Questões sobre Integrais de Superficie e Teoremas de Stokes e da ...

Questões sobre Integrais de Superfície e Teoremas de Stokes e da Divergência
1. Calcule a área da parte do plano z = 1000 + 3x + 4y interior ao cilindro
Resp.: 121 p 26:
(x 51) 2 + (y 13) 2 = 121:
2. Calcule a área da parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = a 2 que está acima do plano z = 1: Resp.:
2 (a 2 a) :
I
!
3. Utilize o Teorema de Stokes para calcular F d
! r ; em que
! F (x; y; z) =
D
C
y; z ln 4 + x 2 + y 2 E
; e x2 +y 2 sen 2 (xy)
e C é a curva de interseção do parabolóide z = 9 x 2 y 2 com o cilindro x 2 + y 2 = 4; orientada
no sentido anti-horário, quando vista de cima. Resp.: 4:
4. Seja S a parte do cilindro x 2 + y 2 = 4 compreendida entre os planos z = 0 e z = 2; com
normal apontando para fora do cilindro. Encontre uma pararametrização para S e utilize-a para
calcular a integral RR S
! F d
! S em que
! F = hx 3 + cos(yz); y 3 ; zi : Resp.: 48:
5. Utilize o Teorema da Divergência para calcular a integral RR S
! F d
! S em que
! F =
x 3 + cos(yz); y 3 ; z
e S é a parte do cilindro x 2 + y 2 = 4 compreendida entre os planos z = 0 e z = 2; com normal
apontando para fora do cilindro. Resp.: 48:
6. Utilize o Teorema da Divergência para calcular a integral RR S (x4 + y 4 + z 4 ) dS em que S
é a esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4: Resp.: 768
5 :
7. Seja S a parte do cilindro x 2 + y 2 = 4 limitada pelos planos z = 0 e z = y + 2:
(a) Encontre uma parametrização para S:
(b) Encontre ! n em cada ponto de S; de modo que ele aponte para fora.
(c) Usando (a), determine a área da superfície S: Resp.: 8:

ZZ
8. Calcule rot ! F d ! S ; em que
S
!
D
F (x; y; z) =
y; z ln 1 + x 2 + y 2 E
; e x2 +y 2 sen 2 (xy)
e S é a superfície z = 5 x 2 y 2 ; com z 1; orientada com normal apontando para cima. Resp.:
4:
9. Utilize o Teorema da Divergência para calcular o ‡uxo do campo vetorial
! F (x; y; z) =
D
z 2 x e y2z ln 1 + z 2 ; x 2 y cos z 2 x ; y 2 z x 2 E
através da semi-esfera superior S : z = p 1 x 2 y 2 ; orientada com o normal apontando para
fora. Resp.: 11:
4
,
10. Calcule RR S (x2 + y 2 ) dS em que S é a parte do plano z = 2x + 2y 1 interior ao parabolóide
z = x 2 + y 2 : Resp.: 15:
2
11. Utilize o Teorema de Stokes para calcular RR S rot ! F d ! S ; em que
! F (x; y; z) =
D
z ln 4 + x 2 + y 2 ; x ; e x2 +y 2 sen x 2 + y 2E
e S é a parte do cilindro x 2 + y 2 = 1 acima do plano z = 0 e abaixo do plano z = 1 + y com o
vetor normal apontando para fora de S. Resp.: ln 5:
12. Utilize o Teorema da Divergência para calcular o ‡uxo do campo vetorial
! F (x; y; z) =
1
(x 2 + y 2 + z 2 ) 3 2
hx; y; zi
através da parte superior do elipsóide S : x 2 + y 2 + z2
4
para fora. Resp.: 2:
= 1; orientada com o normal apontando
13. Utilize o Teorema de Stokes para calcular RR S rot ! F d ! S ; em que
!
D
F (x; y; z) = z ln 4 + x 2 + y 2 E
; x ; e x2 +y 2 sen 2 (xy)
e S é a superfície z = 9 x 2 y 2 com z 5 com o vetor normal apontando para cima. Resp.:
4:
14. Calcule a área da parte do plano z = x + y interior ao cilindro x 2 + y 2 = 4: Resp.: 4 p 3:

15. Utilize o Teorema da Divergência para calcular a integral RR S (x2 + y 2 + z 3 ) dS em que
S é a esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4: Resp.: 128
3 :
16. Utilize o Teorema da Divergência para calcular o ‡uxo do campo vetorial
! F (x; y; z) =
x; y; z 2 + 1
através da semi-esfera superior S : z = p 1 x 2 y 2 ; orientada com o normal apontando para
fora. Resp.: 64:
3
17. Considere a curva C interseção do parabolóide z = 10 x 2 y 2 com o cilindro x 2 + y 2 = 1;
orientada no sentido anti-horário quando vista de cima. Calcule a integral de linha
I
ye z 3 dx + xz 2 dy + e xyz dz :
(a) Diretamente.
C
(b) Utilizando o Teorema de Stokes. Resp.: (81
e 6 ):
18. Seja S é a parte do cone x 2 + y 2 z 2 = 0 situada entre os planos z = 1 e z = 2: Encontre
uma parametrização para S e utilize-a para calcular a integral RR S (x2 + y 2 + z 2 ) dS: Resp.: o
valor da integral é 15 p 2:
19. Seja S a parte do cone x 2 + y 2 z 2 = 0 situada entre os planos z = 1 e z = 2: Encontre
uma expressão para o vetor p normal unitário ! n apontando para fora do cone em cada ponto
(x; y; z) 2 S: Resp.: ! 2
n = hx; y; zi :
2z
20. Utilize o Teorema da Divergência e o exercício anterior para calcular a integral
ZZ
x 2 + y 2 + z 2 dS
S
em que S é a parte do cone x 2 + y 2 z 2 = 0 situada entre os planos z = 1 e z = 2: Resp.: 15 p 2: