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UM ESTUDO SOBRE O DESEMPENHO DE INTERVALOS DE
CONFIANÇA BOOTSTRAP PARA A MÉDIA DE UMA DISTRIBUIÇÃO
NORMAL USANDO AMOSTRAGEM POR CONJUNTOS ORDENADOS
PERFEITAMENTE
Luciana Cristina CESÁRIO 1
Maria Cecília Mendes BARRETO 1
RESUMO: O delineamento de amostras por conjuntos ordenados tem se mostrado eficiente na
estimação de diversos parâmetros populacionais, entre eles a média, os parâmetros de um modelo de
regressão linear simples e os quantis populacionais. Usando informação sobre o tipo de distribuição
da variável resposta, mais recentemente, diversos autores propuseram, para o parâmetro de locação,
estimadores diferentes da média da amostra de conjuntos ordenados, entre eles o estimador linear
não viciado ótimo. Por outro lado, intervalos de confiança bootstrap são uma alternativa
computacionalmente intensiva e eficiente, principalmente quando não se tem resultados exatos ou
assintóticos que possam garantir seu desempenho. Neste trabalho são apresentadas propostas para a
construção de intervalos bootstrap de confiança e estudos sobre seu desempenho para a média de
populações com distribuição normal sob o delineamento por conjuntos ordenados perfeitamente. Foi
verificado por simulação que o intervalo de confiança t-bootstrap possui o melhor desempenho.
Esses resultados tornam-se relevantes à medida que, em amostragem por conjuntos ordenados, são a
única alternativa para a obtenção de intervalos de confiança.
PALAVRAS-CHAVE: Amostragem por conjuntos ordenados; intervalos de confiança bootstrap;
estimação intervalar da média; distribuição normal.
1 Introdução
A busca de métodos e técnicas estatísticas eficientes, principalmente relacionadas com
estudos do meio ambiente, têm sido discutidas recentemente, dando-se grande ênfase àquelas
em que a obtenção de dados pode envolver altos custos de mensuração ou mesmo restrições
ao acesso de resultados (Barnett, 1999; Barreto, 2001).
A amostragem por conjuntos ordenados (ranked-set sampling – RSS), introduzida por
McIntyre (1952), usa o fato de ser possível fazer uma ordenação entre os elementos da
amostra, antes de sua efetiva mensuração. A média da amostra de conjuntos ordenados,
apresentada nesse trabalho pioneiro, é um estimador não viciado da média populacional que
apresenta variância menor ou igual à média de uma amostra aleatória simples. Esta
desigualdade está relacionada ao processo da obtenção da amostra de conjuntos ordenados.
1 Departamento de Estatística, Universidade Federal de São Carlos – UFSCar, CEP: 13565-905, São Carlos, SP,
Brasil. E-mail: cbarreto@power.ufscar.br.
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A técnica de RSS tem sido desenvolvida, ultimamente, buscando aumentar sua
eficiência e aplicabilidade para as diferentes distribuições das variáveis de interesse. Por
exemplo, diversos autores consideram os estimadores lineares não viciados ótimos (best
linear unbiased linear estimators – BLUEs), verificando seus ganhos de eficiência sobre
outros estimadores. Em particular, considerando a amostragem por conjuntos ordenados em
distribuições na família locação-escala, Stokes (1995) obteve o BLUE do parâmetro de
locação, µ, com o parâmetro de escala σ conhecido, e também o BLUE de σ, com µ
conhecido. Sinha et al. (1996) estudaram o BLUE da média populacional para as
distribuições normal e exponencial. Nestes trabalhos, as propriedades dos estimadores
obtidos foram estudadas no caso em que a ordenação é perfeita, isto é, a ordenação antes da
mensuração é feita sem erros.
Barnett e Moore (1997) obtiveram a forma geral dos BLUEs de µ e σ para distribuições
pertencentes a família locação-escala, considerando ordenação perfeita e imperfeita. Seus
resultados mostram o ganho de eficiência do BLUE de µ sobre a média da amostra por
conjuntos ordenados. O estimador de µ obtido por Barnett e Moore (1997) coincide com o
obtido por Sinha et al. (1996) para distribuições normal e exponencial.
