O Teorema de P. Hall - Universidade Federal de Minas Gerais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAISINSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATASDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAO Teorema de P. HallRafael Bezerra dos SantosDisciplina: Seminário III - Tópicos Especiais em Teoria de GruposProf. Ana Cristina VieiraBelo HorizonteNovembro de 2010

2O Teorema de P. HallApresentação de ResultadosEm todo o texto, G representará um grupo finito.O objetivo deste seminário é apresentar um teorema do “tipo Sylow”para π−grupos.Relembrando:Teorema 1 (Teorema de Sylow). Seja G um grupo. Se |G| = p α m, p primo, α ≥ 1,mdc(p, m) = 1, então:(i) Existe H ≤ G tal que |H| = p β , para todo β ∈ [1, α];(ii) Seja Syl p (G) = {P ≤ G : |P | = p α }. Se n p = |Syl p (G)| então n p | m e n p ≡ 1(mod p);(iii) Dados P, Q ∈ Syl p (G), existe g ∈ G tal que P g = Q.(iv) Se P é um p−subgrupo de G, então existe S ∈ Syl p (G) tal que P ⊆ S.Definição 1. Seja π um conjunto de primos. Dizemos que um grupo G é um π−grupose todo primo p que divide a ordem de G pertence a π.Do Teorema de Lagrange vem que se G é um π−grupo então todo subgrupo de G éum π−grupo.Indicaremos o conjunto dos primos que dividem a ordem de G por π(G). A partir deagora, π é um subconjunto qualquer de π(G) e π ′ o seu complementar em π(G).Definição 2. Seja H ≤ G. Dizemos que H é um S π −subgrupo de G se:(i) H é um π−grupo;(ii) se q é um primo que divide [G : H] então q ∈ π ′ .O item (ii) da definição acima é equivalente a mdc(|H|, [G : H]) = 1.Os S π −subgrupos de um grupo G são chamados também de π−subgrupos de Hall.Se π = {p}, então um S π −subgrupo de um grupo G é um p−subgrupo de Sylow.Sejam E π , C π e D π as seguintes proposições sobre um grupo G:E π : G possui no mínimo um S π −subgrupo.

3C π : G satisfaz E π e quaisquer dois S π −subgrupos de G são conjugados em G.D π : G satisfaz C π e todo π−subgrupo de G está contido em algum S π −subgrupo deG.Uma condição suficiente para um grupo G satisfazer D π é chamado de um D−teorema.Logo, o Teorema de Sylow é um D−teorema, ou seja,Teorema 2 (D1 - Sylow). Se p é um número primo, então todo grupo finito satisfaz D p .Um dos primeiros D π -teorema é devido a Schur.Teorema 3 (D2 - Schur). Se G possui um S π ′−subgrupo abeliano normal, então G satisfazD π .O nosso objetivo é demonstrar o seguinte teorema, devido a P. Hall.Teorema 4 (D3 - P. Hall - 1928). Se G é solúvel, então G satisfaz D π para todo π.É válida, também, a recíproca do Teorema de Hall:Teorema 5. Se G satisfaz E π ′então G é solúvel.Após o Teorema de Hall, vários outros D π −teoremas foram demonstrados. Um delesmerece destaque pela simplicidade. Em 1954, H. Wielandt demonstrou o seguinteTeorema 6 (D4 - Wielandt). Se G possui um S π −subgrupo nilpotente, então G satisfazD π .Em 2006, Revin e Vdovin demonstraram o seguinte D−Teorema:Teorema 7 (D5 - Revin-Vdovin). Seja K um subgrupo normal de um grupo G. G satisfazD π se, e somente se, K e G/K satisfazem D π .A seguir, vamos demonstrar alguns resultados sobre π−grupos.Proposição 1. Sejam H um S π −subgrupo de G e ϕ : G → G um homomorfismo. Então:(i) ϕ(H) é um S π −subgrupo de ϕ(G);(ii) ϕ(G) é um π−grupo se, e somente se, G = HN, onde N = ker(ϕ).

