8. Controle Metrológico e Estatístico (Análise de Incertezas)

8. Controle Metrológico e Estatístico (Análise de Incertezas)
8. Controle Metrológico e Estatístico (Análise de Incertezas)
8.1 Introdução
• O trabalho de medição não termina com a obtenção das indicações.
• A partir das indicações é que se inicia o trabalho do metrologista.
• A partir das indicações deve-se chegar à informação desejada
Mensurando ⇒ Grandeza a ser medida ⇒ RESULTADO DA MEDIÇÃO (RM)
RM = RB ± U
[ unidade]
(8.1)
- 187 -
RB: Resultado Base ⇒ Corresponde ao valor central da faixa onde situa-se o valor
verdadeiro.
U: Incerteza da Medição: ⇒ Exprime a faixa de dúvida ainda presente no resultado.
Esta dúvida é provocada pelos erros existentes no sistema de medição(SM) e/ou
variações do mensurando.
O RM expressa o que se pode determinar com segurança sobre o valor do
mensurando, a parti r da aplicação do SM.
8.2 Erro de Medição
O erro da medição (E) pode ser calculado pela expressão:
E = I −VV
I: Valor Indicado; VV: Valor Verdadeiro;
O Valor Verdadeiro geralmente é desconhecido. O erro torna-se
E = I −VVC
(8.2)
(8.3)
VVC: Valor verdadeiro convencional ⇒ Valor conhecido com erros inferiores a 1/10 do
erro de medição esperado. Os diversos padrões existentes constituem-se nos VVC's.

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Assim, é impossível elimina r completamente o erro de medição ⇒ pode-se
- 188 -
Para se eliminar o erro de medição seria necessário empregar um SM perfeito sobre o
mensurando, sendo este perfeitamente definido e estável.
Prática ⇒ Não se consegue SM perfeito; O mensurando pode apresentar variações;
delimitar o erro de medição!
É possível obter informações confiáveis da medição, mesmo sabendo-se que
erros estão envolvidos no processo. Para tanto deve-se conhecer a ordem de
grandeza e a natureza dos erros envolvidos.
8.3 Tipos de Erros
O erro total de medição (E) pode ser expresso pela equação E = Es + Ea + Eg, onde
Es = erro sistemático; Ea = Erro aleatório e Eg = Erro grosseiro.
O erro grosseiro é provocado pelo uso inadequado ou pelo mau funcionamento do
SM. Seu valor é imprevisível mas é facilmente detectável. Seu valor será
desconsiderado neste curso.
O erro sistemático é a parcela de erro sempre presente nas medições efetuadas em
condições idênticas de operação. Exemplo: O ponteiro torto de um relógio.
Em um instrumento de medição, o Erro sistemático é chamado de Tendência (Td).
Exemplo: Uma balança tem Td = 29 g. Valor Indicado pela balança: 1254 g; Valor
real: 1225 g (1254-29).
O Es pode variar ao longo da Faixa de Medição de um instrumento. Assim, para
cada valor do mensurando pode haver erros sistemáticos distintos. A forma de
variação do Es ao longo da Faixa de Medição depende de cada SM.
O erro aleatório é a parcela de erro sempre presente nas medições que ocorrem de
forma completamente imprevisível. Se se repetir uma medição várias vezes, pode-se
obter vários valores distintos em torno da média.
A fig. 8.1 mostra uma comparação entre os erros aleatórios e sistemáticos:
Fig. 8.1a: Ea ⇒ grande; Es ⇒ pequeno. Fig. 8.1b: Ea ⇒ grande; Es ⇒ grande.
Fig. 8.1c: Ea⇒ pequeno; Es ⇒ grande. Fig. 8.1d: Ea ⇒ pequeno; Es ⇒ pequeno.

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(a) (b)
(c)
(d)
Fig. 8.1: Comparação entre Erros aleatórios e sistemáticos
8.3.1 Determinação dos Erros de Medição
ERRO SISTEMÁTICO
- 189 -
O Es (ou a Td) pode ser determinado e deve ser corrigido ⇒ A correção C pode
ser determinada pela Equação
C = -Td
Se se desprezar o Eg, o erro total fica: E=Es+Ea.
(8.4)
Para um número infinito de medidas a influência do erro aleatório sobre a média das
medidas torna-se desprezível ⇒ O Ea possui distribuição normal com média zero. O
Erro aleatório pode ser positivo ou negativo (Maior ou menor que a média). À medida
que o número (n) de medidas realizadas cresce, a influência do Ea no Resultado da
Medição decresce. Assim para n → ∞
Es = MI -VVC
onde MI é a média das infinitas indicações do SM.
(8.5)
Prática: Não se realiza infinitas medições e sim um número restritos (n

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Tendência ( Td ) do Instrumento de Medição.
- 190 -
Nestas condições com n finito ⇒ O Erro Sistemático passa a se chamar
Td = MI -VVC
(8.6)
A tendência de um Sistema de Medição pode variar ao longo de sua faixa de
medição.
ERRO ALEATÓRIO
O erro aleatório distribui-se em torno do valor médio das indicações. O valor individual
do erro aleatório (Eai) da i-ésima indicação (Ii) pode ser expresso pela Equação
= I
Eai i
- MI
(8.7)
O valor de Eai varia de indicação para indicação de maneira imprevisível. Este valor
instantâneo do Ea tem pouco significado prático, já que é variável e imprevisível.
A caracterização do Ea é feito através de procedimentos estatísticos, utilizando-se um
número finito de medidas. Pode-se calcular o desvio padrão experimental de um
determinado número de medidas realizadas em um mesmo mensurando, sob as
mesmas condições.
O erro aleatório pode ser quantit ativamente determinado através da repetitividade
( Re ) . A repetitividade de um instrumento de medição é uma faixa
simétrica de valores dentro da qual, com uma probabilidade estatística
definida, se situa o erro aleatório.
Re = ±
ts
(8.8)
Re: Faixa de dispersão dentro da qual se situa o erro aleatório (Em Engenharia
trabalha-se com probabilidade P=95%);
t: Coeficiente t-Student ⇒ t = f(n, P) (Tab 8.5 – Pág. 204)
Onde: n = nº de medidas;
P = probablidade.

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s: Desvio padrão experimental da amostra de n medidas.
Exemplo 1: Determinação da Tendência e Repetitividade.
- 191 -
Uma massa padrão de 800,0000 ± 0,0001g foi aplicada em uma balança. A Tab. 8.1
mostra os resultados obtidos na coluna Valor Indicado I:
Tab. 8.1: Valores do Exemplo 1
n Valor Indicado I (g) Erro Total E (g) Td (g) Ea (g)
1 814 14 15 -1
2 815 15 15 0
3 818 18 15 +3
4 815 15 15 0
5 813 13 15 -2
6 816 16 15 +1
7 817 17 15 +2
8 814 14 15 -1
9 815 15 15 0
10 816 16 15 +1
11 812 12 15 -3
12 815 15 15 0
Média 815 15 15 0
Solução: VVC = 800 g ⇒ Corresponde ao padrão aplicado na balança.
• Para a primeira indicação tem-se: I = 814 g;
• Pela Eq. (8.3) pode-se calcular o erro total para I=814 g ⇒ E = 814 - 800 = +14 g;
Ao medir-se uma única vez não é possível identificar as parcelas sistemáticas e
aleatórias. As medições subsequentes mostram variações aleatórias. Calculou-se a

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média dos valores indicados, obtendo-se o valor de 815 g.
• Pela Eq. (8.6) pode-se calcular a tendência ⇒ Td = 815 - 800 = +15 g;
- 192 -
• Após os cálculos dos erros totais para cada indicação e da Td da balança, o Eai pode
ser calculado para cada indicação através da Eq. (8.7). Este cálculo não é necessário.
Ele foi realizado aqui para fins didáticos!
• O desvio padrão (s) pode ser calculado pela equação
s =
n
∑
i=
1
( x - x)
n
- 1
2
Obteve-se um valor do desvio padrão s = 1,651 g.
(8.9)
• O coeficiente de Student t é determinado com o auxílio da Tabela 8.5 (pág. 204).
Da Tab. 8.5 com probabilidade de enquadramento P=95% e com 12 medidas,
portanto 11 graus de liberdade (n-1=11) tem-se ⇒ t = 2,20;
Para determinação do coeficiente de Student deve- se considerar o número de graus
de liberdade que é igual a n-1!
• A repetitividade Re é obtida através da Eq. (8.8) ⇒ Re = ±2,20.1,65 = ±3,6 g
Significado: Existe 95% de probabilidade do erro aleatório se enquadrar dentro de
uma faixa simétrica de ±3,6 g, centrada em torno do valor médio 815 g.
• O resultado da Medição pode ser expresso assim:
ou seja
Re
RM = MI - Td ± (8.10)
n
3,6
RM = 815 - 15 ± = 800 ± 1 g
12
O Resultado de uma medição deve ser expresso conforme indicado pela Eq. (8.10)
ou através da seguinte Equação, já que a correção C = -Td