Existem poucos trabalhos que estudam intervalos de confiança na amostragem por
conjuntos ordenados. Chen (2000) faz um estudo assintótico sobre os quantis na amostra de
conjuntos ordenados e apresenta suas propriedades. Com isso o autor desenvolve métodos de
inferência para os quantis populacionais, entre eles intervalos de confiança.
Neste trabalho, apresenta-se a construção de intervalos de confiança bootstrap para a
média de uma distribuição normal considerando o delineamento de amostras por conjuntos
ordenados perfeitamente. Com o objetivo de validá-los, faz-se também um estudo, via
simulação, das respectivas probabilidades de cobertura.
2 Amostra de conjuntos ordenados e alguns estimadores para a média
populacional
O delineamento por amostras de conjuntos ordenados pode ser obtido em três passos:
no primeiro, selecionam-se n amostras com n objetos cada (pessoas, animais, plantas, entre
outros); no segundo passo, por algum julgamento profissional, por alguma variável
concomitante ou por outro método não dispendioso, ordenam-se os objetos em cada amostra
sem que de fato tenham sido observados quanto à variável de interesse; no terceiro passo,
após a ordenação, mensura-se um objeto de cada amostra quanto à variável de interesse, X i(i) ,
(i =1,2, ..., n), ou seja, mede-se aquele que foi ordenado como tendo o i-ésimo menor valor
da variável de interesse na i-ésima amostra.
Desse modo, uma amostra por conjuntos ordenados é definida como
X 1(1)
, X 2(2) ,..., X n ( n)
.
Observe que cada elemento amostral provém de uma amostra independentemente
escolhida, ou seja, eles são não-correlacionados.
Diz-se que a ordenação é perfeita quando a amostra é ordenada corretamente, ou seja,
quando X i(i) é realmente o i-ésimo valor ordenado na i-ésima amostra, caso contrário, tem-se
a ordenação imperfeita. Existem dois modelos (Nahhas et al., 2002) que levam em conta
erros de ordenação (ranking error models). O modelo de ordenação visual, proposto por Dell
e Clutter (1972), considera que a ordenação é feita com uma perturbação quantificada na
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forma de uma adição ao verdadeiro valor de uma variável aleatória normal com média zero e
variância proporcionalmente inversa à habilidade do especialista. Quanto maior a habilidade
mais próxima de zero é a variância. O modelo de ordenação baseado em variável
concomitante, proposto por Stokes (1977), leva em consideração a correlação existente entre
a variável de interesse e a variável concomitante.
Como estimador não viciado da média populacional, µ x , McIntyre (1952) sugeriu a
média dos elementos da amostra por conjuntos ordenados dada por
1
X =
n
n
X i ( i)
,
i=
1
comentando que sua variância é menor ou igual à variância da média de uma amostra
aleatória simples. Só em 1968, entretanto, Takahasi e Wakimoto (1968) mostraram
matematicamente as idéias de McIntyre para diferentes tamanhos de amostras e
distribuições. Isto é, sendo X (i) a i-ésima estatística de ordem numa amostra por conjuntos
ordenados então,
= 1 n
Var(
X ) =
2
n i=
1
Var(
1 n
n
≤ Var(
X ( i)
) + 2 Cov
2
n
i=
1
i= 1 j > i
X i ( i)
)
( j)
( X , X )
( i)
(1)
= Var( _ X ) ,
pois Cov (X i(i), X j(j) )= 0 uma vez que os elementos provêm de amostras independentemente
selecionadas. Essas propriedades são válidas mesmo no caso em que existem erros de
ordenação.
Em seu trabalho de 1980, Stokes sugeriu como estimador da variância populacional,
σ 2 x, a variância da amostra de conjuntos ordenados dada por
n
2 1
ˆ σ x = ( Xi
i − 2
( ) X ) , (2)
n −1
e mostrou que ela é assintóticamente não viciada, mesmo na presença de erros de
mensuração, e também mais eficiente que seu análogo na amostra aleatória simples.
No caso específico da distribuição da variável de interesse, X, pertencer à família
locação-escala, onde µ é o parâmetro de locação e σ o parâmetro de escala, a i-ésima
estatística de ordem padronizada, U (i) = (X (i) - µ)/σ, tem valores esperados η i e variâncias τ i .
