Temperatura, Calor e Primeira Lei da Termodinâmica
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Versão preliminar<br />
16 de fevereiro de 2004<br />
Notas de Aula de Física<br />
19. TEMPERATURA, CALOR E PRIMEIRA LEI DA TERMODINÂMICA.......................... 2<br />
TEMPERATURA ................................................................................................................... 2<br />
EQUILÍBRIO TÉRMICO........................................................................................................... 2<br />
LEI ZERO DA TERMODINÂMICA ............................................................................................. 2<br />
MEDINDO A TEMPERATURA.................................................................................................. 2<br />
A escala Celsius............................................................................................................ 3<br />
A escala Fahrenheit ...................................................................................................... 4<br />
Relação entre as escalas Celsius e Fahrenheit ............................................................ 4<br />
A escala Kelvin.............................................................................................................. 4<br />
DILATAÇÃO TÉRMICA........................................................................................................... 5<br />
CALOR............................................................................................................................... 6<br />
UM OLHAR MAIS DE PERTO NO CALOR E TRABALHO ............................................................... 7<br />
A ABSORÇÃO DE CALOR...................................................................................................... 8<br />
PRIMEIRA LEI DA TERMODINÂMICA ....................................................................................... 9<br />
ALGUNS CASOS ESPECÍFICOS DA PRIMEIRA LEI DA TERMODINÂMICA ....................................... 9<br />
Processos adiabáticos .................................................................................................. 9<br />
Processos a volume constante ................................................................................... 10<br />
Processos cíclicos....................................................................................................... 10<br />
MECANISMOS DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR...................................................................... 10<br />
Condução.................................................................................................................... 11<br />
Radiação..................................................................................................................... 13<br />
SOLUÇÃO DE ALGUNS PROBLEMAS ..................................................................................... 14<br />
03 ................................................................................................................................ 14<br />
05 ................................................................................................................................ 15<br />
07 ................................................................................................................................ 16<br />
09 ................................................................................................................................ 16<br />
16 ................................................................................................................................ 17<br />
18 ................................................................................................................................ 17<br />
21 ................................................................................................................................ 18<br />
22 ................................................................................................................................ 19<br />
23 ................................................................................................................................ 20<br />
25 ................................................................................................................................ 21<br />
“32”.............................................................................................................................. 21<br />
“33”.............................................................................................................................. 22<br />
35 ................................................................................................................................ 23<br />
43 ................................................................................................................................ 24<br />
46 ................................................................................................................................ 24<br />
49 ................................................................................................................................ 25<br />
50. ............................................................................................................................... 26<br />
53 ................................................................................................................................ 27<br />
57 ................................................................................................................................ 28<br />
60 ................................................................................................................................ 28<br />
61 ................................................................................................................................ 29<br />
65 ................................................................................................................................ 30
Prof. Romero Tavares <strong>da</strong> Silva<br />
19. <strong>Temperatura</strong>, <strong>Calor</strong> e <strong>Primeira</strong> <strong>Lei</strong> <strong>da</strong> Termodinâmica<br />
<strong>Temperatura</strong><br />
O tato constitui uma <strong>da</strong>s maneiras mais simples de fazer uma distinção entre corpos<br />
quentes e frios. Mas essa maneira de avaliação é bastante imprecisa, e além do mais<br />
poderá causar dificul<strong>da</strong>des se as temperaturas dos corpos estiverem muito próximas. Se<br />
construirmos uma experiência com três recipientes contendo água, onde um deles está a<br />
temperatura ambiente, o segundo a uma temperatura acima <strong>da</strong> ambiente e o terceiro a<br />
uma temperatura abaixo <strong>da</strong> ambiente. Vamos mergulhar uma <strong>da</strong>s mãos no recipiente com<br />
água a uma temperatura acima <strong>da</strong> ambiente e a outra mão no recipiente com água a uma<br />
temperatura abaixo <strong>da</strong> ambiente, e permanecer pouco mais de um minuto nessa situação.<br />
Ao mergulhar as duas mãos no recipiente a temperatura ambiente iremos ter a sensação<br />
estranha onde uma mão man<strong>da</strong> a informação que a água está numa certa temperatura<br />
enquanto a outra mão man<strong>da</strong> uma informação de uma temperatura diferente. A mão que<br />
estava no recipiente com água mais fria sente a água mais quente, e a mão que estava<br />
no recipiente com água mais quente sente a água mais fria.<br />
Felizmente existem substâncias que nos dão uma medi<strong>da</strong> <strong>da</strong> temperatura de outros<br />
corpos e a relação entre elas. São chama<strong>da</strong>s de substâncias termométricas.<br />
A temperatura é uma medi<strong>da</strong> <strong>da</strong> agitação <strong>da</strong>s partículas que compões um certo<br />
material. Se considerarmos as moléculas um gás, quanto maior a sua temperatura mais<br />
energia cinética terão essas moléculas.<br />
Equilíbrio térmico<br />
Dois corpos em contato físico, estão em equilíbrio térmico quando param de trocar<br />
energia, quando o fluxo líquido de energia entre eles é nulo. Quando isso acontece, a<br />
temperatura dos dois corpos é a mesma.<br />
<strong>Lei</strong> Zero <strong>da</strong> Termodinâmica<br />
Se dois corpos A e B estão em equilíbrio térmico com um terceiro corpo C (o<br />
termômetro) , eles também estarão em equilíbrio térmico entre si.<br />
Medindo a <strong>Temperatura</strong><br />
Existem várias grandezas que variam as suas características quando varia a nossa<br />
percepção fisiológica de temperatura. Entre essas grandezas estão:<br />
- o volume de um líquido,<br />
- o comprimento de uma barra<br />
- a resistência elétrica de um material<br />
- o volume de um gás mantido a pressão constante<br />
Qualquer dessas pode ser usa<strong>da</strong> para construir um termômetro, isto é: estabelecer<br />
uma determina<strong>da</strong> escala termométrica. Uma tal escala termométrica é estabeleci<strong>da</strong> pela<br />
escolha de uma determina<strong>da</strong> substância termométrica e também uma proprie<strong>da</strong>de termométrica<br />
desta substância.<br />
Cap 19 www.fisica.ufpb.br/~romero 2
Prof. Romero Tavares <strong>da</strong> Silva<br />
Deve-se entender que a ca<strong>da</strong> escolha de uma substância, <strong>da</strong> sua respectiva proprie<strong>da</strong>de<br />