4Demonstração: (i) Se H ≤ G então ϕ(H) ≤ ϕ(G). Logo, [ϕ(G) : ϕ(H)] | [G : H]. Como[G : H] ∈ π ′ , [ϕ(G) : ϕ(H)] ∈ π ′ e como ϕ(H) | H, vem que ϕ(H) é um S π −subgrupo deϕ(G).(ii) (⇐) Suponha que G = HN. Então ϕ(G) = ϕ(HN) = ϕ(H)ϕ(N) = ϕ(H). Comoϕ(H) é um S π −subgrupo de ϕ(G), vem que ϕ(G) é um π−grupo.G(⇒) Suponha que ϕ(G) seja um π−grupo. Pelo Teorema do Isomorfismo,N ∼ = ϕ(G).Por (i), ϕ(H) é um S π −subgrupo de ϕ(G). Logo, como ϕ(G) é um π−grupo, [ϕ(G) :ϕ(H)] = 1 e assim, ϕ(H) = ϕ(G). Desta forma, [G : N] = |ϕ(H)| e |N| ∈ π ′ . Como Hé um S π −subgrupo de G, mdc(|H|, |N|) = 1. Logo, H ∩ N = {1}. Como HN ⊆ G, deH ∩ N = {1} vem que G = HN.Proposição 2. Sejam G um grupo, H um S π −subgrupo de G, N ⊳G e K um π−subgrupode G. Então:(i) KNN é um π−subgrupo de G N ;(ii) HNN é um S π−subgrupo de G N e H ∩ N é um S π−subgrupo de N.Demonstração: (i) Pelo Teorema do Isomorfismo, KNN ∼ = K . Assim, [KN : N] =K ∩ N[K : K ∩ N] ∈ π. Logo, KNNPortanto, KNN é um π−subgrupo de G N . GKNé um π−grupo. Como N ⊳ G, KN ≤ G e assimN ≤ G N . KNπ N K π N ∩ Kπ{1}

5(ii) Por (i), HNN ≤ G . Pelo Teorema do Isomorfismo, [HN : N] = [H : H ∩ N] ∈ π.NComo [G : H] ∈ π ′ , [G : HN] ∈ π ′ . Portanto, HNN é um S π−subgrupo de G N . Também,[N : H ∩ N] ∈ π ′ . Como |H ∩ N| ∈ π, vem que H ∩ N é um S π −subgrupo de N.Gπ ′ HNπ ′π π ′N H π ′π N ∩ Hπ{1}E−TeoremasSabemos que dado um grupo G, nem sempre existe um S π −subgrupo. Por exemplo,sabemos que A 5 não possui um {2, 5}−subgrupo.Porém, temos alguns teoremas quegarantem a existência de S π −subgrupos. Estes teoremas são chamados de E−teoremas.Um E−teorema clássico é o E−teorema de Schur.Teorema 8 (E1 - Schur). Se G possui um S π ′−subgrupo normal, então G satisfaz E π .Teorema 9 (E2). Se K é um subgrupo normal de G tal que K satisfaz C π e G/K satisfazE π , então G satisfaz E π .Demonstração: Suponha que K satisfaz C π e G K satisfaz E π. Seja T um S π −subgrupode K e N G (T ) = N. Para todo x ∈ G, T x é um S π −subgrupo de K. Como K satisfaz C π ,existe y ∈ K tal que T x = T y . Logo, xy −1 ∈ N e assim NK = G. Agora, pelo TeoremaNdo Isomorfismo,N ∩ K ∼ = NKK = G K . Como G K satisfaz E Nπ,N ∩ K satisfaz E π e assim

HexisteK ∩ N , S Nπ−subgrupo deN ∩ K . Consideremos H K ∩ N. Temos que ⊳ H T T T eK ∩ Né um S π ′−subgrupo de H TT . Logo, pelo Teorema 8, H T satisfaz E π. Logo, existeUT , S π−subgrupo de H T . Nestas condições, U é um S π−subgrupo de G.π ′KK ∩ NG π ′ π ′ H π π ′ π ′ πTπ{1}NU6Recentemente (maio/2010), Revin e Vdovin demonstraram um novo E−teorema emfunção da série de composição de um grupo.Sejam A, B e H subgrupos de um grupo G tais que B ⊳ A e considere o subgrupoN H (A/B). Se x ∈ N H (A/B), x induz um automorfismo de A/B por Ba ↦→ Bx −1 ax.Assim, existe um homomorfismo ϕ : N H (A/B) → Aut(A/B). A imagem de N H (A/B)via ϕ denotamos por Aut H (A/B) e é chamado de grupo dos automorfismos induzidos deA/B.Teorema 10 (E3 - Revin-Vdovin). Seja {1} = G 0 < G 1 < · · · < G n = G a série decomposição de um grupo finito G. As seguintes afirmações são equivalentes:(i) Aut G (G i /G i−1 ) satisfaz E π , para todo i ∈ [1, n];(ii) G satisfaz E π .Demonstração: Veja [10].