Dada a relação existente entre estatísticas de ordem e os elementos da amostra de conjuntos
ordenados, a variância de X pode ser escrita na forma
2
n
σ
Var( X ) = τ
2 i . (3)
n
i=
1
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Quando a variável de interesse, X, tem distribuição pertencente a família locaçãoescala,
Barnett e Moore (1997) obtiveram o estimador linear ótimo, θ * , do vetor de
parâmetros, θ 1 = (µ, σ). No caso da variável de interesse ter distribuição normal, µ x = µ e
σ 2 x=σ 2 , os componentes de θ * podem ser escritos por
e
com
n
i=
1 ( X i ( i)
/ τi)
µ * =
(4)
n
i=
1(1/
τi)
n
i=
1 ( ηi ( ) / )
* =
X i i τi
σ (5)
n 2
i=
1(
ηi
/ τi)
2
σ
Var(
µ *) =
n
(6)
i = 1(1/
τ i )
e
2
σ
Var(
σ *) =
n 2
i = 1(
ηi
/ τi)
e a covariância entre µ* e σ* nula. Também foi mostrado que µ* é mais eficiente que X no
caso de distribuição normal.
Os valores de η i e τ i só dependem da distribuição subjacente de n e da posição i. Para a
distribuição normal eles foram tabulados, entre outros, por Pearson e Hartley (1976).
Usando algumas propriedades das estatísticas de ordem (por exemplo, David, 1981), as
quantidades η i e τ i podem ser computacionalmente obtidas para qualquer distribuição de
interesse. Assim, a média e a variância das estatísticas de ordem padronizadas são dadas por:
n
−1
i−1
n−i
η i = ufi
( u)
du = n
u[ P(
u)
] [ 1−
P(
u)
] p(
u)
du e
i −1
n
−1
τ i = n
u
i −1
2
i 1
[ P(
u)
] [ 1−
P(
u)
]
− n−i
2
p(
u)
du − ( ηi
)
onde n é o tamanho da amostra, i é a ordem, P(u) é a distribuição acumulada da variável
reduzida e p(u), a respectiva função densidade. Um programa para o cálculo dessas
constantes usando SPLUS (Venables e Riplye, 1997) encontra-se em Cesário (2001).
Na maioria das vezes, apenas uma estimativa pontual a partir de uma amostra não é
informação suficiente para se fazer inferências sobre o parâmetro de interesse. Também é
interessante que se tenha idéia da precisão ou possível erro dessa estimativa e os intervalos
de confiança possuem essas características.
3 Intervalos de confiança bootstrap
Como não existem estudos sobre intervalos de confiança exatos ou mesmo intervalos de
confiança assintóticos para a média de uma distribuição normal sob o delineamento de
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amostras de conjuntos ordenados, a construção de intervalos de confiança foi baseada em
métodos bootstrap. Inicialmente, são apresentados os fundamentos da construção de
intervalos de confiança bootstrap considerando a amostragem aleatória simples, baseadas
principalmente nos trabalhos de Efron e Tibshirani (1993) e Davison e Hinkley (1997). A
seguir, introduz-se intervalos de confiança bootstrap e sua utilização em amostras por
conjuntos ordenados.
3.1 Método bootstrap em amostragem aleatória simples
Elaborado por Efron (1979), o método de simulação de dados bootstrap é baseado nas
idéias tradicionais da inferência estatística com o mínimo de suposições matemáticas
possíveis. Computacionalmente intensivo, sua utilização em trabalhos recentes evidenciam
sua grande versatilidade. Efron e Tibshirani (1993) e Davison e Hinkley (1997) apresentam
uma ampla discussão e aplicação de métodos bootstrap nas mais variadas técnicas
estatísticas de análise de dados.
Considerando que a amostra original é aleatória simples de tamanho n, as amostras
bootstrap são obtidas por amostragem aleatória simples de tamanho n com reposição da
amostra original. Isto é, a amostragem é feita a partir de Fˆ , a distribuição empírica dos
dados, que atribui probabilidade 1/n a cada um dos valores observados, x 1 , x 2 , ...,x n . Essa
geração de amostras bootstrap é conhecida como não-paramétrica. Quando a reamostragem é
feita a partir de uma distribuição conhecida, Fˆ
par , cujos parâmetros são estimativas obtidas
na amostra original, o processo de reamostragem bootstrap é conhecido como paramétrico.