termométrica, e <strong>da</strong> relação admiti<strong>da</strong> entre essa proprie<strong>da</strong>de e a temperatura, conduz<br />
a uma escala termométrica específica. As medi<strong>da</strong>s obti<strong>da</strong>s nesta escala não devem coincidir<br />
necessariamente com as medi<strong>da</strong>s realiza<strong>da</strong>s em outra escala termométrica defini<strong>da</strong><br />
de forma independente. Justamente por essa liber<strong>da</strong>de na construção de uma escala termométrica,<br />
historicamente apareceram diversas escalas com leituras completamente diferentes<br />
de temperaturas.<br />
Esse caos foi removido utilizando como padrão uma <strong>da</strong><strong>da</strong> substância termométrica, e<br />
a dependência funcional entre a proprie<strong>da</strong>de termométrica dessa substância e a temperatura<br />
T . Como exemplo, consideremos que exista uma relação linear entre uma proprie<strong>da</strong>de<br />
termométrica X e a temperatura, de modo que:<br />
T(X) = a X + b<br />
onde X é o comprimento <strong>da</strong> uma coluna de<br />
mercúrio em um termômetro e a e b são<br />
X<br />
constantes a serem determin<strong>da</strong>s.<br />
Analisando essa relação para duas temperaturas diferentes T 1 e T 2 , encontramos que:<br />
⎧T<br />
( X<br />
⎪<br />
⎨<br />
⎪<br />
⎩T<br />
( X<br />
1<br />
2<br />
) = aX<br />
) = aX<br />
1<br />
2<br />
+ b<br />
+ b<br />
∴<br />
⎧ T(<br />
X<br />
2<br />
) −T(<br />
X<br />
1)<br />
⎪ a =<br />
X −<br />
⎪<br />
2<br />
X<br />
1<br />
⎨<br />
⎪ X<br />
2T<br />
( X<br />
1)<br />
− X<br />
1T<br />
( X<br />
⎪b<br />
=<br />
⎩ X<br />
2<br />
− X<br />
1<br />
2<br />
)<br />
usando os valores <strong>da</strong>s constantes, temos que:<br />
ou ain<strong>da</strong>:<br />
e finalmente<br />
⎡T(<br />
X ) −T(<br />
X<br />
T ( X ) = ⎢<br />
⎣ X<br />
2<br />
− X<br />
1<br />
) ⎤ ⎡ X<br />
⎥ X + ⎢<br />
⎦ ⎣<br />
T ( X<br />
1)<br />
− X<br />
1T<br />
( X<br />
X − X<br />
2 1<br />
2<br />
2<br />
)<br />
⎡ X − X<br />
1<br />
⎤ ⎡ X<br />
2<br />
− X ⎤<br />
T ( X ) = ⎢ ⎥T<br />
( X<br />
2<br />
) + ⎢ ⎥T<br />
( X<br />
1)<br />
⎣ X<br />
2<br />
− X<br />
1 ⎦ ⎣ X<br />
2<br />
− X<br />
1 ⎦<br />
⎛ X − X<br />
1<br />
⎞<br />
T ( X ) = T(<br />
X<br />
1)<br />
+<br />
⎜<br />
2<br />
X<br />
1<br />
X<br />
2<br />
X<br />
⎟<br />
⎝ −<br />
1 ⎠<br />
2<br />
[ T(<br />
X ) −T<br />
( )]<br />
1<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
A escala Celsius<br />
Para calibrar este termômetro na escala Celsius vamos considerar que as temperaturas<br />
T(X 1 )=0 0 C e T(X 2 )=100 0 C são respectivamente o ponto de vapor e o ponto do<br />
gelo, e que X 1 e X 2 são os respectivos comprimentos <strong>da</strong> coluna de mercúrio. Desse<br />
modo, encontramos que:<br />
⎡ X − X<br />
0<br />
⎤<br />
0<br />
T C<br />
( X ) = ⎢ ⎥ ( 100 C)<br />
⎣ X<br />
100<br />
− X<br />
0 ⎦<br />
Cap 19 www.fisica.ufpb.br/~romero 3
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Isso equivale a dividir a escala entre X 0 e X 100 em cem partes iguais, ca<strong>da</strong> subdivisão<br />
correspondendo a 1 0 C , ou seja equivale a dizer que a dilatação <strong>da</strong> coluna de mercúrio é<br />
linear com T(X).<br />
A escala Fahrenheit<br />
A escala Fahrenheit é usa<strong>da</strong> nos Estados Unidos e Inglaterra. Para calibrar este<br />
termômetro na escala Celsius vamos considerar que as temperaturas T(X 1 )=32 0 C e<br />
T(X 2 )=212 0 C são respectivamente o ponto de vapor e o ponto do gelo, e que X 1 e X 2<br />
são os respectivos comprimentos <strong>da</strong> coluna de mercúrio. Desse modo, encontramos que:<br />
0<br />
⎡ X − X<br />
32<br />
⎤<br />
( X ) = 32 F + ⎢ ⎥<br />
⎣ X<br />
212<br />
− X<br />
32 ⎦<br />
( 180 F )<br />
T F<br />
0<br />
Relação entre as escalas Celsius e Fahrenheit<br />
Se considerarmos dois termômetros de mesmo formato, feitos do mesmo material<br />
e calibrados nestas escalas, podemos dizer que quando estiverem medindo a mesma situação,<br />
a coluna terá um tamanho X , e portanto:<br />
ou seja:<br />
ou ain<strong>da</strong>:<br />
T<br />
F<br />
− 32<br />
180<br />
0<br />
0<br />
F<br />
F<br />
T<br />
T<br />
=<br />
100<br />
C<br />
0<br />
C<br />
=<br />
X<br />
⎛ 9 ⎞<br />
= 32 + ⎜ ⎟<br />
⎝ 5 ⎠<br />
F<br />
T C<br />
⎛ 5 ⎞<br />
T C ⎜ ⎟ T<br />
⎝ 9 ⎠<br />
=<br />
F<br />
X − X<br />
Vapor<br />
( − 32)<br />
Gelo<br />
− X<br />
Gelo<br />
A escala Kelvin<br />
Se considerarmos o comportamento de um gás de N moléculas, constata-se experimentalmente<br />
que para uma <strong>da</strong><strong>da</strong> temperatura:<br />
pV =<br />
N<br />
const<br />
onde p é a pressão do gás e V é o volume ocupado por ele. Esta é a equação dos gases<br />
ideais é comprova-se que ela é váli<strong>da</strong> sempre que a densi<strong>da</strong>de N/V for pequena. A<br />
escala de temperaturas Kelvin é defini<strong>da</strong> de modo que a relação entre a constante e a<br />
temperatura seja de proporcionali<strong>da</strong>de. Em outras palavras, a escala Kelvin é tal que:<br />
pV<br />
N<br />
= k<br />
onde k B é a constante de Boltzmann. Usando o raciocínio anterior, relembramos que a<br />
substância termométrica nesse caso é um gás e a proprie<strong>da</strong>de termométrica é a pressão<br />
desse gás a volume constante. Temos então que:<br />
B<br />
T<br />
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T ( X ) = aX<br />
∴<br />
⎡T<br />
( X<br />
T(<br />
X ) = ⎢<br />
⎣ X<br />
0<br />
0<br />
)<br />
⎤<br />
⎥ X<br />
⎦<br />
Considerando o ponto triplo <strong>da</strong> água, escolhemos a temperatura de calibração na<br />
escala Kelvin.<br />
⎛ 273,16 K ⎞<br />
T =<br />
⎜ p<br />
p<br />
⎟<br />
⎝ Tr ⎠<br />
Uma vez calibra<strong>da</strong> a escala obtemos o valor de k B = 1,38x10 -23 J/K . A correspondência<br />
entre as escalas Celsius e Kelvin é tal que:<br />
ou seja:<br />
0 0 C =<br />
100 0 C =<br />
273,16K<br />
373,15K<br />
T K = T C + 273,16<br />
Dilatação térmica<br />
Quando aumentamos a temperatura de um sólido ele se dilata. A dilatação térmica<br />
desse sólido está associa<strong>da</strong> ao aumento <strong>da</strong> distância entre os átomos vizinhos que o<br />
compõe. Poderíamos dizer que a força de interação elétrica entre esses átomos já não é<br />
suficiente para mantê-los tão próximos um dos outros devido a agitação térmica oriun<strong>da</strong><br />
do aumento <strong>da</strong> temperatura.<br />
Consideremos que em uma temperatura<br />
inicial T I um sólido tenha um comprimento<br />
L 0 . Se aumentarmos a temperatura<br />
de ∆T , esse sólido aumentará o seu comprimento<br />
de ∆L . Para uma <strong>da</strong><strong>da</strong> variação<br />
L 0<br />
L<br />
∆L<br />
de temperatura podemos entender que a<br />
a dilatação do sólido ∆L será proporcional ao seu comprimento inicial L 0 . Para uma variação<br />
de temperatura suficientemente pequena, podemos ain<strong>da</strong> inferir que a dilatação do<br />
sólido ∆L também será proporcional ao aumento <strong>da</strong> temperatura ∆T . Desse modo, podemos<br />
resumir, como:<br />
∆L = α L 0 ∆T<br />
onde a constante de proporcionali<strong>da</strong>de α é chama<strong>da</strong> de coeficiente de dilatação linear<br />
do material considerado. Como<br />
∆L = L – L 0<br />
L = L 0 ( 1 + α ∆T )<br />
Para muitos sólidos os coeficientes de dilatação<br />
é o mesmo nas suas diversas dimensões. Dizemos<br />
que eles têm uma dilatação isotrópica. Vamos<br />
considerar que uma chapa plana tenha dimensões L 01<br />
e L 02 para uma <strong>da</strong><strong>da</strong> temperatura inicial. Quando variamos<br />
a temperatura de ∆T as dimensões se alteram<br />
para L 1 e L 2 conforme a figura ao lado. Considerando<br />
que os coeficiente de dilatação são os mesmos nas<br />
duas dimensões, teremos que:<br />
L 01<br />
L 02<br />
L 1 = L 01 ( 1 + α ∆T )<br />
L 2 = L 02 ( 1 + α ∆T )<br />
L 1<br />
L 2<br />
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As áreas inicial e final podem ser defini<strong>da</strong>s como:<br />
e<br />
ou seja:<br />
A 0 = L 01 L 02<br />
A = L 1 L 2<br />
A =[ L 01 ( 1 + α ∆T )] [ L 02 ( 1 + α ∆T )]<br />
A = A 0 [ 1 + 2 α ∆T + (α ∆T) 2 ]<br />
A aproximação <strong>da</strong> dilatação térmica ∆L = α L 0 ∆T é váli<strong>da</strong> apenas igualmente para<br />
todos os materiais apenas em circunstâncias restritas, ou seja quando α ∆T > (α ∆T) 2<br />
ou seja:<br />
A = A 0 [ 1 + 2 α ∆T]<br />
Quando li<strong>da</strong>mos com dilatação volumétrica de sólidos, podemos usar um raciocínio<br />
similar e encontrar que:<br />
V = V 0 [ 1 + 3 α ∆T]<br />
Em sólidos isotrópicos o coeficiente de dilatação superficial é definido como γ = 2α<br />
e o coeficiente de dilatação volumétrica é definido como β = 3α .<br />
<strong>Calor</strong><br />
No final do século XVIII, existiam duas hipóteses alternativas sobre o calor. A hipótese<br />
mais aceita considerava o calor como uma substância flui<strong>da</strong> indestrutível que<br />
“preencheria os poros” dos corpos e escoaria de um corpo mais quente a um mais frio.<br />
Lavoisier chamou esta substância hipotética de “calórico”. A implicação era que o calor<br />
pode ser transferido de um corpo a outro, mas a quanti<strong>da</strong>de total de “calórico” se conservaria,<br />
ou seja, existiria uma lei de conservação de calor.<br />
A hipótese rival, endossa<strong>da</strong> entre outros por Francis Bacon e Robert Hooke, foi assim<br />
