Fórmulas práticas para cálculo de flechas de vigas ... - Editora DUNAS

Teoria e Prática na Engenharia Civil, n.18, p.63-70 Novembro, 2011Fórmulas práticas para cálculo de flechas de vigas de concretoarmadoPractical formulas for calculation of deflections of reinforcedconcrete beamsJosé Milton de AraújoEscola de Engenharia - FURG, Rio Grande, RSe-mail: ed.dunas@mikrus.com.brRESUMO: O objetivo deste trabalho é apresentar duas fórmulas práticas para o cálculo de flechas devigas de concreto armado. Essas fórmulas foram desenvolvidas a partir do modelo bilinear do CEB. Aprimeira fórmula permite calcular a flecha de vigas para diversos estágios do carregamento. Nessa fórmulautilizam-se as áreas de aço realmente existentes nas seções da viga. Uma segunda fórmula, independentedas armaduras, permite calcular a flecha de vigas para as cargas de serviço, antes mesmo do detalhamentodas armaduras. A precisão das duas fórmulas é demonstrada por comparação com o método bilinear.ABSTRACT: The subject of this work is to present two practical formulas for calculation of deflections ofreinforced concrete beams. Those formulas were developed with base in the bilinear model of CEB. Thefirst formula allows to calculate beam deflections in several stages of the loading. This formula uses theexistent reinforcement in the cross sections of the beam. A second formula allows to calculate deflectionsunder service loads, before of the detailing of the reinforcement. The precision of the two formulas isdemonstrated by comparison with the bilinear method.1 - INTRODUÇÃOEm trabalhos anteriores [1,2,3], o Autoranalisou diversos métodos disponíveis paracálculo de flechas de vigas de concreto armado.Nesses artigos foram analisados um modelo nãolinear, o método bilinear do CEB, o método doACI, o qual é adotado na NBR-6118, e umafórmula prática apresentada no CEB/90. Em outroartigo, o Autor propõe uma melhoria no modelodo ACI para cálculo de flechas de vigas [4].Nesses estudos ficou constatado que ambos osmétodos simplificados apresentam uma boaconcordância entre si e com o modelo não linear,no que se refere ao cálculo das flechas iniciais dasvigas de concreto armado. A opção por um ou poroutro método, como, por exemplo, o métodobilinear do CEB [5,6] ou a fórmula de Branson,adotada na NBR-6118 [7], pode ser uma questãode preferência ou de costume do projetista.Porém, quando se consideram as deformaçõesdiferidas do concreto, verifica-se uma boaconcordância entre o método bilinear e o modelonão linear. Entretanto, o método da NBR-6118não reproduz satisfatoriamente os efeitos dasdeformações diferidas do concreto na resposta dasvigas de concreto armado. Esse método subestimaas flechas das vigas pouco solicitadas, quando elasainda se encontram no estádio I, ou no início doestádio II (na região de formação das fissuras).Por outro lado, o método da NBR-6118superestima as flechas das vigas mais solicitadas,em um estado de fissuração mais adiantado.Em vista desses estudos, o Autor temrecomendado o emprego do método bilinear doCEB, como sendo o método simplificado maispreciso, desaconselhando o uso do método daNBR-6118 para o cálculo de flechas de vigas sobcargas de longa duração.Entretanto, o emprego do método bilinear podenão ser muito simples, especialmente em cálculosmanuais de verificação de flechas das vigas sob ascargas de serviço.Nesse sentido, o CEB apresenta uma fórmulaprática, derivada do método bilinear, a qualpermite um cálculo rápido. Essa fórmula possuiboa precisão para o nível de carregamento a que