Sendo δˆ um estimador do parâmetro de interesse δ e se (δˆ ) o seu erro padrão
estimado na amostra original, definem-se B como o número de replicações bootstrap de
tamanho n da amostra original e ˆ •
δ ( b)
, a estimativa bootstrap em cada uma das B amostras,
com b = 1,2,..., B.
com
A estimativa bootstrap do erro padrão de δˆ , se boot (δˆ ), é dada por:
Supondo que
( ˆ) = B
se
b=
1
boot δ
[ ˆ•
δ ( b)
− s(
⋅)
]
B −1
B
ˆ•
b
s ⋅ = b = 1
δ ( )
( )
B
ˆ δ −δ
Z = ~ N(0,1),
seboot ( δ )
um intervalo de confiança bootstrap padrão para δ com probabilidade de cobertura de
aproximadamente (1 - 2α) é dado por:
ˆ δ ± zα seboot
( ˆ) δ
2
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onde z α é o α-ésimo quantil da distribuição normal padrão. O método boostrap padrão é
acurado de primeira ordem (Efron e Tibshirani, 1993).
Baseado no procedimento para a construção de intervalos de confiança quando Z tem
distribuição t-Student, o intervalo de confiança t-bootstrap pressupõe o cálculo da estatística
Z em cada amostra e obtém-se tˆ
(1−α
) e t (
ˆα ) através da estimação da distribuição de Z. Assim,
para cada uma das B amostras bootstrap geradas calcula-se
ˆ•
δ ( b)
− ˆ δ
Z ( b)
= ,
•
se b ( ˆ) δ
onde seb
• (δˆ ) é o erro padrão estimado em cada amostra bootstrap e estima-se o 100α-ésimo
percentil de Z através de t (
ˆα ) de modo que
#
{ Z ( b)
≤ tˆ
} ( α )
= α
Analogamente, estima-se o 100 (1 - α)-ésimo percentil de Z através de por tˆ( 1−α
)
B
{ Z(
b)
tˆ
}
# )
≤ (1 − α
= 1−α
.
B
Assim o intervalo de confiança t-bootstrap para δ com probabilidade de cobertura de
aproximadamente (1 - 2α) é dado por
( ˆ δ tˆ
se(
ˆ), δ ˆ δ − tˆ
se(
ˆ) )
− ( 1 − α)
( α)
δ .
O intervalo t-bootstrap é acurado de segunda ordem.
•
A partir da distribuição empírica acumulada de δˆ constrói-se o intervalo de confiança
( α )
bootstrap percentil. Sendo ˆ •
δ • (1 α )
B e ˆ• • −
δ B , respectivamente, o (100-α)-ésimo e o 100(1 -
α)-ésimo percentis da distribuição empírica de ˆ•
δ (.) , o intervalo de confiança bootstrap
percentil para δ é dado por
( ˆ δ
• ) (1 )
)
( α
, ˆ δ
• −α
B
com probabilidade de cobertura aproximada de (1 - 2α). O intervalo bootstrap percentil é
acurado de primeira ordem.
O intervalo bootstrap com vício corrigido acelerado (bias corrected and accelerated -
BC α ) corresponde a uma modificação no método de obtenção do intervalo bootstrap
percentil. O BC α utiliza a distribuição empírica bootstrap modificada que depende das
quantidades ẑ0
e αˆ , chamadas respectivamente de correção do vício e aceleração. Em sua
obtenção é usado um método de reamostragem (jackknife ou bootstrap). O método BC α é
acurado de segunda ordem e requer um esforço computacional maior.
O método ABC (approximate bootstrap confidence interval) corresponde a uma
aproximação analítica por expansão de Taylor da segunda reamostragem no método BC α .
Ele também é acurado de segunda ordem.
B
.
12
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Neste trabalho considera-se a extensão do método bootstrap paramétrico em
amostragem por conjuntos ordenados para os intervalos bootstrap padrão, percentil e t-
bootstrap.
3.2 Método bootstrap sob o delineamento de amostras por conjuntos
ordenados
Efron e Tibshirani (1993) e Davison e Hinkley (1997), ao abordarem o método
bootstrap não paramétrico, consideram uma amostra de tamanho n cujos elementos são
independentes e identicamente distribuídos.
