Cap´ıtulo 15 Máximos e M´ınimos em Intervalos Fechados

202 Cap. 15. Máximos e Mínimos em Intervalos Fechados
Devemos determinar as dimensões que fornecerá a área máxima.
Pela simetria da figura ao lado, temos que a área A(x) é dada
por A(x) = 4 x y = −4 x 3 + 16 x, para x variando no intervalo [0,
2]. Como A(x) é contínua nesse intervalo, o teorema dos valores
extremos garante que esta função tem um máximo absoluto em
[0, 2]. Além disso, este máximo ocorre em um dos extremos do
intervalo ou num ponto crítico da função. Como a derivada da
função A(x) é um polinômio do segundo grau, os únicos pontos
críticos de A são os pontos onde a sua derivada se anula. Determinar
estes pontos críticos, portanto, é equivalente a resolver
a equação A ′ (x) = 0. Vamos, uma vez mais, usar o Maple para
fazer as contas:
> A:=x->-4*x^3+16*x:
> crt:={solve(diff(A(x),x)=0,x)};
O ponto crítico que nos interessa é o ponto x = 2 √ 3
3
crt := { 2 √ 2 √
3, − 3}
3 3
4
2
–2 –1 0
1 2
, pois o outro não pertence ao intervalo [0, 2]. Comparando os
valores da função A neste ponto e nos pontos 0 e 2 (extremidades do intervalo), obtemos:
> A(0);A(2);A(2/3*sqrt(3));
0
0
64 √
3
9
Portanto, o ponto de máximo para esta função ocorre em x = 2 √ 3
3
terá base de comprimento igual a 4 √ 3
3
e altura 16
3 .
, conseqüentemente, o retângulo de área máxima
Problema 3
Encontre as dimensões do cilindro circular reto de maior volume que pode ser inscrito em um cone circular reto
com raio 7/2 cm e altura 6 cm.
Solução Veja a figura a seguir, onde representamos um corte transversal do cilindro e esquematizamos o problema
proposto.
6-h
1
O volume do cilindro é dado por V = π r 2 h. Para expressar o volume em termos de uma única variável, precisamos
de outra equação envolvendo r e h.
Usando a figura anterior e semelhança de triângulos, temos 6 7
2
V (r) = π r 2 (6 −
r
7/2
= 6−h
r
12 r
7 ) = 6 π r2 −
12 r
, ou seja, h = 6 − 7 . Logo,
12 π r3
.
7
Esta função é contínua em [0, 7/2], logo tem um valor máximo absoluto neste intervalo. Vamos, então, derivar a
função V para encontrar os seus pontos críticos:
> diff(V(r),r);
V := r → 6 π r 2 −
12 π r − 36
7
π r2
12 π r3
7
–2
–4
x
x
y