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onde z α é o α-ésimo quantil da distribuição normal padrão. O método boostrap padrão é acurado de primeira ordem (Efron e Tibshirani, 1993). Baseado no procedimento para a construção de intervalos de confiança quando Z tem distribuição t-Student, o intervalo de confiança t-bootstrap pressupõe o cálculo da estatística Z em cada amostra e obtém-se tˆ (1−α ) e t ( ˆα ) através da estimação da distribuição de Z. Assim, para cada uma das B amostras bootstrap geradas calcula-se ˆ• δ ( b) − ˆ δ Z ( b) = , • se b ( ˆ) δ onde seb • (δˆ ) é o erro padrão estimado em cada amostra bootstrap e estima-se o 100α-ésimo percentil de Z através de t ( ˆα ) de modo que # { Z ( b) ≤ tˆ } ( α ) = α Analogamente, estima-se o 100 (1 - α)-ésimo percentil de Z através de por tˆ( 1−α ) B { Z( b) tˆ } # ) ≤ (1 − α = 1−α . B Assim o intervalo de confiança t-bootstrap para δ com probabilidade de cobertura de aproximadamente (1 - 2α) é dado por ( ˆ δ tˆ se( ˆ), δ ˆ δ − tˆ se( ˆ) ) − ( 1 − α) ( α) δ . O intervalo t-bootstrap é acurado de segunda ordem. • A partir da distribuição empírica acumulada de δˆ constrói-se o intervalo de confiança ( α ) bootstrap percentil. Sendo ˆ • δ • (1 α ) B e ˆ• • − δ B , respectivamente, o (100-α)-ésimo e o 100(1 - α)-ésimo percentis da distribuição empírica de ˆ• δ (.) , o intervalo de confiança bootstrap percentil para δ é dado por ( ˆ δ • ) (1 ) ) ( α , ˆ δ • −α B com probabilidade de cobertura aproximada de (1 - 2α). O intervalo bootstrap percentil é acurado de primeira ordem. O intervalo bootstrap com vício corrigido acelerado (bias corrected and accelerated - BC α ) corresponde a uma modificação no método de obtenção do intervalo bootstrap percentil. O BC α utiliza a distribuição empírica bootstrap modificada que depende das quantidades ẑ0 e αˆ , chamadas respectivamente de correção do vício e aceleração. Em sua obtenção é usado um método de reamostragem (jackknife ou bootstrap). O método BC α é acurado de segunda ordem e requer um esforço computacional maior. O método ABC (approximate bootstrap confidence interval) corresponde a uma aproximação analítica por expansão de Taylor da segunda reamostragem no método BC α . Ele também é acurado de segunda ordem. B . 12 Rev. Mat. Estat., São Paulo, v.21, n.3, p.7-20, 2003
Neste trabalho considera-se a extensão do método bootstrap paramétrico em amostragem por conjuntos ordenados para os intervalos bootstrap padrão, percentil e t- bootstrap. 3.2 Método bootstrap sob o delineamento de amostras por conjuntos ordenados Efron e Tibshirani (1993) e Davison e Hinkley (1997), ao abordarem o método bootstrap não paramétrico, consideram uma amostra de tamanho n cujos elementos são independentes e identicamente distribuídos. Na amostragem por conjuntos ordenados sabe-se que os elementos que compõem a amostra são estatísticas de ordem vindos de amostras independentemente escolhidas, e portanto, são independentes. Porém, como suas distribuições dependem das suas respectivas ordens, eles não são identicamente distribuídos. Assim, ao se aplicar diretamente o método bootstrap não-paramétrico na reamostragem, pode-se estar deixando de levar em consideração a ordem do seu elemento perdendo na análise essa informação adicional de ser uma amostra de conjuntos ordenados, especialmente quando a ordenação é perfeita. Além disso, considera-se que o procedimento de amostragem apresentado na Seção 2, é realizado apenas uma única vez. Dessa forma, não se tem replicações das estatísticas de ordem que compõem a amostra de conjuntos ordenados. Por esses motivos o método bootstrap paramétrico é a opção para a construção de intervalos de confiança. Dada a amostra de conjuntos ordenados original, as amostras bootstrap são obtidas a partir da geração de variáveis pseudo-aleatórias da distribuição normal com parâmetros iguais às estimativas obtidas na amostra original. Isto é, quando a variância é conhecida, usando o estimador média amostral, X , dado em (1) ou o estimador linear ótimo, µ*, dado em (4), as amostras bootstrap são obtidas a partir da simulação de n conjuntos, cada um com n elementos, oriundos de uma população com distribuição normal com média igual a estimativa escolhida. Em cada um desses conjuntos, seus elementos são ordenados e da primeira amostra é selecionado o menor elemento, da segunda, o segundo menor elemento, e assim por diante até que da n-ésima amostra é selecionado o maior elemento. No caso em que a variância é desconhecida, usam-se também os estimadores apresentados em (2) ou (5), para a obtenção das reamostras. 4 Estimação intervalar via método bootstrap para o parâmetro de locação sob RSS A partir da amostra de conjuntos ordenados bootstrap, esta proposta de intervalo de confiança bootstrap para a média populacional de uma distribuição normal utiliza o estimador média amostral, X dado em (1), com seu respectivo erro padrão, se (X ) , que corresponde a raiz quadrada de (2) ou o estimador linear ótimo, µ*, dado em (4), cujo erro padrão, se (µ*) , corresponde a raiz quadrada de (6). Se o interesse é a obtenção de intervalos de confiança bootstrap padrão para µ, utilizando, µ*, então, inicialmente, para cada uma das B reamostras calcula-se µ*(b), ou seja, a estimativa linear ótima da b-ésima amostra bootstrap de conjuntos ordenados, seu erro padrão, seb ( µ *), e Z( b) = [ µ *( b) − µ *]/ seb ( µ *) onde b = 1,...,B. Rev. Mat. Estat., São Paulo, v.21, n.3, p.7-20, 2003 13
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