Investigações Matemáticas e Trigonometria - Departamento de ...
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS<br />
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS<br />
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA<br />
INVESTIGAÇÕES MATEMÁTICAS E TRIGONOMETRIA: UMA<br />
ABORDAGEM NO 1º ANO DO ENSINO MÉDIO<br />
Kelly Maria <strong>de</strong> Campos Fornero Abreu <strong>de</strong> Lima Melillo (Pós-Graduanda)<br />
Profª. Drª. Maria Laura Magalhães Gomes (Orientadora)<br />
Belo Horizonte, Setembro <strong>de</strong> 2009.<br />
Minas Gerais – Brasil
RESUMO<br />
Este trabalho relata a aplicação <strong>de</strong> uma proposta <strong>de</strong> ensino sobre o ciclo<br />
trigonométrico baseada em investigações matemáticas a duas turmas <strong>de</strong> estudantes do 1º<br />
ano do Ensino Médio <strong>de</strong> uma escola pública fe<strong>de</strong>ral <strong>de</strong> Belo Horizonte.<br />
Verificou-se que a maior parte dos alunos realizou corretamente conjecturas a<br />
partir das ativida<strong>de</strong>s, justificando-as com base em conteúdos matemáticos conhecidos<br />
anteriormente.<br />
Constatou-se, assim, a possibilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> sucesso na realização da ativida<strong>de</strong><br />
investigativa quando se cria a<strong>de</strong>quadamente um ambiente <strong>de</strong> exploração, se formula um<br />
roteiro e o professor estimula as i<strong>de</strong>ias e propõe questões <strong>de</strong>safiadoras aos alunos.<br />
Espera-se que esta monografia possa contribuir para o trabalho <strong>de</strong> outros professores<br />
interessados no tema.<br />
Palavras-chave: <strong>Investigações</strong> <strong>Matemáticas</strong>, Círculo Trigonométrico, Ativida<strong>de</strong>s<br />
Experimentais.<br />
2
SUMÁRIO<br />
INTRODUÇÃO ................................................................................................................4<br />
CAPÍTULO 1: INVESTIGAÇÕES MATEMÁTICAS ...................................................6<br />
1.1 A origem da pesquisadora e da pesquisa ..................................................6<br />
1.2 O trabalho ..................................................................................................8<br />
1.3 A escola e o livro....................................................................................10<br />
1.4 <strong>Investigações</strong> matemáticas .....................................................................11<br />
CAPÍTULO 2: AS ATIVIDADES DE INVESTIGAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS... 14<br />
2.1 Ativida<strong>de</strong> 1: <strong>Trigonometria</strong> no triângulo retângulo ................................15<br />
2.2 Ativida<strong>de</strong> 2: Construção do círculo trigonométrico ................................15<br />
2.3 Ativida<strong>de</strong> 3: Medir a altura <strong>de</strong> objetos sem a utilização da sombra .......17<br />
CAPÍTULO 3: UMA ANÁLISE DOS RELATÓRIOS PRODUZIDOS PELOS<br />
ALUNOS ........................................................................................................................19<br />
3.1 As questões da ativida<strong>de</strong> 2 e as respostas dos alunos .............................20<br />
3.2 Entrevista com a dupla <strong>de</strong> alunos F e G ..................................................29<br />
CAPÍTULO 4: CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................32<br />
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ...........................................................................36<br />
ANEXOS ........................................................................................................................37<br />
Anexo 1 - Ativida<strong>de</strong> 1: <strong>Trigonometria</strong> no triângulo retângulo .............................37<br />
Anexo 2 - Ativida<strong>de</strong> 2: Construção do círculo trigonométrico ............................39<br />
Anexo 3 - Ativida<strong>de</strong> 3: Medir a altura <strong>de</strong> objetos sem a utilização <strong>de</strong> sombra .....41<br />
3
INTRODUÇÃO<br />
Os tópicos básicos <strong>de</strong> trigonometria ensinados no ensino médio são <strong>de</strong> extrema<br />
importância para que o aluno amplie as suas possibilida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> resolução <strong>de</strong> problemas,<br />
permitindo relacionar as medidas <strong>de</strong> lados e <strong>de</strong> ângulos. No entanto, se em sala <strong>de</strong> aula<br />
prevalecer uma abordagem “mecânica” da trigonometria, como é comum nos livros<br />
didáticos e nas práticas <strong>de</strong> alguns professores, frequentemente ocorrerá o não<br />
entendimento, por parte do aluno, dos conceitos chave como seno, cosseno e tangente<br />
<strong>de</strong> um ângulo. Acreditando na importância que a trigonometria tem no <strong>de</strong>senvolvimento<br />
e na formação matemática <strong>de</strong> um estudante, penso que essa falta <strong>de</strong> compreensão é algo<br />
que <strong>de</strong>ve preocupar o professor <strong>de</strong> matemática.<br />
Neste estudo, busco <strong>de</strong>screver como a utilização <strong>de</strong> ações metodológicas que<br />
incorporam experimentos e instrumentos <strong>de</strong> medidas po<strong>de</strong> contribuir para a<br />
aprendizagem da trigonometria na perspectiva da investigação. Para isso, relato como os<br />
alunos <strong>de</strong> uma turma do ensino médio <strong>de</strong> uma escola pública apren<strong>de</strong>m as noções <strong>de</strong><br />
trigonometria, quando participam <strong>de</strong> ativida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> investigações matemáticas propostas<br />
pelo professor em sala <strong>de</strong> aula.<br />
No capítulo 1, <strong>de</strong>nominado <strong>Investigações</strong> <strong>Matemáticas</strong>, <strong>de</strong>screvo minha<br />
origem e minha experiência como professora do Colégio Técnico da UFMG (Coltec),<br />
em Belo Horizonte. Nessa escola, tive meu primeiro contato com o uso <strong>de</strong> investigações<br />
matemáticas, como estratégia metodológica.<br />
Para compreen<strong>de</strong>r melhor essa metodologia <strong>de</strong> ensino, pesquisei sobre algumas<br />
ativida<strong>de</strong>s investigativas, realizadas por Ponte, Brocardo e Oliveira (2006). A partir<br />
<strong>de</strong>sta pesquisa, adaptei ativida<strong>de</strong>s para o ensino <strong>de</strong> <strong>Trigonometria</strong>, <strong>de</strong>senvolvidas pelos<br />
professores do setor <strong>de</strong> Matemática do Coltec, as quais são <strong>de</strong>scritas no capítulo 2.<br />
Além disso, neste capítulo 1, <strong>de</strong>screvo como foi realizado o trabalho, como é a escola,<br />
alvo da pesquisa, e discorro brevemente a respeito da estruturação e da condução <strong>de</strong><br />
uma aula investigativa.<br />
No capítulo 2, intitulado As Ativida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> investigação trigonométrica,<br />
apresento as três ativida<strong>de</strong>s investigativas, que são adaptações <strong>de</strong> ativida<strong>de</strong>s<br />
<strong>de</strong>senvolvidas e aplicadas no Coltec, para o ensino da <strong>Trigonometria</strong>. Embora apenas<br />
uma <strong>de</strong>las seja objeto <strong>de</strong> análise neste trabalho, julguei interessante apresentar todas as<br />
três, <strong>de</strong> modo a torná-las acessíveis ao professor leitor que se interesse em <strong>de</strong>las fazer<br />
uso em sala <strong>de</strong> aula.<br />
4
No Capítulo 3, chamado Uma análise dos relatórios produzidos pelos alunos,<br />
faço uma análise dos relatórios, produzidos pelos alunos, da Ativida<strong>de</strong> 2. Também<br />
comento a entrevista feita com uma dupla <strong>de</strong>sses alunos visando compreen<strong>de</strong>r melhor<br />
algumas <strong>de</strong> suas conjecturas e justificativas.<br />
Nas Consi<strong>de</strong>rações finais, relato os procedimentos que consi<strong>de</strong>ro importantes<br />
na realização <strong>de</strong> uma investigação matemática e aponto minha satisfação com o<br />
resultado <strong>de</strong>sta proposta <strong>de</strong> ensino, pois consi<strong>de</strong>ro que este trabalho foi eficiente.<br />
Manifesto, ainda, a expectativa <strong>de</strong> esta pesquisa ser útil para o <strong>de</strong>senvolvimento <strong>de</strong><br />
ativida<strong>de</strong>s na prática <strong>de</strong> outros professores.<br />
5
CAPÍTULO 1<br />
INVESTIGAÇÕES MATEMÁTICAS<br />
Acredito que todo ser tem suas próprias curiosida<strong>de</strong>s e inquietações. Por isso,<br />
como professora, procuro <strong>de</strong>ixar meus alunos livres para fazerem Matemática. Para o<br />
sucesso do processo <strong>de</strong> ensino-aprendizagem, em sala <strong>de</strong> aula, consi<strong>de</strong>ro importante<br />
criar ou selecionar com cuidado as ativida<strong>de</strong>s propostas aos estudantes. Penso que as<br />
ativida<strong>de</strong>s que levam os alunos a investigar, ou seja, explorar, pesquisar e procurar<br />
regularida<strong>de</strong>s aumentam a sua capacida<strong>de</strong> <strong>de</strong> solucionar problemas e pensar<br />
matematicamente.<br />
De acordo com Rocha e Ponte (2006), a realização <strong>de</strong> investigações matemáticas<br />
pelos alunos po<strong>de</strong> contribuir na aprendizagem <strong>de</strong> i<strong>de</strong>ias e conceitos matemáticos. As<br />
investigações <strong>de</strong>senvolvem conhecimentos transversais, como a capacida<strong>de</strong> <strong>de</strong><br />
comunicação e trabalho em grupo, além <strong>de</strong> contribuir na formação <strong>de</strong> novas concepções<br />
e atitu<strong>de</strong>s em relação à Matemática. Para muitos estudantes, a investigação matemática<br />
ainda é novida<strong>de</strong>, o que causa algumas dificulda<strong>de</strong>s em sua aplicação. É comum, por<br />
exemplo, os alunos usarem as mesmas estratégias que empregam para resolver<br />
exercícios, que os levam rapidamente à organização dos dados e à formulação <strong>de</strong><br />
conclusões. Além disso, eles têm a tendência natural <strong>de</strong> achar que basta testar vários<br />
exemplos para garantir a valida<strong>de</strong> <strong>de</strong> certa conjectura.<br />
Meu trabalho foi facilitado pelo fato <strong>de</strong> os estudantes, sujeitos da minha<br />
pesquisa, já estarem acostumados com o trabalho investigativo, como veremos no<br />
capítulo 3, em que apresento uma análise dos resultados.<br />
A partir das ativida<strong>de</strong>s propostas sobre trigonometria e das consi<strong>de</strong>rações sobre<br />
investigações matemáticas, espero oferecer ao professor leitor <strong>de</strong>ste trabalho uma<br />
contribuição para sua sala <strong>de</strong> aula, na medida em que po<strong>de</strong>rá fazer uso das ativida<strong>de</strong>s,<br />
bem como po<strong>de</strong>rá adquirir maior autonomia para o <strong>de</strong>senvolvimento <strong>de</strong> outras.<br />
1.1 A origem da pesquisadora e da pesquisa<br />
Des<strong>de</strong> que ingressei na Universida<strong>de</strong>, já atuei como docente em nove<br />
Instituições (quatro Pré-Vestibulares, três escolas regulares e um supletivo) e também<br />
6
trabalhei com diversos alunos dando aulas particulares em todos os níveis, do início do<br />
Ensino Fundamental ao Ensino Superior.<br />
Quando cursei a disciplina Prática <strong>de</strong> Ensino <strong>de</strong> Matemática, no 1° semestre <strong>de</strong><br />
2006, durante o curso <strong>de</strong> licenciatura em Matemática, fiz estágio no Colégio Técnico da<br />
Universida<strong>de</strong> Fe<strong>de</strong>ral <strong>de</strong> Minas Gerais, o Coltec. O estágio foi uma experiência muito<br />
rica e representou meu primeiro contato com o uso <strong>de</strong> investigações matemáticas em<br />