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Re
RM = MI + C ± (8.11)
n
Curvas de Erros de um Sistema de Medição
- 193 -
A determinação da tendência e da repetitividade de um sistema de medição deve ser
realizada ao longo de toda sua faixa de medição.
A curva de erros de um sistema de medição é a representação gráfica da Td e da
Re ao longo da faixa de medição do sistema de medição.
O procedimento do exemplo 1 deve ser repetido para outros valores dentro da faixa de
medição da balança, cujos valores verdadeiros convencionais sejam conhecidos
(Massas Padrão). Deve-se selecionar um número limitado de pontos dentro da faixa de
medição.
Exemplo 2: Determinação da curva de erros de uma balança.
• Para cada valor medido deve-se repetir o procedimento do exemplo 1. Assim,
calculou-se os valores da Td e da Re para cada ponto. A Tab. 8.2 mostra os
resultados obtidos. Observe que o valor correspondente ao ponto 5 é aquele obtido
no exemplo 1.
• A Fig. 8.2 mostra a curva de erros obtida. Os valores das massas padrão são
representados nos eixos das abcissas. No eixo das ordenadas são representados os
erros de medição. O ponto central correspode à Tendência. Em torno da Td traçam-
se os limites correspondentes à repetitividade Re, ou seja; Td + Re e Td - Re.

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Erros (g)
25
20
15
10
5
0
-5
-10
-15
-20
-25
Td
Emáx
0 400 800 1200 1600
Re
Indicação (g)
Re
Fig. 8.2: Curvas de erro - Exemplo 2
Tab. 8.2: Valores do Exemplo 2
Ponto VVC (g) MI (g) Td (g) Re (g)
1 0,0 0,0 0,0 ±1,0
2 200,0 211,0 11,0 ±3,1
3 400,0 415,0 15,0 ±2,8
4 600,0 618,0 18,0 ±3,0
5 800,0 815,0 15,0 ±3,6
6 1000,0 1009,0 9,0 ±3,0
7 1200,0 1202,0 2,0 ±1,9
8 1400,0 1395,0 -5,0 ±2,9
9 1600,0 1591,0 -9,0 ±3,2
- 194 -

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Erro Máximo (EMAX)
- 195 -
Em catálogos técnicos é especificado o erro máximo do sistema de medição. Este erro
corresponde aos limites máximos de erros presente neste SM, desde que ele seja
utilizado conforme as especificações.
O erro máximo ( EMAX ) de um Sistema de Medição é definido como uma faixa de
valores centrado em torno do zero, que com uma probabilidade definida, engloba
todos os erros que podem esta r presentes nas indicações deste sistema de medição.
O erro máximo ( EMAX ) engloba os erros sistemáticos e aleatórios em toda a faixa de
medição.
A curva de erros do sistema de medição deve estar situados entre os limites +EMAX
e -EMAX ⇒ Veja Fig. 8.2 do Exemplo 2. O EMAX = ±21 g.
Exercícios Propostos:
1. O diâmetro de um fio foi medido com um paquímetro, obtendo-se os seguintes
resultados (mm): 1,47; 1,43; 1,40; 1,44; 1,44; 1,48; 1,42; 1,45; 1,46; 1,43.
Determine: MI, o erro aleatório para cada indicação, o desvio padrão e a repetitividade
Re para confiabilidade de 95%.
2. Considere que o fio da questão anterior foi medido com um paquímetro de
excelente qualidade obtendo-se: 1,4977 ± 0,0005 mm. Determine a tendência Td do
paquímetro da questão anterior.
3. Procure exemplificar cinco fatores que podem introduzir erros em sistemas de
medição.
4. Aplicou-se um paquímetro em um bloco padrão de 100,0000 ± 0,0002 mm
obtendo-se as seguintes medidas (mm): 100,05; 99,85; 100,10; 100,00; 100,00;
99,90; 100,15; 100,00; 99,95; 99,95; 100,10; 100,05; 99,90; 100,00; 99,95; 100,05.
Determine: A Média das Indicações; a Tendência do paquímetro, A repetitividade do
paquímetro. Expresse corretamente o RM. Faça uma curva de distribuição normal com
os valores medidos indicando a tendência e a repetitividade.
5. Pretende-se levantar os dados acerca do comportamento metrológico de um
dinamômetro. Um conjunto de 10 massas padrão foi usado para gerar forças
conhecidas que foram aplicadas sobre o dinamômetro, abrangendo toda sua faixa de
medição que é de 100 N. A Tab. 8.3 mostra os resultados obtidos.
Pede-se: Represente graficamente a curva de erros deste dinamômetro.
Determine o Erro máximo deste dinamômetro

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Tab. 8.3: Valores para o Exercício 5
Medição VVC (N) Td (N) s (para n=20)
1 0,00 0,4 0,15
2 12,40 0,7 0,22
3 25,20 0,7 0,24
4 35,00 0,4 0,23
5 51,20 0,2 0,26
6 62,20 -0,1 0,24
7 72,40 -0,4 0,27
8 83,20 -0,6 0,28
9 90,10 -0,8 0,28
10 100,10 -1,1 0,29
- 196 -
6. Aplicou-se um termômetro de resistência nos valores padrão indicados na Tab. 8.4.
Determine a MI, Td, Re, EMAX. Trace a curva de erros deste termômetro.
VVC INDICAÇÕES - ( 0 C)
Tab. 8.4: Valores para o Exercício 6
- ( 0 C) 1 2 3 4 5 6 7 8
0 0,1 0,3 -0,2 -0,5 0,6 0,2 -0,2 0,0
20 21,2 19,7 19,4 21,9 20,4 21,8 19,3 21,1
40 44,5 42,4 42,9 43,6 44,6 42,7 45,6 45,9
60 63,8 63,8 65,9 67,8 67,1 66,3 66,3 66,0
80 82,0 81,8 82,3 82,1 80,9 82,6 81,9 82,0
100 99,9 103,4 100,0 101,1 102,2 100,9 102,9 101,8
8.4 Avaliação de Incertezas
A metodologia a ser apresentada é baseada em procedimentos internacionalmente
recomendados. Este procedimento é oficialmente recomendado para o Brasil, através
do INMETRO. Este procedimento está detalhado na seguinte norma:
"Guia para Expressão da Incerteza de Medição - Edição Brasileira do: Guide to the
expression of Uncertainty in Measurement - Agosto 1998"

8. Controle Metrológico e Estatístico (Análise de Incertezas)
A Incerteza da medição significa a dúvida existente com o resultado da medição.
- 197 -
A incerteza da medição é um parâmetro associado ao Resultado da Medição. Ela
caracteriza a dispersão de valores que podem ser atribuídos ao mensurando.
• A incerteza da medição está associada ao RM;
• A incerteza da medição não é igual ao erro aleatório do sistema de medição (Re).
O Ea é apenas um dos componentes. A incerteza também depende de outras
grandezas de influências como Resolução limitada, número de medições realizadas,
temperatura de medição, etc...
Tipos de Incertezas
Tem-se três tipos de incertezas: Incerteza padrão (u), Incerteza combinada (uc) e
Incerteza expandida (U).
Incerteza Padrão (u): A incerteza padrão de um dado aleatório corresponde à
estimativa equivalente a um desvio padrão (s) ⇒ u = ±s. Esta incerteza tem uma
probabilidade de ocorrência P = 68,27%.
Incerteza Combinada (uc): A incerteza combinada de um processo de medição é
calculada considerando-se a ação simultânea de todas as fontes de incertezas, ou seja,
é a influência combinada de todas as incertezas padrão sobre o RM. A incerteza
combinada uc também equivale à um desvio padrão. Esta incerteza também tem uma
probabilidade de ocorrência P = 68,27%.
Incerteza Expandida (U): A incerteza expandida é determinada a partir da incerteza
combinada multiplicada pelo coeficiente t-Student apropriado. Esta incerteza reflete a
faixa de dúvidas ainda presente na medição para uma probabilidade de
enquadramento definida, geralmente 95,45%.
A avaliação das incertezas pode ser feita de três maneiras distintas:
• Avaliação de Incertezas em medições diret as:
Medições diretas são aquelas
efetuadas aplicando-se diretamente o SM sobre o mensurando. Exemplos: Medição do