7O D−Teorema de P. HallTeorema 11. Seja G um grupo solúvel. Se π ⊆ π(G), então:(1) G possui no mínimo um S π − subgrupo;(2) Todos os S π −subgrupos de G são conjugados;(3) Todo π−subgrupo de G está contido em algum S π −subgrupo de G.Precisaremos de alguns resultados:Lema 1. Seja N um subgrupo normal minimal de algum grupo G e assuma que N é finitoe solúvel. Então N é um p−grupo abeliano elementar para algum p.Demonstração: Seja N um subgrupo normal mininal, finito e solúvel de G. ComoN é solúvel, N ′ ⊳ N e como N ′ é característico em N, N ′ ⊳ G. Pela minimalidade deN, N ′ = {1} e assim N é abeliano. Seja p um divisor primo da ordem de N e sejaS = {x ∈ N : x p = 1}. Pelo Teorema de Cauchy, S ≠ ∅ e S ≤ N. Como N é abeliano,S ⊳ N. Também, não é difícil ver que S é característico em N. Logo, S ⊳ G. Novamente,pela minimalidade de N, S = N. Portanto, N é um p−grupo abeliano elementar.Lema 2 (Argumento de Frattini). Seja N um subgrupo normal de um grupo G, com Nfinito e seja P ∈ Syl p (N). Então G = N G (P )N.Demonstração: Seja g ∈ G. Se P ∈ Syl p (N), então P g ∈ Syl p (N), já que N ⊳ G. PeloTeorema de Sylow, todos os p−subgrupos de Sylow de N são conjugados. Logo, existen ∈ N tal que P gn = P . Desta forma, gn = m ∈ N G (P ) e, assim, g = mn −1 . Como g foiescolhido de forma arbitrária, vem que G = N G (P )N.Lema 3. Seja G um grupo e sejam H e K subgrupos de G. Se H e K são conjugados emG então N G (H) e N G (K) são conjugados em G.Teorema 12 (Schur-Zassenhaus (caso solúvel)). Seja M um subgrupo normal de G, Gum grupo solúvel, e suponha que mdc(|M|, [G : M]) = 1. Então existe um subgrupo H deG tal que M ∩ H = {1} e G = MH.

8Demonstração: A demonstração é por indução na ordem de G. Se M = G, tomamosH = {1}. Logo, podemos assumir que M < G e que |G| > 1. Como G é solúvel,G/M é solúvel. Seja N/M um subgrupo normal minimal de G/M. Pelo Lema 1, N/Mé um p−grupo abeliano elementar, para algum p. Seja P ∈ Syl p (N). Como M ⊳ N,P M ≤ N e com essa escolha, N = P M. Seja X = N G (P ). Pelo Lema 2, G = XN. Logo,G = XN = XP M = XM. Como G é solúvel, X é solúvel. Também, pelo Teorema doXIsomorfismo,X ∩ M ∼ = XM M = G . Desta forma, X ∩ M ⊳ X, [G : M] = [X : X ∩ M]Me como mdc(|M|, [G : M]) = 1, mdc(|X ∩ M|, [X : X ∩ M]) = 1. Logo, pela hipótese deindução, as condições do teorema são válidas para X. Temos dois casos a considerar:1 o caso) X < GPela hipótese de indução, existe H < X tal que H ∩(X ∩M) = {1} e X = H(X ∩M).Mas G = XM. Logo, G = H(X ∩ M)M = HM e H ∩ (X ∩ M) = (H ∩ X) ∩ M =H ∩ M = {1}.2 o caso) X = GNeste caso, P ⊳ G e [G : P ] < |G|. Como G é solúvel, G/P é solúvel. Também,MPP ⊳ G [P . Pelo Teorema do Isomorfismo, MP ∼ MG =P P ∩ M . Agora, P : MP ]=[ ][ MGP : M [G : P ] [G : M]G==P ∩ M [M : P ∩ M] [P : P ∩ M] e assim P : MP ] ∣∣∣[G: M]. Da mesmaPforma, [MP : P ] = [M : P ∩ M] =|M| e assim [MP : P ] | |M|. Logo,( |P ∩ M| ∣∣∣MP[∣ Gmdc ∣;P P : MP ])= 1. Pela hipótese de indução, existe H PP < G MPtal queP P ·HP= G P e MPP ∩ H P = {¯1}. Deste modo, G = MP H = MH, já que P ≤ H eMP ∩ H = P implica que (M ∩ H) ⊆ M ∩ P . Basta então mostrar que M ∩ P = {1}.Como mdc(|M|, [G : M]) = 1 e P ∈ Syl p (G) então mdc(|M|, |P |) = 1. De fato, comop | [G : M], p ∤ |M|. Logo, P ∩ M = {1} implica que M ∩ H = {1}, o que demonstra oteorema.Demonstração: (Teorema 11)(1) A demonstração é por indução na ordem de G. Se |G| = 1, não há nada o quedemonstrar. Suponha então que |G| > 1 e seja M um subgrupo normal minimal de G.