expressa por Newton em 1704: “O calor consiste num minúsculo movimento de vibração<br />
<strong>da</strong>s partículas dos corpos”.<br />
A principal dificul<strong>da</strong>de estava na “lei de conservação do calórico”, pois a quanti<strong>da</strong>de<br />
de calórico que podia ser “espremi<strong>da</strong> para fora” de um corpo por atrito era ilimita<strong>da</strong>. Com<br />
efeito, em 1798, Rumford escreveu: “Foi por acaso que me vi levado a realizar as experiências<br />
que vou relatar agora...Estando ocupado ultimamente em supervisionar a perfuração<br />
de canhões nas oficinas do arsenal militar de Munique, chamou-me a atenção o elevado<br />
grau de aquecimento de um canhão de bronze, atingido em tempos muito curtos,<br />
durante o processo de perfuração...A fonte de calor gerado por atrito nestas experiências<br />
parece ser inesgotável ... e me parece extremamente difícil de conceber qualquer coisa<br />
capaz de ser produzi<strong>da</strong> ou transmiti<strong>da</strong> <strong>da</strong> forma como o calor o era nestas experiências,<br />
exceto o MOVIMENTO.<br />
Rumford foi levado a endossar a teoria alternativa de que “...o calor não passa de<br />
um movimento vibratório que tem lugar entre as partículas do corpo”.<br />
H. Moysés Nussenzveig<br />
Curso de Física Básica – Vol2 – 4 a . edição<br />
Editora Edgard Blücher Lt<strong>da</strong>.<br />
São Paulo - 2002<br />
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Prof. Romero Tavares <strong>da</strong> Silva<br />
Um olhar mais de perto no <strong>Calor</strong> e Trabalho<br />
<strong>Calor</strong> Q é energia em trânsito de um corpo para outro devido à diferença de temperatura<br />
entre eles.<br />
Trabalho W é a energia que é transferi<strong>da</strong> de um sistema para outro de tal modo<br />
que a diferença de temperaturas não esteja envolvi<strong>da</strong>.<br />
As grandezas Q e W não são características do estado de equilíbrio do sistema,<br />
mas sim dos processos termodinâmicos pelos quais o sistema passa quando vai de um<br />
estado de equilíbrio para outro. Desse modo, se um sistema vai de um estado de equilíbrio<br />
inicial para um outro estado de equilíbrio final, por dois caminhos diversos, para ca<strong>da</strong><br />
caminho ele terá um valor de Q e W específico.<br />
Q e W são definidos como:<br />
Q = calor transferido para o sistema<br />
W = trabalho realizado pelo sistema<br />
De modo geral, nós separamos uma certa quanti<strong>da</strong>de de material que desejamos<br />
analisar. A esse material chamamos de sistema, que pode estar isolado (ou não) <strong>da</strong> sua<br />
vizinhança. A interação com a vizinhança pode ser de vários tipos: trocando calor, trocando<br />
trabalho, ou ambos os casos simultaneamente.<br />
Um sistema sofre transformações que o levarão de um estado de equilíbrio inicial a<br />
um estado final, através de diversos estados intermediários. O caminho entre os estados<br />
inicial e final, através dos estados intermediários se dá por causa <strong>da</strong> interação do sistema<br />
com a sua vizinhança.<br />
Para exemplificar, calculemos o trabalho<br />
feito por um sistema formado por um<br />
gás isolado no interior de um pistão, cujo<br />
êmbolo pode movimentar-se livremente sem<br />
atrito. Considere que inicialmente o êmbolo<br />
estava preso e continha um volume V i ,<br />
após ser solto ele moveu-se e o volume<br />
V f<br />
passou a ser V f , quando então ele tornou a V i<br />
ser preso. O êmbolo subiu como consequência<br />
<strong>da</strong> pressão p exerci<strong>da</strong> pelo gás. O<br />
trabalho elementar feito por esse sistema é<br />
definido como:<br />
dW = F dx = p A dx<br />
ou seja: quando o êmbolo moveu-se de dx , sob a ação de uma pressão interna p , o<br />
sistema executou um trabalho dW . A área do êmbolo é A , <strong>da</strong>í a variação de volume<br />
associa<strong>da</strong> a dx é igual a dV = A dx , e portanto:<br />
dW = p dV<br />
O trabalho total executado pelo sistema<br />
entre os estados inicial e final, é definido<br />
como:<br />
W<br />
if<br />
=<br />
f<br />
∫<br />
i<br />
p dV<br />
e considerando a definição de integral, temos<br />
que esse trabalho será a área abaixo<br />
<strong>da</strong> curva que vai do estado inicial até o estado<br />
final.<br />
Cap 19 www.fisica.ufpb.br/~romero 7<br />
p<br />
p i<br />
i<br />
p f a f<br />
V i V f V
Prof. Romero Tavares <strong>da</strong> Silva<br />
Como já tínhamos antecipado o valor do trabalho associado á mu<strong>da</strong>nça de estado<br />
do sistema não é único. Quando o sistema for do estado inicial até o final através do estado<br />
dos percursos ia e af o trabalho associado a esse percurso será diferente <strong>da</strong>quele<br />
considerado inicialmente.<br />
A absorção de <strong>Calor</strong><br />
Quando uma certa quanti<strong>da</strong>de de calor é transmiti<strong>da</strong> para um corpo, na maioria dos<br />
casos a sua temperatura cresce. A quanti<strong>da</strong>de de calor necessária para aumentar de um<br />
certo valor a temperatura de uma substância, depende <strong>da</strong> quanti<strong>da</strong>de dessa substância, e<br />
varia de acordo com a substância. Se foi necessário 3min para ferver 1litro de água<br />
numa certa chama, serão necessários 6min para ferver 2litros de água na mesma chama.<br />
Se no entanto formos aquecer 1litro azeite na mesma chama, será necessário um<br />
tempo maior que 3min.<br />
A proprie<strong>da</strong>de física que define a quanti<strong>da</strong>de de calor Q necessária para aquecer<br />
determinado material de ∆T é chama<strong>da</strong> capaci<strong>da</strong>de térmica, e é defini<strong>da</strong> como:<br />
Q = C . ∆T<br />
Desse modo poderemos calcular a capaci<strong>da</strong>de térmica de 1litro de água, de<br />
2litros de água, de 1litro azeite e etc. A capaci<strong>da</strong>de térmica é uma característica de uma<br />
amostra de determina<strong>da</strong> substância. Outra amostra diferente dessa mesma substância<br />
terá uma capaci<strong>da</strong>de térmica diferente.<br />
Fica claro que são limita<strong>da</strong>s as vantagens dessa proprie<strong>da</strong>de física, a capaci<strong>da</strong>de<br />
térmica. Mas à partir dela, definiu-se uma outra proprie<strong>da</strong>de chama<strong>da</strong> calor específico c ,<br />
que é uma característica de ca<strong>da</strong> substância.<br />
A proprie<strong>da</strong>de física que define a quanti<strong>da</strong>de de calor Q necessária para aquecer<br />
de ∆T uma massa m de determinado material é chama<strong>da</strong> calor específico, e é defini<strong>da</strong><br />
como:<br />
Q = m . c . ∆T<br />
Como foi mencionado, calor é uma forma de energia e portanto a uni<strong>da</strong>de de calor<br />
é a mesma de energia. Mas por razões históricas, ain<strong>da</strong> se usa como uni<strong>da</strong>de de calor a<br />
caloria ou cal, que se define como a quanti<strong>da</strong>de de calor necessária para aquecer 1g<br />
de água de 14,5 0 C até 15,5 0 C. Desse modo, a uni<strong>da</strong>de do calor específico será cal/g. 0 C.<br />
Como foi mencionado, uma substância altera a sua temperatura quando ela troca<br />
calor com a sua vizinhança. No entanto, existem algumas situações onde não acontece<br />
exatamente desse modo; um corpo pode absorver certa quanti<strong>da</strong>de de calor e no entanto<br />
manter-se com a sua temperatura constante. Quando isso acontece, diz-se que o corpo<br />
passou por uma mu<strong>da</strong>nça de fase. Existe um exemplo corriqueiro: uma pedra de gelo<br />
numa temperatura de 0 0 C é retira<strong>da</strong> do congelado e coloca<strong>da</strong> dentro de um copo na<br />
temperatura ambiente de 30 0 C . Esse material irá absorver calor <strong>da</strong> sua vizinhança e<br />
paulatinamente transformar-se-á em água a uma temperatura de 0 0 C .<br />
A proprie<strong>da</strong>de física que define a quanti<strong>da</strong>de de calor Q necessária para uma mu<strong>da</strong>nça<br />
de fase de uma massa m de determina<strong>da</strong> substância é chama<strong>da</strong> calor latente, e é<br />
defini<strong>da</strong> como:<br />
Q = m L<br />
Quando estamos considerando a mu<strong>da</strong>nça do estado sólido para o estado líquido,<br />
chamamos de calor latente de fusão L F , e quando estamos considerando a mu<strong>da</strong>nça do<br />
Cap 19 www.fisica.ufpb.br/~romero 8
Prof. Romero Tavares <strong>da</strong> Silva<br />
estado líquido para o estado gasoso, chamamos de calor latente de vaporização L V . A<br />
uni<strong>da</strong>de do calor latente é cal/g .<br />
<strong>Primeira</strong> <strong>Lei</strong> <strong>da</strong> Termodinâmica<br />
Quando um sistema termodinâmico<br />
vai de um estado inicial i para um estado p<br />
final f , ele pode fazer este “caminho” através<br />
de vários “percursos”. Na figura ao lado<br />
estão ilustrados dois “percursos” ; diretamente<br />
p i i<br />
ao longo <strong>da</strong> curva - (1) ou ao pas-<br />
sando pelo estado a – (2) . em ca<strong>da</strong> percurso<br />
o trabalho executado pelo sistema p f a f<br />
tem um resultado diferente. Por outro lado,<br />
a troca do o sistema com a sua vizinhança<br />
também é diferente em ca<strong>da</strong> um dos dois<br />
V i V f V<br />
percursos.<br />
Define-se uma grandeza, chama<strong>da</strong> energia interna E , caracteriza<strong>da</strong> pelos diversos<br />