sala <strong>de</strong> aula para ensinar Matemática. No ano <strong>de</strong> 2007, fui selecionada para o cargo <strong>de</strong><br />
professora substituta do Coltec. Essa experiência é, sem dúvida, a motivação principal<br />
para esta monografia. No ano letivo <strong>de</strong> 2007, trabalhei com duas turmas <strong>de</strong> 1º ano,<br />
enquanto que em 2008 ministrei aulas para duas turmas <strong>de</strong> 2º ano e uma turma <strong>de</strong> 1º<br />
ano, todas elas no Ensino Médio.<br />
Durante todo esse período, busquei trabalhar a Matemática na perspectiva da<br />
construção do conhecimento pelo aluno por meio da investigação. Nessa perspectiva, o<br />
aluno não recebe o conteúdo pronto. Ele é convidado a <strong>de</strong>scobrir novos conceitos,<br />
levantar hipóteses, testar conjecturas e propor novas questões. Faço perguntas e levanto<br />
questões aos alunos e, a cada resposta, eles formulam uma conjectura. Conteúdos<br />
revisados recebem novos olhares, enquanto as novida<strong>de</strong>s sempre surgem a partir <strong>de</strong><br />
perguntas como: ‘E agora, professora, o que eu faço?’ Essas perguntas são seguidas das<br />
minhas respostas, que são novas perguntas: ‘O que você sugere?’; ‘O que já <strong>de</strong>scobriu<br />
até o momento?’; ‘Consegue ver algum padrão?’; ‘Verificou se funciona?’.<br />
No estudo <strong>de</strong> funções, por exemplo, quando convidamos os alunos a pensar<br />
sobre situações cotidianas que os levam a trabalhar com mo<strong>de</strong>los <strong>de</strong> funções, po<strong>de</strong>mos<br />
perceber mais nitidamente como a perspectiva da investigação é diferente <strong>de</strong> uma<br />
abordagem mais convencional do tema. Participando <strong>de</strong> investigações matemáticas,<br />
uma ativida<strong>de</strong> já conhecida <strong>de</strong> criar relações entre conjuntos aparece gerando várias leis<br />
e, a partir daí, novas funções. Um grupo <strong>de</strong> alunos, por exemplo, plantou grãos <strong>de</strong> feijão<br />
e avaliou o crescimento do feijão em função do tempo. Outro grupo variou a quantida<strong>de</strong><br />
<strong>de</strong> fermento em uma receita <strong>de</strong> bolo e estudou a altura atingida pelo bolo, em um<br />
mesmo tabuleiro, em função da quantida<strong>de</strong> <strong>de</strong> fermento utilizado. Houve um grupo que<br />
observou a variação do comprimento da sombra <strong>de</strong> um objeto em relação ao tempo.<br />
Para gerar a expressão algébrica que representava a função, por eles criada, os alunos<br />
7
utilizaram softwares do laboratório <strong>de</strong> Física, que possibilitam encontrar a lei que mais<br />
se adapta ao conjunto dos pontos obtidos experimentalmente. 1<br />
Historicamente, nas escolas, tem sido utilizada uma abordagem “tradicional” <strong>de</strong><br />
ensino, segundo a qual se apresentam aos alunos exposições orais dos conteúdos pelo<br />
professor, e em seguida, os estudantes trabalham com exercícios selecionados. Muitos<br />
livros didáticos reforçam essa prática <strong>de</strong> sala <strong>de</strong> aula que, por sua vez, reforça o estilo<br />
dos livros.<br />
Professores que adotam essse tipo <strong>de</strong> abordagem parecem acreditar que o<br />
sucesso na aprendizagem dos alunos está ligado diretamente à boa qualida<strong>de</strong> das aulas<br />
expositivas apresentadas. Entretanto, a meu ver, em vez <strong>de</strong> se centrar o ensino na<br />
memorização e na aplicação <strong>de</strong> técnicas, com base nas exposições dos professores, é<br />
preciso conferir ênfase à apropriação, pelos estudantes, <strong>de</strong> aspectos essenciais <strong>de</strong><br />
números e suas relações. Desse modo, os alunos passam da posição <strong>de</strong> meros<br />
espectadores para a <strong>de</strong> criadores ativos, construtores do conhecimento. O professor,<br />
nesse último caso, assume um papel <strong>de</strong> regulador da ativida<strong>de</strong> investigativa.<br />
Mobilizada pelo <strong>de</strong>sejo <strong>de</strong> romper com a abordagem tradicional <strong>de</strong> ensino,<br />
esperava encontrar na investigação matemática um modo <strong>de</strong> melhorar o entendimento<br />
das noções <strong>de</strong> trigonometria pelos alunos, além <strong>de</strong> estimular a interação, aumentar a<br />
motivação e a criativida<strong>de</strong> dos mesmos. Foi com essas preocupações que realizei o<br />
trabalho relatado nesta monografia.<br />
1.2 O trabalho<br />
De acordo com os PCNEM – Parâmetros Curriculares Nacionais – Ensino<br />
Médio (BRASIL, 1998), apesar <strong>de</strong> sua importância, tradicionalmente a trigonometria é<br />
apresentada <strong>de</strong> maneira <strong>de</strong>sconectada das aplicações, investindo-se muito tempo no<br />
cálculo algébrico das i<strong>de</strong>ntida<strong>de</strong>s e equações em <strong>de</strong>trimento dos aspectos importantes<br />
das funções trigonométricas e análise <strong>de</strong> seus gráficos. Além disso, há o fato, já<br />
mencionado, <strong>de</strong> os livros didáticos apresentarem as noções <strong>de</strong> trigonometria <strong>de</strong> maneira<br />
“mecânica” e com gran<strong>de</strong> <strong>de</strong>staque para as fórmulas.<br />
1 Este trabalho sobre o estudo <strong>de</strong> funções envolve um processo <strong>de</strong> investigações diferente da ativida<strong>de</strong><br />
analisada nesta monografia. Neste caso, a pesquisa dos alunos levou-os a mo<strong>de</strong>lar matematicamente<br />
algum experimento.<br />
8
Escolhi, portanto, trabalhar com investigações na resolução <strong>de</strong> problemas <strong>de</strong><br />
<strong>Trigonometria</strong>, em uma turma <strong>de</strong> 1º ano do Ensino Médio. Apesar <strong>de</strong> trabalhar na<br />
escola, com turmas <strong>de</strong>ste nível, optei por aplicar e avaliar uma ativida<strong>de</strong> investigativa n<br />
turma <strong>de</strong> outra professora, que ce<strong>de</strong>u alguns horários para a minha pesquisa. A<br />
professora contribuiu no sentido <strong>de</strong> propiciar um ambiente a<strong>de</strong>quado, entre os alunos,<br />
para a realização do trabalho, e também por auxiliar a orientação das propostas contidas<br />
nas ativida<strong>de</strong>s. Os sujeitos, estudantes do 1° ano do Ensino Médio, têm ida<strong>de</strong> média <strong>de</strong><br />
15 anos.<br />
Em particular, meu trabalho <strong>de</strong>stinou-se a pesquisar como os alunos concebem<br />
os conceitos <strong>de</strong> <strong>Trigonometria</strong> em situações <strong>de</strong> investigação matemática, utilizando<br />
instrumentos <strong>de</strong> <strong>de</strong>senho e medição, como régua, compasso e transferidor.<br />
Ainda segundo os PCNEM, é preciso, no ensino, assegurar as aplicações da<br />
trigonometria na resolução <strong>de</strong> problemas que envolvem medições, em especial o cálculo<br />
<strong>de</strong> distâncias inacessíveis e para construir mo<strong>de</strong>los que correspon<strong>de</strong>m a fenômenos<br />
periódicos. Dessa forma, o estudo <strong>de</strong>ve se ater às funções seno, cosseno e tangente, com<br />
ênfase no seu estudo na primeira volta do círculo trigonométrico e <strong>de</strong>staque para a<br />
perspectiva histórica das aplicações das relações trigonométricas. Outro aspecto<br />
importante do estudo <strong>de</strong>ste tema é o fato <strong>de</strong> os conhecimentos a ele relacionados terem<br />
sido responsáveis pelo avanço tecnológico em diferentes épocas, como é o caso do<br />
período das navegações ou, atualmente, na agrimensura, o que permite aos alunos<br />
perceberem o conhecimento matemático como forma <strong>de</strong> resolver problemas que os<br />
homens se propuseram e continuam se propondo.<br />
Nesse trabalho adaptei o roteiro utilizado no Coltec e questões para que os<br />
alunos investigassem. Utilizamos as ativida<strong>de</strong>s que o Colégio já praticava e inserimos<br />
algumas idéias sugeridas por Brighenti (2003). Essa autora sugere ações para serem<br />
<strong>de</strong>senvolvidas em sala <strong>de</strong> aula que possibilitem ao aluno construir os conceitos<br />
trigonométricos e realizar a aprendizagem dos mesmos, por meio <strong>de</strong> questionamentos,<br />
<strong>de</strong> reflexões e consi<strong>de</strong>rando o conhecimento aprendido no cotidiano do aluno. Os alunos<br />
têm que sugerir métodos para essas ativida<strong>de</strong>s utilizando a <strong>Trigonometria</strong>. Ao propor as<br />
ativida<strong>de</strong>s, meu interesse era que eles <strong>de</strong>scobrissem as diversas utilida<strong>de</strong>s práticas da<br />
<strong>Trigonometria</strong> e construíssem os conceitos em seguida, fazendo investigações<br />
matemáticas.<br />
Para avaliação do trabalho que realizei, a professora exigiu a produção escrita <strong>de</strong><br />
um relatório que po<strong>de</strong>ria ser feita por um aluno ou por um grupo <strong>de</strong> alunos. Na<br />
9
orientação para a produção <strong>de</strong>sse relatório, além da solicitação da apresentação das<br />
conclusões originais <strong>de</strong> investigação, foi explicitada a importância dos registros <strong>de</strong><br />
todas as questões levantadas, do modo como os alunos organizaram os dados, das<br />
conjecturas provadas ou não provadas, etc. Tendo os estudantes seguido as orientações,<br />
consegui ter conhecimento não só das conclusões tiradas, como também do processo<br />
utlizado por eles. Este também foi um momento <strong>de</strong> outro tipo <strong>de</strong> aprendizagem para os<br />
estudantes, já que eles estão acostumados a escrever, em geral, somente respostas<br />
sintéticas em Matemática.<br />
A partir dos trabalhos coletados na turma, utilizei as principais respostas e<br />
dúvidas para analisar e procurar compreen<strong>de</strong>r como se <strong>de</strong>ram, nessa experiência, aa<br />
investigações matemáticas dos sujeitos. Os resultados <strong>de</strong>ssa análise são apresentados no<br />
capítulo 3.<br />
1.3 A escola e o livro<br />
meu trabalho.<br />
Apresento, nesta seção, algumas informações sobre a escola em que realizei o<br />
A escola técnica, COLTEC, situada em Belo Horizonte, tem um excelente<br />
espaço físico. As aulas são, na maioria, em salas ambiente, ou seja, os alunos se<br />
<strong>de</strong>slocam para as salas das disciplinas <strong>de</strong> acordo com o horário da turma. No caso das<br />
aulas <strong>de</strong> Matemática, 1° ano, a sala possuía mesas com quatro ca<strong>de</strong>iras para que os<br />
alunos trabalhassem em grupo. A escola conta com uma boa cantina, que oferece, entre<br />
outras coisas, almoço, já que o curso é fornecido em período integral. A biblioteca e os<br />
laboratórios ficam à disposição dos professores e estudantes a maior parte do dia,<br />
contribuindo para o estudo e pesquisa dos alunos. A instituição não exige uso <strong>de</strong><br />
uniformes pelos alunos, e não impe<strong>de</strong> a sua entrada e saída da escola no período <strong>de</strong><br />
aulas.<br />
Como disse anteriormente, o <strong>de</strong>senvolvimento das aulas, no Coltec, prioriza a<br />
construção do conhecimento pelo estudante, sobretudo pelo trabalho frequente com<br />
investigações matemáticas. Algumas vezes, o cronograma “apertado” não permite que<br />
os professores sistematizem todo o conteúdo envolvido nas ativida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> investigação<br />
realizadas pelos estudantes e, por isso, a escola consi<strong>de</strong>ra importante, como<br />
complementação às práticas pedagógicas em sala <strong>de</strong> aula, a consulta ao material <strong>de</strong><br />
10
apoio. Desse modo, o Coltec adotou um livro didático como auxiliar no processo <strong>de</strong><br />
ensino-aprendizagem.<br />