64 Teoria e Prática na Engenharia Civil, n.18, p.63-70, Novembro, 2011.as vigas dos edifícios estão submetidasusualmente.Porém, a fórmula prática do CEB não permitealterar o nível de carga, o coeficiente de fluênciaou a resistência do concreto. A fórmula apresentavalores razoáveis da flecha para concretos comresistência característica à compressão f ck daordem de 20 a 25 MPa, coeficiente de fluênciaϕ ≅ 2 e um nível de carga típico das vigas dosedifícios residenciais e de escritórios.O objetivo deste trabalho é desenvolver umafórmula prática, nos moldes da fórmula do CEB,porém, que permita variar os principaisparâmetros envolvidos no problema: nível decarregamento, coeficiente de fluência e resistênciaà compressão do concreto. Para isto, foramdesenvolvidos dois conjuntos de fórmulas: umapara verificação, a qual depende das taxas dearmaduras existentes na viga, e outra para projeto,a qual pressupõe que as armaduras existentes sãoexatamente iguais àquelas obtidas nodimensionamento.2 – O MÉTODO BILINEAR DO CEBDe acordo com o método bilinear do CEB,descrito em detalhes na referência[8], a flecha Wde uma viga é obtida por interpolação da flechaW 1, calculada no estádio I, e da flecha W 2 ,calculada no estádio II puro.Assim, a flecha W , levando em conta acolaboração do concreto tracionado entre fissuras,é interpolada na formaW( 1−η ) W1+ ηW2= (1)η = 0 , se M ≤ M r (2)η = 1− 0,5 M r M , se M > M r (3)Nas equações (2 e (3), M é o momento fletorsolicitante na seção crítica da viga e M r é omomento de fissuração.As parcelas W 1 e W 2 são calculadas levandoseem conta a fluência e a retração do concreto.Deve-se observar que o coeficiente η varia aolongo do eixo da viga pois, tanto M , quanto M r ,variam de seção para seção transversal. Naprática, é necessário adotar um valor constantepara η , calculado para uma seção crítica. Domesmo modo, as flechas W 1 e W 2 devem sercalculadas considerando a rigidez da seção crítica.Assim, a rigidez no estádio I, K I , e a rigidez noestádio II puro, K II , são obtidas com asarmaduras existentes na seção crítica.No caso de uma viga biapoiada ou de uma vigacontínua, a seção crítica é considerada no meio dovão. Para os balanços, a seção crítica correspondeao extremo engastado.Observa-se que a flecha é calculada em umaseção de referência, que pode não coincidir com aseção crítica.O momento de fissuração é dado porM rK I fctEcs= (4)( h − x )onde Ecs= 0, 85Ecé o módulo de deformaçãolongitudinal secante do concreto, h é a altura daseção transversal da viga e x I é a profundidadeda linha neutra no estádio I.As expressões de x I , K I e K II podem serobtidas na referência [8].Se as armaduras forem desprezadas, x I = 0, 5h3e K I = Ecsbh12 , resultando a expressãoaproximada para o momento