tipos de energia possíveis de existir em uma substância quando ela está em determinado<br />
estado.<br />
Se tivéssemos um gás diatômico, a energia interna desse gás em determinado estado<br />
teria uma parte associa<strong>da</strong> ao seu movimento (energia cinética de translação), outra<br />
parte associa<strong>da</strong> a rotação de um átomo em torno do outro (energia cinética de rotação),<br />
outra parte associa<strong>da</strong> à oscilação de um átomo em relação ao outro (energia potencial<br />
elástica), e outros tipos de energia, de acordo com o modelo usado para descrever a molécula<br />
e o gás a que ela pertence.<br />
No caso, mais simples, de um gás ideal monoatômico, a energia interna depende<br />
apenas do movimento dos átomos.<br />
A diferença de energia interna entre os estados inicial e final ∆E Int = E F - E I é uma<br />
grandeza de grande importância na termodinâmica, porque independente do percurso<br />
usado para ir de um estado para o outro, teremos sempre que:<br />
∆E Int = Q IF – W IF = Q IAF – W IAF<br />
onde podemos definir a <strong>Primeira</strong> <strong>Lei</strong> <strong>da</strong> Termodinâmica como:<br />
∆E Int = Q - W<br />
A diferença entre a quanti<strong>da</strong>de de calor Q e o trabalho envolvidos em um percurso<br />
entre os estados inicial e final, depende apenas dos estados, e fornece o mesmo valor<br />
independente do percurso escolhido.<br />
Alguns casos específicos <strong>da</strong> <strong>Primeira</strong> <strong>Lei</strong> <strong>da</strong> Termodinâmica<br />
Processos adiabáticos<br />
É um processo em que não existe troca de calor entre o sistema e a sua vizinhança,<br />
ou seja: o sistema está muito bem isolado termicamente. Na Natureza existem processos<br />
que podemos aproximar como adiabáticos. São aqueles que ocorrem tão<br />
Cap 19 www.fisica.ufpb.br/~romero 9
Prof. Romero Tavares <strong>da</strong> Silva<br />
rapi<strong>da</strong>mente que o sistema chega ao seu estado final antes que possa trocar calos com a<br />
vizinhança. Num processo adiabático, Q = 0 e de acordo com a <strong>Primeira</strong> <strong>Lei</strong> <strong>da</strong> Termodinâmica:<br />
∆E Int = - W<br />
Processos a volume constante<br />
São os chamados processos isométricos.<br />
Usando a definição de trabalho executado<br />
pelo sistema entre os estados inicial e<br />
final, encontramos que:<br />
f<br />
∫<br />
W = p dV = 0<br />
if<br />
i<br />
porque não aconteceu variação de volume.<br />
Através <strong>da</strong> <strong>Primeira</strong> <strong>Lei</strong> <strong>da</strong> Termodinâmica<br />
encontramos que:<br />
∆E Int = Q<br />
p<br />
p i<br />
p f<br />
f<br />
i<br />
V i = V f<br />
V<br />
Processos cíclicos<br />
Num processo cíclico o sistema passa por várias transformações, mas ao final do<br />
processo ele retorna ao estado inicial. Desse modo, temos que E I = E F e portanto não<br />
existe variação de energia interna, logo:<br />
Q = W<br />
Mecanismos de transferência de <strong>Calor</strong><br />
A transferência de calor de um ponto a outro de um meio se dá através de três processos<br />
diferentes: convecção, radiação e condução.<br />
A convecção ocorre tipicamente num fluido, e se caracteriza pelo fato de que o calor<br />
é transferido pelo movimento do próprio fluido, que constitui uma corrente de convecção.<br />
Um fluido aquecido localmente em geral diminui de densi<strong>da</strong>de e por conseguinte<br />
tende a subir sob o efeito gravitacional, sendo substituído por um fluido mais frio, o que<br />
gera naturalmente correntes de convecção. O borbulhar <strong>da</strong> água fervente em uma panela<br />
é o resultado de correntes de convecção.<br />
A radiação transfere calor de um ponto a outro através <strong>da</strong> radiação eletromagnética.<br />
A radiação térmica é emiti<strong>da</strong> de um corpo aquecido e ao ser absorvi<strong>da</strong> por outro corpo<br />
pode aquecê-lo, convertendo-se em calor. O aquecimento solar é uma forma de aproveitamento<br />
<strong>da</strong> radiação solar para a produção de calor. Um ferro em brasa emite radiação<br />
térmica e aquece a região que o rodeia.<br />
A condução de calor só pode acontecer através de um meio material, sem que haja<br />
movimento do próprio meio. Ocorre tanto em fluidos quanto em meios sólidos sob o efeito<br />
de diferenças de temperatura.<br />
H. Moysés Nussenzveig<br />
Curso de Física Básica – Vol2 – 4 a . edição<br />
Editora Edgard Blücher Lt<strong>da</strong>.<br />
São Paulo – 2002<br />
Cap 19 www.fisica.ufpb.br/~romero 10
Prof. Romero Tavares <strong>da</strong> Silva<br />
Quando colocamos uma panela com água no fogo, ele começa a aquecer a água.<br />
Esse processo inicial de aquecimento se dá por condução de calor, e a parte na superfície<br />
<strong>da</strong> água vai sendo aqueci<strong>da</strong> paulatinamente. No entanto a taxa de aquecimento <strong>da</strong> água<br />
no fundo <strong>da</strong> panela é maior do que a taxa de aquecimento <strong>da</strong> água na superfície. A água<br />
entre o fundo e a superfície não dá conta <strong>da</strong> condução do calor que é comunicado através<br />
do fogo. Começam a se formar no fundo bolsões de água mais quentes que a vizinhança,<br />
e esses bolsões começam a subir para a superfície. Nesse instante a convecção passa a<br />
ser o processo principal de condução de calor na panela. E isso acontece por causa <strong>da</strong><br />
incapaci<strong>da</strong>de <strong>da</strong> água conduzir calor de maneira adequa<strong>da</strong> nesta panela sobre o fogo.<br />
Condução<br />
Consideremos dois reservatórios térmicos<br />
que estão a temperaturas diferentes<br />
L<br />
T Q e T F , tais que T Q > T F . Estes dois reservatórios<br />
serão conectados por uma placa de<br />
área transversal A e comprimento L ,<br />
conforme mostra a figura ao lado. Vamos<br />
supor que a placa está isola<strong>da</strong> <strong>da</strong>s vizinhanças,<br />
de modo que através dela passa<br />
apenas o fluxo de calor entre os reservatórios.<br />
x<br />
Intuitivamente pode-se perceber que a<br />
taxa de transferência de calor dQ/dt que<br />
flui através <strong>da</strong> placa é proporcional à sua Reservatório quente Reservatório frio<br />
área e a diferença de temperatura entre os<br />
T Q<br />
T F<br />
reservatórios de calor, e inversamente proporcional<br />
T Q > T F<br />
ao seu comprimento. Ou seja:<br />
dQ TQ TF<br />
= kA<br />
dt L<br />
onde a constante de proporcionali<strong>da</strong>de k é conheci<strong>da</strong> como condutivi<strong>da</strong>de térmica <strong>da</strong><br />
barra. Se considerarmos uma placa de comprimento ∆x , que una dois reservatórios que<br />
têm uma diferença de temperatura ∆T , encontraremos que:<br />
dQ<br />
dt<br />
∆T<br />
= −kA<br />
∆x<br />
onde o sinal negativo exprime o fato que o calor flui de temperaturas mais quentes para<br />
temperaturas mais frias. Quando tivermos ∆x → 0 , encontraremos que:<br />
dQ<br />
dt<br />
= − kA<br />
No estado estacionário, a temperatura na barra não depende mais do tempo t , e o<br />
fluxo de calor é o mesmo em qualquer parte <strong>da</strong> barra. Desse modo dQ/dt é uma constante,<br />
e a equação anterior toma a forma:<br />
dT<br />
dx<br />
Ρ = −kA<br />
dT<br />
dx<br />
⇒<br />
dT<br />
Ρ<br />
= − dx<br />
kA<br />
∴<br />
T<br />
F<br />
−T<br />
Q<br />
Ρ<br />
= −<br />
kA<br />
( x − x )<br />
F<br />
Q<br />
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ou seja:<br />
logo:<br />
Ρ =<br />
dQ<br />
dt<br />
∆T<br />
=<br />
∆T<br />
= kA<br />
L<br />
Ρ<br />
L<br />
kA<br />
T<br />
= kA<br />
T<br />
L<br />
Q −<br />
e desse modo poderemos calcular o fluxo<br />
de calor através <strong>da</strong> placa. Se quisermos<br />
saber como varia a temperatura ao longo <strong>da</strong><br />
barra, podemos usar que:<br />
Ρ<br />
Ρ<br />
dT = − dx ⇒ T(<br />
x)<br />
= − x +<br />
kA<br />
kA<br />
F<br />
T Q<br />
T Q<br />
T Q<br />
T<br />
L<br />
T F<br />
x<br />
⎛T<br />
) =<br />
⎜<br />
⎝<br />
−T<br />
F Q<br />
T x<br />
x +<br />
(<br />
L<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
T<br />
Q<br />
T F<br />
L x<br />
Condução através de uma parede composta<br />
Consideremos dois reservatórios térmicos<br />
que estão a temperaturas diferentes T Q<br />
L 2 L 1<br />
e T F , tais que T Q > T F . Estes dois reservatórios<br />
serão conectados por duas placas de<br />
mesma área transversal A ; comprimentos<br />
L 1 e L 2 e condutivi<strong>da</strong>des térmicas k 1 e k 2<br />
respectivamente , conforme mostra a figura<br />
ao lado.<br />
Encontre a temperatura na junção<br />
x<br />
<strong>da</strong>s placas o fluxo de calor através delas.<br />
O fluxo de calor que sair <strong>da</strong> fonte Reservatório quente Reservatório frio<br />
quente e atravessar a primeira placa, será o<br />
T Q<br />
T F<br />
mesmo que irá atravessar a segun<strong>da</strong> placa<br />
T Q > T F<br />
e chegar até a fonte fria. Portanto o fluxo Ρ 1<br />
que atravessa a primeira placa é igual ao<br />
T<br />
fluxo Ρ 2 que atravessa a segun<strong>da</strong> placa<br />
T Q<br />
dQ dQ dQ<br />
T X<br />
=<br />
1 =<br />
2<br />
dt dt dt<br />
T<br />
Mas<br />
F<br />
dQ dT<br />
Ρ = = − kA<br />
L 2 L 1 +L 2 x<br />
dt dx<br />
⎧ dT<br />
TQ<br />
−T<br />
X<br />
⎪ Ρ1<br />
= −k1A<br />
∴ Ρ1<br />
= k1A<br />
⎪<br />
dx<br />
L2<br />
⎨<br />