9Como G é solúvel, G/M é solúvel. Também, [G : M] < |G|. Logo, pela hipótese deindução, existe H M < G M , H M um S π−subgrupo de G . Observe que [G : H] = [G/M :MH/M] ∈ π ′ . Pelo Lema 1, M é um p−grupo abeliano elementar de G. Desta forma,|H| = p α · [H : M]. Temos dois casos a considerar:1 o caso) p ∈ πNeste caso, não há nada o que demonstrar, pois [H : M] ∈ π e [G : H] ∈ π ′ . Logo, Hé um S π −subgrupo de G.2 o caso) p ∉ πSe p ∉ π, então mdc(|M|, [H : M]) = 1. Logo, pelo Teorema 12, existe K < H tal queK ∩ M = {1} e H = KM. Pelo Teorema do Isomorfismo, KM M = H M ∼ K=K ∩ M ∼ = K.Neste caso, K é um S π −subgrupo de G. Isto demonstra (1).Para a demonstração de (2) e (3), para simplificar a notação, escreveremos |G| = mn,com mdc(m, n) = 1. A demonstração é por indução na ordem de G. Se |G| ≤ 5, entãoo teorema é válido trivialmente. Então, podemos supor que |G| > 5. Dividiremos ademonstração em dois casos:1 o caso) G possui um subgrupo normal H tal que n não divide a ordem de H, com|H| = m 1 n 1 , m 1 | m, n 1 | n.(2) Sejam B, C subgrupos de G tais que |B| = |C| = m. Como H ⊳ G, HB eHC são subgrupos de G. Logo, |HB| = k | mn = |G|. Também, k | m 1 n 1 m, jáque |HB| = |H||B||H ∩ B| −1 .Como mdc(m 1 , n) = 1, existem inteiros x, y tais quexm 1 + yn = 1. Logo (m 1 n 1 m)x + (m 1 n 1 n)y = mn 1 . Desta forma, k | mn 1 . Pelo Teoremade Lagrange, m | k e m 1 n 1 | k. Como mdc(m, n) = 1, mn 1 | k. Logo, k = mn 1 . Damesma forma, |HC| = mn 1 . Desta forma, HBHe HCHsão subgrupos de G , ambos deHordem m . Logo, pela hipótese de indução, são conjugados em G . Logo, para algumm 1 H¯x ∈ G H , ¯x−1 (HB/H)¯x = HC/H. Segue então que x −1 (HB)x = HC e consequentementeB x e C são subgrupos de HC de ordem m e, pela hipótese de indução, são conjugadosem HC. Assim, B e C são conjugados em G.

10G HB m m HC m 1 m 1 B H C m 1 m 1 H ∩ BH ∩ C n 1 n 1{1}(3) Seja K um subgrupo de G de ordem k que divide m. Pelo Teorema do Isomorfismo,HKH ∼ = KHKtem ordem que divide k. ComoH ∩ K H< G , sua ordem também divideH[G : H]. Como mdc(k, n) = 1, [HK : H] | m/m 1 . Logo, pela hipótese de indução,existe um subgrupo A G de G H de ordem m/m 1 que contém HK . É claro que K < A.HComo |A| = mn 1 < mn, novamente, pela hipótese de indução, K está contido em algumsubgrupo de A de ordem m, e, consequentemente, K está contido em algum subgrupo deG de ordem m.2 o caso) Todo subgrupo normal próprio de G tem ordem divisível por n.Convém aqui fazer uma observação. Se H é um subgrupo normal minimal de G,sendo G solúvel, H é um p−grupo abeliano elementar (Lema 1). Como n | |H|, vem quen = p r . Logo, H ∈ Syl p (G). Como H ⊳ G, H é o único subgrupo normal minimal de G.Assim, todo subgrupo normal não-trivial de G contém H.(2) Seja K um subgrupo normal de G tal que K Hé um subgrupo normal minimalde G H . Como G H é solúvel, K H é um q−grupo abeliano elementar. Assim, [K : H] = qs ,(p ≠ q, q primo) e |K| = p r q s . Sejam S ∈ Syl q (K) e M = N G (S).Afirmação: |M| = m.De fato, como H ⊳ K, HS < K. Como H ∩ S = {1}, |HS| = |H||S| = p r q s = |K|.Assim, K = HS. Como K ⊳ G e S < K, então S x ⊂ K x = K, para todo x ∈ G. Logo,todo conjugado de S em G está contido em K. Como S ∈ Syl q (K), todos estes subgruposjá são conjugados em K. Seja N = N K (S). O número c de conjugados de S em G é[G : M] = [K : N]. Como S ≤ N ≤ K e K = HS ≤ HN ≤ K, vem que K = HN