O livro adotado pela escola é Matemática Ensino Médio, <strong>de</strong> Kátia Stocco Smole<br />
e Maria Ignez Diniz, publicado pela editora Saraiva. De acordo com o chefe do Setor <strong>de</strong><br />
Matemática da escola, foi difícil a escolha do livro didático. Segundo ele, é raro<br />
encontrar livros que estimulem a investigação matemática. A escola opta, portanto, por<br />
confeccionar material próprio (apostilas) e utilizar o livro adotado para complementá-lo,<br />
<strong>de</strong> modo que os alunos tenham disponibilida<strong>de</strong> <strong>de</strong> mais exercícios e uma outra fonte <strong>de</strong><br />
consulta ao conteúdo.<br />
Assim como a escola, o livro incentiva ativida<strong>de</strong>s em grupo, o uso <strong>de</strong><br />
calculadoras e softwares matemáticos durante o ensino e a aprendizagem.<br />
Além disso, as autoras afirmam que procuraram elaborar o livro <strong>de</strong> acordo com<br />
as indicações dos Parâmetros Curriculares do Ensino Médio (PCNEM) do MEC. Isso<br />
po<strong>de</strong> ser observado pela ênfase no <strong>de</strong>senvolvimento <strong>de</strong> competências e habilida<strong>de</strong>s que<br />
permitam aos alunos ler e interpretar a realida<strong>de</strong>. O aluno precisa analisar e<br />
compreen<strong>de</strong>r a situação por inteiro, <strong>de</strong>cidir sobre a melhor estratégia para resolvê-la,<br />
tomar <strong>de</strong>cisões, argumentar, expressar-se e fazer registros. Assim, segundo as autoras, o<br />
estudante <strong>de</strong>senvolve capacida<strong>de</strong>s necessárias para atuação efetiva na socieda<strong>de</strong> e na<br />
sua vida profissional.<br />
1.4 <strong>Investigações</strong> matemáticas<br />
Segundo Ponte, Brocardo e Oliveira (2006), para os matemáticos, investigar é<br />
<strong>de</strong>scobrir relações entre objetos matemáticos conhecidos ou <strong>de</strong>sconhecidos, procurando<br />
i<strong>de</strong>ntificar as respectivas proprieda<strong>de</strong>s.<br />
Uma investigação matemática <strong>de</strong>senvolve-se, usualmente, em torno <strong>de</strong> um<br />
problema, cujo objetivo é, naturalmente, resolvê-lo. No primeiro momento, a<br />
investigação abrange o reconhecimento da situação, a sua exploração preliminar e a<br />
formulação <strong>de</strong> questões. Muitas vezes, a tarefa é fornecida aos alunos por escrito, mas,<br />
mesmo assim, o professor <strong>de</strong>ve ler os textos cuidadosamente com os alunos, para que<br />
eles compreendam a tarefa proposta e sintam-se motivados e <strong>de</strong>safiados. O segundo<br />
momento refere-se ao processo <strong>de</strong> formulação <strong>de</strong> conjecturas. O terceiro inclui a<br />
realização <strong>de</strong> testes para verificar estas conjecturas. E, finalmente, o último diz respeito<br />
11
à argumentação, à tentativa <strong>de</strong> <strong>de</strong>monstração e à avaliação do trabalho realizado.<br />
(PONTE, BROCARDO E OLIVEIRA, 2006)<br />
O sucesso da aprendizagem <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>, também, como em qualquer outra<br />
ativida<strong>de</strong>, <strong>de</strong> um ambiente <strong>de</strong> aprendizagem. É fundamental que os alunos se sintam à<br />
vonta<strong>de</strong> para fazer perguntas, levantar questões e dividir suas i<strong>de</strong>ias com o professor e<br />
com os colegas.<br />
De maneira complementar à idéia das investigações matemáticas, tornou-se<br />
importante a construção <strong>de</strong> um cenário para investigações durante as aulas. Um cenário<br />
para investigação é aquele que convida os alunos a formular questões e procurarem<br />
explicações. O convite é simbolizado pelo ‘ O que acontece se...?’do professor. O aceite<br />
dos alunos ao convite é simbolizado em seus ‘Sim, o que acontece se...?’. Dessa forma,<br />
os alunos se envolvem no processo <strong>de</strong> exploração. O “Por que isso...?”, do professor,<br />
representa um <strong>de</strong>safio e os “Sim, por que isso...?”. dos alunos indicam que eles estão<br />
encarando o <strong>de</strong>safio e que estão procurando explicações. Quando os alunos assumem o<br />
processo <strong>de</strong> exploração e explicação, o cenário para investigação passa a constituir um<br />
novo ambiente <strong>de</strong> aprendizagem. No cenário para investigação, os alunos são<br />
responsáveis pelo processo (SKOVSMOSE, 2000, p.6) 2 .<br />
Ao iniciar a investigação, é importante também que o aluno compreenda a<br />
proposta a ser <strong>de</strong>senvolvida, em termos <strong>de</strong> produto final. Espera-se, no final, que ele<br />
explore e formule questões, formule conjecturas, teste e reformule suas conjecturas e<br />
ainda, seja capaz <strong>de</strong> justificar suas conjecturas (PONTE, BROCARDO; OLIVEIRA,<br />
2006).<br />
Na condução da aula, o professor tem que apoiar os alunos, sugerindo questões<br />
abertas que levem a reflexões e os façam recordar informações relevantes. Neste<br />
momento, é comum os alunos esperarem aprovação dos seus resultados. Por isso, é<br />
importante que o professor apoie o trabalho <strong>de</strong>les e não se preocupe em validá-lo<br />
(PONTE, BROCARDO E OLIVEIRA, 2006).<br />
2 Ole Skovsmose participa ativamente da comunida<strong>de</strong> brasileira <strong>de</strong> Educação Matemática,<br />
ministrando disciplinas, participando <strong>de</strong> conferências e interagindo com estudantes e docentes do<br />
Programa <strong>de</strong> Pós-Graduação em Educação Matemática da UNESP, Rio Claro, bem como <strong>de</strong> aulas<br />
investigativas.<br />
Skovsmose pesquisa sobre a Educação Matemática Crítica, que se refere a uma varieda<strong>de</strong> <strong>de</strong><br />
perspectivas e ativida<strong>de</strong>s que requerem algumas preocupações educacionais com: os aspectos sociais e<br />
políticos do saber matemático; com o acesso às idéias matemáticas; com o uso e a função da matemática<br />
na prática; com a dinâmica da sala <strong>de</strong> aula; com o <strong>de</strong>senvolvimento da cidadania crítica.<br />
Diferentemente <strong>de</strong> Ponte, Skovsmose não se <strong>de</strong>dica às investigações matemáticas, mas à<br />
importância da qualida<strong>de</strong> do diálogo em sala <strong>de</strong> aula, enfatizando que o incentivo ao diálogo é importante<br />
para o sucesso da investigação. (SKOVSMOSE, 2000)<br />
12
No próximo capítulo, <strong>de</strong>screvo as três ativida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> investigação trigonométrica<br />
que elaborei, a partir <strong>de</strong> adaptações das ativida<strong>de</strong>s <strong>de</strong>senvolvidas e utilizadas por<br />
professores do Coltec, e propus aos estudantes das turmas por mim pesquisadas durante<br />
o 2° semestre <strong>de</strong> 2008.<br />
13
CAPÍTULO 2<br />
AS ATIVIDADES DE INVESTIGAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS<br />
Desenvolvi, juntamente com os professores do setor <strong>de</strong> Matemática do Coltec,<br />
três ativida<strong>de</strong>s no estudo <strong>de</strong> trigonometria (Ver anexos).<br />
A ativida<strong>de</strong> 1 sofreu poucas modificações em relação à utilizada no colégio nos<br />
anos anteriores. Inserimos apenas novas questões investigativas. Porém, por se tratar da<br />
introdução ao contéudo, muitos alunos já conheciam os resultados. Com isso, a tarefa<br />
não foi exploratória. Os alunos não procuraram padrões, pois já conheciam as<br />
conjecturas esperadas no exercício. Incentivamos, portanto, que eles fizessem as<br />
<strong>de</strong>monstrações dos resultados conhecidos. Entretanto, concluí que esta não foi uma<br />
ativida<strong>de</strong> investigativa, segundo Ponte, Brocardo e Oliveira (2006), uma vez que já<br />
eram conhecidos os padrões, as relações e as generalizações a respeito da situação<br />
proposta.<br />
A ativida<strong>de</strong> 2 é uma adaptação da ativida<strong>de</strong> sugerida por Brighenti (2003), em<br />
seu livro. Por meio <strong>de</strong> uma sequência <strong>de</strong> perguntas, tentamos avaliar a compreensão dos<br />
conceitos <strong>de</strong> trigonometria já conhecidos pelos alunos ao aplicá-los na construção do<br />
ciclo trigonométrico.<br />
Conseguimos que a ativida<strong>de</strong> 2 aten<strong>de</strong>sse à concepção <strong>de</strong> investigação<br />
matemática, segundo Ponte, Brocardo e Oliveira (2006), apresentada anteriormente,<br />
pois envolveu os quatro momentos <strong>de</strong>scritos por eles: o reconhecimento da situação e<br />
exploração preliminar, a formulação <strong>de</strong> conjecturas e o eventual refinamento das<br />
conjecturas. Por isso, escolhi-a para análise das respostas dos alunos (Capítulo 3).<br />
A ativida<strong>de</strong> 3 também é uma adaptação <strong>de</strong> uma aplicação das razões<br />
trigonométricas no triângulo retângulo, sugerida por Brighenti (2003). Além disso, com<br />
o propósito <strong>de</strong> enriquecermos esta tarefa com contextos históricos que geraram esta<br />
aplicação, incluímos, na proposta, relatos escritos por Men<strong>de</strong>s (2005).<br />
No entanto, esta ativida<strong>de</strong> não requer formulação <strong>de</strong> conjecturas ou padrões. O<br />
que se espera do aluno é que ele observe que a Matemática não surgiu como é<br />
apresentada hoje, ou seja, ela foi construída a partir <strong>de</strong> necessida<strong>de</strong>s humanas originadas<br />
no cotidiano <strong>de</strong> povos do passado.<br />
Apesar <strong>de</strong> esta monografia basear-se no estudo da ativida<strong>de</strong> 2, consi<strong>de</strong>ro<br />
interessante a aplicação <strong>de</strong> todas as ativida<strong>de</strong>s. Devido aos bons resultados que obtive<br />
14
com a utilização <strong>de</strong>ssas três propostas, pensando em torná-las disponíveis a professores<br />
interessados, optei por <strong>de</strong>screvê-las neste capítulo e apresentar a forma como foram<br />
propostas aos alunos.<br />
A seguir apresento, então, as três propostas <strong>de</strong> ativida<strong>de</strong>s investigativas em<br />
trigonometria. (As ativida<strong>de</strong>s, na forma como foram aplicadas, encontram-se no Anexo)<br />
2.1 Ativida<strong>de</strong> 1: <strong>Trigonometria</strong> no triângulo retângulo<br />
Com o objetivo <strong>de</strong> consolidar as i<strong>de</strong>ias já conhecidas sobre triângulos<br />
retângulos, propus esta ativida<strong>de</strong>. Os alunos, inicialmente, <strong>de</strong>senhariam, com o uso <strong>de</strong><br />
um transferidor, triângulos retângulos com ângulos <strong>de</strong> 30°, 45° e 60° e tamanhos dos<br />
lados à escolha <strong>de</strong> cada aluno.<br />
Em seguida, no preenchimento <strong>de</strong> uma tabela e com o uso <strong>de</strong> régua, foi pedido<br />
que eles calculassem as razões entre os pares <strong>de</strong> lados: cateto oposto e hipotenusa,<br />
cateto adjacente e hipotenusa e, por último, cateto oposto e cateto adjacente, dos<br />
triângulos <strong>de</strong>senhados por eles.<br />
Eu esperava que, com esta ativida<strong>de</strong>, os alunos percebessem que as razões entre<br />
os lados <strong>de</strong> triângulos <strong>de</strong> mesmos ângulos in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>m do tamanho dos lados, ou seja,<br />
são constantes. E eu <strong>de</strong>stacaria para eles que as razões: seno, cosseno e tangente, no<br />
triângulo retângulo, são as mais utilizadas.<br />
No final da ativida<strong>de</strong>, outros exercícios e problemas foram propostos com o<br />
intuito <strong>de</strong> fixar o conteúdo revisado ou, em alguns casos, estudado pela primeira vez.<br />
2.2 Ativida<strong>de</strong> 2: Construção do círculo trigonométrico<br />
Não se sabe bem quando penetrou na matemática o uso sistemático do círculo <strong>de</strong><br />