8. Controle Metrológico e Estatístico (Análise de Incertezas)
- 198 -
diâmetro de um eixo, Medição da temperatura de um Forno, Medição da deformação
de uma peça, etc.. Deve-se determinar neste caso as incertezas padrão, combinadas e
expandida.
• Avaliação de Incertezas em medições indiretas: Envolve a combinação de duas ou
mais grandezas. Deve-se usar uma equação para calcular o resultado final. A
determinação do volume de uma peça cilíndrica, a partir da sua altura e do diâmetro
da seção transversal é um exemplo de medição indireta. Mede-se diretamente a altura
h e o diâmetro d. O volume v pode ser calculado a partir destas medidas. Os erros de
cada medida propaga-se para o resultado final. Exemplos: Determinação da área de
uma parede, determinação da densidade, etc..
• Avaliação de Incertezas em módulos: Freqüentemente um sistema de medição é
composto de módulos interligados. Cada módulo tem sua própria incerteza. A incerteza
do resultado final é função destas incertezas individuais. Ocorre assim uma propagação
de erros.
8.4.1 Avaliação de Incertezas em Medições Diretas
A avaliação de incertezas consiste em analisar qualitativamente e determinar
quantitativamente todas as incertezas (erros) envolvidas no processo de medição.
Procedimento geral para determinação da Incerteza de Medição:
1) Estudar teoricamente o processo, analisando-o. Todas as possíveis fontes de erros
devem ser analisadas.
2) Listar todas as fontes de incertezas.
3) Listar as parcelas sistemáticas de cada fonte de incerteza.
4) Atribuir valores de incertezas de distribuição de probabilidades, baseando-se em
dados estatísticos ou análise teórica.
5) Calcular a Incerteza Padrão (ui) para cada fonte de incerteza.
6) Calcular a Incerteza Padrão combinada (uc).
7) Calcular a Incerteza Expandida (U).
AVALIAÇÃO DAS INCERTEZAS PADRÃO
A incerteza padrão é o próprio desvio padrão (s), com P = 68,27%.

8. Controle Metrológico e Estatístico (Análise de Incertezas)
Tipos de avaliações de Incertezas:
Avaliação Tipo A ⇒ A análise é baseada em procedimentos estatísticos;
Avaliação tipo B ⇒ A análise é baseada em procedimentos não estatísticos;
Incerteza Padrão tipo A:
- 199 -
O procedimento tipo "A" para estimativa da incerteza padrão baseia-se no cálculo de
parâmetros estatísticos, os quais são obtidos de várias medições. Considere a variável
aleatória x. Foram efetuadas n medidas. A média pode ser estimada pela equação
1
n
x = ∑ x i
(8.12)
n i=
1
O desvio padrão experimental S(x) é calculado pela equação
s(x) =
n
∑
i=
1
( xi
- x)
n - 1
2
(8.13)
Para que o valor de S(x) seja confiável é necessário que seja realizado um número
suficientemente grande de medições, geralmente n ≥ 10.
Se se utilizar o valor médio de várias indicações, obtido a partir da média de um
conjunto de "m" indicações de x, o desvio padrão experimental da média de x é
estimado por
S(x)
s( x ) =
(8.14)
m
A incerteza padrão associada à variável x, representada por u(x), é o próprio desvio
padrão da média das "m" observações, ou seja
u(x) = s( x )
(8.15)
O número de graus de liberdade envolvido (ν) na determinação de u(x) é o número de
medições independentes efetuadas menos 1, ou seja:
ν = n - 1
(8.16)

8. Controle Metrológico e Estatístico (Análise de Incertezas)
Incerteza Padrão tipo B:
- 200 -
Muitas vezes não é possível, ou não é economicamente viável, quantificar a influência
de certas fontes de incertezas em uma medição a partir da análise quantitativa
(estatística) de observações repetitivas. Ainda assim, é necessário estimar
quantitativamente a influência de cada fonte de incerteza para determinar a incerteza
combinada da medição. As informações podem assim, serem determinadas a partir de
informações acessórias e externas ao processo de medição.
• Na determinação das incertezas tipo "B" usa-se procedimentos não-estatísticos.
Estas estimativas depende da experiência prática do experimentalista pode ser tão
confiável quanto às avaliações do tipo"A".
Pode-se dividir as estimativas em:
Estimativas baseadas em avaliações anteriores ⇒ Usa-se levantamentos
anteriores que fornecem dados quantitativos confiáveis sobre a influência da fonte de
erro considerada. Podem ser:
• Certificados de Calibração;
• Registros Históricos das características metrológicas do SM;
• Dados de medições anteriores e
• Especificação do fabricante
Estimativas Baseadas em Limites Máximos Admissíveis ⇒ Quando o número
de informações for insuficiente, não se pode determinar a distribuição estatística exata.
Desta forma, os possíveis valores da variável aleatória dentro de um intervalo não são
determináveis. Geralmente assume-se, por segurança, a existência de uma distribuição
de probabilidade retangular.
Distribuição de probabilidade retangular ou uniforme: Nesta distribuição, existe uma
mesma probabilidade da variável aleatória se situar em qualquer ponto entre os limites
estabelecidos. O número de graus de liberdade é infinito (ν = ∞). São exemplos de
fontes de incertezas com este tipo de distribuição: Resolução do Instrumento,
Gradiente de temperaturas, histerese, etc..
Considere os limites LS: Limite superior e LI: Limite Inferior como sendo os valores

8. Controle Metrológico e Estatístico (Análise de Incertezas)
- 201 -
máximo e mínimo que a variável "x" pode ter. O valor médio e a incerteza padrão (que
é o próprio desvio padrão) podem ser determinados por
onde
LS + LI
x =
(8.17)
2
a
u(x) =
(8.18)
3
LS - LI
a =
(8.19)
2
A Fig. 8.3 mostra esta distribuição esquematicamente.
Probabilidade P(x)
2a
LI x
LS
Fig. 8.3: Distribuição retangular - Esquemática
Exemplo 3: Procura-se saber o valor do coeficiente de dilatação térmica do alumínio.
Sabe-se quo o αAl pode variar entre 23 e 27 µm/m 0 C. Determine o valor esperado
para o αAl e a incerteza padrão associada a este valor.
Solução ⇒ LS = 27 µm/m 0 C; LI = 23 µm/m 0 C. Pela Eq. (8.16): = 25 µm/m 0 x
C
Pela Eq. (8.18) a = 2 µm/m 0 C. Pela Eq. (8.17): u(αAl) = 1,15 µm/m 0 C.
RM = 25,0 ± 1,2 µm/m 0 C
Resumindo: Deve-se calcula r todas as componentes de incerteza ( u i) , tipos "A" e "B",

8. Controle Metrológico e Estatístico (Análise de Incertezas)
- 202 -
correspondentes a um desvio padrão. Para isto deve-se dividir o valor de cada
contribuição de incerteza pelo seu respectivo divisor:
Distribuição Normal ⇒ Valor do Fator de abrangência K é dado. Geralmente K = 2;
Distribuição Retangular ⇒ K = 3
Distribuição Triangular ⇒ K
INCERTEZA COMBINADA
=
6
Até aqui foi estimada a influência individual de cada fonte de incerteza sobre o
desempenho do processo de medição. Cada fonte de incerteza tem uma probabilidade
de ocorrência de 68%. Deve-se combinar estas incertezas individuais para se ter a
influência conjunta de todas as fontes sobre o resultado final:
uc=
( u
1
)
2
+ ( u
2
)
2
+
... + ( u
n
)
2
A incerteza combinada também tem uma probabilidade de ocorrência de 68%! Ela
reflete a influência da ação combinada de todas as fontes de incertezas.
INCERTEZA EXPANDIDA
U = K
uC
(8.20)
A incerteza Expandida deve expressar o nível de confiança requerido. Em engenharia
trabalha-se com níveis de confiança de 95,45%. Este valor corresponde a uma faixa de
±3s (s=desvio padrão). Assim, a Incerteza Expandida U fica
(8.21)
O fator de Abrangência K é o fator de Student, o qual é tabelado. Ele é função do
número de graus de liberdade efetivo (νef) e da probabilidade de enquadramento P.
Determinação do Fator de Abrangência K:
Determinação Aproximada:
• Caso Geral: Usar K=2, que define um intervalo com nível de confiança de
aproximadamente 95%.

8. Controle Metrológico e Estatístico (Análise de Incertezas)
Fator de Abrangência Corrigido:
• Será necessário determinar o fator de abrangência corrigido K quando:
uA/uC >1/2 e
uA for obtido a partir de poucas indicações do instrumento (n ≤ 5)
uA = Incerteza padrão tipo A;
uC = Incerteza Combinada;
n = Número de medições efetuadas.
- 203 -
Nestes casos, deve-se calcular o número de graus de liberdade efetivo (νef) associado
à incerteza combinada, através da Equação de Welch Satterwaite
ν
ef
=
n
∑
i=1
u 4
c
4
ui
ν i
Toda vez que νef ≥ 50 pode-se adota r K = 2,00.
valor do fator de abrangência, considere K = 2!
(8.22)
onde νi é o número de graus de liberdade para cada fonte de incertezas ui. A Tab. 8.5
mostra os valores do coeficiente t-student ( = fator de abrangência K) em função do
número de graus de liberdade e da probabilidade de abrangência.
Toda vez que for indicada a incerteza expandida para P = 95% e não for dado o
A Tab. 8.6 mostra uma planilha onde todos os valores de incertezas calculados devem
ser colocados. Esta planilha facilita e automatiza os cálculos.

