7 DIFERENCIABILIDADE Assim como a derivada de uma função de ...

DIFERENCIABILIDADE
Assim como a derivada de uma função de uma variável está ligada à reta tangente ao gráfico da
função, as derivadas parciais estão relacionadas com o plano tangente ao gráfico de uma função de
duas variáveis, porém, somente a existência das derivadas parciais não garante a existência deste
plano. Vamos agora definir diferenciabilidade para funções de duas variáveis.
Definição: Seja f
: A R → R . Dizemos que f ( x,
y)
é diferenciável no ponto x , ) se as
⊂ 2
∂f
derivadas parciais ( x 0,
y ∂f
0)
e ( , 0 )
∂x
x 0
∂y
y existem e se
lim
( x,
y)
→(
x0 , y0 )
64444444444
74444444444
8
⎡ ∂f
∂f
⎤
f ( x,
y)
− ⎢ f ( x0,
y0
) + ( x0,
y0
)( x − x0
) + ( x0,
y0
)( y − y0
) ⎥
⎣ ∂x
∂y
⎦
= 0
2
2
( x − x ) + ( y − y )
0
h(
x,
y)
0
( 0 y 0
De uma maneira informar dizemos que f(x,y) é diferenciável em x , ) se o plano dado por (1) nos
( 0 y 0
(1)
fornece uma “boa aproximação” para f(x,y) perto de x , ) . Ou seja, para ( x , y ) próximo de
( 0 y 0
( x 0,
y 0)
, a diferença entre f(x,y) e h(x,y) está próxima de zero.
Teorema: Se f(x,y) é diferenciável no ponto x , ) então f é contínua nesse ponto.
( 0 y 0
Exemplo:
1) Usando a definição, provar que a função
2
2
f ( x,
y)
= x + y é diferenciável em
2
R .
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2) A função
f
⎧
2
x
⎪ , ( x,
y)
≠ (0,0)
2
x,
y)
= ⎨ x + y
é diferenciável na origem?
⎪
⎩0,
( x,
y)
= (0,0)
(
2
Proposição (Condição suficiente para diferenciabilidade): Seja x , y ) ∈ D(
) . Se f(x,y) possui
( 0 0 f
∂f
∂f
derivadas parciais e em um conjunto aberto A que contém ( x 0,
0)
∂x
∂y
y e se estas derivadas
parciais são contínuas em x , ) , então f é diferenciável em x , ) .
( 0 y 0
( 0 y 0
Exemplos:
2 2
1) Verifique que a função f ( x,
y)
= sen(
x + y ) é diferenciável em
2
R .
2) Em que conjunto a função
2
2
f ( x,
y)
= x + y é diferenciável?
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PLANO TANGENTE
Definição: Seja f : A R → R uma função diferenciável no ponto ( x 0,
y 0)
, chamamos de plano
tangente ao gráfico de f no ponto (x 0 ,y 0 ,f(x 0 ,y 0 )) ao plano dado pela equação:
∂f
∂f
z = f ( x0,
y0
) + ( x0,
y0)(
x − x0
) + ( x0,
y0
)( y − y0
) .
∂x
∂y
⊂ 2
Exemplos:
1) Determinar se existir, o plano tangente ao gráfico da função
2
2
z = x + y no ponto (1,1,2).
2) Determinar se existir, o plano tangente ao gráfico da função
2
2
z = x + y no ponto (0,0,0).
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VETOR GRADIENTE
Utilizando produto escalar de dois vetores, a equação do plano tangente pode ser reescrita como:
⎛ ∂f
∂f
⎞
z = f ( x0,
y0
) + ⎜ ( x0,
y0
), ( x0,
y0
) ⎟.(
x − x0,
y − y0
)
⎝ ∂x
∂y
14444
24444
3⎠
Vetor gradiente de f em (x 0 ,y 0 )
Definição: Seja f ( x,
y)
uma função que admite derivadas parciais em de primeira ordem em
( x 0,
y 0)
. O vetor ⎛ ∂f
∂f
⎞
∇ f ( x0,
y0
) = ⎜ ( x0,
y0
), ( x0,
y0
) ⎟
⎝ ∂x
∂y
⎠
denomina-se gradiente de f em (x 0 ,y 0 ).
Notação: ∇ f x 0,
y ) ou grad f x 0 , y )
( 0
( 0
Geometricamente, interpretamos ∇ f x 0,
y ) como um vetor aplicado no ponto x , ) , isto é,
( 0
transladado paralelamente da origem para o ponto x , ) .
( 0 y 0
( 0 y 0
Analogamente definimos vetor gradiente de funções de mais de duas variáveis. Para uma função de
três variáveis por exemplo temos:
⎛ ∂f
∂f
∂f
⎞
∇ f ( x0,
y0,
z0
) = ⎜ ( x0,
y0
), ( x0,
y0
), ( x0,
y0
) ⎟
⎝ ∂x
∂y
∂z
⎠
Exemplo:
2 2
1) Seja f ( x,
y)
= x + y . Calcule ∇ f (1,1 ) e represente graficamente este vetor.
Proposição: Seja f(x,y) uma função tal que pelo ponto P x , ) passa uma curva de nível C k de f.
0 ( 0 y0
Se ∇ f x 0,
y ) for não nulo, então ele é perpendicular à curva C k em x , ) , isto é, ∇ f x 0 , y ) é
( 0
perpendicular à reta tangente à curva C k no ponto x , ) .
( 0 y 0
Esta proposição pode ser generalizada para funções de três:
( 0 y 0
( 0
Proposição: Seja f(x,y,z) uma função tal que, através de um ponto P x , y , ) passa uma
0 ( 0 0 z0
( x0,
y0,
z0
superfície de nível S k de f. Se ∇ f ( x0,
y0,
z0
) for não nulo, então ∇ f ) é normal a S em P 0 .
OBS: Futuramente, quando estudarmos máximos e mínimos de funções de duas variáveis, veremos
que os pontos de máximo e mínimo locais de uma função diferenciável estão onde ∇f = 0 .
Exemplos:
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