360°, mas parece <strong>de</strong>ver-se em gran<strong>de</strong> parte a Hiparco (c. 180-125 a.C.), através <strong>de</strong> suas<br />
construções <strong>de</strong> tábuas trigonométricas com valores correspon<strong>de</strong>ntes ao seno, cosseno,<br />
tangente e cotangente <strong>de</strong> um ângulo ou arco <strong>de</strong> circunferência, supostamente originadas<br />
na matemática babilônica, através dos valores relativos aos calendários elaborados.<br />
Esses valores foram incorporados posteriormente ao principal trabalho <strong>de</strong> Ptolomeu, “O<br />
Almagesto”, contribuindo assim com a representação dos elementos básicos da<br />
<strong>de</strong>terminação numérica das chamadas razões trigonométricas, a partir <strong>de</strong> triângulos<br />
retângulos <strong>de</strong>terminados pelas cordas da circunferência (MENDES, 2005).<br />
15
Após a aprendizagem dos conceitos básicos das razões trigonométricas, percebi<br />
que os estudantes estavam preparados para a ativida<strong>de</strong> <strong>de</strong> relacionar os valores do seno<br />
e do cosseno <strong>de</strong> um ângulo ao valor unitário do raio do círculo trigonométrico. Propus,<br />
então, que a partir <strong>de</strong> um segmento AB, <strong>de</strong> um <strong>de</strong>címetro, os alunos formassem<br />
triângulos retângulos <strong>de</strong> hipotenusas AC 1 , AC 2 , AC 3 ,..., variando <strong>de</strong> 10 em 10 graus<br />
(utilizando transferidor), até 80°, os ângulos B 1 ÂC 1 , B 2 ÂC 2 , ... .<br />
Figura 1: Representação do que se pretendia que os alunos construíssem na<br />
“questão 1”, da ativida<strong>de</strong> 2.<br />
Em seguida, solicitei a eles que coletassem, utilizando régua, as medidas dos<br />
catetos <strong>de</strong> cada triângulo <strong>de</strong>senhado, e encontrassem os valores das razões seno, cosseno<br />
e tangente dos ângulos B 1ÂC 1, B 2 ÂC 2 , etc. Resolvendo esses problemas, o aluno<br />
po<strong>de</strong>ria observar a relação entre ângulos complementares, compreen<strong>de</strong>r a variação do<br />
seno e do cosseno <strong>de</strong> 0° a 90° e os valores encontrados para estas razões quando o<br />
ângulo está muito próximo <strong>de</strong> 0° e <strong>de</strong> 90°.<br />
De posse da variação dos valores <strong>de</strong> seno e do cosseno quando o ângulo varia,<br />
po<strong>de</strong>ndo chegar a 0° ou a 90°, foi possível apontar para a necessida<strong>de</strong> <strong>de</strong> se utilizar um<br />
16
sistema <strong>de</strong> eixos cartesianos ortogonais que tem como unida<strong>de</strong> a medida do raio<br />
(BRIGHENTI, 2003). Além disso, neste momento é possível explora os números<br />
racionais e irracionais existentes no intervalo <strong>de</strong> 0º a 90º.<br />
As ativida<strong>de</strong>s propostas propiciaram aos alunos a <strong>de</strong>scoberta <strong>de</strong> algumas i<strong>de</strong>ias,<br />
favorecendo a aplicação prática dos conceitos trigonométricos na resolução <strong>de</strong><br />
problemas e o estímulo a sua participação e exploração dos conceitos existentes,<br />
encorajando e fortalecendo discussões e troca <strong>de</strong> opiniões entre os colegas. Assim, por<br />
possibilitar essas ações em salas <strong>de</strong> aula, diferentemente do que normalmente se faz, as<br />
ativida<strong>de</strong>s foram capazes <strong>de</strong> motivar os alunos, que revelaram interesse pelo assunto.<br />
2.3 Ativida<strong>de</strong> 3: Medir a altura <strong>de</strong> objetos sem a utilização <strong>de</strong> sombra<br />
A trigonometria surgiu no séc V a. C. para resolver problemas práticos oriundos<br />
das necessida<strong>de</strong>s humanas. Os gregos realizavam medições <strong>de</strong> altura <strong>de</strong> objetos a partir<br />
<strong>de</strong> sua sombra. Os egípcios utilizavam esses conhecimentos para resolver problemas<br />
cotidianos, por exemplo, <strong>de</strong>terminar a altura <strong>de</strong> um barranco utilizando-se da medida <strong>de</strong><br />
sua sombra, quando o sol estivesse a 45º do horizonte. Entretanto, um dos problemas<br />
que os egípcios enfrentavam para efetuar essa medição era o fato <strong>de</strong> haver apenas dois<br />
dias do ano em que o sol ficasse a 45º do horizonte, naquela região. Um problema<br />
prático que marca o encontro <strong>de</strong> duas gran<strong>de</strong>s civilizações que influenciaram o<br />
<strong>de</strong>senvolvimento da geometria e consequentemente da trigonometria - egípcios e<br />
gregos, cada um com seus costumes, valores, problemas econômicos, políticos e sociais<br />
– foi o cálculo da altura da pirâmi<strong>de</strong> <strong>de</strong> base quadrada - a Pirâmi<strong>de</strong> <strong>de</strong> Quéops<br />
(MENDES, 2005).<br />
Com o passar do tempo, a estratégia <strong>de</strong>senvolvida por Tales <strong>de</strong> Mileto, filósofo<br />
grego que viveu por volta do século VI a.C, <strong>de</strong> utilizar a sombra do objeto, foi sendo<br />
aperfeiçoada, e a altura do objeto passou a ser calculada a partir das relações entre os<br />
lados e ângulos <strong>de</strong> dois ou mais triângulos retângulos (MENDES, 2005).<br />
Para que os alunos pu<strong>de</strong>ssem compreen<strong>de</strong>r melhor essa estratégia, realizei uma<br />
ativida<strong>de</strong> em que eles <strong>de</strong>veriam <strong>de</strong>terminar a altura <strong>de</strong> árvores, <strong>de</strong> pilares, do prédio da<br />
escola, etc., utilizando um procedimento que envolvesse semelhança <strong>de</strong> triângulos e<br />
proporcionalida<strong>de</strong>.<br />
Com o auxílio <strong>de</strong> um transferidor, um canudinho <strong>de</strong> plástico, um clipe, trena ou<br />
fita métrica, eles foram solicitados a construir um instrumento <strong>de</strong> medição <strong>de</strong> ângulos.<br />
17
Como esta ativida<strong>de</strong> já havia sido proposta, para a turma do ano anterior, levei um<br />
instrumento como mo<strong>de</strong>lo, para que os alunos confeccionassem, fora do horário <strong>de</strong> aula,<br />
este material.<br />
Os alunos <strong>de</strong>veriam colocar o instrumento confeccionado na direção do objeto a<br />
ser medido, <strong>de</strong> modo a ver o topo do objeto através do orifício do canudinho (ver figura<br />
2). Em seguida, <strong>de</strong>veriam observar e anotar o ângulo marcado pelo canudinho do<br />
transferidor e representar geometricamente a situação em uma folha <strong>de</strong> papel. Após a<br />
representação do triângulo observado, os alunos <strong>de</strong>veriam <strong>de</strong>senhar outro triângulo<br />
retângulo semelhante ao anterior e que tivesse um ângulo agudo igual ao encontrado no<br />
instrumento usado pelo grupo. Então, estabeleceriam a relação entre os lados e ângulos<br />
dos triângulos retângulos construídos para <strong>de</strong>terminar a altura do objeto (o triângulo em<br />
que um dos lados representa a altura do objeto e o outro triângulo <strong>de</strong>senhado no papel<br />
semelhante ao triângulo construído com a medida do objeto).<br />
Figura 2: Instrumento confeccionado com canudo <strong>de</strong> plástico, barbante,<br />
clipe e transferidor. Utilizado pra medição <strong>de</strong> ângulos.<br />
A ativida<strong>de</strong> 2 foi <strong>de</strong>senvolvida pelos alunos em dupla, e cada dupla produziu um<br />
relatório sobre como a tinha realizado.<br />
No próximo capítulo, apresento minhas análises <strong>de</strong>sses relatórios.<br />
18
CAPÍTULO 3<br />
UMA ANÁLISE DOS RELATÓRIOS PRODUZIDOS PELOS ALUNOS<br />
O que vocês observaram? Quais os resultados encontrados durante a realização<br />
do experimento? Como vocês explicam os resultados encontrados?<br />
Foram essas questões as que foram propostas aos alunos para que eles<br />
discutissem e registrassem suas respostas nos relatórios que lhes solicitei.<br />
Como já foi dito, <strong>de</strong>cidi analisar somente a produção dos alunos na segunda<br />
ativida<strong>de</strong>: Construção do círculo trigonométrico, pois a consi<strong>de</strong>ramos mais <strong>de</strong> acordo<br />
com a proposta investigativa <strong>de</strong> Ponte, Brocardo e Oliveira (2006).<br />
Recolhi todos os trabalhos produzidos pelas duas turmas e selecionei 23,<br />
aparentemente mais completos e legíveis, para essa análise.<br />
Já no início da proposta escrita da ativida<strong>de</strong> eu havia colocado o seguinte<br />
comentário: “IMPORTANTE: Esta ativida<strong>de</strong> tem caráter investigativo. Durante a<br />
realização anote tudo o que julgar necessário. Cada dupla <strong>de</strong>verá elaborar um relatório<br />
com base nas anotações, contendo as discussões e conclusões da dupla.”<br />
Por se tratar <strong>de</strong> uma escola técnica, as práticas pedagógicas <strong>de</strong> outras disciplinas,<br />
como Física experimental, já têm o hábito <strong>de</strong> cobrar dos alunos a escrita <strong>de</strong> relatórios,<br />
nos quais <strong>de</strong>vem constar introdução, <strong>de</strong>senvolvimento e conclusão. Essa circunstância<br />
facilitou a minha pesquisa, pois o que solicitei aos alunos fazia parte, <strong>de</strong>s<strong>de</strong> o início do<br />
ano letivo, das tarefas que eles estavam acostumados a realizar.<br />
Além disso, o ambiente <strong>de</strong> aprendizagem investigativa já estava criado e, como<br />
po<strong>de</strong>remos perceber, os alunos têm consciência <strong>de</strong> que o meu papel, como professora, é<br />
<strong>de</strong> apoiá-los. A familiarida<strong>de</strong> dos estudantes com a escrita <strong>de</strong> relatórios fica clara a<br />
partir do texto <strong>de</strong> algumas introduções dos relatórios:<br />
“Este trabalho busca promover uma sistematização do conteúdo <strong>de</strong><br />
trigonometria, além <strong>de</strong> levar a um mundo <strong>de</strong> questões e hipóteses, o qual exploramos o<br />
máximo que pu<strong>de</strong>mos, embora o nosso campo <strong>de</strong> alcance seja bem restrito. A partir do<br />
roteiro dado a nós, procuramos observar minuciosamente cada <strong>de</strong>talhe do que acontecia.<br />
Dessa forma, apresentaremos não só dados e fenômenos, mas também hipóteses<br />
e questões, e buscaremos explicá-los <strong>de</strong> forma concisa, porém, sem estabelecer isso<br />
19
como explicação, já que não pu<strong>de</strong>mos comprovar o que propusemos. Assim, a questão<br />
ainda está aberta.” (F e G) 3<br />
“Devíamos apren<strong>de</strong>r a tirar nossas próprias conclusões a partir <strong>de</strong> experiências e<br />
práticas <strong>de</strong>senvolvidas em sala <strong>de</strong> aula.” (I e N)<br />
“Esta ativida<strong>de</strong> tinha como objetivo a investigação e extrapolação das razões<br />
seno e cosseno, antes já conhecidas no triângulo retângulo, agora em ângulos agudos.”<br />
(T e J)<br />
Foi possível perceber que todos enten<strong>de</strong>ram o sentido da tarefa proposta e o que<br />
eu esperava <strong>de</strong>les no <strong>de</strong>curso da ativida<strong>de</strong>. A seguir, apresento os enunciados das<br />
questões propostas aos alunos na ativida<strong>de</strong>, acompanhados <strong>de</strong> comentários sobre suas<br />
respostas.<br />
3.1 As questões da ativida<strong>de</strong> 2 e as respostas dos alunos<br />
Nesta seção, vou apresentar todas as questões referentes à ativida<strong>de</strong> 2 e<br />
comentários sobre algumas respostas dos estudantes. Como se po<strong>de</strong>rá observar, agrupei<br />
algumas perguntas, pois algumas <strong>de</strong>las eram semelhantes e traziam questionamentos<br />
parecidos. Ou ainda, porque os alunos <strong>de</strong>ram respostas diretas, com poucas<br />
justificativas, e, por isso, não havia muito o que comentar.<br />
QUESTÃO 1: A partir do segmento AB que me<strong>de</strong> 1 dm (10 cm), dado<br />
abaixo, construa triângulos retângulos A C1 D1, A C2 D2, ... (D1, D2, ... são pontos<br />
