AS FORMULAS RESOLVENTES.pdf

vão considerar-se, sem perda de generalidade, apenas equações com coeficientes reais. Considerar-se-á,
ainda, que a 0
= 1, pelo que se pretende encontrar uma fórmula resolvente para a equação:
com a j
∈ R, (j=1,2,3).
3 2
x + a x + a x + a =
1
2 3
0
Tal como se fez com a equação do segundo grau, procede-se à mudança de variável:
obtendo-se a nova equação:
x = y + h
3
2
( ) ( ) ( )
y + h + a y + h + a y + h + a =
1
2 3
0
ou seja:
2 2
( ) ( )
3
3 2
y + 3h + a1
y + 3h + 2ha1 + a2
y + h + a1h + a2h + a3
= 0.
( 10)
Para que esta equação não tenha termo em y 2 , terá de ser:
a1
3h + a1
= 0 ⇔ h = − ⋅
3
Introduzindo (11) em (10), obtém-se uma equação do terceiro grau em y , mas sem o termo em y 2 , ou
seja, do tipo:
com p, q ∈ R.
3
y + py + q = 0
( 12)
Significa isto, pois, que o objetivo de encontrar uma fórmula resolvente para a equação geral do
terceiro grau recai, afinal, na resolução de uma equação do tipo (12).
( 11)
Para resolver uma tal equação procede-se à nova mudança de variável:
obtendo-se:
ou seja:
y = u + v
3
( u + v) + p( u + v)
+ q = 0
3 3 2 2 3 3
u + v + 3u v + 3uv + p( u + v) + q = 0 ⇔ u + v + ( 3uv + p)( u + v)
+ q = 0.
Ora, a equação (13) terá solução se forem:
( 13)