Terceira lista de exerc´ıcios de EDC

Terceira lista de exercícios de EDC
Entregar os exercícios marcados com ⋆ no dia 27/11/08
1. Esboce o gráfico das funções dadas e determine suas séries de Fourier.
(a) f(x) = −x se −L x < L; f(x + 2L) = f(x).
{
1, se −L x < 0,
(b) f(x) =
f(x + 2L) = f(x).
0, se 0 x < L;
{
x, se −π x < 0,
(c) f(x) =
f(x + 2π) = f(x).
0, se 0 x < π;
{
x + 1, se −1 x < 0,
(d) ⋆ f(x) =
f(x + 2) = f(x).
1 − x, se 0 x < 1;
{
−1, se −2 x < 0,
(e) f(x) =
f(x + 4) = f(x).
1, se 0 x < 2;
(f) ⋆ f(x) = x se −1 x < 1;
(g) f(x) = x 2 /2 se −2 x < 2;
f(x + 2) = f(x).
f(x + 4) = f(x).
2. Suponha que cada função dada é estendida, periodicamente, para fora do intervalo original. Determine as
séries de Fourier das funções estendidas e esboce os gráficos da funções para as quais as séries convergem.
{
−1, se −1 x < 0,
(a) f(x) =
1, se 0 x < 1.
{
0, se −π x < 0,
(b) ⋆ f(x) =
x, se 0 x < π.
{
L + x, se −L x < 0,
(c) f(x) =
L − x, se 0 x < L.
3. Determine as séries de Fourier indicadas para as funções a seguir e esboce os gráficos das funções para as
quais as séries convergem.
{
1, se 0 < x < 1,
(a) f(x) =
série em cossenos, de período T = 4.
0, se 1 < x < 2;
{
x, se 0 x < 1,
(b) f(x) =
série em senos, de período T = 4.
1, se 1 x < 2;
(c) f(x) = L − x se 0 x L; série em cossenos, de período T = 2L.
(d) ⋆ f(x) = L − x se 0 < x < L; série em senos, de período T = 2L.
4. Determine se o método de separação de variáveis pode ser usado para substituir as equações diferenciais seguintes
por pares de equações diferenciais ordinárias. Em caso afirmativo, determine as equações diferenciais
ordinárias.
(a) xu xx + u t = 0.
(b) tu xx + xu t = 0.
(c) ⋆ [p(x)u x ] x − r(x)u tt = 0.
(d) ⋆ u xx + (x + y)u yy = 0.
1

5. Determine a solução do problema de condução de calor
⎧
⎪⎨ u t = 100u xx , 0 < x < 1, t > 0;
u(x,0) = sen(2π x) − sen(5π x), 0 x 1,
⎪⎩
u(0,t) = 0; u(1,t) = 0, t > 0.
6. Determine a solução do problema de condução de calor
⎧
⎪⎨ u t = u xx , 0 < x < 40, t > 0;
u(x,0) = 50, 0 x 40;
⎪⎩
u(0,t) = 0; u(1,t) = 0, t > 0.
7. ⋆ Determine a solução do problema de condução de calor
⎧
⎪⎨ u t = u xx , 0 < x < 40, t > 0;
u(x,0) = f(x), 0 x 40;
⎪⎩
u(0,t) = 0; u(1,t) = 0, t > 0
{
x, se 0 x < 20,
em que f(x) =
40 − x, se 20 x < 40.
8. ⋆ Determine a solução do problema da corda vibrante
⎧
u tt = c 2 u xx , 0 < x < L, t > 0;
⎪⎨
u(x,0) = f(x), 0 x L;
u t (x,0) = 0, 0 x L;
⎪⎩
u(0,t) = 0; u(L,t) = 0, t > 0.
em que f(x) =
{
2x/L,
se 0 x < L/2,
2(L − x)/L, se L/2 x < L.
9. Determine a solução do problema da corda vibrante
⎧
u tt = c 2 u xx , 0 < x < L, t > 0;
⎪⎨
u(x,0) = 0, 0 x L;
u t (x,0) = g(x), 0 x L;
⎪⎩
u(0,t) = 0; u(L,t) = 0, t > 0.
em que g(x) =
{
2x/L,
se 0 x < L/2,
2(L − x)/L, se L/2 x < L.
10. ⋆ Mostre que a equação da onda u tt = c 2 u xx pode ser reduzida à forma u ξη = 0 pela mudança de variáveis
ξ = x − ct e η = x + ct. Mostre que u(x,t) pode ser escrita como
u(x,t) = φ(x − ct) + ψ(x + ct),
em que φ e ψ são funções arbitrárias.
11. Considere o problema da corda vibrante em um meio unidimensional infinito
⎧
⎪⎨ u tt = c 2 u xx , −∞ < x < +∞, t > 0;
u(x,0) = f(x), −∞ < x < +∞;
⎪⎩
u t (x,0) = 0, −∞ < x < +∞.
2