8. Controle Metrológico e Estatístico (Análise de Incertezas)
Tab. 8.5: Coeficiente de Student ( e Fator de Abrangência K)
Graus de
Liberdade
Probabilidade P (%)
68,27 90 95 95,45 99
1 1,84 6,31 12,71 13,97 63,66
2 1,32 2,92 4,30 4,53 9,92
3 1,20 2,35 3,18 3,31 5,84
4 1,14 2,13 2,78 2,87 4,60
5 1,11 2,02 2,57 2,65 4,03
6 1,09 1,94 2,45 2,52 3,71
7 1,08 1,89 2,39 2,43 3,50
8 1,07 1,86 2,31 2,37 3,36
9 1,06 1,83 2,26 2,32 3,25
10 1,05 1,81 2,23 2,28 3,17
11 1,05 1,80 2,20 2,25 3,11
12 1,04 1,78 2,18 2,23 3,05
13 1,04 1,77 2,16 2,21 3,01
14 1,04 1,76 2,14 2,20 2,98
15 1,03 1,75 2,13 2,18 2,95
16 1,03 1,75 2,12 2,17 2,92
17 1,03 1,74 2,11 2,16 2,90
18 1,03 1,73 2,10 2,15 2,88
19 1,03 1,73 2,09 2,14 2,86
20 1,03 1,72 2,09 2,13 2,85
25 1,02 1,71 2,06 2,11 2,79
30 1,02 1,70 2,04 2,09 2,75
35 1,01 1,70 2,03 2,07 2,72
40 1,01 1,68 2,02 2,06 2,70
45 1,01 1,68 2,01 2,06 2,69
50 1,01 1,68 2,01 2,05 2,68
100 1,005 1,660 1,984 2,025 2,626
∞ 1,000 1,645 1,960 2,000 2,576
- 204 -

8. Controle Metrológico e Estatístico (Análise de Incertezas)
Tab. 8.6: Planilha padrão par determinação da incerteza de medição
Fonte de Erro Efeitos
Símbolo
Descrição Unidade Valor
Cc Correção Combinada
uc Incerteza Combinada
U
sistemáticos
Bruto
Correção Valor
Efeitos Aleatórios
Bruto
Distribuição Divisor u ν
normal
Incerteza Expandida (95%) normal
- 205 -

8. Controle Metrológico e Estatístico (Análise de Incertezas)
- 206 -
Exemplo 4: A massa de um anel foi determinada em uma balança eletrônica. Foram
realizadas 12 medições, obtendo-se os seguintes valores (g):
19,85 ; 20,00 ; 20,05 ; 19,95 ; 20,00 ; 19,85
19,90 ; 20,05 ; 19,95 ; 19,85 ; 19,90 ; 20,05
• A balança tinha um certificado de calibração com os seguintes dados:
- Tcalib = 20 0 C;
- Estabilidade: Térmica ⇒ 0,025 g/ 0 C; Temporal ⇒ ±0,02 g/mês;
Indicação ( g )
Correção (g) U (K=2,00)
0,00 0,00 ± 0,05
5,00 -0,05 ± 0,06
....... ......... ........
20,00 -0,15 ± 0,08
• Balança com indicação digital ⇒ Resolução R = 0,05 g;
• Temperatura de medição ⇒ 24,0 ≤ T ≤ 26,0 0 C;
• Calibração foi realizada há 5 meses.
Solução:
I. CÁLCULO DAS INCERTEZAS PADRÃO
1. Fonte de Incerteza: Repetitividade da Indicação ⇒ Tipo "A".
n = 12;ν = 12-1 11; m = 19,950 g; Sx = 0,080 g; S = 0,023 g
x
⇒ uREP = ±0,023 g
2. Fonte de Incerteza: Não Linearidade da Balança ⇒ Tipo "B".
• Baseada nos dados existentes.
• A Calibração indica correção para vários pontos na Faixa de Medição:
m = 19,950 g; Será usado m ≈ 20,00 g. O certificado de Calibração determina uma
correção
⇒ CNL = -0,15 g.
• A Calibração indica a incerteza expandida para vários pontos na Faixa de Medição.
Para m ≈ 20,00 g tem-se U = ± 0,08 g. Indicou-se o fator K = 2,00. Assim, A
incerteza padrão fica: uNL = 0,08/2
⇒ uNL = ±0,04 g
Para o valor de m ≈ 20,00 g tinha-se uma incerteza expandida U = 0,08 g. (Para
calcular este valor de U foi necessário um procedimento igual ao deste exemplo, ou
seja, cálculo das incertezas padrão, combinada e expandida). A determinação da

8. Controle Metrológico e Estatístico (Análise de Incertezas)
- 207 -
incerteza padrão desta fonte de incerteza foi realizada através da divisão do valor de U
pelo Fator K = 2.
3. Fonte de Incerteza: Resolução Limitada ⇒ Tipo "B".
• R = 0,05 g. Resolução ⇒ Erro de truncamento ⇒ ETRUNC. MÁX. = R/2.
• Admitir distribuição retangular centrada no zero. Usando a Eq. (8.18) e Eq. (8.19):
com LS = 0,025 g; LI = -0,025 g calcula-se a = 0,025 e a incerteza
=
uRES
a 0,025
=
3 3
⇒ uRES = ±0,014 g
4. Fonte de Incerteza: Estabilidade Temporal ⇒ Tipo "B".
• 5 meses ⇒ ±0,02 g/mês ⇒ Erro total = ±0,10 g.
• Admitir distribuição retangular centrada no zero. Usando a Eq. (8.18) e Eq. (8.19):
com LS = 0,10 g; LI = -0,10 g calcula-se a = 0,10 e a incerteza
=
uEST.TEMP.
a 0,10
=
3 3
⇒ uEST. TEMP. = ±0,060 g
5. Fonte de Incerteza: Estabilidade Térmica ⇒ Tipo "B".
• TCAL = 20 0 C ⇒ 0,025g/ 0 C
TMÁX = 26 0 C ⇒ Erro Máximo = (26-20)X0,025 = +0,15 g;
TMIN = 24 0 C ⇒ Erro Mínimo = (24-20)X0,025 = +0,10 g;
Erro Total = ES + Ea
ES = (0,10 + 0,15)/2 = 0,125 g
⇒ CEST. TÉRM. = -0,125 g
• Admitir distribuição retangular para a componente aleatória. Usando a Eq. (8.18) e
Eq. (8.19) com LS = 0,15 g; LI = 0,10 g calcula-se a = 0,025. Isto significa que o
Ea = ±0,025 g. A incerteza fica
=
u EST.TêRM.
a 0,025
=
3 3
⇒ uEST. TÉRM. = ±0,014 g
Observe: ES = 0,125 g; Ea = ±0,025 g; ETot = ES + Ea = 0,125 ± 0,025 g.
EMáx = 0,125 + 0,025 g = 0,150 g. E
Min = 0,125 - 0,025 g = 0,100 g.