11e assim c = [K : N] = [HN : N] = [H : H ∩ N]. Vamos mostrar que H ∩ N = {1}(se H ∩ N = {1}, c = |H| = p r ⇒ |M| = |G|[G : M] −1 = mp r /p r = m). Suponha, porabsurdo, que x ≠ 1 e seja x ∈ H ∩ N. Como K = HS, k = hs. Vamos mostrar quex ∈ Z(K). Temos que s(x −1 s −1 x) ∈ S, já que x ∈ N = N K (S). Mas (sx −1 s −1 )x ∈ H,já que x ∈ H e H ⊳ G. Portanto xsx −1 s −1 ∈ H ∩ S = {1}. Logo, xs = sx. Mas H éabeliano e x ∈ H. Então xk = x(hs) = (xh)s = (hx)s = h(xs) = h(sx) = kx. Logo,x ∈ Z(K), isto é, H ∩ N ⊆ Z(K). Agora, Z(K) é característico em K e K ⊳ G. Assim,Z(K) ⊳ G. Se Z(K) ≠ {1}, então H ⊆ Z(K). Como K = HS então S ⊳ K. Logo, S éo único q−subgrupo de Sylow de K, e assim, característico em K. Como K ⊳ G, S ⊳ G.Mas isto implica que H ⊆ S. Absurdo. Portanto Z(K) = {1} e a afirmação está provada.G q s K N M H Sp r q s{1}Seja B um subgrupo de G de ordem m. Então BK ≤ G. Temos que m | |BK| ep r q s | |BK|. Como mdc(m, p) = 1, vem que p r m | |BK|. Mas p r m = |G|. Portanto,GG = BK. Consequentemente,K = BK K ∼ B=B ∩ K . Com isso, |B ∩ K| = qs . PeloTeorema de Sylow, B ∩ K e S são conjugados em K. Como B ∩ K ⊳ B, B está contidoem N G (B ∩ K). Pelo Lema 3, N G (B ∩ K) e N G (S) = M são conjugados em G. Assim,|N G (B∩K)| = m. Mas |B| = m. Logo, B = N G (B∩K) e portanto B e M são conjugados.(3) Seja D um subgrupo de G tal que |D| = k | m. Seja M como em (2) e H comona observação (|M| = m e |H| = p r ). Então D ∩ H = {1} e assim |DH| = |D||H| = kp r .Como M ∩H = {1}, vem que G = MH. Assim M(DH) = G e |M ∩DH| = k. Escrevendo

12M ∩ DH = M ∗ , temos que, por (2) M ∗ e D são conjugados em DH, logo, em G. Assim,existe g ∈ G tal que (M ∗ ) g = D. Como M ∗ < M, D está contido em M g , um subgrupode ordem m.Recíproca do Teorema de P. HallA seguir, vamos iniciar a demonstração da recíproca do Teorema de P. Hall. Comeste teorema, P. Hall conseguiu caracterizar os grupos solúveis através da existência deS p ′−subgrupos em um grupo G.Lema 4. Se H e K são subgrupos de um grupo G tal que mdc([G : H], [G : K]) = 1,então:(i) [G : H ∩ K] = [G : H][G : K];(ii) G = HK.Demonstração: Escreva g = |G|, m = [G : H], n = [G : K] e a = |H ∩ K|. Então,existem inteiros positivos h, k tais que |H| = ah e |K| = ak. Assim, g = ahm = akn, oque implica que hm = kn. Como mdc(m, n) = 1, vem que h = nr e k = mr para alguminteiro r. Com isso, g = amnr. Por outro lado, g = |G| ≥ |HK| = |H||K||H ∩ K| −1 =amnr 2 . Isto força r = 1 e assim |HK| = amn = g. Logo, HK = G. Também,[G : H ∩ K] = mn = [G : H][G : K], o que demonstra o lema.Teorema 13. Se um grupo G possui três subgrupos solúveis cujos indíces são dois a doisrelativamente primos, então G é solúvel.Demonstração: Sejam H 1 , H 2 e H 3 subgrupos solúveis de um grupo G. Podemos suporque H i ≠ {1}, 1 ≤ i ≤ 3, pois, se, por exemplo, H 1 = {1}, então [G : H 1 ] = |G|. Como[G : H 2 ] é relativamente primo com |G|, vem que H 2 = G e assim G é solúvel. Sejam Mum subgrupo normal minimal de H 1 . Pelo Lema 1, M é um p−grupo abeliano elementar.