do segmento AB e CD são perpendiculares a AB), sobre o segmento AB mantendo<br />
a hipotenusa AC constante igual a 1 dm, variando o ângulo (CÂD) <strong>de</strong> 10 em 10<br />
graus<br />
Como vimos, a primeira questão do roteiro solicitava uma construção. Percebi,<br />
neste momento, que a <strong>de</strong>scrição <strong>de</strong>sta tarefa não estava muito clara (vi<strong>de</strong> Anexo 2). Fiz<br />
alguns exemplos no quadro e os alunos conseguiram traçar os vários triângulos<br />
retângulos sugeridos. Esses triângulos possuíam a hipotenusa medindo 1 <strong>de</strong>címetro e<br />
3 Aqui e ao longo do resto da monografia, os estudantes serão i<strong>de</strong>ntificados pelas iniciais <strong>de</strong> seus nomes.<br />
20
um vértice comum a todos, como po<strong>de</strong>mos observar na reprodução 4 do <strong>de</strong>senho<br />
incluído no trabalho <strong>de</strong> uma das duplas:<br />
Figura 3: Reprodução da construção elaborada pelas alunas C e B.<br />
Em seguida, com o uso da régua, os estudantes realizaram as medições dos<br />
catetos e preencheram a tabela do roteiro.<br />
Nesse momento, eu esperava que eles utilizassem o <strong>de</strong>címetro como unida<strong>de</strong> <strong>de</strong><br />
medida. No entanto, eles fizeram as medições em centímetros, o que não proporcionou<br />
uma visualização rápida dos valores solicitados na questão 4, como veremos a seguir.<br />
QUESTÃO 2: Meça e anote a medida dos catetos <strong>de</strong> cada triângulo<br />
<strong>de</strong>senhado, preenchendo a tabela:<br />
α = 10°<br />
α = 20°<br />
α = 30°<br />
α = 40°<br />
Cateto oposto a α Cateto adjacente a α<br />
4 Já que, embora alguns trabalhos tenham sido realizados no computador, os grupos anexaram as<br />
construções, feitas a lápis, durante as aulas. Como não consegui obter boas imagens digitalizadas dos<br />
<strong>de</strong>senhos dos alunos, optei por apresentá-los por meio <strong>de</strong> reproduções.<br />
21
α = 50°<br />
α = 60°<br />
α = 70°<br />
α = 80°<br />
Com o uso da régua, os alunos efetuaram com facilida<strong>de</strong> as medições sugeridas<br />
acima e preencheram a<strong>de</strong>quadamente a tabela.<br />
QUESTÃO 3: Que representação geométrica será obtida se ligarmos todos<br />
os pontos da trajetória dos vértices C1,C2,...?<br />
Na terceira questão, durante a realização da ativida<strong>de</strong>, vários alunos sugeriram<br />
que ao ligarmos todos os pontos da trajetória dos vértices C1, C2,..., obteríamos um<br />
polígono. Porém, nos relatórios, que foram entregues na aula seguinte, encontrei várias<br />
1<br />
respostas do tipo: “Será obtida uma parte, praticamente , <strong>de</strong> uma circunferência”.<br />
4<br />
Suponho que esta diferença <strong>de</strong> análises <strong>de</strong>ve-se a sistematizações futuras e outras<br />
conjecturas posteriores, nas questões seguintes. Apenas uma dupla escreveu: “meia<br />
parábola”.<br />
QUESTÃO 4: Encontre os valores das razões (seno e cosseno) solicitadas,<br />
preenchendo a tabela:<br />
Senα<br />
Cos α<br />
α = 10°<br />
α = 20°<br />
α = 30°<br />
α = 40°<br />
α = 50°<br />
α = 60°<br />
α = 70°<br />
α = 80°<br />
Assim que observei que os alunos estavam realizando as medições em<br />
centímetros, sugeri aos outros grupos que ainda estavam fazendo a construção da<br />
questão 1 que utilizassem o <strong>de</strong>címetro como unida<strong>de</strong>.<br />
Assim, na questão 4, aqueles que utilizaram o <strong>de</strong>címetro conseguiram perceber<br />
que quando se tem hipotenusa unitária, o valor do seno coinci<strong>de</strong> com o valor do cateto<br />
22
oposto, enquanto o valor do cosseno coinci<strong>de</strong> com o valor do cateto adjacente. E, com<br />
isso, o preenchimento da tabela acima foi simples.<br />
No entanto, parte dos alunos percebeu que, para encontrar os valores <strong>de</strong> seno e<br />
cosseno, eles precisariam dividir as medidas dos catetos em centímetros por 10, a<br />
medida da hipotenusa em centímetros.<br />
Expliquei neste momento, a todos, que era por este motivo que eu havia<br />
escolhido 1 <strong>de</strong>címetro para a medida das hipotenusas e não 10 centímetros.<br />
QUESTÃO 5: Determine o valor da tg α , utilizando o quociente<br />
sen α<br />
= tg α . (Acrescente na tabela anterior mais uma linha para os valores <strong>de</strong><br />
cos α<br />
tg α ).<br />
Nesta questão, a número 5, sugeri que os alunos preenchessem totalmente a<br />
tabela, utilizada na QUESTÃO 4, agora com os valores das tangentes. Para estes<br />
cálculos, eles usaram a i<strong>de</strong>ntida<strong>de</strong> já conhecida:<br />
senα<br />
tg α = .<br />
cosα<br />
Para algumas duplas, fiz a pergunta: “Vocês conseguem encontrar, na figura da<br />
questão 1, a representação geométrica da tangente?”. Mas nenhum grupo soube<br />
respon<strong>de</strong>r.<br />
Uma exploração mais <strong>de</strong>talhada do círculo trigonométrico po<strong>de</strong>ria envolver<br />
medições da tangente, com régua. Neste caso, não haveria tempo para tal abordagem.<br />
QUESTÃO 6: Observe a tabela e responda: O que você concluiu com<br />
relação aos valores <strong>de</strong> sen 10° e cos 80°? E com relação aos <strong>de</strong> sen 20° e cos 70°?<br />
Por quê?<br />
A questão 6 foi a primeira a exigir uma observação e uma conjectura. Perguntei<br />
o que eles concluíram com relação aos valores <strong>de</strong> sen 10º e cos 80º e com relação aos<br />
valores <strong>de</strong> sen 20º e cos 70º. Pedi, ainda, que justificassem suas respostas.<br />
Quanto aos valores, obtive 3 tipos <strong>de</strong> respostas:<br />
23
RESPOSTA A) Os valores <strong>de</strong> sen 10º e cos 80º, sen 20º e cos 70º tem uma<br />
semelhança, são praticamente iguais, se levarmos em consi<strong>de</strong>ração a imprecisão dos<br />
aparelhos <strong>de</strong> medição e os números significativos.<br />
RESPOSTA B) Os valores <strong>de</strong> sen 10º e cos 80º, sen 20º e cos 70º são iguais.<br />
RESPOSTA C) Não respon<strong>de</strong>ram.<br />
Quanto às justificativas e conjecturas, houve 5 tipos <strong>de</strong> resposta:<br />
RESPOSTA 1) Os triângulos AC1D1 e os triângulos AC8D8 são iguais, porém<br />
invertidos, logo, conservam as medidas dos catetos.<br />
RESPOSTA 2) Quanto maior o ângulo é maior o seno e menor o cosseno.<br />
RESPOSTA 3) Isto ocorre <strong>de</strong>vido a uma proprieda<strong>de</strong>: Se α e β são<br />
complementares, então, sen α = cos β .<br />
RESPOSTA 4) Os triângulos AC1D1 e os triângulos AC8D8 são semelhantes.<br />
RESPOSTA 5) Não justificaram.<br />
Como vimos, alguns alunos realizaram conjecturas, como a do tipo da<br />
RESPOSTA 3, porém, sem justificativa. Outros já alcançaram uma justificativa com<br />
<strong>de</strong>monstração geométrica, enquanto outros conseguem i<strong>de</strong>ntificar um padrão, mas não<br />
sabem explicá-lo.<br />
1<br />
Além disso, vemos pela RESPOSTA 2 que os alunos estão restritos ao do<br />
4<br />
círculo, proposto. E não conseguem extrapolar para ângulos maiores do que 90 º .<br />
QUESTÃO 7: Po<strong>de</strong>-se afirmar que cos 2α = 2.cos α ? Por quê?<br />
Das 22 duplas que respon<strong>de</strong>ram à questão, pu<strong>de</strong> classificar as respostas da<br />
seguinte maneira:<br />
RESPOSTA I) O aluno respon<strong>de</strong>u “não” e justificou sua resposta com um contra-<br />
exemplo. Veja-se a resposta das alunas I e N:<br />
2 x cos 30º<br />
= 2 x 0,87 = 1,37, que não é igual ao cos 60º<br />
= 0,5.<br />
24
RESPOSTA II) “ cos 2α<br />
≠ 2cosα<br />
, pois, no cos 2α<br />
nós primeiro multiplicamos o<br />
ângulo por dois, para <strong>de</strong>pois encontrar o cosseno <strong>de</strong>sse valor. Já no 2 cosα<br />
primeiro<br />
achamos o cosseno e <strong>de</strong>pois multiplicamos por dois”.<br />
RESPOSTA III) Chegamos a esta conclusão pois quanto maior o ângulo, menor<br />
seu cosseno. Dessa forma inferimos que cos 2α<br />
é menor que cos α , mesmo antes <strong>de</strong><br />
multiplicarmos cos α por 2, logicamente, multiplicando, a diferença entre os valores<br />
aumentá ainda mais.<br />
RESPOSTA IV) Não. Sem justificativa.<br />
As frequências nas respostas acima foram: 11 duplas justificaram com a<br />
RESPOSTA I), 5 optaram pela RESPOSTA II), 1 dupla justificou com a RESPOSTA<br />
III) e outras 5 respon<strong>de</strong>ram não, porém, sem justificar sua resposta.<br />
Como a construção exigida, até o momento, restringia o trabalho ao 1º<br />
quadrante, os alunos realizam suas conjecturas a partir <strong>de</strong>sta fração do círculo<br />
trigonométrico.<br />
As questões 8, 9 e 10 se referem à variação do seno e do cosseno, em relação ao<br />
ângulo; por isso, <strong>de</strong>cidi analisá-las juntamente.<br />
cos α ?<br />
QUESTÃO 8: Quando α varia, o que acontece com os valores <strong>de</strong> sen α e<br />
QUESTÃO 9: Se β > α , po<strong>de</strong>-se afirmar que sen β > senα<br />
? Por quê?<br />
QUESTÃO 10: Se β > α , po<strong>de</strong>-se afirmar que cos β > cosα<br />
? Por quê?<br />
conjectura:<br />
Nas questões 8, 9 e 10 as respostas foram semelhantes, baseadas na mesma<br />
Quanto maior o ângulo, maior o valor do seno. E quanto maior o ângulo, menor<br />
o valor do cosseno.<br />
Apenas duas duplas justificaram suas respostas <strong>de</strong> maneira diferente:<br />
Uma <strong>de</strong>las afirmou: “se β > α , po<strong>de</strong>-se afirmar que sen β > senα<br />
, porque o<br />
cateto oposto <strong>de</strong> um ângulo em um triângulo é tanto maior quanto for o ângulo para<br />
uma mesma hipotenusa; <strong>de</strong>ssa forma, o valor do seno será maior”. E <strong>de</strong> forma análoga<br />
para cosseno: “se β > α , po<strong>de</strong>-se afirmar que cos β > cosα<br />
, porque o cateto adjacente<br />
a um ângulo em um triângulo é cada vez menor, <strong>de</strong> acordo com o aumento do valor do<br />
ângulo, para uma mesma hipotenusa”. (Resposta dada pela dupla A e D)<br />
25
Outra dupla, F e G, curiosamente, avaliou sen α e α como sendo gran<strong>de</strong>zas<br />
diretamente proporcionais. Analogamente, a dupla consi<strong>de</strong>rou que cos α e α são<br />
gran<strong>de</strong>zas inversamente proporcionais. Para comprovar a afirmativa, construíram o<br />
gráfico <strong>de</strong> seno e cosseno em função <strong>de</strong> α e o anexaram ao trabalho. Encontraram uma<br />
reta ascen<strong>de</strong>nte no caso do seno e outra <strong>de</strong>scen<strong>de</strong>nte no caso do cosseno (para isso eles<br />
encontraram o coeficiente linear e o coeficiente angular). Embora o gráfico esteja<br />
correto, em suas análises eles se referem ao gráfico <strong>de</strong> “cos xα " e “sen xα ” e<br />
encontram a seguinte lei para a função “cos xα ”: “cos = - 0,1α + 1”. Ou seja, eles<br />
fazem uma interpretação in<strong>de</strong>vida a respeito do ângulo e seu cosseno. Apesar disso, é<br />
interessante valorizarmos estas tentativas.<br />
Esta resposta, da dupla F e G, me intrigou muito e, por isso, <strong>de</strong>cidi entrevistar os<br />
seus componentes. A entrevista encontra-se no final <strong>de</strong>ste capítulo.<br />
As questões a seguir, por estarem relacionadas ao uso da calculadora, foram<br />
analisadas em conjunto.<br />
QUESTÃO 11: Consulte uma tabela trigonométrica ou utilize uma<br />
calculadora e preencha os dados:<br />
sen α<br />
cos α<br />
3° 2° 1° 0,5°<br />
QUESTÃO 12: Quanto será o valor <strong>de</strong> sen α , para α próximo <strong>de</strong> 0°? E o<br />
valor <strong>de</strong> cos α ?<br />
90°?<br />
QUESTÃO 13: Qual será o valor <strong>de</strong> sen α e cos α , para α próximos <strong>de</strong><br />
sen α<br />
cos α<br />
cosα ?<br />
85° 88° 89° 90°<br />
QUESTÃO 14: Fazendo α variar <strong>de</strong> 0° a 90° qual a variação do sen α e do<br />
26
Nas questões 11 a 14, com o uso da calculadora, os estudantes encontraram<br />