Na amostragem por conjuntos ordenados sabe-se que os elementos que compõem a
amostra são estatísticas de ordem vindos de amostras independentemente escolhidas, e
portanto, são independentes. Porém, como suas distribuições dependem das suas respectivas
ordens, eles não são identicamente distribuídos. Assim, ao se aplicar diretamente o método
bootstrap não-paramétrico na reamostragem, pode-se estar deixando de levar em
consideração a ordem do seu elemento perdendo na análise essa informação adicional de ser
uma amostra de conjuntos ordenados, especialmente quando a ordenação é perfeita.
Além disso, considera-se que o procedimento de amostragem apresentado na Seção 2, é
realizado apenas uma única vez. Dessa forma, não se tem replicações das estatísticas de
ordem que compõem a amostra de conjuntos ordenados. Por esses motivos o método
bootstrap paramétrico é a opção para a construção de intervalos de confiança.
Dada a amostra de conjuntos ordenados original, as amostras bootstrap são obtidas a
partir da geração de variáveis pseudo-aleatórias da distribuição normal com parâmetros
iguais às estimativas obtidas na amostra original. Isto é, quando a variância é conhecida,
usando o estimador média amostral, X , dado em (1) ou o estimador linear ótimo, µ*, dado
em (4), as amostras bootstrap são obtidas a partir da simulação de n conjuntos, cada um com
n elementos, oriundos de uma população com distribuição normal com média igual a
estimativa escolhida. Em cada um desses conjuntos, seus elementos são ordenados e da
primeira amostra é selecionado o menor elemento, da segunda, o segundo menor elemento, e
assim por diante até que da n-ésima amostra é selecionado o maior elemento.
No caso em que a variância é desconhecida, usam-se também os estimadores
apresentados em (2) ou (5), para a obtenção das reamostras.
4 Estimação intervalar via método bootstrap para o parâmetro de locação sob
RSS
A partir da amostra de conjuntos ordenados bootstrap, esta proposta de intervalo de
confiança bootstrap para a média populacional de uma distribuição normal utiliza o
estimador média amostral, X dado em (1), com seu respectivo erro padrão, se (X ) , que
corresponde a raiz quadrada de (2) ou o estimador linear ótimo, µ*, dado em (4), cujo erro
padrão, se (µ*)
, corresponde a raiz quadrada de (6).
Se o interesse é a obtenção de intervalos de confiança bootstrap padrão para µ,
utilizando, µ*, então, inicialmente, para cada uma das B reamostras calcula-se µ*(b), ou seja,
a estimativa linear ótima da b-ésima amostra bootstrap de conjuntos ordenados, seu erro
padrão, seb
( µ *), e Z(
b)
= [ µ *( b)
− µ *]/
seb
( µ *) onde b = 1,...,B.
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A seguir, para se obter o intervalo de confiança bootstrap percentil, ordenam-se os
µ*(b) e tomam-se G -1 (α) e G -1 (1 - α), o 100α-ésimo e o 100(1 - α)-ésimo percentis,
respectivamente, da distribuição de µ*(b).
Ao estimar o erro padrão bootstrap,
B
[ µ *( b)
− *( b)
]
seboot
( µ *) =
µ /( B −1)
,
b=
1
B
com µ *(
b)
= b = 1
µ *( b)
/ B , calcula-se µ* ± z α se boot (µ*) para se obter o intervalo de
confiança bootstrap padrão, onde z α é o quantil (1 - 2α) da distribuição normal padrão.
Por fim, ao se calcular t (
ˆα ) tal que {# Z ( b)
≤ tˆ
( α ) }/
B = α e t ˆ
(1−α
) , tal que
{# Z ( b)
≤ t ˆ ( 1−α
) }/
B = 1−α
, e substituir os respectivos valores na expressão
( µ * −tˆ
( *), * ˆ
( 1 − α ) se µ µ −t(
α)
se(
µ *)), tem-se o intervalo de confiança t-bootstrap para µ.
O procedimento de obtenção de intervalos de confiança bootstrap para µ utilizando o
estimador X é realizado de modo análogo.
Como o interesse é estimar a média populacional, uma observação a ser feita é a
respeito da variância, σ 2 . Esse parâmetro pode ser conhecido, como no trabalho de Stokes
(1995), ou, se desconhecido, precisa ser estimado.