de fissuração2ctIM = bh f 6(5)r3 – A FÓRMULA PRÁTICA DO CEBUma vez que as flechas W 1 e W 2 sãocalculadas através de uma análise linear, pode-seescreverW =C1 ;K ICW 2 =(6)K IIonde C é uma constante que depende da carga, dovão e das condições de contorno da viga.Por exemplo, para uma viga biapoiada de vãol , submetida a uma carga uniformemente4distribuída p , tem-se C = ( 5pl) 384 .Ao empregar a equação (6), os efeitos dafluência devem ser incluídos diretamente nasrigidezes K I e K II . Para isto, deve-se trabalhar

Teoria e Prática na Engenharia Civil, n.18, p.63-70, Novembro, 2011 65 .com o módulo secante efetivo do concretoE cse = E cs ( 1+ ϕ). Os efeitos da retração podemser incluídos separadamente, como uma flechaadicional (ver referência [8].)A flecha de referência W c , considerando arigidez E cs Icda seção de concreto simples, tem aexpressãoW c = CEcsI(7)cPara uma seção retangular com largura b ,altura total h e altura útil d , pode-se escreverK3I k1bdE cse3bhI c = (8)123= ; K II = k2bdEcse(9)onde os adimensionais k 1 e k 2 dependem dastaxas de armadura ρ e ρ′ , da relação entre omódulo de elasticidade do aço e o módulo efetivodo concreto, n = E s Ecse, e do parâmetroδ = d ′ d (ver referência [8]).Observa-se que, para incluir a fluência doconcreto, trabalha-se com o módulo efetivo E cse .Considerando as equações (6) a (9), pode-semostrar que a equação (1) pode ser escrita naformaW⎛= ⎜⎝3h ⎞⎟d ⎠⎛1−ηηk k ⎟ ⎞ϕ ⎜(10)⎝121 12 2 ⎠( 1+) ⎜ + Wc⎛1−ηηO termo⎟ ⎞⎜ +⎝12k1 12k2⎠depende das taxas dearmadura ρ e ρ′ , do coeficiente de fluência ϕ(que está inserido no parâmetro n = E s Ecse), daresistência à tração do concreto e do nível decarga, representado pelo parâmetro η .Considerando os valores de referência jámencionados, pode-se escrever a relaçãoaproximada⎛1−η⎜⎝12k1η ⎞12k⎟2 ⎠( 1+ ϕ ) ⎜ + ⎟ = ( 1−20ρ′)K t(11)onde Kt, dado em uma tabela em função da taxade armadura tracionada ρ , foi ajustado peloAutor [8] à expressão−0,71186K = 0,09547ρ(12)tA partir dessas considerações, chegou-se àexpressão3⎛ h ⎞W = ⎜ ⎟ K t 20ρ′W⎝ d ⎠( 1−) cconforme consta no CEB/90[6].4 – PRIMEIRA FÓRMULA PRÁTICAPROPOSTA(13)Seguindo o procedimento anterior, propõe-seuma fórmula prática melhorada, a qual permitelevar em conta diferentes valores para ϕ , fckeη . Esse último parâmetro leva em conta ainfluência dos níveis de carregamento da viga.Essa primeira fórmula prática proposta tambémé dependente das taxas de armadura ρ e ρ′ , oque permite que ela seja utilizada para calcular aflecha de uma viga em qualquer estágio docarregamento (evidentemente, dentro da validadedo método bilinear).Como os diversos parâmetros são incluídos, asexpressões são mais complexas do que a fórmulado CEB. Porém, a precisão é melhorada,mantendo-se a facilidade de uso que se espera deum cálculo prático.O momento de fissuração Mré obtido atravésda equação (5), considerando a resistência à traçãodo concreto2 3⎛ fck⎞f ct = 1,40⎜⎟ , MPa (14)⎝ 10 ⎠com fckem MPa.O módulo secante do concreto é dado por1 3⎛ fck+ 8 ⎞E cs = 0,85x21500⎜⎟ , MPa (15)⎝ 10 ⎠O parâmetro η é obtido das equações (2) e (3),conforme a intensidade do momento fletor M naseção crítica.

