem somados a
um número:
a) par
b) ímpar
c) primo
d) divisor de 10
e) múltiplo de 7
28. (CPTeorema) Determine a terceira
proporcional entre os números 7 e
21, sendo 21 a média geométrica.
29. Ao longo dos 3.000 km do
percurso de um rali, um
competidor usou os quatro pneus
e mais o estepe de seu carro. Se
todos os cinco pneus rodaram a
mesma quilometragem, o número
de quilômetros que cada um deles
percorreu foi:
a)600
b)750
c)1.200
d)1.500
e) 2.400
30. Uma operadora de telefone celular
cobra uma tarifa de R$ 0,40 por
minuto de ligação e uma de
telefone fixo, R$ 0,16 pelo pulso
de 4 minutos. Comparando-se os
dois valores, conclui- se que a
razão entre a tarifa do celular e a
do fixo é:
a)8
b)10
c)15
d) 29
30
31. O produto de três números é 648.
Sendo esses números
proporcionais a 2, 3 e 4, sua soma
é igual a:
a)30
b)27
c)18
d) 9
32. Um determinado trabalho é feito
por João em 9 dias, por José em
12 e por Pedro em 18. O número
de dias que os três juntos
gastariam para executar esse
trabalho é:
a)4
b)6
c)7
d) 8
33. Para encher um recipiente de 5
litros, uma torneira gasta 12
segundos. Uma segunda torneira
gasta 18 segundos para encher o
mesmo recipiente. Nestas
condições, para encher um tanque
de 1000 litros, usando as duas
torneiras ao mesmo tempo, serão
necessários:
a)20minutos.
b)24minutos.
c)33minutos.
d)50minutos.
e) 83 minutos.
34. Roberto é arquiteto recémformado
e trabalha no
Departamento de Obras e Projetos
de uma Prefeitura. Ele construiu
uma maquete de uma praça da
cidade na escala 1:20. Um
sobrado de 7 m de altura,
representado na maquete é em
cm:
a)350
b)200
c)35
d)20
e) 0,20

35. Se 6 litros de suco forem
misturados com água, na
proporção de duas partes de suco
para quatro de água, a quantidade
de refresco obtida, em litros, será
igual a:
a)18
b)24
c)30
d) 36
36. Uma verba de R$ 2.700.000,00
deve ser dividida entre os
municípios A, B e C em partes
proporcionais ao número de
matrículas no Ensino Fundamental
de cada um deles. O número de
alunos matriculados de A é o
dobro do número de alunos
matriculados de B que, por sua
vez, tem o triplo do número de
matrículas de C. Com base
nessas informações, pode-se
afirmar que o município A deverá
receber, em milhares de reais,
uma quantia igual a:
a)270
b)810
c)1270
d) 1620
37. O proprietário de um carro
bicombustível verificou que
percorria a mesma distância
gastando 60 litros de álcool ou 42
litros de gasolina. Concluiu, então,
que só seria vantajoso abastecer o
veículo com gasolina quando a
razão entre o preço do litro do
álcool e o preço do litro da
gasolina fosse:
a)menor que 0,4.
b)maior que 0,4 e menor que 0,5.
c)maior que 0,5 e menor que 0,6.
d)maior que 0,6 e menor que 0,7.
e) maior que 0,7.
31
38. (CFO-93) Se uma vela de 36 cm de
altura, diminui 1,8 mm por minuto,
quanto tempo levará para se consumir?
a) 2 horas b) 3 horas c) 2h 36 min
d) 3h 20 min e) 3h 18min
39. (SESD-94) 30 operários deveriam
fazer um serviço em 40 dias. 13 dias
após o início das obras, 15 operários
deixaram o serviço. Em quantos dias
ficará pronto o restante da obra?
a) 53 b) 54
c) 56 d) 58
40. (FESP-96) Doze operários, em 90
dias, trabalhando 8 horas por dia,
fazem 36m de certo tecido. Podemos
afirmar que, para fazer 12m do mesmo
tecido, com o dobro da largura, 15
operários, trabalhando 6 horas por dia
levarão:
a) 90 dias b) 80 dias c) 12 dias
d) 36 dias e) 64 dias
41. (Colégio Naval) Vinte operários
constróem um muro em 45 dias,
trabalhando 6 horas por dia. Quantos
operários serão necessários para
construir a terça parte desse muro em
15 dias, trabalhando 8 horas por dia?
a) 10 b) 20 c) 15
c) 30 e) 6
42. (EPCAr) Um trem com a
velocidade de 45km/h, percorre certa
distância em três horas e meia. Nas
mesmas condições e com a velocidade
de 60km/h, quanto tempo gastará para
percorrer a mesma distância?
a)
2h30min18s
b) 2h37min8s c)
2h37min30s

d)
2h30min30s
e)
2h29min28s
43. (ETFPE-91) Se 8 homens levam
12 dias montando 16 máquinas, então,
nas mesmas condições, 15 homens
montam 50 máquinas em:
a) 18 dias b) 3 dias c) 20 dias
d) 6 dias e) 16 dias
44. (ESA-88) 12 pedreiros fizeram 5
barracões em 30 dias, trabalhando 6
horas por dia. O número de horas por
dia, que deverão trabalhar 18 pedreiros
para fazerem 10 barracões em 20 dias
é:
a) 8 b) 9 c) 10
d) 12 e) 15
45. (UFMG) Ao reformar-se o assoalho
de uma sala, suas 49 tábuas corridas
foram substituídas por tacos. As tábuas
medem 3 m de comprimento por 15 cm
de largura e os tacos 20 cm por 7,5 cm.
32
O número de tacos necessários para
essa substituição foi:
a) 1.029 b) 1.050 c) 1.470
d) 1.500 e) 1.874
46. (UFMG) Um relógio atrasa 1 min e
15 seg a cada hora. No final de um dia
ele atrasará:
a) 24 min b) 30 min c) 32 min
d) 36 min e) 50 min
Gabarito
1) B 2) C 3) A 4) D 5) E 6)
D 7) 21 8) D 9) A 10) B 11)
30 e 40 12) 2,4 cm 13) D 14)
2,5 cm 15) 1:500 16) E 17)
40km 18) 1:400 19) E 20) A
21) C 22) B 23) A 24) A 25)
D 26) E 27) A 28) 63 29) E
30) B 31) B 32) A 33) B 34)
C 35) A 36) D 37) E 38) D
39) B 40) E 41) C 42) C 43) C
44) D 45) C 46) B

Porcentagem
No nosso dia a dia nos deparamos com expressões que refletem acréscimos
ou reduções em preços, números ou quantidades, sempre tomando por base
100 unidades. Veja algumas situações:
A gasolina teve um aumento de 20%.
Significa que em cada R$1,00 houve
um acréscimo de R$20,00.
Razão centesimal ou percentual
Toda a razão que tem como conseqüente ou denominador o número 100 é
chamada de razão centesimal ou percentual. Veja abaixo:
7 16 125 210
, , ,
100 100 100 100
Uma razão centesimal também pode ser representada de outras maneiras.
Veja abaixo:
34
O cliente recebeu um desconto de
10% em todas as mercadorias.
Significa que em cada R$1,00 foi
dado um desconto de R$10,00.
Os óleos parafínicos são os que
apresentam um teor de resinas e
asfaltenos entre 5 e 15 %. Ou seja,
em cada 1 ml de óleo há entre 5 e
15 de resina e asfaltenos.

Os resultados 7%, 16% e 125% foram obtidos através da divisão dos
numeradores pelos denominadores.
As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas taxas centesimais ou taxas
percentuais.
Considere o seguinte problema:
Os óleos parafínicos são excelentes para a produção de querosene de aviação
(QAV), diesel, lubrificantes e parafinas. Apresentam um teor de resinas e
asfaltenos 1 entre 5 e 15 % em cada litro. Em um recipiente de 20 litros, qual o
valor estimado para 12% de resinas presentes na mistura?
Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (12%) sobre
a quantidade de óleo do recipiente.
12 12 12 12 24 24 24 24
12 12 12 12 de de de de 2 2 2 2 = = = = 2 2 2 2 = = = = = = = = 2 2 2 2 44
44
1 1 1 1 1 1 1 1 litros
Portanto, em 20 litros de óleo há 2,4 de resinas, que representam a
porcentagem procurada.
Logo, porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um
determinado valor.
Exemplos:
• Calcular 10% de 300.
10
10% de 300 = . 300 =
30
100
Você sabe resolver
problemas com
porcentagem? Vamos ver
alguns?
1 Os asfaltenos são produtos oriundos do petróleo que apresentam estruturas moleculares complexas que
tendem a formar agregados que floculam e precipitam de acordo com as condições físico-químicas do
meio que se encontram.
35

• Calcular 25% de 200 kg.
• Calcular 5% de 3
4
• Quantos por cento 35 representa de 700?
Exemplos de resoluções de problemas:
1. Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas,
transformando em gols 8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador
fez?
SOLUÇÃO:
Portanto o jogador fez 6 gols de falta.
2. Se eu comprei uma ação de um clube por R$250,00 e a revendi por
R$300,00, qual a taxa percentual de lucro obtida?
SOLUÇÃO:
25
25% de 200 = . 200 = 25. 2 = 50
100
3 5 3 15 3
5 % de = . = = = 0, 0375
4 100 4 400 80
35 é x% de 700. Mas quanto é x? Precisamos encontrar
uma fração equivalente a 35
cujo denominador seja
700
100. Para isso, basta dividir ambos os termos da fração
acima por 7. Ou seja,
35 : 7 5
= =
5%
700 : 7 100
Montamos uma equação, onde somando os R$250,00 iniciais com a porcentagem que aumentou
em relação a esses R$250,00, resulte-nos R$300,00.
36

Portanto, a taxa percentual de lucro foi de 20%.
3) No almoxarifado de uma loja de calçados, 32% do estoque são de sapatos
infantil. Os outros 1700 pares restantes, são sandálias de adulto.Quantos
calçados há no almoxarifado dessa loja.
SOLUÇÃO:
O total de calçados corresponde a 100%, ou seja, 32% infantil e x% adulto.
Assim, 100% - 32% = 68%. Portanto, os 1700 pares de calçados correspondem a 68% do total.
Logo, aplicando os conhecimentos de regra de três simples, temos:
Exemplo:
1700 68%
Y 100%
Y =
1700 .100
68
Um outro exemplo é quando,
há um acréscimo de 10% a
ser dado em um determinado
valor. Nesse caso, podemos
calcular o novo valor apenas
multiplicando esse valor por
1,10, que é o fator de
multiplicação. Se o acréscimo
for de 20%, multiplicamos por
1,20, e assim por diante. Veja
a tabela
37
= 2500
2500 pares de calçados
Acréscimo ou Lucro Fator de Multiplicação
10% 1,10
15% 1,15
20% 1,20
47% 1,47
67% 1,67
Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 x 1,10 = R$ 11,00
No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será:
Fator de Multiplicação = 1 - taxa de desconto (na forma decimal)

Veja a tabela
Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 . 0,90 = R$ 9,00
Resolução de problemas
1. Quanto é 30% de R$ 420,00?
2. Na lanchonete, um sanduíche que
custava R$ 2,80 teve seu preço
aumentado em 25%. Esse sanduíche
passou a custar:
3. Sabendo que 104 alunos de uma
escola correspondem a 20% do total,
Quantos alunos têm a escola?
4. 121 é quanto por cento de 550?
5. Numa eleição com 2 candidatos,
votaram 3850 eleitores. O candidato A
obteve 1032 votos e B obteve 2048
votos. Qual foi a porcentagem de votos
nulos ou em branco?
6. O cafezinho vendido na rede Café
Expresso aumentou de R$ 1,60 para
R$ 1,70. Esse aumento, em termos
percentuais, foi de aproximadamente:
Desconto Fator de Multiplicação
10% 0,90
25% 0,75
34% 0,66
60% 0,40
90% 0,10
38
7. Se 35% de todo o meu dinheiro
correspondem a R$ 105, quanto
possuo no total?
8. O preço de um artigo em promoção
sofreu um desconto de 20%.
Terminada a promoção, foi aumentado
em 20%. Seu preço atual é:
A) igual ao inicial
B) 98% do inicial
C) 96% do inicial
D) 92% do inicial
E) 90% do inicial
9. Assinale a sentença verdadeira:
A) 6% = 0,6
B) 13% = 1,3
C) 140% = 1,4
D) 20,5% = 0,0205