⎪ dT<br />
T<br />
X<br />
−TF<br />
⎪Ρ2<br />
= −k<br />
2<br />
A ∴ Ρ2<br />
= k<br />
2<br />
A<br />
⎩ dx<br />
L1<br />
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No entanto<br />
ou seja:<br />
Ρ<br />
1<br />
= Ρ<br />
2<br />
⇒<br />
T<br />
k A<br />
2<br />
Q<br />
−T<br />
L<br />
2<br />
X<br />
T<br />
= k A<br />
1<br />
X<br />
−T<br />
L<br />
1<br />
F<br />
T<br />
X<br />
T X ( L 2 k 1 + L 1 k 2 ) = T Q L 1 k 2 + T F L 2 k 1<br />
⎟ ⎟ ⎠<br />
TQL1k<br />
=<br />
L k<br />
2<br />
2<br />
1<br />
+ T L<br />
F<br />
+ L k<br />
1<br />
2<br />
2<br />
k<br />
1<br />
=<br />
⎛ k<br />
L<br />
⎜<br />
1L2<br />
TQ<br />
⎝ L<br />
⎛ k<br />
L<br />
⎜<br />
1L2<br />
⎝ L<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
+ T<br />
F<br />
k<br />
+<br />
L<br />
1<br />
1<br />
k<br />
L<br />
⎞<br />
1<br />
1<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
Por outro lado:<br />
ou seja:<br />
e finalmente:<br />
dQ<br />
dt<br />
T<br />
X<br />
T<br />
=<br />
Q<br />
k<br />
L<br />
k<br />
L<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
+ T<br />
F<br />
k<br />
+<br />
L<br />
1<br />
1<br />
k<br />
L<br />
dQ dQ dQ<br />
=<br />
1 =<br />
2<br />
dt dt dt<br />
⎡⎛<br />
⎢⎜T<br />
k1A<br />
= ⎢⎜<br />
L ⎢⎜<br />
1<br />
⎢⎜<br />
⎣⎝<br />
1<br />
1<br />
+ T<br />
k<br />
+<br />
L<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
−T<br />
⎟<br />
⎠<br />
2<br />
1<br />
Q<br />
F<br />
k1A<br />
L2<br />
L1<br />
= ( T<br />
X<br />
−TF<br />
)<br />
F<br />
L<br />
k<br />
1<br />
2 1<br />
dQ<br />
dt<br />
A T<br />
=<br />
L2<br />
k<br />
k<br />
L<br />
2<br />
( −T<br />
)<br />
2<br />
Q<br />
L<br />
+<br />
k<br />
1<br />
1<br />
F<br />
1<br />
k<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎦<br />
Radiação<br />
A taxa Ρ com que um objeto emite radiação depende <strong>da</strong> área A <strong>da</strong> superfície<br />
deste objeto e <strong>da</strong> temperatura T dessa área em Kelvins, e é <strong>da</strong><strong>da</strong> por:<br />
Ρ = σ ε A T 4<br />
Nesta equação σ = 5,67x10 -8 W/m 2 K 4 é chama<strong>da</strong> a constante de Stefan-Boltzmann. E a<br />
grandeza ε é a emissivi<strong>da</strong>de <strong>da</strong> superfície do objeto que vale entre 0 e 1 dependendo<br />
<strong>da</strong> composição <strong>da</strong> superfície.<br />
Cap 19 www.fisica.ufpb.br/~romero 13
Prof. Romero Tavares <strong>da</strong> Silva<br />
Solução de alguns problemas<br />
Capítulo 19 - Halli<strong>da</strong>y, Resnick e Walker<br />
03 Um certo termômetro a gás é construído com dois bulbos contendo gás, ca<strong>da</strong> um dos<br />
quais é colocado em banho-maria, como mostrado na figura à seguir. A diferença de<br />
pressão entre os dois bulbos é medi<strong>da</strong> por um manômetro de mercúrio como mostrado.<br />
Reservatórios apropriados, não mostrados no diagrama, mantêm o volume de<br />
gás constante nos dois bulbos.<br />
i. Não há nenhuma diferença de pressão<br />
quando as duas cubas estão no ponto<br />
tríplice <strong>da</strong> água.<br />
ii. A diferença de pressão é de 120Torr<br />
quando uma <strong>da</strong>s cubas está no ponto<br />
tríplice e a outra está no ponto de ebulição<br />
<strong>da</strong> água.<br />
iii. Ela vale 90Torr quando uma <strong>da</strong>s cubas<br />
está no ponto tríplice <strong>da</strong> água e a outra<br />
está a uma temperatura desconheci<strong>da</strong> a<br />
ser medi<strong>da</strong>.<br />
Qual a temperatura a ser medi<strong>da</strong>?<br />
1Torr = 1mmHg<br />
i.<br />
Esse termômetro será construído considerando-se que um dos bulbos estará na<br />
temperatura do ponto triplo e o outro numa temperatura desconheci<strong>da</strong>, a ser medi<strong>da</strong>.<br />
A diferença de pressão ∆p é a proprie<strong>da</strong>de termométrica a ser usa<strong>da</strong> neste termômetro,<br />
logo:<br />
T = a ∆p + b<br />
Quando o segundo bulbo também estiver na temperatura do ponto triplo, teremos<br />
que:<br />
T Tr = a . 0 + b ∴ b = T Tr<br />
ii. Quando o segundo bulbo estiver no ponto de ebulição, teremos que:<br />
T Eb = a . p 1 + b ; p 1 = 120Torr<br />
ou seja:<br />
TEb<br />
− b<br />
a = ∴<br />
p<br />
T<br />
a =<br />
Eb<br />
1<br />
p 1<br />
⎛T<br />
=<br />
⎜<br />
⎝<br />
−T<br />
p<br />
Eb Tr<br />
T ∆ +<br />
p<br />
1<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
T<br />
−T<br />
Tr<br />
Tr<br />
iii. Para a temperatura desconheci<strong>da</strong> teremos que:<br />
ou seja:<br />
T = a . p 2 + b ; p 2 = 90Torr<br />
Cap 19 www.fisica.ufpb.br/~romero 14
Prof. Romero Tavares <strong>da</strong> Silva<br />
⎛T<br />
⎜<br />
⎝<br />
−T<br />
Eb Tr<br />
T = p2<br />
+<br />
p<br />
1<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
T<br />
Tr<br />
T<br />
=<br />
90Torr<br />
120Torr<br />
( 373 ,16K<br />
− 273,16K<br />
) + 273, 16<br />
T = 348,16K<br />
Capítulo 19 - Halli<strong>da</strong>y, Resnick e Walker<br />
05 A que temperatura os seguintes pares de escala possuem a mesma leitura, se isto<br />
acontecer:<br />
a) Fahrenheit e Celsius.<br />
A relação entre estas escalas é:<br />
⎛ 5 ⎞<br />
T C ⎜ ⎟ T<br />
⎝ 9 ⎠<br />
=<br />
F<br />
( − 32)<br />
e portanto teremos mesma leitura T 0 quando:<br />
ou seja:<br />
b) Fahrenheit e Kelvin.<br />
Temos que<br />
T<br />
⎛ 5 ⎞<br />
= ⎜ ⎟ T<br />
⎝ 9 ⎠<br />
( 32)<br />
0 0<br />
−<br />
T 0 = - 40 0 C = - 40 0 F<br />
⎛ 5 ⎞<br />
T C<br />
= ⎜ ⎟( TF<br />
− 32)<br />
⎝ 9 ⎠<br />
e<br />
T K = T C + 273,16<br />
ou seja:<br />
⎛ 5 ⎞<br />
T K<br />
= 273,16<br />
+ ⎜ ⎟ TF<br />
−<br />
⎝ 9 ⎠<br />
e portanto teremos mesma leitura T 0 quando:<br />
⎛ 5 ⎞<br />
T0 = 273,16<br />
+ ⎜ ⎟( T0<br />
− 32)<br />
⎝ 9 ⎠<br />
ou seja:<br />
T 0 = 574,61 0 F = 574,61K<br />
c) Celsius e Kelvin<br />
A relação entre estas escalas é:<br />
T K = T C + 273,16<br />
( 32)<br />
e como é uma relação aditiva, não existe a possibili<strong>da</strong>de de termos as mesmas<br />
leituras nas duas escalas.<br />
Cap 19 www.fisica.ufpb.br/~romero 15
Capítulo 19 - Halli<strong>da</strong>y, Resnick e Walker<br />
Prof. Romero Tavares <strong>da</strong> Silva<br />
07 Observa-se no dia-a-dia que objetos quentes e frios se esfriam o aquecem até a<br />
temperatura do ambiente ao seu redor. Se a diferença de temperatura ∆T ente um<br />
objeto e o seu ambiente (∆T = T Obj – T Amb ) não for muito grande, a taxa de resfriamento<br />
ou de aquecimento de um objeto é proporcional, aproxima<strong>da</strong>mente, a essa<br />
diferença de temperatura; ou seja:<br />
d( ∆T<br />
)<br />
= −A( ∆T<br />
)<br />
dt<br />
onde A é constante. O sinal negativo aparece porque ∆T diminui com o tempo se<br />
∆T for positivo e aumenta com o tempo se ∆T for negativo. Essa equação é conheci<strong>da</strong><br />
como a <strong>Lei</strong> de resfriamento de Newton.<br />
a) De que fatores depende A ? Qual é a sua uni<strong>da</strong>de?<br />
A depende principalmente <strong>da</strong> condutivi<strong>da</strong>de térmica do objeto. O lado esquerdo<br />
<strong>da</strong> equação tem uni<strong>da</strong>des de temperatura sobre tempo, e desse modo, a uni<strong>da</strong>de<br />
de A é o inverso de tempo: s -1 .<br />
b) Se em algum instante t = 0 a diferença de temperatura for ∆T 0 , mostre que em<br />
um instante posterior ela será<br />
∆T = ∆T 0 e – A t<br />
Da equação diferencial, encontramos que:<br />
e quando integramos:<br />
ou seja<br />
ln<br />
( ∆T<br />
)<br />
d<br />
∆T<br />
= −A dt<br />
( ∆T ) = −At<br />
+ c1<br />
c1<br />
−At<br />
∆T(<br />
t)<br />
= e e = c2<br />
e<br />
−At<br />
Considerando as condições iniciais:<br />
chegamos a:<br />
∆T( 0) = c = ∆T<br />
2<br />
∆T = ∆T 0 e – A t<br />
0<br />
Capítulo 19 - Halli<strong>da</strong>y, Resnick e Walker<br />
09 Suponha que em uma escala linear de temperatura X , a água ferva a -53,5 0 X e se<br />
congele a -170 0 X . Qual a temperatura de 340K na escala X ?<br />
Vamos supor que a relação entre a escala X e a escala Kelvin seja linear, ou seja:<br />
e ain<strong>da</strong> temos que:<br />
X(K) = a . K + b<br />
Cap 19 www.fisica.ufpb.br/~romero 16
Prof. Romero Tavares <strong>da</strong> Silva<br />
Desse modo:<br />
logo:<br />
ou seja:<br />
E ain<strong>da</strong>:<br />
Portanto:<br />
X<br />
1<br />
− X<br />
2<br />
X<br />
K<br />
T 1 -53,5 0 X 373,16K<br />
T 2 -170,0 0 X 273,16K<br />
= a<br />
( K − K )<br />
1<br />
2<br />
X 1 = a K 1 + b<br />
X 2 = a K 2 + b<br />
∴<br />
X<br />
a =<br />
K<br />
1<br />
1<br />
− X<br />
− K<br />
a = 1,165 0 X/K<br />
b = X 1 – a K 1 = - 488,045 0 X<br />
X(K) = 1,165 . K – 488,045<br />
2<br />
2<br />
− 53,5 − 170,0<br />
=<br />
373,16 − 273,16<br />
Quando a temperatura T 0 = 340K , usando essa relação anterior, encontramos<br />
Capítulo 19 - Halli<strong>da</strong>y, Resnick e Walker<br />
T 0 = - 91,945 0 X<br />
16 A área S de uma placa retangular é ab .O seu coeficiente de expansão linear é α .<br />
Após um aumento de temperatura ∆T , o lado a aumenta de ∆a e o lado b aumenta<br />
de ∆b . Mostre que se a pequena quanti<strong>da</strong>de (∆a ∆b)/ab for despreza<strong>da</strong>,<br />
então ∆S = 2 α S ∆T .<br />
∆a = α a ∆T<br />
e<br />
a ∆a<br />
∆b = α b ∆T<br />
S = a b<br />
S + ∆S = ( a + ∆a) ( b + ∆b)<br />
S + ∆S = a b + a ∆b + b ∆a + ∆a ∆b<br />
b<br />
∆b<br />
Considerando que:<br />
teremos<br />
S + ∆S = a b + 2 ab α ∆T + a b (α ∆T) 2<br />
2 α ∆T >> (α ∆T) 2<br />
∆S = 2 α S ∆T<br />