66 Teoria e Prática na Engenharia Civil, n.18, p.63-70, Novembro, 2011.A flecha da viga é calculada com a expressão3⎛ h ⎞W = ⎜ ⎟ ( 1+ϕ )( [ 1−η)f1+ ηf2] W c (16)⎝ d ⎠As funções f1e f2, obtidas por regressão, sãodadas porf = 0,75 0, 85 nρ (17)1 −f2c1( nρ) 2( )= c(18)ρ′c 1 = 0,247 − 0, 078(19)ρ⎛ ρ′⎞c 2 = −⎜0,786+ 0,088 ⎟ (20)⎝ρ ⎠n =Es=Ecse( 1+ ϕ)EsEcs(21)Observa-se que a relação modular, dada naequação (21), considera o coeficiente de fluênciado concreto. Nessas expressões deve-se considerara relação ρ ′ ρ ≤ 1. Se ρ ′ > ρ , deve-se adotarρ ′ ρ = 1.5 – VERIFICAÇÃO DA PRIMEIRAFÓRMULA PRÁTICAPara testar a precisão da primeira fórmulaproposta, analisa-se a viga da fig. 1.p k A' sh=40l=400 cmA sb=20Fig. 1 – Viga biapoiada4d=36Na tabela 1, indicam-se os valores da carga deserviço p k , do momento máximo de serviço M ke das áreas de aço obtidas no dimensionamento,considerando um concreto com fck= 30 MPa e oaço CA-50. Em todos os casos, resultou armadurasimples, tendo sido adotada uma armadura decompressão com área A′s= 0, 39 cm 2 , o quecorresponde a duas barras de 5 mm.Tabela 1 – Cargas e armaduras das vigasp k(kN/m)M k(kNm)A s(cm 2 )A′ s(cm 2 )5 10 1,39 0,3910 20 1,85 0,3915 30 2,81 0,3920 40 3,82 0,3925 50 4,86 0,3930 60 5,95 0,3935 70 7,10 0,3940 80 8,30 0,39Na tabela 2 , apresentam-se as flechas máximasobtidas com o método bilinear e com a fórmulaproposta, para o caso de carga de curta duração,ou seja, ϕ = 0 .Tabela 2 – Flechas para curta duraçãop k(kN/m)W a(mm)W b(mm)WbW5 0,53 0,56 1,0610 5,71 5,80 1,0215 7,16 7,40 1,0320 7,98 8,35 1,0525 8,56 9,00 1,0530 8,99 9,46 1,0535 9,32 9,79 1,0540 9,59 10,04 1,05Método bilinear: WPrimeira fórmula proposta:aW bNa tabela 3, apresentam-se os resultados paracoeficiente de fluência ϕ = 2 . Neste caso,também se comparam os resultados obtidos com afórmula prática do CEB (equação (13)).Conforme se observa nas tabelas 2 e 3, afórmula proposta apresenta excelente ajuste emrelação ao método bilinear. Em geral, o erro éinferior a 10%.A fórmula prática do CEB apresenta um erromaior, particularmente para vigas com baixo valorda carga de serviço.Na fig. 2, apresentam-se as respostas cargaflechapara a viga cuja carga de serviço ép = 20 kN/m. Essa viga possui áreas deka

Teoria e Prática na Engenharia Civil, n.18, p.63-70, Novembro, 2011 67 .armadura iguais a As= 3, 82 cm 2 e A′s= 0, 39 cm 2 .Nesta figura, considera-se ϕ = 0 .p k(kN/m)Tabela 3 – Flechas para ϕ = 2W a(mm)W b(mm)WbWaW c(mm)WcWa5 1,52 1,61 1,06 6,07 3,9910 7,48 7,88 1,06 9,91 1,3215 9,47 9,90 1,05 11,04 1,1720 10,76 11,08 1,03 11,83 1,1025 11,77 11,88 1,01 12,45 1,0630 12,61 12,44 0,99 12,94 1,0335 13,32 12,82 0,96 13,31 1,0040 13,96 13,09 0,94 13,61 0,97Método bilinear: W aPrimeira fórmula proposta:Fórmula prática do CEB:Carga p (kN/m)3020100BilinearFórmula propostaW cW b0 2 4 6 8 10 12 14Flecha (mm)Fig. 2 – Relações carga-flecha ( ϕ = 0 )Na fig. 3, apresentam-se as respostas para amesma viga, considerando ϕ = 2.Neste caso,também é incluída a relação carga-flecha deacordo com a fórmula prática do CEB.Conforme se observa pelas figuras 2 e 3, afórmula proposta se aproxima bastante do métodobilinear. Além disso, seus resultados sãosignificativamente melhores do que aquelesobtidos com a fórmula prática do CEB.Esse mesmo estudo foi feito para os tramos