13Como mdc([G : H 2 ], [G : H 3 ]) = 1, podemos supor que p não divide [G : H 2 ]. Neste caso,H 2 contém um p−subgrupo de Sylow de G. Seja P 1 ∈ Syl p (H 1 ). Assim, P 1 ⊆ H x 2 , paraalgum x ∈ G. Podemos supor, sem perda de generalidade, que P 1 ⊆ H 2 . Mas, comoM ⊳ H 1 , M está contido em todo p−subgrupo de Sylow de H 1 . Logo, M ⊆ H 1 ∩ H 2 . PeloLema 4, G = H 1 H 2 . Assim, se g ∈ G, g = h 1 h 2 e M g = M h 2⊆ H 2 . Mas isto implica queo fecho normal K de M em G está contido em H 2 . Como H 2 é solúvel, K é solúvel. Comisso, os subgrupos KH i /K de G/K estão nas condições do teorema. Por indução, G/Ké solúvel. Portanto, G é solúvel.Observe que a hipótese do grupo G possuir três subgrupos solúveis cujos índicessão dois a dois relativamente primos é essencial. De fato, considere A 5 , |A 5 | = 2 2 · 3 ·5. A 5 possui um 5−subgrupo de Sylow e um subgrupo de ordem 12, cujos índices sãorelativamente primos, mas A 5 não é solúvel.Teorema 14 (P. Hall). Um grupo G é solúvel se, e somente se, G possui um S p ′−subgrupopara todo primo p.Demonstração: Seja |G| = p α 11 · · · p αnn , com p i ≠ p j se i ≠ j. Podemos supor que n > 2,já que se n = 1, G é um p 1 −grupo e assim solúvel; se n = 2, o Teorema de Burnsidegarante que G é solúvel. Seja H i um S p ′i−subgrupo de G, 1 ≤ i ≤ n, que existe, porhipótese. Como [G : H i ] = p α ii , basta mostrar que cada H i é solúvel. Assim, o resultadosegue do Teorema 13. A demonstração é por indução na ordem de G. Pelo Lema 4, H 1 ∩H jé um S π −subgrupo de G, com π = π(G) − {p 1 , p j }. Logo, H 1 ∩ H j é um S p ′j−subgrupode H 1 , 2 ≤ j ≤ n. Pela hipótese de indução, H 1 é solúvel. Da mesma forma, prova-se quecada H i é solúvel e assim, o teorema está demonstrado.

14Referências Bibliográficas[1] Gorenstein, Daniel. Finite Groups. Chelsea Publishing Company. 1980.[2] Hall, P. A characteristic property of soluble groups. J. London Math. Soc. vol. 12.(1937). 198-200.[3] Hall, P. A note on soluble groups. J. London Math. Soc. vol. 3 (1928). 98-105.[4] Hall, P. Theorems like Sylow’s. Proc. London Math. Soc., 6, N22 (1956), 286-304.[5] Hungerford, Thomas. Algebra. Springer-Verlag. 1974[6] Isaacs, I. Martin. Algebra - A Graduate Course. Brooks. 1994.[7] Suzuki, Michio. Group Theory I. Springer-Verlag. 1982.[8] Suzuki, Michio. Group Theory II. Springer-Verlag. 1986.[9] Vdovin, E. P., Revin, D. O. A conjugacy criterion for Hall subgroups in finite groups.Siberian Mathematical Journal. Volume 51, Number 3, 402-409.[10] Vdovin, E. P., Revin, D. O. An existence criterion for Hall subgroups of finite groups.Journal of Group Theory. Pre-print.[11] Vdovin, E. P., Revin, D. O. Hall subgroups of finite groups. Ischia Group Theory 2004:Proceedings of a Conference in honour of Marcel Herzog, Contemporary Mathematics,AMS, 2006, v. 402, 229-265