Cap´ıtulo 15 Máximos e M´ınimos em Intervalos Fechados

W.Bianchini, A.R.Santos 203
Como esta derivada está definida em toda a reta, os únicos pontos críticos de V são os pontos onde a derivada se
anula. Resolvendo a equação V ′ (x) = 0, obtemos
> pontos_criticos:={solve(diff(V(r),r)=0)};
pontos criticos := {0, 7
3 }
Comparando os valores de V nos pontos críticos e nos extremos do intervalo, temos
> V(0);V(7/2);V(7/3);
0
0
98
9 π
Logo, o valor máximo de V será V ( 7
3
e altura h = 2 cm.
máximo terá raio r = 7
3
15.6 Exercícios
98 π
7
12 r
) = 9 , que é atingido em r = 3 . Como h = 6 − 7 , o cilindro de volume
1. Em cada um dos itens abaixo, decida se a função dada atinge um valor máximo ou um valor mínimo ou ambos,
no intervalo indicado. Se necessário esboce um gráfico da função.
(a) f(x) = 1 − x em [-1,1)
(b) f(x) = | x | em (-1, 1)
(c) f(x) = 1 √ em (0,1]
x
(d) f(x) = x3 + 1 em [-1,1]
(e) f(x) = 1
x2 +1 em (−∞, ∞)
(f) f(x) =
(g) f(x) =
1
x (1−x) 1
x (1−x)
em [2, 3]
em (0, 1).
2. Em cada um dos itens abaixo, determine os valores máximo e mínimo atingidos pela função dada, no intervalo
fechado indicado.
(a) f(x) = 3 x − 2 em [−2, 3]
(b) f(x) = 4 − x 2 em [1, 3]
(c) g(x) = (x − 1) 2 em [−1, 4]
(d) h(x) = x 3 − 3 x em [−3, 5]
em [2, 6]
(f) g(x) = | 2 x − 3 | em [1, 2]
em [0, 3]
(e) f(x) = x + 1
x
(g) f(x) = x
x+1
(h) f(x) = x √ 1 − x 2 em [−1, 1]
3. (a) Seja f(x) = A x + B. Explique por que os valores máximo e mínimo de f, em um intervalo [a, b] qualquer,
devem ocorrer necessariamente nos pontos extremos do intervalo.
(b) Prove que toda função quadrática f(x) = a x 2 + b x + c, onde a ̸= 0, tem exatamente um ponto crítico em
toda a reta.
(c) Explique por que a função polinomial cúbica pode ter dois, um ou nenhum ponto crítico em toda a reta.
Dê exemplos que ilustrem cada um dos casos.
(d) Se f tem um valor mínimo em x = c, mostre que a função g(x) = −f(x) tem um valor máximo neste
mesmo ponto.
15.7 Problemas propostos
1. Prove que o retângulo de área máxima e perímetro dado é o quadrado.
2. Um retângulo de lados paralelos aos eixos coordenados e localizado no primeiro quadrante tem um vértice na
origem, um vértice sobre o eixo x, um vértice sobre o eixo y e o quarto vértice sobre a reta 2 x + y = 100. Qual
a área máxima de tal retângulo?
3. Um campo retangular vai ser fechado com uma cerca e depois dividido ao meio por outra cerca. Se a cerca que
passa pela metade custa R$ 10,00 por metro e a outra R$ 25,00 por metro, encontre as dimensões do campo de
maior área possível que pode ser fechado com um custo de R$ 4800,00.
4. Os pontos A e B são opostos um ao outro nas margens de um rio que mede 3 km de largura. O ponto C está
na mesma margem que B, mas a 6 km de B, rio abaixo. Uma companhia telefônica deseja estender um cabo de
A até C. Se o custo por km do cabo é 25% mais caro sob a água do que em terra, qual o traçado do cabo mais
barato para a companhia?