deextremidade das vigas contínuas, chegando-se aomesmo nível de precisão. O comportamento dasfórmulas aproximadas e as conclusões são asmesmas da viga biapoiada.Carga p (kN/m)3020100BilinearFórmula propostaFórmula prática do CEB0 2 4 6 8 10 12 14 16 18Flecha (mm)Fig. 3 – Relações carga-flecha ( ϕ = 2 )A fórmula prática foi desenvolvida para seçõesretangulares. Ela pode ser empregada para outrasformas de seção, mas os resultados serão menosprecisos. Para isto, a seção deve ser transformadaem um retângulo de mesma altura e com a larguracalculada de forma a preservar o momento deinércia I c da seção real. As taxas de armadura ρe ρ′ deve ser referidas à seção retangularequivalente.A equação (16) não inclui os efeitos daretração do concreto. Conforme é apresentado naref. [8], o acréscimo de flecha Δ Wcs, devido àretração, pode ser obtido por2lcs8dΔ Wcs= rcs2εfr(22)onde l é o vão da viga, d é a altura útil, ε cs é adeformação específica de retração e f r é umcoeficiente que vale 1,0 para as vigas biapoiadas epara os balanços, 0,7 para os vãos extremos dasvigas contínuas e 0,5 para os vãos intermediáriosdas vigas contínuas.No caso dos balanços, o denominador 8 deveser substituído por 2.

68 Teoria e Prática na Engenharia Civil, n.18, p.63-70, Novembro, 2011.O coeficiente r cs2encontra-se tabelado emfunção das taxas de armadura na ref. [8]. Comouma aproximação, esse coeficiente pode sercalculado como⎛ ρ′⎞r cs2 = 1,0 − 0,5⎜⎟(23)⎝ ρ ⎠5 – SEGUNDA FÓRMULA PRÁTICAPROPOSTAA fórmula prática proposta anteriormente sópode ser usada após o dimensionamento da viga,já que ela depende das taxas de armadura ρ e ρ′ .Neste caso, utilizam-se as taxas que realmenteserão empregadas na viga, as quais são obtidas emfunção das armaduras existentes nas seçõescríticas.Entretanto, pode ser conveniente avaliar asflechas das vigas antes mesmo dodimensionamento e detalhamento das armaduras.Neste caso, as flechas poderiam ser determinadasjuntamente com o cálculo dos esforçossolicitantes, utilizando-se o mesmo programa decálculo de esforços.Para isto, admite-se que as armadurasexistentes na viga sejam exatamente iguais àsarmaduras efetivamente obtidas nodimensionamento. Assim, dado o momento fletorM , realiza-se o dimensionamento e calcula-se aflecha com as armaduras obtidas.Empregando-se essa solução e a equação (10),chegou-se a uma segunda fórmula prática atravésde regressão.Nessa segunda fórmula, a flecha da viga éobtida através da expressãoonde β depende da relação3⎛ h ⎞W = ⎜ ⎟ β W c(24)⎝ d ⎠1 2⎛ M ⎞α = ⎜ r⎟(25)⎝ M ⎠Se α ≥ 1, o coeficiente β é dado porβ = 0 ,75 + 0, 65ϕ(26)Se α < 1, tem-se( 1+0,2ϕ)( 5,50α− 0,75)1+0,01( − 30)β =≥ 0 (27)f ckNa equação (27), f ck deve estar em MPa.Deve-se observar que a equação (24) não servepara determinar uma resposta completa da viga.Essa fórmula pressupõe que as áreas de aço sãoaquelas requeridas pelo dimensionamento para omomento fletor de cálculo M d = 1, 4Mk . Logo, osresultados somente são corretos para o momentofletor M = M k , ou seja, para o carregamento deserviço da viga.Para determinar uma resposta carga-flecha,deve-se empregar a primeira fórmula prática,como mostrado anteriormente.Havendo necessidade, a retração pode serincluída como na primeira fórmula, podendo-seadotar r cs2 = 1, 0 a favor da segurança.Observa-se que o coeficiente