Lógica de Primeira Ordem A natureza da Lógica matemática ...

Lógica de Primeira Ordem
Elaine Pimentel
1 o Semestre - 2005
A natureza da Lógica matemática
• Lógica é a análise e o criticismo do
pensamento. Nós chegamos a conclusões a
partir de dados. A argumentação é
conduzida a partir de certas normas. O
estudo dessas normas, ou princípios de
argumentação válida é um ramo da filosofia
– lógica filosófica.
• Se no estudo de lógica filosófica aplicamos
métodos matemáticos – lógica matemática.
Lógica Matemática x Matemática
• Matemática é uma ciência dedutiva: o
conceito de prova rigorosa é fundamental.
• Mas o que é uma prova rigorosa?
• Lógica: explica a natureza do rigor
matemático.
• Lógica matemática inclui o estudo de
fundamentos da matemática.
Argumentação
• Historicamente, lógica surgiu com o filósofo
grego Aristóteles (384-322 A.C.), que fundou
a disciplina de lógica como um sistema de
princípios nos quais todo o resto do
conhecimento se apóia.
• De acordo com Aristóteles, uma
argumentação consiste de uma seqüência
finita de sentenças, chamadas premissas,
juntamente com uma certa sentença
chamada conclusão que segue das premissas.

Sentenças Declarativas
• Sentenças declarativas são aquelas que
podem ser ou verdadeiras ou falsas, dentro
de um contexto de crenças comuns.
• Exemplo:
Eu amo você e a cor do meu cabelo é
castanho.
Logo, chuchu não tem gosto.
• Sentenças bem estruturadas em português
que não são sentenças declarativas.
Validade
• Um argumento é válido dedutivamente se e
somente se é impossível que suas premissas
sejam todas verdadeiras enquanto a
conclusão é falsa.
Escrevemos p 1 ,p 2 ,...,p n ⊢ c.
• Equivalência: Nenhuma pessoa é roxa.
Nada que é roxo é uma pessoa.
• Tautologia: sentenças sempre verdadeiras.
– FHC foi presidente do Brasil.
– Existem dois números irracionais x e y tais
que x y é racional.
Lógica proposicional
• Unidades básicas, átomos, sentenças
declarativas simples.
• Conectivos: unários, binários, n-ários.
• Tabela da verdade para conectivos
funcionais.
Ex: Sejam J : Jorge chegou; A : Ana saiu
J A J e A J depois que A
V V V V ou F
V F F F
etc...
Sintaxe x Semântica
• Sintaxe: vocabulário e gramática.
• Vocabulário = termos pré-estabelecidos da
linguagem (linguagem natural: palavras).
• Gramática: especifica como arranjar os
termos válidos de modo a formar sentenças
(lógica simbólica: fórmulas).
• Semântica: teoria de significados.

Lógica Simbólica
VOCABULÁRIO
Letras : A,B,C,...
Conectivos : ⌉, ∧, ∨, ⇒, ⊥
Agrupamento : (·)
GRAMÁTICA
F ::= A|(⌉F)|(F ∧ F)|(F ∨ F)|(F ⇒ F)|⊥
Uma fórmula A é dita atômica se e somente
se A não contém conectivos.
Semântica
• Para entender o significado de fórmulas em
lógica simbólica, precisamos especificar o
significado dos conectivos.
• Estaremos preocupados apenas com a
veracidade ou falsidade de sentenças – lógica
truth-functional.
• Expressamos os significados por meio de
tabelas que determinam a veracidade ou
falsidade de uma sentença dependendo dos
significados de seus componentes: tabela da
verdade.
Semântica
• Negação:
• Conjunção:
A ⌉A
V F
F V
Semântica
A B A ∧ B
V V V
V F F
F V F
F F F
• Disjunção:
• Implicação:
• Falso:
⊥
F
A B A ∨ B
V V V
V F V
F V V
F F F
A B A ⇒ B
V V V
V F F
F V V
F F V