Uma primeira sugestão é, através da amostra original, calcular σ 2 , o estimador linear
ótimo de σ dado em (5), e usá-lo como parâmetro de escala da distribuição no processo de
reamostragem paramétrica. Nesse caso, a sugestão 1 considera “fixa” a estimativa de σ
obtida durante todo o procedimento de estimação intervalar.
Ao aplicar o método t-bootstrap, uma estimativa do erro padrão do estimador de µ,
baseada em (3) ou (6), é calculada em cada amostra bootstrap, que dependem de σ. Assim,
uma outra alternativa (sugestão 2), para este cálculo, é utilizar as respectivas estimativas de
σ,
*
σ b ou
2 ˆ b
σ
em cada amostra bootstrap.
5 Resultados do estudo por simulação
A Arabidopsis thaliana é uma planta muito usada em estudos genéticos e moleculares,
principalmente quando são necessários métodos de detecção de diferenças fenotípicas entre
plantas que poderiam estar ligadas a mudanças genéticas. Comumente, essas diferenças são
pequenas. Para aumentar a precisão da estimação, há a necessidade de amostras de tamanho
grande. O problema é que se a variável de interesse é o peso da raiz, sua mensuração pode
consumir um longo tempo. Uma alternativa é ordenar o possível peso pelas dimensões da
copa da planta por inspeção visual.
Em Barnett e Moore (1997) são apresentados diversos conjuntos de dados sobre o
crescimento da raiz da planta Arabidopsis thaliana. Neste trabalho considerou-se apenas o
conjunto referente a pesos de raízes que cresceram em potes grandes mantidos à alta
temperatura, cuja média foi 8,4 g e a variância 9,8 g 2 . Outra suposição é que a ordenação por
inspeção visual é perfeita, ou seja, não existem erros de ordenação.
O estudo de simulação foi baseado em uma amostra de conjuntos ordenados de
tamanho 5, gerada de uma distribuição normal com média 8,4 e variância 9,8. Ou seja, a
2
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partir da geração de 5 conjuntos de tamanho 5, ordenaram-se os elementos (pesos simulados)
em cada conjunto e tomou-se apenas o i-ésimo elemento ordenado no i-ésimo conjunto para
compor a amostra, da qual se obteve parametricamente as amostras bootstrap de conjuntos
ordenados perfeitamente.
*
Em cada uma das B = 1000 amostras bootstrap calcularam-se µ b , X b e demais
estatísticas a fim de se encontrar os intervalos bootstrap de confiança para a média
populacional.
A Tabela 1 apresenta os valores estimados de µ utilizando * µ e X , seus respectivos
erros padrão, erros padrão bootstrap e intervalos de confiança (95%) bootstrap para µ
considerando os métodos bootstrap percentil, padrão e t-bootstrap e o parâmetro de escala
conhecido. Sua análise revela que para essa amostra, as estatísticas relacionadas com o
estimador linear tiveram um melhor desempenho, por exemplo, seu erro padrão e o erro
padrão bootstrap foram ligeiramente menores que os do estimador média da amostra de
conjuntos ordenados. O mesmo comportamento pode-se notar quanto aos intervalos de
confiança bootstrap.
Tabela 1 - Estimativas de µ e respectivos erro padrão, erro padrão bootstrap e intervalos de
confiança bootstrap considerando σ conhecido
Estatísticas
Estimadores
µ* X
Estimativa 7,38 7,43
Erro padrão 0,83 0,84
Erro padrão bootstrap 0,79 0,80
IC bootstrap padrão (5,84 ; 8,93) (5,86 ; 8,99)
Amplitude 3,09 3,13
IC bootstrap percentil (5,86 ; 8,95) (5,82 ; 9,12)
Amplitude 3,09 3,30
IC t-bootstrap (5,81 ; 8,91) (5,73 ; 9,03)
Amplitude 3,10 3,30
Para a situação em que σ é desconhecido, os erros padrão de
*
µ e X , dados como a
raiz quadrada de (6) e (3), respectivamente, foram calculados usando as estimativas σ* e
2 ˆ σ de σ.
Os resultados para o cálculo dos intervalos bootstrap com σ desconhecido aparecem na
Tabela 2. Sua análise revela que os erros padrão de µ* são maiores que os de X e,
conseqüentemente, também os intervalos baseados em µ* tem amplitude maior que os
baseados em X . Pode ser que esses resultados estejam relacionados com as propriedades do
2
estimador ˆ σ ainda não estudadas na literatura.