10. Uma TV LCD foi comprada por R$
6.000,00 e vendida meses depois por
R$ 5.160,00. Determine a porcentagem
de prejuízo nessa venda.
11. Em um concurso havia 15000
homens e 10000 mulheres. Sabe-se
que 55% dos homens e 60% das
mulheres foram aprovados. Do total de
candidatos, quanto por cento foram
reprovados?
12. Qual o valor de uma fatura pela
qual se pagou R$ 1.900,00, sabendose
que o vendedor concordou em fazer
um abatimento de 5%?
13. ( Cesgranrio/BB – 1999) Um
automóvel foi comprado por R$
20.000,00 e sofreu desvalorização de
20% ao ano. O seu valor, em reais,
após 3 anos será:
A) R$ 10.240,00
B) R$ 8.192,00
C) R$ 6.553,60
D) R$ 5.242,88
39
E) R$ 4.194,30
14. Rosane digitou 1
das páginas de
um material para estudos e Dilcléia
digitou 1
4
5
do número de páginas
restantes. A porcentagem de X páginas
que deixaram de ser digitadas é de :
A) 20%
B) 25%
C) 45%
D) 50%
E) 60%
Gabarito
1 126 8 C
2 R$3,50 9 C
3 520 10 14%
4 22% 11 42%
5 20% 12 R$2000
6 6,25% 13 A
7 300 14 E

Juros simples e compostos
JUROS SIMPLES
O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas
sobre o valor principal. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão
novos juros. Valor Principal ou simplesmente principal é o valor inicial
emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. O regime de Juros
Simples é aquele no qual os juros sempre incidem sobre o capital inicial.
Atualmente as transações comerciais não utilizam dos juros simples e sim o
regime de juros compostos.
A fórmula utilizada para o cálculo dos juros simples é:
Sendo que:
J = c . i . t
J = juros c = capital i = taxa de juros t =número de
períodos
ATENÇÃO: a taxa deve ser sempre
compatível com a unidade de tempo
considerada. Por exemplo, se a taxa for
de 4%a.m., para um prazo de 60 dias
adotaremos t = 2 (2 meses).
40

Exemplos:
1- Temos uma dívida de R$ 1000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m.
pelo regime de juros simples e devemos pagá-la em 2 meses. Os juros que
pagarei serão:
C = R$1.000,00 J = c . i . t
i = 8% a m = 0,08 → J = 1000 x 0.08 x 2 = 160
t = 2 m J = R$ 160,00
2- Qual é o capital que rende R$ 6.270,00 de juros, à taxa de 55% ao ano,
durante 3 anos?
C = ? J = c . i . t
J = 6.270 6.270 = C . 0,55 . 3
i = 55% a.a = 0,55 → 1,65 c = 6.270
t = 3 anos C = 6.270
1,65
C = R$ 3.800 ,00
41
= 3.800
Portanto, em 3 anos o capital de R$ 3.800,00 rende de juros R$ 6.270,00.
3- Qual o tempo necessário para que o juro simples seja de 12
de um capital
aplicado a uma taxa de 20% ao mês?
DICA Atribui-se ao juro o valor 12 e ao capital o valor 5.
J = c. i . t
20
12 = 5 . . t
100
100
12 = t
100
t = 12 meses
4- Um comerciante contraiu de um amigo um empréstimo de R$ 600,00,
comprometendo a pagar a dívida em 3 meses, à taxa de juros simples de
5% ao mês (a.m). Quanto ele pagará de juros?
Para calcularmos os juros a serem pagos, fazemos:
1º) Em um mês, os juros são de:
5% de 600,00 = 0,05 x 600 = 30,00
5

2º) Como o prazo é de 3 meses o comerciante deverá pagar:
J = 3 x 30,00 = 90,00
Assim ao final dos 3 meses o comerciante deverá pagar:
600,00 + 90,00 = 690,00
O valor total a ser pago (R$ 690,00) é chamado de montante.
Ao somarmos os juros ao valor principal (capital) temos o MONTANTE.
MONTANTE = CAPITAL + (capital x taxa de juros x tempo)
M = C + J
5- Calcule o montante resultante da aplicação de R$70.000,00 à taxa de 10,5%
a.a. durante 145 dias.
SOLUÇÃO:
Devemos expressar a taxa i e o período t na mesma unidade de tempo, ou seja, anos. Dividimos
145 dias por 360 dias, para obter o valor equivalente em anos, já que um ano comercial possui
360 dias.
M = 70.000 (1 +
M = 70.000. ( 1 + 15.225
360.000
MONTANTE = CAPITAL + JUROS
M = C . ( 1 + i. t )
10,5 145
.
100 360
M = 70.000 . 375.225
360.000
M = C. ( 1 + i .t)
42
) = 70.000. ( 1 + 105 145
.
1000 360 )
360.000 15.225
) = 70.000 . ( + ) =
360.000 360.000
M= 2.626.575
36
M = R$ 72.960,42
= 7 . 375.225
36
= 72.960,42

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1 - Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados à taxa de
36% a.a., durante 125 dias.
SOLUÇÃO:
A taxa de 36% a.a. equivale a 0,36/360 dias = 0,001 a.d.(dia)
Agora, como a taxa e o período estão referidos à mesma unidade de tempo, ou seja,
dias, poderemos calcular diretamente:
2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$3.500,00
de juros simples em 75 dias?
SOLUÇÃO:
J = c.i.t
J = 40.000 . 0,001.125 = 5.000,00
J = R$ 5.000,00
Observe que expressamos a taxa i e o período t em relação à mesma unidade de tempo,
ou seja, meses.
Sabemos que: J = c.i.t ou seja: 3.500 = c . (1,2/100).(75/30)
3.500 = c. 0,012 . 2,5 3.500 = 0,03 c c = 3.500
0,03
43
= R$ 116.666,67

3 - Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão
necessários para dobrar um capital aplicado através de capitalização simples?
SOLUÇÃO:
O objetivo é dobrar o capital, então: M = 2.C
t = 1
i = 150/100 = 1,5 a.a
M = c. (1 + i.t)
2c = c. (1 + 1,5.t)
2 = 1 + 1,5 t
10 2
= = = 0,6666... ano
1,5 15 3
t = 0,6666 . 12 meses = 8 meses
t = 8 meses
4- Por quanto tempo um capital de $11.500,00 foi aplicado para que
rendesse $1.725,00 de juros, sabendo-se que a taxa de juros de
mercado é de 4,5% a.m.?
SOLUÇÃO:
J = C.i.t
1.725 = 11.500. (4,5/100).t
1.725 = 11.500 . 0,045.t
t = 1.725
512,5
44
= 3,36
t = 3,36 meses = 3 meses + 0,6 de um mês = 3 meses + 3/5 de um mês
t = 3 meses meses e 18 dias
dias

JUROS COMPOSTOS
O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e
portanto, o mais útil para cálculos de problemas do dia-a-dia. Os juros gerados
a cada período são incorporados ao principal (capital) para o cálculo dos juros
do período seguinte. Da capitalização simples, já sabemos que o rendimento
se dá de forma proporcional. A base de cálculo é sempre o capital inicial. No
regime composto de capitalização, dizemos que o rendimento se dá de forma
exponencial. Os juros do período, são calculados com base num capital,
formando um montante, que será a nova base de cálculo para o período
seguinte.
Chama-se período de capitalização o instante de tempo o qual a aplicação
rende juros.
Sendo o tempo de aplicação igual a 2 anos, por exemplo, e os juros
capitalizados mensalmente, teremos 24 períodos de capitalização; para uma
capitalização bimestral, a quantidade de períodos será igual a 12; se a
capitalização for semestral, será 4 , e assim sucessivamente.
VEJA O EXEMPLO ABAIXO:
Na aplicação de R$ 1.000,00 durante 5 meses, à taxa de 2% a.m., temos,
contada uma capitalização mensal, 5 períodos de capitalização, ou seja, a
aplicação inicial vai render 5 vezes.
Observando o crescimento do capital a cada período de capitalização, temos:
1º período:
% R$
100 1.000
102 M
M = R$ 1.020,00
(nova base de cálculo para
o período seguinte)
PERÍODOS CAPITAL MONTANTE
2º R$ 1.020,00 ⋅ 1,02 = R$ 1.040,40
3º: R$ 1.040,40 ⋅ 1,02 = R$ 1.061,21
4º R$ 1.061,21 ⋅ 1,02 = R$ 1.082,43
5º R$ 1.082,43 ⋅ 1,02 = R$ 1.104,08
Portanto, o montante ao final dos 5 meses será R$ 1.104,08.
45

No cálculo, fizemos o seguinte:
R$ 1.000 ⋅ 1,02 ⋅ 1,02 ⋅ 1,02 ⋅ 1,02 ⋅ 1,02
= R$ 1.000 ⋅ (1,02) 5
= R$ 1.000 ⋅ 1,10408
= R$ 1.104,08
Observamos o fator (1,02) 5 . Essa potência pode ser calculada com
calculadoras científicas ou com auxílio das tabelas financeiras.
O cálculo do montante a juros compostos será dado pela expressão abaixo, na
qual M é o montante, C o capital, i é a taxa de juros e t é a quantidade de
capitalizações.
Comparando o cálculo composto com o cálculo simples, observe:
CAPITAL
M = C . (1 + i) t
JUROS
SIMPLES
46
MONTANTE
R$1.000,00⋅ 0,02 R$ 20,00 M = R$ 1.020,00
R$1.000,00 ⋅ 0,02 R$ 20,00 M = R$ 1.040,00
R$1.000,00 ⋅ 0,02 R$ 20,00 M = R$ 1.060,00
R$1.000,00 ⋅ 0,02 R$ 20,00 M = R$ 1.080,00
R$1.000,00 ⋅ 0,02 R$ 20,00 M = R$ 1.100,00
Portanto, o montante simples, ao final dos 5 meses será R$ 1.100,00.
Observamos que ao final do primeiro período de capitalização, os juros
compostos e os juros simples, apresentam valores iguais. A partir daí, o
rendimento composto passa a superar o simples.

Para calcularmos
apenas os juros basta
diminuir o principal do
montante ao final do
período:
J = M - C
EXEMPLOS:
1- Calcule o montante de um capital de R$6.000,00, aplicado a juros
compostos, durante 1 ano, à taxa de 4% ao mês.
SOLUÇÃO:
A capitalização é mensal, portanto, no tempo de aplicação considerado teremos 12
capitalizações.
C = R$ 6.000,00
i = 4% = 0,04
t = 12
Usando a fórmula M = C.(1+i) t , obtemos:
A capitalização é mensal, portanto, no tempo de aplicação considerado teremos 12
capitalizações.
M = 600 ⋅ (1 + 0,04) 12 ⇒ M = 600 ⋅ (1,04) 12
M = 600 ⋅ 1,60103
M = R$ 960,62
2- O capital R$ 500,00 foi aplicado durante 8 meses à taxa de 5% ao mês.
Qual o valor dos juros compostos produzidos?
SOLUÇÃO:
C = R$ 500
i = 5% = 0,05
n = 8 (as capitalizações são mensais)
M = C ⋅ (1 + i) t ⇒ M = 500 ⋅ (1,05) 8 ⇒ M = R$ 738,73
O valor dos juros será: J = M - C
J = 738,73 – 500
J = R$ 238,73
47
LEMBRE que a taxa i
tem que ser expressa na
mesma medida de tempo
t, ou seja, taxa de juros
ao mês para t meses.