Tautologias e equivalência
• Modus Ponens: ((P ⇒ Q) ∧ P) ⇒ Q
• Modus Tollens: ((P ⇒ Q)∧⌉Q) ⇒⌉P
⌉P ∨ Q ≡ ⌉(P ∧⌉Q)
P ∨⌉Q ≡ ⌉(⌉P ∧ Q)
⌉P ∨⌉Q ≡ ⌉(P ∧ Q)
• De Morgan:
⌉P ∧ Q ≡ ⌉(P ∨⌉Q)
P ∧⌉Q ≡ ⌉(⌉P ∨ Q)
⌉P ∧⌉Q ≡ ⌉(P ∨ Q)
Cálculo de provas formal
• Objetivo: reduzir o raciocínio: mecanizar o
pensamento.
• Um cálculo de provas formal Σ é uma ferramenta para
provar fórmulas em uma linguagem simbólica.
• Conjunto de regras de Σ determina os caminhos
possíveis que podem ser seguidos.
• Tais caminhos são chamados provas formais em Σ.
• Escrevemos:
A 1 ,...,A n ⊢ Σ B ou Γ ⊢ B (1)
onde Γ = A 1 , . ..,A n . Chamamos a expressão (1) de
seqüente.
Dedução natural
Dedução natural
Inicial:
Γ,A ⊢ A Inicial
Exemplo 1:
Conjunção:
A ∧ B,C ⊢ A ∧ B Inicial
A ∧ B,C ⊢ B (∧E2) A ∧ B,C ⊢ C Inicial
(∧I)
A ∧ B,C ⊢ B ∧ C
• Introdução do ∧:
Γ ⊢ A Γ ⊢ B
Γ ⊢ A ∧ B
(∧I)
Exemplo 2:
• Eliminação do ∧:
A ∧ B ⊢ A ∧ B Inicial
A ∧ B ⊢ B (∧E2) A ∧ B ⊢ A ∧ B Inicial
A ∧ B ⊢ A
(∧E1)
Γ ⊢ A ∧ B
Γ ⊢ A (∧E1) Γ ⊢ A ∧ B
Γ ⊢ B (∧E2) (∧I)
A ∧ B ⊢ B ∧ A

Dedução natural
Disjunção:
Dedução natural
• Introdução do ∨:
Γ ⊢ A
Γ ⊢ A ∨ B (∨I1)
• Eliminação do ∨:
Γ ⊢ B
Γ ⊢ A ∨ B (∨I2)
Γ ⊢ A ∨ B Γ,A ⊢ C Γ,B ⊢ C
Γ ⊢ C
(∨E)
Exemplo:
A ∨ B ⊢ A ∨ B
A ∨ B,A ⊢ A
A ∨ B,A ⊢ B ∨ A
A ∨ B ⊢ B ∨ A
A ∨ B,B ⊢ B
A ∨ B,B ⊢ B ∨ A
Dedução natural
Dedução natural
Implicação:
Negação:
• Introdução do ⇒:
• Eliminação do ⇒:
Eliminação de ⊥:
Γ ⊢ A
Γ,A ⊢ B
(⇒ I)
Γ ⊢ A ⇒ B
Γ ⊢ A ⇒ B
Γ ⊢ B
Γ ⊢ ⊥
Γ ⊢ A (⊥E)
(⇒ E)
• Introdução do ⌉:
• Eliminação do ⌉:
• Dupla negação:
Γ, A ⊢ ⊥
Γ ⊢⌉A (⌉I)
Γ ⊢ A Γ ⊢⌉A
(⌉E)
Γ ⊢ ⊥
Γ ⊢⌉(⌉A)
Γ ⊢ A (DN)
Notação: se A ⊢ B e B ⊢ A então A ≡ B.

Para Casa
Prove que:
• (⌉A) ≡ A ⇒ ⊥
• ⊢ A ∨ (⌉A)
• A ∨ (A ∧ B) ⊢ A
• ⌉(⌉A) ≡ A