Capítulo 19 - Halli<strong>da</strong>y, Resnick e Walker<br />
18 A 20 0 C , uma haste mede exatamente 20,05cm de comprimento em uma régua de<br />
aço. Tanto a haste quanto a régua são coloca<strong>da</strong>s em um forno a 270 0 C , onde a<br />
haste passa a medir 20,11cm na mesma régua.<br />
Qual o coeficiente de expansão térmica para o material do qual é feita a haste?<br />
Cap 19 www.fisica.ufpb.br/~romero 17
Prof. Romero Tavares <strong>da</strong> Silva<br />
T i = 20 0 C<br />
T f = 270 0 C<br />
∆T = 250 0 C<br />
L 0 = 20,05cm<br />
L’ = 20,11cm<br />
α A = 11x10 -6 0 C -1<br />
L 0<br />
l 0<br />
L’<br />
Se tivéssemos duas réguas idênticas de aço,<br />
uma a uma temperatura de 20 0 C e a outra a<br />
uma temperatura de 270 0 C , gradua<strong>da</strong>s em<br />
cm , teríamos que l 0 a 20 0 C e l a 270 0 C<br />
se relacionam <strong>da</strong> seguinte maneira:<br />
l<br />
l<br />
= l<br />
0<br />
(1 + α A<br />
∆T<br />
) ⇒ = 1+<br />
α<br />
A∆T<br />
= 1,00275<br />
l<br />
0<br />
l<br />
ou seja: a gra<strong>da</strong>ção dilatou-se de 0,275% e consequentemente as medi<strong>da</strong>s efetua<strong>da</strong>s<br />
deverão ser altera<strong>da</strong>s desta fração. A gra<strong>da</strong>ção <strong>da</strong> régua sofreu uma variação<br />
percentual igual a variação percentual <strong>da</strong> régua como um todo. Desse modo, deveríamos<br />
fazer uma correção na medi<strong>da</strong> L’ realiza<strong>da</strong> pela régua dilata<strong>da</strong>:<br />
⎛ l ⎞<br />
L =<br />
⎜ L'<br />
= (1,00275).(20,11) ⇒ L = 20, 165cm<br />
l<br />
⎟<br />
⎝ 0 ⎠<br />
O comprimento <strong>da</strong> haste dilata<strong>da</strong> L , medido pela régua não dilata<strong>da</strong> ( a 20 0 C )<br />
forneceria o resultado L 0 :<br />
Como queremos saber o quanto a haste se dilatou, devemos fazer as medi<strong>da</strong>s<br />
antes e depois <strong>da</strong> dilatação com um instrumento que não se dilatou. Devemos usar L<br />
como sendo o comprimento <strong>da</strong> haste medido por uma régua que não sofreu dilatação,<br />
logo:<br />
L − L0<br />
L = L0 ( 1+<br />
α<br />
H<br />
∆T<br />
) ∴ α<br />
B<br />
=<br />
L0∆T<br />
ou seja:<br />
α H = 23x10 -6 0 C -1<br />
Capítulo 19 - Halli<strong>da</strong>y, Resnick e Walker<br />
21 Mostre que quando a temperatura de um líquido em um barômetro varia de ∆T e a<br />
pressão é constante, a altura h do líquido varia de ∆h = β h ∆T onde β é o coeficiente<br />
de expansão volumétrica deste líquido. Despreze a expansão do tubo de vidro.<br />
Vamos considerar que o líquido se expande de acordo<br />
com a equação:<br />
V = V 0 ( 1 + β ∆T )<br />
∆h<br />
Mas como o tubo de vidro do barômetro tem uma dilatação<br />
desprezível, o líquido só poderá expandir-se ao<br />
longo do comprimento do tubo, que está vazio. Desse<br />
modo, temos que:<br />
V 0 = A 0 h 0 e V = A 0 h<br />
Cap 19 www.fisica.ufpb.br/~romero 18
Prof. Romero Tavares <strong>da</strong> Silva<br />
ou seja:<br />
Mas por outro lado:<br />
Portanto:<br />
V – V 0 = ( h – h 0 ) A 0 = ∆h A 0<br />
V – V 0 = V 0 β ∆T = β h 0 A 0 ∆T<br />
∆h = h 0 β ∆T<br />
Capítulo 19 - Halli<strong>da</strong>y, Resnick e Walker<br />
22 Quando a temperatura de uma moe<strong>da</strong> de cobre é eleva<strong>da</strong> de 100 0 C o seu diâmetro<br />
aumenta de 0,18% . Calcule com dois algarismos significativos:<br />
∆T = 100 0 C<br />
logo<br />
d<br />
⎛ ∆d<br />
⎞<br />
⎛ ∆d<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎟%<br />
= 0,18% ∴<br />
⎜<br />
⎟ = 0,0018<br />
⎝ d<br />
0 ⎠<br />
⎝ d<br />
0 ⎠<br />
d − d ∆d<br />
= d<br />
T<br />
d d<br />
0<br />
( 1+<br />
α∆T<br />
) ∴ = = α∆<br />
0, 0018<br />
0<br />
=<br />
0<br />
0<br />
a) O aumento percentual <strong>da</strong> área de uma face.<br />
logo:<br />
A − A ∆A<br />
A = A<br />
T<br />
A A<br />
0<br />
( 1+<br />
γ∆T<br />
) ∴ = = γ∆T<br />
= 2α∆<br />
0, 0036<br />
0<br />
=<br />
0<br />
⎛ ∆A<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎟%<br />
= 0,36%<br />
⎝ A0<br />
⎠<br />
0<br />
b) O aumento percentual <strong>da</strong> espessura.<br />
logo:<br />
∆L<br />
L<br />
0<br />
= α∆T<br />
= 0,0018<br />
⎛ ∆L<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎟%<br />
= 0,18%<br />
⎝ L0<br />
⎠<br />
c) O aumento percentual do volume.<br />
logo:<br />
∆V<br />
V<br />
0<br />
= β∆T<br />
= 3α∆T<br />
⎛ ∆V<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎟%<br />
= 0,54%<br />
⎝ V0<br />
⎠<br />
= 0,0054<br />
Cap 19 www.fisica.ufpb.br/~romero 19
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d) O aumento percentual <strong>da</strong> massa <strong>da</strong> moe<strong>da</strong>.<br />
A massa obviamente não se modifica quando aumenta a temperatura.<br />
e) O coeficiente de expansão linear <strong>da</strong> moe<strong>da</strong>.<br />
logo:<br />
d<br />
d − d ∆d<br />
= d<br />
T<br />
d d<br />
0<br />
( 1+<br />
α∆T<br />
) ∴ = = α∆<br />
0, 0018<br />
0<br />
=<br />
α<br />
∆d<br />
d ∆T<br />
0<br />
−6<br />
0 −1<br />
= = 18x10<br />
C<br />
0<br />
0<br />
Capítulo 19 - Halli<strong>da</strong>y, Resnick e Walker<br />
23 Um relógio de pêndulo com um pêndulo feito de latão é projetado para medir com<br />
precisão o tempo a 20 0 C . Se o relógio operar a 0 0 C , qual a intensi<strong>da</strong>de de seu<br />
erro, em segundos por hora? O relógio adianta ou atrasa?<br />
T i = 20 0 C<br />
T f = 0 0 C<br />
∆T = -20 0 C<br />
α L = 0,7x10 -6 0 C -1<br />
Τ = 2π<br />
O período do pêndulo Τ vai se alterar <strong>da</strong> seguinte maneira:<br />
l<br />
g<br />
ou seja:<br />
Τ'<br />
Τ<br />
=<br />
2π<br />
2π<br />
l'<br />
g<br />
l<br />
g<br />
=<br />
l'<br />
l<br />
=<br />
l(1<br />
+ α<br />
L∆T<br />
)<br />
=<br />
l<br />
Τ'<br />
= Τ 1+<br />
α ∆T L<br />
1+<br />
α ∆T<br />
L<br />
= 0,999997<br />
Como o tempo esfria, a haste do pêndulo se contrai diminuindo o seu tamanho,<br />
e portanto diminuindo o seu tempo correspondente ao seu período, ou seja : Τ’ <<br />
Τ. Desse modo, o mesmo intervalo de tempo passa a ter mais períodos que antes.<br />
Como o tempo é medido nesse tipo de relógio em relação ao número de períodos o<br />
relógio irá adiantar. Se inicialmente em 10s temos 10 períodos, depois do esfriamento<br />
teremos mais períodos neste intervalo de tempo, e o relógio irá indicar um intervalo<br />
de tempo maior que os 10s iniciais.<br />
Imaginemos a medição de um certo a medição de um certo intervalo de tempo<br />
t que corresponde a um certo número n de períodos Τ . Temos então que:<br />
n = t<br />
Τ<br />
Para calcular qual intervalo de tempo t’ será medido quando a temperatura<br />
variar, devemos multiplicar o número de períodos n pelo valor do novo período Τ’ .<br />
Ou seja:<br />
Cap 19 www.fisica.ufpb.br/~romero 20
Prof. Romero Tavares <strong>da</strong> Silva<br />
⎛ Τ'<br />
⎞<br />
⎛ Τ'<br />
⎞ ⎛<br />
t'<br />
= n Τ'<br />
= t⎜<br />
⎟ ∴ ∆t<br />
= t − t'<br />
= t⎜1−<br />
⎟ = t⎜<br />
⎝ Τ ⎠<br />
⎝ Τ ⎠ ⎝<br />
∆Τ ⎞<br />
⎟<br />
Τ ⎠<br />
∆t<br />
= t<br />
1+<br />
α ∆T<br />
L<br />
= 7x10<br />
−6<br />
t<br />
t - intervalo ∆t - atraso<br />
1 hora 0,0252s<br />
1 dia 0,6048s<br />
1 mês 18,144s<br />
Capítulo 19 - Halli<strong>da</strong>y, Resnick e Walker<br />
25 Como resultado de uma elevação de temperatura de 32 0 C , uma barra com uma fissura<br />
no seu centro empena para cima. Se a distância fixa L 0 for 3,77m e o coeficiente<br />
de expansão linear <strong>da</strong> barra for 25x10 -6 / 0 C , determine a elevação x do centro<br />
<strong>da</strong> barra.<br />
∆T = 32 0 C<br />
L 0 = 3,77m<br />
α = 25x10 -6 0 C -1<br />
e<br />
ou seja:<br />
x<br />
L = L 0 ( 1 + α ∆T )<br />
⎛ L ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ 2 ⎠<br />
2<br />
2<br />
2<br />
⎛ L0<br />
⎞<br />
= ⎜ ⎟<br />
⎝ 2 ⎠<br />
+ x<br />
2<br />
⎛ L ⎡<br />
0 ⎞ ⎛ L ⎞<br />
= ⎜ ⎟ ⎢1<br />
−<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎝ 2 ⎠ ⎢<br />
⎣ ⎝ L0<br />
⎠<br />
2<br />
2<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎦<br />
x<br />
L 0<br />
L 0<br />
L0<br />
x = α<br />
0<br />
0754<br />
2<br />
2<br />
( 1+<br />
∆T<br />
) − 1 = 0,02L<br />
= 0, m<br />
Capítulo 19 - Halli<strong>da</strong>y, Resnick e Walker – Edição antiga<br />
“32” Consideremos um termômetro de mercúrio em vidro. Suponhamos que a seção<br />
transversal do capilar seja constante, A 0 , e que V 0 seja o volume do tubo do termômetro<br />
a 0 0 C . Se o mercúrio for exatamente o suficiente para encher o tubo a<br />
0 0 C , mostre que o comprimento L <strong>da</strong> coluna de mercúrio no capilar, depois de<br />
uma variação de temperatura ∆T , será:<br />
V0<br />
L = α<br />
A<br />
0<br />
( β − 3 ) ∆T<br />
ou seja: é proporcional à temperatura; β é o coeficiente de dilatação volumétrica do<br />
mercúrio e α é o coeficiente de dilatação linear do vidro.<br />
Cap 19 www.fisica.ufpb.br/~romero 21
Prof. Romero Tavares <strong>da</strong> Silva<br />
Quando a temperatura varia, o volume do tubo esférico<br />
de vidro varia para V V e o mercúrio que o<br />
preenchia inicialmente, varia para V M . desse<br />
modo, temos que:<br />
V M = V 0 ( 1 + β M ∆T )<br />
e<br />
V V = V 0 ( 1 + β V ∆T )<br />
L<br />
Se existir um aumento de temperatura, o mercúrio<br />
transbor<strong>da</strong>rá do tubo esférico.<br />
Seja ∆V o volume de mercúrio que transbor<strong>da</strong>rá:<br />
Mas<br />
logo<br />
∆V = V M – V V = V 0 ( 1 + β M ∆T ) - V 0 ( 1 + β V ∆T ) = V 0 (β M - β V ) ∆T<br />