Percebe-se, entretanto, que os resultados das Tabelas 1 e 2 são muito próximos para os
métodos considerados, com exceção da amplitude do intervalo t-bootstrap (sugestão 2) que é
maior comparada com os demais intervalos de confiança bootstrap considerados. Nesse
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caso, ao estimar σ em cada amostra bootstrap, a variação dos erros padrão de µ* e X
aumenta em relação à situação em que considera a estimativa de σ utilizando a amostra
original.
Tabela 2 - Estimativas de µ e respectivos erro padrão, erro padrão bootstrap e intervalos de
confiança bootstrap utilizando µ*, com σ estimado por σ*, e X , com σ estimado
por
2 ˆ σ
Estatísticas
Estimadores
µ* X
Estimativa 7,38 7,43
Erro padrão 0,88 0,74
Erro padrão bootstrap 0,84 0,69
IC bootstrap padrão (5,76 ; 9,06) (6,02 ; 8,91)
Amplitude 3,30 2,89
IC bootstrap percentil (5,74 ; 9,03) (6,06 ; 8,80)
Amplitude 3,09 2,74
IC t-bootstrap (sugestão 1) (5,71 ; 9,01) (5,94 ; 8,83)
Amplitude 3,10 3,30
IC t-bootstrap (sugestão 1) (5,23; 9,58) (5,67; 9,16)
Amplitude 4,35 3,49
Como uma amostra obtida em um experimento é uma possibilidade de ocorrência
dentre infinitas, é interessante analisar o desempenho dos métodos bootstrap propostos não
apenas através dos resultados apresentados deste exemplo. Por esse motivo, calculou-se, por
simulação, a probabilidade de cobertura desses intervalos considerando as situações
apresentadas no exemplo.
6 Verificação da probabilidade de cobertura dos intervalos de confiança
bootstrap
O estudo sobre a probabilidade de cobertura dos intervalos de confiança bootstrap foi
feito através de simulação, utilizando as mesmas condições do experimento do exemplo
descrito anteriormente, repetido 1.000 vezes. O elemento usado na análise é o número de
intervalos que contém o verdadeiro valor do parâmetro.
A Tabela 3 apresenta os resultados da simulação dos intervalos de confiança bootstrap
para o parâmetro de locação considerando o parâmetro de escala conhecido, utilizando,
respectivamente, o estimador linear e o estimador média da amostra de conjuntos ordenados.
Quando o parâmetro de escala é conhecido, cada um dos intervalos de confiança
bootstrap baseados, respectivamente, em µ* e X têm desempenho similar, mesmo existindo
uma pequena diferença quanto ao número de intervalos que contém o verdadeiro valor, que
não deve ser considerada significativa. Por exemplo, para o caso de 90% de confiança, dos
1.000 intervalos bootstrap percentil obtidos, 877 contiveram o verdadeiro valor, ao usar µ*
como estimador, e 878 contiveram o verdadeiro valor ao usar X como estimador.
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A Tabela 4 mostra os resultados da simulação da probabilidade de cobertura quando σ é
desconhecido. Observa-se que os intervalos de confiança t-bootstrap da sugestão 2 são os
mais adequados, uma vez que o número de intervalos que contém o verdadeiro valor é
sempre o mais próximo do valor esperado em cada confiança.
Tabela 3 - Número de intervalos de confiança, entre os 1000 gerados, que contém o valor
verdadeiro do parâmetro considerando σ conhecido
Confiança
90%
95%
99%
Intervalos
bootstrap percentil
bootstrap padrão
t-bootstrap
bootstrap percentil
bootstrap padrão
t-bootstrap
bootstrap percentil
bootstrap padrão
t-bootstrap
Estimadores
µ*
877
880
879
934
937
934
988
990
988
X
878
880
872
939
941
937
992
992
992
Tabela 4 - Número de intervalos de confiança, entre os 1.000 gerados, que contém o valor
verdadeiro do parâmetro utilizando µ*, com σ estimado por σ*, e X , com σ
estimado por
2 ˆ σ
Confiança
90%
95%
99%
Intervalos
bootstrap percentil
bootstrap padrão
t-bootstrap sugestão 1
t-bootstrap sugestão 2
bootstrap percentil
bootstrap padrão
t-bootstrap sugestão 1
t-bootstrap sugestão 2
bootstrap percentil
bootstrap padrão
t-bootstrap sugestão 1
t-bootstrap sugestão 2
Estimadores
µ*
X
829 827
832 826
825 824
885 886
882
883
876
947
945
947
945
985
889
890
882
933
940
941
937
987
Não existe diferença significativa entre os demais métodos propostos, mostrando-se,
inclusive, não indicados para a estimação intervalar.