β diminui com aredução de α , ou seja, com o aumento domomento fletor M . Isto ocorre porque, quantomaior for o momento M , maior será a área de açoda viga.5 – VERIFICAÇÃO DA SEGUNDAFÓRMULA PRÁTICAA viga da fig. 1 é empregada para a verificaçãoda segunda fórmula prática.Na tabela 4, apresentam-se os resultados paracarga de curta duração ( ϕ = 0 ). Na tabela 5,apresentam-se os resultados para ϕ = 2 .Tabela 4 – Flechas para curta duraçãop k(kN/m)W a(mm)W d(mm)WdW5 0,53 0,56 1,0610 5,71 6,16 1,0815 7,16 7,23 1,0120 7,98 8,05 1,0125 8,56 8,70 1,0230 8,99 9,24 1,0335 9,32 9,68 1,0440 9,59 10,06 1,05Método bilinear: WSegunda fórmula proposta:aW da

Teoria e Prática na Engenharia Civil, n.18, p.63-70, Novembro, 2011 69 .p k(kN/m)Tabela 5 – Flechas para ϕ = 2W a(mm)W d(mm)WdWa5 1,52 1,54 1,0110 7,48 8,62 1,1515 9,47 10,12 1,0720 10,76 11,27 1,0525 11,77 12,18 1,0330 12,61 12,93 1,0335 13,32 13,56 1,0240 13,96 14,09 1,01Método bilinear: W aSegunda fórmula proposta:W dConforme se observa pelas tabelas 4 e 5, osresultados obtidos com a segunda fórmula práticasão muito próximos do método bilinear. O nívelde precisão é o mesmo obtido com a primeirafórmula, cujos resultados encontram-se nastabelas 2 e 3.Deve-se observar que os resultados das tabelas2 e 3 também correspondem ao caso em que aarmadura existente é igual à armadura calculada.Porém, uma vez que a primeira fórmula dependede ρ e ρ′ de maneira explícita, ela pode serempregada mesmo que a armadura existente sejabem diferente da armadura calculada. Com isso,pode-se obter a flecha de uma viga nos diversosestágios do carregamento.Por outro lado, na segunda fórmulasubentende-se que a armadura existente é igual àarmadura calculada. Logo, essa segunda fórmulasó pode ser usada para avaliar a flecha das vigassob as cargas de serviço.6 – A RIGIDEZ EQUIVALENTEAo se fazer a análise estrutural de umaestrutura mais complexa, como, por exemplo, opavimento completo de um edifício, composto porvárias vigas e lajes, pode ser convenienteintroduzir a não linearidade física de maneiraaproximada, sem a necessidade da realização deuma análise iterativa e incremental. Isto pode serfeito adotando-se rigidezes equivalentes para oselementos estruturais.Quando se emprega o Método dos ElementosFinitos, as vigas são discretizadas em váriospequenos elementos, devendo-se atribuir umarigidez equivalente para cada um desseselementos.Um procedimento bastante utilizado consisteem fazer uma primeira análise elástica linear,considerando as rigidezes das seções de concretosimples das vigas e das lajes no estado nãofissurado. Dessa análise, obtêm-se os esforçossolicitantes de cálculo, com os quais sãodimensionadas as armaduras. Em seguida, aestrutura é analisada novamente, considerando ascombinações de serviço das ações e atribuindo-serigidezes equivalentes para os elementos finitos.Com isso, avaliam-se as deformações da estruturacom a consideração dos efeitos da fissuração e dafluência do concreto e incluindo as armadurasobtidas no dimensionamento.Uma vez que a primeira fórmula práticaproposta permite obter a flecha das vigas nosdiversos estágios do carregamento, ou seja, paradiversos valores do momento fletor M , elatambém pode ser empregada para a determinaçãoda rigidez equivalente dos elementos finitos devigas.De modo análogo à