∆V = A 0 L<br />
∆V = V 0 (β M - β V ) ∆T = A 0 L<br />
Como temos que β M = β e β V = 3 α , teremos:<br />
V0<br />
L = α<br />
A<br />
0<br />
( β − 3 ) ∆T<br />
Capítulo 19 - Halli<strong>da</strong>y, Resnick e Walker – Edição antiga<br />
“33” Dois tubos verticais contém um líquido e estão ligados, pelas extremi<strong>da</strong>des inferiores,<br />
por um tubo capilar horizontal. Um dos tubos verticais encontra-se em um banho<br />
que contém gelo e água em equilíbrio (0 0 C) e o outro está em um banho de<br />
água quente (t 0 C) . A diferença entre as alturas nas colunas líqui<strong>da</strong>s nos dois tubos<br />
é ∆h ; h 0 é a altura <strong>da</strong> coluna a 0 0 C .<br />
a) Mostrar que esse aparelho,<br />
usado originalmente por Dulong<br />
e Petit em 1816, pode<br />
∆h<br />
ser utilizado para medir o ver<strong>da</strong>deiro<br />
coeficiente de dilatação<br />
0 0 C t 0 C<br />
β de um líquido ( e não a<br />
dilatação diferencial entre ele<br />
h 0<br />
e o vidro.<br />
Como os tubos verticais 1 2<br />
se comunicam e estão conectados<br />
por um tubo capilar<br />
horizontal, as suas pressões nos pontos mais baixos são iguais, ou seja:<br />
p 1 = p 2 ∴ p 0 + ρ 1 gh 0 = p 0 + ρ 2 g(h 0 + ∆h) ⇒ h 0 (ρ 1 -ρ 2 ) = ρ 2 ∆h<br />
É o mesmo líquido que preenche os dois tubos e o capilar, e portanto o peso<br />
desse líquido na coluna direita é igual ao peso na coluna esquer<strong>da</strong>. As colunas<br />
Cap 19 www.fisica.ufpb.br/~romero 22
Prof. Romero Tavares <strong>da</strong> Silva<br />
têm alturas diferentes devido a diferença de densi<strong>da</strong>de dos líquidos, e as densi<strong>da</strong>des<br />
são diferentes por as temperaturas nas colunas são diferentes. Como os<br />
pesos <strong>da</strong>s colunas são iguais, temos que as massas de líquido nas colunas são<br />
iguais. A densi<strong>da</strong>de é defini<strong>da</strong> como:<br />
ou seja:<br />
logo:<br />
⎛ M<br />
h0<br />
⎜<br />
⎝V1<br />
−<br />
M<br />
V<br />
2<br />
⎞<br />
⎟ =<br />
⎠<br />
M<br />
V<br />
2<br />
∆h<br />
M<br />
ρ =<br />
V<br />
⇒<br />
h 0 (V 2 – V 1 ) = V 1 ∆h<br />
⎛V2<br />
−V1<br />
⎞ ∆h<br />
h0M<br />
⎜ = M<br />
V1V<br />
⎟<br />
⎝ 2 ⎠ V2<br />
As massas <strong>da</strong>s colunas são iguais, e os volumes são diferentes devido a diferença<br />
de temperatura, logo eles estão relacionados como:<br />
onde<br />
ou seja:<br />
e portanto:<br />
V<br />
2<br />
−V<br />
1<br />
V 2 = V 1 ( 1 + β ∆T )<br />
∆T = t – 0 0 C = t<br />
V 2 – V 1 = V 1 β t<br />
V1∆h<br />
= = V1βt<br />
h<br />
0<br />
∴<br />
β =<br />
∆h<br />
h t<br />
0<br />
b) Determine β sabendo-se que quando t = 16 0 C , tem-se h 0 =126cm e<br />
∆h=1,5cm .<br />
β = 7,4x10 -4 0 C -1<br />
Capítulo 19 - Halli<strong>da</strong>y, Resnick e Walker<br />
35 Um pequeno aquecedor elétrico de imersão é usado para aquecer 100g de água<br />
para uma xícara de café instantâneo. O aquecedor está rotulado com “200Watts” , o<br />
que significa que ele converte energia elétrica em energia térmica com essa taxa.<br />
Calcule o tempo necessário para levar to<strong>da</strong> essa água de 23 0 C para 100 0 C , ignorando<br />
quaisquer per<strong>da</strong>s.<br />
m = 100g<br />
Ρ = 200W<br />
c = 1cal/g. 0 C<br />
T i = 23 0 C<br />
T f = 100 0 C<br />
ou seja:<br />
Mas<br />
Q = m . c . ∆T = 100. 1 . (100 – 23) = 7.700cal<br />
Q = 32.232,2 Joules<br />
Q Q 32.233,2Joules<br />
Ρ = ⇒ t = =<br />
= 161,1s<br />
t<br />
Ρ 200Watts<br />
Cap 19 www.fisica.ufpb.br/~romero 23
Prof. Romero Tavares <strong>da</strong> Silva<br />
Capítulo 19 - Halli<strong>da</strong>y, Resnick e Walker - 4 a . edição<br />
43 Que massa de vapor d’água a 100 0 C deve ser mistura<strong>da</strong> com 150g de gelo no seu<br />
ponto de fusão, em um recipiente isolado termicamente, para produzir água líqui<strong>da</strong> a<br />
50 0 C ?<br />
m G = 150g<br />
c = 1cal/g. 0 C<br />
L F = 79,5cal/g<br />
L V = 539cal/g<br />
T 1 = 0 0 C<br />
T 2 = 50 0 C<br />
T 3 = 100 0 C<br />
Como todo esse material está isolado, a quanti<strong>da</strong>de de calor que esse sistema troca<br />
com a vizinhança é nulo. Se um material que tem calor específico c , com massa M,<br />
varia a sua temperatura de T i até T f ele absorveu de sua vizinhança uma quanti<strong>da</strong>de<br />
de calor Q , <strong>da</strong><strong>da</strong> por<br />
Q = M . c . (T f – T i )<br />
Se Q < 0 dizemos que ele cedeu calor para a vizinhança. Por outro lado se uma<br />
massa M de gelo se transforma em água ela absorveu calor M L F <strong>da</strong> vizinhança, e<br />
se vapor d’água de transforma em líquido ele cedeu calor M L V para a vizinhança.<br />
Desse modo, temos que:<br />
∆Q = 0<br />
Logo<br />
ou seja:<br />
+ m G L F + m G . c . (T 2 – T 1 ) – m L V + m . c . (T 2 – T 3 ) = 0<br />
m<br />
m =<br />
G<br />
L<br />
L<br />
F<br />
V<br />
+ m<br />
+ c<br />
Gc( T2<br />
−T1<br />
)<br />
( T −T<br />
)<br />
3<br />
m = 32,97g<br />
2<br />
Capítulo 19 - Halli<strong>da</strong>y, Resnick e Walker - 4 a . edição<br />
46 Uma garrafa térmica isola<strong>da</strong> contém 130cm 3 de café quente, a uma temperatura de<br />
80 0 C . Você insere um cubo de gelo de 12g no seu ponto de fusão para esfriar o<br />
café. De quantos graus o seu café esfriou quando o gelo se derreteu? Trate o café<br />
como se ele fosse água pura e despreze as transferências de energia para o ambiente.<br />
ρ A = 1g/cm 3 ,<br />
Mas<br />
m A = ρ A . V A<br />
logo:<br />
V A = 130cm 3 ⇒ m A = 130g<br />
L F = 79,5cal/g<br />
m A = 130g<br />
T A = 80 0 C<br />
Como o sistema está isolado, temos que<br />
m G = 12g<br />
T G = 0 0 C<br />
∆Q = 0<br />
ou seja:<br />
m A . c . (T F – T A ) + m G L F + m G . c . (T F – T G ) = 0<br />
Cap 19 www.fisica.ufpb.br/~romero 24
Prof. Romero Tavares <strong>da</strong> Silva<br />
Mas<br />
ou seja:<br />
T<br />
F<br />
mAcTA<br />
+ mGcTG<br />
− mGLF<br />
= = 66,52 0 C<br />
m c + m c<br />
A<br />
∆T = T A – T F = 80 0 C – 66,52 0 C<br />
∆T = 13,48 0 C<br />
G<br />
Capítulo 19 - Halli<strong>da</strong>y, Resnick e Walker - 4 a . edição<br />
49 Uma amostra de gás se expande de 1m 3 para 4m 3 enquanto a sua pressão diminui<br />
de 40Pa para 10Pa . Quanto trabalho é realizado pelo gás se a sua pressão varia<br />
com o volume passando por ca<strong>da</strong> uma <strong>da</strong>s três trajetórias mostra<strong>da</strong>s no diagrama p-<br />
V <strong>da</strong> figura ao lado?<br />
W B<br />
∫<br />
= W12 = p dV<br />
Para calcular esta integral devemos<br />
saber com a pressão p varia<br />
com o volume V ao longo <strong>da</strong><br />
trajetória B . Através do gráfico<br />
constatamos que a curva é uma<br />
reta, do tipo:<br />
2<br />
1<br />
1<br />
4<br />
A<br />
B<br />
C<br />
3<br />
2<br />
p = a V + b<br />
onde<br />
e<br />
ou seja:<br />
e desse modo:<br />
logo:<br />
Por outro lado:<br />
ou seja:<br />
e também:<br />
ou seja:<br />
W<br />
p2<br />
− p1<br />
10 − 40<br />
a = = = - 10 Pa/m 3<br />
V −V<br />
4 − 1<br />
2<br />
1<br />
b = p 1 – a V 1 ⇒ b = 50Pa<br />
p = -10 V + 50<br />
V<br />
4<br />
2<br />
2<br />
V<br />
B<br />
= ∫ ( − 10V<br />
+ 50)<br />
dV = −10<br />
+<br />
2<br />
V1<br />
1<br />
50V<br />
W B = 75Joules<br />
W C = W 14 + W 42 = W 42 = (10Pa) . (4-1)m 3<br />
W C = + 30Joules<br />
W A = W 13 + W 32 = W 32 = (40Pa) . (4-1)m 3<br />
W A = + 120Joules<br />
4<br />
1<br />
Cap 19 www.fisica.ufpb.br/~romero 25
Prof. Romero Tavares <strong>da</strong> Silva<br />
Capítulo 19 - Halli<strong>da</strong>y, Resnick e Walker - 4 a . edição<br />
50. Um sistema termodinâmico é levado de um estado inicial A para um outro estado B<br />
e de volta ao estado A , passando pelo estado C, como é mostrado pela trajetória<br />
ABCA no diagrama p-V <strong>da</strong> figura à seguir.<br />
Q W ∆E INT<br />
A → B + + +<br />
B → C + 0 +<br />
C → A - - -<br />
a) Complete a tabela acima preenchendo-a<br />
com + ou -<br />
para o sinal de ca<strong>da</strong> grandeza<br />
termodinâmica associa<strong>da</strong> com<br />
ca<strong>da</strong> etapa do ciclo.<br />
A primeira lei <strong>da</strong> termodinâmica diz que:<br />
A<br />
C<br />
B<br />
A → B<br />
mas como ∆E AB > 0 ,<br />
B → C<br />
mas como Q BC > 0 ,<br />
C → A<br />
∆E = Q - W<br />
W AB = p A (V B – V A ) > 0<br />
Q AB > W AB > 0<br />
W BC = 0<br />
∆E BC > 0<br />
A<br />
WCA<br />
= ∫ p dV 〈 0<br />
C<br />
pois envolve uma compressão: V C > V A . Por outro lado:<br />
e<br />
ou seja:<br />
e portanto<br />
∆E AB = E B – E A > 0<br />
∆E BC = E C - E B > 0<br />
E C – E A > 0<br />
∆E CA = E A – E C < 0<br />
Como ∆E CA < 0 e W CA < 0 , podemos usar a primeira lei <strong>da</strong> termodinâmica e<br />
concluir que Q CA < 0 .<br />
b) Calcule o valor numérico do trabalho realizado pelo sistema para o ciclo ABCA<br />
completo.<br />
O trabalho é a área abaixo <strong>da</strong> curva no gráfico p versus V. Em um ciclo, o<br />
Cap 19 www.fisica.ufpb.br/~romero 26
Prof. Romero Tavares <strong>da</strong> Silva<br />
trabalho W será a área no interior <strong>da</strong> curva. Como já foi explicado W CA < 0 , e<br />
portanto o trabalho no ciclo será negativo.<br />
W<br />
=<br />
1<br />
( base).(<br />
altura)<br />
=<br />
2<br />
1<br />
(3<br />
2<br />
W = 20Joules<br />
− 1)(40 − 20) m<br />
3<br />
Pa<br />
Capítulo 19 - Halli<strong>da</strong>y, Resnick e Walker - 4 a . edição<br />
53 Quando um sistema é levado do estado i para o estado f ao longo <strong>da</strong> trajetória iaf<br />