8. Controle Metrológico e Estatístico (Análise de Incertezas)
II. CÁLCULO DA INCERTEZA COMBINADA
Através da Eq. (8.20)
u
u
c
c
=
=
( u
REP
)
2
(0,023 )
+ ( u
2
NL
)
2
+ (0,040
+ ( u
)
2
RES
)
2
+ (0,014
+ ( u
)
2
EST TEMP.
+ ( u
- 208 -
O valor de uc reflete a ação combinadas de todas as 5 fontes de incerteza anteriores
sobre o resultado da medição, com uma probabilidade de enquadramento de
68,27%.
)
+ (0,060
⇒ uc = ±0,0782 g
2
)
2
EST TERM
+ (0,014
Parcela Sistemática
O Erro Sistemático foi calculado em duas fontes de incertezas. Calculou-se então a
correção C:
CNL = -0,15 g; CEST. TÉRM. = -0,125 g
Correção combinada ⇒ Cc = -0,15 + (-0,125);
⇒ Cc = -0,275 g
III. CÁLCULO DA INCERTEZA EXPANDIDA
Calcula-se o número de graus de liberdade efetivo através da Eq. (8.22):
ν ef
4 0, 078
= 4
0,023 0,040
+
11 ∞
4
+ .....
= 1455
Da Tab. 8.5 com νef = 1455 e P = 95,45% ⇒ K = 2,00.
U = 2,00 x 0,078 = 0,156 g
⇒ U = ±0,16 g
O valor de U reflete a ação combinadas de todas as 5 fontes de incerteza anteriores
sobre o resultado da medição, com uma probabilidade de enquadramento de 95,45%.
IV. RESULTADO DA MEDIÇÃO
RM = 19,950 - 0,275 ± 0,16 g = 19,68 ± 0,16 g
⇒ RM = 19,68 ± 0,16 g
)
)
2
2

8. Controle Metrológico e Estatístico (Análise de Incertezas)
A Tab. 8.7 mostra a planilha resumo de todos estes cálculos.
Tab. 8.7: Planilha para determinação da incerteza de medição
Fonte de Erro Efeitos sistemáticos Efeitos Aleatórios
Símbolo
Descrição Unidade Valor
Bruto
Correção Valor
Bruto
Distribuição Divisor u ν
REP Repetitividade da balança g 0 0,000 0,023 normal 1 0,023 11
NL Não Linearidade da balança g
0,15 -0,150 0,080 normal 2 0,040 ∞
RES Resolução do Indicador g 0 0,000 0,025 retangular 3 0,014 ∞
EST. TEMP. Estabilidade Temporal g 0 0,000 0,100 retangular 3 0,060 ∞
EST. TÉRM. Estabilidade Térmica g 5 -0,125 0,025 retangular 3 0,015 ∞
Cc Correção Combinada g -0,275
uc Incerteza Combinada g normal 0,078 1455
U Incerteza Expandida (95%) g
normal 0,156
- 209 -

8. Controle Metrológico e Estatístico (Análise de Incertezas)
Comparação da Tolerância de Fabricação com a Incerteza de Medição
- 210 -
• Tolerância de Fabricação IT ⇒ Faixa de valores aceitáveis para uma dimensão.
(Capítulo 2). Exemplo; Diâmetro d = 60 ± 2 mm.
• Incerteza de Medição ⇒ Faixa de valores que exprime a dúvida do processo de
medição. É provocada por várias fontes de erros. Deve-se realizar uma medição
para determinar se o diâmetro efetivo está entre os limites aceitáveis. Deve-se
obedecer a seguinte regra:
U ≤ IT/10
• Para o diâmetro acima, processo de medição tem de apresentar
U ≤ 2/10 = 0,20 mm.
Exercícios:
6.Calibração de um Termômetro digital
Utiliza-se um termômetro eletrônico com indicação digital para medir temperatura de
blocos padrão, que devem estar numa temperatura próxima a 20 0 C. A incerteza deste
termômetro (SMC) é obtida através da calibração efetuada usando-se como padrão um
outro termômetro (SMP). A leitura é feita somente após a estabilização em uma
câmara climatizada.
Características do SMC:
Faixa de Temperatura de interesse: 19 a 21 0 C.
Resolução da indicação: 0,01 0 C.
Características do SMP:
Faixa de Medição: 19 a 21 0 C.
Valor de uma divisão: 0,01 0 C.
Resolução: 0,005 0 C.
Incerteza: U95 = ±0,005 0 C.
Homogeneização: Incerteza U95 = ±0,01 0 C (Assumir distribuição retangular)
Procedimento adotado: Realizou-se três medições em cada nível - conforme a tabela
abaixo:

8. Controle Metrológico e Estatístico (Análise de Incertezas)
Ponto SMC [ 0 C] SMP [ 0 C]
- 211 -
1. Medida 2. Medida 3. Medida
1 19,00 19,110 19,110 19,110
2 20,00 20,130 20,120 20,123
3 21,00 21,140 21,140 21,138
•Fazer uma análise Completa das Incertezas envolvidas para cada uma das três
indicações do SMC.
•Obteve-se uma medida I=20,01 0 C. Qual é o resultado da medição?
7. Paquímetro
Efetuou-se a medição do comprimento de uma barra de alumínio (Al). A barra estava
em uma fábrica, cuja temperatura ambiente era de 45 0 C. O paquímetro tambem
estava na fábrica há mais de três dias sob a mesma temperatura acima. Sabe-se ainda
que:
•Coef. de dilatação térmica do alumínio αAl = 25 µm/m.K
•Paquímetro é de aço. Coef. de dilatação térmica do aço αaço = 11 µm/m.K
•Temperatura de referência na qual se deseja conhecer o resultado: TREF = 20 0 C.
•Incerteza do paquímetro U95 = ±150 µm.
Foi realizada apenas uma única medição e obteve-se uma indicação de
l = 1000,58 mm para o comprimento da barra de alumínio. Determine o resultado da
medição. Apresente os resultados na planilha indicada.
8. Paquímetro - Continuação
Considere o exemplo anterior! Faça uma avaliação das incertezas e determine a
incerteza expandida com probabilidade de 95%, para a barra de Alumínio,
considerando-se as informações adicionais:
• Foram executadas 3 medições da barra:
l1 = 1000,58; l2 = 1000,54 mm; l3 = 1000,56 mm
• Foi usado um termômetro digital para medir a temperatura da fábrica (T = 45 0 C)
Incerteza do Termômetro U95 = ±0,3 0 C;
• Pode existir uma diferença de temperatura entre a barra e o paquímetro de até 2 0 C;
• Incerteza do paquímetro U95 = ±150 µm.
Apresente os resultados na planilha indicada.

8. Controle Metrológico e Estatístico (Análise de Incertezas)
- 212 -
9. Calibração de uma Máquina Universal de Medidas
Deve-se aplicar blocos padrao de diversos tamanhos ao longo da faixa de medição da
máquina. Tem-se um bloco padrão com L = 50,000 mm. Sabe-se que:
• Incerteza do padrão é U95 = ±0,085 µm.
• Resolução da Máquina Universal R = 0,5 µm.
• Temperatura de referência na qual se deseja conhecer o resultado: TREF = 20 0 C.
• Temperatura de medição TMED = 20 a 24 0 C.
• Diferença de temperatura entre o bloco padrão e o indicado da máquina:
TREF ≤ 0,2 0 C.
• Bloco padrão e o indicador d máquina são de aço. Coef. de dilatação térmica do aço
αaço = 11 µm/m.K
Faça uma análise de incertezas da calibração para esta dimensão do bloco padrão.
Apresente os resultados na planilha indicada.
8.4.2 Avaliação de Incertezas em Medições Indiretas
A medição indireta envolve a determinação do valor de um mensurando a partir de
cálculos matemáticos, onde ocorre uma combinação de duas ou mais grandezas.
Exemplo: Determinação do volume (V) de um cubo cujo lado (a) foi medido
diretamente ⇒ V = a 3 .
Dependência Estatística:
Grandezas Estatisticamente Independentes: Duas variáveis aleatórias são
estatisticamente independentes quando o comportamento de uma não altera de forma
alguma o comportamento da outra.
Grandezas Estatisticamente Dependentes: Duas variáveis aleatórias são
estatisticamente dependentes quando o comportamento de uma exerce influência no
comportamento da outra. Considere a função Y = 2X + 6. As variáveis X e Y são
dependentes. Considere o valor da Pressão interna de uma panela de pressão. A
pressão e a temperatura de ebulição da água são dependentes. A dependência
estatística pode ser total ou parcial é expressa pelo coeficiente de correlação.

8. Controle Metrológico e Estatístico (Análise de Incertezas)
- 213 -
Quando duas ou mais grandezas são medidas com o mesmo instrumento de
medição, elas são estatisticamente dependentes!
8.4.2.1 Mensurandos Estatisticamente Dependentes:
Nestes casos deve ser considerada a possibilidade das incertezas padrão individuais
assumirem simultaneamente os seus respectivos valores extremos. A incerteza padrão
combinada representa assim os limites da variação máxima possível.
No cálculo de incerteza de mensurandos estatisticamente dependentes são
determinadas as Incertezas Máximas!
SOMA E SUBTRAÇÃO
u(a ± b ± c ±
...) = u(a) + u(b) + u(c) + ...
(8.23)
Na soma ou subtração de qualquer número de mensurandos estatisticamente
dependentes, a incerteza padrão combinada é a soma das incertezas
individuais.
MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO
ou
u(a.b.c... .) u(a) u(b) u(c)
= + + + ...
a.b.c.... a b c
u(a/b/c/.. .) u(a) u(b) u(c)
= + + + ...
a/b/c/... a b c
(8.24a)
(8.24b)

