Cap´ıtulo 15 Máximos e M´ınimos em Intervalos Fechados

W.Bianchini, A.R.Santos 205
18. Uma companhia tem fábricas localizadas (em um sistema de coordenadas adequadamente escolhido) nos pontos
A(0, 1), B(0, −1) e C(3, 0). A companhia planeja construir uma central de distribuição elétrica no ponto P (x, 0).
Qual o valor de x que minimiza o custo de distribuição da energia elétrica produzida?
19. Um gramado circular de 20 m de raio é circundado por um passeio, e uma lâmpada é colocada no cimo de
um poste fincado no centro do gramado. A que altura deve ser colocada a lâmpada para que o passeio receba
iluminação máxima?
k sen(θ)
Observação: a intensidade de iluminação de uma superfície é dada por I = D2 onde D é a distância da fonte
de luz à superfície, θ é o ângulo segundo o qual a luz atinge a superfície e k é uma constante positiva.
20. Cinco placas de metal retangulares medem 210 cm por 336 cm cada. Cortam-se pedaços quadrados iguais de
cada um de seus cantos, e as abas resultantes devem ser dobradas para cima e soldadas, de modo a formar cinco
caixas sem tampa. Os vinte pequenos quadrados retirados são reunidos em grupos de quatro e soldados para
formar cinco quadrados maiores, que por sua vez são soldados de modo a formar uma caixa cúbica sem tampa,
de modo que nenhum material é desperdiçado. Qual o tamanho do corte para que o volume total das seis caixas
assim formadas seja o maior possível?
21. Deve-se construir uma pista de corrida em forma de dois trechos retilíneos, paralelos e de igual comprimento,
unidos por dois semi-círculos nas extremidades. O comprimento da pista (uma volta completa) deve ser de 5
km. Quais são as dimensões da pista que maximizarão a área retangular interna?
22. Um objeto é arrastado num plano horizontal por uma força que age ao longo de uma corda atada a ele. Se a
corda faz um ângulo θ com o plano, então a magnitude da força é dada por
F =
µW
µ sen θ + cos θ ,
onde µ é uma constante positiva chamada coeficiente de fricção e 0 ≤ θ ≤ π
2 . Mostre que F é minimizada
quando tg θ = µ
15.8 Para você meditar: O feirante de Caruaru
Um vendedor foi à feira de Caruaru com sua balança de dois pratos defeituosa, pois tinha um braço mais curto do
que o outro. Para compensar isto, ao atender os fregueses, passou a usar, sucessivamente, os dois lados para pesar a
mercadoria. Por exemplo, se alguém desejava dois quilos de açúcar, o vendedor lhe dava um quilo com excesso (pesado
usando-se um dos pratos da balança) e um quilo com falta (pesado usando-se o outro lado).
• Quem ganha com este processo?
Sugestão: Use a Lei das alavancas para obter uma relação entre o peso da mercadoria e o tamanho dos braços da
balança.