Lista 7 - Unesp

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11. Uma função diferenciável f(x, y) tem, no ponto (1, 1), derivada direcional igual a 3 na direção
(3, 4) e igual a −1 na direção (4, −3). Calcule:
(a) ∇f(1, 1),
(b) ∂f (1, 1) onde u é o versor de (1, 1).
∂u
12. Seja f(x, y) = xy. Determine uma parametrização para a trajetória descrita por um ponto P
que se desloca, a partir do ponto (1,2), sempre na direção e sentido de máximo crescimento de
f.
13. Seja f(x, y) = xy. Determine a reta tangente ao gráfico da f, no ponto (1, 2, f(1, 2)), que forma
com o plano xy ângulo máximo.
14. Expresse g ′ (t) em termos das derivadas parciais da f, sendo g dada por:
(a) g(t) = ∂f
∂x (x, y), x = t2 e y = sen t.
(b) g(t) = t 3 ∂f (3t, 2t).
∂x
(c) g(t) = ∂f
∂x (t2 , 2t) + 5 ∂f
∂y
(sen 3t, t).
15. Expresse g ′′ (t) em termos de derivadas parciais de f, sendo g(t) = f(5t, 4t).
16. Considere a função h(x, y) = f(x 2 + y 2 , x 2 − y 2 ), onde f(u, v) é suposta de classe C 2 . Verifique
que
[ ] [ ]
∂ 2 h ∂f
∂x (x, y) = 2 ∂f
∂
(u, v) + 2 ∂u ∂v (u, v) + 4x 2 2 f
∂u (u, v) + 2 ∂2 f
2 ∂u∂v (u, v) + ∂2 f
∂v (u, v), 2
onde u = x 2 + y 2 e v = x 2 − y 2 .
17. Considere a função z = ∂f (x, sen 3x). Verifique que
∂x
dz
dx = ∂2 f
∂x (x, sen 3x) + 3 cos 3x ∂2 f
(x, sen 3x).
2 ∂y∂x
18. Seja v(r, θ) = u(x, y) onde x = r cos θ e y = r sen θ. Verifique que
∂ 2 u
∂x + ∂2 u
2 ∂y = ∂2 v
2 ∂r + 1 ∂v
2 r ∂r + 1 ∂ 2 v
r 2 ∂θ . 2
19. SEjam z = z(x, y), x = e u cos v e y = e u sen v. Suponha que ∂2 z
∂x + ∂2 z
= 0. Calcule
2 ∂y2 ∂ 2 z
∂u 2 + ∂2 z
∂v 2 .