Ficha 4.0 - Escola Superior de Tecnologia - Instituto Politécnico de ...

INSTITUTO POLITÉCNICO DE VISEU
ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA
Unidade
Departamento Matemática
Curricular
Curso T.D.M. Ano 1º
Ficha nº4.0: Cálculo Integral em IR (parte 1)
Métodos Matemáticos 1
Ano
Semestre 1º
Lectivo
2006/2007
1. Determine a soma de Riemann da função f ( x)
= 2x
+ 3 em relação à partição do
intervalo [1, 3] em quatro subintervalos de igual amplitude e tal que o ponto x i
*
escolhido em [ x , ]
i 1
x i
−
, i =1,2,3,4 é :
a. o valor onde a função f atinge um máximo nesse intervalo.
b. o valor onde a função f atinge um mínimo nesse intervalo.
2. Sabe-se que c = nc ,
n
∑
i=
1
i
3
⎡ n(
n + 1) ⎤
=
⎢
⎣ 2 ⎥
⎦
2
n
∑
∑
n(
n + 1)
i = ,
i=1 i=
1 2
n
n
∑
i=
1
i
n(
n + 1)(2n
=
6
2 +
. Usando a definição por limite do integral de Riemann calcule:
3
a. A área limitada pelo gráfico de f ( x)
= x , o eixo x e as rectas verticais x=0 e
x=1.
2
b. A área limitada pelo gráfico de f ( x)
= 4 − x , o eixo x e as rectas verticais
x=1 e x=2.
1)
e
3. Seja f uma função integrável em [ b]
justificando o valor lógico da seguinte afirmação:
b
a, , e suponha que f ( x)
≥ 0, ∀x
∈ [ a,
b]
. Indique
∫ f x)
dx = 0 ⇒ f ( x)
= 0, ∀x
∈[ a,
b]
a
( .
4. Diga, justificando, se as seguintes funções são integráveis:
[ ] IR
a. f : 0,4 → com f ( x)
=
x
e
⎧ 3
b. f :[ 1,4] → IR com f(x) = ⎨
⎩ln
x + 1
c. f [ −1,
1] → IR
: com
⎛ x
⎜
f ( x)
= ⎜5
⎜
⎝
2
2
se x ∈
se x ∈
se x = 1
se x ∈
se x = 0
] 1,4]
[ −1,0[
] 0,1]
1

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Departamento Matemática
Unidade
Curricular
Curso T.D.M. Ano 1º
5. Considere as seguintes figuras:
Métodos Matemáticos 1
Ano
Semestre 1º
Lectivo
2006/2007
Para cada uma das funções representadas diga, justificando, se são funções integráveis no
intervalo [-1,1].
6. Determine a área da região dada:
2
a. y = x − x
b. y = ( 3 − x)
x
c. y = cos(x)
9
⎧ 1
⎪ 3
7. Calcule ∫ g( x)
dx , sendo g(x) = ⎨ x
0
⎪
⎩ x
se 0 ≤ x < 1
se 1 ≤ x < 4 .
se 4 ≤ x ≤ 9
8. Considere o seguinte integral definido:
2
2
A = ∫
Sem calcular o integral mostre que A > 0.
1
2
x −1 dx ,
2

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Departamento Matemática
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Curso T.D.M. Ano 1º
Métodos Matemáticos 1
Ano
Semestre 1º
Lectivo
2006/2007
1
9. Um automóvel desloca-se em linha recta com velocidade dada por v ( t)
= km/h.
( t −1)
Calcule, utilizando o teorema do valor médio para integrais, a velocidade média do
automóvel entre os instantes t=2 e t=e+1.
10. Na cidade Designilândia a temperatura média diária ( em graus Fahrenheit ) t meses
após 15 de Julho é dada por:
⎛ πt
⎞
T = 61+
18cos⎜
⎟ = f ( t)
⎝ 6 ⎠
Calcule a temperatura média entre 15 de Setembro e 15 de Dezembro.
3