3- Qual a aplicação inicial que, empregada por 1 ano e seis meses, à taxa de
juros compostos de 3% ao trimestre, se torna igual a R$ 477,62?
SOLUÇÃO:
M = R$ 477,62
i = 3% = 0,03
n = 6 (as capitalizações são trimestrais)
M = C ⋅ (1 + i) t
477,62 = C ⋅ (1,03) 6
477,
62
C =
1,
19405
C = R$ 400,00
4- Um capital de R$ 2.000,00 foi aplicado a juros compostos de 28% ao ano
capitalizados trimestralmente. Se o resgate for realizado após 12 meses, o
montante será de quanto?
SOLUÇÃO:
Capitalizar significa render juros, portanto, quando se afirma que determinado capital está sujeito
à capitalização anual, por causa da convenção de juros postecipados (considera-se que a
formação dos juros é apenas ao final do prazo a que a taxa se refere), no caso, ao final do ano.
Se a capitalização é semestral – o capital rende juros ao final do semestre.
Se a capitalização é mensal – o capital rende juros ao final do mês.
Para calcular o montante a juros compostos usamos a seguinte fórmula:
M = C (1 + i) t
Onde: M = montante; C = capital; i = taxa de juros e t = prazo.
Lembrando que a taxa de juros e o prazo devem se referir ao mesmo período de tempo.
Substituindo teremos: M = 200 (1+0,07) t
Observe que o prazo t = 12 meses e a taxa de juros é trimestral. Como ambos devem se referir
ao mesmo período, temos que fazer ambos se referirem a mês ou a trimestre. Vamos
considerar o período trimestral.
48

Período trimestral
Neste caso, fazendo uma regra de três simples tem-se:
12 meses __________ t trimestres
3 meses __________ 1 trimestre
logo t = 4 trimestres. Assim, temos que :
M = 2.000 (1+0,07) 4 = R$ 2.621,60 M = R$ 2.621,60
Resolução de Problemas
1. Qual o montante acumulado a partir
da aplicação de R$2.895,00 a 3,5%
ao mês durante 3 anos e meio?
2. Investindo-se mensalmente
$150,00 durante 6 anos e um
trimestre, a 6% ao mês, qual o
valor acumulado ao final do
período?
3. Um capital de R$ 20.000,00 foi
investido num regime de juros
compostos, durante 18 meses,
numa aplicação que rende 2% ao
mês. Calcule o montante no final
do período.
4. Qual o capital que precisa ser
investido durante 5 anos, à uma
taxa de juros compostos de 10% ao
Agora é com
você!!
49
ano, para se obter um montante de
R$ 1.0000,00 ao final do período?
5. Quanto deveremos depositar
trimestralmente numa conta que
rende 6% ao trimestre, para termos
R$ 2.2800,00 ao final de 105
meses?
6. Uma dívida de R$ 1.000,00 deve
ser quitada em 12 parcelas
mensais, à taxa de juros de 3% ao
mês. Determine o valor de cada
prestação.
7. Investindo-se mensalmente R$
150,00 durante 6 anos e um
trimestre, a 6% ao mês, qual o
valor acumulado ao final desse
período?
Resposta:

8. (FCC/CEF/1998) Um capital de R$
2.500,00 esteve aplicado à taxa
mensal de 2%, num regime de
capitalização composta. Após um
período de 2 meses, os juros
resultantes dessa aplicação serão
de:
R$ 98,00
R$ 101,00
R$ 110,00
R$ 114,00
R$ 121,00
9. (CESGRANRIO/PETROBRÁS/199
9)Desconsiderando-se os aspectos
tributários, uma aplicação
financeira de R$ 100.000,00, com
rendimento mensal contratado de
2% ao mês, no sistema de juros
compostos com capitalização
mensal, terá, depois de três meses,
o valor final para resgate igual a:
R$ 104.040,00
R$ 106.000,00
R$ 106.120,80
R$ 108.000,00
R$ 108.243,22
10. Um capital C aplicado a juros
compostos à taxa de 5% ao mês
durante 3 meses resultou um
montante de R$ 9.261,00. Encontre
o valor desse capital.
R$ 8.000,00
R$ 5.500,00
R$ 6.000,00
R$ 7.000,00
50
R$ 8.360,00
11. João tomou emprestado
R$20.000,00 de Carlos para pagálo
após 2 anos. A taxa acertada de
juros simples foi de 30% a.a. .
Quanto Carlos poderia aceitar, se 6
meses antes do vencimento da
dívida, João quisesse resgatá-la e
se nesta época o dinheiro valesse
25% a.a. ?
12. Determinar o montante
correspondente a uma aplicação de
R$ 450.000,00 por 225 dias, à taxa
de 5,6% ao mês (5,6% a.m.).
13. Determinar o capital necessário
para produzir um montante de R$
798.000,00 no final de um ano e
meio, aplicado a uma taxa de 15%
ao trimestre (15% a.t.).
14. Obteve-se um empréstimo de R$
10.000,00, para ser liquidado por
R$ 14.675,00 no final de 8 meses e
meio. Qual a taxa de juros anual
cobrada nessa operação?
15. Um capital C foi aplicado a juros
simples de 15% ao bimestre (15%
a.b.), por um prazo de 5 meses e
13 dias e, após este período, o
investidor recebeu R$ 10.280,38.
Qual o valor C do capital aplicado?
16. Um capital de R$ 5.380,00 aplicado
por 3 meses e 18 dias, rendeu R$
1.839,96 de juros simples ao final
do período. Qual a taxa mensal de
juros simples?

17. Que capital aplicado a 3% ao
bimestre (3% a.b.), por um prazo
de 75 dias, proporcionou um
montante de R$ 650.000,00?
18. A que taxa mensal o capital de R$
38.000,00 produzirá o montante de
R$ 70.300,00 em 10 anos?
19. Por quanto tempo um capital de R$
11.500,00 foi aplicado para que
rendesse R$ 1.725,00 de juros,
sabendo-se que a taxa de juros de
mercado é de 4,5% a.m.?
20. Um empréstimo de R$ 8.000,00
rendeu juros de R$ 2.520,00 ao
final de 7 meses. Qual a taxa de
juros do empréstimo?
51
Gabarito
1) R$ 1.2277,70
2) R$1.98200,00
3) R$ 2.8564,92
4) R$ 6.209,21
5) R$ 203,00
6) R$ 100,50
7) R$1.98200,00
8) B
9) C
10) A
11) R$ 28.444,44
12) R$ 639.000,00
13) 420.000,00
14) 66% a.a
15) R$ 7.304,00
16) 9,5% a.m
17) 626.506,02
18) 8,5% a.a
19) 3 meses e 10 dias
20) 4,5% a.m

Descontos
Operação de Desconto: o que é?
É esta a nossa situação: aqui nós pretendemos saber o quanto representa hoje
um valor que era devido numa data futura. Em outras palavras, queremos
agora “retroceder” no tempo com determinado valor monetário, e descobrir o
quanto este valerá no dia de hoje, ou numa
outra data anterior àquela do seu vencimento.
Observemos que, como estamos “retrocedendo” no tempo, ou seja, como
estamos recuando na linha do tempo, o valor de “desconhecido” será,
necessariamente, um valor menor do que R$5.000,00.
E por que o valor
desconhecido (x)
será um valor
menor que o da
dívida?
Em suma, Desconto é apenas isso: transportar um valor monetário de uma
data futura para uma data anterior.
Elementos de uma Operação de Desconto:
Valor Nominal (N):
Significa o nosso valor monetário, devido numa data futura. Normalmente, o
valor nominal figura nas questões como sendo uma obrigação (uma dívida, ou
coisa parecida) que tem que ser paga numa data posterior à de hoje.
52
“Suponhamos que eu tenho uma
dívida, no valor de R$ 5.000,00,
que tem que ser paga daqui a três
meses, mas pretendo antecipar o
pagamento dessa dívida e pagá-la
hoje.”
Porque estará sofrendo
uma operação
financeira a qual
chamaremos de
DESCONTO.

Valor Atual (A):
Também chamado de “Valor Líquido” ou “Valor Descontado”. Significa o quanto
representa o Valor Nominal, quando “projetado”para uma data anterior! É o
quanto pagaremos hoje por aquele nosso título! Por isso recebe esse nome de
Valor Atual. Porque atual é hoje!
.
Desconto (d):
Se eu devia uma quantia qualquer, a ser paga numa data futura, e resolvo
antecipar o pagamento desse valor, já sei que irei pagar hoje um valor menor
do que o que era devido.
Essa diferença entre o valor que era devido no futuro e o valor menor que
pagarei hoje (em função da antecipação do pagamento) é exatamente o que
chamaremos de Desconto.
Utilizaremos a fórmula:
Outras formas que a equação acima pode assumir são as seguintes:
N = d + A
e
O Valor Atual será necessariamente menor que o Valor
Nominal, uma vez que, na linha do tempo, está sempre
numa data anterior.
d = N – A
A = N – d
Tempo de Antecipação (t):
Sabemos que na operação de desconto estamos na verdade “projetando” um
valor monetário para uma data anterior. Então, “t”será, numa questão de
desconto, a distância de tempo entre o Valor Nominal e o Valor Atual. Se o
Valor Nominal representar uma dívida que seria paga numa data futura, e
pretendemos pagá-la hoje, então “t” será o “tempo de
antecipação” do pagamento daquela obrigação.
Simplesmente isso!
Taxa (i):
Este elemento já é nosso velho conhecido. É ela, a Taxa, a responsável por
realizar a “mágica” da Matemática Financeira. É ela quem faz com que os
valores monetários nunca fiquem parados com o transcorrer do tempo! E é
também ela que faz com que uma quantia vencível (devida)
numa data futura diminua de valor, caso venha a ser projetada para uma data
anterior.
Da mesma forma que vimos no assunto de Juros, também aqui no Desconto
teremos taxas no Regime Simples.
53

Daí, continua valendo aquela nossa primeira preocupação: descobrir em qual
dos regimes (simples ou composto) estamos trabalhando nossa operação de
desconto!
Se a taxa é simples, estaremos numa questão de Desconto Simples.
Se é composta, estaremos numa questão de Desconto Composto,
caso este, que não veremos nesse curso.
Quando se lê uma questão de desconto, antes de iniciarmos a sua resolução,
temos, impreterivelmente, que descobrir duas coisas:
Qual o regime desta operação de desconto? Simples ou Composto? Ou
seja, estamos numa questão de Desconto Simples ou de Desconto
Composto( não veremos esse caso)?
Qual o tipo, ou seja, qual a modalidade desta operação de desconto? É
o Desconto por Dentro, ou o Desconto por Fora?
Somente após respondidas estas duas perguntas, é que estaremos aptos a
iniciar a resolução da questão. Nunca antes!
Aprenderemos a identificar e a resolver as questões de Desconto Simples,
nas duas modalidades (por dentro e por fora).
Sabemos que o Valor Atual é sinônimo de Valor Líquido. E o líquido fica
onde? Fica
dentro da garrafa. Logo, o líquido fica dentro! E líquido é o Atual.
E o nome da garrafa, fica onde? Por fora! Assim, por fora é o Valor Nominal.
Veja o resumo no esquema:
Uma forma de
memorizar isso é
pensando numa garrafa
DESCONTO POR DENTRO OU RACIONAL 100% É O VALOR LÍQUIDO
DESCONTO POR FORA OU COMERCIAL 100% É O VALOR NOMINAL
54

O Desconto Comercial [ Dc ], bancário ou por fora, o equivalente a
juros simples, produzido pelo valor nominal [N] do título no período de
tempo correspondente e a taxa fixada é:
Onde: Dc = Desconto comercial; N = valor nominal; i = Taxa de desconto [i ÷
100], t = prazo.
Desconto Racional [Dr] ou por dentro, é o equivalente a juros simples,
produzido pelo valor atual do título numa taxa fixada e durante o tempo
correspondente.
Exemplos:
Dc = N . i . t
= = = =
1 1 1 1
1. Um título no valor de R$ 14.000,00 foi descontado num banco 3 meses antes
do vencimento,
a uma taxa de desconto comercial de 3,5% a.m..
a) Calcule o desconto;
b) Calcule o valor líquido recebido pelo empresa. [Valor Atual – VA]
SOLUÇÃO: a) Dc = N. i. t
A = N - d
Dc = 14.000 . [(3,5/100) . 3] b) Ac = N - dc
N: 14.000 Dc = 14.000 . [0,035 . 3] Ac = 14000 - 1470
i: 3,5% a.m. Dc = 14.000 . 0,105 Ac = 12.530,00
t: 3 meses. Dc = 1.470,00
55