na figura à seguir, Q = 50cal e W = 20cal . Ao longo <strong>da</strong> trajetória ibf , Q = 36cal .<br />
a) Qual o valor de W ao longo <strong>da</strong> trajetória ibf ?<br />
e<br />
⎧Q<br />
= 50cal<br />
iaf : ⎨<br />
⎩W<br />
= 20cal<br />
ibf : { Q = 36cal<br />
Usando a primeira lei <strong>da</strong> termodinâmica,<br />
encontramos que:<br />
∆E if = Q iaf – W iaf = 30cal<br />
p<br />
a<br />
i<br />
f<br />
b<br />
V<br />
Mas, por outro lado<br />
ou seja:<br />
∆E if = Q ibf – W ibf<br />
W ibf = Q ibf - ∆E if = 6cal<br />
b) Se W = -13cal para a trajetória de volta fi , qual será Q para essa trajetória?<br />
logo:<br />
∆E if = E f – E i ∴ ∆E fi = E i – E f = - ∆E if = - 30cal<br />
Q fi = ∆E fi + W fi = - 43cal<br />
c) Considere E i = 10cal , qual é o valor de E f ?<br />
∆E if = E f – E i ∴ E f = ∆E if + E i = 30cal + 10cal = 40cal<br />
d) Considere E b = 22cal , qual o valor de Q para as trajetórias ib e bf ?<br />
e<br />
Mas W bf = 0 , logo<br />
∆E ib = E b – E i = 22 – 10 = 12cal<br />
∆E bf = E f – E b = 40 – 22 = 18cal<br />
W ibf = W ib + W bf<br />
W ib = W ibf = 6cal<br />
Cap 19 www.fisica.ufpb.br/~romero 27
Prof. Romero Tavares <strong>da</strong> Silva<br />
Portanto:<br />
Q ib = ∆E ib + W ib = 12 + 6 = 18cal<br />
Q bf = ∆E bf + W bf = 18 + 0 = 18cal<br />
Capítulo 19 - Halli<strong>da</strong>y, Resnick e Walker - 4 a . edição<br />
57 Considere a placa mostra<strong>da</strong> na figura à seguir. Suponha que L = 25cm , A = 90cm 2<br />
e que o material seja cobre. Se T Q = 125 0 C , T F = 10 0 C e for alcançado o regime<br />
permanente, encontre a taxa de condução através <strong>da</strong> placa.<br />
k Cu = 401W/m.K<br />
L<br />
Ρ =<br />
dQ<br />
dt<br />
T<br />
= kA<br />
T<br />
L<br />
Q −<br />
−4<br />
2 125 − 10<br />
( 90x10<br />
m )<br />
2<br />
Ρ = 401.<br />
−<br />
25x10<br />
F<br />
T Q<br />
T F<br />
Ρ = 1.660,14 Watts<br />
T Q > T F<br />
Capítulo 19 - Halli<strong>da</strong>y, Resnick e Walker - 4 a . edição<br />
60 Quatro pe<strong>da</strong>ços de isolantes feitos de dois materiais diferentes, todos com a mesma<br />
espessura L e área A , estão disponíveis para cobrir uma abertura de área 2 A .<br />
Isto pode ser feito de duas maneiras mostra<strong>da</strong>s na figura ao lado. Que arranjo (a) ou<br />
(b) , fornece o menor fluxo de energia se k 1 ≠ k 2 .<br />
Se tivermos apenas uma placa de condutivi<strong>da</strong>de<br />
térmica k ; área A ; e comprimento L entre duas<br />
fontes de calor, o fluxo de calor Ρ será <strong>da</strong>do<br />
por<br />
dQ TQ TF<br />
Ρ = = kA<br />
−<br />
dt L<br />
k 2<br />
k 1<br />
k 2 k 2<br />
(a)<br />
(b)<br />
Se tivermos duas placas entre duas fontes de calor, o fluxo de calor Ρ será <strong>da</strong>do por<br />
Ρ =<br />
dQ<br />
dt<br />
A T<br />
=<br />
L2<br />
k<br />
( −T<br />
)<br />
Vamos considerar que nos casos a e b , os arranjos estão entre duas fontes de<br />
calor com temperaturas T Q e T F .<br />
No arranjo a , dois pares de placas iguais formam o conjunto: duas placas com k 1 e<br />
duas placas com k 2 . O fluxo de calor através <strong>da</strong>s placas k 1 tem a forma:<br />
Cap 19 www.fisica.ufpb.br/~romero 28<br />
2<br />
Q<br />
L<br />
+<br />
k<br />
1<br />
1<br />
F
Prof. Romero Tavares <strong>da</strong> Silva<br />
⎧ TQ<br />
−TF<br />
⎪Ρ1<br />
= k1A<br />
⎪ 2L<br />
⎛ k + ⎞ ⎛T<br />
−T<br />
1<br />
k<br />
2 Q F ⎞<br />
⎨<br />
⇒ Ρ = Ρ + Ρ = ⎜ ⎟A<br />
⎜<br />
⎟<br />
A 1 2<br />
⎪ T −T<br />
⎝ 2 ⎠ ⎝ L ⎠<br />
Q F<br />
⎪Ρ2<br />
= k<br />
2A<br />
⎩<br />
2L<br />
No arranjo b duas placas diferentes formam um conjunto, e dois desses conjuntos<br />
formam o arranjo. O fluxo através de ca<strong>da</strong> arranjo será <strong>da</strong>dos por:<br />
TQ<br />
−TF<br />
⎛ k ⎞⎛T<br />
−T<br />
1k<br />
2 Q F ⎞<br />
Ρ = =<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎜<br />
⎟<br />
1<br />
A A<br />
L L ⎝ k1<br />
+ k<br />
2<br />
+<br />
⎠⎝<br />
L ⎠<br />
k1<br />
k<br />
2<br />
Como os fluxos nos dois conjuntos são iguais:<br />
⎛ k ⎞⎛T<br />
−T<br />
1k<br />
2 Q F ⎞<br />
Ρ = Ρ =<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎜<br />
⎟<br />
B<br />
2<br />
1<br />
A 2<br />
⎝ k1<br />
+ k<br />
2 ⎠⎝<br />
L ⎠<br />
Para encontrar em qual arranjo teremos o maior fluxo, vamos calcular a razão:<br />
ou seja:<br />
( k + k )<br />
1<br />
4k<br />
k<br />
1<br />
2<br />
2<br />
2<br />
〉 1<br />
⇒<br />
Ρ<br />
Ρ<br />
k<br />
⎛ k + k<br />
⎜<br />
=<br />
⎝<br />
⎛ k1k<br />
2<br />
⎜2<br />
⎝ k1<br />
+ k<br />
1 2<br />
A<br />
2<br />
1<br />
+<br />
B<br />
2<br />
1<br />
+ k<br />
2<br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
2<br />
+ 2k<br />
k<br />
1<br />
2<br />
=<br />
〉 4k<br />
k<br />
( k k )<br />
1<br />
2<br />
( k − k ) 0<br />
1 2<br />
〉<br />
4k<br />
k<br />
2<br />
1<br />
2<br />
2<br />
⇒<br />
2<br />
k<br />
2<br />
1<br />
+ k<br />
2<br />
2<br />
− 2k<br />
k<br />
1<br />
2<br />
〉 0<br />
E como a equação anterior é sempre ver<strong>da</strong>deira, concluímos que:<br />
Ρ A > Ρ B<br />
Capítulo 19 - Halli<strong>da</strong>y, Resnick e Walker - 4 a . edição<br />
61 Duas hastes metálicas retangulares idênticas são sol<strong>da</strong><strong>da</strong>s extremi<strong>da</strong>de com extremi<strong>da</strong>de,<br />
como mostrado na figura (a) , e 10J são conduzidos (em um processo em<br />
regime estacionário) através <strong>da</strong>s hastes sob a forma de calor em 2min . Quanto<br />
tempo levaria para que 10J fossem conduzidos através <strong>da</strong>s hastes se elas fossem<br />
sol<strong>da</strong><strong>da</strong>s uma na outra como mostrado na figura (b) ?<br />
A<br />
dQ A( TQ<br />
−TF<br />
)<br />
Ρ = =<br />
dt L2<br />
L<br />
0 0 C 100 0 C<br />
1<br />
+<br />
k k<br />
Ρ<br />
A<br />
=<br />
( T −T<br />
)<br />
A<br />
L<br />
k<br />
2<br />
Q<br />
L<br />
+<br />
k<br />
1<br />
F<br />
2<br />
⎛ k1k<br />
2<br />
= A<br />
⎜<br />
⎝ k1<br />
+ k<br />
1<br />
2<br />
⎞⎛T<br />
⎟<br />
⎜<br />
⎠⎝<br />
Q<br />
−T<br />
L<br />
F<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
0 0 C 100 0 C<br />
B<br />
Cap 19 www.fisica.ufpb.br/~romero 29
Prof. Romero Tavares <strong>da</strong> Silva<br />
logo:<br />
A razão entre os fluxos:<br />
e como as placas são iguais:<br />
T<br />
Ρ = kA<br />
Q −<br />
L<br />
( k + k )<br />
Ρ = A<br />
1 2<br />
B<br />
Ρ<br />
Ρ<br />
A<br />
B<br />
Ρ<br />
Ρ<br />
=<br />
A<br />
B<br />
1<br />
4<br />
=<br />
k k<br />
T<br />
T<br />
Q<br />
F<br />
( k + k ) 2<br />
1<br />
⇒<br />
1<br />
Ρ<br />
2<br />
2<br />
B<br />
−T<br />
L<br />
F<br />
= 4Ρ<br />
A<br />
⎧<br />
⎪Ρ<br />
⎪<br />
⎨<br />
⎪<br />
⎪Ρ<br />
⎩<br />
A<br />
B<br />
Q<br />
=<br />
t<br />
A<br />
Q<br />
=<br />
t<br />
Como Q A = Q B<br />
4<br />
B<br />
A<br />
B<br />
⇒<br />
Ρ<br />
Ρ<br />
A<br />
B<br />
Q<br />
=<br />
Q<br />
A<br />
B<br />
t<br />
t<br />
B<br />
A<br />
ou seja:<br />
Ρ<br />
A<br />
t<br />
B<br />
= t<br />
A<br />
=<br />
ΡA<br />
t B = 0,5min<br />
t<br />
A<br />
Capítulo 19 - Halli<strong>da</strong>y, Resnick e Walker - 4 a . edição<br />
65 Um tanque de água ficou destampado em tempo frio, e uma placa de gelo de 5cm<br />
de espessura se formou na sua superfície. O ar acima do gelo está a -10 0 C . Calcule<br />
a taxa de formação de gelo (em centímetros por hora) na placa de gelo. Adote a condutivi<strong>da</strong>de<br />
térmica e massa específica do gelo como 0,0040cal/s.cm. 0 C e<br />
0,92g/cm 3 . Suponha que não haja transferência de energia através <strong>da</strong>s paredes ou<br />
pelo fundo do tanque.<br />
k = 0,0040cal/s.cm. 0 C<br />
ρ = 0,92g/cm 3<br />
L F = 79,5cal/g<br />
T 1 = -10 0 C<br />
T 2 = 0 0 C<br />
L = 5cm<br />
Vamos considerar que a cama<strong>da</strong> de gelo<br />
vá se aprofun<strong>da</strong>ndo, de modo que num<br />
intervalo de tempo dt , se forme uma cama<strong>da</strong><br />
de gelo de área A e espessura<br />
dx , ou seja, se formaria um volume de<br />
gelo dV = A dx , e a esse volume corresponde<br />
uma massa dM , tal que:<br />
T 1<br />
Gelo<br />
T 2<br />
Água<br />
Ar<br />
5cm<br />
Cap 19 www.fisica.ufpb.br/~romero 30
Prof. Romero Tavares <strong>da</strong> Silva<br />
dM = ρ dV = ρ A dx<br />
A quanti<strong>da</strong>de de calor que deve ser retira<strong>da</strong> para a formação deste cama<strong>da</strong> de gelo,<br />
é <strong>da</strong><strong>da</strong> por:<br />
dQ = - L F dM = - ρ A L F dx<br />
A taxa de calor retirado no tempo, ou fluxo de calor será <strong>da</strong><strong>da</strong> por:<br />
dQ<br />
dt<br />
= −ρAL<br />
onde dx/dt é a veloci<strong>da</strong>de com que a cama<strong>da</strong> dx de gelo aumenta, ou seja é a taxa<br />
de formação <strong>da</strong> placa de gelo. Mas por outro lado, o fluxo de calor que sai do gelo<br />
para a atmosfera através <strong>da</strong> placa de gelo já forma<strong>da</strong> é <strong>da</strong><strong>da</strong> por:<br />
F<br />
dx<br />
dt<br />
dQ T2 −T<br />
= kA<br />
1<br />
dt L<br />
Como o gelo irá sendo formado como consequência desse fluxo, temos que:<br />
ou seja:<br />
e ain<strong>da</strong><br />
dx<br />
dt<br />
dQ<br />
dt<br />
= −ρAL<br />
F<br />
dx<br />
dt<br />
T<br />
= kA<br />
2<br />
−<br />
k T T1<br />
= =1,09x10 -4 cm/s<br />
ρ L L<br />
F<br />
2<br />
−<br />
dx = 0,39cm/hora<br />
dt<br />
L<br />
T<br />
1<br />
Cap 19 www.fisica.ufpb.br/~romero 31