Dessa forma, pode-se dizer que a precisão de intervalos de confiança bootstrap está
diretamente relacionada com a qualidade do estimador de σ, principalmente no método t-
bootstrap. No procedimento de estimação intervalar para a média populacional de uma
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distribuição normal, utilizando métodos bootstrap percentil e padrão, caso σ seja
desconhecido, sua estimativa só é necessária no processo de reamostragem paramétrica. Já
no caso da utilização do método t-bootstrap para a mesma finalidade, o processo envolve o
erro padrão de cada amostra bootstrap e, conseqüentemente, a estimativa de σ. Assim, ao
considerar a sugestão 1, as estimativas do erro padrão em cada amostra bootstrap estão
vinculadas ao valor de σ estimado a partir da amostra original. E, dependendo dessa
estimativa, a probabilidade de cobertura pode ficar comprometida.
Verifica-se ainda que quando σ é estimado em cada uma das amostras bootstrap
(intervalo t-bootstrap – sugestão 2) os intervalos em cada situação tornam-se mais precisos,
2
mostrando que as duas formas de estimação de σ ( σˆ ou σ*) são adequadas e
equivalentemente eficientes, pois produzem intervalos de confiança com probabilidade de
cobertura simulada muito próxima da probabilidade de cobertura exata.
Um fato importante a relatar, não sendo entretanto objeto deste estudo, é que o
estimador σ* algumas vezes pode ser negativo. Quando isso ocorreu foi adotado o
procedimento de retirar outra amostra bootstrap.
Conclusão
Intervalos de confiança bootstrap para a média de uma população normal utilizando o
delineamento por conjuntos ordenados é uma alternativa atraente, uma vez que não existem
métodos assintóticos ou mesmo exato para a estimação intervalar. A opção por um
procedimento bootstrap paramétrico deve-se ao fato de que as estatísticas de ordem que
compõem a amostra não são identicamente distribuídas.
O presente estudo mostrou que a probabilidade de cobertura simulada dos diferentes
intervalos de confiança bootstrap é bem próxima da exata na situação em que a variância é
conhecida, sendo similares os intervalos utilizando o estimador linear ótimo e a medida
amostral. Por outro lado, quando a variância é desconhecida, o método t-bootstrap com a
opção de estimar σ em cada amostra bootstrap é o mais indicado.
Agradecimentos. À CAPES pela bolsa concedida (março de 2000 a novembro de 2001)
para o desenvolvimento deste trabalho.
CESÁRIO, L. C.; BARRETO, M.C.M. A study on the performance of bootstrap confidence
intervals for the mean of normal distribution using perfect ranked set sampling. Rev. Mat.
Estat., São Paulo, v.21, n.3, p. 7-20, 2003.
ABSTRACT: The design of ranked set sampling is an efficient estimation procedure for several
parameters such as the population mean, the parameters of the simple linear regression model and
the populational quantil. More recently, several authors have proposed more general estimators for
the location parameter, for instance, the best linear unbiased estimator, using the additional
information of the underlying distribution. On the other hand, boostrap confidence intervals are a
computer-intensive and efficient statistical technique mainly when exact or asymptotic methods do
not exist. In this article, we propose bootstrap confidence intervals for the mean of normal
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Rev. Mat. Estat., São Paulo, v.21, n.3, p.7-20, 2003

distribution using perfect ranked set sampling. The simulation study has shown that the t-bootstrap
confidence interval has the best performance. These results are relevant because they are the only
actual alternative for confidence interval estimation of the location parameter using perfect ranked
set sampling.
KEYWORDS: Ranked set sampling; bootstrap confidence intervals; interval estimation of the
location parameter; normal distribution.
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Recebido em 05.05.2002.
Aprovado após revisão em 23.04.2003.
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