2. Uma empresa descontou num banco um título de valor nominal igual a R$
90.000,00, 40 dias antes do vencimento, a uma taxa de desconto comercial de
30% a.a..
a) Qual o desconto comercial;
b) Calcule o valor líquido recebido pela empresa. [Valor Atual – VA]
A = N - d
SOLUÇÃO:
Dc = N. i. t Dc = 90.000 x {[(30/100)/360] x 40} Ac = N - dc
N: 90.000 Dc = 90.000 x {[0,30/360] x 40} Ac = 90000 - 3000
i: 30% a.a. Dc = 90.000 x 0,000833333 x 40 Ac = 87.000,00
t: 40 dias. Dc = 90.000 x 0,033333333
Dc = 3.000,00
3. Uma duplicata de valor nominal igual a R$ 8.000,00, foi descontada num
banco dois meses antes do vencimento, a uma taxa de desconto comercial de
2,50% a.m..
a) Qual o desconto comercial;
b) Calcule o valor líquido recebido pela empresa. [Valor Atual – VA]
SOLUÇÃO: A = N - d
Dc = N. i. t Dc = 8000 x [(2,50/100) x 2] b) Ac = N - dc
N: 8000 Dc = 8000 x [0,025 x 2} Ac = 8000 - 400
i: 2,5% a.a. Dc = 8000 x 0,05 Ac = 7.600,00
t: 2 meses. Dc = 400,00
56

4. Uma dívida de R$ 13.500,00, será saldada 3 meses antes do seu
vencimento. Que desconto racional será obtido, se a taxa de juros que reza
no contrato é de 30% a.a.?
.
1- Determinar o desconto racional em cada
uma das hipóteses abaixo, adotando-se o
ano comercial.
Valor Nominal
Taxa de Juros
Prazo de Antecipação
a) R$ 12.000,00
27,30% a.a.
7 meses
b) R$ 4.200,00
18,0% a.a.
120 dias
c) R$ 7.400,00
33,0% a.a.
34 dias
SOLUÇÃO: N: 13.500 t: 3 meses i: 30% a.a. Dr = ?
= = 1 1 = = 1
1 1
1 1 2
2
1 1 2
2
1 1 2 2 1 1
= = = =
1 1 2 2 1 1
1 1 1 1 1 1 2 2
= = = =
1 1 1 1
= = 4 4 1 1 4 4
R$ 941,86 é, portanto, o desconto racional obtido pelo resgate antecipado da dívida.
Resolução de problemas:
57
d) R $ 3.700,00
21,0% a.a.
5 meses e 20 dias
RESPOSTAS:
a) Dr = 1.648,48
b) Dr = 237, 74
c) Dr = 223,66
d) Dr = 333,81
2- Considere um título cujo valor nominal
seja $10.000,00. Calcule o desconto
racional a ser concedido para um resgate
do título 3 meses antes da data de
vencimento, a uma taxa de desconto de 5%
a.m. R. R$1304,35

3- Considere um título cujo valor nominal
seja $10.000,00. Calcule o desconto
comercial a ser concedido para um resgate
do título 3 meses antes da data de
vencimento, a uma taxa de desconto de 5%
a.m. R. R$1500,00
4- (Fiscal - MS-2000) Uma empresa
descontou em um banco uma duplicata de
R$2.000,00 dois meses e meio antes do
seu vencimento, a uma taxa de desconto
comercial de 4% a. m. O valor líquido a
recebido é de: R. A
A) R$ 1.800,00
B) R$ 1.600,00
C) R$ 1.300,00
D) R$ 1.200,00
E) R$ 1.500,00
5- (AFRF - 2003) Um título sofre um
desconto comercial de R$9810,00 três
meses antes do seu vencimento a uma taxa
de desconto simples de 3% ao mês.Indique
qual seria o desconto à mesma taxa se o
desconto fosse simples e racional. R. E
a) R$ 9810,00
b) R$ 9521,34
c) R$ 9500,00
d) R$ 9200,00
e) R$ 9000,00
Espaço reservado para observações
58
6- Um título de R$ 5.000,00 vai ser
descontado 60 dias antes do vencimento.
Sabendo-se que a taxa de juros é de 3%
a.m. pede-se calcular o desconto comercial
e o valor descontado.
Resposta: desconto = R$ 300,00 e valor
descontado ou valor líquido = R$
4.700,00
7- Determine o valor nominal de um título
que, descontado comercialmente, 60 dias
antes do vencimento e à taxa de 12% ao
mês, resultou um valor descontado de R$
608,00. R. R$ 800,00
8- Qual o prazo de antecipação de um título
que descontado racionalmente, à taxa de
juros de 8% a. m. produziu um desconto
equivalente a 1/6 do seu valor nominal? R.
2 meses e 15 dias
9- Calcule o desconto por dentro sofrido por
uma duplicata de R$ 8.320,00, descontada
à taxa de 6% a.a., 8 meses antes do seu
vencimento. R. R$ 320,00
10- A que taxa anual, um título de R$
2.000,00, em 6 meses, dá R$ 400,00 de
desconto por fora? R. 40% a.a.

Equação do 1º Grau
Forma: ax + b = 0, onde a e b são números reais com a ≠ 0
Importante:
• Quando a equação resultar em
0x = b
Onde b é um número real, diferente de zero, a equação não tem solução.
0x = 0
• Quando a equação resultar em
Qualquer valor de x real satisfaz a equação.
Contextualizando: Os táxis da cidade onde João Vitor reside, cobram R$ 1,20
por quilômetro rodado mais R$ 3,50 pela corrida, a conhecida “bandeirada”.
João Vitor foi de táxi da sua casa até a escola e pagou um total de R$ 8,30. A
distância que o táxi percorreu de sua casa até a escola foi de:
Formulação Matemática: 1,20 x + 3,50 = 8,30
Exemplos de problemas:
1. A soma de três números inteiros e consecutivos é 60. Qual é o
produto desses três números.
2. Um reservatório contém combustível até 2/5 de sua capacidade
total e necessita de 15 litros para atingir 7/10 da mesma. Qual é a
capacidade total desse reservatório?
3. Uma herança constituída de barras de ouro foi totalmente dividida
entre três irmãs: Ana, Beatriz e Camile. Ana, por ser a mais velha,
recebeu a metade das barras de ouro, e mais meia barra. Após
Ana ter recebido sua parte, Beatriz recebeu a metade do que
sobrou, e mais meia barra. Coube a Camile o restante da
herança, igual a uma barra e meia. Assim, o número de barras de
ouro que Ana recebeu foi:
4. (EMBRAPA 94) Conta-se que, certa vez, um bêbado entrou em
uma igreja e prometeu contribuir com R$ 300,00 para os pobres
se Santo Antônio duplicasse o dinheiro que ele tinha no bolso. O
milagre aconteceu e o bêbado colocou R$ 300,00 na caixa de
esmolas. E gostou tanto que prometeu dar mais R$ 300,00 se o
Santo, outra vez, multiplicasse por dois o dinheiro que ele tinha
no bolso. Novamente o milagre aconteceu, mas quando o bêbado
60

colocou os R$ 300,00 na caixa de esmolas, percebeu que ficara
sem dinheiro algum. O dinheiro que o bêbado entrou na igreja foi:
5. (TRE 2002 CE) Do total de X funcionários de uma repartição
pública que fazem a condução de veículos automotivos, sabe-se que
1/5 efetuam o transporte de materiais e equipamentos e 2/3 do
número restante, o transporte de pessoas. Se os demais 12
funcionários estão temporariamente afastados de suas funções,
então X é igual a.
a) 90
b) 75
c) 60
d) 50
e) 45
Equação do 2º Grau
Forma: ax 2 + bx + c = 0, onde a, b e c são números reais com a ≠ 0.
Para resolvê-la usaremos a formula de Báskara.
− b ± Δ
2a
2 2
ax + bx + c = 0 ⇒ x = onde Δ = b − 4ac
Conforme o valor do discriminante Δ existem três possibilidades quanto á
natureza da equação dada.
⎧Δ > 0 → Existem duas raizes reais e desiguais
⎪
⎨Δ
= 0 → Existem duas raizes reais eiguais
⎪
⎩Δ
< 0 → Existem duas raizes complexas da formaα ± β −1
Quando ocorre a última possibilidade é costume dizer-se que não existem
raízes reais, pois, de fato, elas não são reais já que não existe, no conjunto dos
números reais, a quando a < 0.
61

Atenção!
Na resolução das equações podemos nos valer
de algumas operações e transformá-las em
equações equivalentes, isto é, que apresentam
o mesmo conjunto solução no mesmo universo.
Vejamos algumas destas propriedades.
1. Quando adicionamos ou subtraímos um mesmo número aos dois
membros de uma igualdade, esta permanece verdadeira.
Conseqüência.
Observemos a equação: X + 2 = 3
Subtraindo 2 nos dois membros da igualdade, temos:
X + 2 = 3 ⇔ x + 2 – 2 = 3 – 2, assim:
X+2 = 3 ⇔ x=1
2. Quando multiplicamos ou dividimos os dois membros de uma igualdade
por um número diferente de zero, a igualdade permanece verdadeira.
Conseqüência.
Observemos a equação: -2x = 6
Dividindo por -2 os dois membros da igualdade, temos:
−2x
6
− 2x = 6 ⇔ = , assim:
−2 − 2
− 2x = 6 ⇔ x = − 3
a = b ⇔ a + c = b + c
ou
a = b ⇔ a − c = b − c
a = b ⇔ a ⋅ c = b ⋅c
ou
a b
a = b ⇔ =
c c
62

Resolução de problemas
1. As idades de duas
pessoas há 8 anos estavam na
razão de 8 para 11; agora
estão na razão de 4 para 5.
Qual é a idade da mais velha
atualmente?
2. Sabendo-se que o número x
representa o valor de 2-(-3+5 )-
[-1+ (-3+4 ) -(-2-6), quanto vale:
a. o dobro do número x ?
b. o quadrado do número
x?
3. Duas pessoas, A e B, disputam
100 partidas de um certo
jogo.Cada vez que A vence
uma partida recebe 20 reais de
B e cada vez que B vence,
recebe 30 reais de A. se A
vencer 51 partidas, ele terá
lucro ou prejuízo? De quantos
reais?
4. Qual é o valor numérico da
expressão a³ - 3a²x², quando a
= 10 e x = 2?
5. A cada quilômetro rodado, um
carro consome 0,12 litros de
combustível. Quantos litros
esse carro vai consumir, se
percorrer 82,5 km?
6. Em um terreno retangular, o
comprimento tem 10 metros a
mais que a largura. Se
representarmos pela letra x o
número de metros da largura, o
comprimento será
representado por x+10. Se o
triplo da largura é igual ao
dobro do comprimento, escreva
uma equação que represente
esse fato.
63
7. O campeonato de Fórmula 1
terminou com o campeão
levando 7 pontos de vantagem
sobre o vice-campeão.Se os
dois juntos, campeão e
vice,somaram 173 pontos no
final da temporada, quantos
pontos cada um marcou nessa
temporada?
8. Com 22 livros de 3 cm e 7 cm
de espessura formou-se uma
pilha de 106 cm de
altura.Quantos livros de cada
espessura foram colocados?
9. (OLIMPÍADA DE
MATEMÁTICA-SP) Uma classe
quis dar a uma professora um
presente que custava R$
720,00. Calculou-se a quantia
que cada aluno deveria dar.
Porém, cinco alunos de outra
classe quiseram participar da
compra do presente, e com
isso, coube a cada um R$ 2,00
a menos na quantia
anteriormente combinada.
Quantos alunos havia na
classe?
10. (PUC-SP) Um terreno
retangular de área 875m² tem o
comprimento excedendo em 10
metros a largura. Quais são as
dimensões do terreno?
Assinale a equação que
representa o problema acima:
a. x² + 10x-875 = 0 b)
x² +10x+875 = 0 c)
x² - 10x+875 = 0
d) x² + 875x-10 = 0