valores <strong>de</strong> seno e cosseno, primeiro para ângulos próximos <strong>de</strong> 0 º e 90 º , concluindo que<br />
para ângulos cada vez mais próximos <strong>de</strong> 0 º , os valores do seno e do cosseno são<br />
próximos <strong>de</strong> 0 e 1, respectivamente. Para valores próximos <strong>de</strong> 90 º , os valores <strong>de</strong> seno<br />
e cosseno são cada vez mais próximos <strong>de</strong> 1 e 0, respectivamente.<br />
Com algumas i<strong>de</strong>ias construídas a respeito do círculo trigonométrico, nossa<br />
etapa final era construí-lo com o uso <strong>de</strong> um compasso e <strong>de</strong>stacar alguns elementos<br />
importantes. Por isso, introduzi o grupo <strong>de</strong> questões abaixo cujas respostas serão<br />
analisadas simultaneamente.<br />
QUESTÃO 15: Construa o círculo <strong>de</strong> centro A e raio 1 dm (10 cm).<br />
QUESTÃO 16: Insira os eixos cartesianos no círculo posicionando o centro<br />
do círculo no ponto (0,0). Quais são as coor<strong>de</strong>nadas dos pontos <strong>de</strong> interseção do<br />
círculo com os eixos cartesianos?<br />
QUESTÃO 17: Coloque nomes nesses pontos usando as letras A, A’, B, B’.<br />
Sugeri, então, que eles construíssem o restante do círculo e daí, realizamos<br />
conjecturas para ângulos maiores do que 90 º , como por exemplo:<br />
“Variando α <strong>de</strong> 0 º a 90º o seno aumenta e cosseno vai diminuindo. Variando<br />
α <strong>de</strong> 91 º a 180 º , o seno diminui até chegar a zero o cosseno continua diminuindo, até<br />
chegar a -1. Variando α <strong>de</strong> 181 º a 270 º , o seno diminui até chegar a –1 e cosseno<br />
aumenta até chegar a zero. Variando α <strong>de</strong> 271 º a 360 º , o seno aumenta até chegar a<br />
zero e o cosseno aumenta até 1.” (Resposta dada pelas alunas A e C) 5<br />
Fica assim <strong>de</strong>finido o círculo trigonométrico, para o qual o ponto B é a origem<br />
<strong>de</strong> todos os arcos, a medida do raio da circunferência é a unida<strong>de</strong> do eixo cartesiano, o<br />
ponto (0,0) do sistema cartesiano coinci<strong>de</strong> com o centro da circunferência e cada ponto<br />
(x, y) pertencente a esta circunferência tem também coor<strong>de</strong>nadas ( cos α, senα<br />
) .<br />
Os alunos conseguiram chegar à <strong>de</strong>finição <strong>de</strong> ciclo trigonométrico através da<br />
aplicação <strong>de</strong> conceitos já concebidos, ou seja, da variação dos valores das razões<br />
trigonométricas, sem que isto tivesse sido apresentado por meio <strong>de</strong> <strong>de</strong>finição formal,<br />
isolada e <strong>de</strong>sconectada do contexto.<br />
5 Observe-se, através <strong>de</strong>sta resposta, que os alunos restringiram seu raciocínio a valores inteiros <strong>de</strong> α .<br />
27
Após a escrita do relatório, fui ao quadro, construí o círculo trigonométrico, e<br />
pedi aos alunos que relatassem suas conclusões. No momento <strong>de</strong> sistematização dos<br />
conteúdos abordados, questionei a justificativa <strong>de</strong> algumas conjecturas e procurei<br />
apresentar uma justificativa mais completa. Uma das discussões foi sobre o uso do raio<br />
unitário, e nessa discussão os alunos questionaram:<br />
“E se o raio fosse 2?” ou “E se utilizássemos como unida<strong>de</strong> 5 centímetros?”.<br />
Essas perguntas foram seguidas da minha resposta: “Você teria que fazer as<br />
proporções a<strong>de</strong>quadas. Se o cateto oposto medisse (4,2), faríamos uma regra <strong>de</strong> três, <strong>de</strong><br />
modo que o valor <strong>de</strong> seno seria (4,2) : 5. 6<br />
Além disso, pu<strong>de</strong> concluir com as turmas que no círculo trigonométrico o ponto<br />
<strong>de</strong> extremida<strong>de</strong> <strong>de</strong> um arco se associa a um ângulo ou a um arco. E levantar questões<br />
para discussões futuras e continuida<strong>de</strong> dos estudos: “Será que existe outro ponto no<br />
círculo trigonométrico que se associa ao mesmo arco?” Os alunos tiveram assim, ainda,<br />
seus primeiros contatos com o comportamento das funções trigonométricas.<br />
Apesar da gran<strong>de</strong> quantida<strong>de</strong> <strong>de</strong> tempo utilizada para o <strong>de</strong>senvolvimento das<br />
ativida<strong>de</strong>s propostas, percebi que os alunos que participam da investigação tornam-se<br />
motivados e participativos. Enquanto o método favorece a compreensão dos conceitos<br />
por meio do manuseio <strong>de</strong> materiais <strong>de</strong> <strong>de</strong>senho, estimula o <strong>de</strong>senvolvimento do<br />
pensamento reflexivo e o relacionamento entre os alunos.<br />
Ao examinar os relatórios produzidos pelas várias duplas <strong>de</strong> alunos, notei que<br />
um <strong>de</strong>les se <strong>de</strong>stacava entre os <strong>de</strong>mais. A dupla F e G elaborou um ótimo relatório, que<br />
incluía capa, sumário, introdução, a resolução das questões separadamente,<br />
consi<strong>de</strong>rações finais e anexo, em um total <strong>de</strong> 15 páginas. Através <strong>de</strong>sse relatório,<br />
percebi que a dupla compreendia a intenção das ativida<strong>de</strong>s que envolviam investigações<br />
matemáticas. Este fato foi evi<strong>de</strong>nciado na introdução 7 e nas consi<strong>de</strong>rações finais 8 do<br />
relatório da dupla. Além disso, a dupla apresentou uma solução curiosa na questão 8,<br />
citada acima. Por isso, <strong>de</strong>cidi entrevistar a dupla para compreen<strong>de</strong>r melhor algumas<br />
respostas <strong>de</strong>stes alunos e a sua opinião sobre este tipo <strong>de</strong> ativida<strong>de</strong>.<br />
6 Note-se que, neste momento, eu po<strong>de</strong>ria ter aproveitado para incentivar outra investigação para<br />
que os alunos solucionassem sua questão. Entretanto, como pretendia encerrar uma etapa naquela ocasião,<br />
optei por dar o resultado pronto, contrariando a proposta inicial.<br />
7 A introdução da dupla encontra-se na primeira página <strong>de</strong>ste capítulo.<br />
8 As consi<strong>de</strong>rações finais <strong>de</strong>sta dupla serão apresentadas no último capítulo <strong>de</strong>sta monografia.<br />
28
Além disso, como relatado anteriormente, nos comentários sobre as questões 8 a<br />
10, essa dupla tentou linearizar as funções trigonométricas seno e cosseno e essa<br />
tentativa me chamou a atenção.<br />
3.2 Entrevista com a dupla <strong>de</strong> alunos F e G<br />
A seguir, apresento as perguntas que fiz na entrevista com os alunos F e G, bem<br />
como apresento suas respostas.<br />
Pesquisadora: Na questão 1 vocês realizaram corretamente a construção dos<br />
vários triângulos retângulos, figura 3. Por que escreveram que a medida do cateto<br />
oposto, referente ao ângulo <strong>de</strong> 10º, era <strong>de</strong> 10 cm?<br />
Eles disseram que na verda<strong>de</strong> iriam corrigir, pois, perceberam que era próximo<br />
<strong>de</strong> 10 cm, mas não po<strong>de</strong>ria ser 10 cm: “se for 10, a soma dos outros dois vai ser maior<br />
que o outro (apontando para a hipotenusa)”.<br />
Sobre a questão 6, perguntei: Como vocês concluíram que as medidas são iguais<br />
e que o erro se <strong>de</strong>ve a falhas nas medições?<br />
Olhando para a figura, G disse: A gente pensou que esse cateto era do tamanho<br />
<strong>de</strong>sse, porque aqui tá o 10º e no outro tá aqui (apontando para os triângulos<br />
congruentes).<br />
Figura 4: Reprodução da figura <strong>de</strong>senhada pela dupla F e G, <strong>de</strong>stacando os<br />
triângulos apontados por eles.<br />
29
Pesquisadora: Vocês querem dizer que os triângulos são iguais?<br />
Alunos: Sim, como se diz, eles estão invertidos. Vira o triângulo.<br />
Pesquisadora: Po<strong>de</strong>-se afirmar que cos 2α<br />
= 2cosα<br />
? Por quê?<br />
Alunos: Como os ângulos são diferentes, os cossenos são diferentes. Pelos<br />
triângulos formados.<br />
Pesquisadora: Sempre?<br />
Alunos: Não. De 0º até 90º.<br />
Pesquisadora: Se β > α , po<strong>de</strong>-se afirmar que sen β > senα<br />
? Por quê?<br />
Alunos: É, <strong>de</strong> 0º até 90º.<br />
Pesquisadora: Vocês concordam que um exemplo não é suficiente para<br />
comprovar este fato?<br />
Alunos: Sim.<br />
G: Já aconteceu <strong>de</strong> um exemplo dar certo mas com os outros exemplos dá<br />
errado. F: Às vezes você dá sorte <strong>de</strong> pegar um número que funciona.<br />
Depois, os alunos citaram a primeira ativida<strong>de</strong> <strong>de</strong>senvolvida no Coltec: “A mesa<br />
<strong>de</strong> Snooker”, que foi trabalhada em sua turma no início do ano letivo e encontra-se no<br />
livro: “<strong>Investigações</strong> <strong>Matemáticas</strong> na Sala <strong>de</strong> Aula”. (PONTE, BROCARDO E<br />
OLIVEIRA, 2006, p.56).<br />
primeiro)<br />
Alunos: A gente achava que era uma coisa, aí a Professora falou que não dava.<br />
Pesquisadora: No ciclo todo, tem como cos β > cosα<br />
e α > β ?<br />
Alunos: Aí tem. (apontando para um ângulo no segundo quadrante e outro no<br />
Pesquisadora: O seno <strong>de</strong> 90º é igual a 1?<br />
Alunos: A gente viu que ia chegando cada vez mais próximo <strong>de</strong> 1.<br />
Pesquisadora: Como vocês po<strong>de</strong>riam medir seno <strong>de</strong> 90º, já que não tem como<br />
construir este triângulo?<br />
Alunos: É, não existe, por isso, a gente pegou o extremo.<br />
G: Teve também aquela outra situação... (o aluno pe<strong>de</strong> para escrever). A gente<br />
viu que equações do tipo: 12 4 5<br />
2<br />
+ =<br />
x x<br />
, se a gente colocasse tudo na mesma base,<br />
dava pra cortar as bases e fazer com os expoentes.<br />
Pesquisadora: Como assim? Desenvolva:<br />
E o aluno G escreve:<br />
30
12 2x<br />
+ 4 = 5<br />
x<br />
3 2 2x<br />
2<br />
2 + 2 + 2 = 2 +<br />
3 + 2 + 2x<br />
= 2 + 0<br />
3<br />
x = −<br />
2<br />
2<br />
0<br />
G continua a dizer: Aí na prova, a gente fez e a professora disse que estava<br />
errado, que não funcionava com todas. Mas a gente disse que sabia quando dava certo.<br />
Aquele que tem que substituir outra letra não dá. É porque eu já tinha feito muitos<br />
exercícios do livro e testado.<br />
Pesquisadora: O que vocês acharam <strong>de</strong>sta ativida<strong>de</strong> <strong>de</strong> trigonometria?<br />
Alunos: Muito bacana! Bacana mesmo!<br />
Pela entrevista, percebo que os alunos são conscientes da importância <strong>de</strong> uma<br />
<strong>de</strong>monstração geral, já que disseram: “Às vezes você dá sorte <strong>de</strong> pegar um número que<br />
funciona”. No entanto, consi<strong>de</strong>ram, no último exemplo apresentado, que é possível<br />
aplicar um método, já que o testaram várias vezes.<br />
É bastante natural o aluno explorar um problema, encontrar um padrão, <strong>de</strong>finir<br />
uma conjectura, mas não conseguir prová-la. Para ele, certo número <strong>de</strong> casos que<br />
funcionam já é suficiente. Por isso, o professor precisa preparar a ativida<strong>de</strong> e, se<br />
possível, encontrar contra-exemplos para as diferentes possibilida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> respostas<br />
previsíveis. Assim, o aluno sente-se questionado sobre sua solução, <strong>de</strong>safiado, e procura<br />
uma solução geral. Algumas vezes é necessária a participação do professor nesse<br />
momento <strong>de</strong> <strong>de</strong>monstração.<br />
Fiquei satisfeita com este diálogo e, embora tenha conversado informalmente<br />
com outras duplas, <strong>de</strong>cidi por não realizar outra entrevista.<br />
A seguir, apresento minhas consi<strong>de</strong>rações finais a respeito do trabalho relatado<br />
nesta monografia.<br />
31
CAPÍTULO 4<br />
CONSIDERAÇÕES FINAIS<br />
No trabalho aqui relatado, aprimorei uma ativida<strong>de</strong> <strong>de</strong>senvolvida e utilizada por<br />