equação (7), a equação(16) também pode ser escrita na formaCW = (28)EI eqonde EI eq é a rigidez equivalente.Substituindo a equação (7) em (16) econsiderando a equação (28), obtém-seEIeq3⎛ d ⎞ EcsIc= ⎜ ⎟(29)⎝ h ⎠ ( 1+ϕ )( [ 1−η)f + ηf]O coeficiente η é dado nas equações (2) e (3),considerando o momento fletor máximo M queatua no elemento finito de viga. As funções f 1 ef 2 são determinadas a partir das taxas dearmadura ρ e ρ′ do elemento.Observa-se que, para o emprego da equação(29), M é o momento máximo em cada elementoe não mais o momento na seção crítica da viga.Desse modo, cada elemento finito terá umarigidez equivalente diferente, mesmo que aarmadura seja constante em todo o vão da viga. Aanálise estrutural é feita para uma viga de rigidezvariável.12

70 Teoria e Prática na Engenharia Civil, n.18, p.63-70, Novembro, 2011.7 - CONCLUSÕESNeste trabalho foi apresentada a origem dafórmula prática do CEB para o cálculo de flechasdas vigas de concreto armado. Essa fórmulapossui boa precisão para o nível de carregamentode serviço a que as vigas dos edifícios estãosubmetidas usualmente. A fórmula apresentavalores razoáveis da flecha para concretos comresistência característica à compressão f ck daordem de 20 a 25 MPa e coeficiente de fluênciaϕ ≅ 2 .Com base no mesmo procedimento, foramdesenvolvidas duas fórmulas práticas para ocálculo de flechas de vigas. A primeira fórmuladepende das taxas de armadura efetivamenteusadas na viga e serve para o cálculo das flechasem vários estágios do carregamento. Essa fórmulaé ideal para verificações, após a escolha dasarmaduras das vigas. Ela também permite ocálculo da rigidez equivalente, como foi mostrado.A segunda fórmula foi determinada,considerando que as armaduras existentes na vigasão aquelas obtidas no dimensionamento. Dessemodo, a fórmula não depende explicitamente dasarmaduras. Essa fórmula permite calcular a flechada viga para a carga de serviço, antes dodimensionamento, podendo ser inseridadiretamente no programa de cálculo dos esforços.A precisão das duas fórmulas foi demonstradaatravés de comparações com os resultados dométodo bilinear.4. Araújo, J. M. Improvement of the ACI methodfor calculation of deflections of reinforcedconcrete beams. Revista Teoria e Prática naEngenharia Civil, n. 7, p.49-60, Ed. Dunas, RioGrande, Setembro, 2005.5. Comité Euro-International du Béton – CEBDesign Manual on Cracking and Deformations.Lausanne, 1985.6. Comité Euro-International du Béton - CEB-FIPModel Code 1990. Lausanne, 1993.7. Associação Brasileira de Normas Técnicas -Projeto de Estruturas de Concreto. NBR-6118.Rio de Janeiro, 2003.8. Araújo, J. M. Curso de Concreto Armado, v.2,3.ed., Ed. Dunas, Rio Grande, 2010.REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS1. Araújo, J. M. – Modelo para análise de vigasde concreto armado. Revista Portuguesa deEngenharia de Estruturas, No. 32, p.9-14, Lisboa,Julho, 1991.2. Araújo, J. M. Processos simplificados paracálculo de flechas de vigas de concreto armado.Revista Teoria e Prática na Engenharia Civil, n. 5,p.1-10, Ed. Dunas, Rio Grande, Agosto, 2004.3. Araújo, J. M. Simplified procedures forcalculation of instantaneous and long-termdeflections of reinforced concrete beams. RevistaEngenharia Civil da Universidade do Minho, n.24,p.57-68, Setembro, 2005, Portugal.