11. (U.C. SALVADOR-BA) Um
professor dispunha de 144
doces para dividir igualmente
entre os alunos de sua classe.
Como no dia da distribuição
faltaram 12 alunos, ele dividiu
os 144 doces igualmente entre
os presentes, cabendo a cada
aluno 1 doce a mais. O número
de alunos presentes no dia da
distribuição era:
a) 36 b) 40 c) 42 d) 48
Inequação do 1º Grau
64
12. Um norte-americano, fazendo
turismo numa pequena cidade
da Amazônia, entrou numa loja
e comprou alguns pacotes de
guaraná em pó, gastando R$
90,00. No dia seguinte, ele
voltou a loja, mas cada pacote
já custava R$ 2,00 a mais que
no dia anterior. Dessa vez ele
gastou R$ 70,00. No total o
americano comprou 80 pacotes
de guaraná. Quantos ele
comprou no primeiro dia? E no
segundo?
Uma inequação do 1° grau na incógnita x é qualquer expressão do 1° grau
que pode ser escrita numa das seguintes formas:
ax + b > 0;
ax + b < 0;
ax + b ≥ 0;
ax + b ≤ 0.
Onde a, b são números reais com a ≠ 0.
Exemplos:
-2x + 7 > 0
x - 10 ≤ 0
2x + 5 ≤ 0
12 - x < 0
Resolvendo uma inequação de 1° grau
Uma maneira simples de resolver uma equação do 1° g rau é isolarmos a
incógnita x em um dos membros da igualdade. Observe dois exemplos:
Exemplo1: Resolva a inequação -2x + 7 > 0.
Solução:
-2x > -7
Multiplicando por (-1)
2x < 7
x < 7/2

Portanto a solução da inequação é x < 7/2.
Exemplo 2: Resolva a inequação 2x - 6 < 0.
Solução:
2x < 6
x < 6/2
x < 3
Portanto a solução da inequação e x < 3
Pode-se resolver qualquer inequação do 1° grau por meio do estudo do sinal
de uma função do 1° grau, com o seguinte procedimen to:
1. Iguala-se a expressão ax + b a zero;
2. Localiza-se a raiz no eixo x;
3. Estuda-se o sinal conforme o caso.
Exemplo 1:
-2x + 7 > 0
-2x + 7 = 0
x = 7/2
Exemplo 2:
2x – 6 < 0
2x - 6 = 0
x = 3
Exemplo 2: Quais os valores de x na desigualdade x – 3 ≤ 2x +5 < x +1
responder
65

Conjunto dos números reais (IR)
Dados os conjuntos dos números racionais (Q) e dos irracionais, definimos
o conjunto dos números reais como:
IR=Q ∪ {irracionais} = {x|x é racional ou x é irracional}
O diagrama abaixo mostra a relação entre os conjuntos numéricos:
Portanto, os números naturais, inteiros, racionais e irracionais são todos
números reais. Como subconjuntos importantes de IR temos:
IR* = IR-{0}
IR+ = conjunto dos números reais não negativos
IR_ = conjunto dos números reais não positivos
Obs: entre dois números inteiros existem infinitos números reais. Por exemplo:
Entre os números 1 e 2 existem infinitos números reais:
1,01 ; 1,001 ; 1,0001 ; 1,1 ; 1,2 ; 1,5 ; 1,99 ; 1,999 ; 1,9999 ...
Entre os números 5 e 6 existem infinitos números reais:
5,01 ; 5,02 ; 5,05 ; 5,1 ; 5,2 ; 5,5 ; 5,99 ; 5,999 ; 5,9999 ...
66
Vamos relembrar os números
reais e intervalos para
entendermos inequações do 2º
grau?

Intervalos reais
Intervalos finitos
Com as convenções seguintes podemos definir os conceitos de intervalo.
(a,b) = {x R: a < x < b}
[a,b] = {x R: a < x < b}
(a,b] = {x R: a < x < b}
[a,b) = {x R: a < x < b}
Geometricamente, podemos visualizar os quatro tipos de intervalos com
extremidades finitas, pondo-se um círculo vazio onde não vale a igualdade e
um círculo preenchido onde vale a igualdade.
Intervalos infinitos
Consideremos inf = infinito. Define-se o intervalo (a,+inf) como o conjunto de
todos os números reais maiores do que a, isto é:
(a,+inf) = {x R: x > a} (-inf,a) = {x R: x < a}
e também os intervalos:
[a,+inf) = {x R: x > a} (-inf,a] = {x R: x < a}
e uma notação comum é:
R = (-inf, +inf)
67

Inequações do 2º grau
Para resolvermos uma inequação do 2o grau, utilizamos o estudo do
sinal. As inequações são representadas pelas desigualdades: > , > , < , < .
Exemplos:
1)
2
x − 3x + 2 > 0
Resolução:
2
x − 3x + 2 > 0
x' = 1, x''
= 2
Como desejamos os valores para os quais a função é maior que zero devemos
fazer um esboço do gráfico e ver para quais valores de x isso ocorre.
Vemos, que as regiões que tornam positivas a função são: x2
Resposta: { x ∈
R| x2}
68

Inequações simultâneas
i x x
Exemplo: Calcule o conjunto solução da inequação
Resolução:
2
) − 2 + 1 > 1
ii x x
2
) − 2 + 1 < 0
resolvendo( i)
:
2
x x
− 2 + 1 > 1
2
x x
− 2 > 0
x ' = 0, x '' = 2
resolvendo( ii)
:
2
x x
− 2 + 1 < 0
x ' = x '' = 1
Determinado x’ e x’’ , fazer o estudo do sinal para cada função.
69
2
1 < x − 2x +1 < 0
i) x2 ii) x diferente de 1.
Calcular a solução S, que é dada pela interseção dos intervalos de S1 e S2.
Obs: o quadro de resposta será preenchido pelo intervalo achado.

Resposta: { x ∈ R | x < 0 ou x > 2}
Resolução de exercícios
1. ( CESGRANRIO ) O conjunto solução da
inequação x 2 - 3x - 10 < 0 é:
a. (- °° , - 2)
b. (- °° , - 2) (5, °°)
c. (- 2, 5) X
d. (0, 3)
e. (3, 10)
2. (PUC - MG) - A solução da inequação x 2
x é o intervalo real:
a. (- °° , - 11]
b. [- 1, °° )
c. [-1, 0 ]
d. [-1, 1 ]
e. [ 0, 1 ) X
3. (UEL - PR) - O conjunto dos valores
reais de x, que tornam verdadeira a
sentença 2x 2 - x < 1, é:
a. {x IR /-1/2 < x < 1} X
b. {x IR / x > 1 ou x < -1/2 }
c. {x IR / x < 1 }
d. {x IR / 1/2 < x < 1}
e. {x IR / x < -1/2 }
4.( CESGRANRIO ) - As soluções de x 2 - 2x
< 0 são os valores de x pertencentes ao
conjunto:
70
a. ( 0, 2 ) X
b. (- ºº, 0 )
c. (2, ºº )
d. (- ºº , 0 ) (2, ºº )
e. ( 0, ºº )
5. (UNESP) - O conjunto-solução da
inequação (x - 2) 2 < 2x - 1, considerando
como universo o conjunto IR, está definido
por:
a) 1 < x < 5 X
b) 3 < x < 5
c) 2 < x < 4
d) 1 < x < 4
e) 2 < x < 5
6. (UFSE) - O trinômio y = x 2 + 2kx + 4k
admitirá duas raízes reais e distintas se, e
somente se:
a. k > 4
b. k > 0 e k 4
c. k < 0 ou k > 4 X
d. k 0 e k 4
e. 0 < k < 4
7. (CESGRANRIO) A menor solução inteira
de x 2 - 2x - 35 < 0 é:

a. -5
b. -4 X
c. -3
d. -2
e. -1
8. ( UFSC ) A equação 2x 2 - px + 8 = 0 tem
raízes reais e distintas para p satisfazendo
as condições:
a. p 8 ou p -8
b. -8 p 8
c. p 8 ou p > 8
d. p < -8 ou p 8
e. p < -8 ou p > 8 X
9. ( PUC - SP ) Os valores de m R, para
os quais o trinômio y = ( m - 1 ) x 2 + mx + 1
tem dois zeros reais e distintos, são:
71
a. m 1 e m 2; X
b. 1 m 2;
c. m 1;
d. m 2;
e. m = 2
10. ( FATEC - SP ) Os valores de k, k Z ,
para que os quais a equação kx 2 + 9 = kx -3
não admite solução real, pertence ao
intervalo:
a. (-ºº, -10 )
b. ( -10, -5 )
c. ( -2, 0 )
d. ( 0, 48 ) X
e. ( 48, 100 )
Espaço reservado para observações

• Medidas de comprimento
Sistema Métrico Decimal
A história nos mostra que desde tempos muito antigos os povos foram criando
suas unidades de medida. Cada um deles possuía suas próprias unidadespadrão.
Com o desenvolvimento do comércio foi ficando cada vez mais difícil a
troca de informações e as negociações entre os povos, devido a tantas
medidas diferentes. Foi necessário que se adotasse um padrão de medida
único para cada grandeza.
À época da Revolução francesa, em 1791, representantes de vários países
reuniram-se para discutir a adoção de um sistema único de medidas. Surgiu
então o sistema métrico decimal.
Metro
A origem da palavra metro vem do grego métron e significa "o que mede".
Inicialmente foi estabelecido que a medida do metro seria a décima
milionésima parte da distância do Pólo Norte ao Equador, no meridiano que
passa por Paris.
No Brasil o metro foi adotado oficialmente em 1928.
Múltiplos e Submúltiplos do Metro
Além da unidade fundamental de comprimento, o metro, existem ainda os seus
múltiplos e submúltiplos, cujos nomes são formados com o uso dos prefixos:
quilo, hecto, deca, deci, centi e mili. Observe o quadro:
Múltiplos
Unidade
Fundamental
73
Submúltiplos
quilômetro hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro
km hm dam m dm cm mm
1.000m 100m 10m 1m 0,1m 0,01m 0,001m
Os múltiplos do metro são utilizados para medir grandes distâncias, enquanto
os submúltiplos, para pequenas distâncias. Para medidas milimétricas, em que
se exige precisão, utilizamos:
mícron (µ) = 10 -6 m angströn (Å) = 10 -10 m
Para distâncias astronômicas utilizamos o Ano-luz (distância percorrida pela luz
em um ano):
Ano-luz = 9,5 · 10 12 km

O pé, a polegada, a milha e a jarda são unidades não pertencentes ao sistema
métrico decimal. São utilizadas em países de língua inglesa. Observe as
conversões abaixo:
Pé = 30,48 cm
Polegada = 2,54 cm
Jarda = 91,44 cm
Milha terrestre = 1.609 m
Milha marítima = 1.852 m
Observe que:
1 pé = 12 polegadas
1 jarda = 3 pés
LEITURA DAS MEDIDAS DE COMPRIMENTO
Com a ajuda do quadro de unidades, podemos efetuar a leitura das medidas de
comprimento. Acompanhe a seqüência para lermos a seguinte medida: 15,048
m.
1º) Escrever o quadro de unidades:
km hm dam m dm cm mm
2º) Colocar o número no quadro de unidades, localizando o último algarismo da
parte inteira sob a sua respectiva medida.
km hm dam m dm cm mm
1 5 0 4 8
3º) Ler a parte inteira acompanhada da unidade de medida do seu último
algarismo e a parte decimal acompanhada da unidade de medida do último
algarismo da mesma.
Portanto, lemos: 15 metros e 48 milímetros
Outros exemplos:
6,07 km lê-se "seis quilômetros e sete decâmetros"
82,107 dam
lê-se "oitenta e dois decâmetros e cento e sete
centímetros".
0,003 m lê-se "três milímetros".
74

Observe as seguintes transformações:
Transforme 16,584hm em m.
TRANSFORMAÇÃO DE UNIDADES
km hm dam m dm cm mm
Para transformar hm em m (duas posições à direita) devemos multiplicar por
100 (10 x 10).
Medidas e comprimento
PERÍMETRO DE UM POLÍGONO
16,584 x 100 = 1.658,4
Ou seja,
16,584hm = 1.658,4m
Perímetro de um polígono é a soma das medidas dos seus
lados.
Perímetro do retângulo
b - base ou comprimento
h - altura ou largura
Perímetro = 2b + 2h = 2(b + h)
75

Perímetro dos polígonos regulares
Triângulo eqüilátero
P = l+ l + l
P = 3 · l
Pentágono
P = l + l + l + l + l
P = 5 ·
Para um polígono de n lados, temos:
76
Quadrado
P = l + l + l+ l
P = 4 · l
Hexágono
P = l + l + l + l + l + l
P = 6 · l
l - medida do lado do polígono regular
P - perímetro do polígono regular
P = n · l
Dividindo-se o comprimento de uma circunferência (C) pela
medida do seu diâmetro (D), encontra-se sempre um valor
aproximadamente igual a 3,14.
Este número, 3,141592... Corresponde em matemática à letra
grega (que se lê "pi"), Costuma-se considerar = 3,14.