8. Controle Metrológico e Estatístico (Análise de Incertezas)
incertezas padrão relativas individuais.
- 214 -
Na multiplicação ou divisão de qualquer número de mensurandos estatisticamente
dependentes, a incerteza padrão relativa combinada é a soma das
CASO GERAL
Considere G = f(a,b,c,d....), onde pode haver qualquer tipo de operação: soma,
multiplicação, etc... Através da expansão da expressão em termos da série de Taylor
tem-se:
u(G) = |
∂f
∂a
| u(a)+ |
∂f
∂b
| u(b)+ |
∂f
∂c
| u(c)+ |
∂f
∂d
| u(d) + ...
(8.25)
u(G) é a incerteza padrão combinada da grandeza G, u(a), u(b) representam as
incertezas padrão associadas às grandezas a, b, etc.... As Eqs (8.23) e (8.24) são casos
particulares da Eq. (8.25).
Exemplos:
5. Determinar a incerteza da área de um círculo, cujo diâmetro foi determinado
experimentalmente obtendo-se d = 30,02 ± 0,05 mm.
Solução: A = πd 2 /4 = π.d.d/4 ⇒ A = 707,8 mm 2
u(A) u(1/4) u( π ) u(d) u(d) u(d)
= + + + = 0 + 0 + 2
A 1/4 π d d
d
u(A) 2
A
0,05
= 2 = 0,00333_
u(A) = 0,0033.707,8
= 2,36 mm
30,02
Resultado da Medição ⇒ A = 707,8 ± 2,4 mm 2
Observe: A incerteza padrão calculada é o máximo valor que ela pode ter.
6. Determinar a incerteza da grandeza G onde G = (a+b)/c. As grandezas a,b,c são
dependentes entre si.
Solução: Há soma e multiplicação envolvidas. Se se utilizar a Eq. (8.25) a solução é

8. Controle Metrológico e Estatístico (Análise de Incertezas)
direta. Uma outra alternativa é a solução por partes:
Fazendo M = a+b ⇒ u(M) = u(a) + u(b) ⇒ Somente soma.
assim G = M/c ⇒ u(G)/G = u(M)/M + u(c)/c.
- 215 -
7. Considere R = AB + N. A, B e N são grandezas dependentes. Determine a incerteza
de R. A = 10,0 ± 0,1 mm; B = 1,82 ± 0,08 mm; N = 20,0 ± 0,3 mm
Solução:
Inicialmente será usada a Eq. (8.25)
∂R
∂R
∂R
= B; = A;
∂A
∂B
∂N
= 1;
_
u(R) = Bu(A) + Au(B) + 1u(N)
u(R) = 1,82.0,1+
10.0,08+
1.0,3=
1,282mm
Assim ⇒ R = 38,2±1,3 mm
Usando as Eqs (21) e (22): Fazendo C = AB = 18,2 ⇒ u(C)/C = u(A)/A + u(B)/B
u(C)/18,2 = 0,1/10 + 0,08/1,82 ⇒ u(C) = 0,982 mm.
⇒ R = C + N ⇒ u(R) = u(C) + u(N) ⇒ 0,982 + 0,3 = 1,282 mm
Assim ⇒ R = 38,2±1,3 mm
8.4.2.2 Mensurandos Estatisticamente Independentes:
Como as grandezas de entrada não apresentam dependência entre si, dificilmente as
variações aleatórias individuais estarão agindo sincronizadamente. No cálculo da
incerteza combinada devem ser considerados os aspectos probabilísticos. Os valores
obtidos para a incerteza combinada são menores do que o caso anterior.
No cálculo de incerteza de mensurandos estatisticamente independentes são
determinadas as Incertezas Prováveis!

8. Controle Metrológico e Estatístico (Análise de Incertezas)
SOMA E SUBTRAÇÃO
2
2
2
u(a ± b ± c ± ...) = [u(a) ] + [u(b) ] + [u(c) ] + ...
(8.26)
- 216 -
Na soma ou subtração de qualquer número de mensurandos estatisticamente
independentes, a incerteza padrão combinada é a raiz quadrada da soma
dos quadrados das incertezas individuais.
MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO
u(a.b.c... .)
ou
a.b.c....
u(a/b/c/.. .)
a/b/c/...
=
=
2
⎡u(a)
⎤
⎢
a
⎥
⎣ ⎦
2
⎡u(a)
⎤
⎢
a
⎥
⎣ ⎦
2
⎡u(b)
⎤ ⎡u(c)
⎤
+ ⎢ + + ...
b
⎥ ⎢
c
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
2
⎡u(b)
⎤ ⎡u(c)
⎤
+ ⎢ + + ...
b
⎥ ⎢
c
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
2
2
(8.27a)
(8.27b)
Na multiplicação ou divisão de qualquer número de mensurandos estatisticamente
independentes, a incerteza padrão relativa combinada é a raiz quadrada da
soma dos quadrados das incertezas padrão relativas individuais.
CASO GERAL
Considere G = f(a,b,c,...), onde pode haver qualquer tipo de operação: soma,
multiplicação, etc... Através da expansão da expressão em termos da série de Taylor
tem-se:
u(G) =
⎡∂f
⎤
⎢ u(a)
a
⎥
⎣∂
⎦
2
⎡∂f
⎤
+ ⎢ u(b)
b
⎥
⎣∂
⎦
2
⎡∂f
⎤
+ ⎢ u(c)
c
⎥
⎣∂
⎦
2
+ ...
(8.28)
u(G) é a incerteza padrão combinada da grandeza G, u(a), u(b) representam as
incertezas padrão associadas às grandezas a, b, etc.... As Eqs (8.26) e (8.27) são casos

8. Controle Metrológico e Estatístico (Análise de Incertezas)
particulares da Eq. (8.28).
- 217 -
Exemplo 8: Determinação da massa específica ρ de um cilindro. As seguintes medidas
foram obtidas com instrumentos distintos:
m = 1580 ± 10 g; d = 25,423 ± 0,003 mm; h = 77,39 ± 0,05 mm;
A massa específica pode ser calculada pela equação
massa 4m
ρ = =
2
volume π d h
= 0,040239
g
mm
3
Como na expressão só se tem multiplicação, deve ser usada a Eq. 8.27a:
u( ρ )
=
ρ
⎛
⎜
⎝
u(m)
m
2
⎞
⎟
⎠
u( ρ )
= ±
0,040239
ρ ) 1
= ±
ρ 10000
⎛
+ ⎜
⎝
2
u(h) ⎞
⎟
h ⎠
⎛ 10 ⎞
⎜ ⎟
⎝ 1580 ⎠
⎛
+ 2 ⎜
⎝
2
2
u(d) ⎞
⎟
d ⎠
⎛ 0,05 ⎞
+ ⎜ ⎟
⎝77,39
⎠
u( 2
2
⎛ 0,003 ⎞
+ 2 ⎜ ⎟
⎝ 25,423 ⎠
2
2
( 63,3 ) + ( 6,46 ) + ( 2,36 ) = ± 0,00637
u(ρ) = ±0,040239.0,00637 ⇒ u(ρ) = ±0,00025 g/mm 3
Assim ⇒ ρ = 0,04024 ± 0,00025 g/mm 3
Este problema poderia ser resolvido usando-se a Equação Geral (Eq(8.28))
∂ρ
4
=
∂m
π d
u( ρ ) =
;
h
∂ρ
- 4m
=
2 ∂h
π d h
;
∂ρ
=
∂d
2 2 π
2
- 8m
⎛ 4 ⎞ ⎛ - 4m ⎞ ⎛ - 8m ⎞
⎜ u(m) ⎟ + ⎜ u(h) ⎟ + ⎜ u(d) ⎟
2
2 2
3 2
⎝π
d h ⎠ ⎝ π d h ⎠ ⎝ π d h ⎠
Obtem-se da mesma forma: ρ = 0,04024 ± 0,00025 g/mm 3
2
d
3
h
2
2

