Cap´ıtulo 15 Máximos e M´ınimos em Intervalos Fechados

196 Cap. 15. Máximos e Mínimos em Intervalos Fechados
Exemplo 1
Seja f(x) = x 2 definida no intervalo [0, 1), isto é, seu domínio é um intervalo semi-aberto à direita. Observando o
gráfico de f vemos, claramente, que esta função atinge o mínimo em x = 0, porém não atinge um valor máximo. O
candidato a ponto de máximo seria x = 1, porém este ponto não pertente ao domínio de f. Como f é crecente neste
intervalo, qualquer que seja o valor de f(x1) com x1 < 1, existirá sempre um x2, tal que x1 < x2 < 1 e f(x1) < f(x2).
Exemplo 2
A função f definida no intervalo [0, 2] por
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
x
f(x) =
{
1
x−1
x ̸= 1
1 x = 1
não é contínua no ponto x = 1. Seu limite lateral à esquerda lim
lim
x→1 +
x→1 −
1
x − 1
1
= +∞. Portanto, esta função não atinge valor máximo nem mínimo em [0, 2].
x − 1
y
10
8
6
4
2
0
–2
–4
–6
–8
–10
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
x
= −∞ e seu limite lateral à direita
Exercício
Esboce o gráfico de uma função definida em [0, 1] que seja descontínua e tenha um máximo e um mínimo absolutos.
15.2.1 Máximos e mínimos locais
Vimos que o teorema dos valores extremos garante a existência de máximos e mínimos de uma função contínua em um
intervalo fechado [a, b]. A questão natural que se coloca agora é saber onde, exatamente, se localizam estes máximos
e mínimos?
Antes de tentar responder a esta pergunta, vamos examinar alguns exemplos.
Exemplo 3
Considere a função f(x) = x 3 , que é contínua e crescente no intervalo [−1, 1]. Neste intervalo, o valor mínimo desta
função é −1 e o valor máximo é 1. Estes valores ocorrem nos pontos x = −1 e x = 1, respectivamente, que são os
extremos do intervalo considerado.
Exemplo 4
Considere a função f(x) = −x 2 no intervalo [−2, 2]. Esta função é contínua neste intervalo e, portanto, o teorema
dos valores extremos garante a existência de um máximo e de um mínimo globais.
Neste caso, o máximo global da função f(x) = −x 2 é zero e ocorre em x = 0. O valor mínimo é −1 e ocorre em
x = −1 e x = 1.
Exemplo 5
Vamos examinar agora a função f(x) = x 3 − 4 x 2 − x + 10 definida em [−2, 5]. Veja o seu gráfico traçado a seguir,
à esquerda.
Os valores máximos e mínimos desta função ocorrem em 5 e −2, respectivamente, que são os extremos do intervalo.
No entanto, existe um ponto no interior deste intervalo, onde a função atinge um máximo para valores de x, por exemplo,
entre −1 e 1. Da mesma forma, existe um ponto onde f atinge um mínimo se considerarmos valores de x entre, por
exemplo 0 e 4. O gráfico seguinte, à direita, da mesma função traçado no intervalo [−1, 3.5], ilustra esta afirmação.