AS FORMULAS RESOLVENTES.pdf

( )
a0 + ib0 x + a1 + ib1
= 0
com a j
,b j
∈R, (j=0,1), a 0
≠ 0 ou b 0
≠ 0 , e onde i é a unidade imaginária.
( 2)
Uma tal equação pode escrever-se na forma equivalente:
a
a0 + ib0
x
+
a
( )
+ ib
+ ib
1 1
0 0
a1 + ib1
= 0 ⇔ x + = 0.
a0 + ib
0
A equação (3) é uma equação binómia, de resolução muito simples, que não requer, sequer, o recurso
à radiciação para ser resolvida, tendo-se:
( 3)
a
x +
a
+ ib
+ ib
1 1
0 0
a1 + ib1
= 0 ⇔ x = − ⋅
a0 + ib
0
( 4)
A expressão (4) constitui, pois, a fórmula resolvente da equação (2).
Seja, a título de exemplo, a equação:
Neste caso, tem-se:
2x
+ 3 − i = 0.
a + ib = 2 ∧ a + ib = 3 − i
0 0 1 1
pelo que a fórmula resolvente (4) fornece a solução da equação dada:
Para a nova equação:
ela pode escrever-se na forma equivalente:
sendo, pois:
3 i
x = − − 3 1
= − + i
2 2 2 .
( 2 + i) x − ( 1− 3i
) = 0
( 2 + i) x + ( − 1+ 3i
) = 0
a + ib = 2 + i ∧ a + ib = − 1+ 3i.
0 0 1 1
Assim, a solução da equação dada, recorrendo à fórmula resolvente, é:
Seja, desta vez, a equação:
i
x = − − 1 + 3
2 + i
( i)( i)
= − − 1 + 3 2 −
( 2 + i)( 2 − i)
2x + 3 = 0.
1 7
= − − i
5 5 .