8. Controle Metrológico e Estatístico (Análise de Incertezas)
se quiser melhorar o processo de medição deve-se atuar na balança.
- 218 -
A incerteza padrão combinada está fortemente afetada pela incerteza da massa. Se
Exercícios:
10. Duas resistências R1 e R2 podem ser associadas em série ou em paralelo. Os
valores das resistências são: R1 = 100,0 ± 0,1 Ω e R2 = 50,00 ± 0,03 Ω. Calcule a
incerteza para cada uma das associações, considerando dois casos distintos:
i) As resistências moram medidas com o mesmo instrumento;
ii) As resistências foram medidas com instrumentos distintos.
Do ponto de vista de incerteza resultante, qual das duas associações seria mais
indicada?
11. A resistência de um fio de Cobre é dada pela Equação
R0 = 6 ± 0,3 Ω (a T = 20
α = 0,
0 C)
004 0 C -1 ± 1%
Determine o valor da resistência de um fio de cobre, e
sua incerteza, para uma temperatura T = 30 ± 1 0 R= R0[
1+
α (T-20)
]
C.
12. Uma máquina admite óleo lubrificante até o limite de viscosidade absoluta de
1,5 ± 0,6 Pa.s. Ao receber o óleo, o mesmo foi enviado para análise. A equação do
modelo a ser usado é
mg - ρgV
µ =
6πRv
onde µ = Viscosidade absoluta
m = 0,144 ± 0,005 g (massa da esfera)
D = 3,16 ± 0,02 mm (Diâmetro da esfera; D=2R)
v = 0,0250 ± 0,0005 m/s (Velocidade da esfera)
ρ = 1260 ± 5 Kg/m 3 (Densidade do óleo)
g = 9,81 m/s 2 (Aceleração da gravidade)
V = 4/3.π.R 3 (Volume da esfera).
Todas as grandezas acima foram medidas com instrumentos distintos. Determine se
este óleo deve ser aceito ou não. Determine ainda qual grandeza exerce maior
influência na viscosidade do óleo.
13. Um medidor de vazão do ar para baixas velocidades obedece a seguinte lei
⎡2
g c p1
⎤
m& = CA⎢
( p1
- p2
) ⎥
⎣ RT
1 ⎦
1/2

8. Controle Metrológico e Estatístico (Análise de Incertezas)
C = 0,920 ± 0,005 (Coeficiente de descarga);
A = 1,000 ± 0,001 in 2 (Área da seção transversal do tubo)
p1 = 25,0 ± 0,5 psia (pressão antes da redução)
∆p = p1 - p2 = 1,400 ± 0,005 psia (Queda de pressão em tubo de Venturi)
T1 = 70 ± 2 0 F
R = constante Universal dos Gases
- 219 -
Determine a incerteza relativa da taxa de escoamento da massa ( m& ) nas condições
acima.
14. Uma viga de seção transversal circular tem um comprimento l = 1828,8 mm e um
diâmetro d = 63,500 mm. Esta viga está engastada em uma de suas extremidades.
Uma carga concentrada F = 1556,878 N atua na extremidade livre da viga, provocando
flexão. Conhece-se as seguintes incertezas: u(l) = ±12,7 mm; u(d) = ±2,032 mm;
u(F) = ±22,241 N. Determine o momento fletor máximo atuante na viga e sua
incerteza. Explique claramente o procedimento utilizado.
15. Em um projeto foi determinado que a incerteza do momento fletor máximo da viga
da questão anterior não poderia ser superior a 6%, ou seja, u(MF) ≤ 6%. Qual o
máximo valor aceitável da incerteza do diâmetro se todas as outras incertezas
permanecessem constantes?
8.4.3 PROPAGAÇÃO DE INCERTEZAS ATRAVÉS DE MÓDULOS
Em muitas situações, o sistema de medição (SM) constitui-se de diversos módulos
associados em série. Pode-se citar por exemplo a medição de deformação utilizando-se
extensômetros resistivos (Strain Gages): 1. Módulo ⇒ Sensor (extensômetro); 2.
Módulo ⇒ Amplificador; 3. Módulo ⇒ Filtro; 4. Módulo ⇒ Indicador. As vezes estes
módulos estão embutidos em uma mesma caixa. Cada módulo tem a sua incerteza e
correção associadas. A Fig. 8.4 mostra o diagrama de blocos de um SM generalizado.

8. Controle Metrológico e Estatístico (Análise de Incertezas)
M1 M2 M3 ... Mn
E(M1) E(M2) E(M3) E(Mn)
K(M1) K(M2)
K(M3)
C(M1)
u(M1)
C(M2)
u(M2)
Ei = Sinal de entrada do bloco i;
Si = Sinal de saída do bloco i;
ui = Incerteza padrão do bloco i;
Ci = Correção do bloco i;
Ki = Sensibilidade ⇒ Ki = Si/ Ei.
C(M3)
u(M3)
K(Mn)
C(Mn)
u(Mn)
- 220 -
S(M2) S(M3) S(Mn)
Fig 8.4: Diagrama de Blocos de um SM generalizado
A sensibilidade do bloco "i" Ki é a relação entre o sinal de saída e o sinal de saída deste
bloco. O mensurando é o sinal de entrada do primeiro bloco (E1). A partir do valor de
E1 obtem-se a indicação, ou seja a saída do último bloco Sn. A partir deste valor de
saída do módulo indicador deve ser determinado o valor do mensurando (E1) e sua
incerteza. Através das seguintes equações pode-se calcular o valor nominal do sinal de
saída e as incertezas relativas do sistema de medição:
• Valor nominal do Sinal de saída do Sistema de Medição SSM
S = E1K1
K2
K3
.... KN
SM (8.29)
• Correção Relativa do Sistema de Medição CRSM
C
C
=
S
C
=
S
C
+
S
C
+
S
C
+ ... +
S
RSM
SM 1 2 3
N
(8.30)
SM 1 2 3
N
• Incerteza Padrão Combinada Relativa do Sistema de Medição uRSM

8. Controle Metrológico e Estatístico (Análise de Incertezas)
u
u
=
S
= ±
⎛ u
⎜
⎝ S
⎞
⎟
⎠
2
⎛ u
+ ⎜
⎝ S
⎞
⎟
⎠
2
⎛ u
+ ⎜
⎝ S
⎞
⎟
⎠
⎛ u
+ ... + ⎜
⎝ S
RSM
SM
1
2
3
n
(8.31)
SM
1
2
3
n
2
⎞
⎟
⎠
2
- 221 -
As Equações acima permitem caracterizar o sinal de saída do SM, composto pela
interligação de n módulos.
A incerteza expandida deve ser calculada após o cálculo da incerteza padrão. Caso não
haja informações a respeito da determinação do parâmetro de abrangência K, use
K = 2.
Exemplo 9:
A Fig 8.5 mostra o diagrama de blocos de um SM utilizado para medir deslocamento, o
qual é composto dos seguintes estágios (módulos):
i) Transdutor indutivo de deslocamento
Faixa de Medição: 0 a 20 mm;
Sensibilidade KT = 5mV/mm;
Correção CT = -1 mV;
Incerteza uT = ±2 mV ⇒ Estimada com n = 16.
ii ) Unidade de Tratamento de Sinal ( Amplificador)
Faixa de Medição: ± 200 mV na entrada;
Amplificação:100 X;
Correção CA = 0,000;
Incerteza uA = ±0,2% ⇒ Estimada com n = 20.
iii ) Dispositivo Mostrador (Voltímetro digital)
Faixa de Medição: ± 20 V;
Resolução R = 5mV;
Correção CDM = ±0,02% VI (VI: Valor Indicado);
Incerteza uDM = ±5 mV ⇒ Estimada com n = 96.

8. Controle Metrológico e Estatístico (Análise de Incertezas)
?
Transdutor
Unidade de
Tratamento
de Sinais
Dispositivo
Mostrador
2,500 V
Fig 8.5: Diagrama de blocos de um SM para medição de deslocamento
- 222 -
Determinar o valor do deslocamento medido e sua incerteza, quando o voltímetro
indicar 2,500 V.
Solução:
Sensibilidade do Amplificador: EA=200 mV ⇒ Amplificação 100 X ⇒ SA=20 V ⇒
KA = SA/EA = 20 V/200 mV = 0,1 V/mV;
• Determinação do valor nominal do Deslocamento:
Pela Eq (27) ⇒ 2,500 V = ET . 5 mv/mm . 0,1 v/mV . 1V/V ⇒ ET = 5,000 mm
• Determinação da Correção:
Deve-se determinar o valor de saída de cada módulo:
Transdutor ⇒ ST = ET . KT = 5,000 . 5 = 25,000 mV;
Amplificador ⇒ SA = EA . KA = 25,000 . 0,1 = 2,500 V;
Dispositivo Mostrador ⇒ SDM = EDM . KDM = 2,500 . 1 = 2,500 V;
Correção Relativa CR
Transdutor ⇒ CRT = CT/ST = -1mV/25,000 mV = -0,040;
Amplificador ⇒ CRA = CA/SA = 0,000;
Dispositivo Mostrador: Correção CDM ⇒ 0,02% . 2,500 V = 0,5 mV;
⇒ CRDM = CDM/SDM = 0,5mV/2500 mV = 0,0002;

