Terceira lista de exerc´ıcios de EDC

5. Determine a solução do problema de condução de calor
⎧
⎪⎨ u t = 100u xx , 0 < x < 1, t > 0;
u(x,0) = sen(2π x) − sen(5π x), 0 x 1,
⎪⎩
u(0,t) = 0; u(1,t) = 0, t > 0.
6. Determine a solução do problema de condução de calor
⎧
⎪⎨ u t = u xx , 0 < x < 40, t > 0;
u(x,0) = 50, 0 x 40;
⎪⎩
u(0,t) = 0; u(1,t) = 0, t > 0.
7. ⋆ Determine a solução do problema de condução de calor
⎧
⎪⎨ u t = u xx , 0 < x < 40, t > 0;
u(x,0) = f(x), 0 x 40;
⎪⎩
u(0,t) = 0; u(1,t) = 0, t > 0
{
x, se 0 x < 20,
em que f(x) =
40 − x, se 20 x < 40.
8. ⋆ Determine a solução do problema da corda vibrante
⎧
u tt = c 2 u xx , 0 < x < L, t > 0;
⎪⎨
u(x,0) = f(x), 0 x L;
u t (x,0) = 0, 0 x L;
⎪⎩
u(0,t) = 0; u(L,t) = 0, t > 0.
em que f(x) =
{
2x/L,
se 0 x < L/2,
2(L − x)/L, se L/2 x < L.
9. Determine a solução do problema da corda vibrante
⎧
u tt = c 2 u xx , 0 < x < L, t > 0;
⎪⎨
u(x,0) = 0, 0 x L;
u t (x,0) = g(x), 0 x L;
⎪⎩
u(0,t) = 0; u(L,t) = 0, t > 0.
em que g(x) =
{
2x/L,
se 0 x < L/2,
2(L − x)/L, se L/2 x < L.
10. ⋆ Mostre que a equação da onda u tt = c 2 u xx pode ser reduzida à forma u ξη = 0 pela mudança de variáveis
ξ = x − ct e η = x + ct. Mostre que u(x,t) pode ser escrita como
u(x,t) = φ(x − ct) + ψ(x + ct),
em que φ e ψ são funções arbitrárias.
11. Considere o problema da corda vibrante em um meio unidimensional infinito
⎧
⎪⎨ u tt = c 2 u xx , −∞ < x < +∞, t > 0;
u(x,0) = f(x), −∞ < x < +∞;
⎪⎩
u t (x,0) = 0, −∞ < x < +∞.
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