Introdução
• Medidas de superfície
As medidas de superfície fazem parte de nosso dia a dia e respondem a
nossas perguntas mais corriqueiras do cotidiano:
• Qual a área desta sala?
• Qual a área desse apartamento?
• Quantos metros quadrados de azulejos são necessários para revestir
essa piscina?
• Qual a área dessa quadra de futebol de salão?
• Qual a área pintada dessa parede?
Superfície e área
Superfície é uma grandeza com duas dimensões, enquanto área é a medida
dessa grandeza, portanto, um número.
Metro Quadrado
A unidade fundamental de superfície chama-se metro quadrado e
O metro quadrado (m 2 ) é a medida correspondente à superfície de um
quadrado com 1 metro de lado.
Múltiplos
Unidade
Fundamental
Submúltiplos
quilômetros hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro
quadrado quadrado quadrado quadrado quadrado quadrado quadrado
km 2 hm 2 dam 2 m 2 dm 2 cm 2 mm 2
1.000.000m 2 10.000m 2 100m 2 1m 2 0,01m 2 0,0001m 2 0,000001m 2
O dam 2 , o hm 2 e km 2 são utilizados para medir grandes superfícies, enquanto o
dm 2 , o cm 2 e o mm 2 são utilizados para pequenas superfícies.
Exemplos:
1) Leia a seguinte medida: 12,56m 2
km 2 hm 2 dam 2 m 2 dm 2 cm 2 mm 2
12, 56
Lê-se “12 metros quadrados e 56 decímetros quadrados”. Cada coluna
dessa tabela corresponde a uma unidade de área.
2) Leia a seguinte medida: 178,3 m 2
km 2 hm 2 dam 2 m 2 dm 2 cm 2 mm 2
1 78, 30
Lê-se “178 metros quadrados e 30 decímetros quadrados”
77

3) Leia a seguinte medida: 0,917 dam 2
km 2 hm 2 dam 2 m 2 dm 2 cm 2 mm 2
0, 91 70
Lê-se 9.170 decímetros quadrados.
Medidas Agrárias
As medidas agrárias são utilizadas para medir superfícies de campo,
plantações, pastos, fazendas, etc. A principal unidade destas medidas é o are
(a). Possui um múltiplo, o hectare (ha), e um submúltiplo, o centiare (ca).
Unidade
agrária
Equivalência
de valor
hectare (ha) are (a) centiare (ca)
100a 1a 0,01a
Lembre-se:
1 ha = 1hm 2
1a = 1 dam 2
1ca = 1m 2
Transformação de unidades
No sistema métrico decimal, devemos lembrar que, na transformação de unidades de
superfície, cada unidade de superfície é 100 vezes maior que a unidade imediatamente
inferior:
Observe as seguintes transformações:
• transformar 2,36 m 2 em mm 2 .
km 2 hm 2 dam 2 m 2 dm 2 cm 2 mm 2
Para transformar m 2 em mm 2 (três posições à direita) devemos multiplicar por 1.000.000
(100x100x100).
2,36 x 1.000.000 = 2.360.000 mm 2
• transformar 580,2 dam 2 em km 2 .
km 2 hm 2 dam 2 m 2 dm 2 cm 2 mm 2
Para transformar dam 2 em km 2 (duas posições à esquerda) devemos dividir por 10.000
(100x100).
580,2 : 10.000 = 0,05802 km 2
Pratique! Tente resolver esses exercícios:
78

1) Transforme 8,37 dm 2 em mm 2 (R: 83.700 mm 2 )
2) Transforme 3,1416 m 2 em cm 2 (R: 31.416 cm 2 )
3) Transforme 2,14 m 2 em dam 2 (R: 0,0214 dam 2 )
4) Calcule 40m x 25m (R: 1.000 m 2 )
Introdução
• Medidas de volume
Freqüentemente nos deparamos com problemas que envolvem o uso de três
dimensões: comprimento, largura e altura. De posse de tais medidas
tridimensionais, poderemos calcular medidas de metros cúbicos e volume.
Metro cúbico
A unidade fundamental de volume chama-se metro cúbico. O metro cúbico
(m 3 ) é medida correspondente ao espaço ocupado por um cubo com 1 m de
aresta.
Múltiplos e submúltiplos do metro cúbico
quilômetro
cúbico
Múltiplos
hectômetro
cúbico
decâmetro
cúbico
Unidade
Fundamental
decímetro
metro cúbico
cúbico
79
Submúltiplos
centímetro
cúbico
milímetro
cúbico
km 3 hm 3 dam 3 m 3 dm 3 cm 3 mm 3
3 1.000.000
1.000.000.000m
m 3
Leitura das medidas de volume
1.000m 3 1m 3 0,001m 3 3 0,000000001
0,000001m
m 3
A leitura das medidas de volume segue o mesmo procedimento do aplicado às
medidas lineares. Devemos utilizar, porém, três algarismos em cada unidade
no quadro. No caso de alguma casa ficar incompleta, completa-se com zero(s).
Exemplos.
• Leia a seguinte medida: 75,84m 3
km 3 hm 3 dam 3 m 3 dm 3 cm 3 mm 3
75, 840
Lê-se "75 metros cúbicos e 840 decímetros cúbicos".

• Leia a medida: 0,0064dm 3
km 3 hm 3 dam 3 m 3 dm 3 cm 3 mm 3
Lê-se "6400 centímetros cúbicos".
• Medidas de capacidade
0, 006 400
A quantidade de líquido é igual ao volume interno de um recipiente, afinal
quando enchemos este recipiente, o líquido assume a forma do mesmo.
Capacidade é o volume interno de um recipiente.
A unidade fundamental de capacidade chama-se litro.
Litro é a capacidade de um cubo que tem 1dm de aresta.
1l = 1dm 3
Múltiplos e submúltiplos do litro
Múltiplos Unidade Fundamental Submúltiplos
quilolitro hectolitro decalitro litro decilitro centilitro mililitro
kl hl dal l dl cl ml
1000l 100l 10l 1l 0,1l 0,01l 0,001l
Cada unidade é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior.
Leitura das medidas de capacidade
Relações
1l = 1dm 3
1ml = 1cm 3
1kl = 1m 3
• Exemplo: leia a seguinte medida: 2,478 dal
kl hl dal l dl cl ml
2, 4 7 8
Lê-se "2 decalitros e 478 centilitros".
80

Transformação de unidades
Na transformação de unidades de capacidade, no sistema métrico decimal,
devemos lembrar que cada unidade de capacidade é 10 vezes maior que a
unidade imediatamente inferior.
Observe a seguinte transformação:
• transformar 3,19 l para ml.
kl hl dal l dl cl ml
Para transformar l para ml (três posições à direita) devemos multiplicar por
1.000 (10x10x10).
3,19 x 1.000 = 3.190 ml
Pratique! Tente resolver esses exercícios:
1) Transforme 7,15 kl em dl (R: 71.500 dl)
2) Transforme 6,5 hl em l (R: 650 l)
3) Transforme 90,6 ml em l (R: 0,0906 l)
4) Expresse em litros o valor da expressão: 0,6m 3 + 10 dal + 1hl (R: 800 l)
• Medidas de tempo
Unidade Símbolo Equivalência
Segundo s
Minuto min 1 min = 60s
Hora h 1h = 3600s
81

Resoluções de Problemas
1. Calcule quantos metros estão
contidos em:
a)108km 3
b)10 cm
c)3000mm −2
d)10 mm
2. Transforme em quilômetros:
a)36000m b)3600m c)5160000cm d)5800000000mm 3. A espessura de uma folha de papel é
de 0,05mm. Seiscentas mil folhas
iguais a essa foram empilhadas até
atingirem uma altura. Calcule em
metros essa altura.
4. Sabendo que a distância entre a
Terra e a Lua é de 384 000 km,
aproximadamente, e que entre a
Terra e o Sol é de 150 000 000 km,
aproximadamente, quantas vezes a
primeira distância está contida na
segunda?
5. Calcule quantos gramas estão
contidos em:
82
a)75kg b)0,8mg −5
c)10 kg
6. Calcule o número de segundos de:
a) 1 minuto
b) 1 hora
c) 1 dia
d) 1 mês
7. Qual é duração de um espetáculo
teatral que se inicia às 19h 20min 10s
e termina às 22h 12min 15s?
8. Uma dona de casa curiosa teve a
idéia de descobrir a massa de um
grão de feijão. Utilizando uma balança
descobriu que a massa de 1000 grãos
era de 0,57 kg. Descreva de que
maneira, com esses dados, ela pode
obter a massa do grão de feijão em
miligramas.
9. (Fuvest-SP) No estádio do Morumbi
120 000 torcedores assistem a um
jogo.Através de cada uma das 6
saídas disponíveis podem passar
1000 pessoas por minuto. Qual o
tempo mínimo necessário para
esvaziar o estádio?

10. (Unifor-CE) Considerando que cada
aula dura 50min, o intervalo de tempo
de duas aulas seguidas, expresso em
segundos, é de:
a)3,0
⋅10
b)3,0
⋅10
c)3,6
⋅10
2
3
3
d)6,0
⋅10
e)7,
2⋅10 3
3
11. (Vunesp-SP) O intervalo de tempo de
2,4 min equivale, no Sistema
Internacional de Unidades (SI), a:
a) 24s
b) 124s
c) 144sX
d) 160s
e) 240s
12. Um fenômeno tem início no instante
t1= 9h 14min 30s e termina no
instante t2 = 11h 35min 20s.
Determine a duração do intervalo de
tempo em que ocorreu o fenômeno.
13. Quantos centímetros há em 2Km?
a) 2 000
b) 20 000
c) 200 000 X
d) 2 000 000
14. Um intervalo de tempo de 0,7h
corresponde a :
a) 7 minutos
b) 42minutos X
c) 70 minutos
d) 1 hora e 10 minutos
83
15. Determine a sentença falsa :
a) 2,5m = 250cm
b) 2,5m = 2 500mm
c) 3,45Km = 345m X
d) 3,45Km = 345 000cm
16. Cada bolacha recheada pesa 0,01
Kg. Essas bolachas são embaladas
em pacotes de 20, que são
agrupadas em caixas com 100
pacotes. Quantos quilos têm cada
caixa?
a) 2
b) 8
c) 10
d) 20 X
17. Uma cesta pequena de morango pesa
0,35 Kg. Um feirante leva, para
vender, 800 dessas cestas. A quantos
quilogramas isso corresponde?
a) 280 X
b) 70
c) 28
d) 7
18. Uma área de 2 m 2 eqüivale a quantos
centímetros quadrados?
a) 20 cm 2
b) 200 cm 2
c) 2 000 cm 2
d) 20 000 cm 2 X

19. Uma área de 3 Km 2 eqüivale a
quantos metros quadrados?
a) 3 000 000 m 2 X
b) 300 000 m 2
c) 30 000 m 2
d) 3 000 m 2
20. Um sítio é retangular e tem 600 m de
comprimento e 200 m de largura.
Sabendo que l hectare é igual a 10
000 m 2 , conclui-se que a área do sítio
é de :
a) 1,2 hectare
b) 120 hectares
c) 12 hectares X
d) 1 200 hectares
21. Uma caixa da água com a forma de
bloco retangular, com dimensões de 1 m
pôr 1,20 m pôr 0,80 m, tem uma
capacidade de:
a) 9,6 L
b) 96 L
c) 960 L X
d) 9 600 L
e) 96 000 L
22. Você já sabe 1 L é a quantidade de
líquido que cabe numa caneca como a que
está na figura. Daí, devemos concluir que:
84
a) 1 L = 10 cm 3
b) 1 L = 1 dm 3 X
c) 1 L = 100cm 3
d) 1 L = 3dm 3
23. Uma garrafa contém 450 ml de suco.
Juntando esse suco com 1l de água,
obtivemos 12 copos de refresco. Quantos
mililitros de refresco contêm cada copo,
aproximadamente?
a) 150 ml
b) 140 ml
c) 130 ml
d) 120 ml X
24. Um aquário tem a forma de um bloco
retangular, com 30 cm de comprimento, 20
cm de largura e 20 cm de altura. Estando
cheio até a boca, quantos litros de água o
aquário vai conter?
a) 6 L
b) 9 L
c) 12 L X
d) 14 L