(a) Usando a forma da solução obtida no problema anterior, mostre que φ e ψ devem satisfazer as equações
φ(x) + ψ(x) = f(x)
−φ ′ (x) + ψ ′ (x) = 0.
(b) Resolva as equações do item anterior para φ e ψ e obtenha u(x,t) = 1 [f(x − ct) + f(x + ct)].
2
12. Considere o problema da corda vibrante em um meio unidimensional infinito
⎧
⎪⎨ u tt = c 2 u xx , −∞ < x < +∞, t > 0;
u(x,0) = 0, −∞ < x < +∞;
⎪⎩
u t (x,0) = g(x), −∞ < x < +∞.
(a) Usando a fórmula da solução do segundo exercício anterior, mostre que φ e ψ devem satisfazer as
equações
φ(x) + ψ(x) = 0
−cφ ′ (x) + ψ ′ (x) = g(x).
(b) Use a primeira das equações do item (a) para mostrar que ψ ′ (x) = −φ ′ (x). Depois, use a segunda
equação para mostrar que −2cφ ′ (x) = g(x) e, portanto, que
φ(x) = − 1 2c
∫ x
x 0
g(τ)dτ + φ(x 0 ),
em que x 0 é arbitrário. Finalmente, determine ψ(x).
(c) Mostre que u(x,t) = 1 2c
∫ x+ct
x−ct
g(τ)dτ.
13. Combinando os resultados dos dois últimos exercícios, mostre que a solução do problema da corda vibrante
em um meio unidimensional infinito
⎧
⎪⎨ u tt = c 2 u xx , −∞ < x < +∞, t > 0;
u(x,0) = f(x), −∞ < x < +∞;
⎪⎩
u t (x,0) = g(x), −∞ < x < +∞
é dada por u(x,t) = 1 2 [f(x − ct) + f(x + ct)] + 1 2c
∫ x+ct
x−ct
g(τ)dτ.
14. ⋆ Determine a solução do problema da equação do potencial
⎧
⎪⎨ u xx + u yy = 0, 0 < x < a, 0 < y < b;
u(x,0) = 0; u(x,b) = g(x), 0 x a;
⎪⎩
u(0,y) = 0; u(a,y) = 0, 0 y b,
{
x, se 0 x a/2,
em que g(x) =
a − x, se a/2 x a.
15. Determine a solução do problema da equação do potencial
⎧
⎪⎨ u xx + u yy = 0, 0 < x < a, 0 < y < b;
u(x,0) = h(x); u(x,b) = 0, 0 x a;
⎪⎩
u(0,y) = 0; u(a,y) = 0, 0 y b.
16. Determine a solução do problema da equação do potencial
⎧
⎪⎨ u xx + u yy = 0, 0 < x < a, 0 < y < b;
u(x,0) = h(x); u(x,b) = 0, 0 x a;
⎪⎩
u(0,y) = 0; u(a,y) = f(y), 0 y b.
3