8. Controle Metrológico e Estatístico (Análise de Incertezas)
Correção Combinada
Eq (8.30) ⇒ CRSM = -0,40 + 0,000 + 0,0002 = -0,0398 ⇒ Correção Relativa;
Na entrada do Sistema de Medição: CENTRADA SM = -0,0398 . 5,000 = -0,199 mm
• Determinação da Incerteza:
Incerteza Padrão Relativa
CENTRADA SM = -0,199 mm
Transdutor ⇒ uRT = uT/ST = 2 mV/25,000 mV = 0,08;
Amplificador ⇒ uRA = uA/SA = 0,04 V/2,500 V = 0,016;
Dispositivo Mostrador:
U RDM
5mV
= =
2,
5V
0,
002
Observe: Amplificador ⇒Faixa de Medição: ±200mV ⇒ Amplificação: 100X
⇒ 200mV . 100=20V
Incerteza Padrão Combinada ⇒ Eq (8.31)
u
RSM
u
=
S
SM
SM
= ±
2
2
2
( 0,08)
+ ( 0,016)
+ ( 0,002)
= ± 0,0815
Na Entrada do SM ⇒ uENTRADA SM = ±0,0815 . 5,000 = ±0,4075 mm
uENTRADA SM = ±0,4075 mm
• Determinação da Incerteza Expandida:
ν
ef
=
(0,080 )
16
4
4 0, 0815
4
(0,040 ) (0,016 )
+ +
20 96
4
= 16,4
- 223 -

8. Controle Metrológico e Estatístico (Análise de Incertezas)
Tab. (8.5) - Pág. 162 com νef = 16,4 e P = 95,45% ⇒ K95 =2,17
UENTRADA SM = ±2,17 . 0,4075 mm = ±0,88 mm
• Resultado da Medição (RM)
UENTRADA SM = ±0,88 mm
RM = 5,000 - 0,199 ± 0,88 = 4,8 ± 0,9 mm
- 224 -
Observe: CRSM = CSM/SSM ⇒ -0,0398=CSM /2,500V ⇒ CSM=-0,0995V (Na saída do
SM)
CSAIDA = CENTRADA.KT.KA.KDM ⇒ -0,0995 = CENTRADA.5.0,1.1 ⇒ CENTRADA SM = -0,199 mm
Idêntico raciocínio pode ser extendido ao cálculo da incerteza
⇒ uSAIDA = ±0,0815.2,500 V =± 0,20375 V
uSAIDA = uENTRADA.KT.KA.KDM ⇒ ± 0,20375 V = uENTRADA.5.0,1.1
uENTRADA = ± 0,4075 mm
Resumi ndo : Após o cálculo da incerteza ou correção relativa, o valor absoluto
desejado é encontrado ao se multiplicar o valor relativo pelo sinal correspondente. Ou
seja:
⇒Se multiplicar a incerteza ou correção relativa pelo sinal de entrada será encontrado o valor absoluto da correção ou da incerteza na entrada.
⇒Se multiplicar a incerteza ou correção relativa pelo si nal de saída será encontrado
o valor absoluto da correção ou da incerteza na saída.

8. Controle Metrológico e Estatístico (Análise de Incertezas)
- 225 -
Exercícios Finais
1) A temperatura (T) de um líquido foi medida usando um termômetro de
resistência. Este termômetro foi fabricado usando fios de cobre. O valor da
temperatura é dado pela equação (1):
R−R
T = T0
+
R α.
0
0
T é a temperatura a ser medida; R é resistência do fio de Cu à temperatura T. R0 é a
resistência de referência do fio de Cu à temperatura de referência T0. α é o coeficiente
de dilatação térmica do Cu.
A resistência de referência foi medida seis vezes, conforme indicado na tabela
abaixo:
Número 1 2 3 4 5 6 Média Sx = Sx/(n) 1/2
Indicação: R0 (Ω) 5,56 5,60 5,52 5,54 5,58 5,58 5,563 0,0120
Os seguintes dados de R0 para uma temperatura T0 = 20,00±0,05 0
C (K=2) são
conhecidos:
Estabilidade Térmica de R0 = 0,009 Ω/
0C
0,04 Ω
Resolução do Instrumento:
Influência do tamanho do Fio: 0,0459 (Ω)/m
utilizado: 3,65 m.
Comprimento do fio
Calibração (para a média R0 = 5,563Ω) U = ± 0,0589 Ω (K=2,25);Td
= 0,0774 Ω.
Coeficiente de dilatação do Cobre: α = 0,0043 0 C -1
O sistema de medição abaixo foi utilizado para a medição da temperatura de um
líquido. Mediu-se na verdade o valor da resistência R do fio de cobre. Durante a
medição, o mostrador indicou na saída um valor de 0,15 Volts.Posteriormente,
utilizando-se a equação (1), obteve-se a temperatura (T).
KS =
Sensibilidade
PONTE FILTRO AMPLIFI
-
CADOR
Ponte
KS = 0,41mV/Ω;
Td = -2,03 mV;
U = ±0,03 mV;
(K = 2,5)
Filtro
KS = 1,2V/V;
Td = 0
U = ±0,09 mV;
(K = 2,6)
1.1) Determine adequadamente o valor do sinal de entrada no sistema de
medição acima, ou seja, o valor da resistência (R) do fio de cobre. Use
coeficiente de expansão K=2, caso seja necessário.
Amplificador
Amplificação: 50X
Td = 15,5 mV;
U = ±1,0% (VI)
(K = 2,40)
MOSTRA-
DOR
Mostrador
KS = 1,0V/V;
Td = 0,10 V
U = ±2,0 mV;
(K = 2,55)
1.2) Indique qual módulo apresenta maior IMPRECISÃO e qual módulo
apresenta maior INEXATIDÃO. Justifique!
1.3) Determine adequadamente (com probabilidade P = 95,45%) o valor da
resistência de referência R0. Use da uma temperatura estimada de 45 0 C.
SAÍDA:
0,15 V

8. Controle Metrológico e Estatístico (Análise de Incertezas)
- 226 -
1.4) Determine adequadamente a temperatura do líquido.
1.5) Faça uma análise detalhada da influência do uso da TEST = 45 0 C sobre o
resultado da medição da temperatura medida no item 3 (TMED).
2) A medição da força (P) da peça abaixo foi efetuada com um extensômetro,
utilizando o sistema de medição mostrado abaixo. A deformação (ε) pode ser
determinada pela equação
=
F
1
ε
∆R
R
onde F é o fator do extensômetro (F = 2,11±0,05) e R é a resistência da ponte ( R
= 120±2Ω). ∆R é o valor de saída do sensor (extensômetro), sendo proporcional à
deformação da peça na qual está colado. A força (P) provocou uma deformação na
peça de aço (E = 207 GPa) e o sistema de medição indicou uma tensão de 3,0 V na
saída. Sabe-se ainda que a peça tem uma secção transversal retangular com as
seguintes dimensões: a = 70,0±3,5 mm; b = 109,3±5,5 mm. Estas dimensões foram
medidas com um mesmo paquímetro. Determine adequadamente o valor da força P.
As incertezas dadas acima foram determinadas com probabilidade de
enquadramento de 95% (F, R, a, b).
P
Extens
ô
t
PONTE
AMPLIFICADOR
AQUISIÇÃO
Ponte de Wheatstone: Amplificador
Sensibilidade K = 0,3 V/Ω; Amplificação: 150X
Faixa de Medição (F.M.) = ±16Ω; Faixa de Medição (F.M.) = ±590mV;
Td = 2,5Ω; Td = -4,0 mV;
U = ±4,9Ω; (K = 2,1) U = ±4,9% (K = 2,05);
Aquisição:
Sensibilidade K = 1,5V/V;
Faixa de Medição (F.M.) = ±5,0V;
Td = 3,8% (VI); U = ±17,3 mV; (K = 2,1)
SAÍDA

8. Controle Metrológico e Estatístico (Análise de Incertezas)
ANEXO I
COMPATIBILIDADE DE VALORES E REGRAS DE ARREDONDAMENTO
Compatibilidade de Valores
- 227 -
O resultado da medição deve ser apresentado com um número de algarismos
significativos compatível com o fenômeno físico e/ou descrição da medida.
A incerteza do resultado deve ter um ou no máximo dois algarismos significativos.
O valor medido deve ter o mesmo número de casas decimais que o valor da incerteza.
Regras de Arredondamento
i) Se o algarismo à direita do último dígito a ser avaliado for menor que 5: Todos os
algarismos à direita devem ser eliminados;
Exemplo: Arredondar 6,2364877 com 3 casas decimais ⇒ 6,236
ii) Se o algarismo à direita do último dígito a ser avaliado for maior que 5: Será
adicionada uma unidade ao algarismo considerado:
Exemplo: Arredondar 6,2367 com 2 casas decimais ⇒ 6,24
iii) Se o algarismo à direita do último dígito a ser avaliado for igual a 5:
Será adicionada uma unidade ao algarismo significativo caso este seja ímpar,
eliminando-se os demais algarismos:
Exemplo: Arredondar 6,23567 com 2 casas decimais ⇒ 6,24
Serão desconsiderados todos os dígitos à direita do algarismo significativo caso este
seja par:
Exemplo: Arredondar 6,24567 com 2 casas decimais ⇒ 6,24