professores do Coltec, implementei e analisei uma proposta <strong>de</strong> ensino <strong>de</strong> conceitos<br />
trigonométricos em duas turmas do 1º ano do Ensino Médio.<br />
A partir da minha experiência como docente e do contato com outros<br />
professores, percebia um excesso <strong>de</strong> formalismo e tecnicismo no ensino e aprendizagem<br />
do círculo trigonométrico e a consequente dificulda<strong>de</strong> dos alunos em interpretar<br />
problemas envolvendo conceitos associados a ele.<br />
Iniciei, então, um estudo da literatura acerca <strong>de</strong>sse assunto, no sentido <strong>de</strong><br />
i<strong>de</strong>ntificar os principais obstáculos, <strong>de</strong> forma a po<strong>de</strong>r enfrentá-los melhor. Foi a partir<br />
<strong>de</strong>ssa pesquisa bibliográfica que percebi nas investigações matemáticas uma excelente<br />
ferramenta para o ensino <strong>de</strong> <strong>Trigonometria</strong>, já que, por meio <strong>de</strong>las, os alunos po<strong>de</strong>riam<br />
explorar e construir vários conhecimentos.<br />
É importante <strong>de</strong>stacar que o sucesso <strong>de</strong>ssas ativida<strong>de</strong>s <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> da criação <strong>de</strong> um<br />
ambiente <strong>de</strong> exploração, <strong>de</strong>safios e investigações. Felizmente, como já foi comentado,<br />
os alunos do Coltec trabalharam com ativida<strong>de</strong>s investigativas <strong>de</strong>s<strong>de</strong> o início do ano<br />
(2008). E somente no final do ano, em outubro, os alunos realizaram as ativida<strong>de</strong>s<br />
propostas por mim, na realização <strong>de</strong>sta pesquisa.<br />
Sugiro que os professores que <strong>de</strong>sejarem utilizar as investigações matemáticas,<br />
iniciem o trabalho com ativida<strong>de</strong>s investigativas simples, para que os alunos,<br />
acostumados com ativida<strong>de</strong>s “tradicionais”, sintam-se à vonta<strong>de</strong> para levantar questões<br />
e propor conjecturas.<br />
No Coltec, por exemplo, os alunos que ingressam na instituição apresentam<br />
resistência quando são convidados a explorar conteúdos matemáticos por meio <strong>de</strong><br />
ativida<strong>de</strong>s diferenciadas das aulas expositivas, pois estão acostumados a ver as<br />
ativida<strong>de</strong>s “prontas” apresentadas pelo professor em suas aulas. Nesse momento é que o<br />
professor <strong>de</strong>ve intervir proporcionando ativida<strong>de</strong>s interessantes e <strong>de</strong>safiadoras.<br />
Estimular o trabalho em conjunto também po<strong>de</strong> proporcionar muitos benefícios<br />
aos alunos. Eles po<strong>de</strong>m trocar i<strong>de</strong>ias uns com os outros e apren<strong>de</strong>r a trabalhar<br />
coletivamente.<br />
32
Para que a ativida<strong>de</strong> realizada alcançasse o seu objetivo e fosse satisfatória,<br />
também foi importante <strong>de</strong>senvolver cuidadosamente um roteiro e i<strong>de</strong>ias para propor aos<br />
alunos. Dessa forma, foi possível dar uma boa sequência à discussão quando eles<br />
propunham questões.<br />
Essas questões foram importantes para <strong>de</strong>senca<strong>de</strong>ar a investigação e, em minha<br />
avaliação, <strong>de</strong> gran<strong>de</strong> relevância para a aprendizagem dos alunos.<br />
Ao professor, além da realização <strong>de</strong>ste roteiro, também caberá o papel <strong>de</strong><br />
incentivar os alunos a interpretar, criar estratégias, acompanhar o trabalho dos grupos<br />
questionando suas conjecturas, apoiá-los, dando-lhes autonomia e valorizando suas<br />
i<strong>de</strong>ias, bem como avaliar seu progresso. Cada roteiro <strong>de</strong>ve ser criado <strong>de</strong> maneira a se<br />
a<strong>de</strong>quar aos conhecimentos que os alunos já têm até o momento. A ativida<strong>de</strong> <strong>de</strong>ve<br />
retomar conceitos matemáticos e estimular a aquisição <strong>de</strong> novos conhecimentos<br />
construídos pela investigação. A ativida<strong>de</strong> I, por exemplo, não atingiu o caráter<br />
investigativo, <strong>de</strong> acordo com Ponte, Brocardo e Oliveira (2006), pois a maioria dos<br />
alunos já conhecia o conteúdo estudado. Foi preciso criar a ativida<strong>de</strong> II, com conteúdos<br />
novos, para que os alunos sentissem interesse e investigassem as questões propostas. Na<br />
questão 6, por exemplo, são feitas as seguintes perguntas: “O que você concluiu com<br />
relação aos valores <strong>de</strong> sen 10º e cos 80º? “E com relação aos <strong>de</strong> sem 20º e cos 70º? Por<br />
quê?”e uma dupla inferiu que cos 10º é igual ao sen 80º quando os ângulos são<br />
complementares, e isso ocorre porque os triângulos são congruentes. Para que esses<br />
alunos fizessem estas conjecturas, era preciso conhecer a <strong>de</strong>finição <strong>de</strong> ângulos<br />
complementares e as condições para que dois triângulos sejam congruentes.<br />
Além disso, consi<strong>de</strong>ro importante recolher e ler os relatórios dos alunos, já que<br />
essa ativida<strong>de</strong> estimula a sua escrita e a síntese das i<strong>de</strong>ias. É também um bom<br />
instrumento para avaliação da ativida<strong>de</strong>.<br />
Após a aplicação da ativida<strong>de</strong> e a obtenção <strong>de</strong> seus relatórios, das discussões<br />
geradas durantes as aulas e das observações feitas durante toda a pesquisa, analisei os<br />
dados procurando associar minhas observações com as referências obtidas através das<br />
leituras realizadas sobre investigações matemáticas.<br />
A partir <strong>de</strong>ssa análise, consi<strong>de</strong>ro que a ativida<strong>de</strong> proposta oferece gran<strong>de</strong>s<br />
contribuições para o ensino e a aprendizagem <strong>de</strong> <strong>Trigonometria</strong>, já que os alunos foram<br />
capazes <strong>de</strong> compreen<strong>de</strong>r as razões seno e cosseno no círculo trigonométrico por meio <strong>de</strong><br />
explorações gradativas indicadas pelo roteiro. Observemos as conclusões <strong>de</strong> uma dupla,<br />
que comprovam a aprendizagem dos estudantes:<br />
33
“Concluímos com essa ativida<strong>de</strong> que quando obtemos e sabemos utilizar com<br />
aptidão os cálculos para <strong>de</strong>scobrir o seno e/ou o cosseno <strong>de</strong> um ângulo no círculo<br />
trigonométrico, é possível <strong>de</strong>scobrir qualquer outro. Vimos também que não só seno,<br />
cosseno e tangente <strong>de</strong> ângulos entre 0º e 90º po<strong>de</strong>ndo ser calculados, po<strong>de</strong>mos calcular<br />
além <strong>de</strong>stes, os valores em ângulos, maiores que 90º, maiores que 360º e até negativos,<br />
apenas com o círculo que apren<strong>de</strong>mos.” (Conclusão retirada do relatório da dupla I e J)<br />
Também pu<strong>de</strong> perceber que os alunos que mais se adaptam às propostas<br />
investigativas revelam gostar, compreendê-las e apren<strong>de</strong>r o conteúdo ensinado.<br />
Vejamos as consi<strong>de</strong>rações finais da dupla formada pelos alunos F e G:<br />
“Esta ativida<strong>de</strong> teve um papel muito produtivo no aprendizado sobre<br />
trigonometria, pois permitiu que discutíssemos e chegássemos a conclusões que não<br />
chegaríamos se não tivéssemos um roteiro que “guiasse” o nosso raciocínio. Dessa<br />
forma, creio que a ativida<strong>de</strong> foi muito produtiva, até mesmo pelo fato <strong>de</strong> fazer com que<br />
levantássemos questões e formulássemos hipóteses, além <strong>de</strong> buscarmos meios para<br />
comprová-los.<br />
Pu<strong>de</strong>mos perceber que um dos objetivos <strong>de</strong>ssa ativida<strong>de</strong> era instigar e<br />
trabalharmos com o método e pensamento científico <strong>de</strong> modo que, assim como os<br />
cientistas fazem, formulamos hipóteses, a partir <strong>de</strong> dados coletados, e <strong>de</strong>pois<br />
comprovamos se essas hipóteses eram corretas ou não – embora em alguns casos a<br />
questão ainda esteja em aberto.<br />
Dessa forma, embora estejamos encerrando este relatório não encerramos<br />
nossa busca por respostas algumas <strong>de</strong>las para hipóteses já formuladas, e outra para<br />
evidências apenas, que são apenas questões formuladas em nossa mente, e que iremos<br />
buscar explicações.”<br />
Essas consi<strong>de</strong>rações reforçam, ainda, a necessida<strong>de</strong> <strong>de</strong> validar ou não as<br />
conjecturas dos alunos, prová-las quando possível, e formalizar/sintetizar os conteúdos<br />
vistos. Por isso, fui ao quadro, no final da ativida<strong>de</strong>, levantar questões, provocar<br />
discussões e sistematizar os conteúdos vistos. Foi neste momento que algumas duplas<br />
conseguiram assimilar as questões e as conjecturas esperadas. Na aula seguinte os<br />
alunos entregaram os relatórios.<br />
34
Outro trecho retirado do relatório <strong>de</strong> uma dupla também reforça a importância<br />
<strong>de</strong>ssa sistematização e comprova que algumas duplas po<strong>de</strong>m compreen<strong>de</strong>r os conteúdos<br />
somente após a sistematização do professor:<br />
“Depois a professora nos explicou sobre o círculo. Desenhamos os triângulos<br />
da primeira figura <strong>de</strong>ntro do círculo e a professora nos mostrou que a partir <strong>de</strong>sse<br />
círculo po<strong>de</strong>mos encontrar o seno (eixo y) ou o cosseno (eixo x) <strong>de</strong> qualquer valor, que<br />
não se limita a 0º ou a 90º”.<br />
(Trecho retirado do relatório da dupla J e Y)<br />
Espero, com este trabalho, ter conseguido apontar os benefícios das<br />
investigações matemáticas para o ensino <strong>de</strong> <strong>Trigonometria</strong> e disponibilizar meu relato e<br />
minhas reflexões para que outros professores possam realizar as mesmas ativida<strong>de</strong>s ou<br />
uma adaptação <strong>de</strong>las <strong>de</strong> acordo com a realida<strong>de</strong> <strong>de</strong> seus alunos.<br />
Almejo, também, que este trabalho possa ajudar o professor interessado na<br />
criação <strong>de</strong> outras ativida<strong>de</strong>s, em conteúdos diferentes, como eu fiz ao criar o roteiro para<br />
a ativida<strong>de</strong> <strong>de</strong>scrita nesta pesquisa a partir <strong>de</strong> leituras teóricas sobre investigações e<br />
ativida<strong>de</strong>s investigativas.<br />
35
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS<br />
BRASIL. Secretaria <strong>de</strong> Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais<br />
Ensino Médio: Matemática. MEC /SEF, 1998. 148 p.<br />
BRIGHENTI, Maria José Lourenção. Alterando o Ensino da <strong>Trigonometria</strong> em Escolas<br />
Públicas <strong>de</strong> Nível Médio: A Representação <strong>de</strong> Algumas Professoras. Zetetiké –<br />
CEMPEM – FE/UNICAMP – v.8 – nº 13/14, p. 51-79 – Jan./Dez. <strong>de</strong> 2000.<br />
BRIGHENTI, Maria José Lourenção. Representações gráficas: ativida<strong>de</strong>s para o<br />
ensino e a aprendizagem <strong>de</strong> conceitos trigonométricos – Bauru, SP : EDUSC, 2003.<br />
150 p.; 21 cm. (Coleção Educar)<br />
FIORENTINI, Dario. Investigação em educação matemática: percursos teóricos e<br />
metodológicos / Dario Fiorentinni, Sergio Lorenzato. – Campinas, SP: Autores<br />
Associados, 2006. (Coleção formação <strong>de</strong> professores).<br />
MENDES, I.A. Ativida<strong>de</strong>s Históricas para o Ensino da <strong>Trigonometria</strong>. In: BRITO,A.J.<br />
et.al.(ORG.) História da Matemática em ativida<strong>de</strong>s didáticas. Natal, RN: EDUFRN<br />
Editora da UFRN, 2005, p. 53-87.<br />
PONTE, João Pedro da, BROCARDO, Ivana; OLIVEIRA, Hélio. <strong>Investigações</strong><br />
matemáticas na sala <strong>de</strong> aula. – 1ª ed. – Belo Horizonte: Autêntica, 2006. 152 p. –<br />