Espaço reservado para seus registros
85

Noções básicas de lógica
Os dois princípios fundamentais
Princípio do terceiro excluído: uma proposição só pode ser verdadeira ou falsa ,
não havendo outra alternativa.
Princípio da não contradição: uma proposição não pode ser ao mesmo tempo
verdadeira e falsa.
Proposição
A Lógica Matemática, em síntese, pode ser considerada como a ciência do raciocínio e da
demonstração. Este importante ramo da Matemática desenvolveu-se no século XIX,
sobretudo através das idéias de George Boole , matemático inglês (1815 - 1864), criador da
Álgebra Booleana, que utiliza símbolos e operações algébricas para representar
proposições e suas inter-relações.
As idéias de Boole tornaram-se a base da Lógica Simbólica, cuja aplicação estende-se por
alguns ramos da eletricidade, da computação e da eletrônica.
A lógica matemática (ou lógica simbólica), trata do estudo das sentenças declarativas
também conhecidas como proposições , as quais devem satisfazer aos dois princípios
fundamentais
Proposição ou sentença é toda oração declarativa que pode ser classificada de
verdadeira ou falsa
Toda proposição é uma frase, mas nem toda frase é uma proposição, uma frase é uma
proposição apenas quando admite um dos dois valores lógicos: Falso (F) ou
Verdadeiro (V).
1. Frases que não são proposições
o Pare!
o Quer uma xícara de café?
o Eu não estou bem certo se esta cor me agrada
2. Frases que são proposições
o A lua é o único satélite do planeta terra (V)
o A cidade de Salvador é a capital do estado do Amazonas (F)
o O numero 712 é ímpar (F)
o Raiz quadrada de dois é um número irracional (V)
87

Os valores lógicos também costumam ser representados por 0 (zero)
para proposições falsas ( 0 ou F) e 1 (um) para proposições verdadeiras
( 1 ou V ).
As proposições são indicadas pelas letras latinas minúsculas: p, q, r, ...
Símbolos utilizados na Lógica Matemática
Conectivos
Operações lógicas
As proposições lógicas podem ser combinadas através dos operadores lógicos
∧ , ∨ , → e ↔ , dando origem ao que conhecemos como proposições
compostas . Assim , sendo p e q duas proposições simples, poderemos então
formar as seguintes proposições compostas:
p∧ q , p∨ q , p→ q , p↔ q
∼ não
∧ e
∨ ou
→ se ... então
↔ se e somente se
| tal que
⇒ implica
⇔ equivalente
∃ existe
∃ | existe um e somente um
∀ qualquer que seja
88

(Os significados dos símbolos estão indicados na tabela anterior).
Estas proposições compostas recebem designações particulares, conforme
veremos a seguir:
Conjunção (ou implicação): p∧ q (lê-se "p e q " )
Disjunção: p∨ q (lê-se "p ou q ")
Condicional: p→ q (lê-se "se p então q " )
Bi-condicional (ou equivalência): p↔ q ( "p se e somente se q")
TABELA VERDADE.
p q p∧ q p∨ q p→ q p↔ q
V V V V V V
V F F V F F
F V F V V F
F F F F V V
Da tabela acima, infere-se (deduz-se) que:
• a conjunção é verdadeira somente quando ambas as proposições são
verdadeiras.
• a disjunção é falsa somente quando ambas as proposições são falsas.
• a condicional é falsa somente quando a primeira proposição é
verdadeira e a segunda falsa.
• a bi-condicional é verdadeira somente quando as proposições possuem
valores lógicos iguais.
Ex.: Dadas as proposições simples:
p: O Sol não é uma estrela (F)
q: 3 + 5 = 8 (V )
Temos:
p∧ q tem valor lógico F
p∨ q tem valor lógico V
p→ q tem valor lógico V
p↔ q tem valor lógico F
Assim, a proposição composta
89

"Se o Sol não é uma estrela então 3 + 5 = 8"
É logicamente verdadeira, não obstante ao aspecto quase absurdo do
contexto da frase!
Nota: valor lógico verdadeiro = 1 ou V
valor lógico falso = 0 ou F
Condicional (ou implicação)
Podemos observar que é muito fácil entender (e o nosso intelecto admitir) as
regras contidas na tabela acima para a conjunção, disjunção e equivalência, ou
seja:
a conjunção "p e q" só é verdadeira quando p e q forem ambas verdadeiras.
A disjunção "p ou q" só é falsa quando p e q forem ambas falsas.
A bi-condicional só e falsa quando p e q possuem valores lógicos opostos.
Quanto à condicional "se p então q" , vamos analisá-la separadamente, de
modo a facilitar o entendimento das regras ali contidas:
p q p→ q
V V V
V F F
F V V
F F V
O raciocínio a seguir, será a base da nossa análise:
Se é dada uma proposição p e é possível fazer-se um raciocínio válido que nos
conduza a outra proposição q, consideraremos que p→ q é verdadeira.
Visto isso, vamos analisar as quatro possibilidades contidas na tabela acima:
1º) p é V e q é V: somente através de um raciocínio válido é possível partir de
uma proposição verdadeira para outra também verdadeira. Logo, p→ q é
verdadeira.
2º) p é V e q é F: não existe raciocínio válido capaz de , partindo-se de uma
proposição verdadeira chegar-se a uma proposição falsa. Logo, neste caso,
p→ q é falsa.
3º) p é F e q é V: É possível partir de uma proposição falsa e chegar-se através
de um raciocínio válido, a uma proposição verdadeira. Isto é um pouco difícil de
entender, mas acompanhe o exemplo abaixo:
Sejam as proposições:
90

p: 10 = 5 (valor lógico F)
q: 15 = 15 (valor lógico V)
Através de um raciocínio válido, vamos mostrar que é possível a partir de p
(falsa), chegar a q(verdadeira). Com efeito, se 10 = 5, então podemos dizer que
5 = 10. Somando membro a membro estas igualdades vem: 10+5 = 5+10 e
portanto 15 = 15. Portanto a partir de p FALSA foi possível, através de um
raciocínio válido chegar-se a q VERDADEIRA. Logo, p→ q é verdadeira
4º) p é F e q é F: É possível partir de uma proposição falsa e chegar-se através
de um raciocínio válido, a uma proposição também falsa. Senão vejamos:
Sejam as proposições:
p: 10 = 5 (valor lógico F)
q: 19 = 9 (valor lógico F)
Através de um raciocínio válido, vamos mostrar que é possível a partir de p
FALSA, chegarmos a q também FALSA. Com efeito, se 10 = 5, então,
subtraindo uma unidade em cada membro, obteremos 9 = 4. Somando agora
membro a membro estas duas igualdades, obtemos 10+9 = 5+4 e portanto 19
= 9, que é a proposição q dada. Logo, p→ q é verdadeira (V).
Exemplos:
1. Sendo p uma proposição verdadeira e q uma proposição falsa, qual
o valor lógico da proposição composta r: (p∧ ∼ q) → q ?
Solução: Teremos, substituindo os valores lógicos dados:
p = V , q = F e ~q = V .
r: (V ∧ V) → F , logo, pelas tabelas acima vem: r: V → F e
portanto r é falsa. Valor lógico F ou 0.
2. Qual das afirmações abaixo é falsa?
a) se Marte é um planeta então 3 = 7 - 4.
b) a soma de dois números pares é um número par e 7 2 = 49.
c) 3 = 5 se e somente se o urso é um animal invertebrado.
d) se 10 2 = 100 então todo número inteiro é natural.
e) 2 = 3 2 - 7 ou a Terra é plana.
Solução:Analisando os valores lógicos das proposições
simples envolvidas e usando-se as tabelas anteriores,
concluiremos que apenas a proposição do item (d) é falsa,
uma vez que 10 2 = 100 é V e "todo número inteiro é
natural" é F ( o número negativo -3 por exemplo é inteiro,
mas não é natural) . Portanto, temos V → F , que sabemos
ser falsa. (Veja a segunda linha da tabela verdade acima).
91

O Modificador Negação
Dada a proposição p , indicaremos a sua negação por ~p .(Lê-se “não p " ).
Ex.: p: Três pontos determinam um único plano ( V )
~p: Três pontos não determinam um único plano ( F )
Leis complementares
~(~p) = p (duas negações equivalem a uma afirmação)
p ∧ ~p = (F)
p ∨ ~p = (V)
~(V) = (F)
~(F) =(V)
Negação da condicional
~(p→ q) = p∧ ~q
Tabela1: Tabela 2:
p q p→ q ~(p→ q)
V V V F
V F F V
F V V F
F F V F
Duas negações equivalem a uma afirmação, ou
seja, em termos simbólicos: ~(~p) = p
92
p q ~q p∧ ~q
V V F F
V F V V
F V F F
F F V F

Observando as últimas colunas das tabelas verdades 1 e 2 , percebemos que
elas são iguais, ou seja, ambas apresentam a seqüência F V F F , o que
significa que ~(p→ q) = p∧ ~q .
Exemplos:
1) Qual a negação da proposição composta: "Eu estudo e aprendo"?
Resposta. "Eu não estudo ou não aprendo".
2) Qual a negação da proposição "O Brasil é um país ou a Bahia é um estado"
?
"O Brasil não é um país e a Bahia não é um estado".
3) Qual a negação da proposição: "Se eu estudo então eu aprendo" ?
"Eu estudo e não aprendo"
Tautologias e Contradições
Considere a proposição composta s: (p∧ q) → (p∨ q) onde p e q são
proposições simples
lógicas quaisquer. Vamos construir a tabela verdade da proposição s :
Considerando-se o que já foi visto até aqui, teremos:
p q p∧ q p∨ q (p∧ q) → (p∨ q)
V V V V V
V F F V V
F V F V V
F F F F V
Observe que quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições simples
p e q, a proposição composta s é sempre logicamente verdadeira. Dizemos
então que s é uma TAUTOLOGIA.
Trazendo isto para a linguagem comum, considere as proposições: p: O Sol é
um planeta
(valor lógico falso - F) e q: A Terra é um planeta plano (valor lógico falso - F),
podemos concluir que a proposição composta "Se o Sol é um planeta e a Terra
é um planeta plano então o Sol é um planeta ou a Terra é um planeta plano" é
uma proposição logicamente verdadeira.
Opostamente, se ao construirmos uma tabela verdade para uma proposição
composta, verificarmos que ela é sempre falsa, diremos que ela é uma
CONTRADIÇÃO.
93

Exemplo.: A proposição composta t: p ∧ ~p é uma contradição, senão vejamos:
p ~p p∧ ~p
V F F
F V F
NOTA: Se uma proposição composta é formada por n proposições simples, a
sua tabela verdade possuirá 2 n linhas.
Ex.: Construa a tabela verdade da proposição composta t: (p∧ q) ∨ r
Teremos:
p q r (p∧ q) (p∧ q) ∨ r
V V V V V
V V F V V
V F V F V
V F F F F
F V V F V
F V F F F
F F V F V
F F F F F
Observe que a proposição acima não é Tautologia nem Contradição.
Apresentaremos a seguir, exemplos de TAUTOLOGIAS, as quais você poderá
verificá-las, simplesmente construindo as respectivas tabelas verdades:
Sendo p e q duas proposições simples quaisquer, podemos dizer que as
seguintes proposições compostas, são TAUTOLOGIAS:
1) (p∧ q) → p
2) p → (p∨ q)
3) [p∧ (p→ q)] → q (esta tautologia recebe o nome particular de "modus
ponens")
4) [(p→ q) ∧ ~q] → ~p (esta tautologia recebe o nome particular de "modus
tollens")
94

