Cap´ıtulo 15 Máximos e M´ınimos em Intervalos Fechados

204 Cap. 15. Máximos e Mínimos em Intervalos Fechados
5. Uma companhia de aviação freta um avião de 50 lugares de acordo com as seguintes condições especificadas no
contrato de afretamento:
(a) Cada passageiro pagará 600 reais se todos os 50 lugares forem vendidos.
(b) Cada passageiro pagará um adicional de 30 reais por lugar não vendido.
Quantos lugares a companhia deve vender para obter renda máxima?
6. Seja f(x) = x 2 , para x pertencente ao intervalo [0, 1]. Determine a reta r tangente ao gráfico de f(x), tal que o
triângulo determinado por r, a reta x = 1 e a reta y = 0 tenha a maior área possível.
7. Num certo país, endividado até o pescoço, descobriu-se que a solução de todos os problemas estava na criação
de um combustível para substituir as importações de petróleo. Após muitas pesquisas foi criado o Tomatóleo,
uma mistura de extrato de tomate e gasolina. O litro de extrato de tomate (ET) custa R$ 0,30 e o de gasolina
(GS) custa R$ 0,50. Porém, um litro de Tomatóleo, com x litros de ET, dá para um carro médio percorrer 10
1+x
quilômetros. Determine a quantidade de ET que minimiza o custo por quilômetro.
8. Dada a função f(x) = 1 + √ 18 − 2 x 2 , para x ∈ [−3, 3] e o ponto P = (2, 1). Determine a maior e a menor
distâncias de P aos pontos do gráfico de f.
9. Com a finalidade de evitar a construção de prédios muito altos em terrenos pequenos, foi criada na cidade do
Sonho Dourado a seguinte lei: “ É obrigatória a existência de uma área livre em torno da área construída, com
largura mínima de 50cm por metro de altura da construção, medidos a partir dos limites do terreno”. Assim,
em Sonho Dourado, um prédio de 20 m de altura deverá ser construído em centro de terreno a uma distância
de, pelo menos, 0, 5x20 = 10 m dos limites do terreno. Supondo que você:
(a) More em Sonho Dourado.
(b) Tenha um terreno de 30 m por 30 m.
(c) Deseja construir um prédio em forma de paralelepípedo que tenha volume máximo.
(d) Seja um cidadão respeitador das leis.
Pergunta-se: Quais deveriam ser as dimensões do prédio a ser construído?
10. Determine as dimensões do cilindro de área máxima inscrito em um cone circular reto dado.
11. Determine o retângulo de maior área inscrito na região acima da parábola y = x 2 e abaixo da parábola y = −2 x 2 + 3,
cujos lados são paralelos aos eixos coordenados.
12. Em um terreno com a forma de um semicírculo de 25 m de raio, deseja-se construir uma piscina com a forma
de um triângulo retângulo com hipotenusa igual ao diâmetro do círculo e um vértice no semi-círculo. Calcule as
dimensões da piscina de área máxima.
13. Uma janela normanda tem a forma de um retângulo encimado por um semicírculo. Se o perímetro da janela é
2 m, encontre as dimensões da janela para que penetre o máximo de luz possível.
14. Sabendo que a resistência de uma viga retangular é proporcional ao produto da largura pelo quadrado da altura
de sua seção transversal, quais serão as dimensões da viga a ser cortada de um toro cilíndrico de raio r para
assegurar a maior resistência possível?
15. Um segmento de reta, de comprimento fixo L, une o vértice de um retângulo ao ponto médio do lado oposto.
Qual a maior área possível de tal retângulo?
16. Uma tipografia dispõe de 8 impressoras, cada uma das quais pode imprimir 3600 cópias por hora. Custa R$ 5,00
para preparar cada impressora para a operação e 10 + 6 n reais para fazer funcionar n impressoras durante uma
hora. Quantas impressoras devem ser utilizadas para imprimir 50000 cópias de um cartaz de forma a obter um
lucro máximo?
17. Um fazendeiro deseja contratar trabalhadores para colher 900 alqueires de grãos. Cada trabalhador pode colher
5 alqueires por hora e recebe em pagamento R$ 1,00 por alqueire. O fazendeiro deve ainda pagar um capataz
a R$ 10,00 por hora para supervisionar a colheita e tem ainda uma despesa adicional de R$ 8,00 com refeições
por trabalhador. Quantos trabalhadores deve contratar de modo a minimizar o custo total? Quanto será então
o custo do alqueire colhido?