(Tendências em educação matemática, 7).<br />
ROCHA, Alexandra; PONTE, João Pedro da. Apren<strong>de</strong>r matemática investigando.<br />
Zetetiké – CEMPEM – FE – UNICAMP – v. 14 – n. 26 – jul./<strong>de</strong>z. – 2006.<br />
SKOVSMOSE, O., Cenários para investigação. Bolema, Rio Claro, n.14, p. 66-91,<br />
2000.<br />
SMOLE, Kátia Cristina Stocco. Matemática – Volume 1 – 1ª série – ensino médio/Kátia<br />
Cristina Stocco Smole, Maria Ignez <strong>de</strong> Souza Vieira Diniz. – 3. Ed. Reform. – São<br />
Paulo: Saraiva, 2003.<br />
36
ANEXOS<br />
Anexo 1 - Ativida<strong>de</strong> 1: <strong>Trigonometria</strong> no triângulo retângulo<br />
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO<br />
1) Desenhe triângulos retângulos que tenha um ângulo <strong>de</strong>:<br />
a) 30 o<br />
b) 45 o<br />
c) 50 o<br />
2) Dê as medidas dos lados <strong>de</strong> cada triângulo. Lembre que os lados do triângulo<br />
retângulo são nomeados da seguinte maneira:<br />
3) Para cada triângulo calcule:<br />
a) a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa<br />
b) a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa<br />
c) a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente<br />
4) Compare os seus resultados, do triângulo com ângulo <strong>de</strong> 30 o , com mais três grupos e<br />
preencha o quadro:<br />
Razão Meu grupo Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3<br />
cateto oposto e a hipotenusa<br />
cateto adjacente e a hipotenusa<br />
cateto oposto e o cateto adjacente<br />
5) Preencha o quadro para os seguintes triângulos:<br />
Sabendo que:<br />
cateto oposto<br />
α<br />
cateto adjacente<br />
O<br />
hipotenusa<br />
α<br />
B<br />
A<br />
D<br />
C<br />
F<br />
E<br />
37
AO = 10<br />
AB = 6<br />
CO = 15<br />
CD = 9<br />
EO = 20<br />
EF = 12<br />
Razão ∆ OAB ∆ OCD ∆ OEF<br />
oposto e a hipotenusa<br />
cateto adjacente e a hipotenusa<br />
cateto oposto e o cateto adjacente<br />
Como se po<strong>de</strong> perceber, as razões observadas são constantes para um mesmo ângulo. A<br />
essas constantes daremos os nomes <strong>de</strong>:<br />
cateto oposto<br />
sen α =<br />
hipotenusa<br />
cateto adjacente<br />
cos α =<br />
hipotenusa<br />
Exercícios<br />
cateto oposto<br />
tg α =<br />
cateto adjacente<br />
1) Dado um quadrado <strong>de</strong> lado 1, tome o triângulo retângulo formado por dois dos seus<br />
lados e a diagonal e <strong>de</strong>termine seno, cosseno e tangente do ângulo <strong>de</strong> 45 o<br />
2) Dado um triângulo eqüilátero <strong>de</strong> lado 1 <strong>de</strong>termine os seno, cosseno e tangente dos<br />
ângulos <strong>de</strong> 30 o e 60 o<br />
3) Um homem está exatamente na direção <strong>de</strong> uma árvore, porém, na margem oposta do<br />
rio. Ele nota que ao caminhar 10m, em linha reta na margem do rio, a árvore fica em<br />
uma direção que faz 45 o com a da margem. Determine a largura do rio.<br />
4) Um prédio, com 30m <strong>de</strong> altura, às 10 horas da manhã faz uma sombra <strong>de</strong> 30 3 m.<br />
Determine o ângulo <strong>de</strong> inclinação do sol em relação ao horizonte.<br />
5) Um poste <strong>de</strong>verá ser sustentado por um cabo que liga sua extremida<strong>de</strong> ao solo.<br />
Sabendo que este cabo <strong>de</strong>ve fazer ângulo <strong>de</strong> 30 o com o solo e que o poste tem 5m <strong>de</strong><br />
altura, <strong>de</strong>termine o comprimento do cabo.<br />
38
Anexo 2 - Ativida<strong>de</strong> 2: Construção do círculo trigonométrico<br />
ATIVIDADE: SISTEMATIZAÇÃO DOS CÁLCULOS DAS RAZÕES SENO E<br />
COSSENO DE UM ÂNGULO AGUDO<br />
Importante: Esta ativida<strong>de</strong> tem caráter investigativo. Durante sua realização anote tudo<br />
o que julgar necessário. Cada dupla <strong>de</strong>verá elaborar um relatório, com base nas<br />
anotações, contendo as discussões e conclusões da dupla.<br />
1-A partir do segmento AB que me<strong>de</strong> 1 dm (10 cm), dado abaixo, construa triângulos<br />
retângulos A C1 D, A C2 D, ... (D é um ponto do segmento AB e CD é perpendicular a<br />
AB), sobre o segmento AB mantendo a hipotenusa AC constante igual a 1 dm, variando<br />
o ângulo (CÂD) <strong>de</strong> 10 em 10 graus.<br />
2-Meça e anote a medida dos catetos <strong>de</strong> cada triângulo <strong>de</strong>senhado, preenchendo a<br />
tabela:<br />
α = 10°<br />
α = 20°<br />
α = 30°<br />
α = 40°<br />
α = 50°<br />
α = 60°<br />
α = 70°<br />
α = 80°<br />
Cateto oposto a α Cateto adjacente a α<br />
3-Que representação geométrica será obtida se ligarmos todos os pontos da trajetória do<br />
vértice C1, C2,...?<br />
4-Encontre os valores das razões (seno e cosseno) solicitadas, preenchendo a tabela:<br />
Sem<br />
α = 10°<br />
α = 20°<br />
α = 30°<br />
α = 40°<br />
α = 50°<br />
α = 60°<br />
α = 70°<br />
α = 80°<br />
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α<br />
Cós<br />
α<br />
sen α<br />
5-Determine o valor da tg α , utilizando o quociente = tg α . (Acrescente na<br />
cos α<br />
tabela anterior mais uma linha para os valores <strong>de</strong> tg α .)<br />
6-Observe a tabela e responda: O que você concluiu com relação aos valores <strong>de</strong> sen 10°<br />
e cos 80°? E com relação aos <strong>de</strong> sen 20° e cos 70°? Por quê?<br />
7-Po<strong>de</strong>-se afirmar que cos 2α = 2.cos α ? Por quê?<br />
8-Quando α varia, o que acontece com os valores <strong>de</strong> sen α e cos α ?<br />
9-Se β > α , po<strong>de</strong>-se afirmar que sen β > senα<br />
? Por quê?<br />
10-Se β > α , po<strong>de</strong>-se afirmar que cos β > cosα<br />
? Por quê?<br />
11-Consulte uma tabela trigonométrica ou utilize uma calculadora e preencha os dados:<br />
sen α<br />
cos α<br />
3° 2° 1° 0,5°<br />
12-Quanto será o valor <strong>de</strong> sen α , para α próximo <strong>de</strong> 0°? E o valor <strong>de</strong> cos α ?<br />
13-Qual será o valor <strong>de</strong> sen α e cos α , para α próximos <strong>de</strong> 90°?<br />
sen α<br />
cos α<br />
85° 88° 89° 90°<br />
14-Fazendo α varia <strong>de</strong> 0° a 90° qual a variação do sen α e do cosα ?<br />
15- Construa o círculo <strong>de</strong> centro A e raio 1 dm (10 cm).<br />
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16- Insira os eixos cartesianos no círculo posicionando o centro do círculo no ponto<br />
(0,0). Quais são as coor<strong>de</strong>nadas dos pontos <strong>de</strong> interseção do círculo com os eixos<br />
cartesianos?<br />
17-. Coloque nomes nesses pontos usando as letras A, A’,B, B’.<br />
18- No círculo trigonométrico o ponto da extremida<strong>de</strong> <strong>de</strong> um arco se associa a um<br />
ângulo ou a um arco, porém será que existe outro ponto no círculo trigonométrico que<br />
se associa ao mesmo arco?<br />
Anexo 3 - Ativida<strong>de</strong> 3: Medir a altura <strong>de</strong> objetos sem a utilização <strong>de</strong> sombra<br />
TRABALHO DE TRIGONOMETRIA<br />
Escreva e registre as suas observações, discussões entre os colegas, or<strong>de</strong>m <strong>de</strong> suas<br />
idéias e conclusões.<br />
A trigonometria surgiu no séc V a. C. para resolver problemas práticos oriundos<br />
das necessida<strong>de</strong>s humanas. Os gregos realizavam medições <strong>de</strong> altura <strong>de</strong> objetos a partir<br />
<strong>de</strong> sua sombra. Os egípcios utilizavam oesses conhecimentos para resolver problemas<br />
cotidianos, por exemplo, <strong>de</strong>terminar a altura <strong>de</strong> um barranco utilizando-se da medida <strong>de</strong><br />
sua sombra, quando o sol estivesse a 45º do horizonte. Entretanto, um dos problemas<br />
que os egípcios enfrentavam para efetuar essa medição era o fato <strong>de</strong> haver apenas dois<br />
dias do ano que o sol ficasse a 45º do horizonte, naquela região. Um problema prático<br />
que marca o encontro <strong>de</strong> duas gran<strong>de</strong>s civilizações que influenciaram o<br />
<strong>de</strong>senvolvimento da geometria e conseqüentemente da trigonometria - egípcios e<br />
gregos, cada um com seus costumes, valores, problemas econômicos, políticos e sociais<br />
– foi o cálculo da altura da pirâmi<strong>de</strong> <strong>de</strong> base quadrada - a Pirâmi<strong>de</strong> <strong>de</strong> Quéops.<br />
Com o passar do tempo, a estratégia <strong>de</strong>senvolvida por Tales <strong>de</strong> Mileto, filósofo grego<br />
que viveu por volta do século 6 a.C, <strong>de</strong> utilizar a sombra do objeto, foi sendo<br />
aperfeiçoada e a altura do objeto passou a ser calculada a partir das relações entre os<br />
lados e ângulos <strong>de</strong> dois ou mais triângulos retângulos.<br />
Exercício 1: Para compreen<strong>de</strong>r melhor esta estratégia propomos a realização <strong>de</strong> um<br />
experimento a ser realizado <strong>de</strong> acordo com as instruções abaixo:<br />
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MATERIAL:<br />
Um transferidor; um canudinho <strong>de</strong> plástico; um clips, trena ou fita métrica.<br />
Construa um instrumento <strong>de</strong> medição <strong>de</strong> ângulos (Astrolábio) <strong>de</strong> acordo com a figura.<br />
PROCEDIMENTOS:<br />
1) Escolha um dos prédios do campus da UFMG para ser medido.<br />
2) Procure ficar aproximadamente a 4,0 m <strong>de</strong> distância do prédio, <strong>de</strong> modo a observá-<br />
lo por inteiro.<br />
3) Coloque o instrumento confeccionado na direção do prédio a ser medido, <strong>de</strong> modo<br />
que você possa ver o topo do prédio através do orifício do canudinho.<br />
4) Observe e anote o ângulo marcado pelo canudinho do transferidor e represente<br />
geometricamente em uma folha <strong>de</strong> papel. Após a representação do triângulo observado,<br />
<strong>de</strong>senhe outro triângulo retângulo semelhante ao anterior e que tenha um ângulo agudo<br />
igual ao encontrado no instrumento usado pelo grupo.<br />
5) Estabeleça a relação entre os lados e ângulos dos triângulos retângulos construídos<br />
para <strong>de</strong>terminar a altura do prédio (o triângulo em que um dos lados representa a altura<br />
do prédio e o outro triângulo <strong>de</strong>senhado no papel semelhante ao triângulo construído<br />
com a medida do prédio).<br />
6) Faça um relatório completo sobre o experimento e aponte: O que você observou?<br />
Quais os resultados encontrados durante a realização do experimento? O triângulo<br />
<strong>de</strong>senhado pelo grupo po<strong>de</strong> ter lados maiores ou menores? Quando alteramos as<br />
medidas dos lados <strong>de</strong>sse triângulo o que acontece com a razão entre os lados e ângulos<br />
dos triângulos retângulos? Como o grupo explica o resultado encontrado?<br />
Resolva os problemas abaixo usando as relações que o grupo encontrou no experimento<br />
da ativida<strong>de</strong> 1.<br />
Exercício 2: Uma pessoa se localiza a 6,30 m da base <strong>de</strong> um poste. Num <strong>de</strong>terminado<br />
instante, a sombra projetada por ela é <strong>de</strong> 2,70 m e coinci<strong>de</strong> com a extremida<strong>de</strong> da<br />
sombra do poste. Sabendo que essa pessoa me<strong>de</strong> 1,80 m, <strong>de</strong>termine a altura do poste.<br />
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Exercício 3: Uma canoa atravessa um rio em um trecho on<strong>de</strong> a largura é <strong>de</strong> 100 m,<br />
seguindo uma direção que forma 60º com a margem:<br />
a) Qual a distância percorrida pela canoa?<br />
b) Quantos metros <strong>de</strong>svia-se rio abaixo em relação ao ponto <strong>de</strong> partida?<br />
Referência: MENDES, I.A. Ativida<strong>de</strong>s Históricas para o Ensino da <strong>Trigonometria</strong>. In:<br />
BRITO,A.J. et.al.(ORG.) História da Matemática em ativida<strong>de</strong>s didáticas. Natal, RN:<br />
EDUFRN Editora da UFRN, 2005, p. 53-87.<br />
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