Você deverá construir as tabelas verdades para as proposições compostas
acima e comprovar que elas realmente são tautologias, ou seja, na última
coluna da tabela verdade teremos V V V V.
NOTAS:
a) as tautologias acima são também conhecidas como regras de inferência.
b) como uma tautologia é sempre verdadeira, podemos concluir que a negação
de uma tautologia é sempre falsa, ou seja, uma contradição.
Situações – Problema de raciocínio lógico
1. Classificar em verdadeira ou
falsa cada uma das
proposições:
a)2
− 1 = 1 → 5 + 7 = 3⋅ 4
b
2 2
)2 = 4 ↔ ( − 2) = 4
c)5
+ 7 ⋅ 1 = 10 → 3⋅ 3 = 9
d)6
≤ 2 ↔ 6 − 2 ≥ 0
3 2
e)
< → 3⋅ 7 = 2⋅ 5
5 7
2. (UFBA) A proposição
se:
p ∨ q → q ∧ r é verdadeira,
a) p e q são verdadeiras
e r, falsa
b) p e q são falsas e r,
verdadeira
c) p e r são falsas e q,
verdadeira
d) p, q e r são
verdadeiras x
e) p, q e r são falsas
3. Quando João estava
passeando com seu cachorro,
encontrou o filho do marido da
filha única de sua sogra. Qual
é o parentesco dele com João?
95
4. Que número falta nesta
seqüência?
1 3 9 __ 81 243
5. Qual dos provérbios abaixo se
liga melhor com o significado
da frase "Nem tudo que reluz é
ouro"?
a. De grão em grão a galinha
enche o papo
b. Deus ajuda quem cedo
madruga
c. Quem vê cara não vê
coração
d. Há uma luz no fundo do
túnel
e. Mais vale um pássaro na
mão que dois voando
6. Outro dia, encontrei uma
pessoa amiga minha que eu
não via havia cinco anos e que
é piloto de provas;
entrementes tinha se casado e
acabara de realizar uma volta
ao mundo em balão. Junto
estava uma garotinha de uns 2
anos de idade. "Como é o
nome dela?", perguntei-lhe. "É
o mesmo da mãe dela", falou a
pessoa. "Oi, Suzana", eu disse

à garota. Como foi que
descobri o nome dela?
7. Quantos blocos há nesta
construção?
8. Abaixo estão as letras
misturadas do nome de um
objeto comum. Que objeto é
esse?
R R R R F G I A E E O D
9. Se Dora tem 10 anos,
Margarida tem 20 e Tim e Zé
têm ambos 5, mas Marta tem
10, quantos anos tem
Rosinha?
10. Se hoje é segunda-feira, qual
é o dia depois do dia antes do
dia antes de amanhã?
11. Qual das seguintes palavras é
menos parecida com as
demais?
a. Casa
b. Palácio
c. Caverna
d. Mansão
e. Estábulo
f. Canil
96
12. Por quantos noves você passa
quando conta de 1 a 100?
13. Complete a analogia com uma
das palavras abaixo: o
rabanete está para a batata
assim como o pêssego está
para...
a. O morango
b. A maçã
c. O amendoim
d. O tomate
e. A uva
14. Ana tem o mesmo número de
irmãs que tem de irmãos, mas
seu irmão Carlos tem duas
vezes mais irmãs que irmãos.
Quantos meninos e quantas
meninas existem nessa
família?
15. Que letra se seguiria
logicamente a esta série?
J, F, M, A, M, J, ?
a. M
b. J
c. E
d. R
16. Qual é a árvore que contém
todas as vogais, A E I O U
(não nessa ordem)?

17. Abaixo se vê um triângulo
dobrado. Qual dos diagramas
mostra o triângulo como ele
seria caso fosse desdobrado?
18. A seguinte frase é um provérbio
bastante comum, escrito de uma
forma complicada. Diga qual é ele
"As pessoas que residem dentro de
construções vítreas fariam muito
bem se evitassem atirar objetos
pesados"
19. O espião foi facilmente
capturado. A sua mensagem era
tão simples que o capitão
imediatamente se deu conta de sua
importância. Aqui está ela. Na
verdade, o que diz?
ALICE: TITO ALERTA CÉLULAS
ACERCA RAZÃO DE ENORME
97
MOVIMENTAÇÃO ALIADOS,
DEVIDO REBENTAMENTO UMA
GRANADA. AVISE DORITA
AGORA
20. Todas as vogais foram retiradas
desta frase e as letras restantes,
agrupadas em grupos de três. Que
frase é esta?
QMN RRS CNP TSC
21. Uma certa regra foi seguida nos
quadrados numéricos abaixo.
Descubra qual é e preencha o
ponto de interrogação com o
número correto (a regra aplica-se
vertical e horizontalmente)
24 4 6
6 1 ?
4 4 1
15 3 5
5 1 5
3 3 1
22. Qual dos desenhos marcados
com letra completa melhor a
seqüência abaixo?

1.
a) V → V = V
b) V ↔ V = V
c) F → V = V
d) F ↔ V = F
GABARITO
Raciocínio lógico parte 1
e) F → F = V
2. letra d
3. É seu filho. Desenhe um quadradinho e escreva nele "João". Noutro
escreva "sogra"; num terceiro, "filha única", que tem de ser a mulher de
João. Depois faça outro para o filho, que obviamente também tem de
ser o filho de João
4. Vinte e sete. Cada número tem três vezes o valor do número
precedente
5. (c) Uma questão de conhecimentos gerais
6. O piloto de provas é minha amiga Suzana. Você partiu do princípio
de que todos os pilotos de provas são do sexo masculino?
7. Dez. No canto de trás, a pilha é de três, embora você só veja o de
cima. A segunda fila é de dois, com um bloco escondido segurando
cada um.
8. REFRIGERADOR
9. Rosinha tem 15 anos, seguindo um raciocínio que dá cinco pontos a
cada sílaba de cada nome
10. É hoje mesmo, segunda-feira
11. (c) Caverna. Todas as outras são construções feitas pelo homem
12. Vinte
13. (b) A maçã. Ambos são frutas que crescem nas árvores, do mesmo
modo que o rabanete e a batata são legumes que crescem debaixo da
terra
14. Quatro meninas e três meninos
15. (b) J. As letras são as iniciais dos meses do ano
16. Sequóia (as respostas nogueira, cajueiro, eucalipto, cacaueiro,
salgueiro e juazeiro também valem)
17. (d) Você aqui só precisa procurar o anel branco num lado e o
triângulo com três bolas no outro
18. Quem tem telhado de vidro não deve jogar pedras
19. ATACAR DE MADRUGADA. O capitão pegou a primeira letra de
cada palavra. Com elas, montou a frase
20. QUEM NÃO ARRISCA NÃO PETISCA
21. Seis. O primeiro número de cada linha é dividido pelo segundo para
se obter o terceiro
22. (d) A figura de fora gira no sentido dos ponteiros do relógio, de
quarto em quarto; a linha move-se do lado esquerdo para o lado direito
e de volta novamente; a figura menor gira no sentido contrário ao dos
ponteiros do relógio, de quarto em quarto
98

Raciocínio lógico parte II
1. Sabe-se que existe pelo menos um A
que é B. Sabe-se, também, que todo B é C.
Segue-se, portanto, necessariamente que:
a) todo C é B
b) todo C é A
c) algum A é C
d) nada que não seja C é A
2. Se o jardim não é florido, então o gato
mia. Se o jardim é florido, então o
passarinho não canta. Ora, o passarinho
canta. Logo:
a) o jardim é florido e o gato mia
b) o jardim é florido e o gato não mia
c) o jardim não é florido e o gato mia
d) o jardim não é florido e o gato não mia
3. Assinale a alternativa que substitui
corretamente a interrogação na seguinte
seqüência numérica: 6 11 ? 27
a) 15
b) 13
c) 18
d) 57
4. Considere verdadeira a declaração:
"Todo prudentino conhece a cidade de
Presidente Prudente".
Com base nessa declaração, assinale a
opção que corresponde a uma
argumentação correta.
a) Ana não conhece Presidente Prudente,
portanto não é prudentina.
b) Bruna conhece Presidente Prudente,
portanto não é prudentina.
c) Cláudia conhece Presidente Prudente,
portanto é prudentina.
d) Dora não é prudentina, portanto não
conhece Presidente Prudente.
5. Caso Antonio seja mais alto que o
Atanásio e Maurício seja mais baixo que o
Antonio, mas não seja o mais baixo dos
99
três, podemos concluir que Atanásio é o
mais baixo dos três. Diante da conclusão
apresentada, podemos afirmar que ela é:
a) Necessariamente verdadeira.
b) Verdadeira, mas não necessariamente.
c) Necessariamente falsa.
d) Falsa, mas não necessariamente.
6. Considere como verdadeiras as
seguintes hipóteses.
1. Todo felino é um quadrúpede.
2. Todo quadrúpede é um anfíbio.
3. Nenhum mamífero é anfíbio
4. O gato Miau é um mamífero.
5. O gato Miau é uma onça.
Tendo apenas essas cinco hipóteses como
premissas, assinale alternativa que se
segue logicamente como conclusão.
a) Algum felino não é anfíbio.
b) Todo felino é mamífero.
c) Nem toda onça é um felino.
d) O gato Miau é um felino.
7. Dividindo x em três partes tais que a
terceira seja a quarta parte da segunda, e a
segunda seja a terça parte da primeira,
obteremos os três números, tais que o
dobro do primeiro menos três vezes o
segundo, mais oito vezes a terceira parte,
resultará em 80. Qual é o valor de x?
a) 68.
b) 48.
c) 58.
d) 98.
8. 2 melancias custam o mesmo que 9
laranjas mais 6 bananas; além disso, meia
dúzia de bananas custa a metade de uma
melancia. Portanto, o preço pago por uma
dúzia de laranjas e uma dúzia de bananas
é igual ao preço de:
a) 3 melancias
b) 4 melancias
c) 6 melancias
d) 5 melancias

9. Em uma pequena comunidade, sabe-se
que: "nenhum filósofo é rico" e que "alguns
professores são ricos". Assim, pode-se
afirmar, corretamente, que nesta
comunidade:
a) alguns filósofos são professores
b) alguns professores são filósofos
c) nenhum filósofo é professor
d) alguns professores não são filósofos
10. Madalena tinha vários biscoitos. Depois
de comer um, deu metade do que restou
para a irmã. Depois de comer outro
biscoito, deu a metade do que restou ao
irmão. Agora só lhe restam cinco biscoitos.
Quantos biscoitos ela tinha inicialmente?
a) 11 b) 22
c) 23 d) 45
11. Num concurso de saltos, Otávio foi,
simultaneamente, o 13º melhor e o 13º pior.
Quantas pessoas estavam na competição?
a)13 b) 25
c) 26 d) 27
12. Se algumas vacas tiverem chifres, e
todos os porcos comerem animais com
chifres, qual das seguintes afirmações pode
ser verdadeira:
a)Todas as vacas seriam comidas por
porcos.
b) Todos os porcos seriam comidos por
vacas.
100
c)Algumas vacas seriam comidas por
porcos.
d) Nenhuma das anteriores.
13. Os cães verdes são animais
verdadeiros.
Todos os animais verdadeiros precisam de
comida.
Portanto:
a) O meu cão é verde porque precisa de
comida.
b) Cães, todos verdes, precisam de comida.
c) Certos cães verdes não precisam de
comida.
d) Alguns cães verdes não são animais
verdadeiros.
14.Qual o próximo número da seqüência
abaixo?
1, 2, 4, 7, 11,...
15. Três amigas encontram-se em uma
festa. O vestido de uma delas é azul,o de
outra é preto, e o da outra é branco. Elas
calçam pares de sapatos destas mesmas
três cores, mas somente Ana está com
vestido e sapatos de mesma cor. Nem o
vestido nem os sapatos de Júlia são
brancos. Marisa está com sapatos azuis.
Desse modo:
a) o vestido de Júlia é azul e o de Ana é
preto.
b) o vestido de Júlia é branco e seus
sapatos são pretos.
c) os sapatos de Júlia são pretos e os de
Ana são brancos.
d) os sapatos de Ana são pretos e o
vestido de Marisa é branco.

Gabarito
Raciocínio lógico
Parte II
1 c 11 b
2 c 12 c
3 c 13 b
4 a 14 16
5 a 15 c
6 c
7 a
8 a
9 d
10 c
Espaço reservado para seus registros
101